面面垂直答案

合集下载

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的性质》(含解析)

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的性质》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知集合A ={ 1,2}，A ∪B ={ 1,2,3,4}，则满足条件的集合B 有( )个．A. 1B. 2C. 3D. 42.（5分）已知a ∈R ，复数z =3+i1+ai (i 为虚部单位)为纯虚数，则z 的共轭复数的虚部为()A. 1B. −1C. iD. −i3.（5分）已知函数f(x)={lo g 2(4−x),x <41+2x−1,x ⩾4，则f(0)+f(log 232)=( )A. 19B. 17C. 15D. 134.（5分）扇形OAB 的半径为1，圆心角为90∘，P 是AB ⏜上的动点，OP →⋅(OA →−OB →)的最小值是( )A. 0B. −1C. −√2D. 125.（5分）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m//β“是“α//β”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.（5分）已知函数f(x)=sin (ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2的最小正周期为π，且f(x)是(π3,4π5)上的单调函数，则ϕ的取值范围是( )A. (-π2,-π6] B. (-π2,π6] C. [-π6,-π10]D. [-π6,π2)7.（5分）若实数x ，y 满足{x −y −1⩽0x +2⩾0x +2y −1⩽0，则目标函数z =2x +y 的最大值为( )A. 2B. 3C. −7D. −528.（5分）某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是()A. 1008B. 2017C. 2018D. 30259.（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，公比|q|≠1，若a m=a1a2a3a4a5，则m=()．A. 9B. 10C. 11D. 1210.（5分）已知点P是曲线y=x2−3lnx上任意的一点，则点P到直线2x+2y+3=0的距离的最小值是()A. 74B. 78C. 3√22D. 7√2411.（5分）直线x−2y+2=0关于直线x=1对称的直线方程是()A. x+2y−4=0B. 2x+y−1=0C. 2x+y−3=0D. 2x+y−4=012.（5分）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点(不含端点)，过M作MH//DE交CE于H，作MG//AD交BD于G，连结GH.设CM=x(0<x<3)，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C−GHM的体积y与变量x变化关系的是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）若f(x)=(m−1)x2+6mx+2是偶函数，则f（0）,f（1）,f（-2）从小到大的排列是____________________.14.（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 (1) ；表面积是 (2)15.（5分）已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于__________.16.（5分）设m ，n 已知函数fx )=og2(−|x|+4)的定域是[mn ]值域0，]，若关x 的2|1−x|+m +1=0有一的实解，则m +n = ______ ．17.（5分）已知函数f(x)=12x 2−ax +lnx ，对于任意不同的x 1，x 2∈(0,+∞)，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>3，则实数a 的取值范围为 ______.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f (x)=(x −1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的等比数列(q ∈R,q ≠1,q ≠0).若a 1=f(d −1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q −1)，b 3=f (q +1)， (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，①求证：对任意的n ⩾2，(n ∈N ∗)时 1S 2+1S 3+⋯+1S n<1②设数列{c n }对任意的自然数n 均有c1b 1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+c n b n=S n+1成立，求c 1+c 2+c 3+⋯+c n 的值．19.（12分）已知函数f(x)=√32sin(ωx +φ)+sin 2(ωx+φ2)−12(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π. (1)求f(x)的解析式；(2)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f(π2+C)c+f(π2−B)b=1a，求角A 的取值范围．20.（12分）如图，在三棱锥A −BCD 中，ΔABD 为边长等于√2的正三角形，CD =CB =1.ΔADC 与ΔABC 是有公共斜边AC 的全等的直角三角形． (Ⅰ)求证：AC ⊥BD ；(Ⅱ)求D点到平面ABC的距离．21.（12分）已知点(0,1)，(3+2√2,0)，(3−2√2,0)在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x−y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．22.（12分）已知极坐标中，曲线C的极坐标方程为ρ−2cosθ=3ρ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线l的参数方程为{x=−√2+2ty=−1+2t，(t 为参数)，且直线l与曲线C交于M，N两点，(Ⅰ)求直线l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；(Ⅰ)若点P在曲线C上，求ΔPMN面积的最大值．23.（12分）设函数f(x)=|x−a|．(1)当a=2时，解不等式f(x)⩾7−|x−1|；(2)若f(x)⩽1的解集为[0,2]，1m +12n=a(m>0,n>0)，求证：m+4n⩾2√2+3．答案和解析1.【答案】D;【解析】解：集合A ={ 1,2}，A ∪B ={ 1,2,3,4}，所以B 至少含有，3，4两个元素，所以B 的可能情况为：{ 3,4}，{ 3,4,1}，{ 3,4,2}，{ 3,4,1,2}．故选D ．由题意列举集合B 的所有可能情况，得到集合B 的个数．该题考查集合的基本运算，集合中元素的基本性质，考查计算能力．2.【答案】B; 【解析】解：∵z =3+i 1+ai=(3+i)(1−ai)(1−ai)(1+ai)=3+a 1+a 2−3a−11+a 2i 为纯虚数，∴{3+a1+a 2=01−3a 1+a 2≠0，解得a =−3， ∴z =i ，即z −=−i ， ∴z 的共轭复数的虚部为−1. 故选：B.根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．此题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．3.【答案】A; 【解析】该题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．利用函数的解析式，直接求解函数值即可．解：函数f(x)={lo g 2(4−x),x <41+2x−1,x ⩾4，则f(0)+f(log 232)=log 24+1+2lo g 232−1 =2+1+12×32=19．故选：A ．4.【答案】B; 【解析】此题主要考查了向量的坐标运算和三角函数的性质，属于中档题．建立平面直角坐标系，求出向量坐标，设P(cosθ,sinθ)，根据向量坐标的运算得到OP →.(OA →−OB →)，根据三角函数的性质即可求出最值．解：以O 为原点，以OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1). 设P(cosθ,sinθ)，0°⩽θ⩽90°.则OP →=(cosθ,sinθ)，OA →=(1,0),OB →=(0,1).∴OP →.(OA →−OB →)=(cosθ,sinθ).(1,−1)=cosθ−sinθ=−√2sin (θ−45∘). ∵0°⩽θ⩽90°，∴−45°⩽θ−45°⩽45°， ∴当θ=90°时，OP →.(OA →−OB →)取得最小值为−1. 故选B.5.【答案】B;【解析】解：m ⊂α，m//β得不到α//β，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到m//β；α//β，m ⊂α，∴m 和β没有公共点，∴m//β，即α//β能得到m//β； ∴“m//β”是“α//β”的必要不充分条件．故选：B ．m//β并得不到α//β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α//β，并且m ⊂α，显然能得到m//β，这样即可找出正确选项．考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．6.【答案】C;【解析】解：∵函数f(x)=sin (ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的最小正周期为2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=sin (2x +ϕ)．∵f(x)是(π3,4π5)上的单调函数，∴2π3+ϕ⩾π2，且8π5+ϕ⩽3π2，求得−π6⩽ϕ⩽−π10，故选：C ．由题意利用正弦函数的周期性求得ω，再根据单调性求得ϕ的取值范围．此题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．7.【答案】A;【解析】解：作出约束条件不等式组满足{x −y −1⩽0x +2⩾0x +2y −1⩽0的可行域如图：目标函数z =2x +y 在{x −y −1=0x +2y −1=0的交点A(1,0)处取最大值为z =2×1+0=2．故选：A ．画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z =2x +y 的位置，求出最大值．此题主要考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解答该题的关键．8.【答案】A;的值以4为周期呈周期性变化，【解析】解：由y=cos iπ2+1每四个值分为一组，每组的和为6，故a i=i cos iπ2最后满足i<2018的i值为2017，执行循环体后，i=2018，故S共进行为2018次累加，由2018÷4=504……2，故S=6×504+1−2018+1=1008，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．此题主要考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9.【答案】C;【解析】该题考查等比数列的性质、通项公式的灵活应用，属于基础题．根据等比数列的性质得a1⋅a5=a2⋅a4=a32，结合条件和等比数列的通项公式列出方程，求出m的值．解：根据等比数列的性质得，a1⋅a5=a2⋅a4=a32，又a m=a1a2a3a4a5，所以a m=a35，因为a m=a1q m−1=q m−1，a3=a1q2=q2，所以q m−1=(q2)5，所以m−1=10，即m=11，故选：C．10.【答案】D;【解析】解：设P(x,y)，则y′=2x−3x(x>0)，令2x−3x =−1，解得x=1或x=−32，∵x>0，∴x=1，∴y=1，即平行于直线2x+2y+3=0且与曲线y=x2−lnx相切的切点坐标为(1,1)，由点到直线的距离公式可得点P到直线2x+2y+3=0的距离的最小值d=√4+4=7√24，故选：D.求出平行于直线2x+2y+3=0且与曲线y=x2−3lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解．此题主要考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化思想，属于基础题．11.【答案】A;【解析】解：直线x−2y+2=0上的点(−2,0)关于直线x=1对称的点A(4,0)，直线x−2y+2=0上的点(0,1)关于直线x=1对称的点B(2,1)，故直线x−2y+2=0关于直线x=1对称的直线方程，即直线AB的方程，为y−10−1=x−24−2，即x+2y−4=0，故选：A．在直线x−2y+2=0上任取2个点，求出它们关于直线x=1对称的对称点，用两点式可得对称直线的方程．这道题主要考查求一条直线关于另一条直线的对称直线的方法，属于基础题．12.【答案】A;【解析】此题主要考查了面面垂直的性质定理的运用、三棱锥体积公式以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．由题意，画出图形，利用x表示三棱锥的体积，利用导数得到函数的单调区间，即可得到函数图象．解：如图，因为正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，又过M作MH//DE交CE于H，作MG//AD交BD于G，所以GM⊥HM，设CM=x(0<x<3)，则HM=CM，GM=DM=3−x，所以三棱锥的体积为V=13×12×GM×HM×CM=16(3−x)x2=−16x3+12x2，(0<x<3)，V′=−12x2+x，令V′=−12x2+x=0，解得x=0或者x=2，令V′>0得0<x<2，令V′<0得2<x<3，故体积V在(0,2)单调递增，在(2,3)单调递减，所以V关于x的图象如下：故选：A．13.【答案】f（-2）＜f（1）＜f（0）;【解析】略14.【答案】163;16+8√2;【解析】解：几何体的直观图如图，是正四棱柱的一部分，正四棱柱的底面边长为2，棱柱的高为：4；所以几何体的体积为：12×2×2×4−13×12×2×2×4=163．几何体的表面积为：4×2√2+2×12×2×4+12×2×2+12×2√2×√42+22−(√2)2=16+8√2．故答案为：163；16+8√2．由三视图，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积，表面积．此题主要考查三视图求解几何体的体积与表面积，判断几何体的形状是解答该题的关键．15.【答案】7√33;【解析】略16.【答案】1;【解析】解：∵f()=og2(−|x|+4)的值域02]，即：m+n1结合可n=3由函数f()=log(−|+4)的定义域[m,n]，|x|∈[0,]…∴−|∈[−3,0]则m=2故答案1由关于的方程2|1−x|+m=0有一的实数解，我们易m的值然后根据f()=o2(−||+4)的定义域是m，n，值域是[0,2，结合函f(x)=log2(−|x|+)性质，可出的值，进而案．本题考的知识点是的存在性及的数的判断，对函数的义及对数值域，其中利用于的方程21−x|++1=0有唯一的实数解，变形得到关x的方程2|−x|+1=m有唯一实解，即−m为函y=1−x|+1最值，是解答本的关．17.【答案】（-∞，-1];【解析】解：对于任意不同的x1，x2∈(0,+∞)，有f(x1)−f(x2)x1−x2>3.不妨设x1<x2，则f(x1)−f(x2)<3(x1−x2)，即f(x1)−3x1<f(x2)−3x2，设F(x)=f(x)−3x，则F(x1)<F(x2)，又x1<x2，所以F(x)单调递增，F′(x)⩾0恒成立．F(x)=f(x)−3x=12x2−(a+3)x+lnx.则F′(x)=x−(3+a)+1x =x2−(3+a)x+1x，令g(x)=x2−(3+a)x+1，要使F′(x)⩾0在(0,+∞)恒成立，只需g(x)=x2−(3+a)x+1⩾0恒成立，即3+a⩽x+1x 恒成立，x+1x⩾2√x·1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，所以3+a⩽2，即a⩽−1，则实数a的取值范围为(−∞,−1].故答案为：(−∞,−1].根据题意对于任意不同的x1，x2∈(0,+∞)，有f(x1)−f(x2)x1−x2>3，不妨设x1<x2，得到f(x1)−3x1<f(x2)−3x2，设F(x)=f(x)−3x，则F(x1)<F(x2)，又x1<x2，即F(x)单调递增，则导函数大于等于0恒成立，即可得到3+a⩽x+1x恒成立，再利用基本不等式求出x+1x的最小值为2，得到3+a⩽2，即可得到答案．此题主要考查了利用导数研究函数的单调性和基本不等式，考查了转化思想和函数思想，属中档题．18.【答案】解：（1）a1=f(d−1)=(d−2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3-a1=2d，即d2-（d-2）2=2d，解得d=2，∴a1=0，a n=2（n-1），又b1=f（q-1）=（q-2）2，b3=f （q+1）=q2，b3b1=q2，∴q 2(q−2)2=q2，∵q≠1，∴b1=1，b n=3n−1；（2）①证明：∵S n=n（n-1），∴1S n =1n(n−1)=1n−1-1n（n≥2），则1S2+1S3+…+1S n=（1-12）+（12−13）+…+（1n−1-1n）=1-1n＜1；②由c1b1+c2b2+c3b3+…+c nb n=S n+1，得c1 b1+c2b2+c3b3+…+c n−1b n−1=S n（n≥2），两式相减得cn b n=S n+1-S n =a n+1=2n ，n=1也符合，∴c n =2n•b n =2n•3n-1=23n.3n ，令T n =1.31+2.32+⋯+n.3n ，利用错位相减法可得T n =2n −14.3n+1+34∴c 1+c 2+c 3+…+c n =23T n =(n −12).3n +12．; 【解析】(1)用d 表示出a 1，a 3，由a 3−a 1=2d 可得关于d 的方程，解出d 可得a n ，用q 表示出b 1，b 3，由b 3b 1=q 2可得q 的方程，解出q 可得b n ；(2)①由(1)可得S n ，利用裂项相消法可求得1S 2+1S 3+⋯+1S n，由结果可作出证明；②由c 1b1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+c n b n=S n+1，得c 1b1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+c n−1b n−1=S n (n ⩾2)，两式相减可求得c n ，注意验证n =1也适合，利用错位相减法可求得c 1+c 2+c 3+⋯+c n 的值．该题考查等差数列等比数列的通项公式、数列求和、数列与不等式的综合，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，对能力要求较高．19.【答案】解：（1）由题意，函数f(x)=√32sin(ωx +ϕ)+sin 2(ωx+ϕ2)−12=√32sin(ωx +ϕ)−12cos(ωx +ϕ)=sin(ωx +ϕ−π6)，因为函数f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为π，所以T=2π=2πω，可得ω=1，由函数为奇函数，可得ϕ−π6=kπ，k ∈Z ，因为0＜ϕ＜π，所以φ=π6，所以，函数f （x ）=sinx ．（2）由f(π2+C)c +f(π2−B)b=cosC c+cosB b=1a ，及正弦定理得cosC sinC +cosB sinB =sinBcosC+cosBsinCsinCsinB=sin(B+C)sinCsinB=1sinA ，∵sinA=sin[π-（B+C ）]=sin （B+C ），∴si n 2A=sinBsinC ，即a 2=bc ，又由余弦定理知：cosA =b 2+c 2−a 22bc ≥2bc−a 22bc=12，当且仅当b=c 时等号成立，而A ∈（0，π），∴A ∈(0，π3]．; 【解析】(1)由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，正弦函数的图象和性质，求得ω和φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意，利用正弦定理、余弦定理，基本不等式，求得cosA 的范围，可得A 的范围．此题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．20.【答案】（Ⅰ）证明：取BD中点M，连AM、CM∵AD=AB∴AM⊥BD，又∵DC=CB，∴CM⊥BD，又∵CM∩AM=M，CM,AM⊂平面ACM∴BD⊥面ACM，又AC⊂面ACM，∴BD⊥AC（Ⅱ）解：过A作AE∥BC，AE=BC，连接EC、ED，则AB∥EC，AB=EC∵BC⊥AB，∴BC⊥EC，又∵BC⊥DC，EC∩DC=C，EC,DC⊂平面DEC.∴BC⊥面DEC.∵BC⊂面ABCE，∴面ABCE⊥面DEC过D作DF⊥EC，交EC于F，DF即为所求，在△DEC中，DE=DC=1，EC=√2，∴DF=√2.;2【解析】此题主要考查线面垂直，面面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，属于中档题．(Ⅰ)取BD中点M，连AM、CM，证明BD⊥面ACM，即可证明AC⊥BD；(Ⅱ)证明面ABCE ⊥面DEC ，过D 作DF ⊥EC ，交EC 于F ，DF 即为D 点到平面ABC 的距离．21.【答案】解：（1）由题意可设圆C 的圆心为（3，t ），则有32+（t-1）2=（2√2）2+t 2，解得t=1．则圆C 的圆心为（3，1），半径长为√(3−0)2+(1−1)2=3．…（4分）所以圆C 的方程为（x-3）2+（y-1）2=9 （2）由{x −y +a =0(x −3)2+(y −1)2=9消去y ，得2x 2+（2a-8）x+a 2-2a+1=0，此时判别式△=56-16a-4a 2．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x1+x2=4-a ，x1x2=a 2−2a +12①，由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2+y 1y 2=0，又y 1=x 1+a ，y 2=x 2+a ，所以2x 1x 2+a （x 1+x 2）+a 2=0②由①②得a=-1，满足△＞0，故a=-1; 【解析】(1)设出圆的标准方程，把三个点代入，联立方程组求得．(2)设出点A ，B 的坐标，联立直线与圆的方程，消去y ，确定关于x 的一元二次方程，已知的垂直关系，确定x 1x 2+y 1y 2=0，利用韦达定理求得a ．这道题主要考查了直线与圆的位置关系，圆的标准方程．考查了学生分析和图象观察能力．注意把圆的代数问题与圆的平面性质相结合．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程为(x −1)2+y 2=4，故曲线C 的参数方程为{x =1+2cosθy =2sinθ(θ为参数).直线l 的直角坐标方程为x −y +√2−1=0，所以直线l 的方程可化为ρsin θ−ρcos θ=√2−1. (Ⅰ)圆心C 到l 的距离为d =√2 −1|√2=1，所以|MN |=2√4−1=2√3，又因为圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为r +d =2+1=3，所以(S ΔPMN )max =12×|MN |×3=3√3，即ΔPMN 面积的最大值为3√3.;【解析】此题主要考查直线和曲线的三种方程的转化及直线与圆位置关系的运用，考查点到直线距离公式及圆有关的最值问题，属于中档题．(Ⅰ)利用三种方程的转化方法，将曲线C 的极坐标方程转化为参数方程和直线l 的参数方程转化为极坐标方程；(Ⅰ)利用点到直线的距离公式求出圆心(1,0)到直线x −y +√2−1=0的距离，勾股定理求出弦长|MN |，圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为r +d =3，利用三角形面积公式即可求解.23.【答案】解：（1）当a=2时，f （x ）=|x-2|，则不等式f （x ）≥7-|x-1|等价为|x-2|≥7-|x-1|，即|x-2|+|x-1|≥7，当x≥2时，不等式等价为x-2+x-1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；当1＜x ＜2时，不等式等价为2-x+x-1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，当x≤1时，不等式等价为-x+2-x+1≥7，则2x≤-4，得x≤-2，此时x≤-2，综上不等式的解为x≥5或x≤-2，即不等式的解集为（-∞，-2]∪[5，+∞）．（2）若f （x ）≤1的解集为[0，2]，由|x-a|≤1得-1+a≤x≤1+a ．即{1+a =2−1+a =0得a=1，即1m +12n =a=1，（m ＞0，n ＞0），则m+4n=（m+4n ）（1m +12n ）=1+2+4n m +m2n ≥3+2√4n m .m2n =2√2+3．当且仅当4n m =m2n ，即m 2=8n 2时取等号，故m+4n≥2√2+3成立．; 【解析】(1)利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．(2)根据不等式的解集求出a =1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．这道题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质转化为分段函数形式，利用1的代换转化为基本不等式是解决本题的关键．综合性较强．。

面面垂直的性质习题详细答案

变种2
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，求证这两个平面垂直。
提高题
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，求证这两个平面的交线与原直线垂直。
综合பைடு நூலகம்解析与解答
• 综合题1：已知一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，求证这两个平面的交线与原直线垂直。
综合题解析与解答
面面垂直的性质习题详细答案
contents
目录
• 面面垂直的性质概述 • 习题解析 • 习题解答技巧 • 面面垂直的性质习题答案 • 习题拓展与提高
01 面面垂直的性质概述
定义与定理
定义
两个平面互相垂直，当且仅当一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直。
定理
如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直。
机械工程
在机械设计中，面面垂直的性质常常用于确定零件的安装角度和位置，以确保机器的正常运转。
地理学
在地理学中，地球的经纬线分布和角度计算也涉及到面面垂直的性质，例如在计算地球上的纬度、经度等数值时，需要利用到面面
垂直的性质。
02 习题解析
基础习题解析
总结词
掌握基础概念
题目
两个平面垂直，其中一个平面内有一条直线，那么这条直线与另一个平面的关系是什么？
由于直线a⊥平面α，且直线b⊥直线a，根据面面垂直的性质定理，直线b必然在平面 α内。
中等难度习题答案
总结词
中等难度习题在考察面面垂直性质的基础上，增加了对空间想象能力和推理能力的考察。
题目3
已知平面α与平面β互相垂直，点A属于平面α，点B属于平面β，且AB与两平面的交线分别交于C和D两点，若AC=CD，求证线段BD的长度。

面面垂直的性质习题详细答案

2.如图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2 侧棱长为4，E，F分别为棱AB,BC的中点，EF∩BD=G.
(1)求证：平面B1EF2⊥，平面BDD1B1；
(2)求点D1到平面B1EF的距离.
2.(1)连接AC.∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD. 又AC⊥DD1,且BD∩DD1=D,故AC⊥平面BDD1B1， ∵E，F分别为棱AB,BC的中点，故EF∥AC， ∴EF⊥平面BDD1B1， ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
3a ,
求证:(1)AB⊥平面BCD; (2)平面ACD⊥平面ABD.
【解析】1.∵AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE, 且平面ADE∩平面BCDE=DE, ∴AD⊥平面BCDE.又BC⊂平面BCDE, ∴AD⊥BC.又BC⊥CD,CD∩AD=D, ∴BC⊥平面ACD,又BC⊂平面ABC, ∴平面ABC⊥平面ACD. 答案：平面ABC⊥平面ACD
4.如图所示，已知平面α⊥平面β， α∩β=l，A∈l，B∈l，AC⊂α， BD⊂β,AC⊥l，BD⊥l，且AB=4， AC=3，BD=12，则CD=_____. 【解析】连接BC,∵AC⊥l,∴BC= 又∵平面α⊥平面β，α∩β=l，BD⊥l, ∴BD⊥平面α，∴BD⊥BC，∴CD= 答案：13
2.∵a∥α,过a作平面γ交α于a′， ∴a′⊥AB. ∵α⊥β，α∩β=AB， ∴a′⊥β， ∴a⊥β.
【思考】在应用面面垂直的性质定理时应注意哪几点？提示：应特别注意三点：(1)两个平面垂直是前提条件；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
与面面垂直有关的计算【技法点拨】与面面垂直有关的计算的方法 (1)求角的大小.由所给面面垂直的条件先转化为线面垂直，再转化为线线垂直，一般转化为在三角形中的计算问题. (2)求线段的长度、点到直线或平面的距离以及几何体的体积.求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法.

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的判定》(含解析)

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的判定》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知A={ x|3a−1<x<2a+3}，B={ x|x2−x−2⩽0}，A⊆B，则a的取值范围为()A. { a|a⩽−12} B. { a|a⩽12或a⩾0}C. { a|a⩾4}D. { a|a⩽0或a⩾4}2.（5分）定义：设函数f(x)的定义域为D，如果[m,n]⊆D，使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n]，则称函数f(x)在[m,n]上为“等域函数”，若定义域为[1e,e2]的函数g(x)= c x(c>0,c≠1)在其定义域的某个区间上为“等域函数”，则实数c的取值范围为()A. [2e2,1e) B. [2e2,1e]C. [e2e2,e1e] D. [e2e2,e1e)3.（5分）设x、y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”.（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4.（5分）命题p：关于x的不等式ax2+ax−x−1<0的解集为(−∞,−1)∪(1a,+∞)的一个充分不必要条件是().A、a⩽−1B、a>0C、−2<a<0D、a<−2A. a⩽−1B. a>0C. −2<a<0D. a<−25.（5分）函数y=loga (2x−3)+√22(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，且点P在幂函数f(x)的图像上，则f(4)=()A. 2B. 12C. 14D. 166.（5分）设ab>0，下面四个不等式：①|a+b|>|a|；②|a+b|<|b|；③|a+b|<|a−b|；④|a+b|>|a|−|b|；正确的是()A. ①和②B. ①和③C. ①和④D. ②和④7.（5分）已知ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2<a 2，且cos 2A −3sin A +1=0，则sin (C −A)+√32cos (2A −B)的取值范围为 ( )A. (−12,−√34) B. (−12,−√34] C. [0,√34] D. (−23,−12) 8.（5分）函数y =x 2+ln |x|的图象大致为( )A. B.C.D.9.（5分）已知函数f(x)=x 1−|x|(x ∈D)，有下列四个结论：①对任意x ∈D ，f(−x)+f(x)=0恒成立；②对任意m ∈(0,1)，方程|f(x)|=m 有两个不相等的实数根； ③存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y =x 对称； ④对任意k ∈(1,+∞)，函数g(x)=f(x)−kx 在D 上有三个零点．则上述结论中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410.（5分）已知函数f (x )的定义域为R ，f (x +2)为偶函数，f (2x +1)为奇函数，则( )A. f (−12)=0B. f (−1)=0C. f (2)=0D. f (4)=011.（5分）已知定义在R 上的奇函数f(x)，且当x ∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x +1)+f(1)⩾0的解集是()A. (−∞,1)B. (−1,+∞)C. [−1,+∞)D. (−∞,1]12.（5分）已知集合A ={x|1<x <3}，集合B ={x|log 2(x +1)⩽2}，则A ∪B =()A 、{x|1<x <3}B 、{x|x ⩽3}C 、{x|−1<x <3}D 、{x|1−<x ⩽3} A. {x|1<x <3} B. {x|x ⩽3} C. {x|−1<x <3}D. {x|1−<x ⩽3}二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）函数f(x)=x−1x中，若f（x）=0，则x=__________.14.（5分）某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有__________人，同时参加数学和化学小组的有__________人．15.（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)： ______ .①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数.16.（5分）已知函数f(x)满足以下条件：①在R上单调递增；②对任意x1，x2，均有f(x1)⋅f(x2)=4f(x1+x2)，则f(x)的一个解析式为 ______.17.（5分）已知等式sin230°+sin230°+sin30°⋅sin30°=34sin220°+sin240°+sin20°⋅sin40°=34sin210°+sin250°+sin10°⋅sin50°=34请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知的等式，这个等式是______.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知集合A={x|1⩽x−1⩽4}，B={x|−2<x⩽3}，C={x|2a−1< x<2a+1}.(1)若x∈C是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围；(2)若(A∩B)⊆C，求实数a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=√3sinx+mcosx(m∈R).(Ⅰ)若m=1，求f(π12)的值；(Ⅰ)若m=√6，且f(x)=0，求tan2x.20.（12分）立德中学高一年级共有200名学生报名参加学校团委与学生会组织的社团组织．据统计，参加艺术社团组织的学生有103人，参加体育社团组织的学生有120人(并非每个学生必须参加某个社团).求在高一年级的报名学生中，同时参加这2个社团的最多有多少人？最少有多少人？21.（12分）已知sin(α−β)=12，sin(α+β)=13.(1)证明：tanα+5tanβ=0；(2)计算：tan(α−β)−tanα+tanβtan2α·tan(α−β)的值．22.（12分）在①两个相邻对称中心的距离为π2，②两条相邻对称轴的距离为π2，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．问题：函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，且满足________，当α∈(0,π2)时，f(α2)=−√22，求sinα的值．23.（12分）已知函数f(x)=ax−2b x 2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明；(3)求使f(m −1)+f(2m −1)<0成立的实数m 的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分） 24.（5分）下列说法正确的是()A. “a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B. 命题“∀x >1，x 2<1”的否定是“∃x <1，x 2⩾1”C. “x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的必要条件D. 设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 25.（5分）设a >1，b >1且ab −(a +b)=1，那么( )A. a +b 有最小值2+2√2B. a +b 有最大值2+2√2C. ab 有最小值3+2√2D. ab 有最大值1+√226.（5分）已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1.则下列选项正确的是()A. 1x +1y 的最小值为4√2 B. x 2+y 2的最小值为15 C.x−2y x 2+y 2>1D. 2x+1+4y ⩾427.（5分）已知M 、N 均为实数集R 的子集，且N ∩∁R M =∅，则下列结论中正确的是( )A. M ∩∁R N =∅B. M ∪∁R N =RC. ∁R M ∪∁R N =∁R MD. ∁R M ∩∁R N =∁R M28.（5分）已知函数f(x)=2cos (ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的图象上，对称中心与对称轴x =π12的最小距离为π4，则下列结论正确的是( )A. f (x )+f (5π6−x)=0 B. 当x ∈[π6,π2]时，f (x )⩾−√3C. 若g(x)=2cos2x ，则g (x −π6)=f (x )D. 若sin 4α−cos 4α=−45，α∈(0,π2)，则f (α+π4)的值为4−3√35答案和解析1.【答案】C;【解析】解：由题意知B ={ x |−1⩽x ⩽2}， (1)A =∅时，3a −1⩾2a +3，解得a ⩾4，满足题意；(2)A ≠∅时，a <4，由A ⊆B ，即有{2a +3⩽2，解得{a ⩽−12，可得a ∈∅；综上，a ⩾4. 故选：C.分别讨论A 是否为空集，结合集合的关系，可得a 的不等式组，解不等式可得所求范围．此题主要考查集合关系中的含参问题，注意对集合A 分空集和不是空集2种情况进行讨论，属于较易问题．2.【答案】D;【解析】解：由题意得，函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即方程c x =x 在[1e,e 2]上有两个不等实根，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．设函数ℎ(x)=lnx x(1e⩽x ⩽e 2)，ℎ′(x)=1−lnx x 2，当1e⩽x <e 时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增；当e <x ⩽e 2时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减．所以ℎ(x)在x =e 处取得极大值，也是最大值，为ℎ(e)=1e .又ℎ(1e )=−e,ℎ(e 2)=2e 2，故2e 2⩽lnc <1e ，解得e 2e 2⩽c <e 1e.故选：D.由题意可得函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．构造函数，通过导数求函数的最值与区间端点值，数形结合求解即可．此题主要考查了导数的新定义问题，考查转化思想，属于中档题．3.【答案】A; 【解析】略4.【答案】null; 【解析】此题主要考查了一元二次不等式的解法，充分必要条件的应用，属于中档题. 先根据命题p 成立的充要条件，求出a 的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义结合各选项可得答案.解：由题意命题p 即(ax −1)(x +1)<0的解集为(−∞,−1)∪(1a ,+∞)，即充要条件为{a <0−1⩽1a ，解得a ⩽−1，因为(−∞,−2)⫋(−∞,−1]所以a <−2是a ⩽−1的一个充分不必要条件，故选D.5.【答案】B; 【解析】此题主要考查了对数的恒过定点问题以及幂函数的解析式和求值，属于基础题.将定点代入幂函数解析式，可得a ，进而可求f(4).解：可知函数y =log a (2x −3)+√22(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(2,√22)，令幂函数为f(x)=x a ，代入P 点坐标，可得√22=2a ，则a =−12， f(x)=x −12，则f(4)=4−12=12.故选B.6.【答案】C;【解析】此题主要考查了不等式与绝对值不等式，根据ab >0，逐项判断即可得到答案.解：∵ab >0，∴a 、b 同号，∴ |a +b|>|a|，|a +b|=|a|+|b|，∴①④正确，故选C.7.【答案】A; 【解析】此题主要考查了二倍角公式，解三角形，以及三角恒等变换等内容，需要学生熟练掌握并巧妙变换．由题意，利用二倍角公式将cos2A −3sin A +1=0化成关于sin A 的一元二次方程，解出sin A 的值，利用cos A <0求出A 的取值；将A 的值和B =π−A −C 代入并化简，可以得到关于C 的三角函数，利用三角函数单调性求出值域，即所求．解：因为cos2A −3sin A +1=0，所以1−2sin2A −3sin A +1=0，所以sin A =12或−2(舍)，又因为cos A <0，所以A =5π6，所以sin (C −A)+√32cos (2A −B)=sin (C −5π6)+√32cos [2×−(π−5π6−C)]=sin (C −5π6)+√32sin C =−12cos C ，又因为C ∈(0,π6)，所以cos C ∈(√32,1)，所以−12cos C ∈(−12,−√34) .故选A.8.【答案】A;【解析】此题主要考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．解：∵f(−x)=x 2+ln |x|=f(x)， ∴y =f(x)为偶函数，∴y =f(x)的图象关于y 轴对称，故排除B ，C ，当x >0时，y =x 2+ln x 为增函数，故排除D. 故选A .9.【答案】C;【解析】解：①函数的定义域是{x|x ≠±1},f(−x)+f(x)=−x 1−|−x|+x 1−|x|=0，故①正确；②y =|f(x)|=|x1−|x||={x x−1,x >1x 1−x ,0<x <1−x1+x,−1<x <0−x x+1,x <−1，函数的图象如图所示：y =m 与函数图象有2个交点，故②正确；③设函数g(x)上的任一点为P(x,y)关于y =x 的对称点为(y,x)在函数f(x)上，则x =y 1−|y|，当y >0时，y =xx+1，当y ⩽0时，y =x 1−x，当x =2时，y =23或y =−2，存在一个x 对着两个y 的值，所以不存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线v =x 对称，故③不正确； ④x1−|x|−kx =0，当x =0时，满足方程，所以方程的一个实数根是x =0，当x ≠0时，k =11−|x|,|x|=1−1k ，当k >1时，1−1k >0,x =±(1−1k )，)，所以函数有3个零所以满足方程g(x)=f(x)−kx=0的有三个实数根据0,±(1−1k点，故④正确．故正确的个数有3个．故选：C.①根据解析式计算f(−x)+f(x)=0；②画出函数y=|f(x)|的图象，由图象的交点个数判断实数根的个数；③假设存在函数g(x)满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据f(x)−kx=0，求方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数．此题主要考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中档题型．10.【答案】B;【解析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查，属于拔高题.推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.解：因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2−x)，可得f(x+3)=f(1−x)，因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1−2x)=−f(2x+1)，所以，f(1−x)=−f(x+1)，所以，f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1)，即f(x)=f(x+4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，故f(−1)=−f(1)=0，其它三个选项未知.故选B.11.【答案】C;【解析】此题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，属于中档题.解：因为函数在[0,+∞)上是增函数，且函数是奇函数，所以函数在(−∞,0)上是增函数，函数在x=0处连续，所以函数在R上是增函数，又f(−1)=−f(1)，所以不等式可化为f(2x+1)⩾−f(1)=f(−1)，所以2x+1⩾−1，解得x⩾−1，即不等式的解集为[−1,+∞).故选C.12.【答案】null;【解析】解：集合A={x|1<x<3}，集合B={x|log2(x+1)⩽2}={x|−1<x⩽3}，则A∪B={x|−1<x⩽3}.故选：D.求出集合A，集合B，利用并集定义能求出A∪B.此题主要考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】1或-1;【解析】略14.【答案】5;8;【解析】此题主要考查运用集合间的关系确定元素个数问题以及venn图的运用，属于基础题．把集合间的关系利用方程表示出来，再解方程即可．解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组，因为参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，所以只参加物理的有15−6−4=5人．设同时参加数学和化学小组的人数有x人，则只参加数学的有26−6−x=20−x，只参加化学的有13−4−x=9−x.又总人数为36人，即20−x+x+6+4+5+9−x=36，所以44−x=36，解得x=8.即同时参加数学和化学小组的人数有8人，15.【答案】f(x)=x2;【解析】此题主要考查了幂函数的求导公式，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于基础题．函数f(x)=x 2，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)满足①，求出导函数，可判断满足②③．解：f(x)=x 2时，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)；当x ∈(0,+∞)时，f′(x)=2x >0；f′(x)=2x 是奇函数．故答案为：f(x)=x 2.16.【答案】f （x ）=2x+2;【解析】解：因为函数f(x)满足对任意x 1，x 2，均有f(x 1)⋅f(x 2)=4f(x 1+x 2)，故考虑基本初等函数中的指数函数，又f(x)在R 上单调递增，则指数函数的底数大于1，所以f(x)的一个解析式为f(x)=2x+2. 故答案为：f(x)=2x+2.由条件②，考虑为基本初等函数中的指数函数，再利用单调性，即可得到答案．此题主要考查了基本初等函数性质的理解与应用，指数函数性质的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．17.【答案】si n 2α+si n 2（60°-α）+sinα•sin （60°-α）=34;【解析】解：等式的右边为常数34，等式左边的两个角之和为60°，故由归纳推理可知，满足条件的一个结论可以是：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.故答案为：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.根据两个等式的特点，确定角和角之间的关系，然后利用归纳推理归纳出结论．此题主要考查归纳推理的应用，根据归纳推理，先从条件中确定等式的规律是解决此类问题的基本思路，属于基础题．18.【答案】解：（1）集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∵x ∈C 是“x ∈A”的充分条件，∴{2a +1≤52a −1≥2，解得32≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是[32，2]；（2）∵集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，B={x|-2＜x≤3}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∴A∩B={x|2≤x≤3}，（A∩B ）⊆C ，∴{2a −1<22a +1>3，解得1＜a ＜32， ∴实数a 的取值范围是（1，32）．;【解析】(1)求出集合A ，利用x ∈C 是“x ∈A ”的充分条件，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围；(2)利用交集定义求出A ∩B ，利用(A ∩B)⊆C ，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围．此题主要考查集合的运算，考查充分条件、子集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）若m=1，则函数f （x ）=√3sinx+cosx=2sin （x+π6）， ∴f （π12）=2sin π4=√2．（Ⅱ）∵m=√6，f （x ）=√3sinx+√6cosx=0， ∴√3sinx-=-√6cosx ，∴tanx=-√2， ∴tan2x=2tanx 1−tan 2x =2√2．;【解析】(Ⅰ)由题意，利用两角和差的三角公式化简函数f(x)的解析式，从而得到f(π12)的值．(Ⅰ)先由题意求得tanx 的值，再利用二倍角的正切公式，计算tan2x 的值．此题主要考查两角和差的三角公式，二倍角的正切公式，属于基础题．20.【答案】解：由题意：当艺术社团组织的103名学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的学生最多，且有103人；当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少，且有103+120-200=23人，所以同时参加这2个社团的最多有103名学生，最少有23名学生．; 【解析】由题可知当艺术社团组织的学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的人数最多，当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少．此题主要考查集合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）证明：由条件sin(α−β)=12，sin(α+β)=13，即sinαcosβ−cosαsinβ=12，sinαcosβ+cosαsinβ=13，解得sinαcosβ=512，cosαsinβ=−112，可得tanαtanβ=-5，从而可得tanα=-5tanβ，tanα+5tanβ=0得证．（2）由tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ，可得tanα-tanβ=tan （α-β）（1+tanαtanβ），∴原式=tan(α−β)−tanα+tanβtan 2αtan(α−β)=tan(α−β)−tan(α−β)(1+tanαtanβ)tan 2αtan(α−β)=−tan(α−β)·tanαtanβtan 2αtan(α−β)=−tanβtanα=15．;【解析】(1)由题意，把所给条件利用两角和差的三角公式展开，化简可得结论． (2)由题意，把两角差的正切公式展开变形，代入要求的式子化简，可得结论．此题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．22.【答案】解：由函数f(x)=cos(ωx +φ)的图象过点(0,12)，得f(0)=cosφ=12，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，在①②③三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π，根据T =2π|ω|，得ω=2，所以f(x)=cos(2x +π3)，由f(α2)=−√22，得cos(α+π3)=−√22，由α∈(0,π2)，得α+π3∈(π3,5π6)，所以sin(α+π3)=√1−cos 2(α+π3)=√22， sinα=sin[(α+π3)−π3]=sin(α+π3)cos π3−cos(α+π3)sin π3 =√22×12−(−√22)×√32=√2+√64. ;【解析】此题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，属于中档题. 先由f(0)=12求出φ，由三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π，得ω=2，求出f(x) ，结合条件以及同角三角函数关系求得sin(α+π3)，再利用两角差的正弦公式即可求解.23.【答案】null; 【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，可求得b 的值，再由f(1)=1可求得a 的值，从而可得a ，b 的值；(2)f(x)在[−1,1]上是增函数，利用增函数的定义即可证明；(3)根据函数的奇偶性与单调性将不等式转化为关于m 的一次不等式，求解即可．此题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．24.【答案】AD;【解析】解：对于A ：当“a >1”时“1a <1”成立，反之不成立，故“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：命题“任意x >1，都有x 2<1”的否定是“存在x >1，使得x 2⩾1”故B 不正确；对于C ：x >1，则(x −1)(x +2)>0，但由(x −1)(x +2)>0，不能推出x >1，故“x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的充分不必要条件，故C 不正确；对于D ：设a ，b ∈R ，则“a ≠0”推不出“ab ≠0”，由“ab ≠0”能够推出“a ≠0”，故“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，故D 正确．故选：AD.直接利用充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑中的相关知识的应用判断A 、B 、C 、D 的结论此题主要考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．25.【答案】AC;【解析】解：∵a >1，b >1， ∴ab =1+(a +b)⩽(a+b 2)2(当且仅当a =b >1时，取等号)，即(a +b)2−4(a +b)−4⩾0且a +b >2， ∴a +b ⩾2+2√2，∴a +b 有最小值2+2√2，即选项A 正确，B 错误；由ab −(a +b)=1，得ab −1=a +b ⩾2√ab (当且仅当a =b >1时，取等号)，即ab −2√ab −1⩾0且ab>1， ∴ab ⩾3+2√2，∴ab 有最小值3+2√2，即选项C 正确，D 错误．故选：AC ．由(a +b)⩽(a+b 2)2，可推出a +b 的最小值；由a +b ⩾2√ab ，可推出ab 的最小值．该题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式的各种变形是解答该题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．26.【答案】BD;【解析】解：对于A ：已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1，所以1x +1y =x+2y x+x+2y y=1+3+2y x+xy ⩾4+2√2，当且仅当x 2=2y 2等号成立，故A 错误；对于B ：x 2+y 2=(1−2y)2+y 2=5y 2−4y +1=5(y −25)2+15，当y =25时，最小值为15；故B 正确；对于C ：当x =12，y =14时，x−2yx 2+y 2>1不成立，故C 错误；对于D ：2x+1+4y =2x+1+22y ⩾2√2x+2y+1=4，当且仅当y =12时，等号成立，故D正确．故选：BD.直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．此题主要考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．27.【答案】BD;【解析】解：因为N∩∁R M=∅，所以N⊆M，所以M∩∁R N≠∅，选项A错误；M∪∁R N=R，选项B正确；∁R M∪∁R N=∁R N，选项C错误；∁R M∩∁R N=∁R M，选项D正确．故选：BD.根据题意知N⊆M，利用交集、并集和补集的定义，判断正误即可．此题主要考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．28.【答案】BD;【解析】此题主要考查了余弦函数的图象及性质，同角三角函数关系及两角差的余弦公式，属于中档题.根据对称中心与对称轴的最小距离求出周期T，得到ω=2，再根据对称轴方程求出ϕ=−π6，再根据余弦函数的图象及性质对四个选项一一判断即可，选项D先利用同角三角函数关系及二倍角公式化简，再求出f(α+π4).解：由题有T=π，则ω=2，又由对称轴x=π12可得，2×π12+ϕ=kπ，k∈Z，又|ϕ|<π2，则ϕ=−π6，故f(x)=2cos(2x−π6)，对于A，因为f(x)+f(5π6−x)=2cos(2x−π6)+2cos(53π−2x−π6)=2cos(2x−π6)−2sin2x=2cos2x cosπ6+2sin2x sinπ6−2sin2x=√3cos2x−sin2x则f(x)+f(5π6−x)=0错误，故A选项不正确.对于B，x∈[π6,π2]，则2x−π6∈[π6,5π6]，则f(x)∈[−√3,√3]，故B选项正确；对于C，f(x)=2cos2(x−π12)，应将g(x)=2cos2x的图象向右平移π12个单位，故C选项错误．对于D，sin4α−cos4α=−cos2α=−45，且α∈(0,π2)，则2α∈(0,π)，故cos2α=45，sin2α=35，而f (α+π4)=2cos (2α+π3)=cos 2α−√3sin 2α=4−3√35，故D 选项正确；故选BD .。

面面垂直证明例题（最终定稿）

面面垂直证明例题（最终定稿）第一篇：面面垂直证明例题数学面面垂直例题例4答案：例8答案：取AC的中点为O，连接OP、OB。

AO=OC,PA=PC,故PO垂直AC第二篇：怎么证明面面垂直怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线也可以运用两个面的法向量互相垂直。

这是解析几何的方法。

证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD 垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。

不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。

方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：Ⅰ.平行关系：线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。

2.公理4(平行公理)。

3.线面平行的性质。

4.面面平行的性质。

5.垂直于同一平面的两条直线平行。

面面垂直的判定与性质

本题题目文字少，但有一定难度．只有真正对面面垂直的性质定理熟练掌握后才能得心应手．面面垂直的性质定理的核心是“垂直于交线，则垂直于平面”，所以已知面面垂直，首先应找交线，看是否在某个平面内存在直线垂直于交线，若无，肯定要向交线作垂线．在不同平面内向交线作垂线都能解决问题，但难度显然不同，做题前应认真分析．本题的方法1较简单，但方法2将平行和垂直的位置关系的判定和性质考查得淋漓尽致，不失为一个训练的好题．
【例3】如图所示，在直四棱柱ABCD－ A1B1C1D1 中， DB ＝ BC ， DB⊥AC，点M是棱BB1上一点． (1)求证：MD⊥AC； (2)试确定点M的位置，使得平面 DMC1⊥平面CC1D1D.
与垂直有关的探索性问题
【证明】1 证明：因为BB1 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以BB1 AC. 又因为BD AC，且BD BB1＝B，所以AC 平面BB1D. 而MD 平面BB1D，所以MD AC.
面面垂直的性质的理解中三个条件也不可缺少，即： ①两个平面垂直； ②其中一个平面内的直线； ③垂直于交线．所以无论何时见到已知两个平面垂直，都要首先找其交线，看是否存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助线，这样就能目标明确，事半功倍．
1． (2011淮阴中学、姜堰中学、前黄中学第一次联考) m、n是两条不同的直线，、、是三设个不同的平面，有下面四个命题： / / ① / / ; ② m ; / / m / / m m / / n ③ ;④ m / / ; m / / n 其中真命题的序号是 ________ ．
1.若l为一条直线，、、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ① ，； ② ，； ③l ，l .

(完整版)面面垂直的判定+性质定理(例题)

面面垂直的判定1、如图,棱柱111C B A ABC -的侧面11B BCC 是菱形，且11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC2、如图，AB 是 ⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点,求证：平面PAC ⊥平面PBC.3、如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，求证：平面PBE ⊥平面PAB ；4、如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ,点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1）直线EF ∥平面ACD ；(2）平面EFC ⊥平面BCD .5、如图,在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N.(I）求证:SB∥平面ACM；（II）求证:平面SAC⊥平面AMN.面面垂直的性质1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC，求证AB ⊥BC.2、在四棱锥中,底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD3、如图,平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD 。

求证:AB DE ⊥ w 。

w 。

k 。

s 。

5.u 。

c 。

o 。

m4、如图，在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PADV D C BA SA CB5、如图所示，在四棱锥PABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8,AB ＝2DC ＝4错误!.M 是PC 上的一点，（1)证明：平面MBD ⊥平面PAD 。

面面垂直的证明及应用(含答案)

面面垂直的证明及应用一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，平面α⊥平面β，，AB与两平面α，β所成的角分别为45°和30°，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为，则( )A.2:1B.3:1C.3:2D.4:3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面与平面垂直的性质2.如图，在四面体P-ABC中，PA=PB=13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，则PC的长为( )A.13B.12C.11D.10答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面与平面垂直的性质3.如图，边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O，M分别是BE，AF的中点，则线段OM的长度为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面与平面垂直的性质4.如图，在棱长均相等的正三棱柱中，D为的中点，F在上，且，则下列结论：①；②；③．其中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面与平面垂直的判定5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面与平面垂直的性质6.如图，在三棱锥S-ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，且△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，给出下列结论：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是．其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面与平面垂直的判定7.如图，在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PA=PB=PC，则下列说法正确的是( )A.平面PAC⊥平面ABCB.平面PAB⊥平面PBCC.PB⊥平面ABCD.BC⊥平面PAB答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面与平面垂直的判定8.已知M，N分别是正四面体ABCD的棱AB，CD的中点，则下列结论：①MN⊥AB；②；③平面CDM⊥平面ABN；④CM与AN是相交直线．其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面与平面垂直的判定9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是( )A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB.异面直线AD和PB所成的角为90°C.二面角P-BC-A的大小为45°D.BD⊥平面PAC答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面与平面垂直的性质。

线面垂直面面垂直知识点总结经典例题及解析高考题练习及答案

直线、平面垂直的判定与性质【考纲说明】1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。

2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。

（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

即,//a b a b αα⊥⊥⇒.由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。

2、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。

一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是00的角。

3、二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。

其作用是衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作l l βαβα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭.3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭I .【经典例题】【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面（） A ．若l ∥a,l ∥β,则a∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a⊥β C ．若a⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a⊥β,l ∥a,则l ⊥β 【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的,∵l ∥a,l ⊥β,则a⊥β.如选项A:l ∥a,l ∥β时,a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l β⊂;选项D:若若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l ⊥β.【例2】（2012四川文）下列命题正确的是（）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.【例3】（2012山东）已知直线m 、n 及平面α，其中m∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是（）A ．①②③B ．①④C ．①②④D ．②④ 【答案】C【解析】如图1，当直线m 或直线n 在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m 、n 到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.【例4】（2012四川理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________.【答案】90o【解析】方法一:连接D 1M,易得DN⊥A 1D 1,DN⊥D 1M,所以,DN⊥平面A 1MD 1,又A 1M ⊂平面A 1MD 1,所以,DN⊥A 1D 1,故夹角为90o方法二:以D 为原点,分别以DA,DC,DD 1为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)故,），（），（2,121,2,01-== N MB 1A 1C 1D 1BD C所以,cos<|MA ||DN |111MA DN MA DN •=〉〈，=0,故DN⊥D 1M,所以夹角为90o【例5】（2012大纲理）三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ∠=∠=︒,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________. 【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r,则22221111||()222cos603AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=+︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r而1111()()AB BC AB AA AC AA AB ⋅=+⋅+-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【例6】（2011·福建）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【答案】【解析】∵EF∥面AB 1C ，∴EF∥AC .又E 是AD 的中点，∴F 是DC 的中点． ∴EF ＝AC ＝.【例7】（2012年山东文）如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形,,CB CD EC BD =⊥. （1）求证:BE DE =;（2）若∠120BCD =︒,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC .【解析】（1）设BD 中点为O ,连接OC ,OE ,则由BC CD =知CO BD ⊥,又已知CE BD ⊥,所以BD ⊥平面OCE .所以BD OE ⊥,即OE 是BD 的垂直平分线,所以BE DE =.（2）取AB 中点N ,连接,MN DN ,∵M 是AE 的中点,∴MN ∥BE , ∵△ABD 是等边三角形,∴DN AB ⊥.由∠BCD =120°知,∠CBD =30°, 所以∠ABC =60°+30°=90°,即BC AB ⊥,所以ND ∥BC ,所以平面MND ∥平面BEC ,又DM ⊂平面MND ,故DM ∥平面BEC . 另证:延长BC AD ,相交于点F ,连接EF.因为CB=CD,090=∠ABC . 因为△ABD 为正三角形,所以0090,60=∠=∠ABC BAD ,则030=∠AFB ,所以AF AB 21=,又AD AB =, 所以D 是线段AF 的中点,连接DM,又由点M 是线段AE 的中点知EF DM //,而⊄DM 平面BEC ,⊂EF 平面BEC ,故DM ∥平面BEC .【例8】（2011天津）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．（1）证明：PB∥平面ACM ；（2）证明：AD ⊥平面PAC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．【解析】（1）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB∥MO .因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB∥平面ACM .（2）证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC . （3）取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN∥PO ，且MN ＝PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt△DAO 中，AD ＝1，AO ＝，所以DO ＝，从而AN ＝DO ＝.在Rt△ANM 中，tan∠MAN ＝＝＝，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为.【例9】（2012湖南文）如图，在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. （1）证明:BD⊥PC;（2）若AD=4,BC=2,直线PD 与平面PAC 所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD 的体积. 【解析】（1）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线,所以BD ⊥平面PAC, 而PC ⊂平面PAC,所以BD PC ⊥.（2）设AC 和BD 相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD ⊥平面PAC, 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角,从而DPO ∠30=o . 由BD ⊥平面PAC,PO ⊂平面PAC,知BD PO ⊥. 在Rt POD V 中,由DPO ∠30=o ,得PD=2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形,AC BD ⊥,所以,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形, 从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积在等腰三角形AOD 中,2,22,2OD AD == 所以22242, 4.PD OD PA PD AD ===-=故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【例10】（2012新课标理）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 （1）证明:BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小.【解析】（1）在Rt DAC ∆中,AD AC =得:45ADC ︒∠=同理:1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H1111111AC B C C O A B =⇒⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥得:点H 与点D 重合且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =,则12C O =,111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒【课堂练习】．（2012浙江理）已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中（）A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直．（2012四川理）下列命题正确的是（）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3．（2011重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )A ．只有1个B ．恰有3个C ．恰有4个D ．有无穷多个4．（2012上海）已知空间三条直线l ，m ，n 若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（） A ．m 与n 异面. B ．m 与n 相交. C ．m 与n 平行. D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 5．（2011烟台）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n∥β，m ⊥n ，α•AB•β则α∥β；④若m ⊥α，n∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2011潍坊）已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m∥n ，m ?α，n ?β，则α∥βC ．若m∥n ，m∥α，则n∥αD ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β7.（2010全国卷文）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（）A ．30°B．45°C．60°D．90°8.（2010全国卷）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC1D 所成角的余弦值为（）AB．23D 9.（2010全国Ⅱ卷理）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A ．1B ．2D ．310.（2010全国Ⅰ卷）已知在半径为2的球面上有A ．B ．C ．D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（）ABC．11.（2010江西理）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12.（2012大纲）已知正方形1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____.13.（2010上海文）已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是.14.（2010四川卷）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是.15.（江西卷文）长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为16.（2010湖南理）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点。

面面垂直的判定习题详细答案

题目二解析
题目二
在四面体$P-ABC$中，已知$angle APB = angle BPC = angle CPA = 90^{circ}$，求证：平面$PAB perp$平面$PBC$。
解析
首先，由于$angle APB = angle BPC = angle CPA = 90^{circ}$，我们可以得出$PA perp PB$、$PB perp PC$和$PC perp PA$。根据空间直线与平面的垂直关系，我们可以得出$PA perp$平面$PBC$、$PB perp$平面$PAC$和$PC perp$平面$PAB$。由于平面$PAB cap$平面$PBC = PB$，根据两平面垂直于第三
解析
题目三
对于结论$①$
由于正方体的性质，我们知道AC₁和AE都经过点A，所以它们是共面的。因此，
AC₁E不是异面直线。结论$①$不正确。
对于结论$③$
由于正方体的性质，我们知道AC₁不在平面ABCD内。所以结论$③$是正确的。
对于结论$②$
由于AC₁不在平面BDE内，所以结论$②$ 是正确的。
平面内的直线
一条直线如果在某个平面上，则称这条直线为该平面的内直
线。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
质，我们可以得出平面 ABDtextsuperscript{⊥}平面BCD。
04 知识点总结
面面垂直的判定定理
判定定理
如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
推论
如果两个平面互相垂直，则其中一个平面内的一条直线与另一个平面垂直。
解题技巧和注意事项
技巧
在解题时，首先确定已知条件和未知量，然后根据判定定理和推论，构建数学模型和方程。

面面垂直答案

面面垂直答案1．已知如图，P 平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC【答案】【解析】要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。

显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可证明：取BC中点D 连结AD、PD∵PA=PB；∠APB=60°∴ΔPAB为正三角形同理ΔPAC为正三角形设PA=a在RTΔBPC中，PB=PC=aBC=2a2a∴PD=2在ΔABC 中 AD=22BD AB -=22a∵AD 2+PD 2=222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a=a 2=AP 2 ∴ΔAPD 为直角三角形即AD ⊥DP 又∵AD ⊥BC ∴AD ⊥平面PBC ∴平面ABC ⊥平面PBC2．如图（1）在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD 且AB=AD=12CD=1，现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿AD 将正方形翻拆，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直如图（2）。

（1）求证平面BDE ⊥平面BEC（2）求直线BD 与平面BEF 所成角的正弦值。

【答案】⑴证见解析 ⑵1sin 2AH BD θ== A B C DEF 图A BE C 图FD【解析】（1）由折前折后线面的位置关系得ED ⊥平面ABCD ，所以ED ⊥BC ，又在BCD ∆中，2DB BC ==2DC =，三边满足勾股定理，BC BD ∴⊥。

由线面垂直的判定定理即证得结论。

（2）因为2,DB =只需求出点D 到平面BEF 的距离也是点A 到平面BEF 的距离，易证出//AD EF ，AD ⊥平面BEF ，由面面垂直的判定定理得平面ABF ⊥平面BEF ，ABF ∆中BF 边上的高就是点A 到平面BEF 的距离。

根据线面角的定义可求直线BD 与平面BEF 所成角的正弦值。

3．（本小题满分14分）如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）略【解析】（1）证明：连结BD .在长方体1AC 中，对角线11//BD B D . ……………2分又Q E 、F 为棱AD 、AB 的中点， ∴//EF BD . ∴11//EF B D . ……………4分又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴EF ∥平面CB 1D 1. ……………7分（2）Q 在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1.…9分A BC D A B1 D 1E F又Q 在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又Q B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．……14分4．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，22==AD AB ，3=BD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：平面⊥PBC 平面PBD ； (2)若二面角D BC P --为6π，求AP 与平面PBC所成角的正弦值。