(部编本人教版)最新高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 第2讲 函数与方程学案【经典练习】

第2讲 函数与方程[考情考向分析] 求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现．热点一 函数的零点 1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．例1 (1)已知f (x )＝2|x |x ＋x －2x，则y ＝f (x )的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 C解析 令2|x |x ＋x －2x＝0，化简得2|x |＝2－x 2，画出y 1＝2|x |，y 2＝2－x 2的图象，由图可知，图象有两个交点，即函数f (x )有两个零点．(2)关于x 的方程(x 2－2x )2e 2x－(t ＋1)(x 2－2x )e x－4＝0(t ∈R )的不等实根的个数为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．1或5 答案 B解析 设f (x )＝(x 2－2x )e x ，则f ′(x )＝(x ＋2)(x －2)e x，所以函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，且当x →－∞时，f (x )→0，f (－2)＝(2＋22)e f (0)＝0，f (2)＝(2－22)当x →＋∞，f (x )→＋∞，由此画出函数y ＝f (x )的草图，如图所示．关于x 的方程(x 2－2x )2e 2x－(t ＋1)(x 2－2x )e x－4＝0，令u ＝f (x )，则u 2－(t ＋1)u －4＝0，Δ＝(t ＋1)2＋16>0，故有两个不同的解u 1，u 2， 又u 1u 2＝f (－2)f (2)＝－4， 所以不等实根的个数为3.思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有 (1)函数零点大致存在区间的确定． (2)零点个数的确定．(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．跟踪演练1 (1)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 答案 B解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x )的周期为2，作函数f (x )和g (x )的图象，图中，g (3)＝3－log 23>1＝f (3)，g (5)＝3－log 25<1＝f (5)，可得有两个交点，所以选B.(2)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②∀x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1，则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3,5]内解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 A解析 画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解．热点二 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例2 (1)(2018·浙江省重点中学联考)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1x，x >0，e －x ，x <0，若存在三个互不相等的实数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝－e 成立，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2e) 解析f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝－e 成立，等价于方程f (x )＝－e x 有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－e x 有三个不同的交点，易知直线y ＝－e x 与y ＝e －x的图象相切，已有一个交点，只需直线y ＝－e x 与曲线y ＝a ＋1x(x >0)有两个不同的交点即可，由－e x ＝a ＋1x，得e x 2＋ax ＋1＝0，∴Δ＝a 2－4e>0，解得a >2e 或a <－2e ，又方程的两个根之和为正数，故－ae>0，∴a <0.综上所述，a <－2 e.(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 C解析 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)． 故选C.思维升华 (1)方程f (x )＝g (x )根的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数． (2)关于x 的方程f (x )－m ＝0有解，m 的范围就是函数y ＝f (x )的值域．跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，3x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2) D ．(－∞，1)答案 A解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，3x －a ，x >0(a ∈R )在R 上有两个零点，且x ＝a3是函数f (x )的一个零点，∴方程2x－a ＝0在(－∞，0]上有一个解，再根据当x ∈(－∞，0]时，0<2x≤20＝1，可得0<a ≤1. 故选A.(2)函数f (x )＝|x |e x ，方程[f (x )]2－(m ＋1)f (x )＋1－m ＝0有4个不相等实根，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e e 2＋e ，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e ＋1e 2＋e ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e ＋1e 2＋e ，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e e 2＋e ，＋∞ 答案 C解析 根据题意画出函数f (x )的图象．当x >0时，f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝1－xex (x >0)，故f (1)＝1e为f (x )在(0，＋∞)上的最大值．设t ＝f (x )，t 2－(m ＋1)t ＋1－m ＝0 有两个根t 1，t 2， 由图可知，对应两个x 值的t 值只有一个， 故可设t 1对应一个x 值，t 2对应3个x 值．情况为⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝0，t 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 或⎩⎪⎨⎪⎧t 1>1e ，t 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，当属于第一种情况时，将0代入方程得m ＝1，此时二次方程t 2－(m ＋1)t ＋1－m ＝0的根是确定的，一个为0，一个为2>1e ，不符合第一种情况的要求；当属于第二种情况时，⎩⎪⎨⎪⎧1e2－m ＋1e ＋1－m <0，1－m >0，即e 2－e ＋1e 2＋e<m <1.真题体验1．(2016·天津改编)已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0，x ∈R )．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是______________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58解析 f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4.因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以T 2>2π－π，所以πω>π，所以0<ω<1.当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4<k π<2ωπ－π4(k ∈Z )，即k 2＋18<ω<k ＋14(k ∈Z )． 当k ＝0时，18<ω<14；当k ＝1时，58<ω<54.所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时， 0<ω≤18或14≤ω≤58.2．(2017·山东改编)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是______________． 答案 (0,1]∪[3，＋∞)解析 设f (x )＝(mx －1)2，g (x )＝x ＋m ，在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意．(2)当m >1时，0<1m<1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点， 只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2， 解得m ≥3或m ≤0(舍去)． 综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．3．(2017·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________． 答案 8解析 由于f (x )∈[0,1)，则只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q ，且x ∉Z 时，设x ＝q p，p ，q ∈N *，p ≥2且p ，q 互质．若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质．因此10n m＝qp，则10n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾．因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点，画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x ∉D 部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8.押题预测1．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7押题依据 函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法． 答案 B解析 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．(－2,2]D ．[－1,2)押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想． 答案 D解析 g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，要使函数g (x )恰有三个不同的零点，只需g (x )＝0恰有三个不同的实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，－x ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x 2＋3x ＋2＝0，所以g (x )＝0的三个不同的实数根为x ＝2(x >a )，x ＝－1(x ≤a )，x ＝－2(x ≤a )．再借助数轴，可得－1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[－1,2)，故选D.3．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且当0≤x ≤2时，f (x )＝min{－x 2＋2x,2－x }，若方程f (x )－mx ＝0恰有两个实根，则m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，2 押题依据 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，先研究特殊位置，结合函数的性质，利用数形结合法，构建关于参数的不等式(组)求解． 答案 C解析 当0≤x <1时，－x 2＋2x <2－x ，当1≤x ≤2时，－x 2＋2x ≥2－x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，又因为f (x )是偶函数，且是以4为周期的周期函数，作出函数f (x )的图象(图略)，直线y ＝mx 与y ＝－x 2＋2x 的图象相切时，m ＝2，直线y ＝mx 经过点(3,1)时，与函数f (x )的图象有三个交点，此时m ＝13，故x ≥0时，要使方程f (x )－mx ＝0恰有两个实根，则13<m <2，由对称性知x <0时，要使方程f (x )－mx ＝0恰有两个实根，则－2<m <－13.A 组 专题通关1．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－13x ，则在下列区间中含有函数f (x )零点的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 答案 B解析 f (0)＝1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1312⎛⎫ ⎪⎝⎭－1313⎛⎫ ⎪⎝⎭>0，f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭－1312⎛⎫ ⎪⎝⎭<0，f⎝ ⎛⎭⎪⎫13f⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， 所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12内必有零点，故选B. 2．(2018·绍兴市柯桥区模拟)已知x 0是函数f (x )＝e －x＋1x －2的零点，若x 1∈(0，x 0)，x 2∈(x 0,2)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 答案 C解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠2}，又e －x>0，且x <2时，1x －2<0，故f (x )的零点x 0∈(－∞，2)，求导得f ′(x )＝－e －x－1(x －2)2<0，则函数f (x )在区间(－∞，2)，(2，＋∞)上单调递减，由0<x 1<x 0<x 2<2，得f (x 1)>f (x 0)>f (x 2)，即f (x 1)>0，f (x 2)<0，故选C.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x >0时，f (x )＝2x＋2x －4，则f (x )的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 由于函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故f (0)＝0.由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (2)<0， 而函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故当x >0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知， 当x <0时，也有1个零点．故一共有3个零点．4．已知函数f (x )＝x 2＋2x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋log 2(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，2) C.()－∞，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 答案 B解析 f (x )＝x 2＋2x－12(x <0)，当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2＋2－x－12(x >0)，所以f (x )关于y 轴对称的函数为h (x )＝f (－x )＝x 2＋2－x－12(x >0)，由题意得x 2＋2－x －12＝x 2＋log 2(x ＋a )在x >0时有解，作出函数的图象如图所示，当a ≤0时，函数y ＝2－x－12与y ＝log 2(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意，若a >0，若两函数在(0，＋∞)上有交点，则log 2a <12，解得0<a <2，综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，2)．5．(2018·湖州、衢州、丽水三地市模拟)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x |＋|x ＋1|，则方程f (2x －1)＝f (x )所有根的和是( ) A.13 B ．1 C.43 D ．2 答案 C解析 由题意得f (2x －1)＝|2x －2|＋|2x －1|＋|2x |，f (2x －1)＝f (x )⇔|2x －2|＋|2x －1|＋|2x |＝|x －1|＋|x |＋|x ＋1|，即|x －1|＋|x |＋|2x －1|－|x ＋1|＝0，设g (x )＝|x －1|＋|x |＋|2x －1|－|x ＋1|，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x <－1，－5x ＋1，－1≤x <0，－3x ＋1，0≤x <12，x －1，12≤x <1，3x －3，x ≥1，令g (x )＝0，解得x＝13或x ＝1， 所以方程f (2x －1)＝f (x )所有根的和是13＋1＝43，故选C.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln (x －1)|，x >1，2x －1＋1，x ≤1，则方程f (f (x ))－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋34＝0的实根个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 C解析 令t ＝f (x )，则方程f (f (x ))－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋34＝0等价于f (t )－2t －32＝0，在同一平面直角坐标系中作出f (x )与直线y ＝2x ＋32的图象，由图象可得有两个交点，且f (t )－2t －32＝0的两根分别为t 1＝0和1<t 2<2，当t 1＝f (x )＝0时，解得x ＝2，当t 2＝f (x )∈(1,2)时，f (x )有3个不等实根，综上所述，方程f (f (x ))－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋34＝0的实根个数为4. 7．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1,4]时，f (x )＝x 2－2x，则函数f (x )在区间[0，2 019]上的零点个数是________． 答案 605解析 因为f (x )＋f (x ＋5)＝16， 所以f (x ＋5)＋f (x ＋10)＝16， 所以f (x )＝f (x ＋10)，所以该函数的周期是T ＝10.由于函数y ＝f (x )在(－1,4]上有3个零点， 因此在区间(－1,9]上只有3个零点，且在(－1,0)上有1个零点，在[0,9]上有2个零点且不在区间端点处．而2 019＝201×10＋9，故在区间[0,2 019]上共有201×3＋2＝605(个)零点．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x sin x ，0<x <π，x ，x ≥π，g (x )＝f (x )－kx (k ∈R )．①当k ＝1时，函数g (x )有________个零点；②若函数g (x )有3个零点，则k 的取值范围是________． 答案 1 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，ππ 解析 ①当k ＝1时，g (x )＝0，即f (x )＝x ，当0<x <π时，x sin x ＝x ，即sin x ＝1，解得x ＝π2，当x ≥π时，x ＝x ，解得x ＝0(舍去)或1(舍去)， 综上，g (x )的零点个数为1. ②若函数g (x )有3个零点，则k ≠0. 当x ≥π时，x ＝kx (k >0)，最多有1个解， 即有x ＝1k 2≥π，解得0<k ≤ππ，又0<x <π时，x sin x ＝kx ，即为sin x ＝k 有2个解， 则0<k <1， 综上可得0<k ≤ππ. 9．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R |f (x )＝0}，μ∈{x ∈R |g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝ex －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________． 答案 [3,4]解析 由题意知，函数f (x )的零点为x ＝2， 设g (x )满足|2－μ|≤1的零点为μ， 因为|2－μ|≤1，解得1≤μ≤3. 因为函数g (x )的图象开口向上，所以要使g (x )的一个零点落在区间[1,3]上，则需满足g (1)g (3)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧g (1)>0，g (3)>0，Δ≥0，1<a ＋12<3，解得103≤a ≤4或3≤a <103，得3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3,4]．10．(2018·浙江)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________． 答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞) 解析 当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2，其图象如图(1)．由图知f (x )<0的解集为(1,4)．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y 1＝x －4与y 2＝x 2－4x ＋3的图象，如图(2)，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．B 组 能力提高11．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log (x ＋1)，0≤x <1，1－|x －3|，x ≥1，若关于x的方程f (x )－a ＝0(0<a <1)所有根之和为1－2，则实数a 的值为( ) A.22 B.12 C.23 D.14答案 B解析 因为函数f (x )为奇函数，所以当x ∈(－1,0]时，f (x )＝－f (－x )＝－12log (－x ＋1)＝log 2(1－x )；当x ∈(－∞，－1]时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－|－x －3|)＝|x ＋3|－1，所以函数f (x )的图象如图所示，令g (x )＝f (x )－a ，函数g (x )的零点即为函数y ＝f (x )与y ＝a 的交点，如图所示，共5个．当x ∈(－∞，－1]时，令|x ＋3|－1＝a ，解得x 1＝－4－a ，x 2＝a －2，当x ∈(－1,0)时，令log 2(1－x )＝a ，解得x 3＝1－2a；当x ∈[1，＋∞)时，令1－|x －3|＝a ，解得x 4＝4－a ，x 5＝a ＋2，所以所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝－4－a ＋a －2＋1－2a ＋4－a＋a ＋2＝1－2a＝1－2，∴a ＝12.12．若函数f (x )＝ax ＋ln x －x 2x －ln x有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e e －1－1eB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，e e －1－1eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －e e －1，－1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e －e e －1，－1 答案 A解析 函数f (x )＝ax ＋ln x －x 2x －ln x有3个不同的零点，等价于a ＝x x －ln x－ln xx，x ∈(0，＋∞)有3个不同解，令g (x )＝xx －ln x－ln x x，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝1－ln x ()x －ln x 2－1－ln xx 2＝ln x ()1－ln x ()2x －ln x x 2(x －ln x )2，当x ∈(0，＋∞)时，令y ＝2x －ln x ， 则y ′＝2－1x ＝2x －1x，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，y ′<0，y 单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，y ′>0，y 单调递增，则y min ＝1－ln 12＝1＋ln 2>0，则当x ∈(0，＋∞)时，恒有2x －ln x >0， 令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝e ，且x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；x ∈()1，e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； x ∈()e ，＋∞时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，则g (x )的极小值为g (1)＝1，g (x )的极大值为g (e)＝e e －1－1e， 当x →0时，g (x )→＋∞， 当x →＋∞时，g (x )→1. 结合函数图象(图略)可得， 当1<a <e e －1－1e时，y ＝a 与g (x )＝xx －ln x－ln x x的图象有3个不同的交点，即方程a ＝xx －ln x－ln x x，x ∈(0，＋∞)有3个不同解，即函数f (x )＝ax ＋ln x －x 2x －ln x有3个不同的零点，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e e －1－1e . 13．已知函数f (x )＝|x |(2－x )，关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围为________．答案 (1－2，0)解析 f (x )＝|x |(2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x <0，2x －x 2，x ≥0，如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0<m <1，不妨设从左向右的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3.当x >0时，由对称性知，x 2＋x 3＝2,0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＝1；当x <0时，由x 2－2x ＝1，得x ＝1－2， 所以1－2<x 1<0，即0<－x 1<2－1， 所以0<－x 1x 2x 3<2－1，即1－2<x 1x 2x 3<0.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，e f (|x |＋1)，x <1(e 为自然对数的底数)，则f (e)＝________，函数y＝f (f (x ))－1的零点有________个．(用数字作答) 答案 1 3解析 f (e)＝ln e ＝1.函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为方程f (f (x ))＝1的根的个数，则①由ln x ＝1(x ≥1)，得x ＝e ，于是f (x )＝e ，则由ln x ＝e(x ≥1)，得x ＝e e ；由e f (|x |＋1)＝e(x <1)，得f (|x |＋1)＝1，所以ln(|x |＋1)＝1，解得x ＝e －1(舍去)或x ＝1－e ；②由e f (|x |＋1)＝1(x <1)，得f (|x |＋1)＝0，所以ln(|x |＋1)＝0，解得x ＝0，所以f (x )＝0，只有ln x ＝0(x ≥1)，解得x ＝1.综上可知，函数y ＝f (f (x ))－1有x ＝e e ,1－e,1，共3个零点．。