居余马线性代数课后详细答案 3
居余马线性代数课后详细答案
1、22220aab a b ab ab abb=⋅-⋅=2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b aa bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+----20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)011w wwww ww w w w w w w w w www+⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663x xxx x x x x x x x xx=++---=-+9、143000400400431(1)0434********324321+-=-=-按第行展开10、公式： 111112111222222122112212000000000000n n nn nn nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,11100000000(1)0n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：101000010000100200002010(1)1008000080090000910+-⋅按第行展开 9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、3111111112111110200311*(2)8111100204111112----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 12341234123421113234113410113103110102223412*********114141231123111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、50421111111121011211121021014324741204120032415311115420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 365641111111111111112545325453032750327536342254650328700012254653634203075002001111136564329722------===---根据课本20页公式（1.21），原式012112003*4120322=-=-=-（）15、1200340012132*160013345151-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*220000130101143100002400024011113-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22） 23001121120030212(1)30212*(5)600024031241240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!00300040005B ---==------=----所以 3*5*(1)||||3!5!0A AB B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b xa xbc x a b xb xc a b xa xbc a b xb xc a b xb c a b c x a b xb c x x a b c a b xb c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、1111111121111100311111004111110xx x x x y x y yxy++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()00xx xxy y xx xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开 2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b ac aab c b a c ab ac aabcb ac a--==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b ac a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac ab ab a b ac a c ac bab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a ab b b a b a b acacabaccc ac a=--=-------整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a ab ac a c b b b cc---=故原式得证。
线性代数课本第三章习题详细答案
9. 证明：1 2 ,2 3,3 1 线性无关的充分必要条件是1,2 ,3 线性无关.
1 0 1 证：方法 1，（1 2 ,2 3,3 1 ）=（1,2 ,3 ） 1 1 0
(k1 k3 )1 (k1 k2 ) 2 (k2 k3 ) 3 0
因为1,2 ,3 线性无关，所以
kk11
k3 k2
0 0
，可解得 k1
k2
k3
0 ，所以1
2 , 2
3 ,3
1 线性无关.
k2 k3 0
必要性，（方法 1）设1 2 ,2 3,3 1 线性无关，证明1,2 ,3 线性无关，
所以
5 4
1
1 4
2
1 4
3
1 44Βιβλιοθήκη .设存在 k1, k2 , k3 , k4 使得 k11 k2 2 k3 3 k4 4 ，整理得
k1 2k2 k3 0 ， k1 k2 k3 k4 0 ，
3k2 k4 0 ， k1 k2 k4 1 .
解得 k1 1, k2 0, k3 1, k4 0. 所以 1 3 .
0 1 1 101 因为 1,2,3 线性无关，且 1 1 0 2 0 ，可得 1 2,2 3,3 1的秩为 3 011 所以1 2 ,2 3,3 1 线性无关.线性无关；反之也成立.
方法 2，充分性，设1,2 ,3 线性无关，证明1 2 ,2 3,3 1 线性无关.
设存在 k1, k2 , k3 使得 k1 (1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0 ，整理得，
线性代数课后习题解答第三章习题解答
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
线性代数(含全部课后题详细答案)3第三章矩阵习题解答.docx
习题三A 组1 •填空题.(1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x= _____________ , a vh= _________ro o>1 ](3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n =I 2 3丿‘1 0⑷设A= 0 2J o解0.(5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n解 k 2(k-2n ).(6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T= _________ , AA ： = _______2(2)设八1-3 2),B =-3丿1 -13 1 3>则AB = (0 0丿(—3 -3丿2 13232 3 1 1)0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' =2“+i2".(cos& -sin&\(7)、sin& cos& 丿cos& sin&\、一sin& cos& 丿0 0、2 0 ,则(A*y =4 5,解討丫2(10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B<-1 2(2 0(11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4,2 0‘0 0 P解0 1 0b o oj(12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* =1627(13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C =°, 则\c\ =(8)设…®?工0 ,则、\Z曾丿1)a n1%■■1 1■色丿丿a lP(9)设A= 22、0 ,贝=2丿/0、0 ,矩阵〃满足关系式ABA =2BA ^E,其屮才'为力的伴随矩阵，则|B | =解*•解0.解一3・是nxp 矩阵，C 是pxm 矩阵，加、n 、p 互不相等，则下列运算没有(B) ABC ；解D.(2)设/是mxn 矩阵(m n), B 是nxm 矩阵，则下列解(一l)〃5b ・(15)设4阶矩阵/的秩为1,则其伴随矩阵/的秩为 (14)设三阶矩阵/ =R(4)解1.(17)设矩阵力'a 、b\ a }b 2■ ■a 2b 2 ■ • ■a n b2,其中匕・工0, (Z=l,2,•••,/?),则力的秩，且7?(J) = 3,则丘=0、 -2i,则将/可以表示成以下三个初等矩阵的乘积(D) AC T .的运算结果是n 阶力•阵.(A) AB ；解B.(B) A YBT；(C) B r A T ；(D) (4B)T.(16 )设？1 = •咕、 ・仇 ・ a n b n)解2.选择题.(1)设/是mxn 矩阵,(3) 设力」是斤阶方阵，AB = O,贝I 」有 ________ • (A) A = B = Ox(B) A + B = O ； (C)同=0或|同=0；(D)同 + 圖=0・解C ・(4) 设力，〃都是斤阶矩阵，则必有 _______ . (A) \A + B\ = \^ + \B\； (B) AB = BA ； (C) \AB\ = \BA\ ；(D) (/1 + B)T M /T + BT ・解C ・(5) 设/,B 是斤阶方阵，下列结论正确的是 __________ ・ (A)若均可逆，则A^B 可逆； (B)若力，〃均可逆，则力〃可逆； (C)若A + B 可逆，则A-B 可逆；(D)若A + B 可逆，则4〃均可逆.解B.(6) 设斤阶方阵A,B,C 满足关系式 ABC = E ，则必有 ___________ ・ (A) ACB = E ； (B) CBA = E ；(C) BAC = E ；(D) BCA = E .解D.(7) 设昇，B,力 + B, /T+BT 均为斤阶可逆矩阵，贝等于 ________________________ (A)(B) A + B ；(C) (D) g + 3)".解C.(8) 设£B,C 均为兀阶矩阵，若B = E + MB , C = A^CA.则B-C 为 ________________ . (A) E\ (B) —E ； (C) ； (D) —A.. 解A.(9) 设矩阵A = (a i .} 满足才其中才是/的伴随矩阵，川为昇的转置矩阵.若\ "3x3。
居余马线性代数课后详细答案（更新）
1、22220a aba b ab ab ab b =⋅-⋅=2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi ba bi a bi ab a b ab a b a a bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+---------920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++---45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+----20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)011w w w w w ww w w w w w w w w w w w +⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663x xxx x x x x x x x xx =++---=-+9、143000400400431(1)0434*******4324321+-=-=-按第行展开10、公式：11111211122222212211221200000000000n n nn nn nnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,1110000000(1)0000n n n n n n n nn n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：10100001000010020*******(1)1008000080090000910+-⋅ 按第行展开9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、3111111112111110200311*(2)8111100204111110002----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即123412341234211132341134101131031101022234121412022211141412311230111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、504211111111210112111210210143247412041200324153111150420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）3656411111111111111125453254530327503275363422546503287000122546536342030750020011111365640329700022------===--- 根据课本20页公式（1.21），原式012112003*41203022=-=-=-（）15、1200340012132*16001334510051-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*22000013010114301000024000240101100013-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22）23001121120030212(1)30212*(5)6000240312401240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!030004000500B ---==------=----所以3*5*(1)||||3!5!0A AB B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b x a x b c x a b x b x c a b x a x b c a b x b x c a b xb c a b c x a b x b c x x a b c a b x b c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、11111111211111003111110041111100x x x x x y x y y x y++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()000x x x xy y xx xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b a c a ab c b ac a b a c a a b c b a c a --==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b a c a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac a b ab a b a c a c ac b ab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a a b b b a b a b a c a c a b a c c c a c a =--=------- 整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a a b a c a c b bb cc ---= 故原式得证。
《线性代数》课后习题答案
《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。
（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
线性代数答案第三,四章 课后答案
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020031001201 )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--30003100120133~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320 21233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000310*******1~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00031005010(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------10105663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2212210022100343112423213~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000002210032011(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------3473238234202173132 242321232~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~rr r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00410001********* 32~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000410003********* 2．解 在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等 于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000010000100001α 3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得 到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ， 故而)()(B R A R ≥.4． 解 设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设 ⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x 故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0010000010000001100101 5．.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------56456401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131223123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r rr r r 2000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-． (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~rr rr r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00100007121002301秩为3 三阶子式0702385523085570≠=-=-．6． 解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---34113100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1343344321kx x x x(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00001001021~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x xx x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10010012214321k k x x x x(3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x 7． 解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--603411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000021101201~即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000100011112~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----00007579751025341253414312311112~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x8．解 (1) 0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2) )()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(0)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解. 9．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=)2)(1(0)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------154224521222λλλλ初等行变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------2)4)(1(2)10)(1(00111012251λλλλλλλλ 当0≠A ,即02)10()1(2≠--λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，无解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，有无穷多解.此时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000001221原方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)11．解 （1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10010001323513123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10121121023200010023~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2102121129227100010003~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267100010001~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267 (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20143011000010012110012102321~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------1061263111010421110010000100001~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211 12．解(1) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41231521010010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∴-4123152101B A X (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛132321433312120B A 初等列变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---474112100010001⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==∴-4741121BAX ． 第四章 向量组的线性相关性1．解 21v v -TT)1,1,0()0,1,1(-=T)10,11,01(---=T)1,0,1(-= 32123v v v -+TTT)0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T)01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=T)2,1,0(=2． 解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61TT T --+=T)4,3,2,1(=3．解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示. (2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关 (3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关取021====m a a a 取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的.(4) Ta )0,1(1= Ta )0,2(2= Tb )3,0(1= Tb )4,0(2=⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾. 4．证明 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相 关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 0110110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由011011000111001=知此齐次方程存在非零解则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.5．证明 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221rr r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001001101121r k k k因为01111011≠=故方程组只有零解则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关 6．解 (1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r rr --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53153103210431731252334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0003100321043173125所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---141131302151201221114132~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------2221512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组． 7．解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T TT a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00032198204121~秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T TTa a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000189903121~秩为2,最大线性无关组为TTa a 21,.8．证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关 不妨设:nnn n n n n n n n a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛TnT Tnn n n n n T nT Ta a a k k k k k k k k k e e e2121222211121121 两边取行列式，得TnTTnn n n n n TnTT a a a k k k k k k k k k e e e2121222211121121=由002121≠⇒≠TnTT TnTT a a a e e e即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21 线性无关.9．证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量Tn k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即nnn n n n nn n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n T T Tnn n n n n T nT T k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121 两边取行列式，得TnTTnn n n n n TnTT k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nnn n n n TnTT k k k k k k k k k a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯nn n n n n nn k k k k k k k k k A212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T n TTT nTTT n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεε212112121即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由8题知n a a a ,,,21 线性无关.10． 证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,,含有的向量个数 (秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ''',,等价,易知B A ,均可由C 线性表示,则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤ 设A '与B '中的向量共同构成向量组D ,则B A ,均可由D 线性表示, 即C 可由D 线性表示,从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D ),D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.11.证明:设T n a a a A ),,,(21 = Tn b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为Tr T T ααα,,,21 Ts T T βββ,,,21显然,存在矩阵B A '',,使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T TT nT T A a a a ααα 2121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s TT T n T T B b b b βββ2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+∴T n T n T T T T b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T TB A βββααα2121因此 ()()()B R A R B A R +≤+ 12．证明 ⇒若B 组线性无关 令),,(),,(11s r a a A b b B ==则有AK B =由定理知)()}(),(min{)()(K R K R A R AK R B R ≤≤= 由B 组:r b b b ,,,21 线性无关知r B R =)(，故r K R ≥)(. 又知K 为s r ⨯阶矩阵则},min{)(s r K R ≤由于向量组B :r b b b ,,,21 能由向量组A :s a a a ,,,21 线性表示,则s r ≤ r s r =∴},min{综上所述知r K R r ≤≤)(即r K R =)(．⇐若r k R =)(令02211=+++r r b x b x b x ,其中i x 为实数r i ,,2,1 =则有0),,,(121=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r r x x b b b又K a a b b s r ),,(),,(11 =,则0),,(11=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r s x x K a a由于s a a a ,,,21 线性无关,所以021=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅r x x x K即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++00002211221122221121221111r rs s s r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k （1）由于r K R =)(则(1)式等价于下列方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k由于0212221212111≠rrrrr r k k k k k k k k k所以方程组只有零解021====r x x x .所以r b b b ,,,21 线性无关, 证毕.13．证明 集合V 成为向量空间只需满足条件： 若V V ∈∈βα,，则V∈+βα若R V ∈∈λα,，则V ∈λα1V 是向量空间，因为：0),,,(2121=+++=n Tn ααααααα 0),,,(2121=+++=n Tn βββββββTn n ),,,(2211βαβαβαβα+++=+且)()()(2211n n βαβαβα++++++0)()(2121=+++++++=n n αααβββ 故1V ∈+βα),,,(,21n R αααλαλ =∈00)(2121=⋅=+++=+++λαααλλαλαλαn n 故1V ∈λα2V 不是向量空间，因为：)()()(2211n n βαβαβα++++++211)()(2121=+=+++++++=n n αααβββ 故2V ∉+βα),,,(,21n R λαλαλαλαλ =∈λλαααλλαλαλα=⋅=+++=+++1)(2121n n故当1≠λ时，2V ∉λα 14．证明 设),,(321a a a A =11101110,,321a a a A =0211101011)1(1≠-=-=- 于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,a a a 均为三维,且秩为3, 所以321,,a a a 为此三维空间的一组基,故由321,,a a a 所生成的向量空间 就是3R .15．证明 设{}R k k a k a k x V ∈+==1122111,{}R x V ∈+==1122112,λλβλβλ任取1V 中一向量,可写成2211a k a k +, 要证22211V a k a k ∈+,从而得21V V ⊆ 由22112211βλβλ+=+a k a k 得⎩⎨⎧=+-+=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==+1212112122121211212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ上式中,把21,k k 看成已知数,把21,λλ看成未知数0211021≠=-=D 21,λλ⇒有唯一解21V V ⊆∴同理可证: 12V V ⊆ (001112≠=D )故21V V =16．解 由于0623111321,,321≠-=-=a a a 即矩阵),,(321a a a 的秩为3故321,,a a a 线性无关，则为3R 的一个基. 设3322111a k a k a k v ++=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒132321k k k 故321132a a a v -+= 设3322112a a a v λλλ++=，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒233321k k k 故线性表示为3212233a a a v --=17．.解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=0041431004012683154221081~初等行变换A所以原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=-=4323141434x x x x x 取3,143-==x x 得0,421=-=x x 取4,043==x x 得1,021==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4010,310421ξξ(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=00019719141019119201~367824531232初等行变换A 所以原方程组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=4324311971914191192x x x x x x取2,143==x x 得0,021==x x 取19,043==x x 得7,121==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19071,210021ξξ(3)原方程组即为1212)1(------=n n x x n nx x取0,11321=====-n x x x x 得n x n -=取0,114312======-n x x x x x 得1)1(+-=--=n n x n取0,12211=====--n n x x x x 得2-=n x所以基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=-21100010001),,,(121n nn ξξξ 18．解由于2)(=B R ,所以可设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43211001x x x x B 则由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=00001001825931224321x x x x AB 可得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛59228020802301003014321x x x x ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2125212114321x x x x ， 故所求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2125212111001B ． 19．解 显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x ,(R k k ∈21,)即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x 消去21,k k 得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组. 20．解 由于矩阵的秩为3，134=-=-r n ，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于321,,ηηη均为方程组的解，由 非齐次线性方程组解的结构性质得齐次解齐次解齐次解=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-=+-6543)()()()()(22121321ηηηηηηη为其基础解系向量，故此方程组的通解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543k x ，)(R k ∈21．证明 设A 的秩为1r ，B 的秩为2r ，则由0=AB 知，B 的每一列向量 都是以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量． 当n r =1时,该齐次线性方程组只有零解,故此时0=B ,n r =1，02=r ，n r r =+21结论成立．(2) 当n r <1时,该齐次方程组的基础解系中含有1r n -个向量,从而B 的列向量组的秩1r n -≤,即12r n r -≤,此时12r n r -≤,结论成立。
线性代数 课后习题详解 第三章
第三章 向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+.解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=32123v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T )01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯= T )2,1,0(=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61T T T --+=T )4,3,2,1(=3．举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示. (2)若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. (3)若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.(4)若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a 032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ ) m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关 取021====m a a a 取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的.(4) T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2= ⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.4．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组 4321,,,b b b b 线性相关.证明 设有4321,,,x x x x 使得 044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k , 411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相 关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知此齐次方程存在非零解 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.5．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组 r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关. 证明 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= 故方程组只有零解则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---140113130********211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53105310321043173125 2334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1401131302151201221114132~r r rr --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组．7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta . 解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000032198204121~ 秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,. 8．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能 由它们线性表示,证明n a a a ,,,21 线性无关. 证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关不妨设:nnn n n n nn nn a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121 两边取行列式，得 T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121=由002121≠⇒≠TnTTT n T T a a a e e e即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21 线性无关.9．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量 T n k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都 可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即 nnn n n n nn nn k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121 两边取行列式，得T nT T nnn n n n Tn TTk k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nn n n n n TnTTk k k k k k k k k a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T TT n T T T n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεε 212112121 即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由8题知n a a a ,,,21 线性无关.10．设向量组A :s a a a ,,,21 的秩为1r ,向量组B :t b b b ,,,21 的秩2r 向量组C : r s b b b a a a ,,,,,,,2121 的秩3r ,证明 21321},max{r r r r r +≤≤证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,,含有的向量个数 (秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ''',,等价,易知B A ,均可由C 线性表示,则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤设A '与B '中的向量共同构成向量组D ,则B A ,均可由D 线性表示,即C 可由D 线性表示,从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D ), D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.11.证明()()()B R A R B A R +≤+.证明:设T n a a a A ),,,(21 = T n b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为T r T T ααα,,,21 Ts T T βββ,,,21 显然,存在矩阵B A '',,使得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T A a a a ααα 2121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T B b b b βββ 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+∴T n T n T T T T b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T T B A βββααα 2121 因此 ()()()B R A R B A R +≤+12．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为K a a b b s r ),,(),,(11 =，其中K 为r s ⨯矩阵，且A 组线性无关。
大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整精编版
= 10 ⋅ (−1)
1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1
⋅1⋅ 2L 8 ⋅ 9 = 10!
11、
1 1 1 1 1 第2行 − 第1行 1 0 −2 0 0 第3行 − 第1行 = 1*(−2)3 = −8 −1 1 0 0 −2 0 第4行 − 第1行 1 −1 0 0 0 −2
12、该行列式中各行元素之和均为 10，所以吧第 2，3，4 列加到第 1 列，然后再把第 1 列 后三个元素化为零，再对第 1 列展开，即
1 0 0
18、 A = 1 2
0 = 1* 2*3 = 3!，
1 2 3
0 0 B =0
0 0 0
0 0
0 −1 −2 0 0 = (−1) 0 0 0 0
−3 0
5(5 −1) 2
(−1)(−2)(−3)(−4)(−5) = −5!
0 −4 0 −5 0 0
所以
* B
A = (−1)3*5 | A || B |= −3!5! 0
1 a2 可以看出， M 42 = (ab + bc + ca)M 44 ，即 1 b 2 1 c2
1 0 2 a a 0 2 1 a 2 0 b 0 第1，列 4 0 0 b 2 第2， 3行 5 23、 − 3 c 4 5 对换 5 c 4 3 对换 0 d 0 0 0 0 0 0 d 0
a3 1 a a2 b3 = (ab + bc + ca) 1 b b 2 ，得证. c3 1 c c2
所以n2n原式由公式得22n为阶范德蒙行列式nn原式n又1an所以原式31系数行列式njiij100110114220对换114220对换11145130110101112042204211111110114行1201111001111010113行112114行4120对换101110111121412053421001415d410110113210对换014321对换10145145110110011032102143110104行11101114行所以32系数行列式01111011101101011110112行对换011101110100110101001111101111101101014111001110410030010第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行120110000101511121第1行第5行10074第1行第3行111010101000第1行第4行110第1行第2行01111112111410115110第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0111001101010100111按第1列展开17按第4列44展开14011510第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行1010100001110111100按第1列展开1113按第1列展开01111101111214111150第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0101000011110101111按第1列0110展开101按第1列展开01111011111241105第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行01010000110111111按第1列展开001101110115按第1列展开所以d4d4d4d4d433因为齐次线性方程组有非零解所以其系数行列式即2111aa1b第2行第1行第3行第1行第4行第1行110100所以34设直线方程由于直线过点所以2
居于马线性代数第二章答案
1123124134234112022112322112322112022x x x x x x x x x x x x ⎧--=⎪⎪⎪-+-=⎪⎨⎪-+-=⎪⎪⎪--+=⎩ 311111212,210123101A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4342314332223220220x x x x x x x ⎧=⎪⎪⎪-=∴⎨⎪-=⎪-=⎪⎩解得12341221x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩. 2 123423412423423443331733x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-++=-⎩()123441234412344011130111301113,130310537300212120731307313000160A b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭43423412341602121232344x x x x x x x x x x -=⎧⎪-=⎪∴⎨-+=-⎪⎪-++=⎩解得43210638x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩ 3 12341234123412342353342322887980x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=-⎪⎨++-=⎪⎪+++=⎩此含矛盾方程，故原方程无解！4 1234123412341234101111024570333205250x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-+-=⎪⎪+-+=⎩342341234313033201011110x x x x x x x x x -+=⎧⎪∴-+=⎨⎪-+-=⎩取4x k =，则3133x k =，211,3x k =10.x =解为11130,,,33k k k ⎛⎫⎪⎝⎭，k 为任意常数. 512312321231px x x x px x p x x px p⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 分情况讨论：1) 无解 ()()120p p -+=但是()()2110p p -+≠时无解，即2p =-.2) 唯一解 0A ≠即()()()11120p p p ⋅--+≠，解得1p ≠且2p ≠-.此时的解为 3) 无穷解 0,A =解之有1p =或者2p =-(舍).故1p =，所以解为()12121,,k k k k --, 其中12,k k 为任意常数.612341234123412343621230510341x x x x x x x x x x x x q x x px x --+=-⎧⎪--+=⎪⎨++-=⎪⎪+++=⎩ 讨论：1) 唯一解：0A ≠解得 2.p ≠此时解为213223,14,,227227q q q q q p p ⎛⎫⎛⎫------- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2) 无解：2, 2.p q =≠3) 无穷解：2,2p q ==此时解为310,2,,.77k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭k 为任意常数. 8 解:设母鸡x 只，公鸡y 只，小鸡z 只.列方程得531003100z x y x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ 解方程有，还原为方程组有1003760074100.1410024003x y z y z x y x y z y z ++=⎧+=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨++=+=⎩⎪⎩从而0,254,188,1112,4x y x y x y x y ==⎧⎪==⎪⎨==⎪⎪==⎩，继续求解z ，得到0,25,754,18,788,11,8112,4,84x y z x y z x y z x y z ===⎧⎪===⎪⎨===⎪⎪===⎩.9 设1030,2112A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则10 311111212,210123101A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11 32653012110102401042210211--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭12 12123232101137.10324815--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13 ()()2101,1,21139,2,1.421-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭14 1100.00a b a a ma mb bb -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 15 ()1112121222121211112,,,,,,n nn nn n i i i i in i i i i n n nn a a a a a a y y y a y a y a y a a a ===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭∑∑∑ 16()()211222122112.a a x a a x x +++17 111212122200n n a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭18 1112212212202020n n a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭19 123112233123222a a a a b a b a b c c c ⎛⎫⎪-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭20 321432143214a a a a b b b b c c c c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22()()212112122222111220:11,2,,,0n n n n n n n ik kj ij k n n n nn ii ij a b a b a b a b a b A a a a i j a b a b a b A b i n b ⨯=⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪===≠< ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭===∑L L L L L L ()n n nn a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23、本题是求一个矩阵n 次幂的题目，我们常规的做法，是通过数学归纳法，归纳出它n次幂后的通项公式！以0110n⎛⎫ ⎪-⎝⎭为例。
线性代数课后习题答案全）习题详解
线性代数课后习题答案全）习题详解前言因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x yyx y x +++. 解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）7110025*********4；（2）-265232112131412；（3）---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-?---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 11111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22) 1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(+++++++++++++++ +=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边964412964412964412964412241312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+dd d c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)11))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =?---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n nn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 000100000000 00001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-?-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--?-+n n n a a a(再按第一行展开)n n n nn a a a+-?-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?-?-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即∏=-=ni i i iin D c b d22)(而 111111112c b d a d c b a D -==得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0 432111111111111111111111 --------------n n n n ,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n (6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100 00100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------000 00000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x上一页下一页。
居余马线性代数课后详细答案
1、22220a aba b ab ab ab b =⋅-⋅=2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi ba bi a bi ab a b ab a b a a bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+---- 20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)0101w w w w w ww w w w w w w w w w w w +⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663xxxx x x x x x x x x x =++---=-+9、143000400400431(1)0434*******4324321+-=-=-按第行展开10、公式：111112111222222122112212000000000000n n nn nn nnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,11100000000(1)000n n n nn n n n n n n n n n n n nnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：101000010000100200002010(1)1008000080090000910+-⋅按第行展开9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、3111111112111110200311*(2)8111100204111110002----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即123412341234211132341134101131031101022234121412022211141412311230111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、504211111111210112111210210143247412041200324153111150420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）3656411111111111111125453254530327503275363422546503287000122546536342030750020011111365640329700022------===--- 根据课本20页公式（1.21），原式012112003*41203022=-=-=-（）15、1200340012132*16001334510051-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*220000*********01000024000240101100013-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22）23001121120030212(1)30212*(5)6000240312401240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!030004000500B ---==------=----所以3*5*(1)||||3!5!0AA B B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b x a x b c x a b x b x c a b x a x b c a b x b x c a b xb c a b c x a b x b c x x a b c a b x b c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、11111111211111003111110041111100x x x x x y x y y x y++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()0000x x xxy y x x xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b ac a ab c b a c a b a c a a b c b a c a--==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b a c a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac a b ab a b a c a c ac b ab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a a bb b a b a b ac a c a b a c c c a c a =--=------- 整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a a b a c a c b bb cc ---= 故原式得证。
《线性代数》课后习题答案
第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。
（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
线性代数课后习题答案全习题详解
线性代数课后习题答案全习题详解(总92页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x yyx y x +++. 解 （1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae acab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a 100110011001 解(1)7110025*******21434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)265232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -;(2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=yx z x z y zy x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11 =,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 010000000000001000=按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a a a (再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) n nnnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-= 112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 51165100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-=1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列5100650006100051650061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+= 51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1 已知线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B 求3AB 2A 及A TB解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321((132231)(10)(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x(a 11x 1a 12x 2a 13x 3 a 12x 1a 22x 2a 23x 3 a 13x 1a 23x 2a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=5 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A ⎪⎭⎫⎝⎛=2101B 问(1)AB BA 吗 解 AB BA 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA 所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗 解 (A B)2A 22AB B 2 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛=27151610所以(A B)2A 22AB B 2 (3)(A B)(A B)A 2B 2吗 解 (A B)(A B)A 2B 2因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A故(A B)(A B)A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A 20 则A 0 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 则A 20 但A 0(2)若A 2A 则A 0或A E 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A 则A 2A 但A 0且A E(3)若AX AY 且A 0 则X Y 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y则AX AY 且A 0 但X Y7 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA 求A 2A 3Ak解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A 求A k解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A⎝⎛=kA k k kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设k 时成立，则k 1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵证明 因为A T A 所以(B T AB)T B T (B T A)T B T A T B B T AB 从而B T AB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明 充分性 因为A T A B T B 且AB BA 所以(AB)T (BA)T A T B T AB 即AB 是对称矩阵必要性 因为A T A B T B 且(AB)T AB 所以 AB (AB)T B T A T BA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)⎪⎭⎫⎝⎛5221解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A |A|1 故A 1存在 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225 (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A |A|10 故A 1存在 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A |A|20 故A 1存在因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2a n0)解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 12 解下列矩阵方程 (1)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛12643152X解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===35321x x x14 设A k O (k 为正整数) 证明(E A)1E A A 2 A k1证明 因为A k O 所以E A k E 又因为E A k (E A)(E A A 2A k 1)所以 (E A)(E A A 2 A k 1)E 由定理2推论知(E A)可逆 且(E A)1E A A 2A k1证明 一方面 有E (E A)1(E A) 另一方面 由A k O 有 E (E A)(A A 2)A 2A k1(A k1A k )(E A A 2 A k 1)(E A)故 (E A)1(E A)(E A A 2 A k 1)(E A) 两端同时右乘(E A)1就有(E A)1(E A)E A A 2A k115 设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆 并求A 1及(A 2E)1证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 即A(A E)2E 或E E A A =-⋅)(21由定理2推论知A 可逆 且)(211E A A -=-由A 2A 2E O 得 A 2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E)4E或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A 2E)可逆 且)3(41)2(1A E E A -=+-证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得 |A 2A|2 即 |A||A E|2 故 |A|0所以A 可逆 而A 2E A 2 |A 2E||A 2||A|20 故A 2E 也可逆 由 A 2A 2E O A(A E)2E A 1A(A E)2A 1E)(211E A A -=-又由 A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E)4E(A 2E)(A 3E)4 E所以 (A 2E)1(A 2E)(A 3E)4(A 2 E)1)3(41)2(1A E E A -=+- 16 设A 为3阶矩阵 21||=A 求|(2A)15A*|解 因为*||11A A A =- 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A|2A 1|(2)3|A 1|8|A|1821617 设矩阵A 可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*)1(A 1)*证明 由*||11A A A =- 得A*|A|A 1所以当A 可逆时 有|A*||A|n |A 1||A|n 1从而A*也可逆 因为A*|A|A 1所以(A*)1|A|1A又*)(||)*(||1111---==A A A A A 所以(A*)1|A|1A |A|1|A|(A 1)*(A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*||A|n 1证明(1)用反证法证明 假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得A A A*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O 这与|A*|0矛盾，故当|A|0时 有|A*|0 (2)由于*||11A A A =- 则AA*|A|E 取行列式得到|A||A*||A|n 若|A|0 则|A*||A|n 1若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立因此|A*||A|n119设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A AB A 2B 求B解 由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133020 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A 且AB E A 2B 求B解 由AB E A 2B 得 (A E)B A 2E 即 (A E)B (A E)(A E)因为01001010100||≠-==-E A 所以(A E)可逆 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B解 由A*BA 2BA 8E 得(A*2E)BA 8EB 8(A*2E)1A 1 8[A(A*2E)]1 8(AA*2A)1 8(|A|E 2A)18(2E 2A)14(E A)14[diag(2 1 2)]1)21 ,1 ,21(diag 4-=2diag(1 2 1)22已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A且ABA 1BA13E 求B 解 由|A*||A|38 得|A|2 由ABA1BA13E 得AB B 3AB 3(A E)1A 3[A(E A 1)]1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ2001求A 11解 由P 1AP得A P P 1所以A 11 A=P 11P 1.|P|3 ⎪⎭⎫⎝⎛-=1141*P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273124 设AP P 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511 求(A)A 8(5E 6A A 2) 解 ()8(5E 62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P ()P 1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111425 设矩阵A 、B 及A B 都可逆 证明A 1B 1也可逆 并求其逆阵证明 因为 A 1(A B)B 1B1A1A1B1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(A B)B 1可逆 即A1B 1可逆(A1B 1)1[A 1(A B)B 1]1B(A B)1A26 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521 27 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A ≠解41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A而01111|||||||| ==D C B A故 |||||||| D C B A D C B A ≠28 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A 求|A 8|及A 4解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A 1682818281810||||||||||===A A A A A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆 求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211C C C C O B A O 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111(2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211D D D D B C O A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B 则⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=--8532253811B于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
居于马线性代数第二章答案.doc
解得 , ,
, 从而
63
64令 设 则
解得 ,故
补充题
67
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
68解：
70
(A) ,但 不能得到 ，如 .
(B) 这里 但是
(C)令 计算知 但是 既不是 也不是 .
(D)正确
(E)正确.
(F)
71 .
故 所以
73 由 整理有 .
从而
74 又因为 且 故
所以 从而 .
76若 有
(2)假设 阶矩阵成立，下证对 阶亦成立.设
其中 是满足上述假设条件的矩阵.下证 主对角线元素全为1.
故 主对角线元素全为1.
93证明： 故 可逆.
设 则 即 解之有
故
94数学归纳法
(1) 时 则
(2)假设 时成立
(3)下证 时成立.
设
解得 故 为下三角矩阵.
95
因为 可交换，从而易知
若 ,又 有 为对称阵.
39
1) 为对称阵。
，当 为偶数时 为对称阵， 为奇数时 为反对称阵.
2)
为反对称阵.
40、
（1）
故 .解得
所以
（2）
故
解之有 故
（3）
故
（4）
故
（5）
（6）
故
41（1）因为 由 故可逆，且
（2） 存在，下面求 ，
故
（3） 存在，下求 ，
42令 则因为 故 存在，从而 用初等行变换求此逆矩阵，有
整理有
故 ，
即所求为 .
29证明： ，设 ，若 ,则有
由矩阵相等的知识知 ，又 时 故只有 。
居余马线性代数第三章课后习题
第三章 课后习题及解答将1,2题中的向量α暗示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T 4T 3T 21T --=--=--===αααααT 2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα 解：设消失4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=,整顿得 解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=.设消失 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=,整顿得02321=++k k k ,04321=+++k k k k ,0342=-k k ,1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=. 断定3,4题中的向量组的线性相干性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T 3T 2T 1===ααα 4.()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T 3T 2T 1==-=βββ， 解：3.设消失 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ,即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ,由0651321101=,解得321,,k k k 不全为零, 故321,,ααα线性相干.4.设消失 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零,故321,,βββ线性相干. ）（n a a a ,,,21 =α线性相干和线性无关的前提.解：设消失k 使得0=αk ,若0≠α,要使0=αk ,当且仅当0=k ,故,单个向量线性无关的充要前提是0≠α;相反,单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相干的充要前提是0=α.6.证实：假如向量组线性无关,则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关,应用反证法,假设消失该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r≤ααα 线性相干,则向量组n n αααα,,,,121- 线性相干,与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关抵触,所以该命题成立.7.证实：若21,αα线性无关,则2121,αααα-+也线性无关. 证：办法一,设消失21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k , 整顿得,0)()(221121=-++ααk k k k , 因为21,αα线性无关,所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ,可解得021==k k ,故2121,αααα-+线性无关.办法二,因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα, 又因为021111≠-=-,且21,αα线性无关,所以向量组2121,αααα-+的秩为2,故2121,αααα-+线性无关.s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 个中s βββ,,,21 是分离在s ααα,,,21 的k 个分量后随意率性添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所构成的m k +维向量,证实：(1) 若s ααα,,,21 线性无关,则s βββ,,,21 线性无关; (2) 若s βββ,,,21 线性相干,则sααα,,,21 线性相干.证：证法1,(1)设()s A ααα,,,21 =,()s B βββ,,,21 =,因为s ααα,,,21 线性无关,所以齐次线性方程0=AX 只有零解,即,)(s A r = 且s B r =)(,s βββ,,,21 线性无关.证法2,因为s ααα,,,21 线性无关,所以齐次线性方程0=AX 只有零解,再增长方程的个数,得0=BX ,该方程也只有零解,所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 应用反证法可证得,即假设s ααα,,,21 线性无关,再由（1）得s βββ,,,21 线性无关,与s βββ,,,21 线性相干抵触.9. 证实：133221,,αααααα+++线性无关的充分须要前提是321,,ααα线性无关.证：办法1,（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关,且02110011101≠=,可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关;反之也成立.办法2,充分性,设321,,ααα线性无关,证实133221,,αααααα+++线性无关.设消失321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ,整顿得,因为321,,ααα线性无关,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ,可解得0321===k k k ,所以133221,,αααααα+++线性无关. 须要性,（办法1）设133221,,αααααα+++线性无关,证实321,,ααα线性无关,假设321,,ααα线性相干,则321,,ααα中至少有一贯量可由其余两个向量线性暗示,无妨设321,ααα可由线性暗示,则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性暗示,且23>,所以133221,,αααααα+++线性相干,与133221,,αααααα+++线性无关抵触,故321,,ααα线性无关.办法2,令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=,设消失321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ,由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=,代入 0332211=++αααk k k 得,0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ,即 因为321,,βββ线性无关,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ,所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否准确？如准确,证实之;如不准确,举反例： （1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分须要前提是随意率性两个向量线性无关;解：不准确,须要前提成立,充分前提不成立,例：2维向量空间不在一条直线的3个向量,固然两两线性无关,但这3个向量线性相干.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111001321ααα，，,321,,ααα两两线性无关,而321,,ααα线性相干.（2）m ααα,,,21 ）（2>m 线性相干的充分须要前提是有1-m 个向量线性相干;解：不准确,充分前提成立,但须要前提不成立,例：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001321ααα，，,321,,ααα线性相干,而俩321,,ααα两两线性无关.(3) 若21,αα线性相干,21,ββ线性相干,则有不全为零的数21,k k ,使得02211=+ααk k 且02211=+ββk k ,从而使得0222111=+++）（）（βαβαk k , 故2211βαβα++，线性相干.解：不准确,因为21αα，线性相干和21ββ，线性相干,不一定消失统一组不全为零的数21,k k ,使得02211=+ααk k 和02211=+ββk k 成立;或者说消失两组不全为零的数21,k k 和21,t t 使得02211=+ααk k 和02211=+ββt t 成立.(4). 若321,,ααα线性无关,则133221,,αααααα---线性无关. 解：不准确,因为取1,1,1这组常数,使得0133221=-+-+-）（）（）（αααααα,所以133221,,αααααα---线性相干.(5) 若4321,,,αααα线性无关,则14433221,,,αααααααα++++线性无关; 解：不准确,因为14433221,,,αααααααα++++线性相干, 由9题,n 为奇数个时,线性无关,n 为偶数时,线性相干.(6). 若n αααα,,,,321 线性相干,则113221,,,,αααααααα++++-n n n 线性相干;解：准确,因为n αααα,,,,321 线性相干,所以n αααα,,,,321 中至少有一贯量可由残剩的1-n 个向量线性暗示,则113221,,,,αααααααα++++-n n n 也可由那残剩的1-n 个向量线性暗示,再因为1->n n ,所以113221,,,,αααααααα++++-n n n 线性相干.4321,,,αααα线性相干,但个中随意率性3个向量都线性无关,证实必消失一组全不为零的数4321,,,k k k k ,使得044332211=+++ααααk k k k . 证：因为4321,,,αααα线性相干,所以消失不全为零的常数4321,,,k k k k ,使得044332211=+++ααααk k k k ,假设01=k ,则0443322=++αααk k k ,得432ααα，，01≠k ;同样办法可证得432,,k k k 都不为零. 所以该命题成立.r ααα,,,21 线性无关,证实：r αααβ,,,,21 线性无关的充分须要前提是β不克不及由r ααα,,,21 线性暗示.证：须要性,假设β能由r ααα,,,21 ,则r αααβ,,,,21 线性相干与r αααβ,,,,21 线性无关抵触,故β不克不及由r ααα,,,21 线性暗示.充分性,设消失r k k k k ,,,,210 使得03322110=+++++r r k k k k k ααααβ , 若00≠k ,则β能由r αααα,,,,321 线性表出,抵触,所以00=k , 是以,0332211=++++r r k k k k αααα ,又因为r ααα,,,21 线性无关, 所以021====r k k k ,故,r αααβ,,,,21 线性无关.13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性暗示： （1）;)3,1,0,1,7(),22,6,9,4,1(),4,3,2,0,1(),2,9,1,4,6(4321-=--=-==αααα（2）)0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321-====-=ααααα; （3）.)3,2,1(),0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(4321-====αααα解：（1）()TT T T 4321,,,αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----322421639092114047116→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000100005100101 所以,向量组的秩为3,421,,ααα为一个极大线性无关组,2135ααα-=. （2）相似（1）,可求得向量组的秩为3,421,,ααα为一个极大线性无关组,且2133ααα+=,2145αααα--=.（3）相似（1）,可求得向量组的秩为3,321,,ααα为一个极大线性无关组,312435αααα--=.14.设向量组：).6,5,1,2(),0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(545321=-====-=ξξξξξξ（1）证实21ξξ，线性无关;（2）求向量组包含21ξξ，的极大线性无关组.（1）证：设消失21,k k ,使得02111=+T T k k ξξ,求得021==k k ,所以21ξξ，线性无关;（2）解, ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0000011000101101030160142452712110312131,,,,T 54321 ξξξξξT T T T ,所以,421,,ξξξ为包含21ξξ，的一个极大线性无关组.B A ,皆为n 阶矩阵,n B r n A r ≤≤)(,)(,证实：（1）秩)()(00B r A r B A +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛; （2）秩)()(0B r A r B C A +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛,C 为随意率性n 阶矩阵. 证：（1）设21)(,)(r B r r A r ==,则消失n 阶可逆矩阵Q P ,,'',Q P , 使得,0001⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r E PAQ ,0002''⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r E BQ P 从而 则秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00秩).()(00000021''B r A r r r Q Q B A P P +=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）因为秩())(A r C A≥,所以秩)()(0B r A r B C A +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛.))(),(min()(B r A r AB r ≤.证：设B A ,分离为s n n m ⨯⨯,矩阵,将A 按列分块,则有()n AB ααα 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ns n n s s b b b b b bb b b212222111211的列向量组s γγ,,1 可由A 的列向量组n ααα,,,21 线性暗示,故AB AB r =)(的列秩A ≤的列秩=)(A r ,同样,将B 按行分块,得)()(B r AB r ≤,是以,该命题成立.1. 设B A ,分离为m n n m ⨯⨯,矩阵,且m n <,证实：齐次线性方程组0)(=X AB 有非零解.证：由m n B r A r AB r <≤≤))(),(min()(,所以0=AB ,故齐次线性方程组0)(=X AB 有非零解.A 是一个n s ⨯矩阵,B 是由A 的前m 行构成的n m ⨯矩阵.证实：若A的行向量组的秩为r ,则s m r B r -+≥)(.证：设,,,2,1),,,,(21s i a a a in i i i ==α⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+s m mA αααα 11,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m B αα 1.设p B r =)(,于是,B 的行向量组的极大线性无关组{}pi i i ααα,,,21含p个向量.是以,A 的行向量组的一个极大线性无关组是向量组{}s m i i i p ααααα,,,,,,121+的一个子集,所以它所含向量个数)(m s p -+≤,即)()(m s p r A r -+≤=, 从而,s m r p B r -+≥=)(.求下列（19—22题）矩阵的秩,并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式：19.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----12100400003210054321.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000200003210054321342112100400003210054321 所以,矩阵的秩为3.04400310531≠-=--为一个最高阶的非零子式. 20. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000400010030012112341 所以,矩阵的秩为3.01203103111≠=--为一个最高阶的非零子式. 21. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------165543131223123.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------165543131223123→→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------213200917137039431所以,矩阵的秩为3.014554312123≠-=---为一个最高阶的非零子式. 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000100011000111200112001120011 所以,矩阵的秩为4.011200112001120011≠-=为一个最高阶的非零子式.A 是一个n m ⨯矩阵,证实：消失非零的s n ⨯矩阵B ,使得0=AB 的充要前提是n A r <)(.证：设齐次线性方程组0=AX ,()021≠=s B βββ ,则由0=AB , 可得s j A j ,,2,1,0 ==β,因为,()021≠=s B βββ ,至少有一个0≠j β,再由0=AX 有非零解的充要前提是n A r <)(,故,s j A j ,,2,1,0 ==β, 至少有一个0≠j β的充要前提是n A r <)(.B A ,是同形矩阵,证实：A 与B 相抵的充要前提是)()(B r A r =.证：设B A ,是n m ⨯矩阵,p B r r A r ==)(,)(,则消失可逆矩阵2121,,,Q Q P P , 使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00011rE AQ P ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00022p E BQ P , 充分性,因为)()(B r A r =,所以,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011rE AQ P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00022pE BQ P , B Q AQ P P =--121112)(,令Q Q Q P P P ==--121112,)(,故,B PAQ =是以,A 与B 相抵.须要性,因为A 与B 相抵,所以,消失可逆矩阵Q P ,,使得B PAQ =, 是以,)()(B r A r =.A 是n m ⨯矩阵）（n m <,m A r =)(,证实：消失m n ⨯矩阵B 使得m I AB =. 证：因为m A r =)(,所以,消失可逆矩阵Q P ,,使得()0m I PAQ =,所以有()01m I P AQ -=,())0(011--==P I P AQ m, (1)(3) 右端乘m n ⨯阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0P T ,得m I AQT =,令B QT =,故,m I AB =.26.证实：若n 阶方阵A 的秩为r ,则必有秩为r n -的n 阶方阵B ,使得0=BA .证：因为n 阶方阵A 的秩为r ,所以T A 的秩为r ,则0=X A T 的基本解系含有r n -个线性无关的解向量,取这r n -个线性无关的解向量r n X X -,,1 为T B 的列向量,则)()(B r r n B r T =-=.是以,该命题得证.27.证实：任何秩为r 的矩阵可以暗示为r 个秩为1矩阵之和,而不克不及暗示为少于r 个秩为1的矩阵之和.证：设A 为秩为r 的矩阵,则消失可逆矩阵Q P ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000r E PAQ , 所以,1111111111)(000--------++=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q B P Q B P Q B B P Q E P A r r r,个中r B B ,,1 为秩为1的矩阵是以,任何秩为r 的矩阵可以暗示为r 个秩为1矩阵之和.后部的证实,（反证法）假设A 为秩为r 的矩阵,能暗示为少于r 个秩为1的矩阵之和,无妨设A 能暗示为p 个秩为1的矩阵之和,个中,r p <,设),(1p B B A ++= 个中p B B ,,1 是秩为1的矩阵.r p B r B r A r p <=++≤)()()(1 ,与r A r =)(抵触.28.求下列齐次线性方程组的一个基本解系及一般解：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+=-+-0793083032054321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7931181332111511→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000002271012301 取43,x x 为自由未知量,令0,143==x x 和1,043==x x ,得原方程组的一个基本解系为T T X X )1,0,2,1(;)0,1,27,23(21--=-=,是以,一般解为2211X k X k X +==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102101272321k k ,个中21,k k 为随意率性常数.(2).⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-+-+=+---=++-+03162505341211027322028354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------316251534121112732212813→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000000000100121825872183819 取543,,x x x 为自由未知量,令0,0,1543===x x x ,0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x ,得原方程组的一个基本解系为是以,一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=10001000121213825832878191332211k k k X k X k X k X ,个中,321,,k k k 为随意率性常数.29. 求下列非齐次线性方程组的一般解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2749422536372432143214321x x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛246714922531372→→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01080000151100491取32,x x 为自由未知量,令032==x x ,得方程组的一个特解：T X )10,0,0,8(0-=,再令0,132==x x 和1,032==x x ,得其导出组的一个基本解系：T T X X )5,1,0,4(,)11,0,1,9(21-=-=.所以,方程组的一般解为22110X k X k X X ++=,个中21,k k 为随意率性常数.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++-=-+++=++++12334523622232375432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12232713345622103112311111→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00231600000000006221051101 取,,,543x x x 为自由未知量,令0543===x x x ,得方程组的一个特解：T X )0,0,0,23,16(0-=;再取0,0,1543===x x x ,0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x 得其导出组的一个基本解系：T T T X X X )1,0,0,6,5(,)0,1,0,2,1(,)0,0,1,2,1(321-==-= 所以,方程组的一般解为3322110X k X k X k X X +++=,个中321,,k k k 为随意率性常数.q p ,取何值时,下列线性方程组有解.无解,有解时求其解.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(32)1(2)3(321321321x p px x p px x p px p x x x p 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+323)1(311213p p p pp p pp →→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++---++-+91536300)1(30321323222p p p p p pp p p p p所以,0=p 或1=p 时,该方程组无解,0≠p 且1≠p 时,有独一解是)1(91532231-+-+=p p p p p X ,)1(912232--+=p p p p X ,)1(912342233--++-=p p p p p X （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++q x x x x x x x x x p x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--q p 3113345622103112311111→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23100000000006221011111q p所以,当0≠p 或2≠q 时,方程组无解; 当0=p 且2=q 时,方程组有无限多解,取543,,x x x 为自由变量,令0543===x x x ,得方程组的一个特解：T X )0,0,0,3,2(0-=;再取0,0,1543===x x x ,0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x 得其导出组的一个基本解系：T T T X X X )1,0,0,6,5(,)0,1,0,2,1(,)0,0,1,2,1(321-=-=-=所以,方程组的一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10065010210012100032321k k k X ,个中321,,k k k 为随意率性常数.（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+++-=++=---=-++3)2(2337212432143243214321q x q x x x q qx px x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+------333122111072111211q q q q p →→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+------2211100032003211211q q q q p 所以,当2≠p 且1≠q 时,方程组有独一解. 当1=q 时,方程组无解;当2=p 时,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----22111000300032101211q q q q →→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---q 42110000100032101211所以,当2=p 且4=q 时,方程组有无限多解,()()T T k 0,1,2,02,0,7,10--,个中k 为随意率性常数.当2=p 且4≠q 时,方程组无解.A 是n m ⨯矩阵,证实：若任一个n 维向量都是0=AX 的解,则0=A .证：因为任一个n 维向量都是0=AX 的解,则n 维向量T i )0,,0,1,0,,0( =ε（第i 个分量为1其余分量均为0的列向量）知足0),,(),,(11==n n A A A εεεε ,即0=AI ,个中I 是n 阶单位方阵,是以,0=A .32. 设A 是一个s m ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵.X 是n 维列向量.证实：若0)(=X AB 与0=BX 是同解方程组,则)()(B r AB r =.证： 因为若0)(=X AB 与0=BX 是同解方程组,所以,0)(=X AB 的基本解系所含解向量的个数与0=BX 的基本解系所含解向量的个数相等.即)()(B r n AB r n -=-,是以,)()(B r AB r =. 33. 设A 是nm ⨯矩阵,B 是sn ⨯矩阵,证实：若0=AB ,则n B r A r ≤+)()(.证：设),,(1s B ββ =,个中s ββ,,1 是一组列向量,由0=AB 得,s j A j ,,1,0 ==β.若r A r =)(,则0=AX 的基本解系含有r n -个线性无关的解向量,而s ββ,,1 为0=AX 的解向量,则s ββ,,1 可由0=AX 的基本解系线性暗示, 所以,)()(A r n r n B r -=-≤. 故,n B r A r ≤+)()(.*A 是n 阶矩阵A 的陪同矩阵,证实：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1)(,01)(,1)(,)(n A r n A r nA r n A r（2） 1-*=n A A .证：（1）因为I A AA =*,当n A r =)(时,0≠A ,所以0≠*A ,得n A r =*)(; 当1)(-=n A r 时,即至少有一个1-n 阶子式不等于零,所以0≠*A ,且0=A ,因为0≠*A ,所以1)(≥*A r .因为0=A ,所以0=*AA ,即*A 的每一列均是齐次线性方程组0=Ax 的解,所以1)1()()(=--=-≤*n n A r n A r . 是以,1)(=*A r ;当1)(-<n A r 时,A 的任一1-n 阶子式都等于零,所以0=*A ,故0)(=*A r .（2）当0≠A 时,由I A AA =*,得1-*=n A A .当0=A 时,即1)(-≤n A r ,由（1）知,1)(≤*A r ,从而0=*A ,所以1-*=n AA 也成立,故,对随意率性n 阶方阵A ,都有：1-*=n A A .35. 设A 是n 阶可逆矩阵)2(>n ,证实：()A A A n 2-**=.证：因为A 是n 阶可逆矩阵,所所以*A n 阶可逆矩阵,且1-*=n A A . 因为()I A A A ****=,所以()1)(-****=A A A .又因为I A AA =*,所以AA A =-*1)(. 是以,()A A AA AA A A n n 211)(---****===. 36. 设A 是n 阶矩阵,证实：非齐次线性方程组b AX =对任何b 都有解的充要前提是0≠A .证：充分性,因为0≠A ,所以),()(b A r n A r ==. 是以,对于随意率性b ,),()(b A r n A r ==,b AX =有解.须要性,(反证法) 假设0=A , 则n A r <)(.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A ααα 21,则n ααα,,,21 线性相干,从而个中至少有一个向量能由其余向量线性表出,无妨设n α可由121,,,-n ααα 线性表出,取T b )1,0,,0,0( =,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→-1000),(11n b A αα,即),()(b A r A r <,所以方程组无解,抵触. 证实：这个方程组有解的充要前提是∑==510i i a ,在有解的情况下,求出它的一般解.证：因为,121a x x =-,232a x x =-,343a x x =-,454a x x =-,515a x x =-即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----54321543211000111000011000011000011a a a a a x x x x x有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----543211000111000011000011000011a a a a a →→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++----5432143210000011000011000011000011a a a a a a a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1100001100001100001110001A ,增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=123451100001100001100001110001,a a a a a b A ）（, 方程组有解的充要前提为),()(b A r A r =即∑==510i i a .当∑==51i ia时,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000000110000110000110000114321a a a a →→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++----000000110001010010010100014434324321a a a a a a a a a a取5x 为自由变量,令05=x ,得方程组的一个特解：T a a a a a a a a a a X )0,,,,(44343243210++++++=;再取15=x 得其导出组的一个基本解系：T X )1,1,1,1,1(1=所以,方程组的一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=+=111110443432432110k a a a a a a a a a a kX X X ,个中k 为随意率性常数.38. 已知21ββ，是方程组b AX =的两个不合解,21,αα是对应齐次线性方程组0=AX 的基本解系, 则b AX =一般解是: (A) 2)(2121211ββααα-+++k k ; (B) 2)(2112211ββααα++-+k k ; (C) 2)(2121211ββββα-+++k k ; (D) 2)(2121211ββββα++-+k k .解:可证得，，121ααα-是线性无关的且是0=AX 的解,是以是0=AX 的一个基本解系,221ββ+是b AX =的一个解, 是以, 选(B).⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=96342321t Q ,P 为非零矩阵,0=PQ , 则:(A) 当6=t 时,1)(=P r ; (B) 当6=t 时,2)(=P r ; (C) 当6≠t 时,1)(=P r ; (D) 当6≠t 时,2)(=P r ;解: 因为0=PQ , 且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=96342321t Q , 所以3)()(≤+Q r P r , 又因为P 为非零矩阵, 所以1)(≥P r , 当6≠t 时,2)(=Q r , 是以,1)(1≤≤P r , 即1)(=P r , 故选(C).T a a a ),,(3211=α,T b b b ),,(3212=α,T c c c ),,(3213=α,则三条直线)3,2,1(),0(,022=≠+=++i b a c y b x a i i i i i 交于一点的充要前提是:(A) 321,,ααα线性相干, (B) 321,,ααα线性无关;(C) =},,{321αααr },{21ααr ; (D) 321,,ααα线性相干,21,αα线性无关.解:因为⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111cy b x a c y b x a c y b x a 有独一解的充要前提是2333222111332211=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a c b a c b a r b a b a b a r , 2333222111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---c b a c b a c b a r ,即321,,ααα线性相干. 2332211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a b a r ,即21,αα线性无关.所以,选(D). A 是n m ⨯矩阵,)()(n m m A r <=,B 是n 阶矩阵,下列哪个成立?(A) A 中任一m 阶子式0≠; (B) A 中随意率性m 列线性无关;(C) 0≠A A T ; (D) 若0=AB ,则0=B ; (E) 若n B r =)(,则m AB r =)(.解：选 （E ）. n B r =)(, 所以B 可逆,m A r AB r ==)()(.42. 设)2,,,1,(,,,21>=∈m m i R n i m αααα线性无关, 下列哪个成立? (A) 对随意率性常数m k k k k ,,,,321 ,有02211=+++m m k k k ααα ;(B) 随意率性)(m k k <个向量ki i αα,,1线性相干;(C) 对随意率性,n R ∈ββαα,,,1m 线性相干; (D) 随意率性)(m k k <个向量ki i αα,,1线性无关.解：选（D ）,因为整体线性无关,部分必线性无关.γβα,,线性无关,δβα,,线性相干,下列哪个成立?(A) α必可由δγβ,,线性暗示; （B ） β必可由δγα,,线性暗示; (C) δ必可由γβα,,线性暗示; (D) δ必不成由γβα,,线性暗示.解：选（C ）.因为γβα,,线性无关,所以βα,线性无关.因为βα,线性无关,δβα,,线性相干,所以δ必可由βα,线性暗示,从而δ必可由γβα,,线性暗示.44. 设A 是34⨯矩阵,1)(=A r ,321,,ξξξ长短齐次线性方程组b AX =的三个线性无关解,下列哪个是0=AX 的基本解系？ (A) 321ξξξ++ (B)3212ξξξ-+ (C)2312,ξξξξ-- (D)3221,ξξξξ++解：因为1)(=A r ,所以0=AX 的基本解系含有2个线性无关的解,是以(A), (B)不准确.(D)的两个解不是0=AX 的解,故选(C).45. 设向量组{321,,ααα}线性相干,{432,,ααα}线性无关.答复下列问题,并证实之.（1）1α可否由{32,αα}线性暗示？ （2）4α可否由{321,,ααα}线性暗示？解：（1）因为432,,ααα线性无关,所以32,αα也线性无关, 又因为321,,ααα线性相干,所以1α可由32,αα线性暗示.（2）（反证法）假设4α能由321,,ααα线性暗示,再由（1）,1α能由32,αα线性暗示,所以4α能由32,αα线性暗示,即432,,ααα线性相干,与432,,ααα线性无关抵触.所以,4α不克不及由{321,,ααα}线性暗示.46.设A 为n 阶矩阵,若消失正整数)2(≥k k 使得0=αk A ,但01≠-αk A （个中α为n 维非零列向量）,证实：ααα1,,,-k A A 线性无关. 证实：（界说法证）若0121=+++-αααk k A t A t t , 上式双方左乘1-k A 得,022211=+++--αααk k k k A t A t A t 因为0=αk A ,所以0221===-+ααk k A A 是以,011=-αk A t ,又因为01≠-αk A ,得01=t . 应用同样办法,可求得032====k t t t ,是以,ααα1,,,-k A A 线性无关.47.设B A ,分离为n m m n ⨯⨯,矩阵（),m n < 且I AB =（n 阶单位矩阵）, 证实：B 的列向量组线性无关.证：因为I AB =,且,m n < 所以n B r A r n AB r ≤≤=))(),(min()(, 是以,n B r =)(,而B 是n m ⨯矩阵, 故,B 的列向量组线性无关.48.已知秩{321,,ααα}=秩{321,,βββ},个中,)1,0,3(,)3,2,1(21T T =-=ααT )7,6,9(3-=α;T T T b a )0,1,(,)1,2,(,)1,1,0(321==-=βββ,且3β可由321,,ααα线性暗示,求b a ,的值.解：()3321,,,βααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛07-13-1602b 931→→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b 5-00034201-11-1 因为3β可由321,,ααα线性暗示,所以有05=-b ,是以,5=b . 所以秩{321,,ααα}=2.因为秩{321,,βββ}=秩{321,,ααα}=2,所以0315=-a ,所以,15=a .49. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 a a a a a a A 为n 阶矩阵（3≥n ）,R ∈a ,且1)(-=n A r ,求a .解：因为)3(21)(≥≥-=n n A r 所以1≠a 因为1)(-=n A r ,所以01)1(=+-a n ,是以,na -=11. 50.设n 阶矩阵A 的每行元素之和均为零,又1)(-=n A r ,求齐次线性方程组0=Ax 的通解.解：因为1)(-=n A r ,所以齐次线性方程组0=Ax 的基本解系中含一个解向量.设()n A βββ 21=,因为A 的每行元素之和均为零,所以021=+++n βββ即0111=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛A ,是以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 是齐次线性方程组0=Ax 的一个基本解系.从而,0=Ax 的通解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 k ξ,个中k 为随意率性常数.51. 已知下列线性方程组I, II 为同解线性方程组,求参数t n m ,,之值.解：因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------542210010101001316011311142011 所以,T )0,5,4,2(---是方程组I 的一个解,因为方程组I 与II 同解,所以它也是方程组II 的一个解,将它带入方程组II,可得：6,4,2===t n m .52.设αβαβγβαT T T T T B A =====,,)8,0,0(,)0,21,1(,)1,2,1(,求解方程γ++=x B x A x A B 44222.解：即求解非齐次线性方程组：γ=--x B A A B )2(4422因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--0100021010180016480816048),2(214422 γA B A B 所以γ=--x B A A B )2(4422的一个特解为：T )0,1,21(.)1,2,1(为其导出组的一个基本解系.是以,γ=--x B A A B )2(4422的一般解为：T T k )1,2,1()0,1,21(+,个中,k 为随意率性常数.53. 设n 阶矩阵),,,(21n A ααα =的行列式0≠A ,A 的前1-n 列构成的)1(-⨯n n 矩阵记为),,,(1211-=n A ααα ,问方程组n x A α=1有解否？为什么？解：无解,因为n A r n A r n =-=),(,1)(11α.54.设βα,均为非零的n 维列向量,T A αβ=,证实：A 中随意率性两行（或两列）成比例.解：因为1))(),(m in()(=≤T r r A r βα,所以A 中随意率性两行（或两列）成比例.55.设n 阶矩阵A 分块为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211A A A A A ,个中11A 为k 阶可逆矩阵（n k <）,证实：消失主对角元为1的上三角矩阵U 和下三角矩阵L ,使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A LAU 0011. 解：由分块矩阵的初等变换,不难知道：所以,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--k n kI A A I L 111210,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--k n kI A A I U 012111. 56. 设B A ,皆为n 阶矩阵,证实：（1）;AB I IAB I -= （2）;BA I AB I -=-（3）)det()det(BA I AB I -=-λλ（λ为随意率性常数）.证：（1）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-AB I B II A B I I A I 00 所以ABI BIIA B II A I-=-00是以,AB I IAB I -=.（2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-I ABA I I A B I I B I 00所以IABA I IA B I I B I 00-=-是以,BA I IAB I -=由（1）即得：BA I AB I -=-.(3)分两种情况来评论辩论.当0=λ时,BA B A AB n -=-=-)1(,成立. 当0≠λ时,因为,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-I A BA I I A B I I B I AB I B II A B I I A I λλλλλλ00,0011 所以,IA BI BA I AB I λλλ=-=-)det()det(.综上,结论成立.57. 证实：若A 是n m ⨯矩阵,r A r =)(,则消失r m ⨯矩阵B ,n r ⨯矩阵C ,且r C r B r ==)()(,使得BC A =（提醒：应用相抵尺度形）. 证实：因为,r A r =)(,所以消失可逆矩阵P (m 阶).Q (n 阶),使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI PAQ ,则11000--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q I P A r=11000000-⨯⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Q I I P nn rn m r令()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯-⨯--⨯⨯-')(1')(1,n r n n r r m m r m N N Q M M P 因为11,--Q P 为可逆矩阵,所以r m M ⨯的列向量组线性无关,n r N ⨯的行向量组线性无关.令()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯0000,0000')(')(n r n r n n r n n rr m n m r r m m r m N N N I C M I M M B 即知足前提,从而此题得证.58.设B A ,皆为n 阶矩阵,n B r A r <+)()(,证实消失可逆矩阵Q ,使得0=AQB .证实：联合相抵尺度形,不难知道,消失可逆矩阵2211,,,Q P Q P ,使得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000,000)(22)(11B r A r I BQ P I AQ P 因为n B r A r <+)()(,所以02211=BQ P AQ P ,令21P Q Q =,则此题得证. 59. 证实：r ααα,,,21 （个中01≠α）线性相干的充要前提是消失一个)1(r i i ≤<α使得i α可由121,,,-i ααα 线性暗示,且暗示法独一. 证实：（充分性）因为消失一个)1(r i i ≤<α使得i α可由121,,,-i ααα 线性暗示所以,i ααα,,,21 线性相干,从而r ααα,,,21 线性相干.（须要性）因为r ααα,,,21 线性相干,所以消失不全为零的一组常数r k k k ,,,21 使得02211=+++r r k k k ααα在使02211=+++r r k k k ααα 成立的所有不为零的系数中,必有一个最小的下标i ,使0≠i k ,但)(0i j k j >=.下面解释r i ≤<1.假如1=i ,则0,0111≠=k k α,从而01=α抵触.最后证暗示法独一.若121,,,-i ααα 线性相干,则显然得到一组数与前面i k 的取法抵触.所以,121,,,-i ααα 线性无关.又因为i ααα,,,21 线性相干,所以暗示法独一. 60.证实：向量组s ααα,,,21 线性无关的充要前提是),,3,2(11s i k i j j j i =≠∑-=αα.提醒：此命题是59题的逆否命题.61. 设向量组r ααα,,,21 线性无关,如在向量组的前面参加一个向量β,证实：在向量组r αααβ,,,,21 中至多有一个向量)1(r i i ≤≤α可经其前面的i 个向量121,,,,-i αααβ 线性暗示.并在3R 中做几何解释. 证实：反证,设有两个向量)1(,r j i j i ≤<≤αα均可经其前面的向量线性暗示：1111--+++=i i i k k k ααβα （1） 1111--+++=j j j l l l ααβα （2）k l ⨯-⨯)2()1(得：因为r ααα,,,21 线性无关,所以j ααα,,,21 线性无关,i ααα,,,21 线性无关,是以0=k ,则由（1）知i α可由121,,,-i ααα 线性表出,与i ααα,,,21 线性无关抵触.62.证实：在n 维向量空间n R 中,若向量α可经向量组s ααα,,,21 线性暗示,则暗示法独一的充分须要前提是向量组s ααα,,,21 线性无关.证实：（充分性）设有暗示法两式相减得：0)()()(222111=-++-+-s s s l k l k l k ααα因为s ααα,,,21 线性无关,所以s s l k l k l k ===,,,2211 ,即可证暗示法独一.（须要性）反证,设s ααα,,,21 线性相干,则消失不全为零的一组数设为s p p p ,,,21 使得02211=+++s s p p p ααα因为向量α可经向量组s ααα,,,21 线性暗示,所以消失一组常数s q q q ,,,21 使得s s q q q αααα+++= 2211所以,s s s q p q p q p αααα)()()(222111++++++=因为s p p p ,,,21 不全为零,所以这是异于上面的另一种暗示法,从而与暗示法独一抵触.63.设A 是n 阶矩阵,1)(=A r .证实：证实：（1）因为1)(=A r ,所以A 的每行向量成比例,即得此成果.令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a a a b b b k 2121,,,即得此成果.64. 设.),,,(,),,,(,,212121212222111211Tm T m n mn m m n n x x x x b b b b y y y y a a a a a a a a a A==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= （1）证实：如有b Ay =解,则0=x A T 的任一组解m x x x ,,,21 必知足方程.02211=+++m m x b x b x b（2）方程组b Ay =有解的充要前提是方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10x b A T T 无解（个中0是1⨯n 零矩阵）.证实：（1）因为b Ay =,所以T T T A y b =.是以,对任一组m x x x ,,,21 ,若它知足0=x A T ,则必有0=x A y T T ,即0=x b T ,即.02211=+++m m x b x b x b (2) 方程组b Ay =有解⇔),()(b A r A r =⇔b 可由A 的列向量组线性表出（须要性）因为b 可由A 的列向量组线性表出,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10)(TTT T b A r b A r A r 所以,方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10x b A T T 无解. （充分性）因为方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10x b A T T 无解,所以1)(10)(+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤T TTT T T A r b A r b A r A r是以,)(TT T A r b A r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,从而b 可由A 的列向量组线性表出. 65. 设A 是一个n m ⨯矩阵,n m <,m A r =)(,齐次线性方程组0=Ax 的一个基本解系为 试求齐次线性方程组的基本解系所含解向量的个数,并求出一个基本解系. 解：齐次线性方程组的基本解系所含解向量的个数为m m n n =--)(.66. 设n m ⨯矩阵A 的m 个行向量是齐次线性方程组0=Cx 的一个基本解系,又B 是一个m 阶可逆矩阵.证实：BA 的行向量也是0=Cx 的一个基本解系.证实：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mm m m m m m b b b b b b b b b B A21222211121121,ααα.则由已知前提：),,2,1(0m i C T i ==α,且 m ααα,,,21 线性无关.因为所以BA 的行向量是0=Cx 的解.又因为B 可逆,A 的m 个行向量线性无关,所以BA 的m 个行向量线性无关,是以BA 的行向量也是0=Cx 的一个基本解系.67.证实：若A 为n 阶矩阵（1>n ）,且0=A ,则A 中随意率性两行（或列）对应元素的代数余子式成比例.证实：因为0=A ,所以1)(-≤n A r ,是以1)(≤*A r ,即可证.68.设A 是n n ⨯-)1(矩阵,j A 暗示A 中划去第j 列所构成的行列式.证实：（1）T n n A A A ))1(,,,(21-- 是0=Ax 的一个解;（2）若j A （n j ,,2,1 =）不全为零,则（1）中的解是0=Ax 的一个基本解系.证实：（1）令)1,,1,1( =α,结构n 阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A B α,不难知道B 中第一行元素的代数余子式分离为：n n A A A +--121)1(,,, .所以A 中的每行元素乘以T n n A A A ))1(,,,(121+-- 均为0,是以,0))1(,,,())1(,,,(12121=---=--+T n n T n n A A A A A A A A(2) 令)0,,0,0( =β,结构n 阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A C β,则不难知道C 中第一行元素的代数余子式分离为：n n A A A +--121)1(,,, .因为jA （n j ,,2,1 =）不全为零,所以C 的陪同矩阵0≠*C ,即1)(≥*C r ,是以1)(-≥n C r ,又因为显然1)(-≤n C r ,所以1)(-=n C r ,所以1)(-=n A r ,从而齐次线性方程组0=Ax 的基本解系中含1)(=-A r n 个解向量.再由（1）及j A （n j ,,2,1 =）不全为零,此题得证. 69.若A 为一个n 阶矩阵,且A A =2,证实n I A r A r =-+)()(.证实：显然,)()(A I r I A r -=-.因为)()()()()()(I A r A r A I r A r A I A r I r n -+=-+≤-+== 所以n I A r A r ≥-+)()(因为A A =2,所以0)(=-I A A ,即I A -的每个列向量均为齐次线性方程组0=Ax 的解,是以)()(A r n I A r -≤-,即n I A r A r ≤-+)()( 综上,n I A r A r =-+)()(70.若A 为一个n 阶矩阵,且I A =2,证实 证实：显然,)()(A I r I A r -=-.因为)()()()()()2(I A r I A r A I r I A r A I I A r I r n -++=-++≤-++== 所以n I A r I A r ≥-++)()(因为I A =2,所以0))((=-+I A I A ,即I A -的每个列向量均为齐次线性方程组0)(=+x I A 的解,是以)()(I A r n I A r +-≤-,即n I A r I A r ≤-++)()( 综上,n I A r I A r =-++)()(71.设B A ,皆为n 阶方阵,证实：n B r A r AB r -+≥)()()(.并问：若m n ij n s ij b B a A ⨯⨯==)(,)(,上述结论是否成立？证实：给出一般情况的解释.设m n ij n s ij b B a A ⨯⨯==)(,)(, ,)(l A r =.则消失可逆矩阵n n s s Q P ⨯⨯,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000lI PAQ .记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n nm n n m m b b b b b bb b b B Q βββ 212122221112111则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-00000000000))((121112112122221112111l lm l l m nm n n m m lb b b b b b b b bb b b b b b I B Q PAQ PAB ββ所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==l r PAB r AB r ββ 1)()(是以)()()()(211l n AB r r B Q r B r n -+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-βββ ,即n B r A r AB r -+≥)()()(.72.设向量组),,2,1(),,,(21n j a a a T nj j j j ==α,证实：假如,,,2,1,1n i a a ni j j ij ii =>∑≠=则向量组n ααα,,,21 线性无关.证实：（反证法）设向量组n ααα,,,21 线性相干,取()n A ααα,,,21 =,则0=A .所以齐次线性方程组0=Ax 有非零解.无妨设Tn x x x ),,,(21为其一个非零解,即它知足),,2,1(,01n i x a nj j ij ==∑=所以),,2,1(,1n i x a x a nij j j ij i ii =-=∑≠=设{}n k x x x x ,,,max 21 =,因为T n x x x ),,,(21 为0=Ax 的一个非零解,所以0≠k x .是以,,11111∑∑∑∑∑≠=≠=≠=≠=≠==≤≤=-==nkj j ij k n kj j k ij n kj j j ij n kj j j ij n kj j j ij k kk k kk a x x a x a x a x a x a x a从而有∑≠=≤nkj j ij kk a a 1,与已知前提抵触,所以假设不成立,所以向量组n ααα,,,21 线性无关.。
居余马线性代数第三章课后习题.
第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。
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【解析】由 ，得
.
由 ，得 的特征值 。 对应的特征向量分别为： 。
令 ，则 .
于是， ，即 。从而
22.设 ，求 ( 为正整数)。
【解析】令 ，其中 ，则 。
的特征值为 ，它们对应的特征向量分别为 。
令 ，则 ,
不可以对角化，记 ，其中 ，则 。
用二项式展开计算 得
于是，
4、记 ， .设从基 到基 的过渡矩阵为 ，由过渡矩阵的定义知 ，即 .设 ，又 在基 下的坐标不变，所以 ，即
，其系数矩阵 ，所以 ，所以 的通解为 .
5(2)、设与向量 都正交的向量为 ，则
，其系数矩阵
得基础解系为 ，
所以与向量 都正交的向量为
6、设向量 与所给向量均正交，所以
，其系数矩阵 ，
基础解系为 ，所以可取 ，
29证明： ，设 ，若 ,则有
由矩阵相等的知识知 ，又 时 故只有 。
从而 .即所有与 可交换的矩阵必是对角阵.
31设 ，则 ， ，也就是只有可能 .
按照矩阵乘法的定义，有
时， .
时，
时，
故 是主对角线元素全为0的上三角矩阵.
32记
故乘积仍是主对角元为1的上三角阵.
33
35因为 均为对称阵，有
故 所以 为对称阵.
而 故 为对称阵.
36证明：
(1) 所以 是对称矩阵.
所以 是反对称矩阵
(2) 由上面的结论知 是对称矩阵， 是反对称矩阵，从而 是对称矩阵， 是反对称矩阵，故 可表示为对称矩阵和反对称矩阵的和.
37 故 所以 可交换.
若 ,又 有 为对称阵.
39
1) 为对称阵。
，当 为偶数时 为对称阵， 为奇数时 为反对称阵.
，
由此可得 或 ，即 或 ，因此 或 至少有一个是 的特征值。
16.在第1题中，哪些矩阵可对角化？并对可对角化的矩阵 ，求矩阵 和对角矩阵 ，使
得 。
【解析】由于(1)中的矩阵为实对称矩阵，而实对称矩阵可以对角化，故(1)中的矩阵可以对角化，并存在可逆矩阵 和对角矩阵
，使得 。
根据定理5.9可知(2)、(3)、(4)、(5)均不可对角化，而(6)可以对角化。对于(6)中的矩阵，存在可逆矩阵 和对角矩阵 ，使得 。
所以，所求单位向量为 .
8(1)、设 ， ，
正交化： ，
标准化：
8(2)、设 ， ， ，易得 ，即 线性相关，又 线性无关，所以 为 的极大线性无关组，只需对 进行施密特正交化。
正交化： ，
标准化：
8(3)、设 ， ， ，
记 ，得 ，所以 线性相关，取其极大线性无关组
正交化： ，
标准化：
9(1)、正交化： ，
可以看出， ，即 ，得证.
23、
24、
25、
26、
27、
28、
31、系数行列式
所以， ， ， ，
32、系数行列式
所以， ， ， ， ，
33、因为齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式 ，即
所以，
35、由已知条件，得
其系数行列式
所以， ， ， ，
所以，
第二章
1
解得 .
2
解得
3
此含矛盾方程，故原方程无解！
得其基础解系为 ，故矩阵 对应于 的全部特征向量为 (其中 为不全为零的任意常数)。
当 时，由 ，即
得其基础解系为 ，故矩阵 对应于 的全部特征向量为 (其中 为非零任意常数)。
3.设 是矩阵 不同特征值的特征向量，证明 不是 的一个特征向量。
【解析】设 分别是矩阵 属于特征值 的特征向量，且 ，则
，得证；
16、不妨设 为下三角矩阵， ，则
所以有
得，除主对角线元素的平方等于1外其余元素均为零
第五章特征值和特征向量矩阵的对角化答案
1.求下列矩阵的特征值和特征向量：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
【解析】(1)令 ,则矩阵 的特征方程为
故 的特征值为 。
当 时，由 ，即
得其基础解系为 ，因此， ( 为非零任意常数)是 的对应于 的全部特征向量。
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
10、公式：
解：
11、
12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即
13、
14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）
根据课本20页公式（1.21），原式
15、
16、
【解析】由 ，得
。
所以， 是矩阵 的对应其特征值 的一个特征向量。
11.设 为非奇异矩阵，证明 与 相似。
【解析】由于 为非奇异矩阵，即 可逆，令 ，则
，
即存在可逆矩阵 ，使得 ，根据相似的定义知 与 相似。
12.设 ，证明： .
【解析】由 ，可知存在 ，使得 ，所以
.
13.证明 阶矩阵
只有零特征值，其特征子空间是 的一维子空间，并求它的基。
解：由 可知 ，即 只有零特征值。
由 及 ，得 是 对应的特征子空间的基。所以，特征子空间是 的一维子空间。
14.若 可逆， 不可逆，那么，关于 的特征值能做出怎样的断语？
【解析】由于 可逆， 不可逆，故 ，即
，
由此可得： 为 的特征值， 不是。
15.若 ，证明 或 至少有一个是 的特征值。
【解析】由于 ，故
当 时，由 ，即
得其基础解系为 ，因此， ( 为非零任意常数)是 的对应于 的全部特征向量。
(2)令 ，则矩阵 的特征方程为
故 的特征值为 (二重特征值)。
当 时，由 ，即
得其基础解系为 ，因此， ( 为非零任意常数)是 的对应于 的全部特征向量。
当 时，由 ，即
得其基础解系为 ，因此， ( 为非零任意常数)是 的对应于 的全部特征向量。
所以
(2)证明： 即 若 与 同时可逆，则 均不为0，但 故矛盾，从而 与 不同时可逆.
46 整理有
故 均可逆，
所以
47证明：
49
50
故 .
51
从而
52
故
54
解： 故 从而
55
故
从而
56
易知 存在(因为行列式不等于0)，求得
从而有
58
（1）对 分块，令
对 分块，令 ，则 ，则
（2） ，令
则
,而
故
59证明：
【解析】由于 ，则 的特征方程为
故 的全部特征值为 ( 重)， 。
当 时，由 ，即
可得线性无关的特征向量
。
当 时，由 ，即
可得线性无关的特征向量 。
由于 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数，根据定理5.9可知 可以对角化，且存在可逆矩阵 和对角矩阵 ，使得 。
19.已知4阶矩阵 的特征值 (三重)， ；对应于 的特征向量有 ，对应于 的特征向量为 。问： 可否对角化？如能对角化，求出 及 ( 为正整数)。
2)
为反对称阵.
40、
（1）
故 .解得
所以
（2）
故
解之有 故
（3）
故
（4）
故
（5）
（6）
故
41（1）因为 由 故可逆，且
（2） 存在，下面求 ，
故
（3） 存在，下求 ，
42令 则因为 故 存在，从而 用初等行变换求此逆矩阵，有
43 (1)
(2)不是， 为零矩阵时即为反例.
45 (1)
而 ，故 可逆， 可逆，同时 可逆，且 ，
4
取 ，则 ，
解为 ， 为任意常数.
5
分情况讨论：
1)无解 但是 时无解，即 .
2)唯一解 即 ，解得 且 .此时的解为
3)无穷解 解之有 或者 (舍).故 ，所以解为 ,
其中 为任意常数.
6
讨论：
1)唯一解： 解得 此时解为
2)无解：
3)无穷解： 此时解为 为任意常数.
8解:设母鸡 只，公鸡 只，小鸡 只.
让 按列分块 则 即
从而 均为 的解向量.
设 的所有列向量是 则 故
即
令 ，则
而原式= .
第三章
1、由过渡矩阵的定义，设从基 到基 的过渡矩阵为 ，则 ，初等行变换求得 ，所以
2(1)、记 在基 下为 .设从基 到基 的过渡矩阵为 ，则 ，初等行变换求得 ，所以
2(2)、设从基 到基 的过渡矩阵为 ，记 ，则 ，即 ，所以
17.主对角元互不相等的上(下)三角形矩阵是否与对角阵相似(说明理由)？
【解析】设 为上三角矩阵，且 ，则
，
故 的全部特征值为 。而 ，故 有 个互不相同的特征值，因此 与对角阵相似。
同样地，下三角矩阵也与对角阵相似。
18.设 阶矩阵 的 个元素全为1，试求可逆矩阵 ，使 为对角阵，并写出与 相似的对角阵。
【解析】对 进行初等行变换，得
，
故 ，因此， 线性无关。由于 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数，根据定理5.9可知 可以对角化，且存在可逆矩阵 和对角矩阵 ，使得
，从而 。下面求 ：
故 ，
20.设三阶实矩阵 有二重特征值 ，如果
都是对应于 的特征向量，问 可否对角化？
【解析】三阶实对称矩阵的特征方程是三次方程，必有一个实根 。又 是 的二重特征值，所以 是单根。设对应于 的特征向量为 。 对应的线性无关（不成比例）的特征向量有两个，如 （或 或 或 ）（注意不可能有多于两个的线性无关的特征向量），不同特征值对应的特征向量线性无关。所以，三阶矩阵 有3个线性无关的特征向量， 可以对角化。