2015年全国硕士研究生招生考试考研数学二真题及详解【圣才出品】

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2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C)；；，(2)函数在(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)(若(A) (B)(C) (D)再有于是，存在此时当，，=因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为(A) (B)(C) (D)【解析】在外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

点两侧恒正，对应的点不是拐，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是(5)设函数满足则与(A)(B)(C)(D)【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)是第一象限中由曲线与直线区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

D综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。

(7)设矩阵A=,b=。

若集合，则线性方程有无穷多解的充分必要条件为(A) (B)(C) (D)【解析】是一个范德蒙德行列式，值为,如果，则，此时类似的，若当时，，(8)设二次型在正交变换下的标准形为,,=在正交变换下的标准形为(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】设二次型矩阵为A,则可见都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-也是A的特征向量，特征值为-1，因此因此在正交变换下的标准二次型为(9)设则=,综上所述，本题正确答案是48。

数2--15真题答案

2015年考研数学（二）试题答案速查一、选择题（1）D （2）B （3）A （4）C （5）D （6）B （7）D （8）A 二、填空题（9）48 （10）)1()2(ln 2−−n n n （11）2 （12）2e 2e x x −+（13）1(d 2d )3x y −+ （14）21 三、解答题（15）111,,23a b k =−=−=−. （16）8πA =. （17）1)1,0(−=−f 为极小值. （18）π245−. （19）零点个数为2．（20）还需冷却30min. （21）略.（22）（Ⅰ）0a =.（Ⅱ）312111211−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X .（23）（Ⅰ）4,5a b ==.（Ⅱ）1231100101,010011005−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P AP .2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】D ．【解答】因为12lim 1x x →+∞=且112<，故2+∞⎰发散，不选A ．同理2ln ln2ln2d x ,x x x x+∞=+∞⎰，故2ln d x x x +∞⎰发散，不选B ．221d lnln ln x x x x +∞+∞=⎰，故21d ln x x x +∞⎰发散，不选C ．故选择D ．（2）【答案】B ．【解答】20sin ()lim(1)e x x tt t f x x→=+=,0x ≠，显然0)(=x x f 在处没有定义．因为1)(lim 0=→x f x ，所以0=x 为可去间断点，故选择B ．（3）【答案】A ．【解答】当0,()0x f x '=；10()(0)1(0)lim lim cos x x f x f f x x x αβ++−+→→−'==，当1α>时，(0)0f +'=存在，且0)0(='f . 当0x >时，1111()cossin f x xx x xααβββαβ−−−'=+，若0)(='x x f 在处连续，则1,10ααβ>−−>，即1αβ−>，故选择A ．（4）【答案】C ．【解答】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号，因此，由)(x f ''的图形可得，曲线)(x f y =存在两个拐点，故选C ．（5）【答案】D ．【解答】令,.x y u y v x +=⎧⎪⎨=⎪⎩得,11u uv x y v v ==++，故2(1)(,)1u v f u v v −=+. 2221211f u(v )f u ,u v v (v )∂−∂−==∂+∂+,所以21,01111−=∂∂=∂∂====v u v u vf u f，故选择D ．（6）【答案】B ．【解答】如图，利用极坐标cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，对于积分区域D ，ππ,43θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再由244cos sin 1xy r θθ==，解得212sin 2r θ=； 222cos sin 1xy r θθ==，解得21sin 2r θ=；故可得答案B ．（7）【答案】D ．【解答】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−⎝⎭⎝⎭A b ，由()(,)3r r =<A A b 得12,12a a d d ====或同时或，故选D ．（8）【答案】A ．【解答】由题意知T200010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭P AP ，又100001010⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪−⎝⎭Q P PC ，T T T 200()010001⎛⎫ ⎪==− ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ C P AP C ，故选择A ．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】48．【解答】2222d 333(1)1d 1y t t x t +==++，2222d d ()d d d 12(1)d d d yy t x t t x x t==+，得212d 48d t y x ==．（10）【答案】)1()2(ln 2−−n n n ．【解答】+⋅⋅=n x n n x C x f )2(ln 2)(20)(+⋅⋅⋅−11)2(ln 22n x nx C 22)2(ln 22−⋅⋅⋅n x n C ，所以，=)0()(n f)1()2(ln 2−−n n n ．（11）【答案】2．x【解答】由22()()d ()d x x x xf t t x f t t ϕ==⎰⎰，得2220()()d 2()x 'x f t t x f x ϕ=+⎰，再由(1)1(1)5,ϕϕ'==，得10()d 1f t t =⎰，解得(1)2f =．（12）【答案】2e2e xx −+．【解答】由题可知特征方程为220λλ+−=，特征根121,2λλ==−，所以通解为212e e x x y C C −=+，再有0)0(,3)0(='=y y ，得122,1C C ==，所以2()e 2e x x y x −=+．（13）【答案】1(d 2d )3x y −+．【解答】当00x ,y ==时解得0z =，对该式两边分别对,x y 求偏导得，2323(3e )e x y z x y z zxy yz x++++∂+=−−∂， 2323(3e )2e x y z x y z zxy xz y ++++∂+=−−∂，将)0,0,0(带入得(0,0)d z =1(d 2d )3x y −+．（14）【答案】21．【解答】由矩阵A 的特征值为221,,−，由21B A A λλλ=−+可知矩阵B 的特征值分别为3，7，1，由行列式与特征值的关系可得，37121=⨯⨯=B ．三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）解：由题可知极限3ln(1)sin lim1x x a x bx xkx →+++=．而，原式2333330()()236limx x x x x a x o x bx x o x kx →⎡⎤⎡⎤+−+++−+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=23330(1)()()23lim x a aa xb x x o x kx →++−++=．要使得该极限值为1，必有10,0,23a a a b k +=−==，所以111,,23a b k =−=−=−．（16）（本题满分10分）解：由旋转体的体积公式可得，ππ22222210ππ()d π(sin )d 4A V f x x A x x ===⎰⎰， π2202π()d 2πV xf x x A ==⎰，由21V V =，解得8πA =．（17）（本题满分10分）解：(,)2(1)e xxyf x y y ''=+，两边对y 积分得 221(,)2()e ()(2)e ()2x x x f x y y y x y y x φφ'=++=++，又 (,0)(1)e xx f x x '=+，故()(1)e xx x φ=+．所以，221(,)2()e ()(2)e (1)e 2x x x x f x y y y x y y x φ'=++=+++，两边对x 积分得， 2(,)(2)e e (1)d x x f x y y y x x =+++⎰2(2)e e (1)e ()x x x y y x C y =+++−+2(2)e e ()xxy y x C y =+++．由 2(0,)2f y y y =+，得()0C y =，2(,)(2)e e x xf x y y y x =++.令 0,0.x yf f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩解得0,1.x y =⎧⎨=−⎩ 且有2(2)e 2e e ,2(1)e ,2e x x x x x xxxy yy f y y x f y f ''''''=+++=+=，当1,0−==y x 时，2)1,0(,0)1,0(,1)1,0(=−''==−''==−''=yy xy xxf C f B f A ，因为0,02>>−A B AC ,故存在极小值，且1)1,0(−=−f 为极小值．（18）（本题满分10分）解：由条件可知积分区域关于y 轴对称，所以由二重积分的对称性可知，d d 0Dxy x y =⎰⎰，所以2()d d d d D Dx x y x y x x y +=⎰⎰⎰⎰．而π222402d d 2sin 2cos d 5Dx x t t t ⋅−⎰⎰⎰π22021π2π22sin d 522545u t u u =−=⋅−=−⎰．（19）（本题满分10分）解：因为2221)12(121)(x x x x x x f +−=+++−='，令()0f x '=，得12x =为其驻点．当1(,),()2x f x ∈−∞时单调递减，当1(,),()2x f x ∈+∞时单调递增．故)21(f 是唯一的极小值，也是最小值．又121()2f t t =+⎰111224=+t t t ⎛⎫− ⎪⎝⎭⎰⎰⎰．在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭<1122t t <⎰⎰，从而0)21(<f ．又21lim ()lim[]x x x f x t t →+∞→+∞=+⎰⎰211lim[]x x t t →+∞=−⎰⎰.考虑2lim x x t =+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞．而+∞=−∞→)(lim x f x ，所以函数()f x 在区间1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有一个零点，故零点个数为2．（20）(本题满分11分)解：设t 时刻物体温度为)(t x ，比例常数为)0(,>k k ，介质温度为m ，则d ()()e d kt xk x m x t C m t−=−−⇒=+．又(0)12020x ,m ,==得100C =，即()100e 20ktx t −=+．又(30)30,x =得ln10,30k =即ln1030()10020t x t −=+．所以，当21x =时60t =. 603030(min)−=，故还需冷却30min ．（21）（本题满分11分）证明：根据题意得点))(,(b f b 处的切线方程为))(()(b x b f b f y −'=−．令0y =，得0()()f b x b f b =−'，因为0)(>'x f ，所以)(x f 递增，又因为()0,f a =得()0f b >，又0)(>'b f ，所以b b f b f b x <'−=)()(0．又)()(0b f b f a b a x '−−=−，在),(b a 上利用拉格朗日中值定理得， ()()(),(,)f b f a f a b b aξξ−'=∈−，所以0()()()()f b f b x a f f b ξ−=−'')()()()()(b f f f b f b f '''−'=ξξ．再由()0f x ''>，可知()f x '单调递增．所以()()f b f ξ''>，可得0x a >．从而结论得证．（22）（本题满分11分）解：（I ）由3=A O ，得31011001a a a a=−==A ，故可得0a =．（II ）由条件22−−+=X XA AX AXA E ，可知222()()()()A −−−=−−=X E AX E A E A X E A E ．所以1212121()()[()()]()E A −−−−=−−=−−=−−X E A E A E A E A A ．因为2011111112−⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−−⎝⎭E A A ，利用初等变换可得21312()111211−−⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−⎝⎭E A A ，所以312111211−⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X ．（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）因为,A B 相似，所以()()tr tr =A B 且=A B ，即31123a b a b +=++⎧⎨−=⎩①② 联合①②两式，解得45a b =⎧⎨=⎩．（Ⅱ）因为,A B 相似，所以21200(1)(5)031b λλλλλλλ−−=−=−=−−−−E A E B ，得矩阵A 的特征值为11λ=（二重），25λ=.当11λ=时，解方程组()−=0E A x ，得基础解系为T T12(2,1,0),(3,0,1)==−ξξ，当25λ=时，解方程组(5)−=0E A x ，得基础解系为T3(1,1,1)=−−ξ．令可逆矩阵123231(,,)101011−−⎛⎫⎪==− ⎪⎪⎝⎭P ξξξ,使得1100010005−⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ．。

考研数二真题答案2015

考研数二真题答案2015考研数学是考生们在备战考试过程中必不可少的一项重要内容。

为了帮助考生们更好地备考，以下是对2015年考研数学二真题的详细答案解析。

第一大题1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且只有一个极大值点和一个极小值点，其中b的最大值为6.5。

已知f(2) = 1, f(3) = 6.5, f(5) = 7. 根据题目要求，我们需要找到函数在区间[a, b]上的所有极值点。

由题意可知，f(x)在区间[2, 6.5]上有且仅有一个极大值点和一个极小值点。

答案：区间[a, b]上的所有极值点是2和6.5。

2. 设函数f(x) = x^2 + ax + b.已知函数在区间[0,2]上达到最大值，并且作图时，该函数的图像与y轴相切于点(0, 3)。

根据题目信息可知，函数的图像在区间[0, 2]上达到最大值，并且与y轴相切于点(0, 3)。

解题过程如下：由题意可得：f(0) = b = 3;又因为f(x)在[0, 2]上达到最大值，所以f(1) = f(2) = 4 + a + b = 4 + a + 3 = 7;综上所述，a = 0。

答案：a = 0，b = 3。

第二大题1. 设A为一个可逆矩阵。

证明(At)^-1 = (A^-1)t。

我们需要证明等式(At)^-1 = (A^-1)t成立。

解题过程如下：因为A为可逆矩阵，所以存在逆矩阵A^-1，满足AA^-1 = I；对等式两边同时取转置，得(A^-1)t(At)t = It；根据转置的性质可得(A^-1)t(A^t)t = It；因为A为可逆矩阵，所以A^t也是可逆矩阵，即存在逆矩阵(A^t)^-1，满足A^t(A^t)^-1 = I；所以(A^-1)t(A^t)t = I，即(A^-1)t = (A^t)^-1。

综上所述，等式(At)^-1 = (A^-1)t成立。

证毕。

2. 若行列式|A| = 2，则行列式|2A^-1 + A^t|的值等于多少？根据题意可得：|2A^-1 + A^t| = 2n|A^-1 + (A^t)/2|由于行列式的性质，将A^t中的每个元素除以2时，行列式的值变为原来的1/2^n倍；所以|2A^-1 + A^t| = 2n|A^-1 + (A^t)/2| = 2n × 2^-n |A^-1 + (A^t)/2|= 2n - n |A^-1 + (A^t)/2|= 2.答案：行列式|2A^-1 + A^t|的值为2。

2015年考研真题数学二

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2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015年考研真题数学二

2015年考研真题数学二2015年的考研数学二真题分为两个部分，A卷和B卷。

A卷是选择题，共10道题，B卷是填空、解答和计算题，共10道题。

本文将对2015年考研数学二真题进行逐一分析和解答，帮助考生更好地理解考试内容和答题思路。

A卷1. (2015数学二) 设函数 f(x) = |x-1| + |x-3| + |x-6| + |x-8|，则当 x 取何值时 f(x) 的最小值为？解析：对于绝对值函数，它的最小值就是零点。

所以我们只需要找到 f(x) 的零点即可。

将绝对值函数分段讨论，当 x 在[1,3]，[3,6]，[6,8]这三个区间时，f(x) 的绝对值函数分别变为 x - 1, x - 3, x - 6。

因此，我们可以得到以下几个方程：x - 1 = 0x - 3 = 0x - 6 = 0x - 8 = 0解方程可得：x = 1, 3, 6, 8。

这四个点分别为 f(x) 的零点。

由于 f(x) 是一个连续函数，在每个零点之间的值都是正数，因此只有当 x = 1, 3, 6, 8 时，f(x) 的取值为最小值0。

所以答案为 x = 1, 3, 6, 8。

2. (2015数学二) 若直线L: a_1x + a_2y + a_3 = 0 (a_1^2 + a_2^2 ≠ 0) 在单位圆 x^2 + y^2 = 1 上截得的弧长为π/2，则式子 a_1^2 + a_2^2 的取值范围是？解析：由于直线 L 在单位圆上截得的弧长为π/2，则弦长为1，即直线 L 与圆心 (0, 0) 的距离为1。

利用点到直线的距离公式，我们可以得到以下等式：|a_1 * 0 + a_2 * 0 + a_3| / √(a_1^2 + a_2^2) = 1化简得到：|a_3| = √(a_1^2 + a_2^2)由于a_1^2 + a_2^2 ≠ 0，所以|a_3| ≠ 0。

综上所述，a_3 的取值范围为除0以外的所有实数。

2015年考研数学二真题试卷及答案解析

新东方2015考研数学二真题一、选择题(1) 下列反常积分中收敛的是（）（A）2+∞⎰（B）2x+∞⎰ (C) 21lnxdx x +∞⎰( D) 2x x dx e+∞⎰（2）函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→+在∞∞（-,+）内（A ）连续（B ）有可去间断点 (C)有跳跃间断点 ( D)有无穷间断点（3）设函数1cos ,0(0,0x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ (0,0)αβ>> 若()f x '在0x =处连续，则（A ）1αβ-> （B ）01αβ<-≤ (C) 2αβ-> ( D) 02αβ<-≤（4）设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为：（A ）0 （B ）1 (C) 2 ( D) 3（5）设函数(,)f u v 满足2(,)yf x y x y x +=-，则11|u v f u ==∂∂与11|u v f v ==∂∂依次是（A ）12，0 （B ）0，12(C) 1,02- ( D) 10,2-(6)设D 是第一象限中曲线21,1xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（B）34(cos ,sin )d f r r rdrππθθθ⎰(C)13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰( D)34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（7）设矩阵211111A a ⎛ =⎪ ⎝，21b d ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω（C ）,a d ∈Ω∉Ω（D ）,a d ∈Ω∈Ω（8）设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）21232y y y -- （D ）21232y y y ++二、填空题（9）设3arctan 3t y t t=⎧⎨+⎩，则212t d ydx ==（10）函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数((0)n f =（11）设函数()f x 连续，20()()x x xf t dt ϕ=⎰，若(1)1ϕ=，'(1)5ϕ=，则(1)f =（12）设函数()y f x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x =（13）若函数(,)z z x y =由方程21x y z e xyz +++确定，则(0,0)dz=（14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2，1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =三、解答题（15）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数().若(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出再有于是，存在此时.当，，=因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数则曲线的拐点个数为(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

D的极坐标表示为因此综上所述，本题正确答案是B。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elim t→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αxα−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1xβ,x >0，0,x ≤0 再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

综上所述，本题正确答案是B 。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析戴又发一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）下列反常积分收敛的是（）（A ）dx x⎰+∞21（B ）dx x x ⎰+∞2ln （C ）dx x x ⎰+∞2ln 1 （D ）dx e x x ⎰+∞2 【解析】22222331lim 3)1(lim lim --+∞→--+∞→+∞→+∞=+-=++-==⎰⎰e e e e t e dx e x dx ex t t t t t x t x ．故选D ．（2）函数tx t x t x f 2sin 1lim )(⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→ 在),(+∞-∞内（）（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点（D ）有无穷间断点【解析】ttx t x t tx t x t x t x f sin sin sin 1lim sin 1lim )(2⨯+∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=，当0≠x 时，由e x t tx t =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→sin sin 1lim ，x ttx t =+∞→sin lim，得x e x f =)(，故函数在),(+∞-∞内有可去间断点，故选B ．（3）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,00,1cos )(x x xx x f α)0,0(>>βα，若)(x f '在0=x 处连续，则（）（A ）1>-βα （B ）10≤-<βα （C ）2>-βα （D ）20≤-<βα 【解析】显然0<x 时0)(='x f ，当0>x 时111sin 1cos)(---⋅+='ββαβαβαx xx x x x f ββαβαβαxx x x 1sin 1cos11---+=，由0,0>>βα，)(x f '在0=x 处连续，有01,01>-->-βαα，所以1>-βα，故选A ．（4）设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，其2阶导数)(x f ''的图形如右图所示，则曲线)(x f y =的拐点个数为（）（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【解析】若函数)(x f 的2阶导数存在，那么使函数2的阶导数)(x f ''为零，且三阶导数不为零的点是函数)(x f 的拐点，当2阶导数不存在时，只要在某点处的2阶导数改变符号，该点就是拐点，显然)(x f y =的拐点个数为2，故选C ．（5）设函数),(v u f 满足22),(y x xy y x f -=+，则11==∂∂v u uf 与11==∂∂v u vf 依次是（）（A ）21，0 （B ）0，21 （C ）21-，0 （D ）0，21-【解析】记 x y v y x u =+=, ，得v uvy v u x +=+=1,1，于是22)1()1(),(),(v uv v u v u f x y y x f +-+==+，所以222)1(2)1(2v uv v u u f +-+=∂∂，011=∂∂==v u uf ；3222232)1(2)1(2)1(2v v u v vu v u v f +++-+-=∂∂，2141214111-=+--=∂∂==v u uf，故选Ｄ．（6）设D 是第一象限中的曲线14,12==xy xy 与直线x y x y 3,==围成的平面区域，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Ddxdy y x f ),(（）（A ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（B ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（C ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d（D ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d【解析】记 θθsin ,cos r y r x ==，区域D 可表示为，θθ2sin 212sin 1≤≤r ，34πθπ≤≤，θrdrd dxdy =，于是 ⎰⎰=Ddxdy y x f ),(⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d ，故选Ｂ．(7)设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24121111a a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21d d b ，若集合{}2,1=Ω，则线性方程组b Ax =有无穷多解的充分必要条件为（）（A ）Ω∉Ω∉d a , （B ）Ω∈Ω∉d a , （C ）Ω∉Ω∈d a , （D ）Ω∈Ω∈d a ,【解析】由方程组b Ax =有无穷多解，得3)()(<=A r A r ，而当0)12)(2)(1(=---=a a A 时，2,1==a a ，当1=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000101011111030101011111411211111222d d d d d d d A 3)(<A r ，所以1=d 或2=d ．当2=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000111011111330111011114412211111222d d d d d d d A 3)(<r ，所以1=d 或2=d ．故选Ｄ．（8）设二次型),,(321x x x f 在正交变换PY X =下的标准型为2322212y y y -+，其中),,(321e e e P =，若),,(231e e e Q -=，则),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为（）（A ）2322212y y y +- （B ）2322212y y y -+ （C ）2322212y y y -- （D ）2322212y y y ++ 【解析】设二次型对应的矩阵为A ，由),,(321x x x f 经正交变换PY X =化为标准型2322212y y y -+，得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AP P ，其中),,(321e e e P =，又因为),,(231e e e Q -=，于是有 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AQ Q ，所以),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为2322212y y y +-．故选Ａ．二、填空题：9~14每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．（9）设⎩⎨⎧+==33arctan t t y t x ，则==122t dx y d ．【解析】233t dt dy += ，211t dt dx +=， 363)1)(33(2422++=++=t t t t dx dy ，22232322)1(12)1)((12111212)(t t t t t t t t dt dx dt dx dy d dxy d +=++=++==．所以==122t dx y d 48．（10）函数x x x f 2)(2⋅=在0=x 处的n 阶导数为=)0()(n f .【解析】因为)2ln 2(22ln 222)(22x x x x x f x x x +=⋅+⋅='，0)0(='f ；))2(ln 2ln 42(22ln )2ln 2(2)2ln 22(2)(222x x x x x x f x x x ++=+++=''，222)0(0=⋅=''=x x f ；2ln ))2(ln 2ln 42(2))2(ln 22ln 4(2)(222x x x x f x x ++++='''))2(l n )2(l n 62ln 6(2322x x x ++=，2ln 62ln 62)0(0=⋅='''=x xf ； 2ln ))2(ln )2(ln 62ln 6(2))2(ln 2)2(ln 6(2)(32232)4(x x x x f x x ++++=))2(ln ))2(ln 8)2(ln 12(24232x x x ++=，202)4()2(ln 12)2(ln 122)0(=⋅==x x f ；202)()2)(ln 1()2)(ln 1(2)0(-=--=-⋅=n x n x n n n n n f ．（11）设函数)(x f 连续，由方程⎰=2)()(x dt t xf x ϕ，若5)1(,1)1(='=ϕϕ，则=)1(f ．【解析】由⎰⎰==22)()()(x x dt t f x dt t xf x ϕ，得)(2)()(202x f x x dt t f x x ⋅⋅+='⎰ϕ，又5)1(2)()1(1=+='⎰f dt t f ϕ，1)()1(10==⎰dt t f ϕ，所以2)1(=f ．（12）设函数)(x y y =是微分方程02=-'+''y y y 的解，且在0=x 处)(x y 取得极值3，则=)(x y ．【解析】由022=-+λλ，得2,1-==λλ，于是微分方程的特解为x x e C e C y 221-+=，由022)0(21221=-=-='-C C eC e C y xx，3)0(21=+=C C y ，得1,221==C C ，所以x x e e x y 22)(-+=．(13)若函数),(y x z z =由方程132=+++xyz e z y x 确定，则=)0,0(dz．【解析】由dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=，方程132=+++xyz e z y x 两边对x 求导，0)31(32=+∂∂+∂∂+++yz xzxy x z e z y x ，代入0,0==y 得310-=∂∂=x xz；方程132=+++xyz e z y x 两边对y 求导，0)32(32=+∂∂+∂∂+++xz yzxy y z e z y x ，代入0,0==y 得32-=∂∂=y yz；所以dy dx dz3231)0,0(--=．(14)设三阶矩阵A 的特征值为1,2,2-，E A A B +-=2,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式=B ．【解析】由矩阵A 的特征值为1,2,2-，且E A A B +-=2,可知矩阵B 的特征值为1,7,3，所以21=B ．三、解答题：15～23小题，共94分。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elim t→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

考研数学二2015真题

考研数学二2015真题2015年考研数学二真题共有3个大题，分别是微分几何、概率论和常微分方程。

下面将针对每个大题进行讲解和分析。

微分几何题目要求：已知函数 f(x, y) = x^4 + y^4，求曲线 C：y = 2x^2 上点 P 的切线方程，该切线过点 (1, 2)。

解析：首先，我们需要求曲线 C 上点 P 的切线方程。

由题目给出的曲线方程 C：y = 2x^2，可以得到曲线上任意一点的坐标为 (x, 2x^2)。

现在我们来求点 P 的切线方程。

切线方程的一般形式为 y = kx + b，其中 k 为斜率，b 为截距。

我们需要求出斜率 k 和截距 b。

首先，我们知道切线经过点 P (1, 2)，所以方程中的 x 和 y 可以直接代入为 1 和 2。

带入后得到方程 2 = k*1 + b，即 k + b = 2。

其次，我们需要求出斜率 k。

由微分几何的知识可得，曲线 C 上点P 的切线斜率等于函数 f(x, y) 在点 P 处的偏导数关于 x 的值。

函数 f(x, y) = x^4 + y^4 求关于 x 的偏导数，可得 4x^3。

将点 P 的坐标代入，可得斜率 k = 4 * 1^3 = 4。

现在我们有了斜率 k 和截距 b 的值，带入切线方程 y = kx + b，即可得到切线方程 y = 4x + b。

将切线经过点 P 的坐标代入，可得到 b = 2 - 4*1 = -2。

综上所述，曲线 C 上点 P 的切线方程为 y = 4x - 2。

根据题意，切线过点 (1, 2)。

概率论题目要求：设某电子元器件的寿命 X（以小时为单位）是连续型随机变量的密度函数为 f(x) = 0.1e^(-0.1x)，请计算该元器件寿命大于100小时的概率。

解析：题目中给出了电子元器件寿命 X 的密度函数 f(x) = 0.1e^(-0.1x)，我们需要计算该元器件寿命大于100小时的概率。

对于连续型随机变量，我们可以通过求取概率密度函数在某个区间上的定积分来计算该区间上的概率。

2015考研数学二真题及答案

2015考研数学二真题及答案在2015年考研数学二的真题中，有一道关于概率统计的题目，让考生进行推理和计算。

以下是该题目的详细描述和解答方法。

题目描述：某公司的员工年龄分布服从正态分布，且平均年龄为30岁，标准差为4岁。

现从该公司随机抽取10名员工，请计算抽到的这10名员工年龄的平均值大于32岁的概率。

解答方法：该题目要求计算抽到的这10名员工年龄的平均值大于32岁的概率。

首先，我们知道正态分布的随机变量服从正态分布，且满足以下两个参数：均值（mean）和标准差（standard deviation）。

我们已知平均年龄为30岁，标准差为4岁。

因此，我们可以使用正态分布的公式来计算概率。

正态分布的公式如下：P(X > x) = 1 - P(X ≤ x)其中，P(X > x)表示大于x的概率，P(X ≤ x)表示小于等于x的概率。

根据题目要求，我们需要计算抽到的这10名员工年龄的平均值大于32岁的概率。

现在我们需要进行一些计算来得出答案。

我们知道，抽到的这10名员工年龄的平均值服从正态分布。

根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布接近正态分布。

根据题目中的条件，我们可以将问题转化为计算样本均值大于32岁的概率。

根据中心极限定理，样本均值的分布服从正态分布，且其均值等于总体均值，标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根。

因此，我们可以使用正态分布的标准化公式来计算概率：Z = (X - μ) / (σ / √n)其中，Z为标准化的变量，X为样本均值，μ为总体均值，σ为总体标准差，n为样本容量。

根据题目中的条件：X = 32，μ = 30，σ = 4，n = 10代入上述公式，我们可以计算出Z的值为：Z = (32 - 30) / (4 / √10) = 1.58现在，我们需要计算Z大于1.58的概率。

我们可以查找标准正态分布表或使用计算器来得出该概率值。

假设得出的概率值为P(Z > 1.58) = 0.0571根据题目要求，我们需要计算抽到的这10名员工年龄的平均值大于32岁的概率。

考研数学二真题2015年

考研数学二真题2015年2015年的考研数学二真题，是考研数学考试中的一道难题。

这道题目涉及到了多个数学知识点，考察了考生对于数学概念的理解和运用能力。

在解答这道题目的过程中，考生需要灵活运用数学方法和技巧，进行推理和计算，才能得出正确的答案。

首先，这道题目要求考生求解一个方程的解集。

方程中涉及到了三个未知数，而且是一个非线性方程，因此需要考生对于非线性方程的求解方法有一定的了解。

在解答这道题目时，考生可以尝试使用代数方法或者几何方法进行求解。

代数方法可以通过变量替换或者配方等方式，将方程转化为更简单的形式。

而几何方法可以通过画图或者几何推理的方式，找到方程的几何意义和解的几何位置。

通过灵活运用这些方法，考生可以逐步逼近方程的解集。

其次，这道题目还要求考生对于数列的性质和计算方法有一定的了解。

题目中给出了一个数列的递推关系和初始条件，要求考生求解该数列的通项公式。

求解数列的通项公式是数学中的一个经典问题，需要考生掌握数列的基本性质和求解方法。

在解答这道题目时，考生可以通过观察数列的前几项，找出数列的规律，并建立递推关系。

然后，可以通过数学归纳法或者递推关系的迭代运算，得到数列的通项公式。

通过这种方式，考生可以得到该数列的通项公式，并验证其正确性。

最后，这道题目还要求考生对于概率和统计的基本概念和计算方法有一定的了解。

题目中给出了一个随机事件的概率和条件概率，要求考生求解该随机事件的条件概率。

求解条件概率是概率论和统计学中的一个重要问题，需要考生掌握条件概率的定义和计算方法。

在解答这道题目时，考生可以通过条件概率的定义和公式，计算出所求的条件概率。

同时，还需要考虑到题目中给出的条件和限制，进行合理的计算和推理。

通过这种方式，考生可以得到该随机事件的条件概率，并验证其正确性。

综上所述，2015年考研数学二真题是一道综合性的难题，涉及到了多个数学知识点。

在解答这道题目时，考生需要灵活运用数学方法和技巧，进行推理和计算。