第25章概率初步
第二十五章概率初步
龙文学校教师一对一 59799765第25章：概率初步一．知识网络随机事件 概率事件确定事件二经典例题例1：在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其它均相同），放在口袋里，让你摸球．规定：每付3元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你10元钱的奖品．（1）用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； （2）求出获奖的概率； （3）如果有50个人每人各玩一局， 摊主会从这些人身上骗走多少钱？请就这一结果写一句劝诫人们不要参与摸球游戏的忠告语．答案：（1），(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，所以P (中奖)=369=41． （3） 摊主将从这些人身上骗走的钱数为：50×3-50×10×41=25(元)． 语句只要表述合理，立意明确即可．例2：（08盐城）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、4、x ，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近．试估计出现“和为7”的概率； （2）根据（1），若x 是不等于2、3、4的自然x 数，试求x 的值． 答案：(1) 出现和为7的概率是：0.33(或0.31， 0.32，0.34均正确)(2) 列表格（见右边）或树状图，一共有12种可能的结果, 由（1）知，出现和为7的概率约为0.33∴和为7出现的次数为0.33×12=3.96≈4(用另外三个概率估计值说明亦可)若2+x=7,则x=5,此时P （和为7）=13≈0.33,若3+x=7,则 x=4,不符合题意.若4+x=7,则 x=3,不符合题意. 所以x=5.例3：不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为21．(1)求袋中黄球的个数；(2)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；(3)若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小明共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得20分，问小明有哪几种摸法？答案：(1)设袋中有黄球m 个,由题意得21122=++m ,解得1=m ,故袋中有黄球1个；(2) ∵第二次摸球第一次摸球黄红2蓝红2蓝黄红1红1红1红2黄蓝黄红2红1∴61122)(==两次都摸到红球P ．(3)设小明摸到红球有x 次，摸到黄球有y 次，则摸到蓝球有)6(y x --次，由题意得20)6(35=--++y x y x ，即72=+y x ∴x y 27-=∵x 、y 、y x --6均为自然数∴当1=x 时，06,5=--=y x y ；当2=x 时，16,3=--=y x y ；当3=x 时，26,1=--=y x y ． 综上：小明共有三种摸法：摸到红、黄、蓝三种球分别为1次、5次、0次或2次、3次、1次或3次、1次、2次．三适时训练（一）精心选 一选1、实验中学初三年级进行了一次数学测验，参考人数共540人，为了了解这次数学测验成绩，下列所抽取的样本中较为合理的是（ ）A 、抽取前100名同学的数学成绩B 、抽取后100名同学的数学成绩C 、抽取（1）、（2）两班同学的数学成绩D 、抽取各班学号为3号的倍数的同学的数学成绩2、从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从A 地到B 地有2条水路、2条陆路，从B 地到C 地有3条陆路可供选择，走空中从A 地不经B 地直接到C 地.则从A 地到C 地可供选择的方案有（ ） A 、20种 B 、8种 C 、 5种 D 、13种3、一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（ ） A 、154 B 、31 C 、51 D 、152 4、下列事件发生的概率为0的是（ ）A 、随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上；B 、今年冬天黑龙江会下雪；C 、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1；D 、一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域。
【单元练】人教版初中九年级数学上册第二十五章《概率初步》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”(红色与蓝色能配成紫色)游戏，配得紫色的概率是( )A．12B．13C．14D．16D解析：D【分析】先画出树状图，从而可得出两个转盘转动时的所有可能结果，再找出一个为红色，一个为蓝色的结果，然后利用概率公式即可得．【详解】由题意，画树状图如下：由此可知，两个转盘转动时的所有可能结果共有6种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，一个为红色，一个为蓝色的结果只有1种，则配得紫色的概率是16P ，故选：D．【点睛】本题考查了利用列举法求概率，依据题意，正确画出树状图是解题关键．2．如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（）A．14B．34C．12D．38D解析：D【分析】根据几何概率的求法，可得：小球最终停在黑色区域的概率等于黑色区域的面积与总面积的比值．【详解】根据图示，∵黑色区域的面积等于6块方砖的面积，总面积等于16块方砖的面积，∴小球最终停留在黑色区域的概率是：63=168．故选D．【点睛】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=黑色区域的面积与总面积之比．3．下列说法正确的是（）A．调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式B．数据2.0，﹣2，1，3的中位数是﹣2C．可能性是99%的事件在一次实验中一定会发生D．从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生A解析：A【解析】分析：根据调查的方式、中位数、可能性和样本知识进行判断即可．详解：A、调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式，正确；B、数据2.0，-2，1，3的中位数是1，错误；C、可能性是99%的事件在一次实验中不一定会发生，错误；D、从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000，错误；故选A．点睛：此题考查概率的意义，关键是根据调查的方式、中位数、可能性和样本知识解答．4．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）A．34B．13C．12D．14C解析：C【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．圆的直径正好是大正方形边长，∴，∴，2=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为12．故选：C．【点睛】概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.5．“明天的降水概率为90%”的含义解释正确的是()A．明天90%的地区会下雨B．90％的人认为明天会下雨C．明天90%的时间会下雨D．在100次类似于明天的天气条件下，大约有90次会下雨D解析：D【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依次分析选项可得答案．【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得，在100次类似于明天的天气条件下，大约有90次会下雨，正确；故选：D．【点睛】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小．6．某校食堂每天中午为学生提供A、B两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（）A．12B．13C．14D．23A解析：A【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出甲乙两人选择同款套餐的情况数，然后根据概率公式求解即可．【详解】根据题意画图如下：所有等可能的情况有4种，其中甲乙两人选择同款套餐的有2种，则甲乙两人选择同款套餐的概率为：21 42 ；故选：A．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．如图，随机闭合开关1S，2S，3S中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（）A．23B．12C．13D．16C解析：C【分析】画出树状图，找出所有等可能的结果，计算即可.【详解】根据题意画出树状图如下：共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，∴()21 = 63P两盏灯泡同时发光，故选C.【点睛】本题考查了列表法与树状图法，正确的画出树状图是解决此题的关键.8．袋中装有3个绿球和4个红球，它们除颜色外，其余均相同。
数学九年级上册第二十五章《概率初步》小结与复习(共27张PPT)
B）
A．布袋中有2个红球和5个其他颜色的球
B．如果摸球次数很多，那么平均每摸7次，就有2次
摸中红球
C．摸7次，就有2次摸中红球
D．摸7次，就有5次摸不中红球
2.下列事件中是必然事件的是（ D ） A．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸 出的球是白球 B．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏 C．小红期末考试数学成绩一定得满分 D．将油滴入水中，油会浮在水面上
第二十五章 概率初步
小结与复习
复习目标
1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识. 2.巩固并能熟练运用列举法、列表法和树状图法求 概率.（重、难点） 3.能应用频率估计概率解决生活中的实际问题.
要点梳理
一、事件的分类及其概念
事件
不可能事件：必然不会发生的事件
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生 的事件
考点二 概率的计算 例2 (1)一个口袋中装有3个红球，2个绿球，1 个黄球，每个球除颜色外其他都相同，搅匀后
1
随机地从中摸出一个球是绿球的概率是___3___.
(2)三张分别画有平行四边形、等边三角形、圆的 卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，
从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称 2
(2) 如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购 物？说明理由.
(2) 选甲超市.理由如下： ∵P(甲）>P(乙）， ∴选甲超市.
成活 数
47
235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活 频率
0.94
0.87 0.923 0.883 0.89 0.915 0.905 0.897 0.902
由此可以估计该种幼树移植成活的概率约为（ C ） (结果保留小数点后两位)
人教版九年级数学RJ上册精品教学课件 第25章 25.1.2 概率
1 概率的值
必然发生
知识归纳
1．概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，我们
把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A概发生
的 P(，A)记为
．
率
2．概率公式：一般地，如果在一次试验中，共有n种可
能出现的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A
包含其中的m种结果，那么事件概A发生的
m为
n
P(A)＝ .
问题2：掷一枚骰子，向上一面的点数有6种可能，即
1,2,3,4,5,6.
P（向上一面的点数为偶数） 1
=
2
“向上一面的 点数为偶数” 的概率是多少？
探究新知
事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事 件发生的可能性越小，它的概率越接近0.
事件发生的可能性越来越小
0
不可能发生
事件发生的可能性越来越大
率
知识归 3．纳在下图中的对话框中分别填写必然事件、随机事件
和不可能事件．
由上图可知：事件A的取值范围 0≤P(A)≤1
为
．
当P(A)＝_1___时，事件A为必然事件；
当P(A)＝_0___时，事件A为不可能事件．
例题与练 例习1 掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概
率：
(1)点数为2；
等可能的结果，P( 指向红或黄）=5_____; （3）不指向红色有4种等可能的结7 果
P( 不指向红色）= _4_____.
7
例题与练 例习2 如图是计算机中“扫雷”游戏的画面.在一个有9×9的方格的正
方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能藏1颗地雷. 小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现如图所示
第二十五章-概率初步
第二十五章《概率初步》一、随机事件与概率1、随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：例1：(1)下列事件中，是必然发生的事件的是（）（A）购买一张彩票中奖一百万. （B）打开电视机，任选一个频道，正在播新闻 .(C)在地球上，上抛出去的篮球会下落. （D）掷两枚质地均匀的骰子，点数之和一定大于6.(2)“明年十月七日会下雨”是__________事件.2、概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m、n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．(1).（2007 北京）一个袋中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是（）.（A）. (B). (C). (D).二、用列举法求概率1.概率的公式（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．3.列举法和树状法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．4.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率=所求情况数总情况数．（河北）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量反复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）(A)12.(B)9. (C)4. (D)3.（长春）将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中，甲袋中有3个球，分别标有数字2、3、4，乙袋中有两个球，分别标有数字2、4，从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球.|（1）用列表法或树形图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率.（2）摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？三、利用频率估计概率1. 利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．如图是一个黑白相间的双色转盘.你能估计转盘指针停在黑色上的机会吗？如果没有转盘.你有哪些方法可以用来模拟试验？尽可能说说你的办法？(一)选择题1.下列事件中不可能发生的是_____.(A)打开电视机, 正在播新闻. (B)我们班的同学将会有人当选劳动模范.(C)在空气中,光的传播速度比声音的传播速度快.(D)若实数,c<0，,则3c>2c.2.下列说法正确的是_____.(A)在同一年出生的400人中至少有两个人的生日相同.(B)一张奖券的中奖率是1%,买1百张奖券, 一定会中奖.(C) 一副扑克牌中,任意抽取一张是红桃,这是必然事件.(D)一个袋中装有3个红球. 5个白球,任意摸出1个球是红球的概率是.3. 随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是________.(A ). (B). (C). (D)1.4. 菱湖是全中国著名的淡水鱼产地,养鱼户专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个塘里养的是同一种鱼),先捕上100条做上标记,然后放回塘里,过了一段时间,待带标记的鱼完全和鱼塘里的鱼混合后,再捕上100条鱼,发现其中带标记的鱼有10条,塘里大约有鱼_______.(A)1600条. (B)1000条. (C)800条. (D)600条.5. 在做针尖落地的实验中,正确的是_______.(A)甲做了4000次,得出针尖落地的次数为46%,于是他断定在做4001次事针尖肯定不会触地(B)乙认为一次一次做速度太慢,他拿来了大把形状及大小完全相同的图针,随意朝地面轻轻抛出.然后统计针尖触地的枚数这样大大提高了速度(C)老师安排每名同学回家做实验,图针自由选取(D)老师安排每名同学回家做实验,图钉统一发（完全一样的图针）,同学们交来的结果,老师挑选满意的进行统计,他不满意的就不要.6.客厅地板示意图，一只小猫可以在客厅内随意走动,小猫最终停留在彩色的地板砖上的概率是________.(A). (B). (C). (D).7.甲、乙两人各自进行一次射击,甲射中目标的概率是0.4，乙射中目标的概率是0.5,那么甲射中目标而乙未射中目标的概率( )(A)0.1. (B)0.2. (C)0.3. (D)0.5.8.某商店举办有奖销售活动,办法如下:凡购物满100元的消费者得奖券一张,多购多得,每10000张奖券为一个开奖单位,设特等奖一个, 一等奖50个,二等奖100个,那么100元商品的中奖概率为( )（二）填空题9.在一个装5个红球的袋子里任意摸出2个球______是红球______是白球.（填：可能，一定，不可能）10.某人有红色、白色两件衬衫，白、蓝两条裤子,若任意拿一件衬衫和一条裤子,正好是白衬衫和白裤子的概率是______.11.A市大约有100万人口,随即抽查了2000人,具有大学以上的学历的有120人,则在该市随便调查一个人,他具有大学以上学历的概率为________.12.掷两枚正方形的骰子，得到点数之和是7的概率是_______.13.一个口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个,小明通过多次摸球试验发现,摸到红球、黄球、蓝球的频率依次为0.35、0.25和0.4, 则口袋中红球、黄球、蓝球的数目很有可能为____个___个和____个.14.一个口袋中有 8个黑球和若干个白球,从口袋中随即摸出10个球,求出其中黑球数与10的比值再把球放回口袋中摇匀,重复上述过程，共做20次,其中黑球数与10的比值的平均数是0.25,则估计袋中的白球约有_______个.（三）解答题15.(9分) 把一枚均匀的硬币连续抛掷三次,至少有一次是正面朝上的概率.(利用树形图形)16. (10分)某商场设立了一个可以自由转动的转盘,如图所示,并规定:顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品,下表是活动进行中的一组统计数据:(1) 计算并完成表格.落地“铅笔”的频率(2)请你估计,当n很大时,频率将会接近多少?(3)假如你去转动转盘一次,你获得铅笔的概率是多少?(4) 在该转盘中,标有铅笔区域的扇形的圆心角大约是多少?(精确到1度)17. 甲乙两人用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏,分别转动两转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字，当指针恰好停在分格线上,则重转一次，用所指的两个数字做乘积，如果积大于10，那么甲获胜，如果积不大于10，那么乙获胜.请你解决下列问题：(1) 利用树形图（或列表）的方法表示该游戏很有可能出现的结果.(2)求甲，乙两人获胜的概率是多少?18. 袋子里装有红、黄、蓝三种, 小球其形状、大小、质地等完全相同,每种颜色的小球各5个,且分别标有数字1、2、3、4、5, 现在从中摸出一个小球:(1) 摸出的球是蓝色球的概率是多少?答:________________________.(2) 摸出的球是红色1号球的概率是多少? 答:________________________.(3) 摸出的球是5号球的概率是多少?答:________________________.19. 将分别标有数字1、2、3、的三张卡片洗匀后, 背面朝上放在桌子上.(1) 随机地抽出1张, 求P(奇数).(2) 随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回) , 再抽取一张作为个位上的数字,能组成哪些两位数?恰好是“32”的概率是多少？16．(7分)(2014·武汉)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．(1)先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；(2)先从袋中摸出两个球，则两球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？17.（广州）（本小题满分10分）某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：，的值；(1)求a b(2)若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；(3)在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生.为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多．．有一名女生的概率.答案及提示：(一)选择题1．D；2．A；3．A；4．B；5．B；6．A；7．B；8．D.(二)填空题9．一定不可能；10．；11．6% ；12.；13．25 1829；14．24；(三)解答题15 .16．（1）表格中依次填:68% 74% 68% 69% 70.5% 70.1%.(2)0.7(或70%)(3)0.7(或70%).(4)252度.17.(1)（2）P（甲胜）=.P（乙胜）=.18解析:袋中共有15个球,有蓝色球5个, 编号为红1的球只有1个，编号是5的红、黄、蓝球各1个, 共3个, 利用公式P(A)= 可直接计算各个事件发生的概率.解:(1)摸出的是蓝球的概率为 =.(2)摸出的是红色1号的概率为.(3)摸出的是5号球的概率为=.点拨: P(A)= 中, n是所有可能出现的结果，且它们发生的可能性相等, m则表示事件A所包含的结果.19. 解:(1).(2)第一张第二张两位数.有树形图可知: 能组成12、13、21、23、31共6个两位数, 恰好是”32”的概率为.。
第25章 概率初步
第二十五章概率初步25.1随机事件与概率第1课时随机事件(一)一．课前预习：1.自学导航阅读教材128127—P内容，思考下列问题：(1)什么是随机事件？(2)确定性事件包括_________和________事件. 2.诊断检测：(1)现实世界中的事件分、、、三类.其中与是确定性事件.(2)确定事件的特点是；随机事件的特点是.(3)“一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）(4)下列问题中是必然事件的有；是不可能事件的有；是随机事件的有（填序号即可）.(1)如果a>b，那么a－b>0；(2)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)；(3)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解；(4)2010年2月有29天；(5)相等的圆心角所对的弧相等；(6)随机抛掷一枚骰子，出现朝上一面是6.二．例题解析例1.小明掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面分别有1至6的点数.请思考：掷一次骰子，观察向上的一面：（1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？（2）出现的点数大于2，可能吗？这是什么事件？（3）出现的点数是6，可能吗？这是什么事件？（4）你能列举与（3）相似的事件吗？例2. 袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件：A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球；B．摸出的三个球都是白球；C．摸出的三个球都是黑球；D．摸出的三个球中有两个球是白球．其中是不可能事件的为（填序号）；是必然事件的为；是随机事件的为．三．小结提炼．四．巩固训练1.下列事件：A.袋中只有5个红球，能摸到红球；B.袋中有3个红球，2个白球，能摸到红球；C.袋中有2个红球，3个白球，能摸到红球；D.袋中只有5个白球，能摸到红球.上述事件中，是必然事件的有；是随机事件的有；是不可能事有.2.下列语句中是必然事件的是（）A.两个分数相加和一定是整数B.两个分数相乘积一定是整数C.两个互为相反数的和为0D.两个互为相反数的积为03.下列说法正确的是（）A.可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生B.可能性很小的事件在一次实验中一定发生C.可能性很小的事件在一次实验中有可能发生D.不可能事件在一次实验中也可能发生4. 小红花2元钱买了一张彩票，你认为小红中大奖的事件是（）A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.确定事件5.下列事件你认为是必然事件的是（）A．中秋节的晚上总能看到圆圆的月亮;B．明天是晴天C．打开电视机，正在播广告;D．两数相乘，同号得正，异号得负五．拓展提升1.下列成语故事所描述事件为必然发生的是（）A．水中捞月B．拔苗助长C．守株待兔D．水涨船高2.“清明时节雨纷纷”是事件（填“必然”、“不可能”、“随机”）第2课时随机事件的可能性大小一、课前预习：1.自学导航阅读教材129128—P内容，思考下列问题：(1)必然事件发生的可能性是_______；不可能事件发生的可能性是_______；随机事件发生的可能性在_______之间.(2)正确区分描述事件发生的可能性大小的关键词，如“一定”、“很可能”、“可能”、“不太可能”等词语，对事件发生可能性作出评价和预测.2.诊断检测：（1）．如图，有甲、乙、丙3个转盘，这3个转盘在转动过程中指针停在黑色区域的可能性（）A．甲转盘最大B．B．乙转盘最大C．丙转盘最大D．甲、乙、丙转盘一样大（2）从一副扑克牌中任意抽出一张，则下列事件中可能性最大的是（）A.抽出一张红心B.抽出一张红色KC.抽出一张梅花JD.抽出一张不是Q的牌（3）某班有65名同学，把他们按1到65进行编号，并把编号写在同样的卡片上，洗匀后，随机抽取一张，则抽到1～10号同学的可能性抽到5的倍数的可能性；抽到奇数号码同学的可能性抽到偶数同学的可能性.(填﹥、﹤或=) （4）我校某小班，有男生14人，女生16人.其中男生11人住校，女生13住校.现随机抽取一名学生.则：a.抽到一名住校女生；b.抽到一名住校男生；c.抽到一名男生.其中可能性由小到大排列正确的是（）A.cbaB.acbC.cabD.bca二．例题解析例1.判断下列事件中，哪些事件发生的可能性是一样的？哪些不是？为什么？（1）掷一枚骰子，出现2点朝下或5点朝上的机会；（2）从一副扑克牌中任取一张，取到大王或红心6的可能性；（3）掷两次骰子，出现点数和是6或2的可能性；（4）从装有3个红球和5个白球中任取一球，取到红球或白球的可能性；（5）从编号为1—10的10张卡片中任取一张，取到偶数或3的倍数的编号的可能性.例2.．一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有2个红球，3个黄球．（1）若从中随意摸出一个球，求摸出红球的可能性；（2）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，求袋子中需再加入几个红球？三．小结提炼．四．巩固训练1.从一副扑克牌中，任意抽取一张，抽到的可能性较小的是（）A.红心B.黑桃C.梅花D.小王2.我班语文科代表在期末考试中的语文成绩为150分，你认为这个事件的可能性（）A.一定B.很可能C.可能D.不大可能25-1-13．分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最小的是（）A．B．C．D．4.一个袋中装有6个红球、4个黄球、3个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出的可能性最小.5．有五张不透明卡片，分别写有实数，﹣1，，，π，除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张卡片，取到的数是无理数的可能性大小是．五．拓展提升1.下列事件中不是必然事件的是（）A.对顶角相等；B.同位角相等；C.四边形的内角和是360o；D.等腰梯形是轴对称图形.2.有4条线段，长度分别为2,3,5,7，从中任取三条，所得三条线段能构成三角形的可能性多大？第3课时概率一．课前预习：1.自学导航阅读教材134130—P的内容，思考下列问题：(1)概率的意义：.(2)概率的计算：当A是必然事件时，P(A)= ；当A是不可能事件时，P(A)= ；任一事件A的概率P(A)的范围是.2.诊断检测：(1) 下列说法错误的是（）A.必然事件发生的概率为1；B.不可能事件发生的概率为0；C.不确定事件发生的概率为0；D.随机事件发生的概率介于0和1之间.（2）下列说法正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次.（3）从1—10这10个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（）A.21B.51C.31D.103二．例题解析例1.掷一个各面分别标有1,2,3,4,5,6的正六面体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：(1)点数为1；(2)点数为偶数；(3)点数大于0且不大于4.例2. 一个不透明口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外没有任何其他区别，现从中任意摸出一个球.（1）计算摸到的是白球的概率；（2）若要使摸到白球的概率为41，则需要在里边再放入多少个白球？例3.见课本132页例2.三．小结提炼．四．巩固训练1.从分别写有-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4的九张一样的卡片中，任意抽取一张卡片，则所抽取的卡片数字的绝对值小于2的概率是.2.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯恰好是绿灯的概率是 .3.在围棋盒中有6颗黑色棋子和n 颗白色棋子，随机的取出一颗棋子，如果它是黑色棋子的概率为53，则n = .4.在半径为2的圆形木板中有一个内接正方形，现随机的往圆内投以飞镖，落在正方形的概率为 .（注：π取3） 5.请你用除颜色外都相同的6个小球设计满足下列条件的游戏：摸到白球的概率为21，摸到红球的概率为31，摸到黄球的概率为61，则应放 个白球， 个黄球. 6.商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说法正确的是（ ） A ．抽10次奖必有一次抽到一等奖 B ．抽一次不可能抽到一等奖 C ．抽10次也可能没有抽到一等奖 D ．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖7. 从－3，－2，6这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 ．五．拓展提升1.从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m ，再从余下的三个数中，任取一个数记为n ，若k =mn ，则正比例函数y =kx 的图象经过第三、第一象限的概率是 ．2.如图25-1-3是两个完全相同的正方形木板重叠的.其中一个正方形的顶点恰好落在另一个正方形的中心处，现有一只小狗在上面走动，则小狗恰好走在重叠区域的概率是 ．25.2 用列举法求概率第4课时 用列举法求概率（一）一．课前预习： 1.自学导航 阅读教材137136—P 的内容，思考下列问题：（1）列举法求概率的前提条件是试验中的每一个结果是___________发生的.（2）对某个试验进行两次操作时，可利用________法或________法求出概率. 2.诊断检测： （1）一个袋中装有2个红球和1个黄球，从中任意摸出两个个球，则摸出的两个球都是红球的概率为 . （2）将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，则至少出现一次正面向上的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．（3）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后放回搅匀．．．．后．，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． （4）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回．．．，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．二．例题解析例1.口袋中装有10个小球，其中2个红球，3个黄球，其余的都是白球，请计算从口袋中任意摸出一个球是下列情况的概率分别是多少？ （1）红球 （2）黄球（3）不是白球 (4)不是黄球例2． 端午节当天，小明带了四个粽子（除味道不同外，其它均相同），其中两个是大枣味的，另外两个是火腿味的，准备按数量平均分给小红和小刚两个好朋友．（1）请你用树状图或列表的方法表示小红拿到的两个粽子的所有可能性．（2）请你计算小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率．三．小结提炼． 四．巩固训练1.某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（ ） A ．B ．C ．D ．2.从1，-2,3三个数中，随机抽取两个数相乘，乘积是正数的概率为（ ）A.0B.31 C. 1 D.32 3.从8，18，12，42中随机抽取一个根式与2是同类二次根式的概率是 .4.哥哥与弟弟玩游戏：三张大小、质地相同的卡片上分别标有数字1、2、3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两数之和，如果和为奇数，则弟弟胜；和为偶数，则哥哥胜.该游戏对双方 .(填“公平”或“不公平”)5. 两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为（ ） A ．B. C ． D. 6.在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”四个围棋子，其除颜色外无其他区别.（1）随机地从盒子中提出1子，则提出的是白子的概率是多少？（2）随机地从盒子中提出1子，不放回再提出第二子，请用列表的方法表示出所有可能的结果，并求出恰好提出“一黑一白”的概率是多少？五．拓展提升1.点P 的坐标是（a ，b ），从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P （a ，b ）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是 ．2. 某商店举办有奖销售活动，办法如下：凡购货满100元者获兑奖卷1张，多够多得．每10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖一个，奖金10000元，一等奖10个，奖金各1000元，二等奖100个，奖金各100元．①一张兑奖卷中一等奖的概率是多少？中奖的概率是多少？②这种促销办法与商品价格打九五折相比，哪一个方法向顾客让利更多？③得两张兑奖卷都不中奖的概率是多少？④通过计算，你会选择摸奖，还是打折，为什么？3.一枚均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6，连续抛掷两次，朝上的数字分别是m ,n ，若把m ,n 作为点A 的横、纵坐标，那么点A （m ,n ）在函数y =2x 的图像上的概率是多少？第5课时 用列举法求概率（二）一．课前预习： 1.自学导航阅读教材139138—P 的内容，思考下列问题：411634383（1）对某个试验进行三次或三次以上操作时，可利用_______________法求出概率.（2）概率等于所求事件结果数与总结果数之比.即.______)( A P2.诊断检测：（1）有5张卡片分别写有数字1、1、2、2、3，它们的背面相同，现将它们洗匀背面朝上，从中任取一张是数字2的概率是（ ） A.51 B.52 C.32 D.21 （2）一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A ．518 B.13 C.215D.115（3）掷两枚普通硬币，落地出现一个正面，一个反面的概率是 .（4）有6张卡片上分别写着从1到6的一个自然数，从中任取2张，则两张卡片数字之和为偶数的概率是 ．（5）盒子里分别放有3张写有整式a +1,a +2,2的卡片，从中随机抽取2张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是 ． 二．例题解析例1.甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果； （2）求出两个数字之和能被3整除的概率．例2．某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A 、B 、C 、D ，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图（2）该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D 等的人数为 人；（3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、乙两个班的概率．三．小结提炼． 四．巩固训练1. 在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A ．B ．C ．D ． 2.安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ） A ．13 B ．19 C ．12 D ．233. 从A ，B ，C ，D 四人中用抽签的方法，任选2人去打扫公共场地，选中A 的概率是 . 4．从1,2,-3，4四个数中,随机抽取两个数相加,和是正数的概率是 . 5. 一签筒内有四支签，分别标记号码1、2、3、4．每次取一支且取后不放回，再取第二支签，若每一种结果发生的机会都相同，则这两支签的号码数总和是奇数的机率为.151358386. 在不透明的口袋中，有四个形状、大小、质地完全相同的小球，四个小球上分别标有数字，2，4，，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为平面直角坐标系中点P的横坐标，且点P 在22x y =的图像上，则点P 落在正比例函数图象上方的概率是 ． 7．本校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A 、B 、C 三组进行，选手由抽签确定分组，请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？五．拓展提升1.从﹣32，﹣1，0，1这四个数中，任取一个数作为m 的值，恰好使得关于x ，y 的二元一次方程组22x y mx y -=-⎧⎨-=⎩有整数解，且使以x 为自变量的一次函数y =（m +1）x +3m ﹣3的图象不经过第二象限，则取到满足条件的m 值的概率为 ． 2.甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球，1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球，2个黄球和若干个蓝球.从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍. （1）求乙盒中蓝球的个数； （2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率.第6课时 用列举法求概率（三）一．课前预习： 诊断检测： （1）某市中考体育男生抽测项目规则是：从立定跳远、实心球、引体向上中随机抽取一项；从50米、25×8米、100米中随机抽取一项．恰好抽中实心球和50米的概率是 ． （2）随机掷一枚质地均匀的硬币三次，至少有一次正面朝上的概率是 ． （3）一个不透明的袋子中装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相同.任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是 . （3）我校为提高教师业务素质，扎实开展了“课内比教学”活动．在一次数学讲课比赛中，每个参赛选手都从两个分别标有“A”、“B”内容的签中，随机抽取一个作为自己的讲课内容，本期有三个青年教师参加这次讲课比赛，则有两个抽中内容“A”，一个抽2131-xy =中内容“B”的概率是.（4）学生甲与学生乙玩一种转盘游戏.如图25-2-2是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示.固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是（）A. B. C. D.二．例题解析例1、一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是多少？例2.从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数；请画出树状图并写出所有可能得到的三位数例3．重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是度，并补全条形统计图；（2）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．三．小结提炼．四．巩固训练1. 从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是.2.抛掷一枚硬币三次，出现“一正两反”的概率是.3.小明、小芳、小飞在一起做游戏，需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“石头、剪子、布”的方式确定，则在一回合中，三人都出“石头”的概率是.4.三个袋中各装有2个球，其中第一个和第二个袋中各有一个红球和一个黄球，第三个袋中有一个黄球和一个黑球，现从三个袋中个摸出一个球，则摸出2个黄球和一个红球的概率为.5.A、B、C、D四人做相互传花球游戏，第一次A 传给其他三人中的一人，第二次由拿到花球的人再传给其他三人中的一人，第三次由拿到花球的人再传给其他三人中的一人，请用树形图分析第三次花1 4123456球传回A的概率.6．中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富，某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为度，并将条形统计图补充完整．（2）此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．五．拓展提升1.从﹣2，﹣1，﹣23，0，1，2这六个数字中，随机抽取一个数记为a，则使得关于x的方程213axx+=-的解为非负数，且满足关于x的不等式组321x ax->⎧⎨-+≤⎩只有三个整数解的概率是．2.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同.小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y. （1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=-x+5图象上的概率；（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x、y满足xy>6，则小明胜；若x、y满足xy<6,则小红胜.这个游戏规则公平吗?说明理由;若不公平,怎样修改游戏规则才对双方公平?第7课时用列举法求概率（四）一．课前预习：1.“上升数”是指在一个数中，右边的数字比左边的数字大的自然数（如：12,567,2368等）.任取一个两位数，是“上升数”的概率为 . 2.从1---9这9个自然数中任取一个，时货的倍数的概率是 .3.在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色外其余都相同的球，如果口袋中有5个红球且摸到红球的概率是31，则口袋中球的总数为 . 4.随机掷一枚硬币两次，落地后至多有一次反面朝上的概率是 .5.经过十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，则有三辆车经过该十字路口时，至少有两辆车直行的概率为 . 二．例题解析例1.小明与小亮玩游戏，他们将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上．规定游戏规则如下：先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数．则小明胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数．则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗?请用画数状图或列表的方法说明理由．例2.有人说连续抛掷一枚硬币3次，出现三个正面和先掷出2个正面再掷出一个反面的机会是一样的.你同意这种说法吗？变式：有人说连续抛掷一枚硬币3次，出现三个反面和先掷出2个反面和一个正面的机会是一样的吗？例3.为贯彻政府报告中“全民创新，万众创业”的精神，某镇对辖区内所有的小微企业按年利润w （万元）的多少分为以下四个类型：A 类（w ＜10），B 类（10≤w ＜20），C 类（20≤w ＜30），D 类（w ≥30），该镇政府对辖区内所有小微企业的相关信息进行统计后，绘制成以下条形统计图和扇形统计图，请你结合图中信息解答下列问题：（1）该镇本次统计的小微企业总个数是 ，扇形统计图中B 类所对应扇形圆心角的度数为 度，请补全条形统计图；（2）为了进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企业派一名代表参会．计划从D 类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言，D 类企业的4个参会代表中有2个来自高新区，另2个来自开发区．请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率．三．小结提炼． 四．巩固训练2.一张圆桌旁有四个座位，A 先坐在如图25-2-4所示的位置上，B ，C ，D 三人随机坐到其他位置上，那么A 与B 不相邻的概率是 .3.小明随机地在如图25-2-5所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（ ）。
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果，并且它们发生的可能性相等，事件A包括其中
的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=
m n
.
在P(A)=
m n
中，由m和n的含义，可知0≤m
≤n,进而有0≤
m n
≤1.
因此，0≤ P(A) ≤1 .
不可能事件 必然事件
0
不可能 事件
0≤ P(A) ≤1 . 事件发生的可 能性越来越小
事件发生的可 能性越来越大
2.从1、2、3、4、5中任取两个数字，得到的都 是偶数，这一事件是 随机 事件.
3.下列所描述的事件： ①某个数的绝对值小于0； ②守株待兔； ③某两个负数的积大于0； ④水中捞月. 其中属于不可能事件的有 ① ④ .
4.一个口袋中装有红、黄、蓝三个大小和形状都相 同的球，从中任取一球，得到红球与得到蓝球的可 能性 相同 .
在一定的条件下， 必然会发生的事件
在一定的条件下，必 然不会发生的事件
在一定的条件下，可能发 生也可能不发生的事件
必然 事件
不可能 事件
随机 事件
确定性事件 不确定性事件
【出题角度】认识事件
下列事件中，是随机事件的是（A ） A.他坚持锻炼身体，今后能成为飞行员 还有其他因素 不可能事件 B.在一个只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球 必然事件 C.抛掷一块石头，石头终将落地 不可能事件 D.有一名运动员奔跑的速度是20m/s
的是( B )
A.瓮中捉鳖
B.守株待兔
C.旭日东升
D. 夕阳西下
已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为 3∶7.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落 在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？
“落在海洋里”的可能性更大.
人教版九年级数学上册第25章 概率初步 精品课件
导入新知
篮球比赛中，裁判员一般是通过掷硬币决定哪个 队先发球，这样的游戏公平吗？为什么？
导入新知
模仿抽签决定演讲比赛出场顺序
5名同学参加讲演比赛，以抽签方式决定每个人的出 场顺序，签筒中有5根形状、大小相同的纸签，上面分别 标有出场的序号1，2，3，4，5.小军首先抽签，他在看 不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机（任意）地取 一根纸签，请考虑以下问题：
答：摸出黑球的可能性大.
【解释】由于两种球的数量不等，所以“摸出黑球” 和“摸出白球”的可能性的大小是不一样的，且“摸 出黑球”的可能性大于“摸出白球”的可能性.
探究新知
【想一想】能否通过改变袋子中某种颜色的球的 数量，使“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性大小 相同？
答：可以。白球个数不变，拿出两个黑球或黑 球个数不变，加入2个白球.
探究新知
活动2：摸球游戏 (1)小明从盒中任意摸出一球，一定能摸到红球吗？
探究新知
(2)小麦从盒中摸出的球一定是白球吗？ (3)小米从盒中摸出的球一定是红球吗？
探究新知
(4)三人每次都能摸到红球吗？
可能发生, 也 可能不发生
必然发生Βιβλιοθήκη 必然不会发生探究新知
【想一想】“从如下一堆牌中任意抽一张牌,可以事 先知道抽到红牌的发生情况”吗?
巩固练习
连接中考
1.（2018•中考）下列说法正确的是（C ） A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正 面
向上 B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明
天有40%的时间都在降雨 C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机
事件
巩固练习
连接中考
2.（2018•中考）下列事件中，是必然事件的是（ B
九年级数学上册同步精品课堂(人教版)第25章 概率初步(单元总结)(解析版)
第二十五章概率初步单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一事件概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.事件类型：①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.【典例分析】1．（2019·莆田第二十五中学初三期末）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（）A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件【答案】D【解析】“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选D．2．（2017·重庆十八中初三期中）下列说法正确的是（）A.打开电视，它正在播广告是必然事件B.要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查C.在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确D.甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定【答案】C【解析】试题分析：A．打开电视，它正在播广告是随机事件，A错误；B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用全面调查，B错误；C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，C正确；D．甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明甲的射击成绩比乙稳定，D错误；故选C．3．（2017·成都树德中学博瑞实验学校初一期末）下列事件为必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是偶数B．打开电视机，正在播放动画片C．两角及一边对应相等的两个三角形全等D．三根长度为2cm、3cm、5cm的木棒首尾相接能摆成三角形【答案】C【详解】A、任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件；B、打开电视机，正在播放动画片是随机事件；C、两角及一边对应相等的两个三角形全等是必然事件；D、三根长度为2cm、3cm、5cm的木棒首尾相接能摆成三角形是不可能事件.故选C.4．（2018·成都七中嘉祥外国语学校初三期中）下列事件中是必然事件的是（）A.任意画一个正五边形，它是中心对称图形x-有意义，则实数x＞3B.实数x3C.a，b均为实数，若a38，b4，则a＞bD.5个数据是：6，6，3，2，1，则这组数据的中位数是3【答案】D【解析】解：A．任意画一个正五边形，它是中心对称图形，是不可能时事件，故本选项错误；x-有意义，则实数x＞3，是不可能时事件，应为x≥3，故本选项错误；B．实数x3C．a，b均为实数，若a=38，b=4，则a=2，b=2，所以，a=b，故a＞b是不可能事件，故本选项错误；D．5个数据是：6，6，3，2，1，则这组数据的中位数是3，是必然事件，故本选项正确．故选D．5．（2018·福建省泉州第一中学初三期中）下利事件中，是必然事件的是（）A.将油滴在水中，油会浮在水面上B.车辆随机到达一个路口，遇到红灯C.如果，那么D.掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上【答案】A【解析】选项A，将油滴在水中，油会浮在水面上，是必然事件；选项B，车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件；选项C，如果，那么，是随机事件；选项D，掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上，是随机事件，故选A.知识点二概率计算概率的计算一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为利用列举法求概率方法一:直接列举法求概率当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。
人教版九年级上册数学精品教学课件 第25章 概率初步 用列举法求概率
不同的概率为（ C ）
A. 1
1
1
B.
C.
D. 3
4
3
2
4
2. a、b、c、d 四本不同的书放入一个书包，至少放
一本，最多放两本，共有 10 种不同的放法.
3. 在一个不透明的袋子里，装有三个分别写有数字 6， -2，7 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同. 先从袋子里随机取出一个小球，记下数字后放回袋子 里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字. 请你用 列表或画树状图的方法求下列事件的概率. （1）两次取出的小球上的数字相同； （2）两次取出的小球上的数字之和大于 10.
AB
E DC
HI
甲
乙
丙
(1) 取出的 3 个小球中恰好有 1 个，2 个，3 个写有元音
字母的概率各是多少？
解：由树状图知所有 甲
A
B
可能出现的结果有 12
个，它们出现的可能 乙 C D E C D E
性相等.
满足只有一个元音字
母的结果有 5 个，则 P (一个元音) = 5 .
12
丙 H IH IH I H IH IH I A AA AA A B B B B B B C CD DE E C C D D E E H IH IH I H I H IH I
例3 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲 手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中 的一人，如此传球三次. (1) 写出三次传球的所有可能结果 (即传球的方式)； (2) 指定事件A：“传球三次后，球又 回到甲的手中”，写出 A 发生的所有 可能结果； (3) 求P(A).
解：(1) 第一次 第二次 第三次 结果
问题引入 现有 A、B、C 三盘包子，已知 A 盘中有 两个酸菜包和一个糖包，B 盘中有一个酸菜包和一个 糖包和一个韭菜包，C 盘中有一个酸菜包和一个糖包 以及一个馒头. 老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个 盘中各选一个包子 (馒头除外)，请你帮老师算算选的 包子全部是酸菜包的概率是多少.
人教版九年级数学上册课件第25章知识梳理
4
情景引入
成语中的事件
中国文化博大精深，而成语更是其中的一份魂宝在数学中，我们
知道有必然事件、不可能事件、随机事件等，而有些成语，恰恰能很 好地解释这些数学中的概念.例如：
必然事件:瓮中捉鳖、春暖花开、落叶归根、流水不腐、生老病 死、瓜熟蒂落、水到渠成.
不可能事件:长生不老、刻舟求剑、饮鸩止渴、掩耳盗铃、缘木 求鱼、竹篮打水、偷天换日.
率为( B )
A. B. C. D. 2.一个不透明的布袋中装有分别标着数字1，2，3，4的四个相同的乒 乓球，现从袋中随机摸出两个乒兵球，则这两个乒兵球上的数字之和
大于5的概率为( B )
A. Bபைடு நூலகம் C. D.
19
知识点三：列举法求随机事件的概率
巩固练习
3.在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除 颜色外其余都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回 袋子中，充分摇匀后再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的 概率是( A )
23
知识点三：列举法求随机事件的概率
巩固练习
2.(安徽中考改编)如图，管中放置着三根同样绳子AA1、BB1、 CC1.小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结， 再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求绳 子能连结成一个封闭圆的概率.
24
知识点三：列举法求随机事件的概率
归纳总结
用列表或画树状图的方法求事件概率.值得注意的是: 在列表或画树状图时,要注意是“放回”还是“不放回”问题, 不放回时列表要去掉对角线.通过列表法或树状图法展示 所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件的结果数目 m,然后利用概率公式求事件的概率.
25
知识点四：用频率估计概率
九年级数学上册 第二十五章 概率初步 25.1 随机事件与概率 25.1.2 概率优质课件 新人教版
感觉到数学的美，感觉到数与形的协 调，感觉到几何的优雅，这是所有真 正的数学家都清楚的真实的美的感觉。
— —庞加莱
25
0
事件发生的可能性越来越小
1 概率的值
不可能发生 事件发生的可能性越来越大
必然发生
11
三、掌握新知
例1 掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点 数，求下列事件的概率： （1）点数为2； （2）点数为奇数； （3）点数大于2且小于5.
12
13
例2 如图是一个可以自由转动的转盘,转盘分成7 个大小相同的扇形,颜色分为红、绿、黄三种颜色. 指针的位置固定,转动的转盘停止后,其中的某个扇 形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形 的交线时，当作指向右边的扇形).求下列事件的概 率：
22
8.从一副扑克牌中找出所有红桃的牌共13张，从 这13张牌中任意抽取一张，求下列事件的概率。
（1）抽到红桃5； 1
13
（2）抽到花牌J、Q、K中的一张；
3 13
（3）若规定花牌点为0.5，其余牌按数字记点， 抽到点数大于5的可能性有多大？ 5
13
23
五、归纳小结
本课堂你学到了哪些概率知识？你有什么 疑问？
25.1.2 概率
1
一、情境导入
提问（1）这是个什么事件？ （2）这个事件发生的可能性有多大？
2
二、掌握新知
试验1 从分别写有数字1，2，3，4，5的五个纸团 中随机抽取一个，回答下列问题：
（1）抽出的数字有多少种情况？
有1，2，3，4，5这5种可能. （2）抽到1的可能性与抽到2的可能性一样吗？它
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其 发生可能性大小的数值称为随机事件A发生的概 率，记作：P（A）.
人教版九年级数学上册第25章概率初步_复习课件
（3
123456
的点数
1
234567
2
345678
3
456789
4
5 6 7 8 9 10
5
6 7 8 9 10 11
6
7 8 9 10 11 12
（3）列表如下：
概率初步
小红投掷
的点数 小颖投掷
123456
的点数
1
234567
2
345678
3
456789
概率初步
能力提高
概率初步
1、你能说出几个与必然事件、随机事件、不可能 事件相联系的成语吗？
如：必然事件：种瓜得瓜，种豆得豆，黑白分明。 随机事件：海市蜃楼，守株待兔。
不可能事件：海枯石烂，画饼充饥，拔苗助长。
2、在一个不透明的口袋中装有除颜色外其余都 相同的1个红球，2个黄球，如果每一次先从袋中 摸出1个球后不再放回，第二次再从袋中摸出1个 球，那么两次都摸到黄球的概率是多少？
当试验的所有可能结果不是有限个, 或各种可能结果发生的可能性不相等时, 常常是通过统计频率来估计概率,即在同 样条件下,大量重复试验所得到的随机事 件发生的频率的稳定值来估计这个事件 发生的概率。
概率初步
概率初步
2、一副扑克除大王外共52张，在看不 见牌的情况下，随机抽一张，是黑桃 的概率是＿＿＿＿
课本P171 1、2、3、4
概率初步
祝：同学们愉快！
概率初步
（2）小颖的说法是错误的．这是因为， “5点朝上”的频率最大并不能说明“5 点朝上”这一事件发生的频率最大．只 有当实验的次数足够大时，该事件发生 的频率稳定在事件发生的概率附近.
小红的判断是错误的，因为事件 发生具有随机性，故“6点朝上”的 次数不一定是100次．
九年级数学上册 第25章 概率初步总结提升
一等奖，奖金20元；若数字之和为9，
2021/12/12
第十六页，共二十五页。
本章总结(zǒngjié)提升
则获二等奖，奖金10元；若数字之和为7，则获三等奖，奖金5元；
其余的均不得奖．此次活动所收集到的赞助费除支付获奖人员的奖金外，
其余全部用于资助贫困生的学习和生活(shēnghuó)．
(1)分别求出此次活动中获得
1 2021/12/1其2 结果能因式分解的概率是3.
第七页，共二十五页。
本章总结(zǒngjié)提升
问题3 用列表法、画树状图法求概率
在什么(shén me)条件下，可以通过列举法求随机事件的概率？
用列举(lièjǔ)法求概率有哪些具体的方法？ 它们各有什么特点？
2021/12/12
第八页，共二十五页。
答：活动结束后至少有 5000 元的赞助费用于资助贫困生．
2021/12/12
第十九页，共二十五页。
例6 某公司现有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A，B两种型号， 乙品牌有C，D，E三种(sān zhǒnɡ)型号．朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各
选购一种型号的打印机．
(1)利用画树状图法或列表法写出所有选购方案； (2)若各种型号的打印机被选购的可能性相同，则C型号打印机被选 购的概率是多少？
第二十一页，共二十五页。
[解析] 这是一个概率和方程的综合问题，(1)(2)先用列表法或画树状
图法求出所有可能的结果，进而求出概率．(3)由于乙品牌选购了 E 型号的 打印机，甲品牌可能选购 A 型号或 B 型号，分类讨论，建立方程．
2021/12/12
第二十二页，共二十五页。
解：(1)画树状图或列表如下：
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教学课题第25章概率初步
一、知识框架
1.1随机事件和概率
1．必然事件、不可能事件和随机事件
1.定义：
（1）必然事件
在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件
在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
2、概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A
的概率(probability)，记为.
1.2用列举法求概率
1．必然事件和不可能事件
在一定条件下，必然会发生的事情称为必然事件．一定不会发生的事情称为不可能事件．必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.
2．用列举法计算概率
常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.设共有n种结果.如果出现其中每一种结
果的可能性大小是一样的，那么出现每一种结果的概率都是1
n
.如果一个事件包含m种可
能的结果，那么出现这个事件的概率为1
n
+
1
n
+……+
1
n
=
m
n
.
个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值.
3、用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
二、重点和难点
随机事件和概率
1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；
2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.
3、概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
4、概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
5、事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.
用列举法求概率
1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件的特点，并根据这些特
点对有关事件作出准确的判断；
2、能够运用树状图法和列表法计算简单事件发生的概率.
3、树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
4、在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
5、列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
6、列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
用频率求概率
1、理解频率与概率的区别与联系；能够通过大量重复实验，估计事件发生的概率；能利用频率与概率的关系解决实际问题.
2、事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
3、频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复实验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
4、概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
三、易错点
随机事件和概率
1、频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近.
2、概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；概率反映了随机事件发生的可能性的
大小；事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必
然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.
3、计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的不同条件确定解法，如面积法、数值法等.
用列举法求概率
1、树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；在用树状图
法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
2、列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；列表法适用于涉及
两步试验的随机事件发生的概率.
用频率估计概率
1、概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
2、事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.
3、频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复实验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
四、典型例题
例1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；
若摸到所有的红球与黑球共6个，还会摸到2个白球；
所以从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情是必然事件．
故选D．
【总结升华】解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．关键是得到相应事件的类型．
例4、2．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸
出一个，则摸到黄球的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】从袋中随机摸出一个球的所有可能情况有８种，其中是黄球的情况有３种，故摸
到黄球的概率是.
【总结升华】这是一道典型的古典概型题.
例5. 把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5）洗匀后正面
朝下放在桌面上．
（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是的概率是多少？
（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字
后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相
同时，小王胜；当张牌面数字不相同时，小李胜．现请你利用树状图或列表法分析游戏
规则对双方是否公平？并说明理由.
【思路点拨】（1）问属于古典概型；（2）问可以采用列表法或树状图法列出所有的可能，
计算小王和小李各自取胜的概率，再去做判断.
【答案与解析】
（1）P（抽到牌面数字４）=；
（2）游戏规则对双方不公平，理由如下：
3 4 5
3 （3，3）（3，4）（3，5）
4 （4，3）（4，4）（4，5）
5 （5，3）（5，4）（5，5）
一共有9种可能的结果，每种结果发生的可能性相等，∴P（牌面数字相同）=；P
（牌面数字不相同）=2
3
，∴小李胜的概率要大，游戏不公平.
【总结升华】列表法可以不重不漏的列出所有可能的结果.
例6、不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白
球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为1
2
.
（1）试求袋中蓝球的个数.
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到的都是白球的概率.
【答案】（1）1个；
（2）P（两次摸到白球）=1
6
.
例7.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）
A. 频率等于概率
B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D. 实验得到的频率与概率不可能相等
【思路点拨】对于某个确定的事件来说，其发生的概率是固定不变的，而频率是随着试验次数的变化而变化的.
【答案】B.
【解析】事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.
【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
例8. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得
一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701
落在“铅笔”的频率
(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？
(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？
(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)
【答案与解析】(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；
(2) 0.69；
(3) 由（1）的频率值可以得出P（获得铅笔）=0.69；
(4) 0.69×360°≈248°.
【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．。