高考数学总复习第十章概率课时作业59几何概型课件文新人教A版

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新教材人教A版高中数学必修第二册第十章概率精品教学课件(共213页)

数时可使 x2＜0”是不可能事件；③“2025 年的国庆节是晴天”
是必然事件；④“从 100 个灯泡(有 10 个是次品)中取出 5 个，
5 个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：选 B.“2025 年的国庆节是晴天”是随机事件，故命题③
错误，命题①②④正确．故选 B.
1．下面的事件：①在标准大气压下，水加热到 80℃时会沸腾；
②a，b∈R，则 ab＝ba；③一枚硬币连掷两次，两次都出现正
面向上．其中是不可能事件的为( )
A．②
B．②是必然事件，③是随机事件．
2．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必
有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x 为某一实
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先
_不__能__确__定_____出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验 E 的每个可能的_基__本__结__果_____称为样本点，_全__体__样__本__点___的集合称为试验 E 的样本空间．
(2)表示：一般地，我们用 Ω 表示样本空间，用 ω 表示样本点．如果一个随机试验有 n 个可能结果 ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间 Ω ＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)必然事件一定发生．( √ ) (2)不可能事件一定不发生．( √ ) (3)互斥事件一定对立．( × ) (4)对立事件一定互斥．( √ )
下列事件：
①长度为 3，4，5 的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；

高考数学总复习第十章概率10.3几何概型课件文新人教A版

第十章
概率
第3节几何概型
考纲考情
考向预测
从近三年高考情况来看，本节
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2.了解几何概型的意义.
是高考中的热点．预测 2020 年高考将考查与长度或面积有关的几何概型的求解问题．试题以客观题的形式呈现，难度不
大，属中低档题.
课堂探究考点突破
(2)(2019·广东化州模拟)如图，正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形
对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分
π 的概率是 8 .
解析：设正方形边长为 2，则正方形面积为 4，正方形内切
圆中的黑色部分的面积 S＝12×π×12＝π2，∴在正方形内随机取一 π
(1)几何概型与平面几何的交汇问题，其解题思路为：利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率；
(2)几何概型与线性规划的交汇问题，其解题思路为：先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．
(1)在区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为
(2)(2019·西安调研)在区间[－1,1]上随机地取一个数 k，则事件“直
3 线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交”发生的概率为 4 .
解析：直线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交的充要条件是圆心 (5,0)到直线 y＝kx 的距离小于 3.

高中数学第10章概率章末综合提升课件新人教A版必修第二册

中奖 ” 这个事件为 M ，则 M ＝ A∪B∪C. ∵A ， B ， C两两互斥，
1+10+50
61
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝
＝
.
1 000
1 000
61
故1张奖券的中奖概率为
.
1 000
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解]
设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与

间的样本点总数n和事件A的样本点个数k.
2．掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学建模的数学素养．
【例2】袋中有形状、大小都相同的4个小球.
(1)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出
2只球，求这2只球颜色不同的概率；
[解]
设取出的2只球颜色不同为事件A.
试验的样本空间Ω＝{(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，
包含的样本点为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4个，所以
4
2
P(B)＝＝ .
6
3
(3)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，有放回地取球，取
两次，求两次取得球的颜色相同的概率．
[解]
试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(白，红)，(白，黄1)，(白，
黄2)，(红，红)，(红，白)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄1)，(黄
1，白)，(黄1，红)，(黄1，黄2)，(黄2，黄2)，(黄2，白)，(黄2，
红)，(黄2，黄1)}，共16个样本点，其中颜色相同的有6个，故所求
6
3
概率为P＝＝ .

高考数学一轮复习第十章概率10_3几何概型课件文新人教A版

C．1156
D．78
解析由图可知，事件“x＋y≤1”发生的概率为12×2×1×2 1＝18。故选B。
答案 B
3．(方向2)某日，甲、乙两人随机选择早上6：00至7：00的某个时刻
到达七星公园进行锻炼，则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为( )
A．97
B．92
C．23
D．13
解析在平面直角坐标系中，设x，y分别表示乙、甲两人的到达时刻，当x－y>20时满足题意，由几何概型计算公式可得，甲比乙提前到达超过20分钟的概率为12×604×0×6040＝29。故选B。
A．4mn C．4nm
B．2mn D．2nm
解析设由00≤≤xynn≤≤11，，构成的正方形的面积为S，由x2n＋y2n<1构成的
1 图形的面积为S′，所以SS′＝41π＝mn ，所以π＝4nm。故选C。
答案 C
三、走出误区微提醒：几何概型类型不清致误。 6．在长为6 m的木棒AB上任取一点P，则点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是________。
解析如图，直角三角形的斜边长为 82＋152 ＝17，设其内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3，所以内切圆的面积为πr2＝9π，所以豆子落在内切圆外的概率P＝1－12×98× π 15＝1－32π0。故选D。
答案 D
1．根据题意确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型。 2．分别求出全部事件和所求事件对应的区域面积。 3．利用几何概型概率计算公式正确计算，需要注意计算的测度是否一致。
等。若此时四棱锥M－ABCD的体积等于
1 6
，只要M在截面RS以下即可小于
1 6
，当VM－
ABCD＝

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：概率与统计

②从样本中随机抽取2个零件，计算其中次品个数Z的分布列和均值E(Z).
由题意可知，Z的分布列为
Z
0
1
2
P
C294 C2100
C16C194 C2100
C26 C2100
所以 E(Z)＝0×CC2129040＋1×CC16C2100194＋2×CC212600＝235.
123456
5.(2022·唐山模拟)两会期间，国家对学生学业与未来发展以及身体素质重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图(引体向上个数只记整数).体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组.
123456
p＝13，按方案一，4 例疑似病例中恰有 2 例呈阳性的概率 P＝C24×132 ×232＝287.
123456
(2)若 p＝110，现将该 4 例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并说明理由.
123456
方案一：逐个检测，检验次数为4×1＝4；方案二：设检测次数为X，X的所有可能取值为1,5， P(X＝1)＝1－1104＝160506010， P(X＝5)＝1－160506010＝130403090，
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
必刷大题2ห้องสมุดไป่ตู้ 概率与统计
1.已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分. 问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和均值.

2021版高考数学一轮复习第10章概率第3节几何概型课件文新人教A版

解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m. 当 0<m≤2 时，由题意得26m＝56，解得 m＝2.5，矛盾，舍去．当 2<m<4 时，由题意得m－（6－2）＝56，解得 m＝3. 答案：3
7．在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于点 M，则
|AM|>|AC|的概率为________．
解析：设事件 A 表示“某人到达路口时看见的是红灯”，则事件 A 对应 30 s 的时间长度，而路口红绿灯亮的一个周期为 30＋5＋40＝75(s)的时间长度，所以根据几何概型的概率公式可得，事件 A 发生的概率 P(A)＝3705＝25.
答案：25
6．在区间[－2，4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为56，则 m＝________．
解析：如图所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域 D，区域 D 的面积为 4，而阴影部分表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域．易知该阴影部分的面积为 4－π，因此满足条件的概率是4－4 π.
答案：4－4 π
三、易错自纠 5．一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 s，黄灯的时间为 5 s，绿灯的时间为 40 s，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是________．
率.
的解集、定积分等知识交汇考查．在高
2.了解几何模型的意义. 考中多以选择题、填空题的形式考查，
1.数学运算 2.数学建模 3.直观想象
难度为中档.
1
课前 ·基础巩固
‖知识梳理‖ 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 1 __长__度_____ (面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有 2 _无__限__多__个__； (2)等可能性：每个结果的发生具有 3等__可__能__性___．

(新课标)2020版高考数学总复习第十章第三节几何概型课件文新人教A版

答案 A A、B、C、D中阴影部分分别占整体的 3、 2 、 2 、 1, 3> 1=
8 8 6 38 3
2 > 2 ,故选A.
68
4.某路公共汽车每5分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的,则
他候车的时间不超过2分钟的概率是 ( C )
A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
5
5
5
5
答案 C 试验的全部结果构成的区域长度为5,所求事件的区域长度
又 PM = AP ,
BN AB
所以当 AP
AB
> 13 时,三棱锥S-APC的体积大于 V3 ,
故所求概率为 23 (即长度之比).
规律总结与体积有关的几何概型求法的关键对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.
A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 (2)(2018山东潍坊模拟)如图,六边形ABCDEF是一个正六边形,若在正六边形内任取一点,则该点恰好在图中阴影部分的概率是 ( C )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
4
3
3
4
答案 (1)A (2)C
解析 (1)本题主要考查几何概型概率的求法.
命题方向一与平面图形面积有关的几何概型典例2 (1)(2018课标全国Ⅰ,10,5分)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则 ( A )

第十章概率本章复习(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册

内容索引
(2) 设事件 D＝“从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品”，则 P(D)＝1－P( D )＝1－(1－P(A))(1－P(B))·(1－ P(C))＝1－23×34×13＝56，
即从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率是56.
内容索引
则 P(i＝4)＝12×23×14＝112；P(i＝5)＝12×13×14＝214；P(i＝6)＝12×13×14
＝214，
内容索引
5. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”“诗词”“理
学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相
互独立 .2023 年某新生入学，已知他通过考核选拔进入该校的 “ 书
法”“诗词”“理学”三个社团的概率依次为 m，13，n，三个社团他都能
【答案】 D
12345
内容索引
2. 某省新高考实行“3＋1＋2”模式，“3”为全国统考科目语文、数
学、英语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生需在物理、历史两科中
选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物学、思想政治、地理4
个科目中选择两科．某考生已经确定“首选科目”为物理，如果他从
“再选科目”中随机选择两科，那么思想政治被选中的概率为( )
内容索引
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率是14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率是29.
(1) 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； (2) 从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．

新人教A版高中数学第二册(必修2)课件：第十章概率章末复习课

日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨
跟踪训练3 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团
的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
解由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P ＝4155＝13.
解析判断两个事件A，B是否相互独立，可以看事件A的发生对事件 B发生的概率是否有影响，也可以用定义P(AB)＝P(A)P(B)来判断.
三、古典概型
1.古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性. 在应用公式P(A)＝m 时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出
√ A.① B.②④ C.③ D.①③
解析 ③中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件： “两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.
反思
感悟事件间的关系的判断方法 (1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系. (2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断.

高中数学(人教版A版必修第二册)配套课件：第十章--概率-章末复习课

用D表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张都不是中奖债券”，
则 D 表示“无放回地从债券中任取 2 张，取出的 2 张至少有 1 张是中奖债
券”，
2 5
则 P( D )＝1－P(D)＝1－12＝6.
解析答案
类型三古典概型与几何概型
例3
某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价
B，甲住B乙住A”，两人各住一个房间共有两种情况，
1
所以甲、乙两人各住一间房的概率是 .
2
解析答案
1
2 3 4 5
5.任取一个三位正整数 N，则对数 log2N 是一个正整数的概率是( C )
1
A.225
解析
3
B.899
1
C.300
1
D.450
三位正整数有100～999，共900个，
而满足log2N为正整数的N有27 ， 28 ， 29，共3个，
(1)本实验是不是等可能的？
(2)本实验的基本事件有多少个？
(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？
只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.
3.几何概型的实验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面
积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.求实验为几何概型的概率，关
键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解.
＝15(种).
1
故所求事件的概率＝ .

3
解析答案
返回
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1
1.下列事件中，随机事件的个数为(
2 3 4 5
)
①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；

高中数学第十章概率章末复习课课件新人教A版必修第二册

考点四相互独立事件概率 1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解． 2．通过对相互独立事件的概率的考查，提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学素养．
()
A．甲乙互斥
D
考点三古典概型 1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝mn 时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m. 2．通过对古典概型的概率公式及其应用的考查，提升学生的数学抽象和数据分析的数学素养．
跟踪训练3 (1)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随
机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A．15 C．25
B．13 D．23
答案：C
解析：(1)从6张卡片中任取2张的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5， 6)，共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有(1，4)，(2， 4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种，所以所求概率p＝165＝25.故选C.
例4 某公司在一次入职面试中，共设有3轮测试，每轮测试设有一
道题目，面试者能正确回答两道题目即可通过面试，累计答错两道题目即被淘汰．已知李明能正确回答每一道题目的概率均为2，且各轮
3

(全国通用)高考数学一轮复习第10章概率第3节几何概型教师用书文新人教A版-新人教A版高

第三节几何概型———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110.( )(3)概率为0的事件一定是不可能事件．( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A [P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．]3．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310B [如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]4．(2017·某某检测)如图1031所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图10310．18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．1－π4 [如图所示，区域D 为正方形OABC 及其内部，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π，∴所求事件的概率P ＝4－π4＝1－π4.]与长度(角度)有关的几何概型(1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34(2)如图1032所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【导学号：31222400】图1032(1)B (2)13 [(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.(2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′.依题意，点P ′在上任何位置是等可能的，且射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点P ′在上发生”．又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π6.故所求事件的概率P ＝＝π6·1π2·1＝13.][规律方法] 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动X 围，当考查对象为点，且点的活动X 围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．(1)第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求P ＝12.(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．[变式训练1] (1)(2017·某某质检)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )A.34B.12C.13D.35(2)(2016·某某高考)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．(1)B (2)34 [(1)作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在上运动时，弦长|AB |＞2R ，∴P ＝＝12.(2)由直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，得|5k |k 2＋1<3，即16k 2<9，解得－34<k <34.由几何概型的概率计算公式可知P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝34.]与面积有关的几何概型☞角度1 与随机模拟相关的几何概型(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4mnD.2mnC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4mn.]☞角度2 与线性规划交汇问题(2017·华师一附中联考)在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A.14 B.316C.916D.34D [由x ，y ∈[0,4]可知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分．易知A (4,2)，S 正方形＝16，S 阴影＝2＋4×42＝12. 故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34.]与体积有关的几何概型在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6B [设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A .则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部． ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝23π.∴P (A )＝23－23π23＝1－π12.] [规律方法] 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．[变式训练2] 如图1033，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率为________.【导学号：31222401】图103312[设四棱锥M ABCD 的高为h ，由于V 正方体＝1. 则13·S ABCD ·h ＜16，又S ABCD ＝1，∴h ＜12，即点M 在正方体的下半部分， ∴所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.][思想与方法]1．古典概型与几何概型的区别在于：前者基本事件的个数有限，后者基本事件的个数无限．2．判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．[易错与防X]1．易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．2．准确把握几何概型的“测度”是解题关键．3．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．课时分层训练(六十三) 几何概型A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )A.45 B.35C.25D.15B [在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.]2．如图1034所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( )图1034A.π3B ．πC ．2πD ．3πD [设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S ′＝π·32＝9π. 由几何概型的概率得S S ′＝13，则S ＝3π.] 3．若将一个质点随机投入如图1035所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )图1035A.π2B.π4C.π6D.π8B [设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.]4．(2015·某某高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34 B.23 C.13D.14A [不等式－1≤l og 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.]5．已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC＜12V S ABC 的概率是( ) 【导学号：31222402】A.78B.34C.12D.14A [当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P ABC ＜12V S ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.]6．(2017·某某模拟)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )【导学号：31222403】A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12πD [|z |＝x －12＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时，y ≥x 表示的是图中阴影部分．∵S 圆＝π×12＝π，S 阴影＝π4－12×12＝π－24. 故所求事件的概率P ＝S 阴影S 圆＝π－24π＝14－12π.]二、填空题7．(2017·某某模拟)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.【导学号：31222404】3 [由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m . 当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2＜m ＜4时，由题意得m －－26＝56，解得m ＝3.] 8．(2015·某某高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．23[∵方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－43p －2≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2.故所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋5－25＝23.] 9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．1316 [∵去看电影的概率P 1＝π·12－π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122π·12＝34，去打篮球的概率P 2＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫142π·12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.]10．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________. 【导学号：31222405】π120[屋子的体积为5×4×3＝60米3，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2米3，故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.]B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·某某高考)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2D [如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE (如图①)，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分(如图②)，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D.]2．(2017·某某质检(二))在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到O 点的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π8C.π8D ．1－π4D [由题意得长方形ABCD 的面积为1×2＝2，其中满足到点O 的距离小于等于1的点在以AB 为直径的半圆内，其面积为12×π×12＝π2，则所求概率为1－π22＝1－π4，故选D.]3．随机地向半圆0＜y ＜2ax －x 2(a 为正数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为________．12＋1π[由0＜y ＜2ax －x 2(a ＞0)，得(x －a )2＋y 2＜a 2，因此半圆区域如图所示．设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π.]4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，则方程有实根的概率为________．【导学号：31222406】23[设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.]。

高考数学总复习第10章第3(文)、6(理) 几何概型课件新人教A版

于半径长度的概率为
1
2
A.2
B.3
3
1
C. 2
D.4
第二十一页，共61页。
(1)根据题意求出矩形各边的长，然后(ránhòu)求概率． (2)确定点A′在圆周上的位置，然后(ránhòu)求概率．
解析：(1)(理)设 AC＝x，CB＝12－x，所以 x(12－x)＝32，解得 x＝4 或 x＝8.所以 P＝4＋ 124＝23.
第十九页，共61页。
(文)(2012·辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点
C，现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该
矩形面积大于 20 cm2 的概率为
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้
A.6
B.3
2
4
C.3
D.5
第二十页，共61页。
(2)如右图所示，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置
任取一点 A′，连接 AA′，它是一条弦，它的长度大于等
解析：记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨(bùfáng) 在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，
第二十八页，共61页。
弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型公式得：P(A)＝12×2 2＝12.
第三十六页，共61页。
(文)点 Q 取自△ABE 内部的概率为 1
SS矩△ 形AABBECD＝2|·A|ABB|·||·A|ADD| |＝12.故选 C. 答案(dáàn)：C
第三十七页，共61页。
(2)∵S 圆＝πR2，S 阴影＝ 43×( 3R)2＝343R2，