2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(一)(带答案解析)
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A．2B． C．3D．4
12．已知函数 ，则满足方程 的实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
13．曲线 在 处的切线斜率为__________.
14．如图，在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，若 ，则 __________.
15．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
9．已知圆锥 的高是底面半径的3倍，且圆锥 的底面直径、体积分别与圆柱 的底面半径、体积相等，则圆锥 与圆柱 的侧面积之比为（）.
A． B． C． D．
10．对于集合 ，定义： 为集合 相对于 的“余弦方差”，则集合 相对于 的“余弦方差”为（）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 ， 的准线与对称轴交于点 ，直线 与 交于 ， 两点，若 为 的角平分线，且 ，则 ( )
（1）求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程；
（2）射线 与曲线 交于点 （异于原点）、与直线 交于点 ，求 的值.
23．已知函数 ， .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集包含 ，求 的取值集合.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由图可先求 ,再根据 求阴影部分的元素个数即可.
3．C
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质求解即可.
【详解】
∵1, ,4成等比数列,故 ,∴ ,
又∵1,4, 成等比数列,故 ,∴ , .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了等比数列中等比中项的运用,属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
对于 ， 年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为 ，高于 年的增长率 ， 错误；
16．已知双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，点 在双曲线 上，若 ，则双曲线 的焦距为_________．
17．已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的最小值.
18．如图，在四棱锥 中， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 是 的中点， ， ，求二面角 的余弦值.
对于 ，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是 ，故中位数为 万台， 错误；
对于 ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为 万台， 错误；
对于 ，从 年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为 ， ， ，均超过 ， 正确.
故选： .
【点睛】
本题考查根据统计图表解决实际问题，涉及到增长率、中位数和平均数的计算，属于基础题.
19．已知直线 与椭圆 交于不同的两点 ， .
（1）若线段 的中点为 ，求直线 的方程；
（2）若 的斜率为 ，且 过椭圆 的左焦点 ， 的垂直平分线与 轴交于点 ，求证： 为定值.
20．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围．
21．小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．
，
即 ， 至少需要 次构造.
故选： .
【点睛】
本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.
（1）规定第1次从小明开始．
（ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率；
（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为 ，求随机变量 的分布列与期望．
（2）若第1次从小芳开始，求第 次由小芳投掷的概率 ．
22．在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
A．16B．17C．24D．25
6．执行如图所示的程序框图，若输入的 的值为4，则输出的 的值为（）.
A．6B．7C．8D．9
7．若 ， ，则 ( )
A． B． C． D．1
8．关于函数 ， ，有下列三个结论：① 为偶函数；② 有3个零点；③ 在 上单调递增.其中所有正确结论的编号是（）.
A．①②B．①③C．②③D．①②③
5．D
【解析】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ【分析】
由折线长度变化规律可知“ 次构造”后的折线长度为 ，由此得到 ，利用运算法则可知 ，由此计算得到结果.
【详解】
记初始线段长度为 ，则“一次构造”后的折线长度为 ，“二次构造”后的折线长度为 ，以此类推，“ 次构造”后的折线长度为 ，
若得到的折线长度为初始线段长度的 倍，则 ，即 ，
5．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“ 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（）.（取 ， ）
【详解】
因为 ,所阴影部分表示的集合为 ,该集合共有4个元素.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了根据韦恩图求解分析集合关系的问题,属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
先化简求得 ,再根据 求解实数 即可.
【详解】
依题意, ,因为 ,所以 ,解得 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算以及复数相等的关系等.属于基础题.
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三
理科数学模拟测试题（一)
1．已知全集 ，集合 与 的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有( )
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．设复数 ，若 ，则实数 ( )
A． B．2C． D．1
3．若1， ，4， ， 成等比数列，则 ( )
A．32B．64C． D．
4．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（）
A．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年
B．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台
C．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台
D．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%
12．已知函数 ，则满足方程 的实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
13．曲线 在 处的切线斜率为__________.
14．如图，在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，若 ，则 __________.
15．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
9．已知圆锥 的高是底面半径的3倍，且圆锥 的底面直径、体积分别与圆柱 的底面半径、体积相等，则圆锥 与圆柱 的侧面积之比为（）.
A． B． C． D．
10．对于集合 ，定义： 为集合 相对于 的“余弦方差”，则集合 相对于 的“余弦方差”为（）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 ， 的准线与对称轴交于点 ，直线 与 交于 ， 两点，若 为 的角平分线，且 ，则 ( )
（1）求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程；
（2）射线 与曲线 交于点 （异于原点）、与直线 交于点 ，求 的值.
23．已知函数 ， .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集包含 ，求 的取值集合.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由图可先求 ,再根据 求阴影部分的元素个数即可.
3．C
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质求解即可.
【详解】
∵1, ,4成等比数列,故 ,∴ ,
又∵1,4, 成等比数列,故 ,∴ , .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了等比数列中等比中项的运用,属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
对于 ， 年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为 ，高于 年的增长率 ， 错误；
16．已知双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，点 在双曲线 上，若 ，则双曲线 的焦距为_________．
17．已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的最小值.
18．如图，在四棱锥 中， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 是 的中点， ， ，求二面角 的余弦值.
对于 ，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是 ，故中位数为 万台， 错误；
对于 ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为 万台， 错误；
对于 ，从 年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为 ， ， ，均超过 ， 正确.
故选： .
【点睛】
本题考查根据统计图表解决实际问题，涉及到增长率、中位数和平均数的计算，属于基础题.
19．已知直线 与椭圆 交于不同的两点 ， .
（1）若线段 的中点为 ，求直线 的方程；
（2）若 的斜率为 ，且 过椭圆 的左焦点 ， 的垂直平分线与 轴交于点 ，求证： 为定值.
20．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围．
21．小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．
，
即 ， 至少需要 次构造.
故选： .
【点睛】
本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.
（1）规定第1次从小明开始．
（ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率；
（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为 ，求随机变量 的分布列与期望．
（2）若第1次从小芳开始，求第 次由小芳投掷的概率 ．
22．在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
A．16B．17C．24D．25
6．执行如图所示的程序框图，若输入的 的值为4，则输出的 的值为（）.
A．6B．7C．8D．9
7．若 ， ，则 ( )
A． B． C． D．1
8．关于函数 ， ，有下列三个结论：① 为偶函数；② 有3个零点；③ 在 上单调递增.其中所有正确结论的编号是（）.
A．①②B．①③C．②③D．①②③
5．D
【解析】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ【分析】
由折线长度变化规律可知“ 次构造”后的折线长度为 ，由此得到 ，利用运算法则可知 ，由此计算得到结果.
【详解】
记初始线段长度为 ，则“一次构造”后的折线长度为 ，“二次构造”后的折线长度为 ，以此类推，“ 次构造”后的折线长度为 ，
若得到的折线长度为初始线段长度的 倍，则 ，即 ，
5．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“ 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（）.（取 ， ）
【详解】
因为 ,所阴影部分表示的集合为 ,该集合共有4个元素.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了根据韦恩图求解分析集合关系的问题,属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
先化简求得 ,再根据 求解实数 即可.
【详解】
依题意, ,因为 ,所以 ,解得 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算以及复数相等的关系等.属于基础题.
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三
理科数学模拟测试题（一)
1．已知全集 ，集合 与 的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有( )
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．设复数 ，若 ，则实数 ( )
A． B．2C． D．1
3．若1， ，4， ， 成等比数列，则 ( )
A．32B．64C． D．
4．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（）
A．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年
B．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台
C．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台
D．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%