正切和余切_1

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正切函数和余切函数的图像和性质

正切函数和余切函数的图像和性质知识点：1.正切函数和余切函数的概念；2.正切函数与余切函数的图像和性质；3.正切函数与余切函数性质的应用；教学过程：1.正切函数和余切函数的概念：（1）正切函数---形如tan=的函数称为正切函数；y x余切函数--形如cot=的函数称为余切函数；y x2.函数的图像和性质：（1）正切函数的图像：见正切函数图像课件。

（2）正切函数图像：-（3）与切函数的图像：归纳填表格：例1.求下列函数的周期：（1）tan(3)3y x π=-+；（2）221tgxy tg x=+；（3）cot tan y x x =-；（4）22tan21tan 2xy x=-；（5）sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭例2.求下列函数的单调区间：（1）tan(2)24y x π=++；（2）tan()123x y π=-+-；（3）12log cot y x ⎛= ⎝⎭ 例3.求下列函数的定义域：（1）tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）y =（3）y = 例4.（1）求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域；（2）解不等式：23tan (2)(3tan(2)044x x ππ+-+≤例5.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34x a π∈∈时，函数max y =a 的值；例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2x x x x π∈≠。

求证：1212()()()22f x f x x xf ++>。

正切与余切 PPT

驶向胜利的彼岸
结束寄语
• 锐角三角函数描述了直角三角形中边与角的关系,它又是一个变量之间重要的函数关系,即新奇,又富有魅力,你可要与它建立好感情噢！
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直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数-正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
B
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边
的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
∠A的对边
tanA=
┌ A ∠A的邻边 C
议一议P4 11
八仙过海,尽显才能
驶向胜利的彼岸
包权
人书友圈7.三端同步
想一想P1 2
本领大不大, 悟心来当家
办法不只一种
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再往塔的方向前进50m到B处,又测得∠2的大小,根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的吗？
驶向胜利的彼岸
A 1 B2
想一想P2 3
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常见的物体
B1 B2
C2
C1
议一议P3 9
由感性到理性
驶向胜利的彼岸
直角三角形的边与角的关系
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
B1
B2 B3
如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论?
A
C3 C2
C1

正切与余切的转化公式

正切与余切的转化公式
正切与余切是常用于数学中的两个类型的三角函数，它们之间有相互转化的公式。

在三角函数中，它们的关系非常重要，可以用来计算不同类型的三角函数的值。

正弦函数（Sin），余弦函数（Cos）和正切函数（Tan）是相互关联的函数，三角函数的结果可以使用它们来计算。

其中，正切函数tan(x)，定义为x对应的弧度值对应的正弦值除以余弦值。

余切函数cot(x)，定义为余弦值除以正弦值。

从理论上讲，正切与余切是相互等价的。

这意味着，任何一个函数的值可以通过转换成另外一个函数的值来计算，这称为“正切与余切的转化公式”。

其转化公式为：tan(x) = cot(x) = 1/tan(x) 。

由此可见，正切与余切是一对对立的函数，它们可以互相转化。

因此，从理论上讲，当知道一个三角函数的值时，可以利用正切与余切的转换公式来求出另一个三角函数的值，而无需繁琐的计算步骤。

同时，这对解决特定三角函数问题也是很有帮助的。

总之，正切与余切是理论上相互等价的，它们之间具有转换公式，这意味着可以用它们的转换公式来求解不同的三角函数，而不需要使用大量的计算步骤，这对解决数学问题是非常有用的。

课件正切和余切(1)

sinα cosα
3 3
1 1
3
3 3
增
3
减
发现
特殊锐角的正切、余切关系：
tan30°= cot60° tan45°= cot45° tan60°= cot30°
互为余角的正切、余切关系： tanA= cot (90°-A) cot A= tan (90°-A)
练习 3、若∠A是锐角，且cot(90°-A)=5,
对 a边 b 邻边 C
cot A 0
练习 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA 是方程 5 x2-14 x + 8 = 0 的一个根，求tanA的值。 B
A
C
新授
锐角三角函数 B
c
a sinA= c a tanA= b
A

α
对 a边 b 邻边 C
b cosA= c b cotA= a

小结正切、余切的定义
B
c A
α
对 a边 b 邻边 C
a tanA= b
b cotA= a
小结互为余角的正切、余切关系：
tanA= cot (90°-A) cot A= tan (90°-A)
同角的正弦、余弦关系： tanA ·cotA = 1
sin A tan A cos B
6、若cotα·tan10 ° = tan45°, 则锐角α = 。
7、计算： tan 1° ·tan 2° · … · tan 45° · … · tan88° ·tan89°
反馈
3 8、已知A为锐角，且 cot A 3
那么( )
A 0 A 60 B 60 A 90
C 0 A 30 D 30 A 90

高一数学正切函数和余切函数的图像与性质1(学生版)

（1）；
（2）
例2、求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
变式练习1：讨论函数的性质
变式练习2：的单调区间怎么求？
例3、观察正切曲线写出满足tanx＞0的x的值的范围：
变式练习：方法同上，求出分别满足下列条件的x的值的范围
（1）
（2）
例4、求下列函数的定义域
（1）y＝tan2x
例5、求学下列函数的最小正周期和单调区间
（1）；
（2）
【课堂小练】
1、函数y＝tan（ax＋）（a≠0）的最小正周期为( )
2、以下函数中，不是奇函数的是( )
A y＝sinx＋tanxＢ．y＝xtanx－1Ｃ．y＝Ｄ．y＝lg
3、下列命题中正确的是( )
A．y＝cosx在第二象限是减函数Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数
Ｃ．y＝｜cos（2x＋）｜的周期是Ｄ．y＝sin｜x｜是周期为2π的偶函数
4、函数y＝＋的定义域是( )
A (2k＋1)π≤x≤(2k＋1)π＋，k∈Z
B (2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋，k∈Z
C (2k＋1)π≤x＜(2k＋1)π＋，k∈Z
D (2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋或x＝kπ，k∈Z
5、已知y＝tan2x－2tanx＋3，求它的最小值
6、求适合下列条件的的集合：
6．单调性：在开区间内，函数单调递增
余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：
——即将的图象，向左平移个单位，
再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象
定义域：
值域：R，
当时，当时
周期：
奇偶性：奇函数
单调性：在区间上函数单调递减

正弦、余弦、正切

直角三角形的边角关系—正弦、余弦、正切知识要点1.正弦:在直角三角形中,一个锐角所对的直角边与斜边的比,叫做这个角的正弦. 即:c a A A =∠=斜边的对边sin ； cbB B =∠=斜边的对边sin .2．余弦：在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比，叫做这个角的余弦．即:c b A A =∠=斜边的邻边cos ； caB B =∠=斜边的邻边cos3.正切:在直角三角形中,一个锐角所对的直角边与邻边的比,叫做这个角的正切.即:b a A A A =∠∠=的邻边的对边tan ； abB B B =∠∠=的邻边的对边tan .4．特殊角的正弦，余弦值：=︒0sin 0；=︒30sin 21；=︒45sin 22；=︒60sin 23；=︒90sin 1；=︒0cos 1；=︒30cos 23；=︒45cos 22；=︒60cos 21；=︒90cos 0． =︒0tan 0 ；=︒30tan 33；=︒45tan 1 ；=︒60tan 3；︒90tan 不存在； 5．正、余弦、正切值随锐角大小的变化（即增减性）：正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，正切值随锐角的增大而增大。

6．互余两角的正弦，余弦间的关系：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．()ααcos 90sin =-︒； ()ααsin 90cos =-︒．7．同角的正弦，余弦间的关系：（1）平方和的关系：1cos sin 22=+A A ．（2）大小比较：当︒<<︒450A 时，A A sin cos >．当︒<<︒9045A 时，A A sin cos <.（3）正切、余切与正弦、余弦间的关系：αααcos sin tan =例题讲解例1 根据下列图中给出的ABC Rt ∆的数据，求A sin ，A cos ，B sin ，B cos ，tanA,tanB 的值．BA2 CB3AB例2 已知等腰梯形ABCD 中，上底CD=2cm,下底AB=5cm,腰AD=3cm ，试求A sin ，A cos ,tanA 的值．例3 求下列各式的值．(1)︒+︒-︒60cos 45cos 30sin (2)︒⋅︒-︒30cos 30sin 260sin (3)︒+︒+︒50cos 50sin 45cos 222(4)︒+︒60sin 30cos 22 (5)︒-︒60cos 445cos 2 (6)︒-︒︒60cos 245cos 45sin(7)︒-︒︒+︒30sin 30cos 60sin 60cos (8)()260cos 60sin ︒-︒ (9)︒⋅︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan随堂练习：一、选择题1．在ABC Rt ∆中，︒=∠︒=∠60,90A C ，BC=1，则AB=（） A ．2 B ．2 C ．23 D ．332 2．在ABC Rt ∆中，52sin ,10,90==︒=∠B AB C ，BC 的长是（） A ．212 B ．4 C ．21 D ．5021 3．下列表达式正确的是（）A ．︒=︒+︒90cos 60cos 30cosB ．145cos 45sin =︒⋅︒C ．163cos 27cos 22=︒+︒D ．3360cos 30sin =︒+︒ 4.当锐角︒>∠60A 时,A ∠的余弦值( )A.大于23 B.小于23 C.大小21 D.小于21 5.已知α是锐角,6.0sin =α,则( )A.︒<<300αB.︒<<︒4530αC.︒<<︒6045αD.︒<<︒9060α﹡6．在ABC ∆中，︒=∠90C ，如果43sin =A ，那么=B tan （）A ．43 B.47 C.73 D.37 二、填空1．用“<”号连接︒︒︒44cos ,43cos ,41sin 是 .2.在ABC Rt ∆中,B A C ∠∠︒=∠,,90和C ∠的对边分别是b a ,和c ,已知25=a ,215=b ,则c = ,A ∠= ,B ∠= ．3．在ABC Rt ∆中，33,30,90=︒=∠︒=∠AC A C ，则AB= ．4．在ABC Rt ∆中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8cm ，AC=cm 34，则AD= .5.一梯形，它的两个下底角分别为︒30和︒45，较大的腰长为10cm ，则另一腰长为 cm ，两底之差为 .6.︒︒︒30cos ,45cos ,30sin 的大小关系是 .7．在△ABC 中，若2sin cos 0A B ⎫-+-=⎪⎪⎝⎭，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C= ．8．在△ABC 中，∠C=90o ，若3AC =，则∠A= ，cos B = ． ﹡9.在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,若135cos =A ,则=A tan . 作业一、填空1．式子12sin30cos30-︒︒= 。

三角函数的度数及对应的值

三角函数的度数及对应的值
三角函数的度数指的是一个角度的大小，而对应的值则是该角度下三角函数的数值。

常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。

以下是一些常见角度的度数及对应的值：
角度为0度时，正弦函数的值为0，余弦函数的值为1，正切函数和余割函数的值为0，余切函数的值为无穷大，正割函数的值为1。

角度为30度时，正弦函数的值为0.5，余弦函数的值为√3/2，正切函数的值为1/√3，余割函数的值为2/√3，余切函数的值为√3，正割函数的值为2。

角度为45度时，正弦函数和余弦函数的值都为1/√2，正切函数的值为1，余切函数的值为1，正割函数的值为√2，余割函数的值为√2。

角度为60度时，正弦函数的值为√3/2，余弦函数的值为0.5，正切函数的值为√3，余割函数的值为2/√3，余切函数的值为1/√3，正割函数的值为2。

角度为90度时，正弦函数的值为1，余弦函数的值为0，正切函数的值为无穷大，余割函数的值为1，余切函数的值为0，正割函数的值为无穷大。

这些是一些常见角度的示例，除此之外，还有其他角度的度数及对应的三角函数值，可以通过计算器或数学表格查找。

第8讲：正切与余切(1)

第八讲正切与余切（1）【基础知识精讲】1、正切、余切概念：(1) 在ABC Rt ∆中，A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。

即的邻边的对边A A A ∠∠=t a n（或b a A =tan ）(2) 在ABC Rt ∆中，A ∠的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记作A cot ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot （或a b A =cot ）2．A tan 与A cot 的关系A A cot 1tan =（或AA tan 1cot =， 1cot tan =⋅A A ） 3、特殊角的正弦值与余弦值：3330tan =； 145tan = ； 360tan =； 330cot = ； 145cot = ； 3360cot = ．【例题巧解点拨】例1：在ABC Rt ∆中，C ∠为直角，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为c b a 、、。

3=a ，4=c ，求A tan ，A cot ，B tan ，B cot例2：求下列各式的值：（1）45cot 30tan 330sin 2++；（2）．︒+︒︒︒--︒-︒60tan 45cot 30cot 45tan 160cot 130tan 22b例3：填空：（1）若3tan =A ，则.______=∠A （2）.__________35cot 45tan 35tan =⋅⋅ （3）若1cot 47tan =⋅β ，则锐角._________=β【同步达纲练习】A 组一、选择题：1. ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，则ba叫A ∠的（）A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切2. 在ABC ∆中，33tan =A ，1cot =B ，则ABC ∆为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定 3. 在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，下列关系式中正确的有（）（1）A a b tan ⋅= （2）B b a cot ⋅= （3）B a b tan ⋅= （4）A b a cot ⋅=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．一个直角三角形的两条边长为3、4，则较小锐角的正切值是（）（A ）43 （B ）34 （C ）43或37 （D ）不同于以上 5．计算22)31(45tan 60sin ---⋅，结果正确的是（） A ．49 B ．49- C ．411 D ．411- 二、填空:6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，3=a ，5=c ，则A t a n =_________，A cot =__________ 7．在ABC ∆中，C ∠为直角，已知15=a ，30=∠A ，则b =_______. 8．在_________,1,2tan ,,===∠=∠∆b a B Rt C ABC Rt 则若中9．等腰梯形腰长为6，底角的正切为42，下底长为212，则上底长为，高为。

九年级数学正切和余切

正切和余切【学习目标】1．了解正切、余切概念的意义及正切和余切互为倒数的关系．2．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并会用这些数值计算、化简含有特殊角的三角函数的式子，会根据特殊角的三角函数值说出对应角的度数．3．了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系． 4．会用有关锐角三角函数的知识解决一些求直角三角形中未知元素的问题．【主体知识归纳】1．正切：如图1，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan ．即tanA ＝baA A =∠∠的邻边的对边．2．余切：如图1，∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotB ＝Aa b A A tan 1==∠∠的对边的邻边． 3．锐角三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．4．互余两个锐角的正切值与余切值之间的关系：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值，即tanA ＝cot （90°－A ），cotA ＝tan （90°－A ）． 5．特殊角的正切、余切值【基础知识讲解】1．理解锐角三角函数的意义，必须注意：一个锐角的三角函数值实际上是一个比值，无单位，只是一个数值；当这个锐角取任意一个固定值时，这一比值也是一个固定值．这个值与它所在三角形的大小没有关系．如图2的甲、乙两个直角三角形，大小显然不等，但∠A ＝∠A ′＝30°，tan ＝33，tan ′＝33，也就是说，∠A 的正切值没有因为所在三角形的大小而改变，同样，余切值也没有改变．2．求锐角三角函数的值我们知道，求一个锐角的三角函数值，就是应用相关概念、性质、定理等，求该锐角所在直角三角形某两边的比值．而确定有关比值的方法，在常见的题目中，根据已知条件的不同，一般可分为两类：第一类是已知各边的大小或能够求出各边的大小；第二类是无法求出各边的大小，已知各边间的倍数关系或能够求出各边间的倍数关系．解决第二类问题一般采用辅助元的方法，通过已知条件的转化，用辅助元表示直角三角形的各边，消元后求得．显然，此类问题体现着概念的灵活运用，题目常具有一定的综合性，涉及到初中代数、几何等知识．3．直角三角形中各元素之间的关系：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则 (1)两个锐角的关系——互余，即A ＋B ＝90°； (2)边与边的关系——勾股定理，即a 2＋b 2＝c 2； (3)边与角的关系——锐角三角函数，即 sinA ＝ca＝cosB ， cosA ＝c b ＝sinA ，tanA ＝b a ＝cotB ， cotA ＝ab＝tanB ．【例题精讲】例1：计算：（1）2)60tan 1(︒-–sin60°；（2）22tan 301tan 45cot 301cot 60cot 45tan 60︒-︒︒--︒︒+︒；（3）4sin 30cos 72cos(45)sin18cos 72cos(45)αα︒︒︒++︒+︒︒-–cot(45°＋α)(0°＜α＜45°)；（4）tan 260°–2cos45°＋sin 225°＋sin 265°–3cot 260°．解：（1）原式＝｜1–tan60°｜–sin60°＝｜1–3｜–23＝23–1． (2)原式＝)32(3313193133231311)33(13322+--=+---=+⨯---⨯＝2． (3)原式＝)45cos()45cos(72cos 72cos 72cos 2αα-︒+︒+︒+︒︒–cot(45°＋α) ＝︒︒72cos 272cos 2＋cot(45°＋α)–cot(45°＋α)＝1．(4)原式＝(3)2–2×22＋(sin 225°＋cos 225°)–3×(33)2＝3–2＋1–1＝3–2．说明：（1）三角函数的计算要遵循以下原则：当所给的角是特殊角时，只要把特殊角的三角函数值代入计算即可；当所给的角不是特殊角而又要求不查表时，要注意灵活运用同角的三角函数关系和互为余角的三角函数关系进行化简．(2)本例的第（4）题，用到了“sin 2α＋cos 2α＝1”这个关系式，你不妨证明一下．例2：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边长都扩大3倍，那么∠B 的正切值和余切值( )A ．没有变化B ．都扩大3倍C ．都缩小3倍D ．不能确定剖析：在Rt △ABC 中，各边长都扩大3倍后，三角形是否是直角三角形，若是，则可用三角函数定义；若不是，则不能直接用三角函数定义．由(3a)2＋(3b)2＝9(a 2＋b 2)＝9c 2＝(3c)2．所以三角形还是直角三角函数，故可用三角函数的定义．解法一：∵a 2＋b 2＝c 2，(3a)2＋(3b)2＝9a 2＋9b 2＝9(a 2＋b 2)， ∴(3a)2＋(3b)2＝(3c)2．即各边长扩大3倍后，三角形仍然是直角三角形．由三角函数定义，得 tan ＝b a b a =33，cot ＝aba b =33． ∴∠B 的正切值和余切值不变．故选A ．解法二：∵三角形各边扩大相同的倍数， ∴得到的三角形与原三角形相似． ∴对应角相等．即∠B 的三角函数值不变．例3:在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且已知AC ＝b ，∠A ＝α，那么边BC 的长为( )A ．b ·sin αB ．b ·cos αC ．b ·tan αD ．b ·cot α剖析：在直角三角形中，由三角函数定义知，已知三角函数中三个量的任何两个量，都可以求出另外一个量．解：在Rt △ABC 中，由三角函数定义，得 tan α＝ACBC，∴BC ＝AC ·tan α．即a ＝b ·tan α．故应选C ．说明：由于AC 、∠A 是已知的，所以要求a 的值，就必须用与AC 、与∠A 有关的三角函数来表示．本题主要考查两点，其一是正确理解如何用已知元素表示未知元素；其二是能熟练地用直角三角形两边的比表示一锐角的三角函数．例4:计算：tan 260°＋tan(43°＋α)–cot(47°–α)–tan44°·tan45°·tan46°．剖析：要求上式的值，必须知道各项的值，或者可以把未知项消去．显然本式中的tan60°、tan45°的值都是已知的，tan （43°＋α）、cos(47°–α)、tan44°、tan46°的值都不知道．通过观察分析可知，tan(43°＋α)与cot(47°–α)的值相等，tan44°与tan46°的积等于1．所以上式的值可求．解：原式＝(3)2＋tan(43°＋α)–tan ［90°–(47°–α)］–tan44°·1·cot(90°–46°)＝3＋tan(43°＋α)–tan(43°＋α)–tan44°·cot44° ＝3–1＝2．说明：在遇到非特殊角的三角函数式求值时，要注意灵活运用互为余角三角函数及同角三角函数之间的关系．例5：如图3，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，连结CD ，若tan ∠ECB ＝31，求∠A 的四个三角函数值．解：如图3，取CD 的中点E ，连结BE ． ∵点B 、E 分别为AD 、CD 的中点， ∴B Ｅ∥AC ，且AC ＝2B Ｅ． ∴∠CBE ＝∠ACB ＝90°． ∴tan ∠ECB ＝BCBE ＝31．设BE ＝m （m ＞0），则AC ＝2m ，BC ＝3m ．在Rt △ABC 中，AB ＝1322=+BC AC m ． ∴sinA ＝13133133==m m AB BC ，cosA ＝13132132==mm AB AC ， tanA ＝2323==m m AC BC ，cotA ＝3232==m m BC AC . 说明：(1)为了利用tan ∠ECB ＝31，需构造∠ECB 所在的直角三角形．(2)在求sinA, tanA 的值后，还可用同角的三角函数关系求cosA 、cotA 的值．同角的三角函数有以下几种关系：①平方关系：sin 2A ＋cos 2A ＝1②商式关系：tanA ＝A A cos sin ，cotA ＝A Asin cos ． ③倒数关系：tanA ＝Acot 1，即tanA ·cotA ＝1．例6：已知tan α＝2，求ααcos sin 2cos 3sin +-a a的值．剖析：（1）要求该式子的值，只要求出sin α、cos α的值即可，而已知的是tan α的值，如果通过恒等变形，把式子中的sin α、cos α用tan α表示也可以，显然分子、分母同除以cos α即可．(2)由已知tan α＝2，可知sin α＝2cos α，把该式代入原式也可以求值．解法一：原式＝1tan 23tan cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin +-=+-αααααααααα， ∵tan α＝2，∴原式＝5112232-=+⨯-．解法二：∵tan α＝ααcos sin ＝2， ∴sin α＝2cos α．原式＝51cos 5cos cos cos 22cos 3cos 2--=+⨯-αααααα．说明：在进行三角函数的有关计算时，常利用有关公式进行恒等变形，怎样变形？要根据题目的特点有目的地进行变形．【知识拓展】你知道古埃及是怎样测量金字塔高度的吗？你知道古埃及的金字塔吗?它们是古代埃及国王们的坟墓，那是一些古老雄伟的建筑，也是古埃及劳动人民智慧的结晶．两千六百多年前，埃及有个国王，想要知道已经盖好了的大金字塔的高度，可是谁也不知道怎样测量．人爬到塔顶上去吧，不可能．因为塔身是斜的，就是爬上去了，又用什么方法来测量呢?后来，国王找到了一个名叫法列士的学者来设法解决这个问题，法列士答应了，他选择了一个风和日丽的日子，在国王、祭司们的亲自驾临下，举行了测塔仪式．看热闹的人当然不少，人们拥挤着、议论着．看看时间已经不早了，太阳光给每一个在场的人和巨大的金字塔都投下了长长的影子。

高一数学正切函数和余切函数的图像与性质1(教师版)

学科教师辅导讲义定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且值域：R ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 周期：π=T奇偶性：奇函数单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减【典型例题分析】例1、比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πΘ4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，又：⎪⎭⎫ ⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan 即变式练习：不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小解：∵90°＜135°＜138°＜270°又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数∴tan135°＜tan138°例2、求函数tan(3)3y x π=-的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

解析：令33t x π=-，则由,2t k ππ≠+得5()318k x k Z ππ≠+∈，4、函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈［－4π，4π］的值域为 5、函数y ＝cot x －tan x 的周期为6、函数y ＝xx 22tan 1tan 1+-的周期为 7、作出函数y ＝｜tan x ｜的图象，并观察函数的最小正周期和单调区间8、试证cot x ＝－tan （2π＋x ），并指出通过怎样的图象变换可由y ＝tan x 的图象得到y ＝cot x 的图象9、作出函数y ＝xx 2tan 1tan 2-的图象，并观察函数的周期参考答案： 1C 2B 3C 4［－122,122+-］ 5 2π 6π 7函数y ＝｜tan x ｜的图象如下图：函数y ＝｜tan x ｜的周期为π单调递增区间为［k π，2π＋k π］，k ∈Z 单调递减区间为(－2π＋k π，k π］，k ∈Z8(略)9函数y ＝xx 2tan 1tan 2-的图象如下图：周期为π【课堂总结】本节课我们研究了正切函数和余切函数的图象和性质，并能在解题中应用【课后练习】1、正切函数在其定义域上有最值吗?答：没有，因为正切函数的值域为R 且不等于k π＋2π (k ∈Z )．2、在下列函数中，同时满足的是( )①在(0，2π)上递增；②以2π为周期；③是奇函数 A y ＝tan x B y ＝cos xC y ＝tan 21x D y ＝－tan x 答案：C3、函数y ＝tan(2x ＋4π)的图象被平行直线)(82Z ∈+=k k x ππ隔开，与x 轴交点的坐标是))(0,82(Z ∈-k k ππ与y 轴交点的坐标是(0，1)，周期是2π，定义域的集合是},82|{Z R ∈+≠∈k k x x x ππ且，值域的集合是R ，它是非奇非偶函数4、函数y ＝x sin -＋x tan 的定义域是( )A (2k ＋1)π≤x ≤(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z B (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z C (2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z D (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π或x ＝k π，k ∈Z 解：由⎩⎨⎧≥≤0tan 0sin x x ，得(2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π 答案：C5、已知y ＝tan 2x －2tan x ＋3，求它的最小值解：y ＝(tan x －1)2＋2,当tan x ＝1时，y min ＝2。

正切余切正切和余切

正切余切正切和余切各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢正切和余切第一课时一、教学目标1.使学生了解正切、余切的概念,能够正确地用、表示直角三角形(其中一个锐角为)中两边的比,了解与成倒数关系,熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值,会计算含有这三个非凡锐角的三角函数值的式子,会由一个非凡锐角的三角函数值说出这个角的度数,了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系。

2.逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。

3.培养学生独立思考、勇于创新的精神。

二、学法引导1.教学方法:运用类比法指导学生探索研究新知。

2.学生学法:运用类比法主动探索研究新知。

三、重点、难点、疑点及解决办法1.重点:了解正切、余切的概念,熟记非凡角的正切值和余切值。

2.难点:了解正切和余切的概念。

3.疑点:正切与余切概念的混淆.4.解决办法:通过类比引出概念和性质,再通过大量直接应用,巩固概念和性质。

四、教具预备投影机、投影片(自制)、三角板五、教学步骤(一)明确目标1.什么是锐角的正弦、余弦?(结合下图回答)。

2.填表3.互为余角的正弦值、余弦值有何关系?4.当角度在0°~90°变化时,锐角的正弦值、余弦值有何变化规律?5.我们已经把握一个锐角的正弦(余弦)是指直角三角形中该锐角的对边(邻边)与斜边的比值,那么直角三角形中,两直角边的比值与锐角的关系如何呢?在锐角三角函数中,除正、余弦外,还有其他一些三角函数,本节课我们学习正切和余切。

(二)整体感知正切、余切的概念,也是本间的重点和关键,是全章知识的基础,对学生今后的学习或工作都十分重要,教材在继第一节正弦和余弦后,又以同样的顺序安排第二节正切余切,像这样,把概论、计算和应用分成两块,每块自与一个整体小循环,第二循环又包含了第一循环的内容,可以有效地克服难点,同时也使学生通过对比,便于把握锐角三角函数的有关知识。

正弦、余弦和正切

正弦、余弦和正切直⾓三⾓形正弦、余弦和正切是⾥的主要函数，它们是基于⼀个⽽建⽴的。

在探索这些函数之前，我们先给三⾓形的每条边⼀个名字："对边" 是在⾓θ的对⾯"邻边" 是在⾓θ的旁边"斜边" 是长的⼀边邻边是在⾓的旁边对边是在⾓的对⾯正弦、余弦和正切正弦（sine）, 余弦（cosine）和正切（tangent）（英语符号简写为 sin, cos 和 tan) 是直⾓三⾓形边长的⽐：对⼀个特定的⾓θ来说，不论三⾓形的⼤⼩，这三个⽐是不变的计算⽅法：⽤⼀条边的长度除以另⼀条边的长度例⼦： 35°的正弦是多少？⽤这三⾓形来算（长度精确到⼀位⼩数）：sin(35°)= 对边 / 斜边= 2.8 / 4.9= 0.57...cos(35°)= 邻边 / 斜边= 4.0 / 4.9= 0.82……tan(35°)= 对边 / 邻边= 2.8 / 4.0= 0.70……好的计算器都会有 sin, cos 和 tan 的键，⽅便计算。

你只需输⼊⾓度然后按键。

可是你还是要记得它们的意思！⽤图来显⽰：在这⾥练习Sohcahtoa怎样去记住？想想，⽤这个怪怪的英⽂单词 "Sohcahtoa"！像这样：Soh...Sine = Opposite （对边） / Hypotenuse（斜边）...cah...Cosine = Adjacent （邻边）/ Hypotenuse （斜边）...toa Tangent = Opposite （对边）/ Adjacent （邻边）去这页了解更多。

记住它，考试时会有⽤！试试看！试试看！移动⿏标，不同的⾓（以或为单位）对正弦、余弦和正切的影响。

在这个动画⾥，斜边是 1，圆形是。

请注意邻边和对边可以是负值，导致正弦、余弦和正切的值也可正可负。

例⼦例⼦： 30° 的正弦、余弦和正切是什么？传统的 30° 三⾓形的斜边为 2、对边为 1 和邻边为 √3:30 degree triangle知道边长，便可以计算函数的值：正弦sin(30°) = 1 / 2 = 0.5余弦cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866...正切tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577...（⽤计算器来检查答案！）例⼦： 45° 的正弦、余弦和正切是什么？传统的 45° 三⾓形有两条边长为 1，斜边为 √2:45 度三⾓形正弦sin(45°) = 1 / 1.414 = 0.707...余弦cos(45°) = 1 / 1.414 = 0.707...正切tan(45°) = 1 / 1 = 1为什么？为什么这些函数重要？因为当我们知道边长时，我们可以⽤它们来计算⾓度同时，当我们知道⾓度时，我们也可以⽤它们来计算边长三⾓例⼦例⼦：⽤正弦函数来计算 "d"我们知道：电缆与海底成 39° 的⾓电缆长度为 30 ⽶。

正切和余切(一)

正切和余切（一）教学目的一（知识）使学生了解正切、余切的概念，能够正确的用tanA 、cotA 表示直角三角形（其中一个锐角为∠A ）中两边的比，了解tanA 与cotA 成倒数关系，熟记30º、45º、60º角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出各角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系二（能力）逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力.三（德育）培养学生独立思考、勇于创新的精神重点难点重点是了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值；难点是了解正切和余切的概念.教学手段投影仪教学过程（一）明确目标1．什么是锐角∠A 的正弦、余弦？（结合图6-5回答）C B3.互为余角的正弦值、余弦值有何关系？4．当角度在0º~90º变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值，那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其它一些三角函数，本节课我们学习正切和余切.因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口1．引入正切、余切概念①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？（图6-9）述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切.”②给出正切、余切概念如图6-5，在Rt ⊿ABC 中，把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA . 即 tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边并把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA .即 cotA=∠A 的邻边/∠A 的对边2.tanA 与cotA 的关系请学生观察tanA 与cotA 的表达式，得结论tanA ×cotA=1(或cotA=1/tanA,tanA=1/cotA). 这个关系式极重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与tanA=cot(90º-A)区别开.3．锐角三角函数由上图，sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=b a ,cotA=ab ,把锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数.锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目.问：锐角三角函数能否为负数？学生回答这个问题很容易.请同学观察2块三角板可知30º、45º、60º角的正切、余切值.tan30º=30º角的对边/30º角的邻边==31=33 tan45º=45º角的对边/45º角的邻边=11=1 tan60º=60º角的对边/60º角的邻边=13=3 cot30º=030tan 1=13=3 cot45º=054tan 1=1; cot60º=006tan 1=31=33 5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系.结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值.即 tgA=ctg(90º-A),ctgA=tg(90º-A).4．特殊角的三角函数练习：1）请学生回答tan45º与cot45º得值各是多少？tan60º与cot30º？tan30º与cot60º呢? tan60º与cot60º有何关系?为什么？tan30º与cot30º呢?2）把下列正切或余切改写成余角的余切或正切：(1)tan52º;(2)tan 36º20’;(3)t an 75º17’;(4)c ot19º;(5)cot 24º48’;(6)c ot 15º23’.6.例题例1 求下列各式的值：(1)2sin30º+3tan30º+cot45º;(2)cos²45º+tan60ºcos30º.解：(1)2sin30º+3tan30º+cot45º=2×21+3×33+1 =2+3；(2)cos²45º+tan60ºcos30º=（22）²+3×23 =21+23 =2.练习：求下列各式的值：(1) sin30º-3tan30º+2cos30º+cot90º;(2)2cos30º+tan60º-6cot60º;(3)5cot30º-2cos60º+2sin60º+tan30º;(4)cos²45º+sin²45º;(5)(sin60º-cot45º)/(tan60º-2tan45º).学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力(四)总结扩展请学生小结：本节课了解了正切、余切的概念及tanA与cotA的关系.知道特殊角的正切、余切值及互为余角的正切值与余切值的关系.本节课用到了数形结合的数学思想.。

正切函数与余切函数的像与性质

正切函数与余切函数的像与性质正切函数和余切函数是在三角函数中常见的两种函数，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。

本文将探讨正切函数和余切函数的像与性质，帮助读者更好地理解和应用这两个函数。

一、正切函数的像与性质正切函数是指在数学中用tan表示的函数，其定义域为全体实数除去所有使得tanθ不存在的θ（例如，θ=π/2+kπ，其中k为整数）。

考虑正切函数的特性，它的值域为全体实数。

在平面直角坐标系中，正切函数可以用直线y=tanθ表示，其中θ为直线与x轴的夹角。

从几何的角度来看，当θ接近零时，tanθ接近零；当θ接近π/2时，tanθ趋近于正无穷；当θ接近π时，tanθ趋近于零；当θ接近3π/2时，tanθ趋近于负无穷。

这表明正切函数具有周期性和渐进性的特点。

除此之外，正切函数还满足一些重要的性质，如对称性、奇偶性和有界性。

具体地说，正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ；在定义域内范围为(-π/2,π/2)的区间上，它关于y轴对称。

此外，对于正切函数的有界性，我们可以发现当θ接近π/2或-π/2时，tanθ的绝对值会趋近于无穷大。

因此，正切函数在这两个端点是不连续的，这是我们需要注意的重要性质。

二、余切函数的像与性质余切函数是指在数学中用cot表示的函数，其定义域为全体实数除去所有使得cotθ不存在的θ（例如，θ=kπ，其中k为整数）。

与正切函数类似，余切函数的值域也为全体实数。

在几何上，余切函数可以用直线y=cotθ表示，其中θ为直线与x轴的夹角。

从几何的角度看，当θ接近零时，cotθ趋近于正无穷；当θ接近π/2或-π/2时，cotθ接近零；当θ接近π时，cotθ趋近于负无穷；当θ接近3π/2时，cotθ趋近于零。

与正切函数相似，余切函数也具有周期性和渐进性的特点。

与正切函数类似，余切函数也具有对称性和奇偶性。

具体地说，余切函数是奇函数，即cot(-θ)=-cotθ；在定义域内范围为(0,π)的区间上，它关于x轴对称。