2016.7北京市西城区高二期末文科数学试题和答案

北京市西城区2015 — 2016学年度第二学期期末试卷

高二数学 2016.7

（文科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

题号 一 二

三

本卷总分

15

16 17 18 19 20 分数

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合要求的.

1．已知集合{|01}A x x =∈<R ，则A

B =（ ）

（A ）1{|0}2

x x ∈<

{|

1}2

x x ∈<

2．已知{}n a 是公差为2-的等差数列，如果1a 和5a 的等差中项为1-，那么2a =（ ） （A ）3- （B ）2- （C ）1 （D ）3

3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） （A ）2

y x =-

（B ）12

log y x =

（C ）1()2

x

y =

（D ）1y x x

=-

4．函数12

y x =的图象大致是

5．若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） （A ）ad bc > （B ）ad bc < （C ）ac bd > （D ）ac bd <

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．已知命题p ：“x ∀∈R ，2x ≥”，那么命题p ⌝为 ． 10．函数()cos f x x =，则()6

f π'= ．

11．已知函数3()log f x x =．若正数,a b 满足9b a =，则()()f a f b -= ． 12．某小镇计划植树不少于1000棵．假设第一天植树2棵，以后每天植树的数目是前一天

的2倍，则需要植树的天数*

()n n ∈N 的最小值是 ．

13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R ，都有(2)()2f x f x +=+，则

(1)f = ；

20

1

()k f k ==∑ ．

（注：

121

n

k

n k a

a a a ==+++∑）

14．研究函数ln ()x

f x x

=

的性质，完成下面两个问题： ① 将(2)f ，(3)f ，(5)f 按从小到大排列为 ； ② 函数1()(0)x

g x x x =>的最大值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）

已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，314a a -=，318S =-． （Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若14k S =-，求k 的值．

16．（本小题满分13分）

已知函数32

()39f x x x x =+-．

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若函数()f x 在区间[4,]c -上的最小值为5-，求c 的取值范围．

17．（本小题满分13分）

已知函数()b

f x ax x

=+，其中,a b 为常数．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是320x y -+=．

（Ⅰ）确定()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 的取值范围．

18．（本小题满分13分）

已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*

32()n n S a n =-∈N ．

（Ⅰ）证明：{}n a 是等比数列；

（Ⅱ）证明：对于任意正整数n ，都有13n S ≤<．

19．（本小题满分14分）

已知函数()ln f x ax x =-，其中0a >.

（Ⅰ）若()f x 在0x x =处取得最小值2，求a 和0x 的值； （Ⅱ）设12,x x 是任意正数，证明：12

12()()2()2

x x f x f x f ++≥．

20．（本小题满分14分）

已知函数()e x

f x =，()ln (1)

g x x a x =--，其中0a >．经过坐标原点分别作曲线

()y f x =和()y g x =的切线1l ，2l ，两条切线的斜率依次为1k ，2k ．

（Ⅰ）求1k 的值；

（Ⅱ）如果121k k ⋅=，证明：111e e e

a -<<-．

北京市西城区2015 — 2016学年度第二学期期末试卷

高二数学（文科）参考答案及评分标准

2016.7

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1．B 2．C 3．D 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．x ∃∈R ，2x < 10．1

2

- 11．2- 12．9

13．1；210 14．(5)(2)(3)f f f <<；1

e e

注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分； 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差是d ，

依题意，得 1

24,

3318.d a d =⎧⎨+=-⎩

解得 18,

2.

a d =-⎧⎨

=⎩

所以数列}{n a 的通项公式为1(1)210n a a n d n =+-=-． （Ⅱ）由 1()2

n n n a a S +=

， 得 2

9n S n n =-． 令 2

914k k -=-， 即 2

9140k k -+=，

解得 2k =，或7k =． 16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）32()39f x x x x =+-的定义域是R ，且2()369f x x x '=+-．

令()0f x '=，得13x =-，21x =．

()f x 与()f x '在(,)-∞+∞上的情况如下：

所以()f x 的单调递增区间为(,3)-∞-和(1,)+∞；单调递减区间为(3,1)-． （Ⅱ）由(4)20f -=及（Ⅰ）中结论可知：

当1c ≥时，函数()f x 在区间[4,]c -上的最小值为(1)5f =-；