圆锥曲线-利用向量转化几何条件答案解析
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圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件 答 案 解 析
欢欢老师的数学课堂
一、数 量 积 公 式 与 韦 达 定 理 结 合 √
1.解：（1）设 动 点P 的 坐 标 为(x, y) ，由 题 意 知： x2 + (y − 1)2 = |y −(−2)|−1 = |y +2|−1 √
，且y ≥ 0，∴ x2 + (y − 1)2 = y + 1 =⇒ x2 + (y − 1)2 = (y + 1)2，化 简 得：x2 = 4y
y = kx + m
1.解：由
a2
y2 +
=1
得(4k2 + 3)x2 + 8kmx + 4m2 − 12 = 0因 为 动 直 线l与 椭 圆E有 且 只
43
有 一 个 公 共 点P (x0, y0),所 以m ̸= 0且∆ = 0
即64k2m2 − 4(4k2 + 3)(4m2 − 12) = 0,化 简 得4k2 − m2 + 3 = 0（*）
x,
−y)
·
√ (3
−
x,
−y)
=
x2
+
y2
−3
=
5 −4
又 x2 4
+
y2
=
1,联
立
x2 + y2 = 7 4
x2 + y2 = 1
,解
得
x2 = 1 y2 = 3
x = 1
=⇒
y
=
√ 3
√
∴ P (1,
3 ).
2
4
4
2
（2）显然x = 0不 满 足 题 意，可 设l方 程 为y = kx + 2,设A(x1, y1), B(x2, y2),
x2 + y2 = 1
联立 4 y = kx + 2
=⇒ (1 + 4k2)x2 + 16kx + 12 = 0,
∴
x1x2
=
1
12 + 4k2 , x1
+ x2
=
− 1
16k + 4k2
且∆ = (16k2) − 4(1 + 4k2) × 12 > 0, ∴ k2 > 3 4
又∠AOB为 锐 角，∴
1
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件 答 案 解 析
欢欢老师的数学课堂
此 时x0
=
4km − 4k2 + 3
=
4k − m , y0
=
kx0
+m
=
3
,所
以P
4k (−
,
m
m
3 ).
m
x = 4
由
y = kx + m
得Q(4, 4k + m),假 设 平 面 内 存 在 定 点M 满 足 条 件，因 为 对 于 任 意
)+
4(4 − k2)
4=
>0
1 + 4k2
√√
∴ k2 < 4,又∵ k2 > 3 , ∴ 3 < k2 < 4, ∴ k ∈ (−2, −
3 )∪(
3 , 2).
44
2
2
3.（1）设
椭
圆
方
程
为
x2 a2
y2 + b2
= 1(a
>
b
>
0),则∵长 轴 长 是 短 轴 长 的2倍 的 椭 圆 经 过
·
−−→ MQ
=
0对
满
足（*）式
的m,
k恒
成
立。
因 为−M−→P
=
4k (−
m
−
x1,
3 ),
m
−M−→Q
=
(4
−
x1,
4k
+
m),由−M−→P
·
−M−→Q
=
0,得− 16k m
+
4kx1 m
−
4x1
+
x12
+
12k m
+
3
=
0,
整 理，得(4x1
−
k 4)
m
+
x21
−
4x1
+
3
=
0（**）
由 于（**）式 对 满 足（*）式 的m, k恒 成 立，所 以 解 得x1 = 1.
+
x2)
+
9 k2
+
y1y2
+
2(y1
+
y2)
+
4，
=8k2
+
9 k2
+
17
≥
2
8k2
×
9 k√2
+
17
=
17
+
√ 12 2
，
当 且 仅 当k4 = 9 =⇒ k2 = 3 2 时 取 等 号，
8
4
故|M
A|
·
|M
B|的
最
小
值
为17
+
√ 12 2
二、角 条件 转 化 为 向 量（直 角、锐 角、钝 角）
以P Q为 直 径 的 圆 恒 过 定 点M，所 以 当P Q平 行 于x轴 时，圆 也 过 定 点M ,
即 此 时P 点 坐 标 为(0, √3)或(0, −√3),由 图 形 对 称 性 知 两 个 圆 在x轴 上 过 相 同 的 的 交 点，
即 点M 必 在x轴 上。
设M
(x1,
0)，则−M−→P
由
x2
2 y2
+
=1
得x2 + 2mx + 2m2 − 4
，即 为 动 点P 轨 迹C 的 方 程；
（2）设 点A(x1, y1), B(x2, y2), M (x0, −2) ，
由 题 意 直 线AB的 斜 率k
存 在 且k
̸=
0，设 其 方 程 为y
=
kx + 1，则x0
3 = −k
，得M
(−
3 k
,
−2)
y = kx + 1
由 x2 = 4y,
，消 去y得x2 − 4kx − 4 = 0
于 是∆ = 16(k2 + 1) > 0恒 成 立，且x1 + x2 = 4k, x1x2 = −4，
又y1y2 = (kx1 + 1)(kx2 + 1) = k2x1x2 + k(x1 + x2) + 1 = 1, y1 + y2 = k(x1 + x2) + 2 = 4k2 + 2，
∵ −M−→A与−M−→B 方 向 相 同，
故|M A|
·
|M B|
=
−−→ |M A
·
−−→ M B|,
−−→ MA
=
(x1
+
3 ,
k
y1
源自文库
+
2),
−−→ MB
=
(x2
+
3 ,
k
y2
+
2),
−M−→A
·
−M−→B
=
(x1
+
3 k
)(x2 √
+
3 k
)
+
(y1
+
2)(y2
+
2)
=
x1x2
+
3 k
(x1
点M (2, 1).
∴
a = 2b 41
+
=1
解得
a2 = 8 b2 = 2
故 椭 圆 的 方 程 为 x2 + y2 82
=1
a2 b2
（2）由 直 线l平 行 于OM，得 直 线l的 斜 率k
=
kOM
=
1 ,又l在y轴 上 的 截 距 为m，所 以l的 方 2
程 为y
=
1 x
+
m
2
y
=
1 x+m
故 存 在 定 点M (1, 0)，使 得 以P Q为 直 径 的 圆 恒 过 点M .
2.解：因 为 椭 圆 方 程 为 x2
+
y2
=
1,知a
=
2, b
=
1, c
=
√ 3,
4
∴
√ F1(− 3,
0),
√ F2( 3,
0),设P (x,
y)(x
>
0,
y
>
0),
则−P−F→1
·
−−→ P F2
=
√ (− 3 −
−→ OA
·
−−→ OB
>
0,
∴
x1x2
+
y1y2
>
0,
2
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件 答 案 解 析
欢欢老师的数学课堂
∴
x1x2 +(kx1 +2)(kx2 +2)
>
0,
(1+k2)x1x2 +2k(x1 +x2)+4
=
(1+k2) 1
12 + 4k2
+2k(− 1
16k + 4k2
欢欢老师的数学课堂
一、数 量 积 公 式 与 韦 达 定 理 结 合 √
1.解：（1）设 动 点P 的 坐 标 为(x, y) ，由 题 意 知： x2 + (y − 1)2 = |y −(−2)|−1 = |y +2|−1 √
，且y ≥ 0，∴ x2 + (y − 1)2 = y + 1 =⇒ x2 + (y − 1)2 = (y + 1)2，化 简 得：x2 = 4y
y = kx + m
1.解：由
a2
y2 +
=1
得(4k2 + 3)x2 + 8kmx + 4m2 − 12 = 0因 为 动 直 线l与 椭 圆E有 且 只
43
有 一 个 公 共 点P (x0, y0),所 以m ̸= 0且∆ = 0
即64k2m2 − 4(4k2 + 3)(4m2 − 12) = 0,化 简 得4k2 − m2 + 3 = 0（*）
x,
−y)
·
√ (3
−
x,
−y)
=
x2
+
y2
−3
=
5 −4
又 x2 4
+
y2
=
1,联
立
x2 + y2 = 7 4
x2 + y2 = 1
,解
得
x2 = 1 y2 = 3
x = 1
=⇒
y
=
√ 3
√
∴ P (1,
3 ).
2
4
4
2
（2）显然x = 0不 满 足 题 意，可 设l方 程 为y = kx + 2,设A(x1, y1), B(x2, y2),
x2 + y2 = 1
联立 4 y = kx + 2
=⇒ (1 + 4k2)x2 + 16kx + 12 = 0,
∴
x1x2
=
1
12 + 4k2 , x1
+ x2
=
− 1
16k + 4k2
且∆ = (16k2) − 4(1 + 4k2) × 12 > 0, ∴ k2 > 3 4
又∠AOB为 锐 角，∴
1
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件 答 案 解 析
欢欢老师的数学课堂
此 时x0
=
4km − 4k2 + 3
=
4k − m , y0
=
kx0
+m
=
3
,所
以P
4k (−
,
m
m
3 ).
m
x = 4
由
y = kx + m
得Q(4, 4k + m),假 设 平 面 内 存 在 定 点M 满 足 条 件，因 为 对 于 任 意
)+
4(4 − k2)
4=
>0
1 + 4k2
√√
∴ k2 < 4,又∵ k2 > 3 , ∴ 3 < k2 < 4, ∴ k ∈ (−2, −
3 )∪(
3 , 2).
44
2
2
3.（1）设
椭
圆
方
程
为
x2 a2
y2 + b2
= 1(a
>
b
>
0),则∵长 轴 长 是 短 轴 长 的2倍 的 椭 圆 经 过
·
−−→ MQ
=
0对
满
足（*）式
的m,
k恒
成
立。
因 为−M−→P
=
4k (−
m
−
x1,
3 ),
m
−M−→Q
=
(4
−
x1,
4k
+
m),由−M−→P
·
−M−→Q
=
0,得− 16k m
+
4kx1 m
−
4x1
+
x12
+
12k m
+
3
=
0,
整 理，得(4x1
−
k 4)
m
+
x21
−
4x1
+
3
=
0（**）
由 于（**）式 对 满 足（*）式 的m, k恒 成 立，所 以 解 得x1 = 1.
+
x2)
+
9 k2
+
y1y2
+
2(y1
+
y2)
+
4，
=8k2
+
9 k2
+
17
≥
2
8k2
×
9 k√2
+
17
=
17
+
√ 12 2
，
当 且 仅 当k4 = 9 =⇒ k2 = 3 2 时 取 等 号，
8
4
故|M
A|
·
|M
B|的
最
小
值
为17
+
√ 12 2
二、角 条件 转 化 为 向 量（直 角、锐 角、钝 角）
以P Q为 直 径 的 圆 恒 过 定 点M，所 以 当P Q平 行 于x轴 时，圆 也 过 定 点M ,
即 此 时P 点 坐 标 为(0, √3)或(0, −√3),由 图 形 对 称 性 知 两 个 圆 在x轴 上 过 相 同 的 的 交 点，
即 点M 必 在x轴 上。
设M
(x1,
0)，则−M−→P
由
x2
2 y2
+
=1
得x2 + 2mx + 2m2 − 4
，即 为 动 点P 轨 迹C 的 方 程；
（2）设 点A(x1, y1), B(x2, y2), M (x0, −2) ，
由 题 意 直 线AB的 斜 率k
存 在 且k
̸=
0，设 其 方 程 为y
=
kx + 1，则x0
3 = −k
，得M
(−
3 k
,
−2)
y = kx + 1
由 x2 = 4y,
，消 去y得x2 − 4kx − 4 = 0
于 是∆ = 16(k2 + 1) > 0恒 成 立，且x1 + x2 = 4k, x1x2 = −4，
又y1y2 = (kx1 + 1)(kx2 + 1) = k2x1x2 + k(x1 + x2) + 1 = 1, y1 + y2 = k(x1 + x2) + 2 = 4k2 + 2，
∵ −M−→A与−M−→B 方 向 相 同，
故|M A|
·
|M B|
=
−−→ |M A
·
−−→ M B|,
−−→ MA
=
(x1
+
3 ,
k
y1
源自文库
+
2),
−−→ MB
=
(x2
+
3 ,
k
y2
+
2),
−M−→A
·
−M−→B
=
(x1
+
3 k
)(x2 √
+
3 k
)
+
(y1
+
2)(y2
+
2)
=
x1x2
+
3 k
(x1
点M (2, 1).
∴
a = 2b 41
+
=1
解得
a2 = 8 b2 = 2
故 椭 圆 的 方 程 为 x2 + y2 82
=1
a2 b2
（2）由 直 线l平 行 于OM，得 直 线l的 斜 率k
=
kOM
=
1 ,又l在y轴 上 的 截 距 为m，所 以l的 方 2
程 为y
=
1 x
+
m
2
y
=
1 x+m
故 存 在 定 点M (1, 0)，使 得 以P Q为 直 径 的 圆 恒 过 点M .
2.解：因 为 椭 圆 方 程 为 x2
+
y2
=
1,知a
=
2, b
=
1, c
=
√ 3,
4
∴
√ F1(− 3,
0),
√ F2( 3,
0),设P (x,
y)(x
>
0,
y
>
0),
则−P−F→1
·
−−→ P F2
=
√ (− 3 −
−→ OA
·
−−→ OB
>
0,
∴
x1x2
+
y1y2
>
0,
2
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件 答 案 解 析
欢欢老师的数学课堂
∴
x1x2 +(kx1 +2)(kx2 +2)
>
0,
(1+k2)x1x2 +2k(x1 +x2)+4
=
(1+k2) 1
12 + 4k2
+2k(− 1
16k + 4k2