结构力学——力法对称性的利用
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第五章 力 法
5.8 对称性的利用
1. 结构对称性的概念
（1）对称结构：几何尺寸、支承情况、刚度分布对称的结构。
几何对称 支承对称 刚度对称
（2）荷载的对称性
正对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等,方向和 作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等，作用点 对称，方向反对称的荷载。
A
内力
A
位移
A
正对称
反对称
反对称
2. 对称性利用之选择对称基本结构
X2 2FP 2FP
X3 X3 X2
X1 X1
选取对称基本结构的正对称基本未知量和反对称 基本未知量
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 3P 31 1 32 2 33 3
3 56
4 56
8 56
8 56
8 56
4 56
M图(FPa)
例:用力法计算图示结构。EI＝常数。
q X1 基本体系 q ql
1
【解】 1 基本体系 2 力法方程
11 X 1 1P 0
q
l
M 1图
3 求系数，解方程
11 l EI
ql2/8
1 P ql 3 12 EI
X 1 ql 2 12
q
【解】 1 基本体系
2a
2 力法方程
半边结构
11 X 1 1P 0
3 求系数和自由项，解方程 a3 qa 4 11 1P 3EI 8EI
3qa X1 8
a
a
X1＝1
qa2 8
M 1图
qa2/2
M图
M P图
4 M M1 X 1 M P
例:用力法计算图示结构。
反对称荷载作用下:
X3 X3 X2 FP FP FP X1 X1 X2 FP
Δ2 P 0 X2 0
Δ3P 0
X3 0
X2 1 X1 1
X3 1
FP
FP
对称结构在反 对称荷载作用 下，对称未知 量为零。其结 构的内力和变 形是反对称的。
三. 取半个结构计算
要使半结构能等效代替原结构的受力 和变形状态。关键在于被截开处应按原结 构上的位移条件及相应的静力条件设置相 应合适的支撑。
1.奇数跨对称刚架
① 正对称荷载作用下的半刚架
q
C
q
C
q
C
q
C
②反对称荷载作用下的半刚架
P
C
P
P
C
P
C
P
P
C
2.偶数跨对称刚架
① 正对称荷载作用下的半刚架
P
C
P
P
C
P
C
P
P
C
P
C
② 反对称荷载作用下的半刚架
FP
FP
FP
FP
FP
A EI
EI 2
EI 2
EI 2
例:用力法计算图示结构。EI＝常数。
1/4结构 ql2/8
M P图
4 M M1 X 1 M P
q
ql2/12 ql
ql2/12
q
q
ql2/12 l M图
ql2/12
合理利用对称性的关键在于：
保证计算模型的受力特性、变形情况与 原结构完全一致。
FP
FP 2
EI
FP 4
a
EI EI
EI
EI
EI
2 EI
2 EI
2 EI EI
2 EI
EI
EI
EI
a
a
a
a
6 56
FP 8
3 56
4 56 4 56
3 56
+
3 56
4 56 4 56
3 56
=
8 56
FP
a
EI EI
EI
EI
EI
2 EI
2 EI
2 EI EI
a
3 56
a
6 56
a
6 56
a
3 56
3. 对称性利用之荷载分组
FP FP
2FP
＝
FP
+
FP
只要结构是对称的， 对称性的利用就成为 可能！
正对称荷载作用下:
X3 X3 X2 FP FP FP X1 X1 X2
Δ1P 0
FP
X1 0
X2 1 X1 1
X3 1
FP
FP
对称结构在正 对称荷载作用 下，反对称未 知量为零。其 结构的内力和 变形是对称的。
P P
P
P
对称荷载
反对称荷载
（3）对称结构在正对称、反对称荷载作用下的内力和变形
q P P
基本受力特点： 正对称荷载作用下，结构的内力和变形都是正对称的； 反对称荷载作用下，结构的内力和变形都是反对称的。
（4）特殊截面 —— 对称轴通过的截面
A
FQ M
FN
Fra Baidu bibliotek
Ｍ、FＮ称为正对称内力
FＱ称为反对称内力
X3 1
X2 1 X1 1
M1
M2
M3
12 21 0
11 X 1 Δ1P 0 22 X 2 23 X 3 Δ2 P 0 X X Δ 0 33 3 3P 32 2
13 31 0
基本方程分为两组： 一组只含反对称未知量 一组只含正对称未知量
5.8 对称性的利用
1. 结构对称性的概念
（1）对称结构：几何尺寸、支承情况、刚度分布对称的结构。
几何对称 支承对称 刚度对称
（2）荷载的对称性
正对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等,方向和 作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等，作用点 对称，方向反对称的荷载。
A
内力
A
位移
A
正对称
反对称
反对称
2. 对称性利用之选择对称基本结构
X2 2FP 2FP
X3 X3 X2
X1 X1
选取对称基本结构的正对称基本未知量和反对称 基本未知量
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 3P 31 1 32 2 33 3
3 56
4 56
8 56
8 56
8 56
4 56
M图(FPa)
例:用力法计算图示结构。EI＝常数。
q X1 基本体系 q ql
1
【解】 1 基本体系 2 力法方程
11 X 1 1P 0
q
l
M 1图
3 求系数，解方程
11 l EI
ql2/8
1 P ql 3 12 EI
X 1 ql 2 12
q
【解】 1 基本体系
2a
2 力法方程
半边结构
11 X 1 1P 0
3 求系数和自由项，解方程 a3 qa 4 11 1P 3EI 8EI
3qa X1 8
a
a
X1＝1
qa2 8
M 1图
qa2/2
M图
M P图
4 M M1 X 1 M P
例:用力法计算图示结构。
反对称荷载作用下:
X3 X3 X2 FP FP FP X1 X1 X2 FP
Δ2 P 0 X2 0
Δ3P 0
X3 0
X2 1 X1 1
X3 1
FP
FP
对称结构在反 对称荷载作用 下，对称未知 量为零。其结 构的内力和变 形是反对称的。
三. 取半个结构计算
要使半结构能等效代替原结构的受力 和变形状态。关键在于被截开处应按原结 构上的位移条件及相应的静力条件设置相 应合适的支撑。
1.奇数跨对称刚架
① 正对称荷载作用下的半刚架
q
C
q
C
q
C
q
C
②反对称荷载作用下的半刚架
P
C
P
P
C
P
C
P
P
C
2.偶数跨对称刚架
① 正对称荷载作用下的半刚架
P
C
P
P
C
P
C
P
P
C
P
C
② 反对称荷载作用下的半刚架
FP
FP
FP
FP
FP
A EI
EI 2
EI 2
EI 2
例:用力法计算图示结构。EI＝常数。
1/4结构 ql2/8
M P图
4 M M1 X 1 M P
q
ql2/12 ql
ql2/12
q
q
ql2/12 l M图
ql2/12
合理利用对称性的关键在于：
保证计算模型的受力特性、变形情况与 原结构完全一致。
FP
FP 2
EI
FP 4
a
EI EI
EI
EI
EI
2 EI
2 EI
2 EI EI
2 EI
EI
EI
EI
a
a
a
a
6 56
FP 8
3 56
4 56 4 56
3 56
+
3 56
4 56 4 56
3 56
=
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FP
a
EI EI
EI
EI
EI
2 EI
2 EI
2 EI EI
a
3 56
a
6 56
a
6 56
a
3 56
3. 对称性利用之荷载分组
FP FP
2FP
＝
FP
+
FP
只要结构是对称的， 对称性的利用就成为 可能！
正对称荷载作用下:
X3 X3 X2 FP FP FP X1 X1 X2
Δ1P 0
FP
X1 0
X2 1 X1 1
X3 1
FP
FP
对称结构在正 对称荷载作用 下，反对称未 知量为零。其 结构的内力和 变形是对称的。
P P
P
P
对称荷载
反对称荷载
（3）对称结构在正对称、反对称荷载作用下的内力和变形
q P P
基本受力特点： 正对称荷载作用下，结构的内力和变形都是正对称的； 反对称荷载作用下，结构的内力和变形都是反对称的。
（4）特殊截面 —— 对称轴通过的截面
A
FQ M
FN
Fra Baidu bibliotek
Ｍ、FＮ称为正对称内力
FＱ称为反对称内力
X3 1
X2 1 X1 1
M1
M2
M3
12 21 0
11 X 1 Δ1P 0 22 X 2 23 X 3 Δ2 P 0 X X Δ 0 33 3 3P 32 2
13 31 0
基本方程分为两组： 一组只含反对称未知量 一组只含正对称未知量