结构力学——力法对称性的利用
力法的计算步骤和举例七对称性的利用教学内容模块三结构力学基本
三、 力法的基本方程
用图乘法计算这些位移
11
M 1 M 1 dx
1 l 2 2l
l3
EI
EI 2 3 3EI
Βιβλιοθήκη Baidu 1P
M1M P EI
dx
1 EI
1 3
l
ql 2 2
3l 4
ql 4 8EI
因此可解出多余力X1
X1
1P
11
七、对称性的利用
其中x1和x2为对称未知力；x3为反对称的
未知力，显然 M1, M 2 图是对称图形； M 3是反对称图形。
由图形相乘可知：
13 31
M 1 M 3ds 0 EI
23 32
M 2 M 3ds 0 EI
七、对称性的利用
故力法典型方程简化为
11x1 12 x2 1P 0
21x1 22 x2 2P 0 33 x3 3P 0
由此可知，力法典型方程将分成两组：
一组只包含对称的未知力，即x1, x2； 另一组只包含反对称的未知力x3。
因此，解方程组的工作得到简化。
七、对称性的利用
非对称的外荷载可分解为对称的和反对称 的两种情况的叠加 （如图 f.a.b）
结构力学-力法中对称性的利用
可知副系数 13 =31=0, 23 =32 =0 于是方程可以简
化为
11X1 12 X 2 1P 0
21X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
如果作用在结构上的荷载也是对称的(图8-19a)则Mp图也 是对称的(图8-19b),于是3P=0。由典型方程的第三式可知 X3=0，因此最后弯矩图为M=M1X1+M2X2+Mp，它也将是 对称的，其形状如图8-19c所示。此时结构的所有反力，内 力及位移（图8-19a中的虚线）都将是正对称的。
是这样的例子。为了使副系数为零，可以采取未知力分组
的方法。
AP
BP
（a）
X1
X2 X1
Βιβλιοθήκη Baidu（b） 基本体系
（c）
（d）
X2
这就是将原有在对称们置上的两个多个未知力X1和X2分 解为新的两组未知力：一组为两个成正对称的未知力Y1， 另一驵为两个成反对称 的未知力Y2（图8-23a）。新的未 知力与原未知力之间具有如下关系：
P
q
P/2 q/2 P/2
P/2
+ q/2
q/2 P/2
图8-24
转到下一节
+ 1P=0 22Y2+ 2P=0
当对称结构承爱一般非对称荷载时，我们还可以将荷
结构力学-力法-对称性应用-去一半计算
于是得：
X1=- 1P/11=PR/
最后弯矩为：M=M1X1+MP=PR/-Prsin=PR(1/-sin/2)
3pa/88 C
p
§8-7 超静定结构的位移计算
1
B
k
6a/44
I1
8a/44
15pa/88
2I1
A
M图(a)
3a/44
MK图(b)
若取©中的基本结构则:
a/2
C
A
1 B
K
MK图(c)
转到下一节
例8-5 试计算如图示圆环的内力。EI=常数。 P
R
o
取1/4
基本体系
P 解：这是一个三次超静定。有两个对称轴，故取四分之一结构，
则为一次超静定。
M1 =1，
Mp=-PRsin/2
X1=1
P
R
o M1图
R
PR/2
o
Mp图
PR(-2)/2
PR/
P M图
如图示，则系数和自由项为：
11=M12ds/EI=1/EI0/2Rd=R/2EI 1P=M1Mpds/EI=1/EI/2(-PRsin)rd=-PR2/2EI
M图(a)
1
C
K
B
a/4
A
MK图(d)
若取(d)的基本结构则有：
结构力学对称性应用
对称性应用
在工程问题中，有很多结构都具有对称性。我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。如下图所示：
对称性在求解结构内力中的应用：
对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。2、将未知力及荷载分组。3、取半结构进行计算。对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。选取半结构的
原则:
1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处
结构力学对称性应用
对称性应用
在工程问题中，有很多结构都具有对称性。我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。如下图所示：
对称性在求解结构内力中的应用：
对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。2、将未知力及荷载分组。3、取半结构进行计算。对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。
反对称正对称
在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。选取半结构的原则：
1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处
对称性在结构力学中的应用
对称性在结构力学中的应用
土木工程系土木5班徐亚飞20080420529 在工程实际中，有很多结构具有对称性，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。现在业已学完了结构力学，现就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
所谓结构的对称性，需要满足以下两个方面的要求：（1）结构的几何形状和支撑情况对某一轴线对称；（2）杆件截面和材料的性质也对此轴对称。结构上力的对称性有正对称和反对称两种类型，非对称的力都可以化为正对称力与反对称力的叠加。
一、对称性在求解结构内力中的应用
因为对称结构在对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
二、对称性在体系自由振动中的应用
我们知道，结构的频率、主振型及主振型的正交性是结构本身的固有特性，与外界因素无关。只要结构本身和质量分布都是对称的，其振型或为正对称，或为反对称，因此，我们可以选取半边结构计算
其相应的自振频率。但其只能应用于两个自由度的振动体系，且自振频率小的为第一振型，较大的为第二振型。运用对称性求解结构的自振频率，避免了求解复杂的频率方程，使得计算大大简化。
三、对称性在结构稳定性分析中的应用
结构力学对称性应用
对称性应用
在工程问题中，有很多结构都具有对称性。我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。如下图所示：
对称性在求解结构内力中的应用：
对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。2、将未知力及荷载分组。3、取半结构进行计算。对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。
反对称正对称
在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。选取半结构的原则：
1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处
结构力学_力法(二)对称性的利用
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆 EI C
。
【解】利用对称性简化为一次超静定。
11 X1 1 p 0
11
144 1800 , 1 p EI EI
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
【练习】利用对称性选择半结构。
P P A B EI=c
u A 0, A 0 u B 0, B 0 v A vB 0
P A B EI=c
P
u A 0, A 0 u B 0, B 0 v A vB 0
P2
P4
EI
EI
P4 P4
EI
EI EI 反对称
P4 P4
EI EI
P4
EI EI
对称 无弯矩
X1
基本结构
又看到您了！
X1 1
l M 1 2
Strucural Analysis
P4
Pl 4
11 X1 1 p 0
Mp
7l 3 Pl3 11 , 1 p 24EI 16EI
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
浅谈对称性在结构力学中的应用
所谓对称结构是指几何形状和支承 对某一对称轴对称．且杆件截面和 材料性质也对此轴对称。利用结构 的对称性可使计算得到简化，这是 因为对称结构具有如下特点：在正 对称荷载作用下，内力和变形是正 对称的；在反对称荷载作用下，内 力和变形是反对称的，如下图所示：
对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内 力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反 对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称 荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力） 和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力） 是正对称的。因此，只要我们做出半边结构 的内力图，也就知道了整个结构的内力图。 据此，我们在对对称结构进行内力分析时， 就可以取半边结构进行分析。取半边结构进 行分析，可以减少超静定次数，减少基本未 知量，为解题提供了很大的方便。
结构力学学习心得体会
浅Байду номын сангаас对称性在结构力学中的 应用
姓名 学号
在工程实际问题中，有很多结构都具有 对称性。我们对这些结构进行受力分析 的时候，常常将结构简化为杆系模型， 而结构力学研究的就是结构的杆系模型， 因此对称性在结构力学中有着广泛的应 用。特别是在求解超静定结构问题中， 无论力法还是位移法，都是繁杂的。但 对于对称结构，利用结构的对称性，可 使结构内力计算大为简化。现在本文章 就对称性在结构力学中的应用做一简单 的总结。
奇数跨对称结构
偶数跨对称结构
结构力学第8章 6
7
荷载 正对称 反对称
8
基本未知量数目
位移法 3 6
力法 6 3
例1
利用对称性简化图 a 所示的对称结构，取出最简的 计算简图、基本体系，并作出M 图。
9
5EI r11 3
R1P 30kN m
90 Z1 5EI
10
例2
利用对称性简化图 a所示的对称结构，取出最简的计 算简图、基本体系，并作出M图。
8-6 对称性的利用
对称结构的内力与变形特点:
对称结构在对称荷载作用下产生对称的内力与变形； 对称结构在反对称荷载作用下产生反对称的内力与 变形。
半结构的选取原则:
利用结构对称性取半结构(或四分之一结构)进行 计算时,其半结构分开处的约束支撑是根据其变形条 件来确定的。
1
1.奇数跨对称结构
（1）对称荷载（图a）
232 .7 Z1 EI
660 .4 Z2 EI
由叠加法 M M1Z1 M 2 Z 2 M P可绘出最后弯矩图。
25
绘出基本结构的 M 1 、M 2 、MP 图。
6 EI r11 10
M1图
23
r22
M 2图
6 EI r12 r21 100
12 EI 12 EI EI 112 EI r22 k 3 1000 10 1000 10
对称性在结构力学中的应用
对称性在结构力学中的应用
一、对称结构
对称结构是几何形状、支承和刚度都关于某轴对称的结构
二、荷载的对称性
对称荷载是指绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点、值相等、方向相同。所以，在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直反向布置的荷载、与对称轴平行同向布置的荷载、与对称轴重合的荷载都是对称荷载。
反对称荷载是指绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点、值相等、方向相反。所以，在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置的荷载、与对称轴平行反向布置的荷载、位于对称轴上的集中力偶都是反对称荷载。
三、重要结论
对称结构在对称荷载作用下：
1)对称结构在对称荷载作用下，内力、反力和变形都成对称分布，弯矩图和轴力图是
对称的，剪力图是反对称的；
2)对称轴上的剪力为零；与对称轴重合的杆弯矩、剪力为零；
3)对称轴上的截面不能沿垂直对称轴的方向移动，也不能转动。
对称结构在反对称荷载作用下：
1)对称结构在反对称荷载作用下，内力、反力和变形都成反对称分布，弯矩图和轴
力图是反对称的，剪力图是对称的；
2)对称轴上的弯矩、剪力为零；与对称轴重合的杆轴力为零；
3)对称轴上的截面不能沿对称轴方向移动。
q
P
N
N F 对称 反对称
N
N F 对称
四、对称性在桁架结构中的利用
1) 对称结构在对称荷载作用下，对称轴上的K 形结点无外力作用时，两斜杆为零杆。
2) 对称结构在反对称荷载作用下，与对称轴重合的杆轴力为零。 3) 对称结构在反对称荷载作用下，与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零。
五、对称性在超静定结构的应用——半结构的选取 例题
结构力学中对称性利用
在对称轴的截面或位于对称轴的节点处 按原结构的静力和位移条件设置相应的支
撑，使半结构与原结构的内力和变形完全 等效
16
精选ppt
利用对称性判定零杆
4
精选ppt
5
精选ppt
6
精选ppt
超静定结构的对称性利用
在力法计算超静定结构时，结构的超静定次数愈 高，计算工作量也愈大，而其中大量工作是用于 系数和自由项的计算，由于副系数及自由项可能 为正也可能为负或零，因此在选取基本结构时， 就应选择能使尽可能多的副系数及自由项为零的 静定结构作为基本结构(其中副系数可以全部为零， 但自由项决不会全部为零)，以达到简化计算的目 的。
主讲人：
1
精选ppt
静定对称结构
静定结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对 称于某一几何轴线。
特点：对称荷载作用下，结构内力呈对称分布 反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布
2
精选ppt
静定对称结构
3
精选ppt
静定对称结构
对称桁架的受力特征
当对称桁架承受对称荷载时，轴力呈对称分布 当对称桁架承受反对称荷载时，轴力呈反对称分布
工程结构中有很多结构是对称的，利用其对称性 可简化计算。
7
精选ppt
结构力学对称性应用
对称性应用
在工程问题中，有很多结构都具有对称性。我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。如下图所示：
对称性在求解结构内力中的应用：
对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。2、将未知力及荷载分组。3、取半结构进行计算。对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。
反对称正对称
在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。选取半结构的原则：
1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处
结构力学学习心得体会-浅谈对称性在结构力学中的应用
结构力学学习心得体会
浅谈对称性在结构力学中的应用 摘要：在工程实际问题中,有很多结构都具有对称性。我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。特别是在求解超静定结构问题中,无论力法还是位移法,都是繁杂的.但对于对称结构，利用结构的对称性，可使结构内力计算大为简化.现在本文章就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
关键词:结构力学;对称性；内力;变形
1.引言
所谓对称结构是指几何形状和支承对某一对称轴对称．且杆件截面和材料性质也对此轴对称。利用结构的对称性可使计算得到简化，这是因为对称结构具有如下特点：在正对称荷载作用下，内力和变形是正对称的;在反对称荷载作用下，内力和变形是反对称的，如下图所示：
2.对称性在求解结构内力中的应用
对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移
是正对称的,其反对称的内力（剪力）是反对称的;在反对称荷载作用下，
其对称的内力（弯矩和轴力)和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力)是正对称的。因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结正 对 称 反 对 称
构进行分析。取半边结构进行分析,可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。简化步骤如下:①选取对称的基本结构。②将未知力及荷载分组。③取半结构进行计算。对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组,并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。选取半结构的原则:
朱明zhubob结构力学6-5_1对称性的利用
3P
M 3 MP ds 0 EI
X3 0
11
⑵ 反对称荷载作用时： 1
1
1P
M 1MP ds 0 EI
2P
M 2 MP ds 0 EI
X1 0 X2 0
授人以鱼不如授人以渔
朱明工作室 zhubob
21cn.com
X3
力法方程简化为：
授人以鱼不如授人以渔
力法方程简化为：
11 X1 12 X 2 21 X1 22 X 2
1P 2P
00
33 X 3 3P 0
归纳
X1
X2
X2
朱明工作室 zhubob
21cn.com
X3
⑴ 选用对称的基本结构，选用对称力或反对称力 作为基本未知量。
1P 2P
0 0
864 X1 216 X 2 216 X1 720 X
10080kN 2 1440kN
0 0
支座反力可按叠加原理求得：
Y2=1
X1 Y1 Y2 , X 2 Y1 Y2
授人以鱼不如授人以渔
Y1=1
M1 图
Y2=1 M2 图
例6-7 求图示刚架的弯矩图。
解：⑴ 确定超静定次数。 ⑵ 选取基本结构。
结构力学第20次课 结构的对称性 2012- 5-17
结构力学第20次课 力法6-5 位移法7-6结构的对称性 foxscarlet
1
2012-5-17 《结构力学》第20次课 第6章力法6-5P225与第7章位移法7-6P302内容
6-5 7-6 对称性利用
1 对称性
（1）结构的对称性：对称结构是指几何形状、支座情况、刚度都关于某轴对称。
（2）荷载的对称性： 对称荷载 反对称荷载 任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载两部分。 2 取对称的基本体系计算： 不论在何种外因作用下，对称结构应考虑采用对称的基本体系计算。 沿对称轴将梁切开，三对多余未知力中，弯矩X 1和轴力X 2是 未知力，剪力X 3是 未知力。 对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是对称的；反对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是反对称的。 如果荷载对称，M P 对称，Δ3P =0，X 3=0， 未知力为零；
如果荷载反对称，M P 反对称，Δ1P =0， Δ2P =0， X 1= X 2 =0， 未知力为零。 3 取等代结构计算
对称结构的变形特点，针对切开对称轴处是刚结点。注意，如果对称轴上是铰结点有所不同。 （1）对称结构在对称荷载作用下位于对称轴上的截面，水平位移和转角为零，只有竖向位移。 （2）对称结构在反对称荷载作用下位于对称轴上的截面，竖向位移为零，水平位移和转角不为零。 ① 奇数跨（无中柱）对称结构在对称荷载作用下的等代结构 §7-6 对称结构的计算
奇数跨刚架受对称荷载
A. 奇数跨结构（无中柱对称结构）F P
F P
(1) 对称荷载F P
半边结构
对称轴截面内力
结构与荷载
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5.8 对称性的利用
1. 结构对称性的概念
（1）对称结构：几何尺寸、支承情况、刚度分布对称的结构。
几何对称 支承对称 刚度对称
（2）荷载的对称性
正对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等,方向和 作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等，作用点 对称，方向反对称的荷载。
A
内力
A
位移
A
正对称
反对称
反对称
2. 对称性利用之选择对称基本结构
X2 2FP 2FP
X3 X3 X2
X1 X1
选取对称基本结构的正对称基本未知量和反对称 基本未知量
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 3P 31 1 32 2 33 3
3 56
4 56
8 56
8 56
8 56
4 56
M图(FPa)
例:用力法计算图示结构。EI＝常数。
q X1 基本体系 q ql
1
【解】 1 基本体系 2 力法方程
11 X 1 1P 0
q
l
M 1图
3 求系数，解方程
11 l EI
ql2/8
1 P ql 3 12 EI
X 1 ql 2 12
q
【解】 1 基本体系
2a
2 力法方程
半边结构
11 X 1 1P 0
3 求系数和自由项，解方程 a3 qa 4 11 1P 3EI 8EI
3qa X1 8
a
a
X1＝1
qa2 8
M 1图
qa2/2
M图
M P图
4 M M1 X 1 M P
例:用力法计算图示结构。
反对称荷载作用下:
X3 X3 X2 FP FP FP X1 X1 X2 FP
Δ2 P 0 X2 0
Δ3P 0
X3 0
X2 1 X1 1
X3 1
FP
FP
对称结构在反 对称荷载作用 下，对称未知 量为零。其结 构的内力和变 形是反对称的。
三. 取半个结构计算
要使半结构能等效代替原结构的受力 和变形状态。关键在于被截开处应按原结 构上的位移条件及相应的静力条件设置相 应合适的支撑。
1.奇数跨对称刚架
① 正对称荷载作用下的半刚架
q
C
q
C
q
C
q
C
②反对称荷载作用下的半刚架
P
C
P
P
C
P
C
P
P
C
2.偶数跨对称刚架
① 正对称荷载作用下的半刚架
P
C
P
P
C
P
C
P
P
C
P
C
② 反对称荷载作用下的半刚架
FP
FP
FP
FP
FP
A EI
EI 2
EI 2
EI 2
例:用力法计算图示结构。EI＝常数。
1/4结构 ql2/8
M P图
4 M M1 X 1 M P
q
ql2/12 ql
ql2/12
q
q
ql2/12 l M图
ql2/12
合理利用对称性的关键在于：
保证计算模型的受力特性、变形情况与 原结构完全一致。
FP
FP 2
EI
FP 4
a
EI EI
EI
EI
EI
2 EI
2 EI
2 EI EI
2 EI
EI
EI
EI
a
a
a
a
6 56
FP 8
3 56
4 56 4 56
3 56
+
3 56
4 56 4 56
3 56
=
8 56
FP
a
EI EI
EI
EI
EI
2 EI
2 EI
2 EI EI
a
3 56
a
6 56
a
6 56
a
3 56
3. 对称性利用之荷载分组
FP FP
2FP
＝
FP
+
FP
只要结构是对称的， 对称性的利用就成为 可能！
正对称荷载作用下:
X3 X3 X2 FP FP FP X1 X1 X2
Δ1P 0
FP
X1 0
X2 1 X1 1
X3 1
FP
FP
对称结构在正 对称荷载作用 下，反对称未 知量为零。其 结构的内力和 变形是对称的。
P P
P
P
对称荷载
反对称荷载
（3）对称结构在正对称、反对称荷载作用下的内力和变形
q P P
基本受力特点： 正对称荷载作用下，结构的内力和变形都是正对称的； 反对称荷载作用下，结构的内力和变形都是反对称的。
（4）特殊截面 —— 对称轴通过的截面
A
FQ M
FN
Fra Baidu bibliotek
Ｍ、FＮ称为正对称内力
FＱ称为反对称内力
X3 1
X2 1 X1 1
M1
M2
M3
12 21 0
11 X 1 Δ1P 0 22 X 2 23 X 3 Δ2 P 0 X X Δ 0 33 3 3P 32 2
13 31 0
基本方程分为两组： 一组只含反对称未知量 一组只含正对称未知量