2019高考数学一轮复习课时规范练32基本不等式及其应用文

课时规范练32 基本不等式及其应用
基础巩固组
1.设0<a<b,则下列不等式正确的是()
A.a<b<
B.a<<b
C.a<<b<
D.<a<<b
2.(2017山东枣庄一模,文5)若正数x,y满足=1,则3x+4y的最小值是()
A.24
B.28
C.25
D.26
3.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是()
A.3
B.4
C.5
D.6
4.函数y=(x>-1)的图象的最低点的坐标是()
A.(1,2)
B.(1,-2)
C.(1,1)
D.(0,2)
5.(2017山东日照一模,文6)已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为()
A.8
B.9
C.16
D.18
6.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()
A.80元
B.120元
C.160元
D.240元
7.若两个正实数x,y满足=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()
A.(-∞,-2)∪[4,+∞)
B.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.(-2,4)
D.(-4,2)
8.设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2,则的最大值为()
A.2
B.
C.1
D.〚导学号24190921〛
9.(2017山东,文12)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.
10.(2017江苏徐州模拟)已知正数a,b满足2a2+b2=3,则a的最大值为.
11.(2017山西临汾二模,文14)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/千克、b元/千克,家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋,家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋,试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠).(在横线上填甲或乙即可)
12.设a,b均为正实数,求证:+ab≥2.
〚导学号24190922〛
综合提升组
13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
14.已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则的最小值是.
15.如果a,b满足ab=a+b+3,那么ab的取值范围是.
16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
〚导学号24190923〛
创新应用组
17.若正实数x,y满足x+y+=5,则x+y的最大值是()
A.2
B.3
C.4
D.5
18.(2017山东德州一模,文9)圆:x2+y2+2ax+a2-9=0和圆:x2+y2-4by-1+4b2=0有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则的最小值为()
A.1
B.3
C.4
D.5〚导学号24190924〛
答案：
1.B∵0<a<b,∴a<<b,故A,C错误;-a=)>0,即>a,D错误,故选B.
2.C∵正数x,y满足=1,
∴3x+4y=(3x+4y)=13+≥13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.
∴3x+4y的最小值是25.故选C.
3.B由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,
∴m+n=2(a+b)≥4=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.
4.D∵x>-1,∴x+1>0.∴y==(x+1)+≥2,当且仅当x+1=,即x=0时等号成立,即当x=0时,该函数取得最小值2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2).
5.B由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.
所以(a+b)=5+≥5+4=9,当且仅当,即2a=b=时等号成立,故选B.
6.C设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4 m2.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥
80+40=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.
7.D x+2y=(x+2y)=2++2≥8,
当且仅当,即x=2y=4时等号成立.
由x+2y>m2+2m恒成立,
可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,
解得-4<m<2.
8.C由a x=b y=3,.
因为a>1,b>1,所以ab≤=3,
所以lg(ab)≤lg 3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立.
9.8∵直线=1过点(1,2),
∴=1.
∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)·=4+≥4+2=8.
当且仅当b=2a时等号成立.
10.a(2a2+b2+1)=×(3+1)=,
当且仅当a=,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1时,等号成立.
故a的最大值为.
11.乙甲购买产品的平均单价为,乙购买产品的平均单价为.
∵≥0,且两次购买的单价不同,
∴a≠b,
∴>0,
∴乙的购买方式的平均单价较小.故答案为乙.
12.证明因为a,b均为正实数,
所以≥2,
当且仅当,即a=b时等号成立,
又因为+ab≥2=2,
当且仅当=ab时等号成立,
所以+ab≥+ab≥2,
当且仅当即a=b=时等号成立.
13.D令f(y)=|y+4|-|y|,
则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.
∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,
∴2x+≥f(y)max=4,
∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;
令g(x)=-(2x)2+4×2x,
则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.
14.2+4x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,可得x+3y=1.
+4≥2+4=2+4.
当且仅当x=y,x+3y=1,即y=,x=时等号成立.
的最小值是2+4.
15.(-∞,1)∪(9,+∞)∵ab=a+b+3,
∴a+b=ab-3,∴(a+b)2=(ab-3)2.∵(a+b)2≥4ab,
∴(ab-3)2≥4ab,
即(ab)2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9.
16.解 (1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,依题意得,当0<x<80时,L(x)=(0.05×1 000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250;
当x≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)-51x-+1 450-250=1 200-,
则L(x)=
(2)当0<x<80时,L(x)=-(x-60)2+950,
此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.
当x≥80时,L(x)=1 200-≤1 200-2
=1 200-200=1 000,
当且仅当x=时,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.
因为950<1 000,
所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1 000万元.
17.C∵x>0,y>0,xy≤,
∴,即,
∴x+y+≥x+y+.
即x+y+≤5.
设x+y=t,则t>0,∴t+≤5,得到t2-5t+4≤0,
解得1≤t≤4,
∴x+y的最大值是4.
18.A由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+a)2+y2=9,x2+(y-2b)2=1,
圆心分别为(-a,0),(0,2b),半径分别为3和1,故有a2+4b2=16,
∴·(a2+4b2)=(8+8)=1,
当且仅当,即a2=8,b2=2时,等号成立,故选A.。