高中数学必修二导学案：第三章第三节两条直线的交点坐标
高中数学人教版必修2导学案：3.3.1两条直线的交点坐标
§3.3.1两条直线的交点坐标【使用说明与学法指导】1.先精读一遍教材P71-72,用红色笔对重点内容进行勾画；再针对导学案二次阅读并解决预习探究案中的问题；训练案在自习或自主时间完成。
2. 预习时可对合作探究部分认真审题，做不完或者不会的正课时再做，对于选做部分BC 层可以不做。
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题并记录下来，准备课上讨论质疑。
【学习目标】1.会求两直线的交点坐标，会判断两直线的位置关系。
2.通过两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。
掌握数形结合的方法。
3.通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系。
能够用辩证的观点看问题。
【学习重点】判断两直线是否相交，求交点坐标。
【学习难点】两直线相交与二元一次方程的关系。
【知识链接】1．直线方程有哪几种形式？2．平面内两条直线有什么位置关系？【预习、探究案】探究一：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0如何求它们的交点坐标呢？探究二：例1、求下列两条直线的交点坐标：l1：3x＋4y－2＝0 l2：2x＋y＋2＝0例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.探究三：已知方程组A1x＋B1y＋C1=0 （1）A2x＋B2y＋C2= 0 （2）当A1，A2，B1，B2全不为零时，方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的什么位置关系？探究四：例3、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：（1）l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0（2）l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y＝0（3）l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0【课堂小结】我的疑问：（至少提出一个有价值的问题）今天我学会了什么？【训练案】（时间：15分钟）1.教材109页习题3.3A组1,2,32. 光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。
高中数学必修2第三章第三节《直线的交点坐标与距离公式》全套教案
直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标【教学目标】1.理解求两条直线交点的方法思想，即解方程组的转化思想；2.能正确地通过解方程组确定交点坐标；3.通过求交点坐标判断两条直线的位置【教学重点难点】对转化思想的理解，求两条直线交点即解方程组确定交点坐标，过定点直线系的定点求法，对含字母参数解的讨论【学前准备】：多媒体，预习例题两点间的距离【教学目标】1．根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线求交点；2．会求平面内两点间的距离，及建立恰当的直角坐标系。
【教学重难点】两条直线的平行与垂直的判定方法1．根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线求交点；2．会求平面内两点间的距离，及建立恰当的直角坐标系。
【学前准备】：多媒体，预习例题三.巩固练习（20分钟）已知两直0111=++ybxa线和0122=++ybxb的交点为P（2，3），求过两点),(),(2211baBbaA、的直线方程四．小结谈收获五.布置作业完成课后习题1．求两点12(3,5),(1,2)P P-间的距离；2．在X轴上有和原点及点（5，-3）等距离的点，求此点的坐标；3．已知A(5,-8),B(-3,6) 延长AB至点P点使|PB|=21|AB|,求P 点坐标；4．如果点A(x,4)与点B(0,-2)的距离是10个单位，求A的位置；5．求证以A(-6,8)、B(6,-8)、C(8,6)为顶点的三角形是等腰三角形；6．已知点P到两条坐标轴及点（3，6）距离相等，求点P的坐标；7．若)1,1(),3,2(BA--，点)2,(aP是AB的垂直平分线上一点，则=a___________；8．在平行四边形ABCD中，顶点A、B、C的坐标各为（-1，-1），（5，-1），（3，5）。
求顶点D的坐标；9．已知,x y满足221x y+=，求226825x y x y++-+的最大值和最小值；10．已知01,01x y<<<<，求证：,x y()()()()2222 2222111122 x y x y x y x y +++-+-++-+-≥，并求使等式成立的条件.参考答案：1．5，2．17,05⎛⎫⎪⎝⎭，3．解：设P （x,y ），利用P 在直线AB 上得x,y 的一个式子，再利用|PB|=21|AB|得x,y 的另一个式子，联解即可得713x y =-⎧⎨=⎩，即P （-7，13）。
高中数学必修2两直线的交点导学案.doc
安边中学高一年级1学期数学学科导学稿执笔人：邹英总第课时备课组长签字：________ 包级领导签字： __________ 学生： ________ 上课时间： _______集体备课个人空间一、课题：两条直线的交点二、学习目标1、掌握判断两条直线相交的方法；2、会通过解方程组求两条直线的交点坐标。
三、教学过程【自主预习】1、（ 1）两直线1、y = k x x + b、,直线l2 y = k2x + b2 H 筠）。
若片〃h,贝g ;反之，若，贝g ;（2）若A，＜2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是，从而它们互相。
2、判断下列直线的位置关系(1) Zi：2x—y+4=0 与仏：x—y+5=0(2) 1、： x+2 = 0 与72： 3 = 0(3) I、：3x+y= 0 与厶：6x+2y—1 = 0【合作探究】探究内容（一）判断两直线相交的方法1、一般地，如果两条不重合的直线方程为厶：+ + Q = 0, /2：A.x +B.y + C, =0，如果斜率不相等，则它们。
2、【自主预习】中第2题中哪些直线相交？探究内容（二）求两直线交点的方法1、求两条直线的交点，就是求这两条直线方程的例1、求下列两直线交点坐标厶：3x + 4y —2 = 0, /2： 2x+y + 2 = 0的交点。
例2：判断下列各对直线的位置关系。
如果相交，求出交点坐标。
(1)/]: x — y=0,仁：3x + 3y —10 = 0；(2)人：3x - y - 0 , Z2: 6x — 2y = 0 ；(3)Zj: 3x + 4y— 5 — 0 > Z2: 6x + 8y —10 = 0。
【检测训练】1、求经过原点且经过以下两条直线：厶：3x + 4y —2 = 0, /2 :2x + y + 2 = 0.的交点的直线方程。
2、判断两条直线是否相交，具体方法如下：(1)当两条直线的斜率都存在时，只要两斜率不相等，则它们；(2)当两条直线中有一条斜率存在，另一条不存在时，它们一定；(3)当两条直线的斜率均不存在时，它们一定。
人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式导学案
直线的交点坐标与距离公式【学习目标】1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】 要点一：直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可.若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122A BA B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ．要点三：两点间的距离公式两点111222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为12PP =要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.要点四：点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为d =要点诠释：（1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.要点五：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距离为d =.要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式2221||BA C C d +-=时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x ，y 的系数分别是相同的，才能使用此公式.【典型例题】类型一、判断两直线的位置关系例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：（1）5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩；（2）26301132x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩；（3）2601132x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩．【答案】（1）1014,33⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）重合；（3）平行． 【解析】（1）解方程组5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得该方程组有唯一解103143x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两直线相交，且交点坐标为1014,33⎛⎫-⎪⎝⎭． （2）解方程组2630 1132x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6得2x －6y+3=0，因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．（3）解方程组260 1132x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．【总结升华】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 举一反三：【变式1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：（1）l1：2x+y+3=0，l2：x―2y―1=0；（2）l1：x+y+2=0，l2：2x+2y+3=0；（3）l1：x―y+1=0；l2：2x―2y+2=0．【答案】（1）直线l1与l2相交，交点坐标为（―1，―1）．（2）直线l1与l2无公共点，即l1∥l2．（3）两直线重合．类型二、过两条直线交点的直线系方程例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．【答案】15x+5y+16=0【解析】可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．解法一：设所求的直线为l，由方程组233020x yx y--=⎧⎨++=⎩得3575xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∵直线l和直线3x+y―1=0平行，∴直线l的斜率k=―3．∴根据点斜式有73355y x⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=---⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即所求直线方程为15x+5y+16=0．解法二：∵直线l过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线l的方程为2x―3y―3+λ(x+y+2)=0，即(λ+2)x+(λ―3)y+2λ―3=0．∵直线l与直线3x+y－1=0平行，∴2323311λλλ+--=≠-，解得112λ=．从而所求直线方程为15x+5y+16=0．【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．举一反三：【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．解方程组31104100x yx y--=⎧⎨++=⎩，得两直线的交点为（2，―3）．将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3y+11)=0．由于m取值的任意性，有2103110x yx y+-=⎧⎨-++=⎩，解得23xy=⎧⎨=-⎩．所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．类型三、对称问题例3．（2016秋 北京期中）求点A （3，―2）关于直线l ：2x ―y ―1=0的对称点A ＇的坐标． 【思路点拨】设点A ＇的坐标为（m ，n ），求得A ＇A 的中点B 的坐标并代入直线l 的方程得到①，再由线段A ＇A 和直线l 垂直，斜率之积等于―1得到②，解①②求得m ，n 的值，即得点A ＇的坐标．【答案】134(,)55-【解析】设点A （3，―2）关于直线l ：2x ―y ―1=0的对称点A ＇的坐标为（m ，n ）， 则线段A ＇A 的中点32(,)22m n B +-， 由题意得B 在直线l ：2x ―y ―1=0上，故3221022m n +-⨯--= ① 再由线段A ＇A 和直线l 垂直，斜率之积等于―1得22131n m +⨯=-- ②，解①②所成的方程组可得：134,55m n =-=， 故点A ＇的坐标为134(,)55-． 【总结升华】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．例4．求直线x ―y ―2=0关于直线l ：3x ―y+3=0对称的直线方程． 【答案】7x+y+22=0【解析】 解法一：由20330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得交点59,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，取直线x ―y ―2=0上一点A （0，―2），设点A 关于直线l ：3x ―y+3=0的对称点为A ＇（x 0，y 0）， 则根据'1AA l k k ⋅=-，且线段AA ＇的中点在直线l ：3x ―y+3=0上，有00002310232022y x x y +⎧⨯=-⎪-⎪⎨-⎪⨯-+=⎪⎩，解得0031x y =-⎧⎨=-⎩． 故所求直线过点59,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭与（―3，―1）． ∴所求直线方程为95722x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭． 即7x+y+22=0．解法二：设P （x ，y ）为所求直线上任意一点，P 关于直线l ：3x ―y+3=0的对称点P ＇（x ＇，y ＇）．根据PP ＇⊥l 且线段PP ＇的中点在直线l 上，可得'31'''33022y yx x x x y y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⋅-+=⎪⎩，解得8618'10686'10x y x x y y -+-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩．又∵P ＇（x ＇，y ＇）在直线x ―y ―2=0上， ∴8618686201010x y x y -+-++--=，即7x+y+22=0．故所求直线方程为7x+y+22=0．【总结升华】 轴对称问题一般利用这两种方法求解，其中解法二是求轨迹方程的常用方法，称为代入法．举一反三： 【变式1】（1）求点P （x 0，y 0）关于直线x ―y+C=0的对称点坐标；（2）求直线l 1：Ax+By+C=0关于直线l 2：x+y ―3=0的对称直线l 3的方程． 【答案】（1）（y 0―C ，x 0+C ）；（2）Bx+Ay ―3A ―3B ―C=0．【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 要点（二）中的例1】 【变式2】l 过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线l 的方程．【答案】1y = 20x y += 【解析】法一：直线l 过AB 的中点（1，1），所以l 的方程为1y =． 直线//l AB ，则设l 的方程为1(2)y k x -=+ 则12k =-，所以l 的方程为：20x y += 法二：由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为1(2)y k x -=+，则A 、B 两点到直线l 的距离=解得：10,2k k ==-所以l 的方程为：1y =和20x y +=类型四、两点间的距离 例5．已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0），求证：△ABC 是等腰三角形． 【解析】 先分别求出三边之长，再比较三边的长短，最后下结论．∵||AB ==||AC ==||BC ==∴|AC|=|BC|．又∵A 、B 、C 三点不共线，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】 利用两点间距离公式即可求出两点间的线段的长度，进而可解决相关问题，在运用两点间距离公式时只需将两点坐标代入公式即可．举一反三：【变式1】以点A （―3，0），B （3，―2），C （―1，2）为顶点的三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不是 【答案】C【解析】22(33)236440210=--+=+==AB ，22(13)(22)16163242=--+--=+==BC ，22(13)2822=-++==AC ，∵222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形． 故选：C ． 例6．已知直线l 过点P （3，1），且被两平行直线l 1：x+y+1=0，l 2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程．【答案】y=1或x=3【解析】 设直线l 与直线l 1、l 2分别交于点A （x 1，y 1）、B （x 2、y 2），则11221060x y x y ++=⎧⎨++=⎩，两方程相减，得(x 1―x 2)+(y 1―y 2)=5， ①由已知及两点间距离公式，得(x 1―x 2)2+(y 1―y 2)2=25， ②由①②解得121250x x y y -=⎧⎨-=⎩或12125x x y y -=⎧⎨-=⎩，又点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在直线l 上，因此直线l 的斜率为0或不存在，又直线l 过点P （3，1），所以直线l 的方程为y=1或x=3．【总结升华】 从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解题过程．这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能．另外，灵活运用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的．举一反三：【变式1】如图，直线l 上有两点A 、B ，A 点和B 点的横坐标分别为x 1，x 2，直线l 方程为y=kx+b ，求A 、B 两点的距离．【答案】2222121||(1)()1||AB k x x k x x =+-=+-类型五、点到直线的距离例7． 在△ABC 中，A （3，3），B （2，―2），C （―7，1），求∠A 的平分线AD 所在直线的方程． 【答案】y x =【解析】 设M （x ，y ）为∠A 的平分线AD 上的任意一点，由已知可求得AC 边所在直线的方程为x ―5y+12=0，AB 所在直线的方程为5x ―y ―12=0．由角平分线的性质得2626=，∴x ―5y+12=5x ―y ―12或x ―5y+12=y ―5x+12，即y=―x+6或y=x ． 但结合图形（如图），可知k AC ＜k AD ＜k AB ，即155AD k <<， ∴y=－x+6不合题意，故舍去．故所求∠A 的平分线AD 所在直线的方程为y=x ．【总结升华】 本例利用角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等这一性质，创设了运用点到直线的距离公式的条件，从而得到角的平分线上任意一点的坐标（x ，y ）所满足的方程，化简即得到所求的直线方程．由此可见，灵活运用点到直线的距离公式的关键在于创设出点到直线的距离这一条件．举一反三：【变式1】求点P 0（―1，2）到下列直线的距离： （1）2x+y ―10=0；（2）x+y=2；（3）y ―1=0．【答案】（1）2）2（3）1【解析】（1）根据点到直线的距离公式得d ===（2）直线方程可化为x+y ―2=0，所以d ==（3）因为直线y ―1=0平行于x 轴，所以d=|2―1|=1． 类型六、两平行直线间的距离例8．已知直线1l ：ax +y +2=0（a ∈R ），（1）若直线1l 的倾斜角为120°，求实数a 的值； （2）若直线1l 在x 轴上的截距为2，求实数a 的值；（3）若直线1l 与直线2l ：2x －y +1=0平行，求两平行线之间的距离．【思路点拨】（1）由题意可得tan120°=－a ，解方程可得；（2）令y =0，解得x 即直线1l 在x 轴上的截距，可得关于a 的方程，解方程可得；（3）由直线的平行关系可得a 值，代入两平行线之间的距离公式计算可得．【解析】（1）由题意可得tan120°=－a ，解得=a（2）令y =0，可得2=-x a ，即直线1l 在x 轴上的截距为22-=a，解得a =－1； （3）∵直线1l 与直线2l ：2x －y +1=0平行， ∴a =－2，∴直线1l 的方程可化为2x ―y ―2=0=举一反三：【变式1】直线l 1过点A （0，1），l 2过点B （5，0），如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方程．【答案】12:12550:125600l x y l x y -+=⎧⎨--=⎩或12:0:5l x l x =⎧⎨=⎩．。
必修2第三章教案 两条直线的交点坐标、两点间的距离
两条直线的交点坐标、两点间的距离一、新知学习A ．两条直线的交点坐标已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=．结论1 如果两条直线1l 和2l 相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是方程组1112220,0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解． 结论2 反之，如果这两个二元一次方程只有一组公共解，那么以这组解为坐标的点必是直线1l 和2l 的交点．结论3 用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．B ．一般式条件下两直线相交、重合、平行与垂直的条件 设直线1111:0l A x B yC ++=，2222:0l A x B y C ++=，则有 结论1 直线1l 、2l 相交的条件为12210A B A B -≠或112222(,0)A B A B A B ≠≠． 结论2 直线1l 、2l 重合的充要条件为122112210,0,A B A B B C B C -=⎧⎨-=⎩或122112210,0,A B A B A C A C -=⎧⎨-=⎩或111222222(,,0)A B C A B C A B C ==≠． 结论3 直线1l 、2l 平行的充要条件为122112210,0A B A B B C B C -=⎧⎨-≠⎩或122112210,0.A B A B A C A C -=⎧⎨-≠⎩或111222222(,,0)A B C A B C A B C =≠≠． 结论4 直线1l 、2l 垂直的充要条件为12120A A B B -=．结论1、2、3的证明：将两条直线方程联立，得方程组1112220,0.A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩ ①消去y ，整理得12211221()AB A B x BC B C -=- ②．将方程组消去x ，整理得12211221()()AB A B y AC A C -=-- ③．则 （ⅰ）直线1l ，2l 相交当且仅当方程组①有唯一解，当且仅当方程②或方程③有唯一解，当且仅当12210AB A B -≠或112222(,0)A B A B A B ≠≠． （ⅱ）直线1l ，2l 重合当且仅当方程组①有无穷多解，当且仅当方程②或方程③有无穷多解，当且仅当122112210,A B A B B C B C -=⎧⎨-=⎩或122112210,0,A B A B A C A C -=⎧⎨-=⎩或111222222(,,0)A B CA B C A B C ==≠． （ⅲ）直线1l ，2l 平行当且仅当方程组①无解，当且仅当方程②与方程③同时无解，当且仅当122112210,0A B A B B C B C -=⎧⎨-≠⎩或122112210,0,A B A B A C A C -=⎧⎨-≠⎩或111222222(,,0)A B C A B C A B C =≠≠． （ⅳ）此情况不能用方程组讨论，需利用直线的方向向量或法向量讨论．分别取直线1l ，2l 的方向向量11(,)B A =-a ，22(,)B A =-b ，则直线1l ，2l 垂直当且仅当12121212()()0B B A A A A B B ⋅=+--=+=a b ．C ．斜截式条件下两直线的相交、重合、平行与垂直的条件设两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，倾斜角分别是1α，2α，则 结论1 直线1l 、2l 相交的充要条件为12k k ≠或12αα≠． 结论2 直线1l 、2l 重合的充要条件为1212=,k k b b ⎧⎨=⎩或1212=,.b b αα⎧⎨=⎩结论3 直线1l 、2l 平行的充要条件为1212=,k k b b ⎧⎨≠⎩或1212=,.b b αα⎧⎨≠⎩结论4 直线1l 、2l 垂直的充要条件为121k k =-或12||90αα-=︒．D ．两点间的距离公式条件：点111(,)P x y ，222(,)P x y ． 结论：12||PP=特例：（1）点(,)P x y 到原点O 的距离||OP=．（2）当12PP x ⊥轴时，12||PP =21||y y -．（3）当12PP y ⊥轴时，12||PP=21||x x -．二、知识迁移A ．概念理解 1．判断题：（1）若点(,)A a b 在直线:0l Ax By C ++=上，则点A 的坐标一定适合直线l 的方程．（2）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解． （3）当A ，B 两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．结果：（1）正确．（2）正确．（3）错误．2．口答：（1）若点(1,)A b 是直线2310x y ++=上一点，则b = ．（2）若直线210x y ++=与直线40x y --=的交点为(,)a b ，则a b -= ． （3）点(3,4)M -到坐标原点的距离||OM = ．结果：（1）1-．（2）4．（3）5．3．思考：（1）若两直线的方程组成的二元一次方程组有解，则两直线是否相交于一点？ （2）若两条直线中有一条斜率存在，另一条斜率不存在，则这两条直线相交吗？结果：（1）不一定．两条直线是否相交，取决于联立两直线方程所得方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多解，则两直线重合． （2）相交．因为两直线仅有三种位置关系：平行、相交、重合，而此处一条线率存在，另一条不存在，显然不能平行或重合，故一定相交．4．写出满足下列条件的直线的点斜式方程：（1）下列直线中，与直线340x y +-=相交的直线为A ．30x y +=B ．1123y x =--C ．143y x =-+ D ．23x y =（2）若直线0x y a --=与x 轴相交于点M 的横坐标为3，则a = ．结果：（1）D ．（2）3．5．思考：当A ，B 两点在坐标轴上时，利用两点间的距离公式求||AB 还适用吗？解：适用．因为两点间的距离公式适用于平面内任意两点．6．（1）求下列两点间的距离： （ⅰ）(2,5)A -，(2,5)B --．（ⅱ）(3,4)A ，(2,1)B -．（ⅲ）(0,0)A ，(3,4)B ． （2）已知ABC △是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的坐标系，证明1||||2AM BC =．B ．与两条直线交点有关的问题例 （1）若直线21y x k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是A ．62k -<<-B ．106k -<<C ．5122k -<<D ．12k >（2）过1:35100l x y --=和2:10l x y ++=的交点，且平行于3:250l x y +-=的直线方程为 ．（3）求经过点(2,3)且经过1:340l x y +-=与2:5260l x y ++=的交点的直线方程．解：（1）C ．（2）21208x y ++=．（3）联立340,5260,x y x y +-=⎧⎨++=⎩得2,2.x y =-⎧⎨=⎩所以1l ，2l 的交点为(2,2)-．由两点式可得：所求直线方程为322322y x --=---，即4100x y -+=．变式 求经过两直线1:240l x y -+=和2:20l x y +-=的交点P ，且与直线3:3450l x y -+=垂直的直线l 的方程．解：解方程组240,20x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得两直线交点(0,2)P ，因为直线3l 的斜率为34，所以直线l 的斜率为43-．所以直线l 的方程为42(0)3y x -=--，即4360x y +-=．C ．距离公式应用例 （1）已知点(,4)M x -与点(2,3)N 间的距离为x 的值为 ．（2）已知点(,5)x 关于点(1,)y 的对称点为(2,3)--，则点(,)P x y 到原点O 的距离为 ．（3）已知(3,4)A -，B ，在x 轴上找一点P ，使||||PA PB =，并求||PA 的值．解：（1）9或5-．（2．（3）设点P 的坐标为(,0)x ，则有||PA ||PB由||||PA PB =得2262547x x x x ++=-+，解得95x =-．即所求点P 的坐标为9(,0)5-且||PA变式1 已知(3,4)A -，(2,3)B ，在y 轴上找一点P ，使||||PA PB =，并求||PA 的值．解：设点P 的坐标为(0,)y ，则有||PA ||PB由||||PA PB =得22825613y y y y -+=-+，解得6y =．即所求点P 的坐标为(0,6)且||PA变式 2 在平面直角坐标系中，已知ABC △的三个顶点为(1,4)A ，(4,0)B ，(3,1)C -，试判断三角形的形状．解：由两点间距离公式得，||5AB ，||BC ||5AC ．所以||||AB AC =，且222||||||AB AC BC +=，故三角形为等腰直角三角形．D ．由直线的位置关系求参数值或范围例 （1）已知直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:320l mx y +-=．（ⅰ）若1l ∥2l ，求m 的值．（ⅱ）若12l l ⊥，求m 的值．（2）．结果：（1）（ⅰ）．（ⅱ）．．（2）（ⅰ）3m =-或2m =．（ⅱ）35m =-．变式 （1）．（2）已知直线1:310l ax y ++=，直线2:(2)0l x a y a +-+=．（ⅰ）若12l l ⊥，求实数a 的值．（ⅱ）若1l ∥2l ，求实数a 的值．结果：（1）（ⅰ）．（ⅱ）．．（2）（ⅰ）32a =．（ⅱ）3a =．E ．解析法证明平面几何问题例 （1）ABC △中，D 是BC 边上的任意一点（D 与B ，C 不重合）， 且22||||||||AB AD BD DC =+⋅．求证：ABC △为等腰三角形．（2）已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，试建立适当的直角坐标系，证明：||||AC BD =．证明：（1）作AO BC ⊥，垂足为O ，以BC 边所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设(0,)A h ，(,0)B b ，(,0)C c ，(,0)D d ．已知22||||||||AB AD BD DC =+⋅，则由两点间距离公式得2222()()b h d h d b c d +=++--，化简得()()()()d b b d d b c d --+=--．因为点D 与B ，C 不重合，所以0d b -≠，于是b d c d --=-，即b c -=．所以||||OB OC =，于是||||AB AC =，即ABC △为等腰三角形．（2）以下底AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系． 设(,0)A a -，(,)C b c ，由等腰梯形的性质可知：(,0)B a ，(,)D b c -，则||AC||BD ||||BD AC =．变式1 ABD △和BCE △是在直线AC 同侧的两个等边三角形，用解析法证明：||||AE CD =．解：以B 为坐标原点，取AC 所在的直线为x 轴，以垂直于AC 且经过B 点的直线为y 轴，建立平面直角坐标系． 设ABD △和BCE △的边长分别为a 和c ，则(,0)A a -，(2cE ，(,0)C c，(2a D -，则||AE||CD ，所以||||AE CD =．变式2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明：如图，以顶点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，有(0,0)A ． 设(,0)B a ，(,)D b c ，由平行四边形的性质的点C 的坐标为(,)a b c +．因为22||AB a =，22||CD a =，222||AD b c =+，222||BC b c =+， 222||()AC a b c =++，222||()BD b a c =-+，所以2222222||||||||2()AB CD AD BC a b c +++=++，22222||||2()AC BD a b c +=++， 所以222222||||||||||||AB CD AD BC AC BD +++=+．因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．)。
人教版高一数学必修二导学案：3.3两条直线的交点坐标
3.3.1两条直线的交点坐标一、考纲要求1.学习目标:知识与技能：会求两直线的交点坐标，会判断两直线的位置关系。
过程与方法：通过两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。
掌握数形结合的方法。
情感态度与价值观：通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系。
能够用辩证的观点看问题。
2、学习重点、难点：学习重点: 判断两直线是否相交，求交点坐标。
学习难点: 两直线相交与二元一次方程的关系。
二、自主学习阅读教材P 102-104完成下面问题并填空【提出问题】已知二元一次方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩ 问题1：二元一次方程组的解法有哪些？问题2：在方程组中，每一个方程都可表示为一条直线，那么方程组的解说明什么？问题3：若给出两直线与，如何求其交点坐标？【导入新知】三、考点突破例1 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：⑴ 12:5420,:220;l x y l x y +-=++=⑵1211:2630,:;32l x y l y x -+==+ ⑶1211:260,:;32l x y l y x -==+变式训练1. 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：⑴ 12:230,:210;l x y l x y ++=--=⑵ 12:20,:2230;l x y l x y ++=++=例2 求证:不论m 为何实数，直线(1)(21)5m x m y m -+-=-都过某一定点。
变式训练2.求经过两直线1:3420l x y +-=和2:220l x y ++=的交点且过坐标原点的直线l 的方程。
例3 若三条直线123:10,:10,:0l ax y l x ay l x y a ++=++=++=能够成三角形，则a 应满足的条件是什么？变式训练3. 直线210,1,2y x y x y ax =+=+=-交于一点，则a 的值为多少？四、考点巩固1.直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点的坐标为（ ）A. (4,3)--B. (4,3)C. (4,3)-D. (3,4)2.若,p q 满足21p q -=，直线30px y q ++=必过一个定点，则该定点坐标为 。
高中数学人教A版必修2导学案设计：3.3.1两条直线的交点坐标(学生版)
章节3.3.1 课题两条直线的交点坐标教学目标1.会根据方程组解的情况判断两条直线的位置关系；2.会由两条直线的位置关系求直线方程中的参数值；3.会求两条直线的交点坐标，并理解交点直线系的意义；教学重点根据方程组解的情况判断两条直线的位置关系教学难点理解交点直线系的意义及定点问题【复习回顾】如何用代数方法求二元一次方程组237421x yx y-=⎧⎨+=⎩的解?课前预习案【新知探究】探究一、两条直线交点的坐标问题1：几何元素及其关系怎样用代数形式表示？几何元素及其关系代数表示点A A（a，b）直线l点A在直线l上直线1l与2l的交点是A问题2：已知两条直线1111:A B C0l x y++=，2222:A B C0l x y++=相交，如何求交点的坐标？探究二、判断两条直线的位置关系问题3：已知直线1111:A B C0l x y++=，直线2222:A B C0l x y++=，如何判断这两条直线的关系？新知1：若二元一次方程组有解，则1l与2l相交；若二元一次方程组，则1l与2l平行；若二元一次方程组有解，则1l与2l重合。
◆◆说明：在平面几何与立体几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究．例题2.求证：不论m 取何值，直线 (m -1)x +(2m -3)y =m -5都经过一个定点，并求这个定点的坐标. 例题3.两条直线和的交点在第四象限,则实数k 的取值范围是课后达标案【达标检测】A 组1.过原点和直线与的交点的直线的方程为( ) A.B.C.D.2.已知直线1:30l Ax y C ++=，2:2340l x y -+=，若12,l l 的交点在y 轴上，则C 的值为（ ） （A ）4 （B ）-4 （C ）4或-4 （D ）与A 的取值有关3.不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0 恒过定点 （ ）（A ）(1, －21) （B ）(－2, 0) （C ）(2, 3) （D ）(－2, 3)4.已知点P(－1, 0), Q(1, 0), 直线y ＝－2x ＋b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是 A.[－2, 2] B.[－1, 1] C.[－21, 21] D.[0, 2] 5.若直线1:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，则k 的取值范围是 。
高中数学《两条直线的交点坐标》导学案
数学（高二上）导学案再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋c ＝0， 把(0,1)代入所求的直线方程，得c ＝－1， 故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二 设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )，即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0， 由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53，所以直线：83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.要点二 两点间距离公式的应用例2 已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)、B (3，－3)、C (1,7)，试判断△ABC 的形状．解 法一 ∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213， 又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB=－3－13－(－3)＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形．跟踪演练2 已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,1)、B (3，－3)、C (1,7)．(1)求BC 边上的中线AM 的长；(2)证明△ABC 为等腰直角三角形．解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，因为点M 为BC 的中点，所以x ＝3＋12＝2，y ＝－3＋72＝2，即点M 的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM |＝(－3－2)2＋(1－2)2＝26，所以BC 边上的中线AM 的长为26.(2)证明根据题意可得，|AB|＝(－3－3)2＋(1＋3)2＝213，|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，|AC|＝(－3－1)2＋(1－7)2＝213，所以|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，△ABC为等腰直角三角形．要点三坐标法的应用例3证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a ＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.跟踪演练3已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC 和BD. 求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝(b－0)2＋(c－0)2＝b2＋c2，|BD|＝(a－b－a)2＋(c－0)2＝b2＋c2.故|AC|＝|BD|.三、讨论交流点拨提升1．直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代。
苏教版高中数学必修二导学案两条直线的交点(1)
2.1.4 两条直线的交点学习目标1. 会求两直线的交点；2. 理解两条直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.学习过程一 学生活动 问题： 两条直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：是否有交点？若有交点如何来求解？ 二 建构知识设两条直线的方程分别是0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：：方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 一组 无数组 无解 直线211,l 的公共点个数直线211,l 的位置关系三 知识运用 例题直线l 经过原点，且经过另两条直线010832=--=++y x y x ，的交点，求直线l 的方程．（1）已知直线l 经过两条直线020332=++=--y x y x ，的交点，且与直线013=-+y x 平行，求直线l 的方程．（2）已知直线l 经过两条直线024301022=-+ =+-y x y x ，的交点，且垂直于直线0423=+-y x ，求直线l 的方程．例1 例2例3 某商品的市场需求量1y （万件），市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：701+-=x y ，2022-=x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量． （1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？巩固练习1．与直线032=--y x 相交的直线的方程是（ ） A ．0624=--y x B ．x y 2=C ．52+=x yD ．32+-=x y 2．若三条直线010832=--=++y x y x ，和021=+++k ky x 相交于一点， 则k 的值为_______________．3．（1）两条直线0=-y x 和02=++y x 的交点，且与直线013=-+y x 平行的直线 方程为_______________．（2）过直线042=+-y x 与直线05=++y x 的交点，且与直线02=-y x 垂直的 直线方程是_______________．4．已知直线1l 的方程为03=++C y Ax ，直线2l 的方程为0432=+-y x ，若1l ，2l 的交点在y 轴上，则C 的值为（ ）A ．4B ．4-C ．4±D ．与A 有关四 回顾小结会求两直线的交点，以及两直线方程联立方程组的解的个数与直线位置关系的联系 五 学习评价 双基训练x市场需求量1y107070 10O 平衡需求量平衡价格市场供应量2yy1.直线1:2312l x y +=与2:240l x y --=的交点坐标为2.如果两条直线230x y m +-=和120x my -+=的交点在y 轴上，则m 的值为3.若三条直线2380,10,0x y x y x ky ++=--=+=相交于一点，则实数k 的值等于4.若直线l 经过两条直线210,2390x y x y -+=++=的交点，且与直线3420x y +-=垂直，则直线l 的方程为5.直线420ax y +-=与直线250x y c -+=垂直并且相交于点（1，m ），则a = ，c = ，m =6.若直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为 .7.已知P 是直线l 上的一点，将直线l 绕P 点逆时针方向旋转角(0)2παα<<所得直线的1l 的方程为3x-y-4=0.若继续绕P 点逆时针旋转2πα-，则得直线2l 的方程为210x y ++=.求直线l 的方程.拓展延伸8.若三条直线440,10,10x y mx y x y ++=++=-+=不能围成三角形，求实数m 的值.9.(1)当λ变化时，方程21(239)0x y x y λ-++++=表示什么图形？图形有何特点？（2）求经过直线210x y -+=和2390x y ++=的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程.。
教案高一数学人教版必修二 3.3.1 两条直线的交点坐标
双峰一中高一数学必修二教案科目：数学课题§3.3.1 两条直线的交点坐标课型新课教学目标（1）直线和直线的交点，二元一次方程组的解。
（2）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.（3）掌握数形结合的学习法.（4）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.教学过程教学内容备注一、自主学习二、质疑提问三、问题探究四、课堂检测五、小结评价1、直线与直线的位置关系及其判断（解方程组求交点坐标、系数是否成比例）2、求两直线的交点坐标，解二元一次方程组，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。
3、直线系方程及应用。
小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
在小学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。
如何培养中学生的自主学习能力？01学习内容的自主性1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。
2、有一个关于以后的人生设想。
3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。
4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。
5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。
6、会针对自己的弱项设定学习目标。
7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。
8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。
9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。
10、自己不感兴趣的学科也好好学。
11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。
12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。
02时间管理13、常常为自己制定学习计划。
14、为准备考试，会制定一个详细的计划。
15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。
16、常自己寻找没有干扰的地方学习。
人教新课标版数学高一A版必修2导学案 3.3.1两条直线的交点坐标
3．3.1 两条直线的交点坐标1．了解两条直线的交点坐标是它们的方程组成的方程组的解． 2．会用方程组解的个数判定两条直线的位置关系．两条直线的交点坐标(1)求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．(2)应用：可以利用两条直线的__________判断两条直线的位置关系．一般地，将直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.当方程组________解时，l 1和l 2相交，方程组的解就是交点坐标； 当方程组____解时，l 1与l 2平行；当方程组________解时，l 1与l 2重合．若两个直线方程组成的方程组有解，则这两条直线不一定相交，还可能重合． 【做一做1】 直线x ＝1与直线y ＝2的交点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(1,1) D ．(2,2)【做一做2】 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，当l 1与l 2平行时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个答案：(2)交点个数 有惟一 无 有无数组 【做一做1】 A 【做一做2】 A1．利用直线方程的一般式，判断两条直线的位置关系 剖析：设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.利用直线平行或垂直时，斜率之间的关系，可以得到如下结论：(1)l 1∥l 2A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2；l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2＝A 2B 1，A 1C 2≠A 2C 1(或B 1C 2≠B 2C 1).(2)l 1与l 2相交A 1A 2≠B 1B 2；l 1与l 2相交A 1B 2≠A 2B 1.(3)l 1与l 2重合A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2；l 1与l 2重合⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2＝A 2B 1，B 1C 2＝B 2C 1，A 1C 2＝A 2C 1.(4)l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．直线系方程剖析：具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程．直线系方程的特点是除含坐标变量x ，y 以外，还含有特定系数(也称参变量)．(1)共点直线系方程：经过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2.(2)平行直线系方程：与直线A x ＋B y ＋C ＝0平行的直线系方程是A x ＋B y ＋λ＝0(λ≠C)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：与A x ＋B y ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是B x －A y ＋λ＝0.(4)特殊平行线与过定点(x 0，y 0)的直线系方程：当斜率k 一定而m 变动时，y ＝kx ＋m 表示斜率为k 的平行直线系，y －y 0＝k (x －x 0)表示过定点(x 0，y 0)的直线系(不含直线x ＝x 0)．在求直线方程时，可利用上述直线系方程设出方程，再利用已知条件求出待定系数 ，从而求出方程．3．直线恒过定点问题剖析：当直线的方程中含有未知参数时，随着参数的变化，直线也发生变化，这些直线组合在一起，构成直线系，它们通常具有相同的某一特征．如果直线系恒过定点，可用分离参数法和赋值法进行求解．如直线(2＋m)x －(1＋2m)y ＋(1＋5m)＝0，其中m ∈R ，我们可以将所给方程的左边分成两部分，一部分含m ，另一部分不含m ，即(2x －y ＋1)＋m(x －2y ＋5)＝0，然后由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，x －2y ＋5＝0，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，这样就能得到不管m 如何变化，直线一定经过的定点(1,3)，这种方法称为分离参数法．也可根据m 的任意性，给m 取两个特殊值，如令m ＝0，得2x －y ＋1＝0，令m ＝1，得3x －3y ＋6＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，3x －3y ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，得到直线恒过的定点(1,3)，这种方法称为赋值法．这两种方法的依据都是恒过的定点一定是其中两条直线的交点，解方程组即得交点坐标．题型一：判断两条直线的位置关系【例1】 判断直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：2x －2y ＋3＝0的位置关系，如果相交，求出交点坐标．反思：可以利用两个直线方程组成的方程组解的个数来判断两条直线的位置关系．当方程组无解时，两条直线平行；当方程组仅有一解时，两条直线相交；当方程组有无数组解时，两条直线重合．题型二：已知两条直线的位置关系求参数的值【例2】 已知直线l 1：x ＋m y ＋6＝0和直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，试分别求实数m 的值：(1)l 1⊥l 2 (2)l 1∥l 2 (3)l 1与l 2重合 (4)相交．反思：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， 当A 1B 2－A 2B 1＝0，C 1B 2－C 2B 1＝0，A 1C 2＝A 2C 1时，l 1与l 2重合； 当A 1B 2－A 2B 1＝0，C 1B 2－C 2B 1≠0时，l 1∥l 2； 当A 1A 2＋B 1B 2＝0时，l 1⊥l 2； 当A 1B 2－A 2B 1≠0时，l 1与l 2相交．题型三：易错辨析易错点 对两条直线平行的条件把握不准确【例3】 直线l 1：3x ＋2＝0，直线l 2：4x －5＝0，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．重合 D ．异面 错解：直线l 1的方程中，A 1＝3，B 1＝0，C 1＝2，直线l 2的方程中，A 2＝4，B 2＝0，C 2＝－5，则A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，于是l 1与l 2重合，故选C.错因分析：错解中忽视了验证A 1C 2－A 2C 1的值是否等于0.反思：当A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0时，l 1∥l 2；当A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0时，l 1∥l 2；当A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，A 1C 2－A 2C 1＝0时，l 1与l 2重合．当然本题借助于图形来解最简单．答案：【例1】 解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x －2y ＋3＝0，得x ＝－2，y ＝－12，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标是⎝⎛⎭⎫－2，－12. 【例2】 解：(1)由题意得1×(m －2)＋m ×3＝0，解得m ＝12.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1×3－(m －2)m ＝0，m ×2m －3×6≠0，解得m ＝－1.(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1×3－(m －2)m ＝0，m ×2m －3×6＝0，解得m ＝3.(4)由题意得1×3－m (m －2)≠0，解得m ≠－1且m ≠3. 【例3】 A1．直线2x ＋3y ＋8＝0和直线x －y －1＝0的交点坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2,1)2．已知两条直线l 1：a x ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0.若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是__________．3．直线(a ＋2)x ＋(1－a)y －3＝0与直线(a ＋2)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0不相交，则实数a ＝__________.4．判断直线l 1：3x ＋2y －2＝0与直线l 2：x －2y －3＝0的位置关系．如果相交，求出交点坐标．5．求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程．答案：1．B 2.a ≠2 3.－2或－234．解：解方程组3220,230,x y x y +-=⎧⎨--=⎩得x ＝54，y ＝－78.所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为57,48⎛⎫-⎪⎝⎭. 5．解：由方程组2330,20,x y x y --=⎧⎨++=⎩解得3,57.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵所求直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝－3，根据点斜式可得 y －75⎛⎫-⎪⎝⎭＝－335x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.。
人教A版高中数学必修2第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式导学案(2)
Q 的坐标；由此根据点距离公式求出｜ PQ｜，得到
点 P 到直线 l 的距离为 d
y
R
P(x0 ,y0)
d
Q
o
S
x l
此方法虽思路自然，但运算较繁 .下面我们探讨别一种方法
方案二：设 A≠０， B≠０，这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交，过点 P 作 x 轴的平行线，交 l 于点
反射又回到 Q 点，求直线 EF 的方程。
.
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9.在平面直角坐标系中， 已知矩形 ABCD 的长为２， 宽为１， AB 、 AD 边分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， A 点与坐标原点重合 （如图所示） 。将矩形折叠， 使 A 点落在线段 DC 上。
（ 1）若折痕所在直线的斜率为 k ，试求折痕所在直线的方程；
）
A. (4,0)
B. (13,0)
C. (5,0)
D. (1,0)
7.过点 P(4,1) 作直线 l 分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于点 A 、 B ，当 AOB（ O
为原点）的面积 S 最小时，求直线 l 的方程，并求出 S 的最小值。
8.光线从 Q 2,0 发出射到直线 l ：x+y=4 上的 E 点，经 l 反射到 y 轴上 F 点，再经 y 轴
2
2
2
2
2
2
P1Q
M 2M1
x2 x1 ，QP2
N1N 2
y2 y1
2
2
2
2
2
所以， P1P2
P1Q QP2 = x2 x1 y2 y1 。
由此得到两点间的距离公式
例 3 以知点 A（ -1，2），B（ 2， 7 ），在 x 轴上求一点，使 PA PB ,并求 PA 的
高中人教版数学必修2《两直线交点坐标的求法》精品导学案
必修2 第三章§3-3 两直线交点坐标的求法【课前预习】阅读教材P 102-104完成下面填空1.点A （a ,b ）在直线L ：A x +B y +C=0上,则满足条件:2.一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.3.方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.4.对于直线：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴12//l l ⇔ ；⑵1l 和2l 相交⇔ ；⑶1l 和2l 重合⇔ ；⑷12l l ⊥⇔.5.已知两直线12,l l 的方程为1l :1A x +1B y +1C =0,2l :2A x +2B y +2C =0,则两直线的位置关系如下⑴12//l l ⇔ ；⑵1l 和2l 相交⇔ ；⑶1l 和2l 重合⇔ ；⑷12l l ⊥⇔ .【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1.直线3510x y +-=与4350x y +-=的交点是( )A. (2,1)-B. (3,2)-C. (2,1)-D. (3,2)-2.两直线1:1)2l x y +=,2:1)3l x y +=的位置关系是( )A. 平行B. 相交C. 垂直D. 重合3. 直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为 ( ）.A. 1B. －1C. 2D. －24. 若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则m = ．强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5. 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.（1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0；（2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.6. 求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.7.已知直线1l :3mx+8y+3m-10=0 和 2l :x+6my-4=0 问 m 为何值时: （1）.1l 与2l 相交;（2）.1l 与2l 平行;（3）.1l 与2l 垂直;8. 过点P （0，1）作直线l ，使它被两直线1l 2x+y-8=0和2l x-3y+10=0所截得的线段被点P 平分的直线的方程.9. 试求直线1:l x -y -2=0关于直线2l :3x -y +3=0对称的直线l 的方程.强调（笔记）：【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点1.2.3.4.【课后15分钟】自主落实，未懂则问1．两条垂直的直线2x+y+2=0与ax+4y-2=0的交点坐标是 . 2.与直线3450-+=关于x轴对称的直线的方程是( )x yA. 3450x y++=x y+-= B. 3450C. 3450--=x yx y-+= D. 34503. 若直线l：y＝kx2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的斜率的取值范围是.该直线的倾斜角的取值范围是.4. 光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程.5. 已知直线(2)(31)1-=--. 求证：无论a为何值时直线总经过第一象限.a y a x。
人教A版必修二第三章导学案3.3.1两条直线的交点坐标
若方程组无解，则 与 若方程组有且只有一个解，则 与 若方程组有无数解，则 与 .
问题3当λ变化时， （取 画图试试看）
不管 怎么变，交点（1，1）都在直线上？即方程 经过定点________.这个点与两条直线
有什么关系？
【独学二】研究例2做变式
例2：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标：
(1) l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.
(2) l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.
(3) l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.
变式2求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
【课堂小结】通过今天的学习，你有什么疑问和收获？
【堂测】（满分20分）
1、两直线 的交点坐标为（）.
A． B． C． D．
2、点M(1,2)与直线 的位置关系是（）
A . B . C.重合D.不确定
3、已知集合M={(x,y)∣x+y=2}，N={(x,y)∣x–y=4},那么集合M∩N为( )
A. {3,–1}B. 3,–1C. (3,–1)D.{(3,–1)}
4、直线 ，无论 取任意实数，它都过点.
5、一条直线经过点（1，1），以及直线2x-3y+6=0与x轴的交点，则这条直线的方程是________________
课题
3.3.1两条直线的交点坐标
课型
新授课
日期
点拨与总结
主备人ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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第三章第三节两条直线的交点坐标
三维目标
1．会求相交直线的交点坐标；
2．能根据二元一次方程组解的情况判断两条直线的位置关系； 3．理解，归纳出过定点直线系方程。
目标三导 学做思1
问题1. 先填写如下表格，然后归纳：
*归纳：用代数
方法求两条直
线的交点坐
标，只需________ ________________________ _ ________________________ _
问题2.根据上述方法，请尝试求出相交直线x + y=3与x - y=1的交点坐标.
问题3.若直线l 1：A 1x+B 1y +C 1=0, l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，如何根据方程组111222
0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩ 的
解的情况判断这两条直线的位置关系？
问题4.试根据上述方法判断下列各对直线的位置关系 (1) l 1：2x-3y-7=0; 2l ：4x+2y-1=0; (2) l 1：2x-6y+4=0; 2l ：233
x y =
+;
(3) l 1：1)x+y=3; 2l ：1)y =2;
问题5.当λ变化时，方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示什么图形，图形 有何特点？
【思考】无论m 取任何实数时，直线(2m-1)x-(m+3)y-m+11=0均恒过定点，请求出定点的坐标.
【学做思2】
1.求经过两直线1l ：x －3y ＋4＝0和2l ：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线的方程.
【变式】求过两直线3x ＋y －5＝0与2x －3y ＋4＝0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
2. 若直线1l ：01=++y ax 和2l ：0=-+a y x 的交点落在第二象限，求a 的取值范围.
【变式】若直线1l ：x ＋my ＋6＝0和2l ：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0相交，求m 的取值范围.
达标检测
1．在直线3x －4y －27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是( ) A ．(5，－3) B ．(9,0) C ．(－3,5) D ．(－5,3)
2. 过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且平行于直线x －2y ＝0的直线的方程是( ) A ．x －2y ＋11＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．x －2y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0
3. 直线ax ＋3y －12＝0与直线4x －y ＋b ＝0垂直，且相交于点P(4，m)，则b ＝________.
4. 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R),则直线l 过定点____________.
5. 已知直线1l ：x ＋my ＋6＝0和2l ：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， （1）若1l //2l ，求m 之值； （2）若1l 与2l 重合，求m 之值.。