山东省烟台市2017-2018学年高三上学期期中考试数学文试卷 Word版含解析

2017-2018学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1．（5分）已知全集U=R ，集合A={x |lgx ≤0}，B={x |2x≤1}，则U C ()A B =（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）2．（5分）设x ∈R ，向量=（x ，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（ ） A ．B ．C ．2D ．103．（5分）已知f （x ）=，则f （log 27）=（ ）A ．B ．C ．D ．4．（5分）已知a 是函数f （x ）=2x ﹣x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f （x 0）的值满足（ ）A ．f （x 0）=0B ．f （x 0）＞0C ．f （x 0）＜0D ．f （x 0）的符号不确定5．（5分）若，则sin2θ=（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）函数y=log a （|x |+1）（a ＞1）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（5分）给定函数①，②，③y=|x ﹣1|，④y=2x +1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 8．（5分）已知x ＞0，y ＞0，且，若x +2y ＞m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围（ ）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣4＜m＜2 D．﹣2＜m＜49．（5分）若a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．＜D．＜10．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．12．（5分）函数的图象如图所示，则y的表达式为．13．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则a的值为．14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=且a＞b，则∠B=．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f （x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x）．则f（1）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）=．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.16．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（1）若θ是第一象限角，且f（θ）=，求g（θ）的值；（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，4cos2﹣cosC=．（1）若ab=4，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．18．（12分）已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．19．（12分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？20．（13分）已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．21．（14分）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）（2014•荆州二模）已知全集U=R ，集合A={x |lgx ≤0}，B={x |2x≤1}，则U C()A B =（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（1，+∞） C ．（﹣∞，1] D ．[1，+∞） 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由lgX ≤0解得x ≤1，知 可得A={x |x ≤1}．再由2x≤1解得x ≤0，可得B={x |x ≤0}．然后求得A ∪B ═{x |x ≤1}，最后可求得C U （A ∪B ）={x |x ＞1}=（1，+∞）． 可得答案为B ．【解答】解：∵lgX ≤0=lg1，∴x ≤1， ∴A={x |x ≤1}． ∵2x≤1=20，∴x ≤0， ∴B={x |x ≤0}．∴A ∪B ═{x |x ≤1}， ∵U=R ，∴C U （A ∪B ）={x |x ＞1}=（1，+∞）． 故选B【点评】本题为指数不等式，对数不等式与集合的交，并，补的综合应用题．属于中档题．2．（5分）（2012•重庆）设x ∈R ，向量=（x ，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（ ） A ． B ． C ．2 D ．10【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【专题】计算题．【分析】通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．【解答】解：因为x ∈R ，向量=（x ，1），=（1，﹣2），且⊥， 所以x ﹣2=0，所以=（2，1）， 所以=（3，﹣1），所以|+|=，故选B．【点评】本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力．3．（5分）（2016秋•烟台期中）已知f（x）=，则f（log27）=（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由已知得f（log27）=f（log27﹣2）=f（log27﹣4）=﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（log27）=f（log27﹣2）=f（log27﹣4）=﹣1=﹣1=﹣．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．（5分）（2014•广东模拟）已知a是函数f（x）=2x﹣x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）=0 B．f（x0）＞0C．f（x0）＜0 D．f（x0）的符号不确定【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．【专题】压轴题．【分析】a是函数的零点，函数是增函数，本题根据函数的单调性和零点的性质进行求解．【解答】解：∵在（0，+∞）上是增函数，a是函数的零点，即f（a）=0，∴当0＜x0＜a时，f（x0）＜0，故选C．【点评】函数是增函数，单调函数最多只有一个零点，a是函数的唯一零点．5．（5分）（2011•浙江模拟）若，则sin2θ=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【专题】计算题．【分析】根据﹣θ++θ=，利用两角和的余弦函数公式以特殊角的三角函数值得到sin（﹣θ）sin（+θ）和cos（﹣θ）cos（+θ）相等都等于，然后利用正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数求出sin（θ﹣）sin（+θ）和cos（θ﹣）cos（+θ）的值，然后根据2θ=[（θ﹣）+（θ+）]，利用两角和的余弦函数公式化简后将相应的值代入即可求出cos2θ的值，然后根据角的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sin2θ的值．【解答】解：由于cos（﹣θ）•cos（+θ）﹣sin（﹣θ）sin（+θ）=cos（﹣θ+θ）=cos=0则sin（﹣θ）sin（+θ）=cos（﹣θ）•cos（+θ）=所以sin（θ﹣）sin（+θ）=﹣，=cos（θ﹣）cos（）=则cos2θ=cos[（θ﹣）+（θ+）]=cos（θ﹣）cos（θ）﹣sin（θ﹣）sin（θ+）=所以sin2θ===故选B．【点评】此题要求学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式、同角三角函数间的基本关系化简求值，会利用三角函数的奇偶性解决实际问题，是一道中档题．做题时注意灵活变换角度．6．（5分）（2015•泉州校级模拟）函数y=log a（|x|+1）（a＞1）的图象大致是（）A． B． C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】数形结合．【分析】先画y=log a x，然后将y=log a x的图象向左平移1个单位得y=log a（x+1），再保留y=log a（x+1）图象在y轴的右边的图象，y轴左边的图象与之对称即得到函数y﹣log a（|x|+1）（a＞1）的大致图象．【解答】解：先画y=log a x，然后将y=log a x的图象向左平移1个单位得y=log a（x+1），再保留y=log a（x+1）图象在y轴的右边的图象，y轴左边的图象与之对称即得到函数y﹣log a（|x|+1）（a＞1）的大致图象．故选B．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，解题时要注意图象的变换．7．（5分）（2010•北京）给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．【点评】本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．8．（5分）（2010•眉山二模）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣4＜m＜2 D．﹣2＜m＜4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】先把x+2y转会为（x+2y）（）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解答】解：∵∴x+2y=（x+2y）（）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选C【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．9．（5分）（2010•广东模拟）若a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．＜D．＜【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A．取a=﹣3，b=1，即可否定；B．ab＞0时，则ab（a﹣b）＞0，即可否定；C．a，b为非零实数，且a＜b，可得，化为．D．取a=﹣2，b=1，即可否定．【解答】解：A．取a=﹣3，b=1，则a2＜b2不成立；B．ab＞0时，则ab（a﹣b）＞0，∴a2b＞ab2；C．∵a，b为非零实数，且a＜b，∴，化为．D．取a=﹣2，b=1，则．综上可得：只有C正确．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．10．（5分）（2013•铁岭模拟）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题．【分析】根据f（x）=f（2﹣x）求出（x）的图象关于x=1对称，又当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，x﹣1＜0，得到f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可．【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，故选B．【点评】考查学生利用函数单调性来解决数学问题的能力．二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2016•吴忠模拟）已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用数量积的性质即可得出．【解答】解：∵向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=．∴=，化为=10，化为，∵，解得||=．故答案为：．【点评】本题考查了数量积的性质，属于基础题．12．（5分）（2013秋•黄冈期末）函数的图象如图所示，则y的表达式为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】由图象可知A=2，，再根据周期公式可得：ω=2，因为图象过点（，2），可得φ=2kπ+，k∈z，再根据φ的范围求出φ的值，进而求出了函数的解析式得到答案．【解答】解：由图象可知A=2，所以T=π，所以ω=2，所以y=3sin（2x+φ）．又因为图象过点（，2），即sin（+φ）=1，所以解得φ=2kπ+，k∈z因为，所以当k=0时，φ=，y的表达式为．故答案为：．【点评】解决此类问题的关键是求φ，首先根据函数的图象得到A与ω，再根据最值点或者平衡点求出所有的φ，进而根据φ的范围求出答案即可，注意在代入已知点时最好代入最值点，因为在一个周期内只有一个最大值，一个最小值，而平衡点却有两个，假如代入的是平衡点则需要根据函数的单调性再来判定φ的取值．13．（5分）（2016秋•烟台期中）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则a的值为﹣5．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；分类讨论；分类法；不等式．【分析】先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于3，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：不等式组（a为常数）围成的区域如图所示．当a=0时，对应的三角形为△ABD，此时A（0，﹣1），B（1，0），D（1，﹣1），则三角形的面积S==，∵由于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于3，∴a=0不成立，则a＜0，由，得，即C（1，a﹣1），∴|BC|×|x A﹣x B|=3，即×（1﹣a）×1=3，即1﹣a=6，则a=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查线性规划的应用，平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．14．（5分）（2015•许昌三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=且a＞b，则∠B=30°．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理化简已知等式，整理后求出sinB的值，由a大于b得到A大于B，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．【解答】解：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，∴∠B=30°．故答案为：30°【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．15．（5分）（2016秋•烟台期中）已知函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x）．则f（1）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）=．【考点】抽象函数及其应用．【专题】整体思想；试验法；函数的性质及应用．【分析】由f（1﹣x）=1﹣f（x），f（0）=0，令x=可求得f（）=；再通过f（）=f（x），利用赋值法可分别求得f（）、f（）、f（）、f（）的值，从而可得f（1）+f （）+f（）+f（）+f（）+f（）的值．【解答】解：∵f（1﹣x）=1﹣f（x），f（0）=0，∴f（1﹣1）=1﹣f（1）=0，即f（1）=1；f（1﹣）=1﹣f（），整理得：f（）=；又f（）=f（x），令x=1，则f（）=f（1）=；令x=，则f（）=f（）=；令x=，则f（）=f（）=，即f（）=；∵＜＜＜，对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），∴f（）=f（）=，则f（1）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）=1+++×3=．故答案为：．【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查整体思想与赋值法的综合运用，属于中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.16．（12分）（2016秋•烟台期中）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（1）若θ是第一象限角，且f（θ）=，求g（θ）的值；（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】利用两角和与差的正余弦公式函数f（x）进行变换，利用二倍角公式对函数g（x）进行变换；（1）代入求值即可；（2）根据已知条件列出不等式，所以由正弦函数的值域进行解答．【解答】解：f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx．g（x）=2sin2=1﹣cosx；（1）由f（θ）=得sinθ=．又θ是第一象限角，∴cosθ＞0，∴g（θ）=1﹣cosθ=1﹣=1﹣=；（2）f（x）≥g（x）⇔sinx≥1﹣cosx，即sinx+cosx≥1，于是sin（x+）≥，从而2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，故使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z}．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，以及两角和的三角公式，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．17．（12分）（2016秋•烟台期中）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，4cos2﹣cosC=．（1）若ab=4，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）由二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得cosC=，结合范围0＜C＜π，即可得解C的值为，由余弦定理进而可解得a，b的值．（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBcosA=2sinAcosA，分类讨论分别求得a，b的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵4cos2﹣cosC=．∴由二倍角的余弦函数公式可得：2（cosC+1）﹣cosC=，即：cosC=，∵0＜C＜π，∴C=…2分由余弦定理及已知条件，可得：a2+b2﹣ab=4，∵ab=4，联立解得：a=2，b=2…6分（2）∵sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得：sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA，∴当cosA=0时，即A=时，B=，a=，b=，…8分当cosA≠0时，可得sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立方程组，解得：a=，b=，…11分∴△ABC的面积S=absinC=…12分【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．18．（12分）（2015•黄山二模）已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．【考点】余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；解三角形．【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．【解答】解：（1）∵sin2C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c2=2ab，由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）①又a2+b2=6abcosC=3c2cosC②由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（2）=sin（ωx﹣）∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T=π∴∴ω=2∴f（x）=sin（2x﹣）∴f（A）=sin（2A﹣）∵＜A＜，∴0＜2A﹣＜∴0＜sin（2A﹣）≤1∴0＜f（A）≤．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2013•盐城一模）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，依题意，C（0）==24，可求得k，从而得到F关于x的函数关系式；（2）利用基本不等式即可求得F取得的最小值及F取得最小值时x的值．【解答】解：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费…（2分）由C（0）==24，得k=2400 …（3分）所以F=15×+0.5x=+0.5x，x≥0…（7分）（2）因为+0.5（x+5）﹣2.5≥2﹣2.5=57.5，…（10分）当且仅当=0.5（x+5），即x=55时取等号…（13分）所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元…（14分）【点评】本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于难题．20．（13分）（2005•山东）已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x ﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t﹣，求出g（t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：++）由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1+）]＜1．（*）10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．20x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣⇒﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上10、20知﹣＜m＜0．【点评】考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．21．（14分）（2014•城厢区校级一模）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（2）利用（1）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．【解答】解：（1）因为，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．又，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．所以g（x）的最大值为g（e）=，所以，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．（3）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则，①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．②当0时，f（x）在（0，]上单调递减，f（x）在（，e]上单调递增．所以f，满足条件．③当时，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，运算量较大，综合性较强．。