抛物线三角形面积求法

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探究抛物线中三角形面积求法

= AB
点标的坐
＝3 ，AC=
＝。
• ∵ AC2+BC2=AB2，
• ∴ ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900，
∴ SΔABC= AC·BC= × ×3 =3。
阅读材料
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
拓展练习
如图2：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。
• 解：由
得点A的坐标为（1，2），
点B的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的
坐标标可为知（，0A，B=3）如图2，＝由 2。 A、＝，BB、C= C=AC 三， 3 点＝的坐= CB ， 2 ＝
．
2
3
通过这节课的学习,主要探究了抛物线中的三角形面积求法.
B
对于不同形状、不同形式放置在平面直角坐标系的三角形面积求法，要充分挖掘其底边或高的特征而展开问题的分析，要着重抓住水平或竖直的线段长度与点的坐标相互转化为问题解决的切入口。
作业布置:
1.请课后每四人小组找三道你们认为很好的,并渗透抛物线中三角形面积的题目交给我.（要有答案）

第五讲+抛物线中三角形的面积问题

第五讲抛物线中三角形的面积问题

一、抛物线内接三角形的面积问题：

例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。

⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；

⑵求S△MBC；

归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：

二、抛物线中三角形的等积变化：

1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，

说明理由。

2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。

S△ABC。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由

3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 1

4、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；

6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.

7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。

双曲线抛物线焦点三角形面积公式

1. 概述

双曲线和抛物线是数学中常见的曲线类型，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。而三角形则是几何学中的基本图形之一，研究三角形的性质和面积公式对于理解空间形态和解决实际问题都具有重要意义。本文将结合双曲线和抛物线的性质，推导出利用焦点和顶点坐标计算三角形面积的公式。

2. 双曲线和抛物线的定义

双曲线是平面上满足特定性质的点的集合，它的数学定义是平面上两条直线L1和L2，满足这两条直线的距离的差是一个常数，且常数小于0，那么平面上的点P(x, y)满足L1到P点的距离减去L2到P点的距离等于一个常数。而抛物线则是平面上满足特定性质的点的集合，它的数学定义是平面上的一个点P(x, y)和一条直线L，使得点P到直线L的距离等于点P到定点F的距离。其中，定点F称为焦点。

3. 双曲线和抛物线的焦点性质

双曲线和抛物线都具有焦点的性质，利用这一性质可以推导出三角形的面积公式。对于双曲线而言，对于平面上的两点A和B，满足A点到焦点的距离减去B点到焦点的距离等于一个常数。而对于抛物线而言，对于平面上的三点A、B和C，满足A点到焦点的距离等于B点到焦点的距离等于C点到焦点的距离，并且这个距离等于直线L到焦

点的距离。

4. 根据焦点坐标计算三角形面积公式

根据双曲线和抛物线的焦点性质，我们可以推导出利用焦点和顶点坐

标计算三角形面积的公式。以双曲线为例，假设A(x1, y1), B(x2, y2)

为双曲线上的两个点，F(p, q)为焦点坐标，则三角形FAB的面积可以表示为

抛物线内接三角形面积公式及其应用

计算抛物线内接三角形的面积，是各类考试中的经典问题。本文介绍了一种仅用顶点横坐标表示的抛物线内接三角形的面积公式，对公式给出了完整的证明，并尝试用它来解决了一些2018年中考问题，取得了很好的效果。

关键词：抛物线内接三角形面积公式

定理：设抛物线y=ax^2+bx+c内接三角形△ABC，三个顶点的坐标分别为

(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则△ABC的面积为S△ABC=|a(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)|/2

可以看出，这个公式只用到抛物线的二次项系数，以及三个顶点的横坐标，公式本身简洁对称，形式优雅，非常容易记忆。

抛物线焦点三角形的面积

引言

抛物线是一个非常重要的数学概念，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。在本文中，我们将探讨抛物线焦点三角形的面积。

什么是抛物线焦点三角形

抛物线焦点三角形是指以一个抛物线的两个焦点和抛物线上一点为三个顶点的三角形。它具有一些特殊的性质，其中最重要的就是其面积的计算方法。

抛物线的基本性质

在进一步研究抛物线焦点三角形之前，我们先了解一下抛物线的基本性质：

1.抛物线是一个平面曲线，具有轴对称性。

2.抛物线有两个焦点，定义为F1和F2。

3.抛物线上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和是一个固定值，等于抛物线

的焦距。

抛物线焦点三角形的性质

抛物线焦点三角形具有以下重要性质：

1.抛物线焦点三角形的三个顶点分别为两个焦点F1和F2以及抛物线上的一点

P。

2.抛物线焦点三角形的高是从点P到抛物线的准线的垂直距离。

3.抛物线焦点三角形的底是由两个焦点F1和F2之间的距离。

抛物线焦点三角形的面积计算

抛物线焦点三角形的面积可以通过高和底的长度计算得出。具体计算方法如下：

1.首先，我们需要计算抛物线焦点之间的距离，也就是底的长度。

2.然后，我们需要确定抛物线焦点到抛物线准线的垂直距离，也就是高的长度。

3.最后，我们可以使用三角形的面积计算公式：面积 = 0.5 * 底 * 高计算

出抛物线焦点三角形的面积。

抛物线焦点三角形面积的计算示例

为了更好地理解抛物线焦点三角形面积的计算方法，我们以一个具体的示例进行说明：

假设抛物线的焦点F1和F2的坐标分别为(0, 0)和(2, 0)，而抛物线上的点P的坐标为(1, 1)。现在我们来计算抛物线焦点三角形的面积。

抛物线焦点三角形的面积

Is有一边在坐标轴上：S=1∕2xa-xb×yc,有一边与坐标轴（X轴）平行：S=1∕2xa-xb×yc-ya o（得出结论）

2、抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线I（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。（原因解释）

3、抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。（内容延伸）

抛物线焦点三角形面积公式

P2∕2Sina o

任意抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线I1,12相交于P点。那么WAB称作阿基米德三角形。该三角形满足以下特性：

1P点必在抛物线的准线上

2、MAB为直角三角形,且角P为直角

3、PFj1AB（即符合射影定理）

另外，对于任意圆锥曲线（椭圆，双曲线、抛物线）均有如下特

抛物线焦点三角形面积公式

焦点三角形面积=b*b*tan（r∕2）（其中b为短半轴长J表示椭圆周角）设焦点为f1,f2,椭圆上任意点为a,设角f1af2为角r推导方式是设三角形另外一点是a z af1+af2=2aaf1向量-af2向量=f2f1向量。

两式都两边平方再整理得mn=2b八2/Q-cOSa）（O度可以不考虑）面积就是1∕2mnsina,把上面带入即得。｛注：m,n为af1和af2的长｝

抛物线阿基米德三角形面积

在几何学中，抛物线阿基米德三角形是一个有趣的形状，它与抛物线的性质密切相关。本文将探讨如何计算抛物线阿基米德三角形的面积，以及这个形状的一些特点。

首先，让我们来了解一下什么是抛物线阿基米德三角形。它由一条抛物线和两条直线组成，具有以下特征：抛物线的焦点位于椭圆的中心，两条直线从焦点出发，分别与抛物线相交于两个不同的点，然后再相交于一个顶点。这个顶点就是抛物线阿基米德三角形的顶点。

要计算抛物线阿基米德三角形的面积，我们可以使用以下公式：面积=底边长度×高÷2。底边长度可以通过计算两条直线的交点之间的距离获得，而高则可以通过计算顶点到底边的垂直距离来确定。

为了更好地理解这个公式，让我们通过一个具体的例子来计算抛物线阿基米德三角形的面积。假设我们有一个抛物线阿基米德三角形，其底边长度为10个单位，高为6个单位。那么根据公式，面积=10×6÷2=30个单位。

除了计算面积，抛物线阿基米德三角形还具有其他一些有趣的性质。例如，它的底边和顶点之间的距离是一个常数，这意味着无论抛物线的形状如何变化，这个距离始终保持不变。此外，抛物线阿基米德三角形也满足相似三角形的性质，即其两个底角之和等于顶角。

总结一下，抛物线阿基米德三角形是一个由抛物线和两条直线组成的形状。要计算其面积，我们可以使用底边长度乘以高再除以2的公式。除了面积，抛物线阿基米德三角形还具有其他一些有趣的性质，如底边和顶点之间的距离恒定以及满足相似三角形的性质。

希望本文对您对抛物线阿基米德三角形有所帮助，并且不包含任何会对阅读体验产生负面影响的元素。保证文章的标题与正文一致，没有广告信息，不涉及版权争议，没有不适宜展示的敏感词或其他

抛物线内接三角形的面积

2019年第2 期
中学数学研究
25
径的圆上.
(2 ) 切点弦 A5 方程为 ny = w + pm, 由
{ny = px + p m ,丨-可得y2 y2 = 2/ ^ ，
+ 2p/?i = 0•
由韦达定理可得^ 1 +y2 =2ri’等价于 Lr i J 2 =
7 i + 72
^ 2^ ’\ FA \-\ F B \
- y3 ) ( y3 - J i ) 1■
注：如果 4 、B 、C 三点中有一点与原点重合，易
知上述公式也成立.
根据前面的公式，可得 = 2S4_ .
I F P \ { y\ + p2 )
( 注：这里》1,?1用;^,72 表示是一种很独特的方
法，有一种以退为进的感觉）
= (r 2i - P2){y ij2 - P2) + 2/ •{y t + y2)y l =
2p A FP \•{y\ + p 2)
r 3i j 2 +,
r2i/2> , +
/. I EC I
(r l - r l ) 1 + (r l - ylY
1 心办力 1 V (y2 + y3)2 + 知 2 ,直线价：的方程为y

抛物线上动点p的三角形面积-定义说明解析

抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释

1.引言

1.1 概述

在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。

通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。

最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更

深入的了解。

【1.2 文章结构】

本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。每个部分的内容如下：

（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。

（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。

抛物线中的三角形面积问题(一)

抛物线中的三角形面积问题（一）

导师团数学组供稿

一．求面积

1. 常见三角形的面积

已知抛物线223y x x =-++与坐标轴的交点及顶点D 如图所示：

（1）求S △BOC

(2) 求S △BAC

(3) 求S △BDC

法一：连原点

法二：过点D 作X 轴的垂线

二．面积相等

已知抛物线24y x x =-+与坐标轴的交点及与直线y=-0.5x+2的交点

A 、

B 如图：

（1）在抛物线上求异于点A 的点P ，使S △BOP=S △BOA

(2)在抛物线上求点M,使S △ABM=S △ABO

方法小结：关注高相等或底相等得到面积相等；常用平行线求交点的方法；必要时转化为坐标轴上的线段

抛物线三角形面积最大值公式

在数学中，我们经常需要研究最大化或最小化某个量的问题。本文将探讨一个

有趣的数学问题：如何求解抛物线上的三角形面积的最大值，并给出相应的公式。

问题引入

考虑一个抛物线y=ax2+bx+c，我们希望找到一条直线y=mx+n和抛物线所围成的三角形的最大面积。

解决方法

为了求解这个问题，我们首先需要确定直线和抛物线的交点。令二者相交时的

x值为x0，则有：

ax02+bx0+c=mx0+n

化简可得：

mx0=ax02+bx0+c−n

整理后可得：

ax02+(b−m)x0+(c−n)=0

这是一个一元二次方程，我们可以根据二次函数的性质求解出x0。

接下来，我们需要计算三角形的面积。设两条线与x轴围成的三角形面积为S，则有：

$$ S = \\frac{1}{2}(\\text{底边} \\times \\text{高}) = \\frac{1}{2}|x_1-

x_2|\\times|y_1-y_2| $$

求解最大值

我们的目标是求解三角形面积的最大值。根据前面的讨论，我们将三角形的面

积公式代入：

$$ S = \\frac{1}{2}|x_0-x_1|\\times|y_0-y_1| $$

其中，x0为抛物线和直线的交点x坐标，(x1,y1)为抛物线上的点。

将直线方程y=mx+n代入上式，求解最大值问题可以转化为对S的求导问题，即求 $\\frac{dS}{dx_0}=0$。

通过对 $\\frac{dS}{dx_0}$ 求导，并令导数为零，可以得到抛物线三角形面积

的最大值。这个最大面积对应的x坐标即为我们要找的交点x0。

抛物线中三角形面积的计算方法

“抛物线中三角形面积及面积的最值”教学设计

教学目标：1：掌握在抛物线中求三角形面积的方法

2.会利用铅锤高乘水平宽计算一般三角形的面积

教学过程：

一、数学思想方法

分三种情况

1：有一边在坐标轴上

图1，2中A,B两点是抛物线与坐标轴的焦点，AB的长度就是B的横坐标减去A的横坐标，C的纵坐标的相反数就是高线。以AB为底边，OC长度为高线就能求出面积。

图3中仍以AB为底边，高线就是点C的纵坐标

2、一边与坐标轴平行

当三角形有一边与x轴平行时，已知A的纵坐标就能求出A,C两点的横坐标，这样就能求出线段AC的长度，高线的长度就是A和B两点的纵坐标之差的绝对值。

2、当三边均不与坐标轴平行时

当三边均不与坐标轴平行时，就采取割补法中的割。分割成两个三角形。分别以AE为底边，高线就是B,C两点的横坐标差的绝对值。AE称作铅垂高，B,C两点横坐标差的绝对值称作水平宽。这种三角形面积的求法就可以采取铅垂高乘水平宽解决。

二、知识应用

•例：如图二次函数与x轴交于点C，与y轴交于点A，B为抛物线与直线AC下方抛物线上一动点，求△ABC面积的最大值。

223 y x x

=--

抛物线中的三角形面积问题(一)

抛物线中的三角形面积问题（一）

导师团数学组供稿

一．求面积

1. 常见三角形的面积

已知抛物线223y x x =-++与坐标轴的交点及顶点D 如图所示：

（1）求S △BOC

(2) 求S △BAC

(3) 求S △BDC

法一：连原点

法二：过点D 作X 轴的垂线

二．面积相等

已知抛物线24y x x =-+与坐标轴的交点及与直线y=-0.5x+2的交点

A 、

B 如图：

（1）在抛物线上求异于点A 的点P ，使S △BOP=S △BOA

(2)在抛物线上求点M,使S △ABM=S △ABO

方法小结：关注高相等或底相等得到面积相等；常用平行线求交点的方法；必要时转化为坐标轴上的线段

抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略

图10

的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，

知

•

①易知直线S C 解析式为y

-6.

设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.

由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +

(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•

又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。.q

i n

由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =

2^",C £=^,P J lain^CED = j .

②

由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).

综上，(?（ -8,0)或(8,0).

从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在性问题

，一

般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图

形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段，并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理

性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很好地考查学生的综合素养[2].

抛物线三角形面积求法

抛物线内接三角形面积的计算通法

一、问题的提出

(2016年酒泉中考题)如图1(1)，已知抛物线经过(3,0)A ，(0,3)B 两点.

(1)求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式;

(2)如图1(1)，动点E ，从O 点出发，沿着OA 的方向以1个单位/秒的速度向终点A 匀

速运动，同时，动点F 从点A 出发，沿着AB 个单位/秒的速度向终点B 匀速运动，当EF 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动.连结EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，AEF 为直角三角形?

(3)如图1(2)，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标;如果不存在，请简要说明理由.

本题第(3)问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通用的方法呢?值得我们探究.

二、几种特殊情况

1.抛物线内接三角形有一边在x 轴上:(这里约定A 点的横坐标记为A x ，A 点的纵坐标记为为A y )

如图2(1)，有

1122

ABC A B C S AB OC x x y ∆=⨯=-⨯. 如图2(2)，有

1122

ABC A B C S AB DC x x y ∆=⨯=-⨯. 如图2(3)，有

1122

ABC A B C S AB DC x x y ∆=

⨯=-⨯. 2.抛物线内接三角形有一边与x 轴平行:如图3(1)，有

抛物线三角形OAB面积

抛物线三角形，又称平抛三角形，是物理学和数学中两个重要的概念，也是和古典力学有关的抛体运动中经常出现的问题。一个抛物线三角形是指，一直线段从O点开始，沿抛物线从A点到B点终止构成的一个三角形，因为一条直线所构成的三角形有一定的抛物线，所以叫做抛物线三角形。

要求求抛物线三角形OAB面积，要做到既能求出结果，又能准确地描述抛物线三角形时，可以使用力学中的抛体运动知识。在抛体运动中，射程和时间的有效结合，可以得到对应抛物线的一般公式，把它代入就能得到相应的抛物线三角形的位置和面积。

由上述可知，若要求抛物线三角形OAB的面积，先由力学抛体运动中的变量计算出抛物线方程，然后再求出抛物线三角形ABO的面积。可将此类计算分为三种情况：要么抛物线具有十字形，AB两点对应抛物线上的两个拐点；要么AB两点在同一条抛物线上，都在抛物线的根号一侧；要么AB两点在同一条抛物线上，但都在抛物线的根号后侧。

此外，计算抛物线三角形OAB面积时，可以通过求得抛物线的顶点位置O的极坐标来计算：求解抛物线的三个不等式，得到对应的极坐标，由极坐标可以方便地求出抛物线三角形极面积。

总之，求抛物线三角形OAB面积有多种方法，由于这种三角形相当一般，有使用力学知识计算抛物线方程的方法，也有求极面积的方法。根据具体情况的需求可以选择不同的方式，计算出抛物线三角形对应的位置和面积。