第9章 正弦交流稳态电路分析

jX L I0

j0
L
U R
R
0 L
+1
电容电压：
1U
UC
jXC I0
j
0C
R
Z
4）谐振时出现过电压现象
因为
UL

XLI

XL
U R
UC

XCI

XC
U R
当 X L X C R 时，UL 和UC 都高于电源电压 U
因为串联谐振时 UL 和 UC 可能超过电源电压许 多倍，所以串联谐振也称电压谐振。
单位：S
对同一二端网络: Z 1 , Y 1
Y
Z
当无源网络内为单个元件时有：
I
+ U
Y

I U

1 R
G
R
I
+ U
-
-
I
Y

I U
C j C
jBC
+ U -
L
Y
I U
1/
j
L jBL
Y可以是实数，也可以是虚数
5. RLC并联电路
i
+
iL
iL
iC
G
jB

Y
y
Y— 复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；
|Y|—复导纳的模； y—导纳角。
转换关系：

|Y |
G2 B2

B

φy

arctg G
或 G=|Y|cos y B=|Y|sin y
YI U
y i u
导纳三角形
|Y| B
y
G
分析 R、L、C 并联电路得出：
（1）谐振的定义
I +
U
_
含有 R、L、C 的一端口电路，外施正弦
负 激励，在特定条件下出现端口电压、电流同 载 相位的现象时，称电路发生了谐振。因此谐
振电路的端口电压、电流满足：
U Z=R I
（2）串联谐振的条件
Z
[R
j(L 1 )] [R C
j( X L

X
.
C
)]

IR
U C
U R U
I
z=0，电路为电阻性，电. 压与电流同
等效电路
+. U
-
I +.
R -U R
称电路发生
了串联谐振
例 iR
L
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
+ + uR - + uL -
u
C
+ uC
u 5 2 sin(t 60 )
f 3 104 Hz .
Z— 复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；
|Z|—复阻抗的模；z —阻抗角。
转换关系：
或

| Z |
R2 X 2

X
φz arctg R
R=|Z|cosz
Z U I
X=|Z|sinz
z u i
阻抗三角形
|Z| X
z
R
分析 R、L、C 串联电路得出：
uR L C
-
.
I
+
.
UR
.
.
IR IL
j L 1
.
IC
-
jω C
由KCL：
I

I R

I L

I C
G U

j 1 U
L

jC
U
(G j 1 jC )U L
[G j(BC BL )U
(G jB)U
Y

I U
G
jC

1 j
L
.
I
.
.
+
IR I B
.
UR
j L’
-
(4) C=1/L ，B=0， y =0，电路为电阻性，电流与电压
同相
.
.
I
.
IC
.
IL
.
IG

I
U 等效电路
+
IR
.
UR
-
称电路发生 了并联谐振
6. RLC并联电路的谐振
I
含有 R、L、C 的一端口电路，外施正弦
+
负 激励，在特定条件下出现端口电压、电流同
振。
（3）R、L、C 串联电路谐振时的特点
1）谐振时电路端口电压 U 和端口电流 I 同相位；
2）谐振时入端阻抗 Z = R 为纯电阻，如图为复平面上表示 的|Z|随ω 变化的图形，可以看出谐振时抗值 |Z| 最小，
因此电路中的电流达到最大。
+j 3）谐振时电感电压和电容电压分别为：
电感电压：
UL
2）谐振时入端导纳 Y = G 为纯电导，谐振时纳值 |Y| 最
小，因此电路中的输出电压达到最大U0。
3）谐振时电感电流和电容电流分别为：
电感电流：
IL
电容电流：


jBLU 0


j
1
0L U0
IC jBCU0 j0CU0
谐振时，电路的总电流最小，而支路的电流往往大于电路的 总电流，因此，并联谐振也称为电流谐振。
U
_
载 相位的现象时，称电路发生了谐振。因此谐 振电路的端口电压、电流满足：
并联谐振的条件
I Y=G U
.
I
+
.
UR
.
.
IR IL
j L 1
.
IC
-
jω C
Y
[G

j(C

1 )] [G
L

j(BC

BL )]
G

jB
当 BC BL B 0 时电路发生谐振 谐振条件是
0C
R jX
j L
当 XL XC X 0 时电路发生谐振
+
+
.
U
-
R
+
.
U
L
-
.
1
+.
谐振条件是
0
L

1
0C
U -
jωC -U C
谐振角频率为：0
1 LC
，
谐振频率为：f0

2
1 LC
由谐振条件得串联电路实现谐振的方式为：
（1） L、C 不变，改变 ω 达到谐振。 （2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 通常改变 C ) 达到谐
W总 =WL

WC

1 2
LIm2

1 2
CUC2 =LI2
例：某收音机的输入回路如图所示，L =0.3mH ， R=10 K ，
为收到中央电台 560kHz 信号，求 （1）调谐电容 C 值； （2）如输入电压为 1.5 mV ，求谐振电流和此时的电容电
压。
解 （1） 由串联谐振的条件得：
R
L
C
理想化的极端情况：若RLC串联电路的R趋近于零， 则电路发生串联谐振时电路阻抗Z趋近于零(短路)。
（7）谐振时的能量关系
设电源电压 电容电压
u Umsin0t
则电流
i

Um R
sin0t=Imsin0t
uc

Im
0C
sin(0t-900 )=-
L C
Imcos0
t
电容储能
Wc

1 2
Z

1 Y

1 G jB

G jB G2B2

R

jX

R

G G2B2
,
X

B G2B2
| Y | 1 |Z|
,
φz φy
例 RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并联电路。
50 解 RL串联电路的阻抗为：
X L L 106 0.06103 60
理想化的极端情况：若RLC并联电路的G趋近于零， 则电路发生并联谐振时电路阻抗Z趋近于无穷大(开 路)。
7. 复阻抗和复导纳的等效互换
R
Z
jX
YG
jB
Z R jX | Z | φz Y G jB |Y | φy
Y

1 Z

1 R jX

R jX R2X 2
G
jB
Z R jL j 1 15 j56.5 j26.5 33.5463.4o Ω C
I U 560o 0.149 3.4o A Z 33.5463.4o
U R R I 15 0.149 3.4o 2.235 3.4o V
Cuc2 =
1 2
LI2mcos20t
电感储能
WL

1 2
Li2 =
1 2
LIm2 sin20t
以上表明：
1）电感和电容能量按正弦规律变化，且最大值相等，即
WLm = WCm 。L、C 的电场能量和磁场能量作周期振荡性的
能量交换，而不与电源进行能量交换。 2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值，即
U
U2 R

U
2 X
.
IR
j L’
+
.
+
.
U
-
R
+
.
U
X
-
U
-
（3）L<1/C， X<0， z <0，电路为容性，电压落后电流；
z U R
I
U
UUUCXL
U
等效电路
U
2 R

U
2 X
.
I
R
+
+.-
UR
.
1
U -
jC '
+.
-U X
（4）L=1/C ，X=0，
相。 U L
j L
+
+
.
U
-
R
+
.
U
L
-
.
1
+.
U -
jωC -U C
由KVL：
.
U
...
UR UL UC

.
RI
.
jL I j
1
C
.
I
[R

j(L

1 )] I
C
[R

j( X L

XC )] I

(R
jX
)
I
Z

U I

R
jL
1 j
C

R
jX

Z z
-
-
求 i, uR , uL , uC .
.
解 其相量模型为：

U 560 V
jL j2 3104 0.3103 j56.5Ω
IR
j L
+
+
.
U
-
R
+
.
U
L
-
.
1
U -
jω C
+. -U C

j1 C

j 2π
1 3104 0.2106

j26.5Ω
（1）Z=R+j(L-1/C)=|Z|∠z 为复数，故称复阻抗 （2）L > 1/C ，X>0， z>0，电路为感性，电压领先电流；
相量图：选电流为参考向量， i 0
U L
U
U C
z
UX
U R
I
等效电路
三角形UR 、UX 、U 称为电压三 角形，它和阻抗三角形相似。即
Z R jX L 50 j60 78.150.20
Y

1 Z

1 78.150.20

0.0128 50.20
0.0082 j0.0098 S
0.06mH
R'

1 G'

1 0.0082
122
L' 1 0.102mH
0.0098
第9章 正弦交流稳态电路分析
重点： 1.阻抗和导纳 2.运用相量法分析正弦交流稳态电路 3.正弦稳态电路的功率分析 4.串、并联谐振的概念
一. 复阻抗和复导纳
1. 复阻抗 I
正弦稳态情况下
I
+
U
-
无源 线性
+
U
Z
-
定义复阻抗
Z
U I
| Z
| φz
欧姆定律的 相量形式
Z U I
z u i
（1）Y=G+j(C-1/L)=|Y|∠y 为复数，故称复导纳； （2）C > 1/L ，B>0， y>0，电路为容性，电流超前电压
相量图：选电压为参考向量， u 0
..
IL IC
I
y .
IB U
IG
三角形IR 、IB、I 称为电流三角 形，它和导纳三角形相似。即
I
I
2 G
U
uL 8.42 2 sin(ω t 86.6o ) V

-3.4°
uC 3.95 2 sin(ω t 93.4o ) V
U R
I
注 UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
相量图
3. RLC串联电路的谐振
谐振是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现 象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路 中谐振现象的研究有重要的实际意义。

I
2 B

I
2 G

(IL
百度文库

IC
)2
RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象
等效电路
.
I
+
.
.
IR 1
.
IB
UR -
jC'
(3) C<1/L ，B<0， y<0，电路为感性，电流落后电压；
U
y
. IG
. IC
I
I
2 G

I
2 B

I
2 G

(IL

IC
)2
I
. I L 等效电路
U L jLI 56.590o 0.149 3.4o 8.4286.4o V
U C

j1
C
I

26.5

90o
0.149

3.4o

3.95

93.4o
V
则 i 0.149 2 sin(ω t 3.4o ) A
U C U L
uR 2.235 2 sin(ω t 3.4o ) V

G

R R2 X
2
,
B

X R2 X
2
1
|Y | |Z|
,
φy φz
注
一般情况 G1/R B1/X。若Z为感性，
X>0，则B<0，即仍为感性。
同样，若由Y变为Z，则有：
YG
jB
R
Z
jX
Y G jB | Y | φy , Z R jX | Z | φz

1
0 L
谐振角频率为：0
1 LC
，
谐振频率为：f0

2
1 LC
由谐振条件得并联电路实现谐振的方式为：
（1） L、C 不变，改变 ω 达到谐振。 （2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 通常改变 C ) 达到谐
振。
R、L、C 并联电路谐振时的特点
1）谐振时电路端口电压 U 和端口电流 I 同相位；
阻抗模 阻抗角
单位：
当无源网络内为单个元件时有：
I
I
+
U
R
-
+
U
C
-
Z

U I

R
I
+
U
L
-
U
1
Z I j C jXC
Z

U I

j
L
jX L
Z可以是实数，也可以是虚数
2. RLC串联电路
iR
L
+ + uR - + uL - +
u
C uC
-
-
.
IR

1 (2πf)2 L

269pF
+
U
（2）
I0

U R
1.5 10
0.15A
-
C
UC I0XC 158.5V 1.5V
或
UC

0L
R
U
4. 导纳
I
+ U -
正弦稳态情况下
无源 线性
I
+
U
Y
-
定义导纳
Y

I U
| Y
| φy
YI U
y i u
导纳模 导纳角