22.2二次函数综合题
人教版 九年级数学 22.2 二次函数与一元一次方程 课后训练(含答案)
人教版九年级数学22.2 二次函数与一元一次方程课后训练一、选择题1. 二次函数y＝x2－2x－2的图象与坐标轴的交点个数是()A．0 B．1 C．2 D．32. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝24t－4t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是()A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是()A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1C．x＝－3 D．x＝－24. 若A(－1，0)为抛物线y＝－3(x－1)2＋c上一点，则当y≥0时，x的取值范围是()A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．－1≤x≤3 D．x≤－1或x≥35. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为()A. x1＝－3，x2＝－1B. x1＝1，x2＝3C. x1＝－1，x2＝3D. x1＝－3，x2＝16. 下面的表格列出了函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的x与y的部分对应值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是()x … 6.17 6.18 6.19 6.20…y… －0.03 －0.01 0.02 0.04 …A.6＜x ＜6.17B ．6.17＜x ＜6.18C ．6.18＜x ＜6.19D ．6.19＜x ＜6.207. 王芳将如图所示的三条水平直线m 1，m 2，m 3中的一条记为x 轴(向右为正方向)，三条竖直直线m 4，m 5，m 6中的一条记为y 轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线y ＝ax 2－6ax －3，则她所选择的x 轴和y 轴分别为( )A ．m 1，m 4B ．m 2，m 5C ．m 3，m 6D ．m 4，m 58. 根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个根x 的取值范围是( )A.1.23＜x ＜1.24 B ．1.24＜x ＜1.25C ．1.25＜x ＜1.26D ．1＜x ＜1.239. 如图，抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作C 1，将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．－458＜m ＜－52B ．－298＜m ＜－12C ．－298＜m ＜－52D ．－458＜m ＜－1210. 已知二次函数y ＝－x 2＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )A ．－254<m<3 B ．－254<m<2 C ．－2＜m ＜3D ．－6＜m ＜－2二、填空题11. 若函数y ＝x 2＋2x －m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为________．12. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图22－2－2所示，若方程ax 2＋bx ＋c ＝k有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_______．13. 设A ，B ，C 三点分别是抛物线y ＝x 2－4x －5与y 轴的交点以及与x 轴的两个交点，则△ABC 的面积是________．14. 如图，已知抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴的两个交点分别是A ，B (点A 在点B的左侧)．(1)点A 的坐标为__________，点B 的坐标为________； (2)利用函数图象，求得当y <5时x 的取值范围为________．15. 飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数解析式是y＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后2 s 滑行的距离是________m.16. 若二次函数y ＝2x 2－4x －1的图象与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，则1x 1＋1x 2的值为________．17. 已知实数x ，y 满足x2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为________．18. 已知函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x >0），－x （x ≤0）的图象如图所示，若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．三、解答题19. 若关于x 的函数y ＝(m 2－1)x 2－(2m ＋2)x ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，求m 的值．20. 已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m .(1)如果二次函数的图象与x 轴有两个公共点，求m 的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点A (3，0)，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标；(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．21. 已知二次函数y ＝x 2＋x 的图象如图所示．(1)根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x 2＋x ＝1的根在图上近似地表示出来(描点)，并观察图象，写出方程x 2＋x ＝1的根(精确到0.1)．(2)在同一平面直角坐标系中画出一次函数y ＝12x ＋32的图象，观察图象，写出自变量x 的取值在什么范围内时，一次函数的值小于二次函数的值．(3)如图，P 是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在点P 处，写出平移后二次函数图象的函数解析式，判断点P 是否在函数y ＝12x ＋32的图象上，并说明理由．22. 已知抛物线l ：y ＝(x －h )2－4(h 为常数)．(1)如图22－B －2(a)，当抛物线l 恰好经过点P (1，－4)时，l 与x 轴从左到右的交点为A ，B ，与y 轴交于点C .①求l 的解析式，并写出l 的对称轴及顶点坐标．②在l 上是否存在点D (与点C 不重合)，使S △ABD ＝S △ABC ？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．③M 是l 上任意一点，过点M 作ME ⊥y 轴于点E ，交直线BC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点M 的坐标．(2)设l 与直线y ＝35x －245有个交点的横坐标为x 0，且满足3≤x 0≤5，通过l 位置随h 变化的过程，直接写出h 的取值范围．人教版九年级数学22.2 二次函数与一元一次方程课后训练-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】A3. 【答案】A[解析] ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标是(1，0)，对称轴是直线x＝－1，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1.故选A.4. 【答案】C5. 【答案】C【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a＋2a ＋c＝0，即3a＋c＝0.当x＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a＋c＝0成立，当x ＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a＋c＝0(与3a＋c＝0不相符)，∴方程的两个根为x1＝－1，x2＝3.6. 【答案】C[解析] 由表格中的数据，得在6.17＜x＜6.20范围内，y随x的增大而增大，当x＝6.18时，y＝－0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，故方程ax2＋bx ＋c＝0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19.7. 【答案】A[解析] ∵y＝ax2－6ax－3＝a(x－3)2－3－9a，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∴王芳选择的y轴为直线m4.∵抛物线y＝ax2－6ax－3与y轴的交点为(0，－3)，∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴王芳选择的x轴为直线m1.8. 【答案】B9. 【答案】C【解析】如图．∵抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，∴B (5，0)，A (9，0)．∴抛物线C 1向左平移4个单位长度得到C 2，∴平移后抛物线的解析式为y ＝12(x －3)2－2.当直线y ＝12x ＋m 过点B 时，有2个交点， ∴0＝52＋m ，解得m ＝－52；当直线y ＝12x ＋m 与抛物线C 2只有一个公共点时，令12x ＋m ＝12(x －3)2－2，∴x 2－7x ＋5－2m ＝ 0，∴Δ＝49－20＋8m ＝0，∴m ＝－298，此时直线的解析式为y ＝12x －298，它与x 轴的交点为(294，0)，在点A 左侧，∴此时直线与C 1，C 2有2个交点，如图所示．∴当直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点时，－298＜m ＜－52.10. 【答案】D【解析】 如图，当y ＝0时，－x 2＋x ＋6＝0，解得x 1＝－2，x 2＝3，则A (－2，0)，B (3，0)．将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方的部分图象的解析式为y ＝(x ＋2)(x －3)，即y ＝x 2－x －6(－2≤x ≤3)．当直线y ＝－x ＋m 经过点A (－2，0)时，2＋m ＝0，解得m ＝－2；当直线y ＝－x ＋m 与抛物线y ＝x 2－x －6有唯一公共点时，方程x 2－x －6＝－x ＋m 有两个相等的实数根，解得m ＝－6.所以当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围为－6＜m ＜－2.二、填空题11. 【答案】－1 [解析] 依题意可知Δ＝0，即b 2－4ac ＝22－4×1×(－m)＝0，解得m ＝－1.12. 【答案】k <2【解析】 从图象上来看，当k <2时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝k 有两个不同的交点，此时方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根．13. 【答案】15[解析] 当x ＝0时，y ＝－5，∴点A 的坐标为(0，－5)；当y ＝0时，x 2－4x －5＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5，不妨设点B 在点C 的左侧， ∴点B 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(5，0)，则BC ＝6， ∴△ABC 的面积为12×6×5＝15.14. 【答案】(1)(－3，0)(1，0) (2)－4<x <2【解析】(1)当x 2＋2x －3＝0时，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴A (－3，0)，B (1，0)． (2)当y ＝5时，x 2＋2x －3＝5，x 2＋2x －8＝0，解得x 1＝－4，x 2＝2. 由函数图象可得，当－4<x <2时，y <5.15. 【答案】6【解析】 当y 取得最大值时，飞机停下来，则y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，此时t ＝20，飞机着陆后滑行600米停下来， 因此t 的取值范围是0≤t ≤20. 当t ＝18时，y ＝594， 所以600－594＝6(米)． 故答案是：6.16. 【答案】－4【解析】由题意可知，x 1，x 2为方程2x 2－4x －1＝0的两根，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－12，则1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2－12＝－4.17. 【答案】4 [解析] x ＋y ＝－x2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴当x ＝－1时，x ＋y 有最大值，最大值是4.18. 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫23，00<m<14 [解析] 联立y ＝x ＋m 与y ＝－x 2＋2x ，得x ＋m ＝－x2＋2x ，整理得x 2－x ＋m ＝0，当有两个交点时，b 2－4ac ＝(－1)2－4m>0，解得m<14.当直线y ＝x ＋m 经过原点时，与函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x>0）x （x≤0）的图象有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0， ∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<14.三、解答题19. 【答案】解：①当m 2－1＝0且2m ＋2≠0，即m ＝1时，该函数是一次函数，其图象与x 轴只有一个公共点；②当m 2－1≠0，即m ≠±1时，该函数是二次函数，则 Δ＝[－(2m ＋2)]2－8(m 2－1)＝0， 解得m 1＝3，m 2＝－1(舍去)． 综上所述，m 的值是1或3.20. 【答案】解：(1)∵二次函数的图象与x 轴有两个公共点，∴Δ＝b 2－4ac ＝22＋4m ＞0，∴m ＞－1.(2)∵二次函数的图象过点A(3，0)， ∴0＝－9＋6＋m ，∴m ＝3，∴二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3. 令x ＝0，则y ＝3， ∴B(0，3)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∴⎩⎨⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3， ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋3.∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴为直线x ＝1，∴把x ＝1代入y ＝－x ＋3，得y ＝2， ∴P(1，2)．(3)根据函数图象可知：使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜0或x＞3.21. 【答案】解：(1)作直线y＝1，交抛物线于A，B两点，分别过A，B两点，作AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D，点C和点D的横坐标即为方程x2＋x＝1的根．根据图形可知方程x2＋x＝1的根为x1≈－1.6，x2≈0.6.(答案合理即可)(2)将x＝0代入y＝12x＋32，得y＝32，将x＝1代入y＝12x＋32，得y＝2，∴直线y＝12x＋32经过点(0，32)，(1，2)．一次函数y＝12x＋32的图象如图所示．由函数图象可知：当x＜－1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值．(3)平移方法不唯一，如先向上平移54个单位长度，再向左平移12个单位长度，平移后的顶点坐标为P(－1，1)．平移后二次函数图象的解析式为y＝(x＋1)2＋1，即y＝x2＋2x＋2.点P在函数y＝12x＋32的图象上．理由：∵把x＝－1代入y＝12x＋32，得y＝1，∴点P在函数y＝12x＋32的图象上．22. 【答案】解：(1)①将P(1，－4)代入y＝(x－h)2－4，得(1－h)2－4＝－4，解得h＝1，∴抛物线l的解析式为y＝(x－1)2－4，∴抛物线l的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－4)．②存在．将x＝0代入y＝(x－1)2－4，得y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)，∴OC＝3.∵S△ABD＝S△ABC，∴点D的纵坐标为3或－3.当y＝－3时，(x－1)2－4＝－3，解得x1＝2，x2＝0(舍去)，∴点D的坐标为(2，－3)．当y＝3时，(x－1)2－4＝3，解得x1＝1＋7，x2＝1－7，∴点D的坐标为(1＋7，3)或(1－7，3)．综上所述，在抛物线l上存在点D(与点C不重合)，使S△ABD＝S△ABC，点D的坐标为(2，－3)或(1＋7，3)或(1－7，3)．③如图(a)所示：∵∠EOF＝∠OED＝∠OFD＝90°，∴四边形OEDF为矩形，∴OD＝EF.依据垂线段的性质可知：当OD⊥BC时，OD有最小值，即EF有最小值．把y＝0代入抛物线的解析式，得(x－1)2－4＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)，∴OB＝OC.又∵OD⊥BC，∴CD＝BD.∴点D的坐标为(32，－32)．将y＝－32代入y＝(x－1)2－4，得(x－1)2－4＝－32，解得x1＝－102＋1，x2＝102＋1，∴点M的坐标为(－102＋1，－32)或(102＋1，－32)．(2)∵y＝(x－h)2－4，∴抛物线的顶点在直线y＝－4上．对于直线y＝35x－245，当3≤x0≤5时，－3≤y0≤－9 5，即抛物线l与直线y＝35x－245在G(3，－3)，H(5，－95)之间的一段有一个交点．当抛物线经过点G时，(3－h)2－4＝－3，解得h＝2或h＝4.当抛物线经过点H时，(5－h)2－4＝－95，解得h＝5＋555或h＝5－555.随h的逐渐增加，l的位置随之向右平移，如图(b)所示．由函数图象可知：当2≤h≤5－555或4≤h≤5＋555时，抛物线l与直线在3≤x0≤5段有一个交点．。
部编数学九年级上册22.2二次函数(基础篇)(人教版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题22.2 二次函数（基础篇）（专项练习）一、单选题知识点一、二次函数的判断1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．21y x =B ．211y x x=++C ．221y x =-D ．y =2．线段5AB =．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB 运动至点B ，以线段AP 为边作正方形APCD ，线段PB 长为半径作圆．设点的运动时间为t ，正方形APCD 周长为y ，B e 的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A ．正比例函数关系，一次函数关系B ．一次函数关系，正比例函数关系C ．正比例函数关系，二次函数关系D ．反比例函数关系，二次函数关系3．某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm ，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．反比例函数关系D ．二次函数关系4．下列实际问题中的y 与x 之间的函数表达式是二次函数的是（ ）A ．正方体集装箱的体积3m y ，棱长x mB ．小莉驾车以108km h 的速度从南京出发到上海，行驶x h ，距上海y kmC ．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y 斤，单价为x 元/斤D ．高为14m 的圆柱形储油罐的体积3m y ，底面圆半径x m知识点二、二次函数的参数5．若抛物线258(3)23mm y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（ ）A ．3B ．2-C ．2D ．2或36．已知|1|(1)2m y m x m -=++是y 关于x 的二次函数，则m 的值为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．07．设A(−2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y=−x 2-2x+2上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．1y >2y >3yB ． 1y >3y >2yC ． 3y >2y >1yD ． 3y >1y >2y 8．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8知识点三、二次函数的解析式9．某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y 元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系式是（ ）A ．y ＝30000（1+2x ）B ．y ＝30000+2xC ．y ＝30000（1+x 2）D ．y ＝30000（1+x ）210．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为()02x x <<的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为（ ）A ．22y x x=+B ．24y x =-C ．24y x =-D ．42y x=-11．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm 的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．216y x p p=-+B ．24y x p =-C ．2(2)y x p =-D ．2(4)y x =-+12．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，5AC =，10BC =．动点M ，N 分别从A ，C 两点同时出发，点M 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度移动，点N 从点C 开始沿CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t ，点M ，C 之间的距离为y ，MCN △的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A ．正比例函数关系，一次函数关系B ．正比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，正比例函数关系D ．一次函数关系，二次函数关系二、填空题知识点一、二次函数的判断13．给出下列函数：①y =②()21y x x x =-+；③21y x x=+；④()1y x x =-.其中是二次函数的有______，若把它写成2y ax bx c =++的形式，则=a ______，b =______，c =______.14．某校九(1)班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式_____________，它______(填“是”或“不是”)二次函数．15．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．16．把函数()()236y x x =--化成2y ax bx c =++的形式为________．知识点二、二次函数的参数17．已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为()0m ,，则代数式2332022m m -++的值为______．18．已知y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则m 的值为 _____．19．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数．20．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．知识点三、二次函数的解析式21．如图，在长方形ABCD 中，8cm AB =，6cm AD =，点M ，N 从A 点出发，点M沿线段AB 运动，点N 沿线段AD 运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设cm AM AN x ==，阴影部分的面积为2cm y ，则y 与x 之间的关系式为______．22．若正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 的关系式为________．23．某种正方形合金板材的成本y （元）与它的面积成正比，设边长为x 厘米．当x =3时，y =18，那么当成本为72元时，边长为_______厘米．24．在一幅长60cm,宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm 2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y 关于x 的函数是 ___________．三、解答题25．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．26．一个二次函数234(1)21k k y k x x -+=-+-．（1）求k 的值．（2）求当x =3时，y 的值？27．已知函数2(||1)(1)3y m x m x =-+++．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值（2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围．28．已知，如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝12cm ，点P 从点A 沿AB 以每秒2cm 的速度向点B 运动，点Q 从点C 以每秒1cm 的速度向点A 运动，设点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，运动时间为t （秒）（0＜t ＜6），回答下列问题：（1）直接写出线段AP 、AQ 的长（含t 的代数式表示）：AP ＝______，AQ ＝______；（2）设△APQ 的面积为S ，写出S 与t 的函数关系式；（3）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP C ¢，那么是否存在某一时间t ，使四边形PQP C ¢为菱形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．C【分析】根据二次函数的定义依次判断．解：A 、21y x =不是二次函数，不符合题意；B 、211y x x=++，不是二次函数，不符合题意；C 、221y x =-，是二次函数，符合题意；D 、y =故选：C ．【点拨】此题考查二次函数的定义：形如2(0)y ax bx c a =++¹的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点．2．C【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可．解：依题意：AP=t ，BP =5-t ,故y =4t ，S =（5-t ）2故选择：C【点拨】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．3．D【分析】设底面边长为x cm ，则正方体的高为(x +50)cm ，设总费用为y 元，则可表示出y 与x 的函数关系，根据关系式即可作出选择．解：设底面边长为x cm ，则正方体的高为(x +50)cm ，设总费用为y 元，由题意得：2216[24(50)]963200y x x x x x =++=+，这是关于一个二次函数．故选：D ．【点拨】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式．4．D【分析】根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．解：A.由题得：3y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意；B.由题得：108y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意；C.由题得：86y x=，不是二次函数，故此选项不符合题意；D.由题得：214y x p =，是二次函数，故此选项符合题意．故选：D ．【点拨】本题考查二次函数的定义，形如2(0)y ax bx c a =++¹的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．5．C【分析】根据二次函数的定义列方程计算即可；解：∵258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，∴2582m m -+=且30m -¹，∴12m =，23m =且3m ¹，∴2m =；故选C ．【点拨】本题主要考查了二次函数的定义、一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．6．B【分析】根据二次函数的未知数最高次数是2，最高次项系数不为零列式计算即可；解：∵|1|(1)2m y m x m -=++是y 关于x 的二次函数，∴1210m m ì-=í+¹î，解得：3m =；故选B ．【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．7．A【分析】把点的坐标分别代入可求得123y y y ，，的值，之后比较大小便可解：因为()12,A y -，()()2312,B y C y ，，是抛物线222y x x =--+上的三点；所以：()()212222y =---×-+=2；2212121y =--×+=-；2322226y =--×+=-所以123y y y >>故答案为A 选项【点拨】本题主要考查抛物线上点坐标之间的x 或y 对应的值的大小比较，把具体的x 或y 代入求值比大小即可8．B【分析】将A 点坐标代入抛物线解析式y =x 2-x -2即可求得a 的值解：将A 点坐标x =3代入抛物线解析式y =x 2-x -2，得：a =32-3-2=4．故选B ．【点拨】本题考查了给出函数解析式求点的坐标的方法，代入已知量即可求得未知量，理解二次函数的定义是解题关键．9．D【分析】2020年人均收入y = 2018年人均收入×(1+年人均收入平均增长率为x ) 2，把相关数值代入即可．解：设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x ，可列方程为:y ＝30000（1+x ）2故选： D ．【点拨】本题主要考查由实际问题抽象出二次函数的知识点，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×(1+平均增长率)2 =增长后的量．10．C【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y 与x 的函数关系式即可．解：设剩下部分的面积为y ，则：y =-x 2+4（0＜x ＜2），故选：C ．【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键．11．A【分析】先求出原来的圆的面积，再用x 表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积．解：圆的面积公式是2S r p =，原来的圆的面积=2416p p ×=，挖去的圆的面积=2x p ，∴圆环面积216y x p p =-．故选：A ．【点拨】本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意用x 表示各个量，然后列出函数关系式．12．D【分析】先根据题意求出AM t =，2CN t =，则5CM AC AM t =-=-，即5y t =-，再由直角三角形的面积公式即可得到25S t t =-+，再根据一次函数与二次函数的定义即可判断．解：由题意得：AM t =，2CN t =，∴5CM AC AM t =-=-，即5y t=-∵∠C =90°，∴()211=25522MCN S CM CN t t t t ×=×-=-+△，即25S t t =-+，∴y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是一次函数和二次函数关系，故选D ．【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键在于能够准确根据题意求出y 与t ，S 与t 满足的函数关系式．13． ④ 1- 1 0【分析】根据二次函数的概念：2(0)y ax bx c a =++¹逐一进行判断即可.①②③都不满足二次函数的形式，④是二次函数解：①不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；②()21y x x x x =-+=-，是一次函数，也不满足要求；③不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；④()21y x x x x =-=-+是二次函数所以二次函数只有④其中1,1,0a b c =-==故答案为 ④ 1- 1 0【点拨】本题主要考查二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键.14． y ＝12x 2－12 是解：设有x 人参加聚会，每个人需要和另外的（x －1）个人握手，所以共握手12x (x −1) 次，所以y ＝12x (x −1)＝12x 2－12，是二次函数．故答案为y ＝12x 2－12，是．【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是了解握手问题中两人之间相互握手一次．15．②④解：根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．解：①y=5x-5为一次函数；②y=3x 2-1为二次函数；③y=4x 3-3x 2自变量次数为3，不是二次函数；④y=2x 2-2x+1为二次函数；⑤y=21x 函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．16．232012y x x =-+【分析】把函数()()236y x x =--右边相乘展开合并成2y ax bx c =++形式即可.解：()()22236=12218+332012y x x x x x x x =----=-+，则232012y x x =-+.【点拨】本题是对二次函数基础的考查，熟练把二次函数其他形式化成一般式是解决本题的关键.17．2019【分析】先将点（m ，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．解：将（m ，0）代入函数解析式得，m 2-m -1=0，∴m 2-m =1，∴-3m 2+3m +2022=-3（m 2-m ）+2022=-3+2022=2019．故答案为：2019．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m ，0）代入函数解析式得到有关m 的代数式的值．18．-1【分析】若y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；解：由题意得：21012m m -¹ìí+=î，解得：m =-1，故答案为：-1．【点拨】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．19． 4，-2 4【分析】根据二次函数的定义可得当2280m m --¹时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当2280m m --=且20m +¹时，这个函数是一次函数．解：由函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数，得m 2﹣2m ﹣8≠0．解得m ≠4，m ≠﹣2，由y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是一次函数，得228020m m m ì--=í+¹î，解得m =4，故答案为：4，﹣2；4．【点拨】本题考查了二次函数的定义求参数，熟知相关定义是解本题的关键．20．3【分析】根据二次函数图象过原点，把()0,0代入解析式，求出m 的值，还需要考虑二次项系数不能为零．解：根据二次函数图象过原点，把()0,0代入解析式，得209m =-，整理得29m =，解得3m =±，∵30m +¹，∴3m ¹-，∴3m =．故答案为：3．【点拨】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．21．y =-212x +48【分析】先求出212AMN S x =V ，进而即可得到答案．解：由题意得：21122AMN S AM AN x =×=V ，∴阴影部分的面积=6×8-212x ，即：y =-212x +48．故答案是：y =-212x +48．【点拨】本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积．22．26y x =【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x 的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积．解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x 的正方形，∴表面积26y x =．故答案为：26y x =．【点拨】本题考查了列二次函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键．23．6【分析】设y 与x 之间的函数关系式为y=kx 2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论．解：设y 与x 之间的函数关系式为y=kx 2，由题意，得18=9k ，解得：k=2，∴y=2x 2，当y=72时，72=2x 2，∴x=6，故答案为：6．【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．24．y =(60+2x )(40+2x )解：整个挂图仍是矩形，长是：60＋2x ，宽是：40＋2x ，由矩形的面积公式得y ＝(60＋2x )(40＋2x )．故答案为y ＝(60＋2x )(40＋2x )．【点拨】本题考查了根据实际题意列函数解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意长和宽的求法．25．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可．解：2132y x =-+是y 关于x 的二次函数；231252y x x =-+不是二次函数；222y x =+是一次函数，不是二次函数；215s t t =++是s 关于t 的二次函数，故2132y x =-+和215s t t =++是二次函数．【点拨】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握其定义：一般地，形如2(y ax bx c a =++、b 、c 是常数，0)a ¹的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．2(y ax bx c a ==++、b 、c 是常数，0)a ¹也叫做二次函数的一般形式．26．（1）k =2；（2）14【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k 所满足的式子，求解即可；（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x =3求解即可．解：（1）依题意有234210k k k ì-+=í-¹î，解得：k =2，∴k 的值为2；（2）把k =2代入函数解析式中得：221y x x =+-，当x =3时，y =14，∴y 的值为14．【点拨】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键．27．（1）1m =；（2）1m ¹±【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题；解：（1）由题意得，1010m m ì-=í+¹î解得1m =；（2）由题意得，||10m -¹，解得1m ¹且1m ¹-．【点拨】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．28．（1）2t ，6t -；（2）2S =+；（3）存在，t ＝4时，四边形PQP C ¢是菱形．【分析】（1）根据∠A ＝60°，AB ＝12cm ，得出AC 的长，进而得出AP ＝2t ，6AQ t =-．（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ．由AP ＝2t ，AH ＝t ，得出PH ，从而求得S 与t 的函数关系式；（3）过点P 作PM ⊥AC 于M ，根据菱形的性质得PQ ＝PC ，则可得出,CM MQ AQ ==求得t 即可．解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝12cm ，∴AC ＝6，∴由题意知：AP ＝2t ，6,AQ t =-故答案为：2,6.t t -（2）如图①过点P 作PH ⊥AC 于H ．∵∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝12cm ，∴∠B ＝30°，∴∠HPA ＝30°，∵AP ＝2t ，AH ＝t ，∴,PH ===∴()2116,22S AQ PH t ==-=+g g （3）当t ＝4时，四边形PQP′C 是菱形，理由如下：证明：如图②过点P 作PM ⊥AC 于M ，∵CQ ＝t ，由（2）可知，AM ＝12AP ＝t ，∴QC ＝AM ，,CM AQ \=Q 由对折可得：,,PC P C PQ P Q ¢¢==\ 当PC ＝PQ 时，四边形PQP C ¢是菱形，,CM MQ \=\ CM ＝MQ ＝AQ ＝13AC ＝2，4,CQ \=4.t \= 当t ＝4时，四边形PQP C ¢是菱形．【点拨】本题考查的是含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，列二次函数关系式，菱形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．。
22.2《二次函数与一元二次方程》练习题(含答案)
22.2 二次函数与一元二次方程01 基础题知识点1 二次函数与一元二次方程1．(柳州中考)小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是(D )A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x ＝－1或x ＝42．(青岛中考)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是m ＞9． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围为m ≤3．4．(1)已知一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2.求二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标；(2)若二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点，求a 的值．解：(1)∵一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2， ∴二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点， 令y ＝0，则－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根， ∴1＋4a ＝0，解得a ＝－14.知识点2利用二次函数求一元二次方程的近似解5．(兰州中考)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(C)A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3知识点3二次函数与不等式6．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是(C)A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜2D．x＜－1或x＞27．画出二次函数y＝x2－2x的图象．利用图象回答：(1)方程x2－2x＝0的解是什么？(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.解：列表：描点并连线：(1)方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2.(2)当x<0或x>2时，函数值大于0.(3)当0<x<2时，函数值小于0.易错点1漏掉函数是一次函数的情况8．(吕梁市文水县期中)若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为－1或2或1.易错点2忽视坐标轴包含x轴和y轴9．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是(C)A．0 B．1C．2 D．310．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y＝x2＋6x＋9或y＝x2＋9．02中档题11．(牡丹江中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(C)A．x＜2 B．x＞－3C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞112．(大同市期中)二次函数y＝(x－2)2＋m的图象如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B(4，3)，则满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围是(A) A．1≤x≤4 B．x≤1C．x≥4 D．x≤1或x≥413．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x 的取值范围是(B )A ．0＜x ＜12B ．0＜x ＜1 C.12＜x ＜1 D ．－1＜x ＜214．(济南中考)二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是(C )A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜815．(阳泉市平定县月考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．(杭州中考)把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t (秒)时该足球距离地面的高度h (米)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为10米时，求t ；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (米)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15， ∴此时足球距离地面的高度为15米． (2)当h ＝10时，20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－ 2.答：经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10米． (3)由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m (m ≥0)的两个不相等的实数根，则 Δ＝202－20m >0.解得m <20. ∴m 的取值范围是0≤m <20. 03 综合题17．有这样一个问题：探究函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)下表是y 与x 的几组对应值．函数y ＝12x 2＋1x 的自变量x 的取值范围是x ≠0，m 的值为296；(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；(3)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有1个交点，所以对应方程12x 2＋1x ＝0有1个实数根；②方程12x 2＋1x＝2有3个实数根；③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．解：(2)函数图象如图所示．(3)③答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限．。
22.2二次函数与一元二次方程课后练「含答案」
1．下列函数的图象与x 只有一个交点的是（ ）A ．223y x x =+-B ．223y x x =++C ．223y x x =-+D ．221y x x =-+2．如图，二次函数2y ax bx c =++的部分图象与x 轴的一个交点的横坐标是3-，顶点坐标为()1,4-，则下列说法正确的是（ ）A ．二次函数图象的对称轴是直线1x =B ．二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是2C ．当1x <-时，y 随x 的增大而减小D ．二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是33．如图，二次函数232y ax bx =++的图象与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ，若直线BC 的解析式为y mx n =+，则2mx ax bx ³+的解集为（ ）A ．0x <或3x ³B ．0x £或3x >C ．03x <<D ．0x £或3x ³4．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论：①20a b +=；②0a b c ++>；③方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④不等式20ax bx c ++<的解集是03x <<．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①②③④5．已知二次函数()20y ax bx c a =++¹的部分图象如图所示，图象经过点()0,2，其对称轴为直线=1x -．下列结论中正确的有（ ）个．①30a c +>②若点()14,y -，()23,y 均在二次函数图象上，则12y y <③关于x 的一元二次方程21ax bx c ++=-有两个相等的实数根④满足22ax bx c ++>的x 的取值范围为20x <<﹣A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是()1,m ，若关于x 的一元二次方程240ax bx c ++-=无实数根，则m 的取值范围是 ．7．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．8．如图，拋物线()240y ax ax c a =-+<与x 轴的一个交点的坐标为()2,0-，则关于x 的方程240ax ax c -+=的解为 ，9．如图，已知抛物线242y x x =-+-和线段MN ，点M 和点N 的坐标分别为()()0,4,5,4，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后与线段MN 仅有一个交点，则k 的取值范围是 ．10．如图，是抛物线21(0)y ax bx c a =++¹图象的一部分，抛物线的顶点坐标是()1,3A ，与x 轴的一个交点()4,0B ，直线2(0)y mx n m =+¹与抛物线交于A ，B 两点 ．①20a b +=；②抛物线与x 轴的另一个交点是()2,0-③方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根；④当时14x <<，有21y y <；⑤若221122ax bx ax bx +=+，且12x x ¹；则121x x =+．11．如图，抛物线213442y x x =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，(1)求A ，B ，C 的坐标；(2)直线4:43l y x =-+上有一点(),4D m -，在图中画出直线l 和点D ，并判断四边形ACBD 的形状，说明理由．12．已知抛物线245(0)y ax ax a a =-->与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧）．(1)求抛物线的对称轴及点,A B 的坐标；(2)当36x ££时，y 有最大值为14，求抛物线的解析式；(3)已知点()()1,1,6,56E F a -+，若抛物线245(0)y ax ax a a =-->与线段EF 只有一个公共点，求a 的取值范围．【分析】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ¹）的交点与一元二次方程20ax bx c ++=根之间的关系，根据各个选项中的函数解析式可以计算出D 的值，然后即可判断与x 轴的交点情况．【详解】选项A 中()2242413160b ac -=-´´-=>，与x 轴有2个交点；选项B 中224241380b ac -=-´´=-<，与x 轴没有交点；选项C 中()224241380b ac -=--´´=-<，与x 轴没有交点；选项D 中()22424110b ac -=--´´=，所以选项D 的函数图象与x 轴只有一个交点，故选：D ．2．D【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A 、B 、C ，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y 轴的交点坐标即可判定选项D ．【详解】解∶ ∵二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为()1,4-，∴二次函数图象的对称轴是直线=1x -，故选项A 错误；∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的一个交点的横坐标是3-，对称轴是直线=1x -，∴二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B 错误；∵抛物线开口向下， 对称轴是直线=1x -，∴当1x <-时，y 随x 的增大而增大，故选项C 错误；设二次函数解析式为()214y a x =++，把()3,0-代入，得()20314a =-++，解得1a =-，∴()214y x =-++，当0x =时，()20143y =-++=，∴二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是3，故选项D 正确，故选D ．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数图象与性质，待定系数法求一次函数参数，熟练掌握函数图象与不等式的关系是解题的关键．先由二次函数可求得C 点坐标，代入y mx n =+即可得到32n =，然后由2mx ax bx ³+变形为23322mx ax bx +³++，观察图象即可得到答案．【详解】解：Q 232y ax bx =++与y 轴交于点C ，即0x =时，32y =，30,2C æö\ç÷èø又Q 点C 在直线BC ：y mx n =+上，将30,2C æöç÷èø代入y mx n =+，得32n =\直线BC 的解析式为32y mx =+观察图象可知，当0x <时，直线BC 在抛物线的上面，当03x <<时，直线BC 在抛物线的下面，当3x >时，直线BC 在抛物线的上面，2mx ax bx \³+，即23322mx ax bx +³++观察图象可知，该不等式的解集为：0x £或3x ³．故选：D ．4．A【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线与x 轴的交点坐标求出对称轴，即可判断①；当1x =时，0y <，即可判断②；由抛物线与x 轴有两个不同的交点即可判断③；由图象可知，当13x -<<时，0y <，即可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：由图象可得，抛物线与x 轴的交点坐标为()1,0-和()3,0，∴抛物线的对称轴为直线1312x -+==，即12b a-=，∴20a b +=，故①正确；由图象可得，当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故②错误；∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故③正确；由图象可知，当13x -<<时，0y <，∴不等式20ax bx c ++<的解集是13x -<<，故④错误；∴正确的结论为①③，故选：A ．5．A【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．依据题意，由图象可得抛物线的对称轴是直线12b x a =-=-，与y 轴的交点为()0,2，当1x =时，0y <，然后逐个选项判断即可得解．【详解】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线12b x a=-=-，∴2b a =．又由图象，可得当1x =时，0y a b c =++<，∴30a c +<，故①错误．∵抛物线的对称轴是直线=1x -，∴点()14,y -到对称轴的距离小于点()23,y 到对称轴的距离，∵抛物线开口向下，∴12y y >，故②错误．由题意，令1y =-，∴抛物线2y ax bx c =++与直线1y =-有两个不同的交点．∴关于x 的一元二次方程21ax bx c ++=-有两个不相等的实数根，故③错误．∵当0x =时，y ＝2，又∵抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，∴当2x =-时，2y =．又抛物线开口向下，∴满足22ax bx c ++>的x 的取值范围为20x -<<，故④正确．故选：A ．6．4m <【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题．解题的关键将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此列式解答即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240ax bx c ++-=无实数根，∴抛物线2y ax bx c =++与4y =没有交点，∵抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是()1,m ，∴4m <．故答案为：4m <．7．2k >-##2k-<【分析】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，以及数形结合法；根据顶点坐标为()12-，，求出248b ac a -=．根据题意可得()()224448442>0b a c k b ac ak a ak a k --=-+=+=+求值即可．【详解】解：由图象可知：二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为()12-，，∴2424ac b a-=-，即248b ac a -=，∵2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，∴()()224448442>0b ac k b ac ak a ak a k --=-+=+=+∵抛物线开口向上∴0a >∴20k +>∴2k >-．故答案为2k >-．8．122,6x x =-=【分析】由拋物线()240y ax ax c a =-+<，可求出对称轴为2,2b x a=-=根据抛物线与x 轴的一个交点的坐标为()2,0-，可求出另外一个交点()6,0,即可得到关于x 的方程240ax ax c -+=的解，【详解】解：∵拋物线()240y ax ax c a =-+<，∴对称轴为：2,2b x a=-=∵与x 轴的一个交点的坐标为()2,0-∴与x 轴的一个交点的坐标为()6,0,∴关于x 的方程240ax ax c -+=的解为：122, 6.x x =-=故答案为：122, 6.x x =-=【点睛】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，求出二次函数的对称轴是解此题的关键．9．611k <£或2k =【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后抛物线为()224222y x x x k =-+-=--++，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段MN 上，当抛物线经过点()5,4N 时，求出对应k 的值，结合图形即可求解．【详解】()224222y x x x =-+-=--+，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后抛物线为()222y x k =--++，当抛物线顶点恰好平移到线段MN 上，此时，24k +=，可得2k =；当抛物线经过点()0,4M 时，此时()20224k --++=，可得6k =，此时()0,4M 关于对称轴2x =对称的点()4,4M ¢，在线段MN 上，不符合题意；当抛物线经过点()5,4N 时，此时()25224k --++=，可得11k =，此时()5,4N 关于对称轴2x =对称的点()1,4N ¢-，不在线段MN 上，符合题意；结合图形可知，平移后的抛物线与线段MN 仅有一个交点时，2k =或611k <£；故答案为：2k =或611k <£．10．①②③④【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，根据二次函数与方程，不等式的关系及函数的图象和性质求解．【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，\12b a-=，20a b \+=，故①正确；由抛物线的对称性得：()1412--=-，抛物线与x 轴的另一个交点是 ()2,0-，故②正确；Q 抛物线的顶点坐标是()1,3A ，\抛物线与直线3y =只有一个交点方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根；故③正确；由图象得：当时14x <<，有21y y <；故④正确；Q 221122ax bx ax bx +=+，且12x x ¹；\1212x x +=\122x x +=，故⑤错误，故答案为：①②③④．11．(1)()2,0A -，()8,0B ，()0,4C ；(2)图见详解，四边形ACBD 是平行四边形．【分析】()1分别将0x =和0y =代入213442y x x =-++即可求解；()2求出D 点坐标后画出图形，再分别计算AC 、BC 、BD 、AD 的长度，根据平行四边形的判定定理即可得解．本题考查的知识点是抛物线与x 轴和y 轴的交点、勾股定理、平行四边形的判定定理，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定．【详解】（1）解：当0y =时，2134042x x -++=，解得8x =或 2x =-,()2,0A \-，()8,0B ，当0x =时，4y =，()0,4C \．（2）解：由213444423x x x -++=-+可得0x =，\抛物线与直线的交点为()0,4C ，Q 点D 在直线l 上，4443m \-+=-，解得6m =，即()6,4D -，如图所示：AC \==BC ==，BD ==，AD ==AC BD \=，BC AD =，\四边形ACBD 是平行四边形．12．(1)2x =，(1,0)(50)A B -，，(2)抛物线的解析式为22810y x x =--(3)a 的取值范围是3a ³【分析】（1）根据2b x a=-求得抛物线的对称轴为2x =，令2450ax ax a --=即可解得,A B 的坐标；（2）根据抛物线对称轴为2x =可得当36x ££时，y 随x 的增大而增大，可得当6x =时，y 取得最大值14，代入抛物线解析式可得2a =，从而可得22810y x x =--；（3）由（1）可知抛物线与x 轴交于点(1,0)(50)A B -，，，可得点(11)E -，在抛物线内侧，根据线段EF 与抛物线只有一个公共交点，可知点F 在抛物线上或者在抛物线下方，将6x =代入245y ax ax a =--可得362457y a a a a =--=，当点F 的纵坐标小于等于7a 时可满足EF 与抛物线只有一个公共交点，即567a a +£，解得3a ³．【详解】（1）解：Q 422a x a-=-=\对称轴为直线2x =令2450ax ax a --=即()2450a x x --=Q 0a >\11x =-，25x =\(1,0)(5,0)A B -，（2）解：Q 抛物线245y ax ax a =--（0a >）的开口向上，对称轴为直线2x =，当36x ££时，y 随x 的增大而增大\当6x =时，y 取得最大值14\把6x =，14y =代入245y ax ax a =--，得3624514a a a --=\2a =\抛物线的解析式为：22810y x x =--（3）解：由（1）可知抛物线与x 轴交于点(1,0)(50)A B -，，故点(11)E -，在抛物线内侧Q 线段EF 与抛物线只有一个交点\点F 在抛物线上或者在抛物线下方将6x =代入245y ax ax a =--，得：362457y a a a a=--=\当点F 的纵坐标小于等于7a 时，EF 与抛物线只有一个交点，即567a a+£解得：3a ³\a 的取值范围是3a ³【点睛】本题考查求二次函数的对称轴，与x 轴的交点坐标，抛物线上的点的坐标，以及根据图形求所含参数的取值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和数形结合思想的运用．。
二次函数最新综合题练习50道(含详细解析)
二次函数最新综合题练习50道一．解答题（共50小题）1．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B（3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S．（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）若n=0，求S的最大值，并求此时t的值；（3）若t=2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．2．抛物线y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，当t=0时，连接AC、BC，求△ABC的面积；（2）如图2，在（1）的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB+∠CAB=135°，求P点坐标；（3）如图3，当﹣1＜t＜3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点（不与A、C 重合），直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得CE=2CD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B与点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为D，交线段AB于点E．设点P的横坐标为m．①求△PAB的面积y关于m的函数关系式，当m为何值时，y有最大值，最大值是多少？②若点E是垂线段PD的三等分点，求点P的坐标．4．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为；（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．6．如图①，直线y=kx+2与坐标轴交于A、B两点，OA=4，点C是x轴正半轴上的点，且OC=OB，过点C作AB的垂线，交y轴于点D，抛物线y=ax2+bx+c 过A、B、C三点．（1）求抛物线函数关系式；（2）如图②，点P是射线BA上一动点（不与点B重合），连接OP，过点O作OP的垂线交直线CD于点Q．求证：OP=OQ；（3）如图③，在（2）的条件下，分别过P、Q两点作x轴的垂线，分别交x轴于点E、F，交抛物线于点M、N，是否存在点P的位置，使以P、Q、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线L1：y=x2﹣x﹣，L1交x轴于A，B（点A在点B左边），交y轴于C，其顶点为D，P是L1上一个动点，过P沿y轴正方向作线段PQ ∥y轴，使PQ=t，当P点在L1上运动时，Q随之运动形成的图形记为L2．（1）若t=3，求点P运动到D点时点Q的坐标，并直接写出图形L2的函数解析式；（2）过B作直线l∥y轴，若直线l和y轴及L1，L2所围成的图形面积为12，求t的值．8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴为x=，图象交x轴于A，B，交y轴于C（0，﹣3），且AB=5，直线y=kx+b（k＞0）与二次函数图象交于M，N（M 在N的右边），交y轴于P．（1）求二次函数图象的解析式；（2）若b=﹣5，且△CMN的面积为3，求k的值；（3）若b=﹣3k，直线AN交y轴于Q，求的值或取值范围．9．如图，函数y=2x的图象与函数y=ax2﹣3（a≠0）的图象相交于点P（3，k），Q两点．（1）a=，k=；（2）当x在什么范围内取值时，2x＞ax2﹣3；（3）解关于x的不等式：|ax2﹣3|＞1．10．如图，平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的部分图象与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，连接BC，D为顶点（1）求∠OBC的度数；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使△ABQ的面积等于5？如存在，求Q点的坐标，如不存在，说明理由；（3）点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合），过点P作PF⊥x 轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．11．如图，已知抛物线过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），连接AC，点M 是抛物线AC段上的一点，且CM∥x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）求∠CAM的正切值；（3）点Q在抛物线上，且∠BAQ=∠CAM，求点Q的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴交于另一点A．设P（x，y）是在第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线k⊥x轴于点M，交直线BC 于点N．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）连接PC、ON，若以P、C、O、N四点能围成平行四边形时，求此时点P坐标；（3）是否存在以P、C、N为顶点的三角形与△BNM相似？若存在，求出点N 坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，﹣3），且与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB下方抛物线上找一点D，求出使得△ABD面积最大时点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标；（3）当t≤x≤t+1时，求y=ax2+bx+c的最大值．15．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点间的距离之和最小．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCQ的面积最大时求Q点的坐标；（4）如果在x轴上方平行于x轴的一条直线交抛物线于M，N两点，以MN为直径作圆恰好与x轴相切，求此圆的直径．16．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴交于点A，B，点B的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P（0，t）（t＜﹣1）是y轴上一点，Q（5，0），将点Q绕着点P逆时针方向旋转90°得到点E．①用含t的式子表示点E的坐标；②当点E恰好在该抛物线上时，求t的值．17．如图，抛物线y=ax2﹣3ax﹣10a交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴正半轴于C点，连AC，tan∠CAB=，（1）求抛物线解析式；（2）点P是第三象限内抛物线上一点，过C作x轴平行线交抛物线于D，连DP、BP，分别交y轴于E、F，设P点横坐标为p，线段EF长为m，求出m与自变量p之间的函数关系式；（3）在（2）条件下，当tan∠DPB=时，求P点坐标．18．如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x2﹣bx+c（b＞0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C；（1）求c与b的函数关系式；（2）点D为抛物线顶点，作抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BC交DE于F，若AE=DF，求此二次函数解析式；（3）在（2）的条件下，点P为第四象限抛物线上一点，过P作DE的垂线交抛物线于点M，交DE于H，点Q为第三象限抛物线上一点，作QN⊥ED于N，连接MN，且∠QMN+∠QMP=180°，当QN：DH=15：16时，连接PC，求tan ∠PCF的值．19．如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点C坐标为（0．﹣6），连接BC，点C关于x轴的对称点D，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l 交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求二次函数解析式；（2）点P在x轴上运动，若﹣6≤m≤2时，求线段MQ长度的最大值．（3）点P在x轴上运动时，N为平面内一点，使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形？如果存在，请直接写出点N坐标；不存在，说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）当a=﹣1时，求A，B两点的坐标；（2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．①当a=2时，求PB+PC的值；②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．21．在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2﹣2amx+am2﹣m+1（a＜0）的顶点为点P．（1）写出顶点坐标（含有m的式子表示）；（2）抛物线与x轴分别交于点（x1，0）、（x20），若x1•x2＜0，且知m=﹣1，则求a的取值范围；（3）已知点P在直线y2=kx+b上运动，y1与y2交于另一点A，过点A作x轴平行线交抛物线于另一点B：①求直线y2解析式；=1，且m≤x≤时，y1≥x﹣3恒成立，求m的最小值．②当S△PAB22．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，C在x 轴的正半轴上，已知A（0，8）、C（10，0），作∠AOC的平分线交AB于点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交OA于点E．（1）求点D的坐标；（2）求证：△ADE≌△BCD；（3）抛物线y=x2﹣x+8经过点A、C，连接AC．探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+4x+4a（0＜a＜2）．（1）当C1与x轴只有一个公共点时，求此时C1的解析式：（2）如图①，若A（1，y A），B（0，y B），C（﹣1，y C）三点均在C1上，连接BC，作AE∥BC交抛物线C1于E，求点E到y轴的距离；（3）若a=1，将抛物线C1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线C2，如图②，抛物线C2与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧），抛物线C2的对称轴交x轴于点F，过点F的直线l与抛物线C2相交于点P，Q（点P在第四象限），且S△FMQ﹣S△FNP=，求直线l的解析式．24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点G，如图，当点G运动到某位置时，以AG，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点G的坐标；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．25．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M 点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．26．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ACM的周长最小？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．（3）设抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时．满足S =8，并求出此时P点的坐标．△PAB27．已知抛物线y=﹣x2+2kx﹣k2+k+3（k为常数）的顶点纵坐标为4．（1）求k的值；（2）设抛物线与直线y=﹣（x﹣3）（m≠0）两交点的横坐标为x1，x2，n=x1+x2﹣2，若A（1，a），B（b，）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，求直线AB的解析式；（3）将（2）中的直线AB绕点（3，0）顺时针旋转45°，与抛物线x轴上方的部分相交于点C，请直接写出点C的坐标．28．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A，C两点，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使△PAC的面积最大，请直接写出P点坐标及△PAC面积的最大值；（3）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，抛物线y=ax2+2x﹣3a经过A（1，0）、B（b，0）、C（0，c）三点．（1）求b，c的值；（2）在抛物对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．30．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5的顶点为A．（1）求点A的坐标；（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段OˊAˊ．①直接写出点Oˊ和Aˊ的坐标；②若抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOOˊAˊ有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．31．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（t，0）（t＞0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC的距离为，求点D 的坐标；（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣1），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．32．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．33．已知抛物线y=ax2+bx+2过点A（5，0）和点B（﹣3，﹣4），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式及直线BC与x轴的交点D的坐标；（3）点E是点B关于y轴的对称点，连接AE、BE，点P是折线EB﹣BC上的一个动点，①当点P在线段BC上时，连接EP，若EP⊥BC，请直接写出线段BP与线段AE的关系；②过点P作x轴的垂线与过点C作的y轴的垂线交于点M，当点M不与点C重合时，点M关于直线PC的对称点为点M′，如果点M′恰好在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．34．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，点E（a，b）是对称轴右侧抛物线上一点，过点E垂直于y轴的直线与AC交于点D（m，n）．点P是x轴上的一点，点Q是该抛物线对称轴上的一点，当a+m最大时，求点E的坐标，并直接写出EQ+PQ+PB的最小值；（3）如图3，在（2）的条件下，连结OD，将△AOD沿x轴翻折得到△AOM，再将△AOM沿射线CB的方向以每秒3个单位的速度沿平移，记平移后的△AOM为△A′O'M'，同时抛物线以每秒1个单位的速度沿x轴正方向平移，点B 的对应点为B'．△A'B'M'能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点M'的坐标；若不能，请说明理由．35．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示，请回答：（1）线段BC的长为cm．（2）当运动时间t=2.5秒时，P、Q之间的距离是cm．36．如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与轴交于C点．（1）A点的坐标是；B点坐标是；（2）直线BC的解析式是：；（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．37．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）若△MCB为直角三角形，请求出点M的坐标；（3）在抛物线上找出点P，使得以M、C、B、P为顶点的四边形为平行四边形，并直接写出点P的坐标．38．如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上一点D，满足S=S△OAC，求点D的坐标；△DAC（3）如图2，已知N（0，1），将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿x轴向上翻折，得到图T（虚线部分），点M为图象T的顶点．现将图象保持其顶点在直线MN上平移，得到的图象T1与线段BC至少有一个交点，求图象T1的顶点横坐标的取值范围．39．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，抛物线顶点为H（1，2）．（1）求抛物线的解析式；=3，（2）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD．当S△PAD 若在x轴上存在一动点Q，使PQ+QB最小，求此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值；（3）若点E为抛物线上的动点，点G，F为平面内的点，以BE为边构造以B，E，F，G为顶点的正方形，当顶点F或者G恰好落在y轴上时，求点E的横坐标．40．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），且CO=3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）P点为对称轴右侧第四象限抛物线上的点连接BC、PC、PB，设P的横坐标为t，△PBC的面积为S求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，线段BP绕B顺时针旋转90°，得到对应线段BN，点P 的对应点为点N，在对称轴左侧的抛物线上取一点Q，射线BQ与射线PC交于点H，若点N在y轴上，且HQ=PQ，求点Q的坐标．41．抛物线y=x2+mx+n过点（﹣1，8）和点（4，3）且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，AD交抛物线于D，交直线BC于点G，且AG=GD，求点D的坐标；（3）如图2，过点M（3，2）的直线交抛物线于P，Q，AP交y轴于点E，AQ 交y轴于点F，求OE•OF的值．42．如图，二次函数y=x2﹣m2（m＞0且为常数）的图象与x轴交于点A、B（A 在B左侧），与y轴交于C．（1）求A，B，C三点的坐标（用含m的式子表示）；（2）若∠ACB=90°，求m的值．43．阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x，点A （1，t）在抛物线y=x2﹣4x+5上，求点A到直线l的距离d．如图1，他过点A作AB⊥l于点B，AD∥y轴分别交x轴于点C，交直线l于点D．他发现OC=CD，∠ADB=45°，可求出AD的长，再利用Rt△ABD求出AB的长，即为点A到直线l的距离d．请回答：（1）图1中，AD=，点A到直线l的距离d=．参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，点M是抛物线y=x2﹣4x+5上的一动点，设点M到直线l的距离为d．（2）如图2，①l：y=﹣x，d=，则点M的坐标为；②l：y=﹣x，在点M运动的过程中，求d的最小值；（3）如图3，l：y=2x﹣7，在点M运动的过程中，d的最小值是．44．如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．（1）求顶点A的坐标（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．45．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．46．如图①，作法平面直角坐标系中，二次函数y=ax2﹣6ax的图象经过点D（2，1）．（1）求该函数表达式及顶点坐标；（2）将该二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个如图②所示的新图象，请补全新图象对应的函数表达式：y=，（x＜0或），y=，（0≤x≤6）（3）已知点E的坐标为（4，1），P是图②图象上一点，其横坐标为m，连接PD、PE，当△PDE的面积为1时，直接写出m的值．47．已知函数y=a n x2+b n x（a n＜0，b n＞0，n为正整数）的图象的顶点为B n，与x 轴的一个交点为A n，点O为坐标原点．（1）当n=1时，函数y=a1x2+b1x的图象的对称轴与函数y=﹣x2的图象交于点C1，且四边形OB1A1C1为正方形，求a1、b1的值．（2）当n=2时，函数y=a2x2+b2x的图象的对称轴与函数y=a1x2+b1x的图象交于点C2，且四边形OB2A2C2为正方形，求a2、b2的值．（3）以此类推，可得a3=﹣，b3=2，一般地，若函数y=a n x2+b n x的对称轴与函x2+b n﹣1x的图象交于点C n，且四边形OB n A n C n为正方形，求a n、b n的值．数a n﹣148．已知抛物线C1：y=ax2过点（2，2）（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图，△ABC的三个顶点都在抛物线C1上，且边AC所在的直线解析式为y=x+b，若AC边上的中线BD平行于y轴，求的值；（3）如图，点P的坐标为（0，2），点Q为抛物线上C1上一动点，以PQ为直径作⊙M，直线y=t与⊙M相交于H、K两点是否存在实数t，使得HK的长度为定值？若存在，求出HK的长度；若不存在，请说明理由．49．如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点是（1，4），且图象过点A（3，0），与y轴交于点B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）在直线AB上方的抛物线上是否存在一点C，使得S=．如果存在，请△ABC求出C点的坐标；如果不存在，请说明理由．50．已知直线l：y=﹣2，抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）（1）求a的值；（2）如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求证：PO=PQ；（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题1．如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON；2．如图③，点D（1，1），使探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．二次函数最新综合题练习50道参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B（3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S．（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）若n=0，求S的最大值，并求此时t的值；（3）若t=2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）当n=0时，点D的坐标为（0，3），点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F 的坐标为（4，﹣5）．设直线DF的函数表达式为y=kx+a（k≠0），将D（0，3），F（4，﹣5）代入y=kx+a，得：，解得：，∴直线DF的函数表达式为y=﹣2x+3．过点E作EQ∥y轴，交直线DF于点Q，如图1所示．∵点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点Q的坐标为（t，﹣2t+3），∴EQ=﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+3）=﹣t2+4t，∴S=EQ•（x F﹣x D）=﹣2t2+8t=﹣2（t﹣2）2+8．∵﹣2＜0，∴当t=2时，S取最大值，最大值为8．（3）当n取不同数值时，S的值不变．过点DM∥y轴，过点F作FM∥x轴，交直线DM于点M，过点E作EN⊥FM于点N，交直线DF于点G，如图2所示．当t=2时，点D的坐标为（n，﹣n2+2n+3），点E的坐标为（n+2，﹣n2﹣2n+3），点F的坐标为（n+4，﹣n2﹣6n﹣5），∴点M的坐标为（n，﹣n2﹣6n﹣5），点N的坐标为（n+2，﹣n2﹣6n﹣5），∴DM=8n+8，EN=4n+8，MN=2，NF=2，∴S=S梯形DMNE +S△ENF﹣S△DMF，=MN•（DM+EN）+NF•EN﹣DM•MF，=12n+16+4n+8﹣16n﹣16，=8．∴当n取不同数值时，S的值永远为8．2．抛物线y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，当t=0时，连接AC、BC，求△ABC的面积；（2）如图2，在（1）的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB+∠CAB=135°，求P点坐标；（3）如图3，当﹣1＜t＜3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点（不与A、C 重合），直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得CE=2CD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将t=0代入抛物线解析式得：y=x2﹣2x﹣3．当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）；当y=0时，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=3，x2=﹣1，∴点B的坐标为（3，0），点A的坐标为（﹣1，0）．=AB•OC=×[3﹣（﹣1）]×3=6．∴S△ABC（2）由（1）知：B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠ABC=45°，∴∠ACB+∠CAB=135°．又∵∠PCB+∠CAB=135°，∴∠ACB=∠PCB．在图2中，过B作BM∥y轴，交CP延长线于M．∴∠ABC=∠MBC．在△ABC和△MBC中，，∴△ABC≌△MBC（ASA），∴AB=MB=4，∴点M的坐标为（3，﹣4），∴直线CM解析式为：y=﹣x﹣3（利用待定系数法可求出该解析式）．联立直线CM及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：（舍去），，∴点P的坐标为（，﹣）．（3）当y=0时，有x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3=0，即[x+（t﹣3）]•[x+（t+1）]=0，解得：x1=﹣t+3，x2=﹣t﹣1，∴点A的坐标为（﹣t﹣1，0），点B的坐标为（﹣t+3，0）．当x=0时，y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3=t2﹣2t﹣3，∴点C的坐标为（0，t2﹣2t﹣3）．设直线AQ的解析式为：y=k1x+b1，直线BQ的解析式为：y=k1x+b2．∴点D的坐标为（0，b1），点E的坐标为（0，b2），∴CD=（t2﹣2t﹣3）﹣b1，CE=b2﹣（t2﹣2t﹣3）．∵y=k1x+b1，y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3，∴x2+（2t﹣2﹣k1）x+t2﹣2t﹣3﹣b1=0，∴x A•x Q=t2﹣2t﹣3﹣b1①．同理：x B•x Q=t2﹣2t﹣3﹣b2②．由②÷①，得：==﹣，∴=﹣=2，∴=﹣2，∴t=．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B与点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为D，交线段AB于点E．设点P的横坐标为m．①求△PAB的面积y关于m的函数关系式，当m为何值时，y有最大值，最大值是多少？②若点E是垂线段PD的三等分点，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，∴A（3，0），B（0，3），把A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）①∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+2m+3），∵PD⊥x轴，∴E（m，﹣m+3），∴PE=﹣m2+2m+3+m﹣3=﹣m2+3m，∴y=（﹣m2+3m）•m+（﹣m2+3m）（3﹣m），∴y关于m的函数关系式为：y=﹣3m2+6m，∵y=﹣3m2+6m=﹣3（m﹣1）2+3，∴当m=1时，y有最大值，最大值是3；②当PE=2ED时，即﹣m2+3m=2（﹣m+3），解得：m=2或m=3（不会题意舍去），当2PE=ED时，即﹣2m2+6m=﹣m+3，整理得，2m2﹣7m+3=0，此方程无实数根，∴P（2，3）．4．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）；（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．∵AB∥x轴，且AB=4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．∵∠ABC=135°，∴设BD=t，则CD=t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t=0，解得：t1=0（舍去），t2=﹣，=AB•CD=﹣．∴S△ABC（3）∵△ABC的面积为2，∴﹣=2，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣14m+39=0，解得：m1=7﹣（舍去），m2=7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，解得：m=；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣20m+60=0，解得：m3=10﹣2（舍去），m4=10+2．综上所述：m的值为或10+2．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9=5，∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，∵AC=4，=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，∴S四边形APCD∴当x=﹣=时，∴即：点P（，）时，S=，四边形APCD最大（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y=5x+5，∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），∵AE2=OA2+OE2=26∵MN=AE∴MN2=AE2，∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．6．如图①，直线y=kx+2与坐标轴交于A、B两点，OA=4，点C是x轴正半轴上的点，且OC=OB，过点C作AB的垂线，交y轴于点D，抛物线y=ax2+bx+c 过A、B、C三点．（1）求抛物线函数关系式；（2）如图②，点P是射线BA上一动点（不与点B重合），连接OP，过点O作OP的垂线交直线CD于点Q．求证：OP=OQ；（3）如图③，在（2）的条件下，分别过P、Q两点作x轴的垂线，分别交x轴于点E、F，交抛物线于点M、N，是否存在点P的位置，使以P、Q、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA=4∴点A（﹣4，0）∵直线y=kx+2与坐标轴交于A、B两点，。
人教版九年级上册 22.2 二次函数和一元二次方程知识点及经典例题
二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系1、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根；2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）根情况的判别即二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点个数情况：①判别式∆②直接看方程③平移 例1：抛物线y=ax 2＋bx ＋c 图像如下， 则 ① ax 2＋bx ＋c =0的根有 （ ）个 ②ax 2＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个 ③ax 2＋bx ＋c －4＝0的根有（ ）个x 3-≥a例2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2-x ＋41与X x a 515-≤ 轴交点有（ ）个； 例3：一元二次方程22717)83(2-=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个；例4：二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1） 写出方程ax 2＋bx ＋c =0的两个根； （2） 写出不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集；（3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值；（4） 若方程ax 2＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。
3、 韦达定理在二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（a ca b x x x x =-=+2121，）① 已知其中一个交点，求另一个交点： 例5：若抛物线m x y x+-=22与X 轴的一个交点是（－2，0）则另一个交点是（ ）； ② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212421)(-=+例6：若抛物线32-+=ax y x与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a③ 利用韦达定理求面积： 例7：抛物线m x y x++=-22与X 轴的一个交点是A(3，0），另一个交点是B ，且与y 轴交于点C ， （1）求m 的值；（2）求点B 的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x>0，y>0），使s sABC ABD∆∆=，求点D 的坐标。
2022年中考数学复习：二次函数综合题(最值问题)
2022年中考数学复习:二次函数综合题（最值问题）1. 二次函数的图象经过点, , 与y轴交于点C, 点P为第二象限内抛物线上一点, 连接BP, 交AC交于点Q, 交y轴于点E, 过点P作轴于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC, 当时, 求直线BP的表达式；(3)是否有最大值, 如有最大值, 请求出最大值, 如没有请说明理由．2. 如图, 对称轴为的抛物线与x轴相交于A, B两点, 其中点A的坐标为, C为抛物线与y轴的交点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线上, 且, 求点P的坐标；(3)设点Q是线段AC上的动点, 作轴交抛物线于点D, 请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．3. 如图, 抛物线与x轴交于, 两点, 与y轴交于点C. 直线l与抛物线交于A.D两点, 与y轴交于点E, 点D的坐标为.(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方, 连接PA.PD, 求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q是y轴上的点, 且, 求点Q的坐标．4. 如图, 在平面直角坐标系中, 直线与x轴交于点A, 与y轴交于点B, 抛物线经过AB两点, 与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的解析式.(2)若点D是抛物线上位于直线AB上方的一个动点, 设点D的横坐标为t, 过点D作y 轴的平行线交AB于E, 当t为何值时, 线段DE的长最大, 并求其最大值；(3)是否存在点D, 使得的度数恰好是的2倍？如果存在, 求出点D的坐标；如果不存在, 请说明理由．5. 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝x2+bx+c经过A(0, ﹣1), B(4, 1)直线AB交x轴于点C, P是直线AB下方抛物线上的一个动点. 过点P作PD⊥AB, 垂足为D, PEx 轴, 交AB于点E.(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PDE的周长取得最大值时, 求点P的坐标和PDE周长的最大值；(3)把抛物线y＝x2+bx+c平移, 使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P, M是新抛物线上一点, N是新抛物线对称轴上一点, 直接写出所有使得以点A, B, M, N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标．6. 如图, 函数的图象经过点两点, m, n分别是方程的两个实数根, 且.(1)求m, n的值以及函数的解析式；(2)对于（1）中所求的函数2=-++；y x bx c①当时, 求函数y的最大值和最小值；②设函数y在内的最大值为p, 最小值为q, 若, 求t的值．7. 在平面直角坐标系中, 二次函数的图象与x轴交于, 两点, 与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P是直线上方的抛物线上一动点, 设四边形的面积为S, 求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；(3)点M为抛物线上一动点, 在x轴上是否存在点Q, 使以A、C、M、Q, 为顶点的四边形是平行四边形?若存在, 直接写出M的坐标；若不存在, 说明理由.8. 综合与探究: 如图, 在平面直角坐标系中, 二次函数的图象交坐标轴于A（-1, 0）, B （3, 0）, C（0, -4）三点, 点P（m, n）是直线BC下方抛物线上的一个动点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P运动到什么位置时, △PBC的面积最大, 求出此时P点坐标及△PBC面积的最大值；(3)在y轴上是否存在点Q, 使以O, B, Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在, 请写出点Q的坐标；若不存在, 请说明理由.9．已知函数y＝的图象如图所示, 点A（x1, y1）在第一象限内的函数图象上．(1)若点B（x2, y2）也在上述函数图象上, 满足x2＜x1①当y2＝y1＝4时, 求x1, x2的值；②若|x2|＝|x1|, 设w＝y1﹣y2, 求w的最小值；(2)过A点作y轴的垂线AP, 垂足为P, 点P关于x轴的对称点为P′, 过A点作x轴的垂线AQ, 垂足为Q, Q关于直线AP′的对称点为Q′, 直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是, 求出这个定点的坐标；若不是, 请说明理由．10. 如图1, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（﹣1, 0）, 点C（0, 3）, 且OB＝OC.(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)如图2, 连接BC, 过点A作BC的平行线交抛物线于点H, M为线段BC上一动点, 连接AM交抛物线于点P, 连接PH交BC于点N, 连接AN, △PAN的面积S是否有最大值, 若有, 求出S最大值, 若无, 请说明理由.(3)如图3, 以C为直角顶点, OC为直角边并向右作等腰直角△COD, 将△COD沿射线OD平移得到△FEG, 连接BE、BF, △BEF的周长l是否有最小值, 若有, 求△BEF的周长l的最小值, 若无, 请说明理由．11. 已知直线y1＝kx+1（k＞0）与抛物线y2＝x2.(1)当﹣4≤x≤3时, 函数y1与y2的最大值相等, 求k的值；(2)如图①, 直线y1＝kx+1与抛物线y2＝x2交于A, B两点, 与y轴交于F点, 点C与点F关于原点对称, 求证: S△ACF: S△BCF＝AC: BC；(3)将抛物线y2＝x2先向上平移1个单位, 再沿直线y1＝kx+1的方向移动, 使向右平行移动的距离为t个单位, 如图②所示, 直线y1＝kx+1分别交x轴, y轴于E, F两点, 交新抛物线于M, N两点, D是新抛物线与y轴的交点, 当△OEF∽△DNF时, 试探究t 与k的关系．12. 如图, 已知抛物线与轴交于、两点, 与轴交于点.(1)求抛物线的解析式；(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点、不重合）, 过点作轴于点, 交于点, 过点作, 垂足为. 求线段的最大值；(3)已知为抛物线对称轴上一动点, 若是直角三角形, 求出点的坐标．13. 在平面直角坐标系中, 二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0, 6）和B（﹣2, ﹣2）.(1)求c的值, 并用含a的代数式表示b；(2)当a＝时.①求此函数的解析式, 并写出当﹣4≤x≤2时, y的最大值和最小值；②如图, 抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C, 作直线AC, D为直线AC下方抛物线上一动点, 与AC交于点F, 作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在, 请求出D点的坐标；若不存在, 请说明理由．14. 如图, 在平面直角坐标系中, 已知点的坐标为, 且, 抛物线（）图象经过, , 三点.(1)求抛物线的解析式；(2)是抛物线对称轴上的一点, 当的值最小时, 求点坐标；(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点, 作于点, 当的值最大时, 求此时点的坐标及的最大值．15. 如图, 抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1, 0）和点B（﹣3, 0）, 与y轴交于点C.(1)求b, c的值；(2)如图1, 点P为直线BC上方抛物线上的一个动点, 设点P的横坐标m. 当m为何值时, △PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值.(3)如图2, 将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0）, 平移后的抛物线与原抛物线相交于点D, 点M为直线BC上的一点, 点N是平面坐标系内一点, 是否存在点M, N, 使以点B, D, M, N为顶点的四边形为菱形, 若存在, 请直接写出点M的坐标；若不存在, 请说明理由．16. 如图1: 二次函数交轴于、两点, 交轴于点. 已知, .(1)求二次函数的解析式.(2)如图2, 若为线段上一动点, 现将射线绕点顺时针旋转交二次函数于点, 求: 最大值及此时点的坐标.(3)如图3, 将二次函数图象绕旋转得到新函数, 新函数与原函数在第一象限内交于点, 点是直线上一点, 点是新抛物线上一点, 若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形, 请直接写出点的坐标．17. 已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3, 与x轴相交于A, B两点（点B在点A右侧）, 与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式和A, B两点的坐标；（2）如图1, 若点P是抛物线上B.C两点之间的一个动点（不与B.C重合）, 是否存在点P, 使四边形PBOC的面积最大？若存在, 求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在, 请说明理由；（3）如图2, 若点M是抛物线上任意一点, 过点M作y轴的平行线, 交直线BC于点N, 当MN＝3时, 求点M的坐标．18. 如图所示, 抛物线与x轴相交于A.B两点, 与y轴相交于点C, 点M为抛物线的顶点.（1）求点C及顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点P, 使得PA+PC的值最小, 请求出点P的坐标并求出最小值；（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点, 连接BN、CN, 求面积的最大值及此时点N的坐标．19. 如图1, 在平面直角坐标系中, 二次函数的图象与x轴交于点, , 与y轴交于C.（1）求该二次函数的表达式；（2）二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点P, 使得, 如果存在, 请求出点P的坐标；若不存在, 请说明理由；（3）如图2, 点D为线段BC上的一个动点, 过点D作轴, 交二次函数的图象于点E, 求四边形OBEC面积的最大值, 并求出取得最大值时点E的坐标．20. 如图1, 抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1, 0）和点B（3, 0）. P为该抛物线上一动点, 设点P的横坐标为m.（1）求抛物线的解析式.（2）将该抛物线沿y轴向下平移AB个单位长度, 点P的对应点为P′, 若OP＝OP′, 求△OP P′的面积.（3）如图2, 连接AP, BP, 设△APB的面积为S, 当－2≤m≤2时, 求S的最大值．。
人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程 试卷(含答案)
人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程基础闯关全练1．（2019北京通州期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²-4x的图象与x轴的交点坐标是( )A.(0，0)B.(4，0)C.(4,0)、(0,0)D.(2,0)、(-2,0)2．（2018山东烟台期末）已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数是( )A.0B.1C.2D.33．（2019四川达州渠县月考）二次函数y=x²-6x -7的图象与x轴的交点坐标是_________，与y 轴的交点坐标是____．4．（2019广西梧州蒙山二中月考）已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A（-1，0），B(5，0)，则一元二次方程ax²+bx+c=O(a≠0)的根是____．5．（2019湖南长沙雨花月考）图22-2-1是二次函数y= ax²+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax²+bx+c>0的解集是__________.图22-2-16．（2019湖北武汉汉阳期中）二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图22-2-2所示，根据图象解答下列问题：(1)直接写出方程ax²+bx+c=2的根：(2)直接写出不等式ax²+bx+c<0的解集．图22-2-2那么方程x²+3x-5=0的一个近似根是( )A．1B．1.1C．1.2D．1.38．（2018辽宁抚顺新宾期中）根据表格中的对应值，判断ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是____________.能力提升全练1．（2019北京西城期中）二次函数y= ax²+bx+c的图象如图22-2-3所示，则下列说法中错误的是( )图22-2-3A．图象的对称轴是直线x=-1B．当x>-1时，y随x的增大而减小C．当-3<x<1时，y<0D．一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根是-3，12．（2018陕西中考）对于抛物线y= ax²+（2a -1）x+a-3，当x=1时，y>0，则这条抛物线的顶点一定在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2015浙江宁波中考）二次函数y=a（x-4）²-4(n≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方，在6<x<7这一段位于x轴的上方，则a的值为( )A.1B.-1C.2D.-24．已知二次函数y=（x-1）²-t²(t≠0)，方程（x-1）²-t²-1=0的两根分别为m，n(m＜n)，方程（x-1）²-t²-2=0的两根分别为p，q(p<g)，则m，n，p，q的大小关系是_________（用“＜”连接）．5．若抛物线），=X²-2 018x+2 019与石轴的两个交点为(m,0)与(n,0)，则(m²-2 019m+2 019)(n²-2 019n+2 019)=______．三年模拟全练一、选择题1．（2019山东临沂兰陵二中月考，13，★☆☆）二次函数y= ax²+bx+c的图象如图22-2-4所示，则方程ax²+bx+c=0的根是( )图22-2-4A.x₁=1,x₂=-1B.x₁=0,x₂=2C.x₁=-1,x₂=2D.x₁=1,x₂=02．（2019天津河西期中，9，★☆☆）抛物线y=x²+x+1与两坐标轴的交点个数为( )A．0B．1C．2D．33．（2018吉林长春榆树期末，13，★☆☆）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图22-2-5所示，请直接写出不等式ax²+bx+c>0的解集：____________.图22-2-5五年中考全练一、选择题1．（2018天津中考，12，★★☆）已知抛物线y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)经过点（-1，0），(0，3)，其对称轴在y，轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点(1，0)；②方程ax²+bx+c=2有两个不相等的实数根；③-3<a+6<3．其中，正确结论的个数为( )A．0B．1C．2D．3二、填空题2．（2018四川自贡中考．15．★女☆）若函数y= X²+ 2x -m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为_________．3．（2018湖北孝感中考．13．★★女）如图22-2-6，抛物线y= ax²与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2，4)，B(1，1)，则方程ax²= bx+c的解是___________.图22-2-6 三、解答题4．（2018云南中考，20，★★☆）已知二次函数的图象经过A( 0,3) ,两点．(1)求b,c 的值．(2)二次函数的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况． 核心素养全练1．坐标平面上，若移动二次函数y= -（x -2 019）(x -2 020) +2的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则移动方式可为( ) A ．向上平移2个单位 B ．向下平移2个单位 C ．向上平移1个单位 D ．向下平移1个单位2．（2018浙江杭州中考）四位同学在研究函数y=x ²+bx+c （b ，c 是常数），甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现-1是方程x ²+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁3．（2015四川资阳中考）已知抛物线p:y=ax ²+bx+c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为C’，我们称以A 为顶点且过点C ‘，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC ’为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x ²+2x+1和y= 2x+2．则这条抛物线的解析式为____． 答案基础闯关全练 1．C解析：∵二次函数y=x ²-4x=x （x -4），∴当y=0时，x=0或x=4，∴二次函数y=x ²- 4x 的图象与x 轴的交点坐标是(0，0)、(4，0)，故选C ． 2．Bcbx x ++-=2163y ⎪⎭⎫ ⎝⎛--294B ，c bx y ++-=2x 163解析：∵关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根．∴抛物线y= ax²+bx+c与x轴的交点个数是1．故选B．3．答案(7，0)，（-1，0）；（0，-7）解析当y=0时，0=x²-6x-7，解得x₁=7，x₂=-1，∴二次函数y=x²-6x-7的图象与省轴的交点坐标是(7，0)，（-1，0）．当x=0时．y= -7,∴二次函数y=x²-6x-7的图象与y轴的交点坐标是（0，-7）．4．答案x₁=-1，x₂=5解析∵抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A（-1，0），B(5，0)，∴方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x₁=-1，x₂=5．5．答案-1<x<3解析∵抛物线的对称轴为直线x=1．而抛物线与x轴的一个交点坐标为(3，0),∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），∴当-1<x<3时，不等式ax²+bx+c>0．6．解析(1)方程ax²+bx+c=2的根为x₁=x₂=2．(2)当x<1或x>3时，y<0，即ax²+bx+c<0，所以不等式ax²+bx+c<0的解集为x<1或x>3．7．C解析：由题中表格的数据可以看出最接近于0的数是0. 04．它对应的x的值是1.2，故方程x²+3x-5=0的一个近似根是1.2．故选C．8．答案3.24<x<3.25解析∵当x= 3.24时，y= -0.02<0;当z=3.25时，y=0.03>0，∴方程ax²+bx+c=0的一个解x的取值范围是3.24<x<3.25.能力提升全练1.B解析：因为抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0），(1，0)，所以抛物线的对称轴为直线，所以A选项的说法正确：因为对称轴为x=-1，且抛物线开口向上，所以当x>-1时．y随x的增大而增大，所以B选项的说法错误；由题图知当-3<x<1时，y<0，所以C选项的说法正确：由题图知方程ax²+bx+c=0的两个根是-3，1，所以D选项的说法正确．故选B．2.C解析：由题意可得，当x=1时，有a+2a-1+a-3>0，解得a>1,所以，所以这条抛物线的顶点一定在第三象限．故选C．3.A解析：抛物线y=a（x-4）²-4(a≠0)的对称轴为直线x=4,∵抛物线在6<x<7这一段位于x轴的上方．∴抛物线在1<x<2这一段位于x轴的上方，又∵抛物线在2<x<3这一段位于x轴的下方．∴抛物线过点(2，0)，把(2，0)代入y=a（x-4）²-4(n≠0)得4a-4=0，解得a=1．故选A．4．答案p<m<n<q解析二次函数y=（x-1）²-t²(t≠0)的图象如图：根据图象易知．p<m<n<q．5．答案2 019解析∵抛物线y=x²-2 018x+2 019与x轴的两个交点为(m,0)与( n,0),∴m²-2 018m+2 019= 0,n²-2 018n+2 019=0,mn=2 019,∴(m²-2 019m+2 019)(n²-2 019n+2 019)=-m．（-n）=mn=2 019.三年模拟全练一、选择题1．C解析：由题图得抛物线与石轴的交点坐标为（-1，0），(2，0)，所以方程ax²+bx+e=0的根为x₁=-1，x₂=2．故选C．3．B解析：当y=0时，X²+x+1=0．∵△=1²-4x1x1=-3<0,∴一元二次方程x²+x+1=0没有实数根，即抛物线y=x²+x+1与x轴没有交点；当x=0时，y=1，即抛物线y=x²+x+1与y轴有一个交点,∴抛物线y=x²+x+1与两坐标轴的交点个数为1．故选B．二、填空题3．答案1<x<3解析由题图可看出，当1<x<3时，二次函数y=ax²+bx+c(Ⅱ≠0)的图象位于x轴上方，即y>0，所以不等式ax²+bx+c>0的解集为1<x<3．五年中考全练一、选择题1．C解析：如图，作x轴的平行线y=2．对于抛物线y=ax²+bx+c（o，6，c为常数，a≠0），它与x轴的一个交点为（-1，0）．∵对称轴在y轴右侧，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(1，0)的右侧，故①不正确：观察图象可知，当y=2时，x有两个值，即方程ax²+bx+c=2有两个不相等的实数根，故②正确；将(0，3)代入y= ax²+bx+c中，得c=3，∴y=ax²+bx+3．∴当x=1时，y=a+b+3．观察图象可知，当x=1时，y>0，即a+b+3>0，∴a+b>-3；∵当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴b=a+c，∴a+b= 2a +c.∵抛物线开口向下，∴a<0．∴a+b<c=3，∴-3<a+b<3，结论③正确，故选C．二、填空题2．答案-1解析∵函数y=x²+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=2²-4x1×（-m）=0，解得m= -1. 3．答案x₁= -2，x₂=1解析 ∵抛物线y=ax ²与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A （-2，4），B(1，1)．∴方程组的解为所以方程ax ²= bx+c 的解是x₁= -2，x₂=1.三、解答题4．解析 (1)把A(0，3)，分别代入y= +bx+c 中，得，解得(2)有公共点．理由如下： 由(1)可得，该抛物线的解析式为．,∴二次函数的图象与x 轴有公共点．∵的解为x₁= -2,x₂=8，∴公共点的坐标是（-2，0）和(8，0).核心素养全练 1．B解析：将二次函数y=-（x -2 019）（x -2 020）+2的图象向下平移2个单位，得y=-（x -2 019）（x -2 020）的图象，此时函数的图象与x 轴的两交点为(2 019，0)，(2 020，0)，此两点的距离为1．故选B ． 2．B解析：假设甲和丙发现的结论正确，则解得∴该函数的解析式为y=x ²-2x+4． 当x=-1时，y=x ²-2x+4=7≠0， ∴乙发现的结论不正确． 当x=2时，y=x ²-2x+4=4， ∴丁发现的结论正确．∵四位同学中只有乙发现的结论是错误的， ∴假设成立，故选B ． 3．答案y=x ²-2x -3解析抛物线y=x ²+2x+1=（x+1）²，其顶点坐标为A(-1，0)，当x ²+2x+1= 2x+2时，解得x₁=-1，x₂=1，把x₂=1代入y= 2x+2，得y=4．∴C’(1，4)，又点C 与点C’关于x 轴对称，∴C(1，-4)，即原抛物线y=ax ²+bx+c 的顶点坐标为（1，-4），设该抛物线的解析式为y=a （x -1）²-4，把A （-1，0）代入，得0= 4a -4，解得a=1,∴y=（x -1）²-4，即y=x ²-2x -3．2x 163。
完整版)九年级二次函数综合测试题及答案
完整版)九年级二次函数综合测试题及答案二次函数单元测评一、选择题（每题3分，共30分）1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)（）A。
y=2x+1 B。
y=x+2 C。
y=x^2 D。
y=1/x2.函数y=x^2-2x+3的图象的顶点坐标是（）A。
(1，-4) B。
(-1，2) C。
(1，2) D。
(0，3)3.抛物线y=2(x-3)^2的顶点在（）A。
第一象限 B。
第二象限 C。
x轴上 D。
y轴上4.抛物线的对称轴是（）A。
x=-2 B。
x=2 C。
x=-4 D。
x=45.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）A。
ab>0，c>0 B。
ab>0，c0 D。
ab<0，c<06.在第6象限，二次函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，则点P的坐标为（）A。
(1，-2) B。
(-1，-2) C。
(-1，2) D。
(1，2)7.如图所示，已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是（）A。
4+m B。
m C。
2m-8 D。
8-2m8.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax^2+bx的图象只可能是（）9.已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是（）A。
y1<y2<y3 B。
y2<y3<y1 C。
y3<y1<y2 D。
y2<y1<y310.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A。
y=(x-2)^2+3 B。
y=(x+2)^2+3 C。
完整版)初中数学二次函数综合题及答案
完整版)初中数学二次函数综合题及答案二次函数题选择题：1、若y=(m-2)x^2-m是关于x的二次函数，则m=（）A。
-1.B。
2.C。
-1或2.D。
m不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)模型的是（）A。
在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B。
我国人口自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C。
矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D。
圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x^2，则抛物线的解析式是（）A。
y=-(x-2)^2+2.B。
y=-(x+2)^2+2C。
y=-(x+2)^2+2.D。
y=-(x-2)^2-25、抛物线y=1/2x^2-6x+24的顶点坐标是（）A。
(-6,-6)。
B。
(-6,6)。
C。
(6,6)。
D。
(6,-6)6、已知函数y=ax^2+bx+c，图象如图所示，则下列结论中正确的有（）个①abc0.④2c<3bA。
1.B。
2.C。
3.D。
47、函数y=ax^2-bx+c（a≠0）的图象过点（-1，1），则b+c/a的值是（）A。
-1.B。
1.C。
-2.D。
2二填空题：8、已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（）A。
A。
B。
B。
C。
C。
D。
D13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x^2+2mx+m上的点的坐标是（）m,m）16、若抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，最小值为-2，则关于方程ax^2+bx+c=-2的根为（）1±√317、抛物线y=(k+1)x^2+k^2-9开口向下，且经过原点，则k=（）2或-2解答题：（二次函数与三角形）1、已知：二次函数y=x^2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，-2）．1）求此二次函数的解析式．解：因为对称轴为x=1，所以顶点坐标为（1，k），其中k为最小值．又因为经过点（2，-2），所以方程组4+2b+c=k1+b+c=k解得b=-3，c=2，k=0，所以二次函数的解析式为y=x^2-3x+2．2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△XXX的面积最大，并求出最大面积．解：易得B、C两点坐标分别为（0，2）和（3，0）．设点E的横坐标为x，则其纵坐标为y=x^2-3x+2．则△XXX的面积为S(x)=1/2(3-x)(x^2-3x+2-2)，化简得S(x)=-1/2x^3+9/2x^2-8x+3．对S(x)求导得S'(x)=-3/2x^2+9x-8，令其等于0得x=2或4/3，代入S(x)得S(2)=4和S(4/3)=16/27，故△XXX的最大面积为4，当且仅当E的坐标为（2，-2）时取得．2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，4)，顶点为（1，2）．1）求抛物线的函数表达式；2）在抛物线上取一点P，作△ABC的高PH，交AB于点H，求证：PH=2BP．解：（1）因为抛物线与x轴交于A、B两点，所以其解析式为y=a(x-a)(x-b)，其中a<1<b．因为顶点为（1，2），所以方程组a(1-a)(1-b)=2a(b-a)(b-1)=4解得a=1/2，b=3/2，所以抛物线的函数表达式为y=1/2(x-1)^2+2．2）设点P的坐标为（x,y），则PH的长度为y-4，BP的长度为x-1．根据△ABC的面积公式得4=1/2y(x-1)，即y=8/(x-1)．又因为P在抛物线上，所以y=1/2(x-1)^2+2．将y代入上式得x^3-3x^2+2x-8=0，解得x=2或-1±√3．当x=2时，PH=2BP成立，当x=-1±√3时，PH≠2BP不成立．故结论成立．2、设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形。
人教版九年级数学上学期《22.2 ---22,3练习题带答案
22.2 二次函数与一元二次方程一．选择题1．关于x的二次函数y＝﹣2x2+4x+m2+2m，下列说法正确的是（）A．该二次函数的图象与x轴始终有两个交点B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．当该二次函数的图象经过原点时，m＝﹣2D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值2．已知直线l经过点（0，6）且平行于x轴，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与直线l相交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣2），且∠ACB为直角，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．﹣4＜x＜4B．x＞4C．x＜﹣4D．﹣2＜x＜43．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣2，则方程|ax2+bx﹣1|＝2的不相同实数根的个数是（）A．2B．3C．4D．54．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（1，3）C．当x＜1时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点5．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（，0）B．（3，0）C．（，0）D．（2，0）6．对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（）个①图象关于y轴对称；②有最小值﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣＜b≤﹣3．A．1B．2C．3D．47．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3…如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．38．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间C．a＝D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y29．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n ＞0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A．①③B．①②③C．①④D．②③④10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a＝﹣．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（）A．x1+x2＜0B．4＜x2＜5C．b2﹣4ac＜0D．ab＞012．关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5 B．当x＝12时，y有最小值a﹣9C．x＝2对应的函数值比最小值大7D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点二．解答题13．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）与点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），P 为抛物线上的点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）若△P AB的面积为，求P点的坐标．14．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．（I）求二次函数的表达式．（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．15．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．参考答案一．选择题1．解：A．由题意得：△＝42﹣4×（﹣2）×（m2+2m）＝8（m+1）2+8＞0，故该二次函数的图象与x轴始终有两个交点，故A正确，符合题意；B．函数的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，故当x＞1时，y随x的增大而增大，故B错误，不符合题意；C．当该二次函数的图象经过原点时，即x＝0时，y＝﹣2x2+4x+m2+2m＝m2+2m＝0，解得：m＝0或﹣2，故C错误，不符合题意；D．函数的对称轴为x＝1，此时y＝m2+2m+2＝（m+1）2+1≥1，故顶点的纵坐标最小值为1，故D错误，不符合题意．故选：A．2．解：∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，∵C（0，﹣2），则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2；则CD＝6﹣（﹣2）＝8，则点B（8，6），将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2，令y＝0，则x＝±4，故y＜0时，﹣4＜x＜4，故选：A．3．解：由题意可知，二次函数y＝ax2+bx﹣1的图象开口向上，经过定点（0，﹣1），最小值为﹣2，则二次函数y＝ax2+bx﹣1 的大致图象如图1所示，函数y＝|ax2+bx﹣1|的图象则是由二次函数y＝ax2+bx﹣1位于x轴上方的图象不变，位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示，由图2可知，方程|ax2+bx﹣1|＝2 的不相同实数根的个数是3个，故选：B．4．解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y 随x的增大而增大，令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+，x2＝1﹣，∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，∴抛物线与x轴有两个交点．故选：C．5．解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，即x2﹣1＝2，得x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），故选：B．6．解：①∵a2﹣2|a|﹣3＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣3，∴y＝x2﹣2|x|﹣3的图象关于y轴对称，故①正确；②∵y＝x2﹣2|x|﹣3＝（|x|﹣1）2﹣4，∴当|x|＝1即x＝±1时，y有最小值为﹣4，故②正确；③当m＝﹣4时，方程x2﹣2|x|﹣3＝m为x2﹣2|x|﹣3＝﹣4，可化为（|x|﹣1）2＝0，解得x＝±1，有两个不相等的实数根，此时m＝﹣4＜﹣3，故③错误；④∵直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，∴方程x2﹣2|x|﹣3＝x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝0有3个解，∴方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）与方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）一共有3个解，∴当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x ＜0）有两个相等的负数根；或当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有一个负数根；或方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个不相等的负数根．即或或，解得，b＝﹣，或b＝﹣3，∴当b＝﹣或b＝﹣3时，直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，故④错误；故选：B．7．解：∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，∴点A1（4，0），∴OA1＝4，∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4，∵点P（21，m）在这种连续变换的图象上，∴x＝21和x＝1时的函数值互为相反数，∴﹣m＝﹣1×（1﹣4）＝3，∴m＝﹣3，故选：C．8．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴ab＜0，所以A选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，∴a+2a﹣2＝m，∴a＝，所以C选项的结论正确；∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误．故选：D．9．解：依照题意，画出图形如下：∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．∴a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵对称轴为x＝﹣1，∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；∵顶点为（﹣1，n），∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，联立方程组可得：，可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，∵无法判断△是否大于0，∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；当﹣3≤x≤3时，当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，故选：C．10．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确，当x＝﹣1时，0＝a﹣b+c，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c＝3b，故②错误；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）∴点C（0，﹣3a），当BC＝AB时，4＝，∴a＝﹣，当AC＝BA时，4＝，∴a＝﹣，∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点D（1，4a），∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，∴a＝﹣，若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，∴a＝﹣1，∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或﹣，故④错误．故选：B．11．解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，∵抛物线的对称轴为x＝2，∴＝2，即x1+x2＝4＞0，故选项A错误；∵x1＜x2，﹣1＜x1＜0，∴﹣1＜4﹣x2＜0，解得：4＜x2＜5，故选项B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a＞0，∴ab＜0，故选项D错误；故选：B．12．解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：，若过点（4，5），则，解得：a＝﹣5，故选项正确；B、∵，开口向上，∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确；C、当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，故选：C．二．解答题13．解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点A、B的坐标知，AB＝4，∵△P AB的面积为＝AB×|y P|＝，即×4×|y P|＝，解得y P＝，∴﹣x2+2x+3＝，解得x＝或或或，故点P的坐标为（，）或（，）或（，﹣）或（，﹣）．14．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝4﹣8+3＝﹣1，故顶点坐标为（2，﹣1）．15．解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣3上，∴b＝﹣2，∴抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标（1，﹣4）；（2）对于y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝3或﹣1，∴B（3，0），由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM＝BC为最小值，而BC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，设直线BC 的表达式为y ＝mx +n ，则，解得，故直线BC 的表达式为y ＝x ﹣3， 当x ＝1时，y ＝﹣2，故点M （1，﹣2）．22.3实际问题与二次函数作业1.已知一个矩形的周长是24cm. (1)写出矩形面积S 与一边长a 的函数关系式. (2)当a 长多少时，S 最大?2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（200-x ）件，应如何定价才能使利润最大？3.用一段长为30m 的篱笆围城一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？4.某宾馆客房部有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间， 宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元， 求：（1）房间每天入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；（2）该宾馆每间的房间收费z （元）关于x （元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式，当每个房间的定 价为多少元时，w 有最大值？最大值是多少？18m菜 园5.某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米.（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.6.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?7. 小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？x8. 某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙足够长)，另外的部分用30米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形(如下左图)；②围成一个半圆形(如下右图)．设矩形的面积为S1平方米，宽为x米，半圆形的面积为S2平方米，半径为r米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案(π≈3)．9. 有一段40米长的篱笆，要围成一个一边利用足够长的墙的矩形鸡场ABCD ，鸡场的另三边用篱笆围成，中间用篱笆EF 隔成两间（如图所示），EF ∥AB ，并在边BC 、EF 上分别开一个1米宽的门（门不需要篱笆），这样恰好将40米长的篱笆全部用完.设AB 长为x （米），矩形ABCD 的面积为y （平方米）. （1）求矩形ABCD 的面积y （平方米）与x （米）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）当AB 的长为多少米时鸡场ABCD 的面积y 最大，最大面积是多少平方米？10. 某街心公园要用50块边长为1米的正方形地砖围成一个矩形空地ABCD.其中一边靠墙，墙的长度足够大且不铺设地砖；另外三边铺设地砖（图中阴影为地砖铺设的部分），若一边EF 用地砖x 块(x 为整数），矩形空地ABCD 的面积为S 平方米，当x 为何值时,S 的值最大?11. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ． （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．AB CD E MN F P Q 墙12.一座拱桥的轮廓是抛物线型如图①所示，拱高6米，跨度20米，相邻两支柱间的距离均为5米.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中如图②所示，求抛物线解析式; (2)求支柱EF 的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2米的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的三辆汽车(汽车间的间距忽略不计)?请说明你的理由.13.如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高．球第一次落地点后又一次弹起 .据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取437=，265=）14.有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m ，跨度为 10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中. （1）求这条抛物线所对应的函数关系式.（2）如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离水面的高是多少？①②15. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD 的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？答案1.s=212a a -+ 当a=6时， s 最大值为36 2.115元3.长为15m ，宽为7.5m 时，菜园的面积最大，最大面积是112.52m 4. （1） 50110xy =-⨯ （2）z=x+180 (3) w=(x+180-20) (50-10x) ， x=170元时利润有最大值，w 最大为10890元. 5.（1）s=26x x -+(0＜x ＜6) （2）当x=3时，s 有最大值为9，设计费最多9000元 6. 这种商品的售价降低0.5时，能使销售利润最大，最大值为225元 7. 设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -= x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x ∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大． 8. 解：S 1＝x(30－2x) ＝－2x 2＋30x ＝－2(x －)2＋ 当x ＝米时，S 1取最大值平方米 由30＝πr 得r ＝10米 S 2＝πr 2＝×3×100＝150平方米 ∵＜150 9. (1)y=AB ×BC=x(40-3x+2)=-3x 2+42x(2)∵a=-3<0，∴y 有最大值，当x=-b2a=7时，y 最大值=4ac -b24a=147,即当AB 的长为7米时鸡场ABCD 的面积最大，最大面积 是147平方米10. 由题意可得EF=MN=x ，AB=CD= 1-x ,BC=50-2x ∴)250)(1(x x BC AB S --=⋅=即505222-+-=x x S ∵2-=a ＜0，∴S 有最大值.当13)2(2522=-⨯-=-=a b x 时，S 最大.11. （1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，且过点（10，－4）∴故（2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴ （3）当d ＝18时，2152225215222521212225-==-4101252a a ×，y x =-1252dh 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
22.2-二次函数与一元二次方程-同步练习(含答案)
22.2二次函数与一元二次方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，抛物线()²0y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A ，B ，对称轴为直线2x =-，若点A 的坐标为()50-，，则下列结论：①点B 的坐标为()10，；②420a b c ++<；③4a b =；④点()()x y x y ₁，₁，₂，₂在抛物线上，当2x x <<-₁₂时，则y y >₁₂，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，顶点为(3,6)--的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,4)--，则下列结论中正确的是（ ）A ．240b ac -<B ．若点(2,),(4,)--m n 在抛物线上，则m n >C ．当3x <-时，y 随x 的增大而减小D ．关于x 的一元二次方程27(0)++=-≠ax bx c a 有两个不相等的实数根3．下列抛物线中,过原点的抛物线是（ ）A ．y =4x 2- 1B ．y =4x 2+ 1C ．y = 4(x + 1) 2D ．y = 4x 2+ x4．无论k 为何值，直线22y kx k =-+与抛物线223y ax ax a =--总有公共点，则a 的取值范围是（ ）A ．0a >B ．23a ≤-C ．23a ≤-或0a >D ．23a ≥-5．二次函数y=mx 2+x ﹣2m （m 是非0常数）的图象与x 轴的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个6．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：①方程20ax bx c ++=的两根之和大于0； ②；y ③随x 的增大而增大；④，⑤2a-b>0． 其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．已知二次函数2y x bx c =++的顶点为()2,1，那么关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定8．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是( )A ．B ．C ．D ．9．已知二次函数22y x x k =-+（k 为常数）的图象与x 轴的一个交点是()10-，，则关于x 的一元二次方程220x x k -+=的两个实数根是（ ）A ．11x =-，23x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．11x =，23x =-10．如图1，抛物线y=-x 2+bx+c 的顶点为P ，与x 轴交于A ，B 两点．若A ，B 两点间的距离为m ，n 是m 的函数，且表示n 与m 的函数关系的图象大致如图2所示，则n 可能为（ ）A ．PA+AB B ．PA-ABC ．AB PAD ．PA AB11．已知二次函数()220y ax ax c a =++≠图象经过点()34，，则关于x 的方程()()2212214a x a x c ++++=的两个根是（ ）A ．3或5-B ．1或1-C ．3或0.5-D ．1或3-12．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是直线x ＝1，甲、乙、丙、丁得出如下结论：甲：abc ＞0；乙：方程ax 2+bx +c ＝﹣2有两个不等实数根；丙：3a +c ＞0；丁：当x ≥0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c 既有最大值，也有最小值．则以上正确的是（ ）A ．甲、乙B ．乙、丙C ．甲、丁D ．乙、丙、丁二、填空题13．如图，某运动员推铅球，铅球行进高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的关系是21162025y x x =-++，则此运动员将铅球推出的距离是m ．14．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），且0a b c ++=，有下列结论：①该抛物线经过点（1，0）；②若a b =，则抛物线经过点（-2，0）；③若a ，c 异号，则抛物线与x 轴一定有两个不同的交点；④点()()1122,,,A x y B x y 在抛物线上，且121x x <<，若0a c <<，则12y y <．其中所有正确结论的序号是 ．15．如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，且对称轴为直线1x =，有下列结论：0abc <①；1030a b c ++>②；③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -，则12y y >；④方程20cx bx a ++=的一个解是1x =；20am bm a ++≥⑤，其中所有正确的结论是 ．的三、解答题18．已知二次函数y=x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x…-11234…y …830-103…（1）求该二次函数的解析式；（2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？（3）若A （m,y 1）,B(m+2,y 2)两点都在该函数的图象上，计算当m 取何值时，12y y >？19．定义：将二次函数20y ax bx c a =++>（）在x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，翻折后部分与原来末翻折部分形成一个新的函数G ，那么称函数G 为原二次函数的有趣函数．(1)二次函数223y x x =++_______________（有/没有）有趣函数．(2)已知二次函数与x 轴交于点（1，0），（5，0），与y 轴交于点()0,5A ，求拋物线的解析式，并在坐标系中画出函数图像．(3)在（2）的条件下：①过点A 作x 轴的平行线与抛物线交于点B ，求线段AB 的长度．②若函数G 为原二次函数的有趣函数，画出函数G 的图像并求解当函数G 的函数值大于2时，自变量x 的取值范围（直接写出答案）．20点(1)(2)(3))，当21在点，点,A B 在抛物线上，,OA OB 关于轴对称．4OC =分米，点A 到轴的距离是2分米，,A B 两点之间的距离是12分米．(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量x 取值范围）；(2)如图③，分别延长,AO BO 交拋物线于点,E F ，请直接写出,E F 两点间距离的值；(3)如图③，以拋物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为1S ，将拋物线向左平移(0)m m >个单位，得到一条新拋物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2S ．若2112S S =，求m 的值．22．利用二次函数的图象求一元二次方程22150x x +-=的近似根．23．已知二次函数21y x bx c =+++的图象过点()21P -，(1)求证：26c b =--；(2)求证：此二次函数的图象与x 轴必有两个交点；(3)若二次函数的图象与x 轴交于点()10A x ，、()20B x ，，4AB =，求b 的值．24．已知函数y =（m +14）x 2+（2m ﹣1）x ﹣3．求证：不论m 为何值，该函数图象与x 轴必有交点．参考答案：题号12345678910答案B C D C C B C D C C 题号1112 答案DB1．B 2．C 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．C 11．D 12．B 13．1214．①②③15．②⑤16．x ＜-1或x ＞317．11x =-，23x =18．（1）y=x 2-4x+3；（2）当x=2时，y min =-1；（3）m ＜1．19．(1)没有(2)265y x x =-+(3)①6；②3x <33x <<3x >20．(1)()()()()4,4,3,3,4,4,3,3----(2)1t <<-1(3)48m ≤≤21．(1)21418y x =-+(2)24分米(3)6m =或m =22．13x =-，252x =23．(1)略；(2)略；(3)14b =，24b =-；24．略．。
22.2 二次函数与一元二次方程
有交点，则 k的取值范围（ B ）
A
:
k
4 7
B
:
k
4 7
且k
0
C
:
k
4 7
D：k
4 7
且k
0
K≠0 b2-4ac≥0
请你把这节课你学到了东西告诉你的同桌，然
后告诉老师？
这节课应有以下内容：
二次函数与一 元二次方程的 关系
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 确定，求x的值时，二次函数就变 为一元二次方程。即当y取定值时， 二次函数就为一元二次方程。
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 3
2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实
数根,则m=＿1＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有 1 个交
点.
3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿1＿6 .
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．
t1=1s
t2=3s
15m
15m
（2）解方程 20＝20t－5t 2 t 2－4t＋4=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ t1=t2=2
当球飞行2s时，它的高度为20m．
t1=2s 20m
（3）解方程 20.5＝20t－5t 2 t 2－4t＋4.1=0
因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解． 球的飞行高度达不到20.5m．
解：作y = x2－2x－2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约
是－0.7，2.7. 所以方程x2－2x－2＝0的实数根为
x1≈－0.7，x2≈2.7
二次函数综合问题(共40题)【原卷版】--中考数学必考考点总结+题型专训
二次函数综合问题--中考数学必考考点总结+题型专训一．解答题（共40小题）1．（2022•孝感）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．（1）直接写出点B和点D的坐标；（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．2．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣23交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）直接写出A，B两点的坐标；（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．3．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．（3）当S△OCD6．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．8．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．9．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．（1）求点C的坐标；（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．11．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．12．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．13．（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，＝S△BCD，求点P的坐标；连结PB、PC，若S△PBC（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．14．（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022•宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．（1）求y关于x的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？16．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．17．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．18．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．19．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．20．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B （x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．21．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．22．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为；（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．23．（2022•武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；（3）连接BD．①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD＝AE时，求BD+CE的最小值．24．（2022•云南）已知抛物线y ＝﹣x 2﹣x +c 经过点（0，2），且与x 轴交于A 、B 两点．设k 是抛物线y ＝﹣x 2﹣x +c 与x 轴交点的横坐标，M 是抛物线y ＝﹣x 2﹣x +c 上的点，常数m ＞0，S 为△ABM 的面积．已知使S ＝m 成立的点M 恰好有三个，设T 为这三个点的纵坐标的和．（1）求c 的值；（2）直接写出T 的值；（3）求的值．25．（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y 需求（吨）关于售价x （元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y 需求＝ax 2+c ，部分对应值如下表：②该蔬莱供给量y 供给（吨）关于售价x （元/千克）的函数表达式为y 供给＝x ﹣1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x 售价（元/千克）、成本x 成本（元/千克）关于月份t 的函教表达式分别为x 售价＝t +2，x 成本＝t 2﹣t +3，函数图象见图2．请解答下列问题：（1）求a ，c 的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．26．（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B （3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定27．（2022•舟山）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．28．（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．29．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN 长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．30．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．32．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c 向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．33．（2022•丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．34．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．35．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．Ⅷ36．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B 两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．37．（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．38．（2022•南充）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．39．（2022•自贡）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．40．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF 周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．21/21。
专题22.2 二次函数的图象【六大题型】(人教版)(原卷版)
专题22.2 二次函数的图象【六大题型】【人教版】【题型1 二次函数的配方法】 (1)【题型2 二次函数的五点绘图法】 (3)【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 (5)【题型4 二次函数图象的平移变换】 (7)【题型5 二次函数图象的对称变换】 (8)【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】 (8)【题型1 二次函数的配方法】【例1】（2022秋•饶平县校级期末）用配方法将下列函数化成y＝a（x+h）2+k的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）y=12x2﹣2x+3；（2）y＝（1﹣x）（1+2x）．【变式1-1】（2022•西华县校级月考）用配方法确定下列二次函数图象的对称轴与顶点坐标．（1）y＝2x2﹣8x+7；（2）y＝﹣3x2﹣6x+7；（3）y＝2x2﹣12x+8；（4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）．【变式1-2】（2021•邵阳县月考）把下列二次函数化成顶点式，即y＝a（x+m）2+k的形式，并写出他们顶点坐标及最大值或最小值．（1）y＝﹣2x﹣3+1 2x2（2）y＝﹣2x2﹣5x+7（3）y＝ax2+bx+c（a≠0）【变式1-3】（2022•监利市期末）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题例如：因为5a2≥0，所以5a2+1≥1，即：当a＝0时，5a2+1有最小值1．同样，因为﹣5（a2+1）≤0，所以﹣5（a2+1）+6≤6有最大值1，即当a＝1时，﹣5（a2+1）+6有最大值6．（1）当x＝时，代数式﹣3（x﹣2）2+4有最（填写大或小）值为．（2）当x＝时，代数式﹣x2+4x+4有最（填写大或小）值为．（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是14m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 【题型2 二次函数的五点绘图法】【例2】（2022•东莞市模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x … 0 1 2 3 4 … y…52125…（1）求该二次函数的表达式； （2）当x ＝6时，求y 的值；（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象．【变式2-1】（2022•竞秀区一模）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3 （1）求出该抛物线顶点坐标．（2）选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象． x … … y……【变式2-2】已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过（﹣1，1）．（1）求出这个函数的表达式；（2）画出该函数的图象；（3）写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴．【变式2-3】（2022•越秀区模拟）如图，已知二次函数y=−12x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x轴的另一个交点；（3）在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴．【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】【例3】（2022春•玉山县月考）函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2022•邵阳县模拟）二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-2】（2022•凤翔县一模）一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y ＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（）A．B．C．D．【变式3-3】（2022•澄城县三模）已知m，n是常数，且n＜0，二次函数y＝mx2+nx+m2﹣4的图象是如图中三个图象之一，则m的值为（）A．2B．±2C．﹣3D．﹣2①保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：（2）平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．【题型4 二次函数图象的平移变换】【例4】（2022•绍兴县模拟）把抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝（x ﹣3）2+5，则a +b +c ＝ ．【变式4-1】（2022•澄城县二模）要得到函数y ＝﹣（x ﹣2）2+3的图象，可以将函数y ＝﹣（x ﹣3）2的图象（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【变式4-2】（2022秋•滨江区期末）将抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a ﹣2b ﹣1的值是 ．【变式4-3】（2022•澄城县二模）二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）（a 为常数）图象的对称轴为直线x ＝2，将该二次函数的图象沿y 轴向下平移k 个单位，使其经过点（0，﹣1），则k 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．2 D ．6【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位（2）关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；（3）关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；（4）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．【题型5 二次函数图象的对称变换】【例5】（2022•绍兴县模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣5B．3C．5D．15【变式5-1】（2022•苍溪县模拟）抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为．【变式5-2】（2022•蜀山区校级二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2B．y＝﹣（x+1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x+1）2+2【变式5-3】（2022春•仓山区校级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝kx2+4kx+8（k≠0）与抛物线L2关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，则k的值是（）A．﹣1或3B．1或﹣2C．1或3D．1或2【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】【例6】（2022•苍溪县模拟）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（）A．a＝±1B．a＝1C．a＝﹣1D．a＝0【变式6-1】（2022•合肥模拟）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于．【变式6-2】（2022•襄城区模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数图象上，求n的值为．【变式6-3】（2022•公安县期中）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣1，根据下列条件求m的值．（1）图象的顶点在y轴上．（2）图象的顶点在x轴上．（3）二次函数的最小值是﹣1．。
二次函数综合题及答案
二次函数综合题1．如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．3．如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P 的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．6．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l 与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．11．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．13．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．（2013•重庆）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．=×××，解得，x+），﹣有最大值．2．（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．，过点BE=BD=6，，解得，，解得，），时，有最大值；×，∴BD=3BE=解方程组，得3．（2013•昭通）如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P 的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应），，=y=n+3n+3=n=，），﹣）=，的坐标为（﹣，﹣）（，的坐标为（﹣，﹣）和（，）4．（2013•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．，a==的周长存在最小值，最小值为5．（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．两点的坐标代入得，；，（不合题意，舍去）点的坐标为（）AB QP QP点的坐标为的面积的最大值为．6．（2013•营口）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．）代入，得的三边，==，又=，故当，===，=﹣，故，﹣=，即，解得：是对应边时，=，即=的坐标为：7．（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．）由题意可知：，+EF GH+EF（﹣8．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．，，，时，点，y=﹣=，的坐标为（，﹣），﹣，的距离为×==3××，此时，﹣）9．（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．x=）根据x×b=x x+4﹣+（，x x+4，即﹣x x+4=0，x+4=，==．，=±，）﹣4+ 10．（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．Sy=x×．x﹣AB===﹣x+2y=x．（﹣x+2）﹣（x）﹣x SEF S（﹣x×﹣x=3+（不合题意，舍去）时，恰好将y=x x11．（2013•遂宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．y=）x+，经过点=0k=y=x，，x+），﹣x x+）﹣（x）﹣x2x+4得：，7）y=﹣，﹣﹣（﹣），即﹣x x+4=6﹣﹣+﹣﹣+=，DC==，即=x x+﹣﹣x+=（＜12．（2013•曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．×6+×OC=mm13．（2013•黔西南州）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．，代入可得：．，则=，时，y=（，），则=，）或（14．（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．，解得PN×（），﹣有最大值，此时点的坐标为（﹣，﹣）t=，），），）或（，﹣。
专题22.2 二次函数的图象与性质(一)【八大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)-2024-20
专题22.2 二次函数的图象与性质（一）【八大题型】【人教版】【题型1 二次函数的顶点式与一般式的互化】 (1)【题型2 根据二次函数的解析式判断其性质】 (2)【题型3 五点法绘二次函数的图象】 (3)【题型4 用待定系数法求二次函数解析式】 (4)【题型5 二次函数图象的平移变换】 (5)【题型6 二次函数图象的对称变换】 (6)【题型7 利用二次函数的对称轴、最值求参数】 (7)【题型8 利用二次函数的增减性求参数范围】 (7)【知识点1 二次函数的图象和性质】二次函数的图象是一条抛物线。
当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
【题型1 二次函数的顶点式与一般式的互化】【例1】（2023春·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）抛物线y=ax2+2ax+a2+a的顶点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式1-1】（2023春·全国·九年级专题练习）将二次函数y=x2−4x+3化为y=a(x−m)2+k的形式，下列结果正确的是（）A．y=(x+2)2+1B．y=(x−2)2+1C．y=(x+2)2−1D．y=(x−2)2−1【变式1-2】（2023春·河北承德·九年级统考期末）学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x−ℎ)2+k 的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数y=x2−4x+5化成y=a(x−ℎ)2+k的形式如下：两位同学做法正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都正确D．甲、乙都不正确【变式1-3】（2023·广东·九年级专题练习）用配方法把二次函数y=2x2−3x+1写成y=a(x−ℎ)2+k的形式为________【题型2 根据二次函数的解析式判断其性质】【例2】（2023春·九年级单元测试）在函数①y=3x2；①y=12x2+1；①y=−43x2−3中，图象开口大小按题号顺序表示为（）A．①>①>①B．①>①>①C．①>①>①D．①>①>①【变式2-1】（2023春·九年级单元测试）二次函数y=−x2+4x+3，当0≤x≤12时，y的最大值为（）A．3B．7C．194D．214【变式2-2】（2023春·全国·九年级专题练习）下列二次函数的图象，对称轴是y轴的二次函数的表达式是（）A．y=3x2+2x B．y=3x2+2C．y=x2+2x−7D．y=−2(x−4)2+7【变式2-3】（2023春·江西南昌·九年级期中）关于抛物线y1=2+3x2与y2=2−3x2的论述，不正确的是（）A．两条抛物线的顶点相同B．两条抛物线的形状相同C．两条抛物线与y轴的交点相同D．两条抛物线的增减性相同【题型3 五点法绘二次函数的图象】【例3】（2023春·江苏徐州·九年级统考期末）已知二次函数y=x2−2x−3．(1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；(2)根据图象，完成下列填空：①当x>1时，y随x的增大而___________①当y<0时，x的取值范围是____________【变式3-1】（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）已知函数图象如图所示，根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标___________．（2）对称轴为___________．（3）当 x = ___________时，y 有最大值是___________． （4）当___________时，y 随着 x 得增大而增大． （5）当___________时，y >0．【变式3-2】（2023春·河南安阳·九年级校考阶段练习）已知抛物线y =−2x 2+4x +6．(1)请用配方法将y =−2x 2+4x +6化为y =a (x −ℎ)2+k 的形式，并直接写出对称轴； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出y =−2x 2+4x +6的图象；(3)该抛物线沿x 轴向左或向右平移m （m >0）个单位长度后经过原点，求m 的值． 【知识点2 二次函数解析式的表示方法】(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(其中a ，b ，c 是常数，a≠0)； (2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k)； (3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)，其中x 1，x 2是图象与x 轴交点的横坐标 ．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【题型4 用待定系数法求二次函数解析式】【例4】（2023春·北京海淀·九年级期末）已知二次函数y =ax 2+bx +c 经过A (0,5)，B (5,0)两点，它的对称轴为直线x =3，求这个二次函数解析式．【变式4-1】（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知一条抛物线的对称轴是直线x =1，函数的最大值是y =2，且该抛物线经过坐标原点(0,0)．求此抛物线的函数关系．【变式4-2】（2023春·河北承德·九年级承德市第四中学校考阶段练习）在二次函数y =x 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m的值为（）A．−1B．1C．2D．−2【变式4-3】（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线与x轴交点的横坐标为−3和2，且过点(1,−8)，它对应的函数解析式为（）A．y=x2+x−6B．y=−x2−x+6C．y=−2x2−2x+12D．y=2x2+2x−12【知识点3 二次函数的平移】方法一：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：方法二：①y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m）①y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)2+b(x-m)+c）【题型5 二次函数图象的平移变换】【例5】（2023·陕西榆林·统考一模）把抛物线y=x2+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y=x2−4x+3，则b、c的值分别为（）A．b=−12，c=32B．b=4，c=−3C．b=0，c=6D．b=4，c=6【变式5-1】（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）将二次函数y=x2+2x+2的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为__________．【变式5-2】（2023·山西运城·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=−2x2+bx+c经过平移后得到抛物线y2，则抛物线y2的表达式为（）A．y=−2x2−4x B．y=−2x2−4x+1C．y=−2x2+4x D．y=−2x2+4x+1【变式5-3】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x 轴、y轴分别向上、向右平移5个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（）A．y=3(x−5)2+5B．y=3(x−5)2−5C．y=3(x+5)2+5D．y=3(x+5)2−5【题型6 二次函数图象的对称变换】【例6】（2023·陕西·统考二模）在平面直角坐标系中，将抛物线C:y=x2−(m+1)x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C′，在抛物线C′上，当x<1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m⩾1B．m⩽1C．m⩾−3D．m⩽−3变式6-1】（2023·浙江·九年级假期作业）先将抛物线y=(x−1)2+2关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（）A．y=−(x−1)2+2B．y=−(x+1)2+2C．y=−(x−1)2−2D．y=−(x+1)2−2【变式6-2】（2023春·江苏·九年级专题练习）将二次函数y=(x−1)2−4的图象沿直线y=1翻折，所得图象的函数表达式为（）A．y=−(x−1)2+4B．y=(x+1)2−4C．y=−(x+1)2−6D．y=−(x−1)2+6(x−4)2+2【变式6-3】（2023春·北京朝阳·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12可以看作是抛物线y=12x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y=12x2+2得到抛物线y=−12(x−4)2+2的过程：_______．【题型7 利用二次函数的对称轴、最值求参数】【例7】（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）已知二次函数y=mx2−2mx+2(m≠0)，当−1≤x≤2时，函数的最大值为y=4，则m的值是______．【变式7-1】（2023春·九年级单元测试）已知抛物线y=x2+(m−1)x−14的顶点的横坐标是2，则m的值是________．【变式7-2】（2023春·九年级单元测试）若抛物线y=x2+(m−1)x+(m+3)的顶点在y轴上，则m= ____．【变式7-3】（2023·浙江温州·校考三模）抛物线y=x2−2ax+b的顶点落在一次函数y=−2x+4的图象上，则b的最小值为__________．【题型8 利用二次函数的增减性求参数范围】【例8】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知抛物线y=x2−4mx+m，当−2<x<1时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式8-1】（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）二次函数y=−(x+3)2+ℎ(t≤x≤t+2)的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为______．【变式8-2】（2023·福建厦门·统考一模）已知二次函数y=−x2+2ax+a+1，若对于−1<x<a范围内的任意自变量x，都有y>a+1，则a的取值范围是________．【变式8-3】（2023·山东潍坊·昌邑市实验中学校考二模）已知二次函数的表达式为y=−x2−2x+3，将其图像向右平移k(k>0)个单位，得到新的二次函数y1的图像，使得当−1<x<3时，y1随x增大而增大；当4<x<5时，y1随x增大而减小．则实数k的取值可以是（）A．4B．5C．6D．7。
2022年九年级中考冲刺之二次函数综合题(10类型)
中考冲刺之二次函数综合题（10类型）第一类：面积问题1.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．:2：如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点。
（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；E1x2交于A、B两点3.如图，已知直线AB：y＝kx＋2k＋4与抛物线y＝2(1) 直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标1时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5 (2) 当k＝－2第二类：直角三角形1. 如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．772.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P 的坐标．第三类：平行四边形、矩形1.点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标（y=322--x x ）O xyA BC2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数 (为常数)的图象与x 轴交于点A(，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数，且≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点F ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标若不存在，请说明理由；54y x m =+m 3-2y ax bx c =++a b c ，，a m O xyA B CD3.如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点。
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(1)求抛物线的解析式； (2)点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过点E作y轴的平行 线交直线BC于点M，交x轴于点F，设E的横坐标为m，请用 含m的代数式表示线段EM的长． (1)y＝－38x2＋34x＋3 (2)EM＝－83m2＋23m
类型6：二次函数与面积最值问题综合运用
8.(2019 东营)已知抛物线 y＝ax2＋bx－4 经过点 A(2,0)， B(－4,0)，与 y 轴交于点 C.
(1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC的面积最大时，求点P的坐标． (1)y＝12x2＋x－4 (2)(－2，－4)
提示：连OP，四边形ABPC的面积等于△AOC、△OPC和 △OBP的面积之和.
二次函数中的面积计算问题 --之铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条
点A(0,3)，B(3,0)．
(1)点F是线段AB上的点，FE⊥x轴，E在
பைடு நூலகம்
－ m2＋ 3m
抛物线上，若点F的横坐标为m，则EF＝ 9
4
(用含m的代数式表示)；
(2)求EF的最大值．
小结：解决此类问题的关键是用代数式表示其中的量，求出 二次函数的解析式，再用抛物线性质解决相关问题.
6.如图，直线y＝－43x＋3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛 物线y＝ax2＋43x＋c经过B，C两点．
SABC
1 CE 2
•
BD
延伸拓展
我们如果把△ABC 放到直角坐标系中，
A(
x A,
,
y A
),
B(
x B
,
y B
),
C(x , y ), D(x , y ),
C
C
D
D
则铅垂高：h AD y y , a 水平宽： x x
A
D
C
B
11
SABC
2
ah
2
(yA
yD )(xc
xB )
y
A
铅垂高
直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，
中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高
(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S
即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
ABC
1 ah 2
S S S 证明: ABC
ABD
ACD
A
h
h2
铅垂高
C
D
B
h1
水平宽
aa
解：(1)把x＝0代入y＝12x－2得y＝－2，∴C(0，－2)．
把y＝0代入y＝12x－2得x＝4，∴B(4,0)．
将(0，－2)，(4,0)代入y＝12x2＋bx＋c，得
c＝－2 12×42＋4b＋c＝0
，解得b＝－32 c＝－2
，
∴二次函数的解析式为y＝12x2－32x－2.
类型 3：面积最值问题 练习13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx－3 交 x 轴于 点 A(－3，0)，B(1，0)，在 y 轴上有一点 E(0，1)，连接 AE.
＋3 交于 C，D 两点，连接 BD，AD.
(1)求 m 的值；
(2)抛物线上有一点 P，满足 S△ ABP＝4S△ ABD，求点 P 的坐标．
考点提示： 抛物线与x轴的交点； 二次函数的图象上的 点的特征
类型4：二次函数与线段和（周长）最小值综合运用
高分突破第49页第7题
例71.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点B(1,0)，C(3,0)．
22.2二次函数综合题
类型 1：面积定值问题 1．如图，抛物线 y＝x2－2x－3 与坐标轴交于 A，B，C 三点．
(1)在 x 轴上方在的抛物线上求一点 P，使 S△ABP＝6；
本题主要考查二次函数的性质以及三角形面积公式的综合应用.
变式1．1：如图，抛物线 y＝13x2＋23x－5 与 x 轴交于点 A 和点 B，点 E 为 x 轴下方抛物线上的一点，当 S△ ABE＝20 时，求点 E 的坐标．
类型 2：面积数量关系问题 2．如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与坐标轴交于 A，B，C 三点． (1)在抛物线上求点 P，使 S△COP＝2S△AOC；
2．(变龙变式东式2中：2考. )如图，已知抛物线 y＝－x2＋mx＋3 与 x 轴交于点 A，
B，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为(3，0)，抛物线与直线 y＝－32x
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)点P是对称轴上一点，当PA＋PB
达到最小值时，求点P的坐标．
(1)y＝x2－4x＋3 (2)直线x＝2 (3)(2,1)
高分突破第49页例3
3.【练例习13】如图，抛物线y＝x2－4x＋3与y轴交于点A，与x轴 的交点为点B，C.
(1)求点A，B的坐标； (2)连接AB，则AB＝ ； (3)点P是对称轴上的一动点，求△PAB周长的最小值．
作业本第24页14题
练1习4．2.如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C. (1)求B，C两点的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点P， 使得△PAC的周长最小？若存在，求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型5： 二次函数与线段最值问题综合运用
2.【例2】如图，直线y＝－x＋3与抛物线y＝－x2＋2x＋3交于
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE 面积的 最大值．
小结：本题第(2)问的关键是用代数式表示△BCD的铅垂高， 三角形的面积＝12×水平距离×铅垂高.
二次函数与平行四边形综合运用
例 如(11)图求. ,点抛A物.线B的y坐 标12 x；2
h
C
D
x
B
水平宽
aa
图12-1
4.【二例次4】函(2数018与锦面州积)在最平值面直问角题坐综标合系运中，用直线y＝21x－2与x
轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝12x2＋bx＋c的图象 经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线 BC下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，连接DC，DB，设△BCD的 面积为S，求S的最大值．
(其中h1、h2是直线AD与 外侧两直线之间的距离)
1 AD h 1 AD h
2
12
2
1 AD (h h )
2
1
2
1 ah
2
巩固定义：求格点三角形的面积
例1、如图，在每个小正方形边长为1的格点图形中， △ABC的三个顶点是图中的格点，求△ABC的面积。
E D
A
B
C 水平宽：CE
铅垂高：BD