【K12教育学习资料】高二数学上学期期末调研考试试题 理(扫描版)
【配套K12】高二数学上学期期末试卷 理(含解析)2
2015-2016学年贵州省遵义市航天高中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．如果命题“￢（p∨q）”是假命题，则下列说法正确的是（）A．p、q均为真命题B．p、q中至少有一个为真命题C．p、q均为假命题D．p、q中至少有一个为假命题2．经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为45°，则y的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．0 D．23．设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42 B．36π+18 C．π+12 D．π+184．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值为（）A．4 B．C． D．﹣45．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线a，b，则下列四个命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βC．若α⊥β，α∩β=b，a⊥b，则a⊥βD．若α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，则a∥β6．将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+3=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y+3=07．四棱锥P﹣ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．抛物线y2=4x上的点M（x0，y0）到焦点F的距离为5，则x0的值为（）A．1 B．3 C．4 D．59．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为4的正方形，高为2，则它的外接球的表面积为（）A．36π B．9πC．20π D．16π10．“a=1”是“两直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+2=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N 为BC中点，则=（）A．B．C．D．12．设F1、F2是椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线﹣=1渐近线方程为．14．命题：“∀x∈R，e x≤x”的否定是（写出否定命题）15．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，若△PF1F2的面积为．16．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）三、解答题．（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．已知两条直线l1：ax﹣by+4=0和l2：（a﹣1）x+y+b=0，若l1⊥l2且l1过点（﹣3，﹣1），求a，b的值．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，点E、F分别为PC、PA的中点．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求三棱锥F﹣ABE的体积．19．已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C在直线x+y﹣1=0上，且点C在第二象限，半径为．（1）求圆C的方程；（2）斜率为2的直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=2，求直线l方程．20．设抛物线C：y2=4x，F为C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，求证：是一个定值（其中O为坐标原点）．21．如图，已知圆柱的高为4，AA1，BB1，CC1是圆柱的三条母线，AB是底面圆O的直径，AC=3，AB=5．（1）求证：AC1∥平面COB1；（2）求二面角A﹣BC1﹣C的正切值．22．设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若•+•=8，求k的值．2015-2016学年贵州省遵义市航天高中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．如果命题“￢（p∨q）”是假命题，则下列说法正确的是（）A．p、q均为真命题B．p、q中至少有一个为真命题C．p、q均为假命题D．p、q中至少有一个为假命题【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】￢（p∨q）是假命题，则p∨q为真命题，再根据或命题为真的规则判断．【解答】解：因为命题￢（p∨q）为假，所以（p∨q）为真，所以p或q中至少一个为真．故选B．【点评】本题考查了命题的否定与原命题真假的关系，或命题为真的条件．属于基础题．2．经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为45°，则y的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．0 D．2【考点】直线的斜率；直线的倾斜角．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；直线与圆．【分析】由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得y的值．【解答】解：经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的斜率为k=．又直线的倾斜角为45°，∴y+2=tan45°=1，即y=﹣1．故选：A．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．3．设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42 B．36π+18 C．π+12 D．π+18【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知：由正视图和俯视图可知该几何体的下部是一个长方体，底面是一个边长为3的正方形，高为2；而长方体的上面是一个直径为3的球，据此可算出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是自上而下由一个球和一个长方体组成，又球的半径为，长方体的长、宽、高分别为3、3、2．故该几何体的体积=+3×3×2=．故选D．【点评】本题考查了由三视图求原几何体的体积，通过三视图正确恢复原几何体是计算的关键．4．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值为（）A．4 B．C． D．﹣4【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的性质求解．【解答】解：∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴，解得m=﹣4．故选：D．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．5．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线a，b，则下列四个命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βC．若α⊥β，α∩β=b，a⊥b，则a⊥βD．若α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，则a∥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】探究型；空间位置关系与距离．【分析】对于A，根据线面平行的判定，可得结论；对于B，根据面面平行的判定，a，b相交时，α∥β，；对于C，根据面面垂直的性质，当a⊂α，α⊥β，α∩β=b，a⊥b，则a⊥β；对于D，过a作平面γ，与α、β分别交于b，c，则利用线面平行、面面平行的性质，可得a∥b∥c，利用线面平行的判定，可得a∥β．【解答】解：对于A，根据线面平行的判定，a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α，故A不正确；对于B，根据面面平行的判定，a，b相交时，α∥β，故B不正确；对于C，根据面面垂直的性质，当a⊂α，α⊥β，α∩β=b，a⊥b，则a⊥β，故C不正确；对于D，过a作平面γ，与α、β分别交于b，c，则∵α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，∴a∥b∥c，∵a⊄β，c⊂β，∴a∥β，故D正确；故选D．【点评】本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+3=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y+3=0【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，可得出圆心坐标为（1，2），将x=1，y=2代入A选项得：x+y﹣1=1+2﹣1=2≠0，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入B选项得：x+y+3=1+2+3=6≠0，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入C选项得：x﹣y+1=1﹣2+1=0，故圆心在此直线上；将x=1，y=2代入D选项得：x﹣y+3=1﹣2+3=2≠0，故圆心不在此直线上，则直线x﹣y+1=0将圆平分．故选C【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．7．四棱锥P﹣ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理的应用；异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】根据CD∥AB，∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角，在△PAB中求出∠PAB 的余弦值，即可得出CD与PA所成角的余弦值．【解答】解：∵正方形ABCD中，CD∥AB∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角△PAB中，PA=PB=，AB=2∴cos∠PAB===即CD与PA所成角的余弦值为故选A【点评】本题在正四棱锥中，求相对的棱所成角的余弦之值，着重考查了正四棱锥的性质和异面直线所成角求法等知识，属于基础题．8．抛物线y2=4x上的点M（x0，y0）到焦点F的距离为5，则x0的值为（）A．1 B．3 C．4 D．5【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题设条件，由抛物线的定义知：点M到抛物线的准线方程x=﹣1的距离为5，由此能求出x0的值．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），抛物线y2=4x上的点M（x0，y0）到焦点F的距离为5，∴点M到抛物线的准线方程x=﹣1的距离为5，∴x0﹣（﹣1）=5，解得x0=4．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线定义的合理运用．9．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为4的正方形，高为2，则它的外接球的表面积为（）A．36π B．9πC．20π D．16π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC1的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为4的正方形，高为2，∴长方体的对角线AC1==5，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上，∴球的一条直径为AC1=6，可得半径R=3，因此，该球的表面积为S=4πR2=4π×32=36π，故选：A．【点评】本题给出长方体的长、宽、高，求长方体外接球的表面积，着重考查了长方体的对角线公式、长方体的外接球和球的表面积公式等知识，属于基础题．10．“a=1”是“两直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+2=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】对应思想；定义法；直线与圆；简易逻辑．【分析】a=1时，两直线互相平行，充分性成立；当两直线互相平行时，a=1，必要性成立；是充要条件．【解答】解：当a=1时，直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+2=0为y=x﹣2和3x﹣3y+2=0，它们互相平行，充分性成立；当直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+2=0互相平行时，a（a+2）﹣3=0，解得a=1或a=﹣3（直线重合，舍去），必要性成立；所以“a=1”是“两直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+2=0互相平行”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了判断两条直线平行的应用问题，也考查了充分、必要条件的判断问题，是基础题目．11．如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N 为BC中点，则=（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【专题】计算题．【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：由题意=++=+﹣+=﹣++﹣=﹣++又=， =， =∴=﹣++故选B．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．12．设F1、F2是椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，得|PF1|=|F1F2|且∠PF1F2=120°，设交x轴于点M，可得|PF1|=2|F1M|，由此建立关于a、c的等式，解之即可求得椭圆E的离心率．【解答】解：设交x轴于点M，∵△F1PF2是底角为30°的等腰三角形∴∠PF1F2=120°，|PF1|=|F2F1|，且|PF1|=2|F1M|．∵P为直线上一点，∴2（﹣c+）=2c，解之得3a=4c∴椭圆E的离心率为e==故选：C【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．【解答】解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题以双曲线为载体，考查双曲线的简单性质，解题的关键是正确运用双曲线的标准方程．14．命题：“∀x∈R，e x≤x”的否定是（写出否定命题）【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：“∀x∈R，e x≤x”的否定是：．故答案为：．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．15．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，若△PF1F2的面积为9 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆可得：a，b，c．设|PF1|=m，|PF2|=n．由于，可得∠F1PF2=90°．利用勾股定理可得：m2+n2=（2c）2=64．利用椭圆的定义可得：m+n=2a=10，进而得到mn．【解答】解：由椭圆可得：a2=25，b2=9．∴a=5，b=3，c==4．设|PF1|=m，|PF2|=n．∵，∴∠F1PF2=90°．∴m2+n2=（2c）2=64．又m+n=2a=10，联立，解得mn=18．∴△PF1F2的面积S=mn=9．故答案为：9．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、向量垂直、勾股定理、三角形的面积等基础知识与基本技能方法，属于中档题．16．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足DM⊥PC（或BM⊥PC等）时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）【考点】平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；探究型．【分析】由题意要得到平面MBD⊥平面PCD，容易推得AC⊥BD，只需AC垂直平面MBD内的与BD相交的直线即可．【解答】解：由定理可知，BD⊥PC．∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．故选DM⊥PC（或BM⊥PC等）【点评】本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．三、解答题．（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．已知两条直线l1：ax﹣by+4=0和l2：（a﹣1）x+y+b=0，若l1⊥l2且l1过点（﹣3，﹣1），求a，b的值．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；转化法；直线与圆．【分析】由l1⊥l2，得a（a﹣1）﹣b=0①；l1过点（﹣3，﹣1），得﹣3a﹣b+4=0②；由①②组成方程组，解方程组即可．【解答】解：由l1⊥l2，得：a（a﹣1）﹣b=0①；由l1过点（﹣3，﹣1），得﹣3a﹣b+4=0②；由①②解方程组得：a=﹣1+，b=7﹣3；或a=﹣1﹣，b=7+3．【点评】本题考查了两直线垂直的应用问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题目．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，点E、F分别为PC、PA的中点．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求三棱锥F﹣ABE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（几何法）（1）证明：PB⊥AC，，然后证明（2）利用V F﹣ABE=V E﹣ABF=V E﹣ABP==，转化求解即可．（向量法）以点C为原点建立空间直角坐标系C﹣XYZ（其中Z轴∥PB），（1）通过数量积证明BE⊥CA，结合BE⊥CP，证明BE⊥平面PAC，（2）利用V F﹣ABE=V E﹣ABF，求得平面ABF的一个法向量，然后求出E到平面ABF的距离，然后求解体积．【解答】（几何法）（1）证明：∵PB⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，∴PB⊥AC，又∠BCA=90°，即AC⊥BC，而PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，又BE⊂平面PBC，∴，∴（2）解：V F﹣ABE=V E﹣ABF==V E﹣ABP=====．（向量法）如图，以点C为原点建立空间直角坐标系C﹣XYZ（其中Z轴∥PB），由已知，得：C（0，0，0），A（0，4，0），B（4，0，0），P（4，0，4），E（2，0，2），F（2，2，2）（1）证明：，，∴BE⊥CA且BE⊥CP，故BE⊥平面PAC，（2）由题意可知V F﹣ABE=V E﹣ABF，又由可求得平面ABF的一个法向量而，∴E到平面ABF的距离∴．【点评】本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，几何法与向量法的应用，考查转化思想以及逻辑推理能力．19．已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C在直线x+y﹣1=0上，且点C在第二象限，半径为．（1）求圆C的方程；（2）斜率为2的直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=2，求直线l方程．【考点】圆方程的综合应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）由圆的方程写出圆心坐标，因为圆C关于直线x+y﹣1=0对称，得到圆心在直线上，把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于得到方程，联立求出D和E，即可写出圆的方程；（2）设所求直线l：y=2x+m，即2x﹣y+m=0，根据勾股定理列出式子求出m即可．【解答】解：（1）由题意，可设点C（a，1﹣a）（a＜0），∴即故圆C方程为：x2+y2﹣2ax+（2a﹣2）y+3=0，∴又，∴2a2﹣2a﹣2=2解得a=﹣1或a=2（舍），∴圆C方程为：x2+y2+2x﹣4y+3=0；（2）由（1）得圆C方程为（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆心C（﹣1，2）设所求直线l：y=2x+m，即2x﹣y+m=0圆心C到直线l的距离为d，由|AB|=2而，可得d=1，∴，解得，∴直线l方程为【点评】考查学生会把圆的方程变为标准方程的能力，理解直线与圆相交时弦长的计算方法是关键．20．设抛物线C：y2=4x，F为C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，求证：是一个定值（其中O为坐标原点）．【考点】圆锥曲线与平面向量；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；分类讨论；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出抛物线的焦点坐标F（1，0），通过l⊥x轴，l与x轴不垂直，设l：y=k（x ﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，求解数量积的值即可．【解答】证明：由C：y2=4x，可得F（1，0）若l⊥x轴，则l：x=1，∴A（1，2），B（1，﹣2），∴=1×1+2×（﹣2）=﹣3若l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）联立消x得：ky2﹣4y﹣4k=0∴从而，∴综上可知：（定值）【点评】本题考查向量与圆锥曲线的综合应用，考查分类讨论以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．21．如图，已知圆柱的高为4，AA1，BB1，CC1是圆柱的三条母线，AB是底面圆O的直径，AC=3，AB=5．（1）求证：AC1∥平面COB1；（2）求二面角A﹣BC1﹣C的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；空间向量的加减法．【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）建立空间直角坐标系C﹣XYZ，求出平面COB1的一个法向量，证明，推出AC1∥平面COB1（2）求出平面ABC1的一个法向量，平面BCC1的一个法向量，设二面角A﹣BC1﹣C为θ，利用向量的数量积求解二面角 A﹣BC1﹣C的正切值．【解答】解：由AB是⊙o直径，可知AC⊥BC，故由AC=3，AB=5可得：BC=4，以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C﹣XYZ（如图）则（1）由，可得平面COB1的一个法向量又，∴，∴又AC1⊄平面COB1∴AC1∥平面COB1（2）由，可得平面ABC1的一个法向量，由，可得平面BCC1的一个法向量设二面角A﹣BC1﹣C为θ，则，．即二面角 A﹣BC1﹣C的正切值为：．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．22．设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若•+•=8，求k的值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由直线与椭圆消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得•+•，利用•+•=8，即可求得k的值．【解答】解：（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为．∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由直线与椭圆消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴•+•=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1）=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=±，验证满足题意．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．。
高二数学上学期期末调查试题扫描 试题
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日高二数学答案1、-sinx2、43、x －2y －1＝04、 45、012=++y x6、4>m7、-68、25)3(22=++y x 9、(]1,0 10、1或者4 11、e ＝c a ＝52 12、313、M ∈线段FH 14、(－∞，－3)∪(0,3)15、 解：〔Ⅰ〕圆C 的半径r == ---------------------2分 所以圆C 的HY 方程：()()22122x y -+-=--------------------------------4分〔Ⅱ〕设过点(2,1)P -的切线方程为1(2)y k x +=----------------------------------6分 即210kx y k ---=， ----8分2670k k ∴--=，解得71k k ==-或，--------------------------------------10分∴所求切线的方程为715010x y x y --=+-=或----------------------------14分16．〔本小题满分是14分〕证明：〔1〕因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC ．因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1． …………………5分 因为DC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥DC 1． …………………7分 〔2〕(证法一)连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结OD ， 那么O 为A 1C 的中点．因为D 为BC 的中点，所以OD//A 1B ． …………………11分 因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B /⊂平面ADC 1，所以A 1B//平面ADC 1． …………………14分 (证法二)取B 1C 1的中点D 1，连结A 1D 1，D 1D ，D 1B ．那么D 1C 1＝∥BD ． 所以四边形BDC 1D 1是平行四边形．所以D 1B// C 1D ．因为C 1D ⊂平面ADC 1，D 1B /⊂平面ADC 1， 所以D 1B//平面ADC 1．同理可证A 1D 1//平面ADC 1．因为A 1D 1⊂平面A 1BD 1，D 1B ⊂平面A 1BD 1，A 1D 1∩D 1B ＝D 1，所以平面A 1BD 1//平面ADC 1． …………………11分 因为A 1B ⊂平面A 1BD 1，所以A 1B//平面ADC 1． …………………14分17、(1) .23)(2ax x x f -='因为.3)1(='f 所以323=-a ，解得a =0，所以3)(x x f =，从而1)1(=f ，故曲线在点))1(,1(f 处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0。
高二上学期期末调研数学(理)试题 Word版含答案
第一学期高二期末调研数学卷（理科）注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上1．命题“∀x ∈N ，x 2≠x ”的否定是 ▲ ．2．在平面直角坐标系xOy 中，焦点为F (5，0)的抛物线的标准方程是 ▲ ． 3．已知a ，b ∈R ，a ＋b i ＝(1＋2i)(1－i) (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ▲ ． 4．记函数f (x )＝x ＋1x 的导函数为f '(x )，则 f '(1)的值为 ▲ ．5．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －y ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为 ▲ ．6．记命题p 为“若α＝β，则cos α＝cos β”，则在命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．如图，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3， ∠BAA 1＝60︒，E 为棱C 1D 1的中点，则→AB ⋅→AE ＝ ▲ ．9．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 10．“a ＝1”是“函数f (x )＝x ＋a cos x 在区间(0，π2)上为增函数”的 ▲ 条件（在“充CABDA 1B 1C 1D 1E（第8题图）要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）． 11．已知圆柱的体积为16π cm 3，则当底面半径r ＝ ▲ cm 时，圆柱的表面积最小． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x －y －1＝0，x －y＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B ，C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ▲．13．定义在R 上的函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点O ，且它的导函数y ＝f '(x )的图像是如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图像一定不经过第 ▲ 象限． 14．已知A 是曲线C 1：y ＝ax －2(a ＞0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝5的一个公共点．若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分）已知m ∈R ，设p ：复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，q ：复数z 2＝1＋(m －2)i 的模不超过10．（1）当p 为真命题时，求m 的取值范围；（2）若命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围．16．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－2x －3与坐标轴的交点都在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线x ＋y ＋a ＝0与圆C 交于A ，B 两点，且AB ＝2，求实数a 的值．（第13题图）17．（本题满分10分）在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝a ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点. （1）若AC 1⊥D 1F ，求a 的值；（2）若a ＝2，求二面角E －FD 1－D 的余弦值.18．（本题满分10分）已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，今年新增的年销量．．．．．．(单位：万件)与(2－x )2成正比，比例系数为4． （1）写出今年商户甲的收益y (单位：万元)与今年的实际销售单价x 间的函数关系式； （2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．A BCD C 1B 1A 1D 1EF（第17题图）19．（本题满分10分）已知函数f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，其中a ≥0． （1）若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； （2）讨论函数f (x )的单调性．20．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点B 、C 的坐标为B (－2，0)，C (2，0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为－14，设顶点A 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）设曲线E 与y 轴负半轴的交点为D ，过点D 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，这两条直线与曲线E 的另一个交点分别为M ，N ．设l 1的斜率为k (k ≠0)，△DMN 的面积为S ，试求S∣k ∣的取值范围．南京市2013－2014学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准（理科）2014.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．∃x ∈N ，x 2＝x 2．y 2＝20x 3．4 4．－1 5．66．2 7．52 8．14 9．(1，e) 10．充分不必要． 11．2 12．8 13．1 14．2二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解（1）因为复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i 在复平面内对应的点在第二象限，所以⎩⎨⎧m －1＜0，m ＋3＞0．解得－3＜m ＜1，即m 的取值范围为(－3，1)． ……………… 3分 （2）由q 为真命题，即复数z 2＝1＋(m －2)i 的模不超过10，所以12＋(m －2)2≤10，解得－1≤m ≤5． ……………… 5分 由命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题得⎩⎨⎧p 为真命题，q 为假命题，或 ⎩⎨⎧p 为假命题，q 为真命题． 所以⎩⎨⎧－3＜m ＜1，m ＜－1或m ＞5，或⎩⎨⎧m ≤－3或m ≥1，－1≤m ≤5，即－3＜m ＜－1或1≤m ≤5．所以m 的取值范围为(－3，－1)∪[1，5]． ……………… 8分 16．解 （1）曲线与y 轴的交点是(0，－3)．令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x＝3．即曲线与x 轴的交点是(－1，0)，(3，0)． ……………… 2分设所求圆C 的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧9－3E ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝2，F ＝－3．所以圆C 的方程是x 2＋y 2－2x ＋2y -3＝0． ……………… 5分（2）圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝(5)2，所以圆心C (1，－1)，半径r ＝5． ……………… 7分圆心C 到直线x ＋y ＋a ＝0的距离d ＝|1＋(－1)＋a |2＝|a |2． 由于d 2＋(12AB )2＝r 2，所以(|a |2)2＋12＝(5)2，解得a ＝±2 2 ． ……………… 10分17．解 如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立坐标系．（1）由题意得A (2，0，0)，D 1(0，0，a )，C 1(0，2，a )，F (0，1，0)故→AC 1＝(－2，2，a )，→D 1F ＝(0，1，－a )． …… 2分因为AC 1⊥D 1F ，所以→AC 1·→D 1F ＝0，即(－2，2，a )·(0，1，－a )＝0．从而2－a 2＝0，又a ＞0，故a ＝2． ……………… 5分 （2）平面FD 1D 的一个法向量为m ＝(1，0，0)． 设平面EFD 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为E (1，0，0)，a ＝2，故→EF ＝(－1，1，0)，→D 1F ＝(0，1，－2)． 由n ⊥→EF ，n ⊥→D 1F ，得－x ＋y ＝0且y －2z ＝0，解得x ＝y ＝2z ．故平面EFD 1的一个法向量为n ＝(2，2，1)． ……………… 8分 因为cos<m ，n >＝m ·n|m |·|n |＝(1，0，0)·(2，2，1)1×3＝23，且二面角E －FD 1－D 的大小为锐角，所以二面角E －FD 1－D 的余弦值为23． ……………… 10分 18．解 （1）由题意知，今年的年销售量为1＋4(x －2)2 (万件)．因为每销售一件，商户甲可获利(x －1)元，所以今年商户甲的收益y ＝[1＋4(x －2)2](x －1)＝4x 3－20x 2＋33x －17，(1≤x ≤2)． ……………… 4分（2）由（1）知y ＝4x 3－20x 2＋33x －17，1≤x ≤2， 从而y ′＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)．令y ′＝0，解得x ＝32，或x ＝116．列表如下：……………… 7分又f (32)＝1，f (2)＝1，所以f (x )在区间[1，2]上的最大值为1(万元)． 而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．……………… 10分19．解（1）当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋4ln x ，从而f ′(x )＝－2＋4x ，其中x ＞0． ……………… 2分 所以f ′(1)＝2．又切点为(1，－2)，所以所求切线方程为y ＋2＝2(x －1)，即2x －y －4＝0． ……………… 4分 （2）因为f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，所以f ′(x )＝2ax －(4a ＋2)＋4x ＝2ax 2－(4a ＋2)x ＋4x ＝2(ax －1)(x －2)x ，其中x ＞0．①当a ＝0时，f ′(x )＝－2(x －2)x ，x ＞0．由f ′(x )＞0得，0＜x ＜2，所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)；单调减区间是(2，＋∞)；……………… 6分②当0＜a ＜12时，因为1a ＞2，由f ′(x )＞0，得x ＜2或x ＞1a ．所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)；单调减区间为(2，1a )；……………… 8分③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)2x ≥0，且仅在x ＝2时，f ′(x )＝0， 所以函数f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；④当a ＞12时，因0＜1a ＜2，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1a 或x ＞2，所以函数f (x )的单调增区间是(0，1a )和(2，＋∞)；单调减区间为(1a ，2)． 综上，当a ＝0时，f (x )的单调增区间是(0，2)，单调减区间是(2，＋∞)； 当0＜a ＜12时，f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)，减区间为(2，1a )； 当a ＝12时，f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；当a ＞12时，f (x )的单调增区间是(0，1a )和(2，＋∞)，减区间为(1a ，2)．……………… 10分20．解（1）设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝y x ＋2，k AC ＝yx －2， ………… 2分因为k AB ⋅k AC ＝－14，所以y x ＋2⋅ y x －2＝－14， 即x 24＋y 2＝1．（或x 2＋4y 2＝4）.所以曲线E 的方程为 x 24＋y 2＝1（x ≠±2) ． ……………… 4分 （2）曲线E 与y 轴负半轴的交点为D (0，－1)．因为l 1的斜率存在，所以设l 1的方程为y ＝kx －1， 代入x 24＋y 2＝1，得M (8k 1＋4k 2，4k 2－11＋4k 2)，从而DM ＝(8k 1＋4k 2)2＋(4k 2－11＋4k 2＋1)2＝8∣k ∣1＋k 21＋4k 2． ……………… 6分 用－1k 代k 得DN ＝81＋k 24＋k 2．所以△DMN 的面积S ＝12⋅8∣k ∣1＋k 21＋4k 2⨯81＋k 24＋k 2＝32(1＋k 2)∣k ∣(1＋4k 2)(4＋k 2)． ……………… 8分 则S∣k ∣＝ 32(1＋k 2)(1＋4k 2)(4＋k 2)， 因为k ≠0且k ≠±12，k ≠±2，令1＋k 2＝t ， 则t ＞1，且t ≠54，t ≠5，从而S ∣k ∣＝32t (4t －3)(t ＋3)＝32t 4t 2＋9t －9＝329＋4t －9t ，因为4t －9t ＞－5，，且4t －9t ≠－115，4t －9t ≠915． 所以9＋4t －9t ＞4且9＋4t －9t ≠345，9＋4t －9t ≠1365，从而 S ∣k ∣＜8且S ∣k ∣≠8017，S ∣k ∣≠2017， 即S ∣k ∣∈(0，2017)∪(2017，8017)∪(8017，8)． ……………… 10分。
高二数学上学期期末考试试题理_00012(共5页)
高二上学期期末考试(qī mò kǎo shì)数学〔理〕试题试题总分 150分考试用时120分钟第一卷一、选择题〔每一小题5分一共60分〕1、假设集合〔〕A、 B、 C、 D、2、函数的定义域为〔〕A、 B、 C、 D、3、设是两条不同的直线，是一个平面，那么以下命题正确的选项是〔〕A、假设B、C、 D、4、直线〔〕A、 B、 C、 D、5、〔〕A、第一或者二象限B、第二或者第三象限C、第一或者第三象限D、第二或者第四象限6、函数的一个递减区间是〔〕A、 B、 C、 D、7、A、 B、 C、 D、8、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别(fēnbié)是a、b、c且a=那么sinB=( )A、 B、 C、 D、9、在△ABC中，角A、B、C成等差数列，那么角B等于〔〕A、 B、 C、 D、10、双曲线的渐近线方程为,那么双曲线的离心率是〔〕A、 B、 C、 D、11、数列9，99,999,9999，...，的前n项和等于〔〕A、 B、 C、 D、12、过椭圆的左焦点F作倾斜角为的弦AB，那么弦AB的长为〔〕A、 B、 C、 D、第二卷二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13、不等式的解集是____________________14、等比数列中_________________15、x,y均为正数，且2x+y=1,那么的最小值是_____________16、平面(píngmiàn)上有三个点A〔-2，y〕，B〔0，〕，C〔x,y〕,假设，那么动点的轨迹方程为______________________三、解答题〔17题10分，其余各题12分，要求有必要的运算步骤和文字说明〕17、求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线的方程。
18、函数〔1〕、求的最小正周期及)f的最小值(x〔2〕假设=2，且，求 的值19、的对边，(1)求A(2)假设(jiǎshè)的面积为3，求b,c的值20、如下图，动物园要围成一样面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。
高二数学上学期期末考试试题 理扫描 试题_1(共11页)
2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题(shìtí) 理〔扫描版〕普通高中2021-2021学年第一学期(xuéqī)期末考试高二数学〔理〕参考答案及评分HY一、选择题DCBCB BCADD BC二、填空题13. 〔3,2〕；14. 21 ；15. -1 ；16.(43,45)三、解答(ji ěd á)题17.解：〔1〕由p 为真命题知， ∆=16-4m ≤0解得m ≥4,所以m 的范围是[4,+∞)， (2)由q 为真命题知，2m -5>1,m>3 (4)综上， m 的范围是[4,+∞)。
(5)〔2〕由〔1〕可知，当p 为假命题时，m<4; q 为真命题，那么2m-5>1解得：m>3那么，m 的取值范围是〔3,4〕即A={m|3<m<4}, (7)而A ÍB,可得，13-t2≥42t-1≤3………………………………………………………………〔9〕 解得：-3≤t ≤2.所以，t 的取值范围是[-3,2] (10)18.解：〔1〕由8sin 2 2A+B +4sin 2C=9得：4〔1-cos(A+B)〕+4sin 2C=9 (2)整理(zh ěngl ǐ)得：4cos 2C-4cosC+1=0即(2cosC-1)2=0,所以，cosC=21 ， (4)C = 3π; (6)(2)由余弦定理可得：cosC=2ab a2+b2-c2=21,又c=2， (8)所以， a 2+b 2-8=ab又a 2+b 2≥2ab,得到不等式ab ≤8，当且仅当a=b 时等号成立， (10)所以△ABC 的面积:S △ABC =21absinC=43ab ≤2，△ABC 的面积的最大值为2。
(12)19.解：(1)设点P 的坐标为(x 0,y 0),那么y 02=4x 0，所以，点P 到直线的间隔 ：d =2|x0-y0+2|=2-y0+2|=2|y02-4y0+8|=2y0-22+4|≥22………………〔4〕 当且仅当y 0=2时取最小值，此时(c ǐ sh í)P 点坐标为(1,2) (6)(2)设点M 的坐标为〔x 1,y 1〕因为→PF =3→FM, 又点P(1,2),又F(1,0)可得：(0，-2)=3(x 1-1,y 1-0)经计算得：点M (1,- 32) (8)设点A(x 2,y 2)点B 〔x 3,y 3〕,于是y32=4x3y22=4x2两式相减可得：(y 3- y 2)( y 3+y 2)=4(x 3-x 2) 化简得：x3- x2y3-y2=y3+y2 4,所以k=-3 (10)于是，y+32=-3(x-1),整理得9x+3y-7=0 (12)20解:因为S n =21na n +a n -c, 所以当n=1时, S 1=21a 1+a 1-c,解得a 1=2c, (2)当n=2时, S 2=a 2+a 2-c,解得a 2=3c=6, 所以c=2,a 1=4 (4)设数列{a n }的公差为d ，那么d=a 2-a 1=2,所以a n = a n +(n-1)d=2n+2.…………………………………………………………………〔6〕(Ⅱ)由得：b n =anan+11=21(2n+21-2n+41)……………………………………………………〔8〕T n = 21(41-61)+21(61-81)+......+21(2n+21-2n+41)=21(41-2n+41)<81 (10)因为(y īn w èi)n ÎN*，所以T n+1- T n =2n+61>0因此数列{T n }在n ÎN*上是增数列.所以T n ≥T 1=241，综上所述，原不等式成立。
配套K12高二数学上学期期末试卷 理(含解析)7
2015-2016学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+1，则a5=（）A．7 B．9 C．11 D．122．已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则（）A．￢p：∃x∈R，x2≥0B．￢p：∃x∈R，x2＜0 C．￢p：∃x∈R，x2≤0D．￢p：∀x∈R，x2＜03．设a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2+b2＞ab B．＜0 C．a2＞b2D．2a＜2b4．数列{a n}、{b n}满足b n=2an（n∈N*），则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也必要条件5．在直角坐标平面内，满足方程的点（x，y）所构成的图形为（）A．抛物线及原点 B．双曲线及原点C．抛物线、双曲线及原点 D．两条相交直线6．设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=2（a2+a3），则=（）A．﹣B．C．7 D．147．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则有（）A．•=a2B．•=0 C．•=a2D．•=a28．若正实数x，y满足不等式2x+y＜4，则x﹣y的取值范围是（）A．[﹣4，2] B．（﹣4，2）C．（﹣2，2] D．[﹣2，2）9．已知点P为抛物线C：y2=4x上一点，记P到抛物线准线l的距离为d1，点P到圆（x+2）2+（y+4）2=4的距离为d2，则d1+d2的最小值是（）A．6 B．1 C．5 D．310．设各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，若，则的最小值为（）A．7 B．8 C．D．11．已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABC B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°12．设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A．（1，2] B．C．D．（1，2）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上）13．已知双曲线=1（a＞b，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且经过点，则该双曲线的方程为．14．已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣），则关于x的不等式bx2﹣a＞0的解集为．15．已知集合A={（x，y）||x|+|y|≤4}，B={（x，y）||y|﹣|x|≤0}，设集合C=A∩B，则集合C所对应的平面区域的面积为．16．设f（x）是定义域R上的增函数，∀x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，若不等式f（x2﹣x﹣3）＜3的解集为{x|﹣2＜x＜3}，记，则数列{a n}的前n 项和S n= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知条件p：∃m∈[﹣1，1]使不等式a2﹣5a+5≥m+2成立；条件q：x2+ax+2=0有两个负数根，若p∨q为真，且p∧q为假，求实数a的取值范围．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是等边三角形，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=2BC=2．（1）若AB⊥PB，求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）在（1）的条件下，求二面角P﹣AB﹣D的大小．19．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若对n∈N*恒成立，求实数c 的取值范围．20．已知圆G：x2+y2﹣x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点．（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．21．已知数列{a n+1}是等比数列，a3=3，a6=31，数列{b n}的前n项和为S n，b1=1，且nS n+1﹣（n+1）S n=n（n+1）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式T n≥m﹣对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．22．已知双曲线C：x2﹣=1的左、右两个顶点分别为A、B．曲线M是以A、B两点为短轴端点，离心率为的椭圆．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆M相交于另一点T．（Ⅰ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤9，求S1•S2的最大值．2015-2016学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+1，则a5=（）A．7 B．9 C．11 D．12【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；规律型；函数思想；等差数列与等比数列．【分析】利用数列的求和公式，求解a5即可．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+1，则a5=S5﹣S4=25+1﹣16﹣1=9．故选：B．【点评】本题考查数列的前n项和，数列递推关系式的应用，考查计算能力．2．已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则（）A．￢p：∃x∈R，x2≥0B．￢p：∃x∈R，x2＜0 C．￢p：∃x∈R，x2≤0D．￢p：∀x∈R，x2＜0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题是全称命题，则￢p：∃x∈R，x2＜0，故选：B【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．设a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2+b2＞ab B．＜0 C．a2＞b2D．2a＜2b【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可．【解答】解：对于选项A：由a＞b，得：a﹣b＞0，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab＞0，∴a2+b2＞2ab，若a，b同号，则2ab＞ab，于是：a2+b2＞ab，若a，b异号，则ab＜0，于是：a2+b2＞ab，故A正确，对于选项B：由a＞b得：b﹣a＜0，若a，b同号，则＜0，若a，b异号，则＞0，故B错误；对于选项C：若a=1，b=﹣2，不成立，故C错误；对于D：由a＞b得：2a＞2b，故D错误；故选：A．【点评】本题考察了不等式的性质，考察分类讨论思想，是一道基础题．4．数列{a n}、{b n}满足b n=2an（n∈N*），则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】定义法；等差数列与等比数列；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列和等差数列的定义进行判断即可．【解答】解：若数列{a n}是等差数列，设公差为d，则当n≥2时， =为非零常数，则数列{b n}是等比数列，若数列{b n}是等比数列，设公比为q，则当n≥2时， ===q，则a n﹣a n﹣1=2q为常数，则数列{a n}是等差数列，则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列和等差数列的定义是解决本题的关键．5．在直角坐标平面内，满足方程的点（x，y）所构成的图形为（）A．抛物线及原点 B．双曲线及原点C．抛物线、双曲线及原点 D．两条相交直线【考点】曲线与方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意， =0，即可得出结论．【解答】解：由题意， =0，∴y=±x，故选：D．【点评】本题考查曲线与方程，考查学生的计算能力，比较基础．6．设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=2（a2+a3），则=（）A．﹣B．C．7 D．14【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意列式得到a1与d的关系，代入得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a4=2（a2+a3），得a1+3d=2（a1+d+a1+2d），整理得：a1=﹣d．∴=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．7．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则有（）A．•=a2B．•=0 C．•=a2D．•=a2【考点】向量在几何中的应用．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】建立空间直角坐标系，求出各向量的坐标，代入数量积公式计算．【解答】解：建立如图所示的空间坐标系，则A（a，a，0），B（a，0，0），C（0，0，0），D （0，a，0），A1（a，a，a），C1（0，0，a），D1（0，a，a）．=（0，﹣a，0），=（﹣a，﹣a，0），=（﹣a，﹣a，a），=（﹣a，a，a），=（﹣a，0，0），=（a，0，a）．∴=a2， =a2， =a2， =﹣a2．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立空间坐标系可使计算简单，属于基础题．8．若正实数x，y满足不等式2x+y＜4，则x﹣y的取值范围是（）A．[﹣4，2] B．（﹣4，2）C．（﹣2，2] D．[﹣2，2）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，令z=x﹣y，化为直线方程的斜截式，数形结合求得x﹣y的取值范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z=x﹣y，化为y=x﹣z，由图可知当直线y=x﹣z过A时，z=﹣4；当直线y=x﹣z过B时，z=2．∴x﹣y的取值范围是（﹣4，2）．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知点P为抛物线C：y2=4x上一点，记P到抛物线准线l的距离为d1，点P到圆（x+2）2+（y+4）2=4的距离为d2，则d1+d2的最小值是（）A．6 B．1 C．5 D．3【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；数形结合；函数思想；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线定义知：P到准线距离等于P到焦点A的距离，连结圆心B与A，交圆于C，AB交抛物线的点即为使d1+d2最小时P的位置．由此能求出结果．【解答】解：∵点P是抛物线y2=4x上的点，点P到抛物线的准线的距离为d1，P到圆（x+2）2+（y+4）2=4上的动点Q距离为d2，由抛物线定义知：P到准线距离等于P到焦点A的距离，∴如图，连结圆心B与A，交圆于C，AB交抛物线的点即为使d1+d2最小时P的位置．∴（d1+d2）min=|AC|，∵B（﹣2，﹣4），A（1，0），∴|AB|==5．|BC|=2．∴|AC|=5﹣2=3．故选：D．【点评】本题考查与抛物线有关的两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线性质．10．设各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，若，则的最小值为（）A．7 B．8 C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系、利用导数研究函数的单调性、数列的单调性即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，，∴a1=T1=22=4．n≥2时，a n===22n=4n．当n=1时上式也成立，∴a n=4n．则===g（n），考察函数f（x）=x+（x≥2）的单调性，f′（x）=1﹣==，当2≤x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当＜x，f′（x）＞0，函数f （x）单调递增．又g（2）=22+=7，g（3）=23+=＞g（3）．∴的最小值为7．故选：A．【点评】本题考查了递推关系、利用导数研究函数的单调性、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABC B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，求出=（﹣），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），利用向量法得OD⊥平面ABC；在B中，求出平面ACD的法向量，利用向量法得到直线OB∥平面ACD不成立；在C中，求出=（0，1，0），=（﹣），利用向量法得到直线AD与OB所成的角不是45°；在D中，由得量法得到二面角D﹣OB﹣A为135°．【解答】解：在A中：∵四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，∴=（﹣），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），=， ==0，∴OD⊥AB，OD⊥AC，又AB∩AC=A，∴OD⊥平面ABC，故A正确；在B中：∵=（0，1，0），=（﹣1，0，1），=（﹣），设平面ACD的法向量=（x，y，z），∴，取x=1，得=（1，﹣5，1），∵=﹣5≠0，∴直线OB∥平面ACD不成立，故B错误；在C中：∵=（0，1，0），=（﹣），∴cos＜＞===﹣，∴直线AD与OB所成的角不是45°，故C错误；在D中： =（0，1，0），=（1，0，0），=（﹣），设平面AOB的法向量=（a，b，c），则，∴=（0，0，1），设平面AOD的法向量=（x1，y1，z1），则，取y1=1，得=（0，1，﹣1），cos＜＞===﹣，∴二面角D﹣OB﹣A为135°，故D错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A．（1，2] B．C．D．（1，2）【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】先利用双曲线的定义，得焦半径|PF2|=a，再利用焦半径的取值范围，得离心率的取值范围，再由已知b＞a求得双曲线的离心率范围，两个范围求交集即可得双曲线的离心率范围【解答】解：∵P在双曲线的右支上，∴|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|=2a，∴|PF2|=a≥c﹣a∴e=≤2又∵b＞a，∴c2﹣a2＞a2，∴e=＞∴e∈故选 B【点评】本题主要考查了双曲线的定义和几何性质，焦半径的取值范围及其应用，双曲线离心率的取值范围求法，属基础题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上）13．已知双曲线=1（a＞b，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且经过点，则该双曲线的方程为x2﹣y2=﹣1 ．【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，设双曲线的方程为（x+y）（x﹣y）=λ（λ≠0），代入点即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴设双曲线的方程为（x+y）（x﹣y）=λ（λ≠0），即x2﹣y2=λ，∵双曲线过点．∴2﹣1=λ，∴λ=1，∴x2﹣y2=﹣1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是设双曲线的方程为（x+y）（x﹣y）=λ（λ≠0）．14．已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣），则关于x的不等式bx2﹣a＞0的解集为（﹣，）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；函数思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得a=2b＜0，从而化简不等式为x2﹣2＜0，从而解得．【解答】解：∵ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣），∴﹣a+b=0且a＜0；故a=2b＜0，故bx2﹣a＞0可化为x2﹣2＜0，故﹣＜x＜；故答案为：（﹣，）．【点评】本题考查了方程的根与不等式的根的关系应用及不等式的化简运算．15．已知集合A={（x，y）||x|+|y|≤4}，B={（x，y）||y|﹣|x|≤0}，设集合C=A∩B，则集合C所对应的平面区域的面积为16 ．【考点】交集及其运算．【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用；集合．【分析】画出集合A、B表示的平面区域，找出它们的公共部分，求出面积即可．【解答】解：画出集合A={（x，y）||x|+|y|≤4}表示的平面区域，画出集合B={（x，y）||y|﹣|x|≤0}表示的平面区域，如图所示：取出它们的公共部分，即集合C=A∩B所表示的平面区域正方形OABC和正方形ODEF；则集合C所对应的平面区域的面积是2×4×4=16．故答案为：16．【点评】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域的应用问题，利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解答本题的关键，是基础题目．16．设f（x）是定义域R上的增函数，∀x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，若不等式f（x2﹣x﹣3）＜3的解集为{x|﹣2＜x＜3}，记，则数列{a n}的前n项和S n= ．【考点】数列与函数的综合．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】由不等式的解集，结合f（x）的单调性，可得x2﹣x﹣3＜t，可得﹣2，3为方程x2﹣x﹣3=t的根，再由韦达定理解得t=3，即f（3）=3．令x=y=1，以及x=1，y=2，结合条件f（3）=3，可得f（1），再令x=n，y=1，结合等差数列的求和公式，即可得到所求和．【解答】解：由不等式f（x2﹣x﹣3）＜3的解集为{x|﹣2＜x＜3}，结合条件f（x）是定义域R上的增函数，可令f（t）=3，即有x2﹣x﹣3＜t，可得﹣2，3为方程x2﹣x﹣3=t的根，即有﹣2×3=﹣3﹣t，解得t=3，即有f（3）=3．令x=y=1，可得f（2）=2f（1）﹣1，再令x=1，y=2，可得f（3）=f（1）+f（2）﹣1=3f（1）﹣2，由f（3）=3，可得f（1）=，令x=n，y=1，可得f（n+1）=f（n）+f（1）﹣1=f（n）+，即为a n+1﹣a n=，且a1=，可得数列{a n}为首项为，公差为的等差数列，可得S n=na1+n（n﹣1）d=n+n（n﹣1）•=．故答案为：．【点评】本题考查数列的求和的求法，注意运用等差数列的求和公式，同时考查抽象函数的运用，注意运用赋值法的运用，以及二次不等式的解法，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知条件p：∃m∈[﹣1，1]使不等式a2﹣5a+5≥m+2成立；条件q：x2+ax+2=0有两个负数根，若p∨q为真，且p∧q为假，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；函数思想；简易逻辑．【分析】利用p∨q为真，p∧q为假，说明p，q一真一假．求出命题p：得到a≤1或a≥4．对于条件q，得到，然后推出a的取值范围．【解答】解：∵p∨q为真，p∧q为假，∴p，q一真一假．由题设知，对于条件p，∵m∈[﹣1，1]，∴m+2∈[1，3]，∵不等式a2﹣5a+5≥1成立，∴a2﹣5a+4≥0，解得a≤1或a≥4．对于条件q，∵a2+a+2=0有两个负数解，∴，∴，…（8分）若p真q假，则a≤1；若p假q真，则，∴a的取值范围是：a≤1或，…（10分）【点评】本题考查命题的真假的判断，复苏苗头的真假，考查逻辑推理能力以及计算能力．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是等边三角形，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=2BC=2．（1）若AB⊥PB，求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）在（1）的条件下，求二面角P﹣AB﹣D的大小．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求平面间的夹角．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）证明BC⊥平面PCD，推出BC⊥PC，AD⊥PD，设等边△PCD的边长为x，利用Rt△PBC 中，求出PB，Rt△PAD中，求出PA，利用PA2=AB2+PB2，求出x=2，作PE⊥CD，垂足为E，连接AE，说明PE⊥平面ABCD，然后求解几何体的体积．（2）以D为原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面PAB的一个法向量，平面ABCD的一个法向量利用向量的数量积求解二面角P﹣AB﹣D的大小．【解答】解：（1）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，∴BC⊥PC，同理AD⊥PD，…（2分）设等边△PCD的边长为x，则Rt△PBC中，，Rt△PAD中，，直角梯形ABCD中，，∵AB⊥PB，∴PA2=AB2+PB2，∴x2+8=（x2+2）+（x2+2）解得x=2，…（4分）作PE⊥CD，垂足为E，连接AE，∵△PCD是等边三角形，∴，且E为CD中点，由平面PCD⊥平面ABCD，同理可得PE⊥平面ABCD，∴，…（6分）（2）如图，以D为原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系D﹣xyz，则，设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），由∴，∴令y=1，得=…（8分）又平面ABCD的一个法向量，∴cos===…（10分）结合图形可知，二面角P﹣AB﹣D的大小为，…（12分）【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直，平面与平面垂直的应用，二面角的大小的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若对n∈N*恒成立，求实数c的取值范围．【考点】数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用已知条件，通过a n=s n﹣s n﹣1，判断数列是等比数列，然后求解通项公式．（2）利用数列裂项求和，然后利用不等式推出结果即可．【解答】解：（1）∵，①当，∴a1=1，当n≥2，∵，②①﹣②：，即：a n=3a n﹣1（n≥2）…（4分）又∵a1=1，∴对n∈N*都成立，所以{a n}是等比数列，∴…（6分）（2）∵，∴，∴，∴，…（8分）∵，∴T n＜3对n∈N*都成立…（10分）∴3≤c2﹣2c，∴c≥3或c≤﹣1，∴实数c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），…（12分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和以及数列与不等式的关系，考查分析问题解决问题的能力．20．已知圆G：x2+y2﹣x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点．（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用圆经过点F，B．求出F，B，得到c，b，求出a．写出椭圆的方程．（2）设直线l的方程为y=﹣（x﹣m）（m＞2）．联立方程组消去y，设C（x1，y1），D（x2，y2），利用韦达定理，结合数量积相遇0，求解m的范围．【解答】解：（1）∵圆经过点F，B．∴，∴，∴a2=4．故椭圆的方程为，…（4分）（2）设直线l的方程为y=﹣（x﹣m）（m＞2）．由消去y得7x2﹣8mx+（4m2﹣12）=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则，…（6分）∴．∵=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），…（8分）∴=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2）=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2=…（10分）∵点F在圆G的内部，∴，即，解得，由△=64m2﹣28（4m2﹣12）＞0，解得．又m＞2，∴，…（12分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21．已知数列{a n+1}是等比数列，a3=3，a6=31，数列{b n}的前n项和为S n，b1=1，且nS n+1﹣（n+1）S n=n（n+1）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式T n≥m﹣对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用已知条件通过等比数列求解通项公式，利用得是以为首项，为公差的等差数列，求出S n，然后求解{b n}的通项公式．（2）化简，利用错位相减法求出T n，转化不等式为恒成立，利用最值求解实数m的最大值．【解答】解：（1）由a3=3，a6=31，得a3+1=4，a6+1=32，所以，∴，…（2分）由得，，故是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，…（4分）当n≥2时，，因为b1=1满足该式，所以b n=n，…（6分）（2）由（1）可知，所以不等式，即为，令，则，两式相减得，所以，…（8分）由恒成立，即恒成立，又，故当n≤3时，单调递减；当n=3时，；当n≥4时，单调递增；当n=4时，；则的最小值为，所以实数m的最大值是…（12分）【点评】本题考查数列的通项公式以及数列求和的方法，数列与不等式的综合应用，数列的函数特征的应用，考查分析问题与解决问题，转化思想的应用，难度比较大．22．已知双曲线C：x2﹣=1的左、右两个顶点分别为A、B．曲线M是以A、B两点为短轴端点，离心率为的椭圆．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆M相交于另一点T．（Ⅰ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤9，求S1•S2的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）依题意得A（﹣1，0），B（1，0），设椭圆M的方程为，由椭圆M的离心率e=，得椭圆M的方程为，设P（x1，y1），T（x2，y2），由k AP=k AT，和点P和点T分别在双曲线和椭圆上，能证明x1x2=1．（Ⅱ）由，得，由点P是双曲线在第一象限的点，得1＜x1≤2，由已知得===（1﹣x22）（），由此推导出当x1=2时，（S1•S2）max=．【解答】（Ⅰ）证明：依题意得A（﹣1，0），B（1，0），设椭圆M的方程为，由椭圆M的离心率e==，解得b2=2，∴椭圆M的方程为，设P（x1，y1），T（x2，y2），（x i＞0，y i＞0，i=1，2）则k AP=，k AT=，∵k AP=k AT，∴，即，∵点P和点T分别在双曲线和椭圆上，∴，，即，，∴，∴，∴．∴x1x2=1．（Ⅱ）解：设P（x1，y1），T（x2，y2），（x i＞0，y i＞0，i=1，2）则=（﹣1﹣x1，﹣y1），，∵，∴（﹣1﹣x1）（1﹣x1）+≤9，∴，∵P在双曲线上，∴，∴，∴，∵点P是双曲线在第一象限的点，∴1＜x1≤2，∵S1=，，∴===（1﹣x22）（）由（Ⅰ）知，x≤﹣2．设﹣1≤x≤1，则f（x）=2＜4，．∵f（t）=t+在区间（1，4]上单调递增，f（t）max=f（4），∴=t+﹣2，即当x1=2时，（S1•S2）max=．【点评】本题考查两点横坐标之积为1的证明，考查两三角形面积之积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．。
高二数学上学期期末调研试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校宝安区二零二零—二零二壹第一学期高二理科数学期末调研试题一、选择题〔本大题一一共10小题，一共50.0分〕〔〕A.“，假设，那么且B.在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称．C.，使得〞的否认是“，都有〞D.，“〞是“〞的充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】A，，判断点在函数图象上时，是否有在函数可知两条件的关系.【详解】对于A“，假设，那么且“，假设或者，那么对于B，在同一坐标系中，假设点在函数图象上，那么有在函数的图象上，所以函数与的图象关于轴对称正确；，使得〞的否认是“，都有〞，所以C不正确；对于D，由，可得或者，所以“〞是“〞的必要不充分条件，所以D不正确.应选B..：与双曲线：，给出以下说法，其中错误的选项是〔〕A.它们的焦距相等B.它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程一样D.它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知．那么两双曲线的焦距相等且，焦点都在圆的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为，由于实轴长度不同故离心率不同．故此题答案选，中，“是方程的两根〞是“〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由韦达定理知，那么，那么等比数列中，那么．在常数列或者中，不是所给方程的两根．那么在等比数列中，“，是方程的两根〞是“〞的充分不必要条件．故此题答案选．中，，，，且是方程的两根，那么的长度为A.2B.4C.6D.7【答案】D【解析】【分析】由方程的解求出的值，根据余弦定理即可求出的长度．【详解】是方程的两根，，，或者，，由余弦定理，那么，应选D．【点睛】此题主要考察余弦定理的应用，属于根底题．对余弦定理一定要熟记两种形式：〔1〕；〔2〕，同时还要纯熟掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.上定义运算，假设存在使不等式，成立，那么实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由新定义的运算，把不等式化为，别离出和，利用函数的最值求关于的不等式的解集即可．【详解】由运算知，不等式化为，即；设，，那么的最大值是；令，即，解得，实数的取值范围是,应选A．【点睛】此题考察了新定义与不等式和函数的应用问题，是中档题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或者约定一种新运算，或者给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的根底上，根据题目提供的信息，联络所学的知识和方法，实现信息的迁移，到达灵敏解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事〞，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.、经过圆的圆心，那么的最小值是A.9B.8C.4D.2【答案】A【解析】【分析】由圆的一般方程得圆的HY方程为，所以圆心坐标为，由直线过圆心，将圆心坐标代入得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以最小值为9【详解】圆化成HY方程，得，圆的圆心为，半径．直线经过圆心C，，即，因此，，、，，当且仅当时等号成立．由此可得当，即且时，的最小值为9．应选：A．【点睛】假设圆的一般方程为，那么圆心坐标为，半径7.A，B，C是的内角，其中，那么的取值范围A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两角和与差的正弦公式、三角形内角和定理，将化为，根据正弦函数的单调性即可得结果．【详解】因为所以,，，，应选B．【点睛】此题考察了两角和与差的正弦公式、三角形内角和定理及其三角函数的单调性，属于中档题．形如，的函数求值域，分两步：〔1〕求出的范围；〔2〕由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.8.0，，，与的夹角为，那么的值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出向量的坐标，及向量的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可．【详解】因为，，所以，，，，，，，，所以，所以，且解得，应选C．【点睛】此题考察的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算，意在考察综合应用所学知识解答问题的才能，属于根底题．：，：，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，那么动圆圆心的轨迹方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设出动圆半径为，根据两圆外切和内切断定圆心距与两圆半径和差的关系，消去，根据椭圆的定义，即可求得动圆圆心的轨迹，进而可求其方程．【详解】设动圆圆心，半径为，圆与圆：内切，与圆：外切，，，，由椭圆的定义，的轨迹为以，为焦点的椭圆，可得，；那么，动圆圆心的轨迹方程：，应选D．【点睛】此题主要考察两圆的位置关系及椭圆的定义和HY方程，属于中档题．两圆半径为，两圆心间的间隔，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.10.〔2021全国II理科〕我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，一共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：一座7层塔一共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么塔的顶层一共有灯A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．应选：B．二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20.0分〕11.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，一共分橘子六十颗，人别加三颗.问:五人各得几何〞其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.〞这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是__________．【答案】6【解析】设等差数列,首项,公差为,那么,解得,即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6,故填6.12.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一程度面内的两个测点与，现测得，，米，并在点测得塔顶的仰角为，那么塔高______米【答案】【解析】【分析】中，由三角形内角和定理求出，利用正弦定理求得的值，在直角中求出的值．【详解】因为，，所以，在中，根据正弦定理可知，即，解得，在直角中，，，所以塔高米．故答案为.【点睛】此题主要考察正弦定理的实际应用，以及直角三角形的边角关系应用问题，是根底题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.的通项公式为，那么数列前15项和为的值是___．【答案】.【解析】分析：,利用裂项相消法即可得结果详解：因为数列的通项公式为，所以，故答案为.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，打破这一难点的方法是根据式子的构造特点，常见的裂项技巧：(1)；〔2〕；〔3〕；〔4〕；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或者多项的问题，导致计算结果错误.焦点的直线交抛物线于两点，假设，那么的中点到y轴的间隔等于______．【答案】4【解析】【分析】过分别作准线的垂线，垂足分别为，由为直角梯形的中位线及抛物线的定义求出，到轴的间隔为所求．【详解】抛物线焦点，准线方程为，由于的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为交纵轴于点，如下列图：由抛物线的定义可知，那么由为直角梯形的中位线知，，，故答案为4．【点睛】此题主要考察抛物线的定义、HY方程，以及简单性质的应用，表达了数形结合的数学思想，属于中档题．与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的间隔与点到直线的间隔的转化：〔1〕将抛物线上的点到准线间隔转化为该点到焦点的间隔；(2)将抛物线上的点到焦点的间隔转化为到准线的间隔，使问题得到解决.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共80.0分〕x，y满足，记点所对应的平面区域为D．在平面直角坐标系xOy中画出区域用阴影局部标出，并求区域D的面积S；试判断点是否在区域D内，并说明理由．【答案】(1)画图见解析；。
高二数学上学期期末调研考试试题 理扫描 试题
2021-2021学年高二上学期期末调研考试数学理试题〔扫描版〕高二理科数学参考答案一．选择题：BAADB CDBAB DC二．填空题：13. 80 . 14. 2 . 15. 3/4 .16. 3或者4 三．17.(1) 列表计算：线性回归方程是：y ˆ=17x-10 〔8分〕(2) 当x=5时y ˆ=75 故当x=5时y 的估计值是75元。
〔10分〕18.〔1〕证明：因为直线l 与x 轴垂直，解方程组{x y x 232==， 得A 、B 两点坐标为〔3，6〕和,〔3，—6〕 〔4分〕 ∴OB OA •=9-6=3 命题成立 〔6分〕〔2〕解：〔1〕中命题的逆命题：“假如3OA OB •=，那么直线l 过点F 〔3，0〕.〞是真命题. 〔8分〕理由：因为l ⊥x 轴，所以设A(x ), B(,0x x >)，那么由3OA OB •=得223,3x x x -=∴=，即直线l 过点F 〔3，0〕. 〔10分〕命题的否认为：“假如直线l 过点F 〔3，0〕，那么3≠•OB OA 〞；此命题是假命题.因为原命题为真命题，命题的否认一定为假命题. 〔12分〕19．解：〔1〕积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为25125024=；〔3分〕 不太主动参加班级工作有学习积极性一般的学生有19人，概率为5019. 〔6分〕〔2〕∵250(181967)15011.52525242613k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ 6.635>， 〔10分〕 ∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系. 〔12分〕20. 解：法1：因为ξ为抽到的2球的钱数之和，那么ξ可能取的值是-3，1，5. 〔2分〕且P(ξ=-3)=2821028,45C C = P(ξ=1)=118221016,45C C C = P(ξ=5)=222101,45C C = 〔8分〕∴E ξ=-3×2845+1×1645+5×145=16245=-75 答：抽奖人获利的期望为-75. 〔12分〕法2：因为ξ为抽到的2球的钱数之和，那么ξ可能取的值是2，6，10. 〔1分〕且P(ξ=2)=2821028,45C C = P(ξ=6)=118221016,45C C C = P(ξ=10)=222101,45C C = 〔7分〕∴E ξ=2×2845+6×1645+10×145=16245=185， 〔10分〕又设η为抽奖者获利的可能值，那么η=ξ-5，所以抽奖者获利的数学期望为E η=E(ξ-5)=E ξ-5=185-5=-75答：抽奖人获利的期望为-75. 〔12分〕21.解：(1) 在频率分布直方图上，前两个矩形的面积和是0.4，中位数的两边面积相等，故中位数应在第三个矩形内，设中位数为x 那么：0.4+0.02〔x-150〕=0.5 x=155. 故中位数为155. (3分) 平均数为： 120××20+140××20+160××20+180××202000.003202200.00220156.8+⨯⨯+⨯⨯=.(6分)(2) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10户居民，其中8户为第一类用户，2户为第二类用户，那么从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为11822101645C C C =.(8分)(3)由题可知，该小区内第一类用电户占80%，那么每月从该小区内随机抽取1户居民，是第一类居民的概率为0.8，那么连续10个月抽取，获奖人数X ： 数学期望100.88EX np ==⨯=，方差(1)100.80.2 1.6DX np p =-=⨯⨯=. (12分)22．解：〔1〕由c e a ==，所以2234c a=，所以22224,3a b c b ==, 又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为221b a =，所以1b = ， a=2所以2214x y += 〔4分〕〔2〕设1122(,),(,),(,)A x yB x y P x y 设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得22(3)14y k x xy =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(14)243640k x k x k +-+-= 24222416(91)(14)0k k k ∆=--+> 得2105k ≤<， 〔6分〕2212122224364,1414k k x x x x k k -+=⋅=++由：1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++=①假设=0k ，此时t=0 〔8分〕②假设t ≠0，那么121()x x x t=+=2224(14)k t k +，[]12122116()()6(14)k y y y k x x k t t t k -=+=+-=+由点P 在椭圆上得22222(24)(14)k t k ++22221444(14)k t k =+，所以22236(14)k t k =+ 〔10分〕所以222236991414k t k k ==-++ 又2105k ≤< 所以204t ≤<，所以22t -<< 〔12分〕励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高二数学上学期期末调研测试试题 理含解析 试题(共22页)
2021-2021学年(xuénián)高二上学期期末调研测试数学〔理〕试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60.0分〕表示椭圆，那么k的取值范围是A. B.C. D. 或者【答案】D【解析】【分析】根据曲线表示椭圆列出不等式组，解出即可得的取值范围．【详解】由题设可得，解得，应选D．【点睛】对于曲线，〔1〕假如该曲线为椭圆，那么，更一步地，假如表示焦点在轴上的椭圆，那么有；假如表示焦点在的椭圆，那么；〔2〕假如该曲线为双曲线，那么，更一步地，假如表示焦点在轴上的双曲线，那么有；假如表示焦点在的双曲线，那么．A. 棱柱的侧面都是平行四边形B. 所有面都是三角形多面体一定是三棱锥C. 用一个平面去截正方体，截面图形可能五边形D. 将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥【答案(dá àn)】B【解析】【分析】由棱柱的性质可判断A；可举正八面体可判断B；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可判断C；由圆锥的定义可判断D．【详解】由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，那么A正确；所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥，比方正八面体的各个面都是正三角形，那么B 错误；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可得截面图形是五边形，那么C正确；由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥，那么D正确．应选：B．【点睛】此题考察空间几何的性质，属于基此题．的方程为，直线的方程为，假设，那么A. 或者B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据两条直线平行得到系数满足的方程，解得的值后检验即可得到的值．【详解】因为，故，整理得到，解得或者(huòzhě)．当时，，，两直线重合，舎；当时，，，两直线平行，符合；故，选C．【点睛】假如，，〔1〕平行或者重合等价于；〔2〕垂直等价于．，圆，那么两圆的位置关系为〔〕．A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切【答案】D【解析】由于圆，即，表示以为圆心，半径等于的圆．圆，表示以为圆心，半径等于的圆．由于两圆的圆心距等于．故两个圆相内切．应选：．5.某空间几何体的三视图如下图，该几何体是A. 三棱柱(léngzhù)B. 三棱锥C. 四棱柱D. 四棱锥【答案】D【解析】【分析】根据三视图知该几何体是一个立放的四棱锥．【详解】根据三视图知，该几何体是一个立放的四棱锥，如下图；应选：D．【点睛】此题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，属于根底题．6.以下命题中，真命题的个数是〔〕①假设“p∨q〞为真命题，那么“p∧q〞为真命题；②“∀a∈〔0，+∞〕，函数y=在定义域内单调递增〞的否认；③l为直线，α，β为两个不同的平面(píngmiàn)，假设l⊥β，α⊥β，那么l∥α；④“∀x∈R，≥0〞的否认为“∃∉R，＜0〞．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复合命题的真假判断①的正误；利用指数函数的单调性判断②的正误；直线与平面垂直关系判断③的正误；根据全称命题的否认的写法判断④的正误；【详解】①假设“p∨q〞为真命题，可知两个命题至少一个是真命题，判断为“p∧q〞有可能是假命题，不正确；②“∀a∈〔0，+∞〕，函数y=a x在定义域内单调递增〞的否认：“∃a∈〔0，+∞〕，函数y=a x在定义域内不是单调递增的〞；例如a=，在定义域内单调递减；所以②正确；③l为直线，α，β为两个不同的平面，假设l⊥β，α⊥β，那么l∥α；也可能l⊂α，所以③不正确；④“∀x∈R，x2≥0〞的否认的正确写法为“，使得＜0〞．应选项不满足命题的否认形式，所以④不正确；只有②是真命题；应选：A．【点睛】此题考察命题的真假的判断与应用，涉及复合命题的真假，指数函数的单调性，命题的否认直线与平面的位置关系的应用，是根本知识的考察．7.，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，M是的中点，假设，那么是A. 10B. 8C. 6D. 4【答案(dá àn)】A【解析】【分析】利用三角形中位线性质，求出，利用双曲线定义，求出．【详解】因为是的中点，是的中点，所以，因为，所以，因为在右支上，故，故，应选A．【点睛】一般地，圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质.圆锥曲线的几何性质包括第一定义和第二定义，前者可将与一个焦点有关的问题转化为与另一个焦点相关的数学问题，后者可将数学问题转化与相应准线的间隔问题．8. 正四面体ABCD中，E是AB的中点，那么异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，那么，或者其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，那么，，．应选B．考点(kǎo diǎn)：异面直线所成的角．【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，那么依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目的严密地联络起来．如直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段．m，n和平面，，那么的一个充分条件是A. ，，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】【分析】A，B，D三个选项下的相交时，也满足每个选项的条件，所以由A，B，D中的条件得不出，而选项C可以得到平面同时和一条直线垂直，所以，所以C中的条件是的充分条件．【详解(xiánɡ jiě)】A这种情况下，可能相交，让都和交线平行即可；B这种情况下，可能相交，让都和交线平行即可；C因为，又，因同时和一直线垂直的两平面平行，故；，也存在，且．应选：C．【点睛】面面平行的断定可以由线面平行得到，但两条直线必须是一个平面中的两条相交直线．假如一条直线同时垂直于两个平面，那么这两个平面是平行的．：3x-4y-6=0，直线：y=-2，抛物线上的动点P到直线与直线间隔之和的最小值是〔〕A. 2B. 3C. 4D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义进展转化，结合图象利用点到直线的间隔公式进展求解即可．【详解】抛物线的焦点坐标为F〔0，1〕，准线方程为y＝﹣1，过P作PB垂直(chuízhí)直线y＝﹣2交y＝﹣2于A，交y＝﹣1于B，由抛物线的定义得|PB|＝|PF|，|PB|＝|PA|﹣1那么点P到直线l1与直线l2间隔之和|PC|+|PA|＝|PB|+1+|PC|＝|PF|+|PC|+1≥|FD|+1，此时最小值为F到直线3x﹣4y﹣6＝0的间隔d＝|FD|＝那么抛物线x2＝4y上的动点P到直线l1与直线l2间隔之和的最小值是d+1＝2+1＝3，应选：B．【点睛】此题主要考察抛物线性质和定义的应用，利用图象，转化为点到直线的间隔问题是解决此题的关键．利用数形结合是解决此题的关键．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。
高二数学上学期期末质量监测考试试题理试题(共7页)
2021-2021学年高二数学上学期(xuéqī)期末质量监测考试试题理〔无答案〕考前须知：1．本套试卷分试题卷和答题卡两局部，考试时间是是为120分钟，满分是150分。
2．考生在在答题之前请阅读答题卡中的“考前须知〞，然后按要求答题。
3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其它区域无效。
第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1．命题的否认是〔〕A．B．C．D．2．以下选项错误的选项是〔〕A．命题“假设x≠1，那么x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“假设x2－3x＋2＝0，那么x＝1”B．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件C．在△ABC中，“∠A＞∠B〞是“sin A＞sin B〞的充要条件D．在命题的四种形式中，假设原命题为真命题，那么否命题为假命题3．执行(zhíxíng)如图1所示的程序框图，那么输出的结果是〔〕A．5 B．7 C．9D．114．如图2所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据〔单位：件〕．假设这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，那么图1 x和y的值分别为〔〕图2A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7 5．双曲线的离心率为2，那么渐近线方程为〔〕A ．B ．C ．D ．6．袋中装有大小、质地完全一样的四个小球(xiǎo qiú)，四个球上分别标有2，3，4，6四个数字，现从袋中随机取出两个球，那么两球上数字之差的绝对值不小于2的概率为〔〕A．B．C．D．7．对常数m，n，“mn＞0〞是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．从编号为01，02，……，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数开场由左到右依次选取，那么选出来的第5个个体的编号为〔〕7816 6572 0812 1463 0872 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B．14 C．28D．439．假设椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，那么△PF1F2的面积为〔〕D．3610．命题(mìng tí)；命题假设在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，那么．那么下面结论正确的选项是〔〕A．P是假命题B．Q是假命题C．是假命题D．是真命题11．双曲线的右顶点到其一条渐近线的间隔等于，抛物线E∶y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线C的右焦点重合，那么抛物线E 上的动点M到直线l1∶4x－3y＋6＝0和l2∶x＝－1的间隔之和的最小值为〔〕A．1 B．2 C．3D．412．椭圆的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交椭圆于P，B两点(点P在第一象限)，过椭圆的左顶点和上顶点的直线l1与直线l交于A点，且．设O为坐标原点，假设，且，那么该椭圆的离心率为〔〕D．二、填空题：此题一共(yīgòng)4小题，每一小题5分，一共20分．13．空间两点A(3，－2，1)、B(4，－5，2)，那么A、B两点间的间隔为__________．14．某校有高级老师90人，一级老师120人，二级老师75人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，那么抽取的高级老师的人数为__________．15．具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如下：x0 1 2 3 4y a假设回归方程是，那么a＝__________．16．双曲线的左右焦点为F1，F2，过F2作直线的垂线l，垂足为Q，l交双曲线的左支于点P，假设|F2P|＝2|F2Q|，那么双曲线的离心率e＝__________．三、解答题：一共70分，第17题10分，18—22题每一小题12分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17．P∶实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0；Q∶实数x满足x2－5x＋6＜0．⑴假设a＝1，且为真，务实数x的取值范围；⑵假设P是Q的必要不充分条件，务实数a的取值范围．18．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点(zhōnɡ diǎn)，点M为BB1的中点．⑴求证：PB1⊥平面PAC；⑵求直线CM与平面PAC所成角的正弦值．19．某公司为理解一共享单车的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如下图的频率分布直方图，其统计数据分组区间为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].⑴求频率分布直方图中a的值；⑵求这50名问卷评分数据的中位数；⑶从评分在[40，60)的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60)的概率．20．点F 是抛物线的焦点，在抛物线C 上，且．⑴求抛物线C 的方程(f āngch éng)；⑵假设直线l 经过点Q (3，－1)且与抛物线C 交于A ，B (异于M )两点，证明：直线AM 与直线BM 的斜率之积为常数．21．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且∠DAB ＝60°，点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． ⑴求证：AB ∥EF ；⑵假设PA ＝PD ＝AD ，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成锐二面角的余弦值．22．椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为21，设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得的线段为MN ，当l ⊥x 轴时，|MN |＝3． ⑴求椭圆C 的HY 方程；⑵在x轴上是否存在一点P，使得当l变化时，总有PM与PN所在的直线关于x轴对称？假设存在，恳求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．内容总结（1）2021-2021学年高二数学上学期期末质量监测考试试题理〔无答案〕考前须知：1．本套试卷分试题卷和答题卡两局部，考试时间是是为120分钟，满分是150分（2）3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其它区域无效。
【配套K12】高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
2015-2016学年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p＞0）上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（）A．2 B．8 C．D．43．在的展开式中，x的系数为（）A．10 B．﹣10 C．20 D．﹣204．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定5．设B、C是定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上，且sin∠ABC=，则点A的轨迹为（）A．圆或椭圆 B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线 D．以上均有可能6．函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2014（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数7．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．8．下列函数中，在（0，+∞）内单调递减，并且是偶函数的是（）A．y=x2B．y=x+1 C．y=﹣lg|x| D．y=2x9．已知函数f（x）=x2+2x+1﹣2x，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．10．下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin（﹣）11．计划将排球、篮球、乒乓球3项目的比赛安排在4不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2的安排方案共有（）A．60种B．42种C．36种D．24种12．若数列，，，则是这个数列的第（）项．A．六B．七C．八D．九二、填空13．若存在实数x使+＞a成立，求常数a的取值范围．14．设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为．15．设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则++c的最大值是，此时a+b+c= ．16．已知a，b是实数，那么（a4+b4）（a2+b2）与（a3+b3）2的大小关系为．17．设x1，x2，…，x n∈R+，定义S n=（x i+•）2，在x1+x2+…+x n=1条件下，则S n 的最小值为．18．已知x、y、z∈R，且2x+3y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为．三、解答题19．已知P={x|x2﹣8x﹣20≤0}，S={x|1﹣m≤x≤1+m}（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的取值范围．20．设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21．求曲线y=sinx与直线，，y=0所围成的平面图形的面积．22．已知函数f（x）=k（x﹣1）e x+x2．（Ⅰ）当时k=﹣，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；（Ⅲ）当k≤﹣l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．2015-2016学年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，求出面积．【解答】解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2，∴底面的面积是=1，与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，∴三棱锥的高是，∴三棱锥的体积是故选B．【点评】本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是求出几何体中各个部分的长度，特别注意本题所给的长度1，这是底面三角形斜边的高度．2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p＞0）上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（）A．2 B．8 C．D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】依题意知抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为：y=﹣，利用抛物线的定义知1﹣（﹣）=3，从而可得p的值，即为焦点到准线的距离．【解答】解：∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为：y=﹣，∴由抛物线的定义得：1﹣（﹣）=3，解得：p=4．即焦点到准线的距离为4，故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线定义的理解与应用，考查等价转化思想与运算能力，属于中档题．3．在的展开式中，x的系数为（）A．10 B．﹣10 C．20 D．﹣20【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项T r+1=•（﹣1）r x10﹣3r，再令10﹣3r=1，得r=3即可得出x项的系数．【解答】解：的二项展开式的通项为T r+1=•=•（﹣1）r x10﹣3r，令10﹣3r=1，得r=3，故x项的系数为•（﹣1）3=﹣10，故选：B．【点评】本题考查二项式的通项公式，熟练记忆公式是解题的关键，求指定项的系数是二项式考查的一个重要题型，是高考的热点，要熟练掌握．4．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】根据圆心C到直线l的距离正好等于半径，可得直线和圆相切．【解答】解：由于圆心C（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为=2，正好等于半径，故直线和圆相切，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．5．设B、C是定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上，且sin∠ABC=，则点A的轨迹为（）A．圆或椭圆 B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线 D．以上均有可能【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】以BC为轴线，B为顶点作圆锥面，使圆锥面的顶角为60°，则圆锥面上的任意一点与B连线，都能满足∠ABC=30°，用平面α截圆锥所得的交线即为点A的轨迹．【解答】解：以BC为轴线，B为顶点，顶角是60°（半顶角是30°），则A就是这个锥面与平面α的交线．如果平面α只与圆锥面一面相交，如图（1），（1）那么A的轨迹是圆或椭圆或抛物线；如果A与圆锥面两侧都相交（圆锥面两侧指以B为顶点向上的圆锥和向下的圆锥，就像沙漏的形状），如图（2），则轨迹是双曲线．∴点A的轨迹为圆或椭圆或抛物线或双曲线．故选：D．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的空间想象能力和思维能力，正确作出图形是解答磁体的关键，是中档题．6．函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2014（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数【考点】数学归纳法．【专题】综合题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】先判断f n（x）不可能是偶函数，再用数学归纳法证明f n（x）是奇函数，即可得出结论．【解答】解：当x＜0时，f1（x）=＜0，f2（x）=＜0，…，f n+1（x）=＜0，…，同理，x＞0时，函数值均大于0，∴f n（x）不可能是偶函数，∵f1（x）=是奇函数，假设f k（x）是奇函数，则f k+1（﹣x）===﹣f k+1（x），∴f k+1（x）是奇函数，从而f n（x）是奇函数，故选：A．【点评】本题考查数学归纳法，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线的性质，要求熟练掌握双曲线的渐近线方程和离心率的公式．8．下列函数中，在（0，+∞）内单调递减，并且是偶函数的是（）A．y=x2B．y=x+1 C．y=﹣lg|x| D．y=2x【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别根据函数单调性和奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：A．y=x2在（0，+∞）内单调递增，是偶函数，不满足条件，故A不选；B．y=x+1在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故B不选；C．y=﹣lg|x|在（0，+∞）内单调递减，是偶函数，满足条件，故C选；D．y=2x在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故D不选，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，比较基础．9．已知函数f（x）=x2+2x+1﹣2x，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】作图题；函数的性质及应用．【分析】由题设，可构造两个函数g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，作出它们的图象，根据两者的位置关系研究函数f（x）的图象的位置关系，从而得出正确选项．【解答】解：f（x）=x2+2x+1﹣2x=（x+1）2﹣2x，令g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，则f（x）=g（x）﹣h（x），在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g（x）与h（x）共有三个交点，横坐标从小到大依次令为x1，x2，x3，在（﹣∞，x1）区间上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x1，x2）有g（x）＜h（x），即f（x）＜0；在区间（x2，x3）上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x3，+∞）有有g（x）＜h（x），即f（x）＜0．故选：A．【点评】本题考查函数图象特征与函数值正负的对应，确定出对应区间上函数值的符号是解答的关键．10．下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin（﹣）【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先求出函数的周期，再根据当x=时，函数是否取得最值，从而判断函数是否满足条件，从而得出结论．【解答】解：A．函数y=2sin（+）的周期为=4π，不为π，故A不选；B．函数y=2sin（2x﹣）的周期为=π，且当x=时，函数y取得最大值2，故图象关于直线x=对称，满足条件，故B选；C．函数y=2sin（2x+）的周期为=π，且当x=时，函数y=1，没有取得最值，故函数的图象不关于直线x=对称，故C不选；D．函数y=2sin（﹣）的周期为=4π，不为π，故D不选，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性以及求法，三角函数的图象的对称性，属于中档题．11．计划将排球、篮球、乒乓球3项目的比赛安排在4不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2的安排方案共有（）A．60种B．42种C．36种D．24种【考点】计数原理的应用．【专题】计算题．【分析】根据题意，分分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，由组合数公式可得每种情况下的安排方案数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有A43=24种，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C32A42=36种；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24+36=60种；故选：A．【点评】本题考查计数原理的应用，解题时注意正确理解题意，确定分类讨论的依据，分类讨论注意做到不重不漏．12．若数列，，，则是这个数列的第（）项．A．六B．七C．八D．九【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根号里边的数2，5，8，…是首项为2，公差为3的等差数列，，从而可以由其通项公式求得项数．【解答】解：∵2，5，8，…是首项为2，公差为3的等差数列，设为{a n}，则a n=3n﹣1，由3n﹣1=20得：n=7；可排除A，C，D．故选B．【点评】本题考查等差数列的概念，关键在于掌握好等差数列的通项公式．二、填空13．若存在实数x使+＞a成立，求常数a的取值范围（﹣∞，8）．【考点】二维形式的柯西不等式；基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用柯西不等式，求出左边对应函数的最大值，即可确定常数a的取值范围．【解答】解：由题意，由柯西不等式得（+）2=（+）2≤（3+1）（x+2+14﹣x）=64，∴+≤8，当且仅当x=10时取“=”，∵存在实数x使+＞a成立∴a＜8∴常数a的取值范围是（﹣∞，8）．故答案为：（﹣∞，8）．【点评】本题主要考查运用柯西不等式求最值，解题的关键是变形，利用柯西不等式解题．14．设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．15．设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则++c的最大值是，此时a+b+c=．【考点】二维形式的柯西不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由条件利用柯西不等式求得++c的最大值、以及此时对应的a+b+c的值．【解答】解：∵a、b、c为正数，a+b+9c2=1，由柯西不等式可得≤[++（3c）2]•[12+12+]=1×=，∴++c的最大值是=，此时，且a+b+9c2=1，即 a=b=，c=时，取等号，故此时，a+b+c=++=，故答案为：．【点评】本题考查了柯西不等式的应用，考查了变形能力和计算能力，属于中档题16．已知a，b是实数，那么（a4+b4）（a2+b2）与（a3+b3）2的大小关系为（a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3）2．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】根据柯西不等式，有（a4+b4）（a2+b2）≥（a2•a+b2•b）2=（a3+b3）2．即可证明结论．【解答】证明：根据柯西不等式，有（a4+b4）（a2+b2）≥（a2•a+b2•b）2=（a3+b3）2．∴（a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3）2．故答案为：（ a 4+b 4）（ a 2+b 2）≥（ a 3+b 3）2【点评】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式，比较基础．17．设x1，x2，…，x n∈R+，定义S n=（x i+•）2，在x1+x2+…+x n=1条件下，则S n的最小值为n ．【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式．【分析】展开完全平方式，写出2S n，结合基本不等式的性质以及等号成立的条件求得答案．【解答】解：∵（x i+•）2=，∴…+∴2S n的最小值为2（x1x2+x2x3+…+x1x n）+．∵x1+x2+…+x n=1，∴当时，2S n取得最小值为．∴S n的最小值为n．故答案为：n．【点评】本题考查数列的求和，考查了基本不等式的运算性质，属中档题．18．已知x、y、z∈R，且2x+3y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用．【专题】选作题．【分析】利用题中条件：“2x+3y+3z=1”构造柯西不等式：（x2+y2+z2）×（22+32+32）≥（2x+3y+3z）2进行计算即可．【解答】解：∵22+32+32=22，∴22（x2+y2+z2）=（x2+y2+z2）×（22+32+32）≥（2x+3y+3z）2=1可得：x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查柯西不等式，关键是利用：（x2+y2+z2）×（22+32+32）≥（2x+3y+3z）2．三、解答题19．已知P={x|x2﹣8x﹣20≤0}，S={x|1﹣m≤x≤1+m}（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】常规题型．【分析】（1）由于x∈P是x∈S的充要条件，则集合P与集合S相等；（2）由于x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P．再结合集合关系求出实数m即可．【解答】解：由于P={x|x2﹣8x﹣20≤0}={x|﹣2≤x≤10}，（1）要使x∈P是x∈S的充要条件，则P=S，即，而此方程组无解，则不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件；（2）要使x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，①当S=φ时，1﹣m＞1+m，即m＜0满足题意；②当S≠φ时，则1﹣m≤1+m，得m≥0，要使S⊆P，即有，得m≤3，即得0≤m≤3，综上可得，当实数m≤3时，使x∈P是x∈S的必要条件．【点评】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，①若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．20．设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；充要条件．【专题】计算题．【分析】分别解出命题p和命题q中不等式的解集得到集合A和集合B，根据¬p是¬q的必要不充分条件，得到q是p的必要不充分条件，即q推不出p，而p能推出q．说明P的解集被q的解集包含，即集合A为集合B的真子集，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．【解答】解：设A={x|（4x﹣3）2≤1}，B={x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0}，易知A={x|≤x≤1}，B={x|a≤x≤a+1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即A⊂B，且两等号不能同时取．故所求实数a的取值范围是[0，]．【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，掌握两命题之间的关系，是一道综合题．21．求曲线y=sinx与直线，，y=0所围成的平面图形的面积．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求曲线y=sinx与直线，，y=0所围成的平面图形的面积【解答】解：s=|sinx|dx=﹣sinxdx+sinxdx﹣sinxdx=cosx ﹣cosx +cosx =1+2+（﹣+1）=4﹣．【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题．22．已知函数f（x）=k（x﹣1）e x+x2．（Ⅰ）当时k=﹣，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；（Ⅲ）当k≤﹣l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）e x+x2，得f′（x）=x（2﹣e x﹣1），从而求出函数f（x）在（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）f′（x）=kx（e x+）＜x2+（k+2）x，即：kxe x﹣x2﹣kx＜0，令h（x）=ke x﹣x﹣k，讨论当k≤0时，当0＜k≤1时，当k＞1时，从而综合得出k的范围；（Ⅲ）f′（x）=kx（e x+），令f′（x）=0，得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0，得g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，讨论当﹣2＜k≤﹣1时，当k=﹣2时，当k＜﹣2时的情况，从而求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）e x+x2，∴f′（x）=x（2﹣e x﹣1），∴f′（1）=1，f（1）=1，∴函数f（x）在（1，1）处的切线方程为y=x，（Ⅱ）f′（x）=kx（e x+）＜x2+（k+2）x，即：kxe x﹣x2﹣kx＜0，∵x＜0，∴ke x﹣x﹣k＞0，令h（x）=ke x﹣x﹣k，∴h′（x）=ke x﹣1，当k≤0时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，当0＜k≤1时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，当k＞1时，h（x）在（﹣∞，﹣lnk）递减，在（﹣lnk，0）递增，∴h（﹣lnk）＜h（0）=0，不合题意，综上：k≤1．（Ⅲ）f′（x）=kx（e x+），令f′（x）=0，解得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0，g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，∴x2=ln（﹣）＞k，当﹣2＜k≤﹣1时，x2=ln（﹣）＞0，f（x）的最小值为m=min{f（0），f（1）}=min{﹣k，1}=1，当k=﹣2时，函数f（x）在区间[k，1]上递减，m=f（10=1，当k＜﹣2时，f（x）的最小值为m=min{f（x2），f（1）}，f（x2）=﹣2[ln（﹣）﹣1]+[ln（﹣）]2=﹣2x2+2＞1，f（1）=1，此时m=1，综上：m=1．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查参数的取值，导数的应用，是一道综合题．。
高二数学上学期期末调研 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第一学期期末调研测试卷高二数学〔理科〕本卷须知：1．本套试卷一共4页，包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两局部．本套试卷总分值是为100分，考试时间是是为100分钟．2．在答题之前，请必须将、、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题之答案写在答卷纸．．．上对应题目之答案空格内．在在考试完毕之后以后，交答复卷纸．参考公式：V锥体＝Sh(S表示底面面积，h表示锥体的高)．一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题3分，一共42分．请把答案填写上在答卷纸相应位置．．．．．．．上1．复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第▲象限．2．p：x∈R，x2＞x－1，那么p为▲．3．在平面直角坐标系中，准线方程为y＝4的抛物线HY的方程为▲．4．假设“x＞1”是“x＞a〞的充分不必要条件，那么实数a的取值范围是▲．5．假设圆x2＋y2＝4与圆x2＋(y－3)2＝r2(r＞0)外切，那么实数r的值是▲．6．假设复数z满足(z＋i)(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，那么|z|＝▲．7．函数y＝2sin x－x，x∈[0，π]的单调递减区间为▲．8．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，假设MN＝2，那么实数k的值是▲．9．动点M到A(4，0)的间隔等于它到直线x＝1的间隔的2倍，那么动点M的轨迹方程为▲．10．观察以下等式：＝(－)×，＝(－)×，＝(－)×，＝(－)×，………………可推测当n≥3，n∈N*时，＝▲．11．椭圆＋＝1与双曲线—y2＝1有一共同焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，那么PF1·PF2为▲．12．在直角三角形ABC中，∠C为直角，两直角边长分别为a，b，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC补成以其两直角边为邻边的矩形，那么矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为；按此方法，在三棱锥S－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a，b，c，通过类比可得三棱锥S－ABC外接球的半径为▲．13．曲线y＝x2(x＞0)在点P处切线恰好与圆C：x2＋(y＋1)2＝1相切，那么点P的坐标为▲．14．假设函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，那么称y＝f(x)在I上是“弱增函数〞．函数h(x)＝x2－(b－1)x＋b在(0，1]上是“弱增函数〞，那么实数b的值是▲．二、解答题：本大题一一共6小题，一共计58分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．15．〔此题总分值是8分〕p：任意x∈R，x2＋1≥aq：方程－＝1表示双曲线．〔1〕假设pa的取值范围；〔2〕假设“p且qa的取值范围．16．〔此题总分值是8分〕以点P为圆心的圆经过点A(1，4)，B(3，6)，线段AB的垂直平分线与圆P交于点C，D，且CD＝4．〔1〕求直线CD的方程；〔2〕求圆P的方程．17．〔此题总分值是10分〕如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝3，E 为线段SD 上的一点．〔1〕求证：AC ⊥BE ；〔2〕假设DE ＝1，求直线SC 与平面ACE 所成角的正弦值． 18．〔此题总分值是10分〕如图，在边长为2〔单位：m的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m ． 〔1〕求正四棱锥的体积V (x)；〔2〕当x 为何值时，正四棱锥的体积V (x )获得最大值？19．〔此题总分值是10分〕如图，椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 〔c ，0〕，下顶点为A (0，－b )，直线与椭圆的右准线交于点B ，与椭圆的另一个交点为点C ，假设F 恰好为线段AB 的中点． 〔1〕求椭圆的离心率； 〔2〕假设FC ＝，求椭圆的方程． 20．〔此题总分值是12分〕设函数f (x )＝ln x －ax ，a ∈R ．〔1〕当x ＝1时，函数f (x )获得极值，求a 的值； 〔2〕当a ＞0时，求函数f (x )在区间[1，2]的最大值；〔3〕当a ＝－1时，关于x 的方程2mf (x )＝x 2〔m ＞0〕有唯一实数解，务实数m 的值．二零二零—二零二壹第一学期期末调研测试卷A B 〔第17题〕 〔第19题〕xx 〔第18题〕高二数学〔理〕参考答案及评分HY说明：1．本解答给出的解法供参考．假设考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分HY制订相应的评分细那么．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假设假设后续局部的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题3分，一共42分〕1．四．2．x∈R，x2≤x－1．3．x2＝－16y．4．〔－∞，1〕．5．1．6．5．7．(，π)．开闭区间均可8．0或者－．9．3x2－y2＝12．10．(－)×．11．5．12．．13．(，6)．14．1．说明：填空题的严格按照评分HY，没有中间分，第89题可以不化为答案的形式，但仅列式不化简不给分．二、解答题〔本大题一一共6小题，一共58分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕15．〔此题总分值是8分〕解〔1〕记f(x)＝x2＋1，x∈R，那么f(x)的最小值为1，…………………2分因为p所以a≤f(x)min＝1，即a的取值范围为(－∞，1]．…………4分〔2〕因为q所以a＋2＞0，解得a＞－2．…………………6分因为“p且q所以即a的取值范围为(－2，1]．……………………8分说明：第(1)问，得出pa≤1，给4分，没过程不扣分，第(2)问分两步给，得到a＞－2给2分，得到x∈(－2，1]给2分，少一步扣2分．16．〔此题总分值是8分〕解〔1〕因为直线AB的斜率k＝1，AB中点坐标为M(2，5)，……………2分所以直线CD方程为y－5＝－(x－2)，即x＋y－7＝0．…………………4分〔2〕设圆心P(a，b)，那么由P在CD上得，a＋b－7＝0．①又直径CD＝4，所以PA＝2，即(a－1)2＋(b－4)2＝4．②…………6分由①②解得或者所以圆心P(1，6)或者P(3，4)．所以圆P的方程为(x－1)2＋(y－6)2＝4或者(x－3)2＋(y－4)2＝4．………………………10分说明：此题总分值是应为8分，最后10分改为8分，第(2)问假设少一解扣2分改为扣1分，其他按评分HY给分，17．〔此题总分值是10分〕解〔1〕因为四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，所以SD，DC，DA两两互相垂直，D－xyz，那么各点的坐标为D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，S(0，0，3)，………………………………2分设E(0，0，t)(0≤t≤3)，那么＝(－3，3，0)，＝(－3，－3，t)．所以·＝－3×(－3)＋3×(－3)＋0×t＝0，所以⊥，即AC⊥BE；………………………………5分〔2〕因为DE＝1，所以t＝1，所以＝(0，3，－3)，＝(－3，3，0)，＝(－3，0，1)．设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，直线SC与平面ACE所成角为θ，所以n·＝0，n·＝0，即－3x＋3y＝0，－3x＋z＝0，解得x＝y，z＝3x．取x＝1，那么n＝(1，1，3)，……………………………8分所以n·＝0×1＋3×1＋(－3)×3＝－6，|n|＝，||＝3，那么sinθ＝|cos＜，n＞|＝||＝＝．所以直线SC与平面ACE所成角的正弦值为．…………………10分说明：第(1)问：建系设坐标给2分，假设没有指出SD，DC，DA两两互相垂直，不扣分；写对，的坐标各给1分；第(2)问：分两步给分，求出法向量给3分，求出角的正弦给2分，假设把它当成余弦扣1分．18．〔此题总分值是10分〕解〔1〕设正四棱锥的底面中心为O，一侧棱为AN．那么Array由于切去的是等腰三角形，所以AN＝，NO＝1－x，……………2分在直角三角形AON中，AO＝＝＝，………………………………4分所以V(x)＝··[2(1－x)]2·＝(1－x)2，〔0＜x＜1)．………………………6分〔不写0＜x＜1扣1分〕〔2〕V′(x)＝[(2x－2)＋]＝(x－1)，……………8分令V′(x)＝0，得x＝1(舍去)，x＝．当x∈(0，)时，V′(x)＞0，所以V(x)为增函数；当x∈(，1)时，V′(x)＜0，所以V(x)为减函数．所以函数V(x)在x＝时获得极大值，此时为V(x)最大值．答：当x为m时，正四棱锥的体积V(x)获得最大值．……………10分说明：按评分HY给分，不写函数的定义域扣1分，没有答扣1分．19．〔此题总分值是10分〕解〔1〕因为B在右准线上，且F恰好为线段AB的中点，所以2c＝，……………2分即＝，所以椭圆的离心率e＝．…………4分〔2〕由(1)知a＝c，b＝c，所以直线AB的方程为y＝x－c，设C(x0，x0－c)，因为点C在椭圆上，所以＋＝1，…………………6分即x＋2(x0－c)2＝2c2，解得x0＝0(舍去)，x0＝c．所以C为(c，c)，………………………………8分因为FC＝，由两点间隔公式可得(c－c)2＋(c)2＝，解得c2＝2，所以a＝2，b＝，所以此椭圆的方程为＋＝1．………………………………10分说明：第(1)问4分，第(2)问也可用以下方法：由几何方法得出点C的坐标为(c＋，)……6分因为点C在椭圆上得＋＝1，得出c＝……8分所以a＝2，b＝，所以此椭圆的方程为＋＝1．………………10分20．〔此题总分值是12分〕〔1〕f(x)的定义域为〔0，＋∞〕，所以f′(x)＝－a＝．…………………2分因为当x＝1时，函数f(x)获得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，所以a＝1．经检验，a＝1符合题意．〔不检验不扣分〕………………………4分〔2〕f′(x)＝－a＝，x＞0．令f′(x)＝0得x＝．因为x∈(0，)时，f′(x)＞0，x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，)递增，在(，＋∞)递减，………………………………5分①当0＜≤1，即a≥1时，f(x)在(1，2)上递减，所以x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝－a；②当1＜＜2，即＜a＜1时，f(x)在(1，)上递增，在(，2)上递减，所以x＝时，f(x)取最大值f()＝－ln a－1；③当≥2，即0＜a≤时，f(x)在(1，2)上递增，所以x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝ln2－2a．综上，①当0＜a≤时，f(x)最大值为ln2－2a；②当＜a＜1时，f(x)最大值为－ln a－1；③当a≥1时，f(x)最大值为－a．…………………………8分〔每种情形1分〕〔3〕因为方程2mf(x)＝x2有唯一实数解，所以x2－2m ln x－2mx＝0有唯一实数解，设g(x)＝x2－2m ln x－2mx，那么g′(x)＝，令g′(x)＝0，x2－mx－m＝0．因为m＞0，x＞0，所以x1＝＜0〔舍去〕，x2＝，当x∈(0，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在〔0，x2〕上单调递减，当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在〔x2，＋∞〕单调递增，当x＝x2时，g(x)取最小值g(x2)．………………………………10分那么即所以2m ln x2＋mx2－m＝0，因为m＞0，所以2ln x2＋x2－1＝0〔*〕，设函数h(x)＝2ln x＋x－1，因为当x＞0时，h(x)是增函数，所以h(x)＝0至多有一解．因为h(1)＝0，所以方程〔*〕的解为x2＝1，即＝1，解得m＝．………………………………12分说明：第(1)问，不检验不扣分；第(2)问的讨论，每一种情形给1分；第(3)问，指出当x＝x2时，g(x)取最小值g(x2)给2分；得出最终结果给2分，不给中间分．采取别离常数法，即＝，对函数h(x)＝求导正确可给2分，得出最终结果给2分．。
高二数学上学期期末调研试题 理 试题
第10题图2021－2021学年度第一学期高二期末调研一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题3分，一共42分．请把答案填写上在答卷纸．．．相应位置．．．．上 1．命题“ x ∈R，x 2≥0”的否认是 ． 2．双曲线x 25－y 24＝1的焦点坐标是 ．3．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线经过点(2，2)，那么此抛物线的方程为 ． 4．函数f (x )＝ln(2x －1)，那么f ′(x )＝ ．5．复数z ＝2＋i 1＋i〔i 为虚数单位〕，那么z 对应的点在第 象限．6．设向量a ＝〔2，2m －3，n ＋2〕，b ＝〔4，2m ＋1，3n －2〕，且a ∥b ，那么mn ＝ ．7．双曲线x 2－y 2b2＝1〔b ＞0〕的一条渐近线的方程为y ＝2x ，那么b 的值是 ．8．函数f (x )＝12x －sin x 在区间[0，π]上的最小值为 ．9．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1〔a ＞b ＞0〕的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，假设△OMN 为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率为 ．10．如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，那么f ＝ ．11．假设圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝36相交，那么r 的取值范围是 ． 12．给出以下命题①“a ＞b 〞是“a 2＞b 2”的充分不必要条件；②“lg a ＝lg b 〞是“a ＝b 〞的必要不充分条件；③假设x ， y ∈R ，那么“|x |＝|y |〞是“x 2＝y 2”的充要条件； ④△ABC 中，“sin A ＞sin B 〞是“A ＞B 〞的充要条件． 其中真命题是 ．〔写出所有真命题的序号〕13．观察以下等式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…从中可归纳得出第n 个等式是 ．14．设函数f (x )在其定义域D 上的导函数为f ′(x )．假如存在实数a 和函数h (x )，其中h (x )对任意的x ∈D 都有h (x )＞0，使得f ′(x )＝h (x )(x 2－ax ＋1)，那么称函数f (x )具有性质P (a )．给出以下四个函数：①f (x )＝13x 3－x 2＋x ＋1；②f (x )＝ln x ＋4x ＋1；③f (x )＝(x 2－4x ＋5)e x；④f (x )＝x 2＋x2x ＋1，其中具有性质P (2)的函数是 ．(写出所有满足条件的函数的序号)二、解答题：本大题一一共6小题，一共计58分．15．〔此题满分是8分〕命题p ：函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数；命题q ：关于x 的方程x 2－2ax ＋4＝0有实数根．假设p ∧q 为真，务实数a 的取值范围．16．〔此题满分是8分〕设直线l ：4x ＋3y ＋a ＝0和圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0． 〔1〕当直线l 过圆C 的圆心时，务实数a 的值；〔2〕当a ＝3时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．17．〔此题满分是10分〕如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1， AB ＝2，点E 是C 1D 1的中点．〔1〕求证：DE ⊥平面BCE ； 〔2〕求二面角A —EB —C 的大小．ABCD A 1B 1C 1D 1E18．〔此题满分是10分〕某公司需制作容积为216 ml 的长方体形饮料盒，饮料盒底面的长是宽的2倍．当饮料盒底面的宽为多少时，才能使它的用料最?19．〔此题满分是10分〕将圆x 2＋y 2＝4上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线设为E ． 〔1〕求曲线E 的方程；〔2〕假设曲线E 与x 轴、y 轴分别交于点A (a ，0)，B (－a ，0)，C (0，b )，其中a ＞0，b ＞0．过点C 的直线l 与曲线E 交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．当点P 异于点B 时，求证：OP →•OQ →为定值20．〔此题满分是12分〕函数f (x )＝a ln x ＋12x 2＋(a ＋1)x ＋1．〔1〕当a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间；〔2〕假设函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，务实数a 的取值范围；〔3〕假设a ＞0，且对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，都有| f (x 1)－f (x 2)|＞2| x 1－x 2|，务实数a 的最小值．理科数学参考答案及评分HY 卷一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题3分，一共42分〕1．ﾖx ∈R，x 2＜0 2．(±3，0) 3．y 2＝4x 4．2 2x －1 5．一 6．21 7．28．π6－32 9．22 10．1211．(1，11) 12．③④13．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋[n ＋2(n －1)]＝(2n －1)2(n N*) 14．①②③二、解答题〔本大题一一共6小题，一共58分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕15．〔此题满分是8分〕解： 当p 为真命题时，a ＞1． ………………………………………………………………2分当q 为真命题时，△＝4a 2－16≥0．解得a ≤－2或者a ≥2． ………………………………………………………………………4分 因为p ∧q 为真，所以p 和q 都是真命题．⎩⎨⎧a ＞1，a ≤－2或者a ≥2．…………………………………………………………………6分所以实数a 的取值范围是[2，＋∞)． ………………………………………………………8分16． 〔此题满分是8分〕解：〔1〕由x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝5．所以圆C 的圆心为(－1，2)，半径为5． ……………………………………………………2分因为直线l 过圆C 的圆心，所以－4＋6＋a ＝0．解得a ＝－2． (4)分〔2〕当a ＝3时，圆心(－1，2)到直线l ：4x ＋3y ＋3＝0的间隔 为d ＝|4×(－1)＋3×2＋3|42＋32＝1． ……………………………………………………………………6分 那么2r 2－d 2＝4．所以直线l 被圆C 所截得的弦长为4． ………………………………………………………8分17．〔此题满分是10分〕解：〔1〕建立如下图的空间直角坐标系，那么D (0，0，0)，E (0，1，1)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，DE →＝(0，1，1)，BE →＝(－1，－1，1)BC →＝(－1，0，0)．因为DE →·BE →＝0，DE →·BC →＝0， 所以DE →⊥BE →，DE →⊥BC →． 那么DE ⊥BE ，DE ⊥BC ．因为BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BE ∩BC ＝B ，所以DE ⊥平面BCE ． …………………………………………………………………………4分〔2〕设平面AEB 的法向量为→n ＝(x ，y ，z )， 那么⎩⎪⎨⎪⎧→n ·AB →＝0，→n ·BE →＝0．即⎩⎨⎧y ＝0，－x ＋y ＋z ＝0．所以平面AEB 的法向量为→n ＝(1，0，1)． …………………………………………………6分因为DE ⊥平面BCE ，所以DE →就是平面BCE 的法向量． 因为cos＜→n ，DE→＞＝→n ·DE → |→n |×|DE →|＝12， …………………………………………………9分 由图形可得二面角A —EB —C 的大小为120°． ………………………………………………10分 18．〔此题满分是10分〕解：设饮料盒底面的宽为x cm ，高为h cm ，那么底面长为2x cm ．根据V ＝x ·2x ·h ，可得h = 2162x 2．…………………………2分所以,外表积S (x )＝2(x ·2x ＋x ·h ＋2x ·h )＝2(2x 2＋3x ·2162x 2)＝4(x 2＋162x) (x ＞0) (4)分由S '(x )＝4(2x －162x2)＝0， ………………………………………………………………………6分得x ＝33． (8)分当0＜x ＜33时，S '(x )＜0，函数S (x ) 在(0，33)是减函数； 当x ＞33时，S '(x ) ＞0，函数S (x ) 在(33，＋∞)是增函数． 所以，当x ＝33时，S (x )获得极小值，且是最小值．答：当饮料盒底面的宽为3 3 cm 时，才能使它的用料最． (10)分19．〔此题满分是10分〕解：〔1〕x 24＋y 2＝1．〔说明：没有过程得2分〕 ………………………………………4分〔2〕根据题意可设直线l 的方程为1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1．可得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0． 解得x ＝0或者x ＝－8k 4k 2＋1，代入直线l 方程得D 点坐标为〔－8k 4k 2＋1，1－4k24k 2＋1〕．…………6分又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k2－4k(x ＋2)，联立⎩⎨⎧x 2＋y ＝1，y ＝1＋2k2－4k (x ＋2)． ……………………………………………………………………8分 解得⎩⎨⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1．因此Q 〔－4k ，2k ＋1〕，又P 〔－1k，0〕，所以OP →•OQ →＝〔－1k，0〕•〔－4k ，2k ＋1〕＝4． 故OP →•OQ →为定值． ……………………………………………………………………………10分20．〔此题满分是12分〕解：〔1〕当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋12x 2＋1．那么f ′(x )＝－1x＋x ． ………………………………………………………………………………2分令f ′(x )＞0，得x ＜0或者x ＞1． 所以函数函数f (x )的单调增区间为(1，＋∞)．………………………………………………4分 〔2〕因为函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝＝x 2＋(a ＋1) x ＋a x ＝(x ＋1)( x ＋a )x≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立． ………………6分即x ＋a ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立． 所以a ≥0． ………………………………………………………………………………8分即实数a 的取值范围是[0，＋∞)．〔3〕因为a ＞0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．因为x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，不妨设x 1＞x 2，所以f (x 1)＞f (x 2)．由| f (x 1)－f (x 2)| 2| x 1－x 2|恒成立，可得f (x 1)－f (x 2)＞2(x 1－x 2)， 即f (x 1)－2x 1＞f (x 2)－2x 2恒成立． 令g (x )＝f (x )－2x ，那么在(0，＋∞)上是增函数． …………………………………………10分所以g ′(x )＝a x ＋x ＋(a ＋)－2＝x 2＋(a －1) x ＋ax≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立．即x 2＋(a －1) x ＋a ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立．即a ≥－x 2－xx ＋1对x ∈(0，＋∞)恒成立因为－x 2－x x ＋1＝－(x ＋1＋2x ＋1－3)≤3－22〔当且仅当x ＋1＝2x ＋1即x ＝2－1时取等号〕，所以a ≥3－22． 所以实数a 的最小值为3－22． ……………………………………………………………12分励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。