2009年高考数学压轴题系列训练附答案及解析详解三

2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解读详解三

1．（本小题满分13分）

如图，已知双曲线C ：x a y b

a b 222

2100-=>>()，的右准线l 1与

一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.

（I ）求证：OM MF →⊥→

；

（II ）若||MF →

=1且双曲线C 的离心率e =

6

2

，求双曲线C 的方程；

（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且

P 在A 、Q 之间，满足AP AQ →=→

λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明. 解：（I ） 右准线l 12：x a c =，渐近线l 2：y b

a

x =

∴=+M a c ab c F c c a b ()()2222

0，，，， ，∴→=OM a c ab c ()2，

MF c a c ab c b c ab c →=--=-()()22，，

OM MF a b c a b c

OM MF →⋅→=-=∴→⊥→

22222

20

……3分

（II ） e b a e a b =

∴=-=∴=62122

2222，， ||()

MF b c a b c b b a c

b a →=∴+=∴+=∴==11111

422222222

22，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2

22

1-=……7分 （III ）由题意可得01<<λ……8分

证明：设l 31：y kx =+，点P x y Q x y ()()1122，，，

由x y y kx 22221

-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=k x kx l 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q ∴-≠=+->+=->=-

->⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪

⎪⎪⎩⎪⎪

⎪12016161204120

4

1202210120

222

12

21222

2

k k k x x k k x x k k k k k ∆() ∴-<<-

12

2

k ……11分 AP AQ x y x y →=→

∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ

∴+=

-=--∴+=--=-=+-()()()14124121164124212221222

2

2

222

222

λλλλx k k x k k k k k k ，

-<<-∴<-<∴+>1220211142

2k k ，，()λλ

∴+>∴-+>()1421022λλ

λλ

∴λ的取值范围是（0，1）……13分

2．（本小题满分13分）

已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()

(*)

=≤--+--<≤∈⎧⎨

⎩0

0111，，

数列{}a n 满足a f n n N n =∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式；

（II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为S a a ()()≥0，求S n S n n N ()()(*)--∈1；

（III ）在集合M N N k k Z ==∈{|2，，且10001500≤--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共

有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.

（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得lim()n n b b b →∞

+++12 存在，并求出这个

极限值.

解：（I ） n N ∈*

∴=--+-=+-f n n n n f n n f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n ()()1……1分

∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323

……

f n f n n ()()--=1

将这n 个式子相加，得

f n f n n n ()()()

-=++++=

+012312

f f n n n ()()()0012

=∴=

+

∴=

+∈a n n n N n ()

(*)12

……3分 （II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f n f n ()()-1，，高为1

∴--=

-+⨯=+-S n S n f n f n a a n n ()()()()

11212

1

=-++=1212122

2

[()()]n n n n n ……6分 （III ）设满足条件的正整数N 存在，则

n n n n

n ()+->⇔>⇔>12100522

100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，，

∴=N 201020122998，，……，均满足条件