2017版数学大一轮复习练习9.2线面平行与面面平行.doc

第47课线面平行与面面平行

【自主学习】

(本课时对应学生用书第119~121页)

自主学习回归教材

1. (必修2P41练习2改编)若直线a∥b，且b⊂平面α，则直线a与平面α的位置关系为.

【答案】a∥平面α或a⊂平面α

2. (必修2P45习题9改编)已知α，β，γ是三个不重合的平面，α∥β，β∥γ，那么α与γ的位置关系为.

【答案】平行

3. (必修2P41练习1改编)已知两个命题：

p：平行于同一条直线的两个平面平行；

q：垂直于同一条直线的两个平面平行.

则真命题为，假命题为.

【答案】q p

4. (必修2P32练习3改编)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1与平面ABC的位置关系是，AA1与平面BCC1B1的位置关系是，AC与平面ACC1A1的位置关系是.

(第4题)

【答案】平行相交线在面内

【解析】直线与平面的位置关系有三种：平行、相交、线在面内.

1. 一条直线和一个平面的位置关系

2. 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.

3. 两个平面的位置关系

4. 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

【要点导学】

要点导学各个击破

线面基本位置关系的真假判断

例1(2014·常州模拟)给出下列命题：

①若线段AB在平面α内，则直线AB上的点都在平面α内；

②若直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点；

③两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；

④设a，b，c是三条不同的直线，若a⊥b，a⊥c，则b∥c.

其中为假命题的是.(填序号)

【思维引导】判断命题的真假与否的前提是正确理解各个定理，关键在于灵活转化各种线面关系，还要熟悉各种关于线面的常见关系.解决问题时不要先“想当然”，而要多些“逆反思维”.

【答案】②③④

【解析】易知①正确；对于②，直线a可能与平面α相交，此时它们有公共点；对于③，两个平面平行的必要条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；对于④，b与c 还可能相交或异面.

【精要点评】判断此类命题真假的常见方法有：(1)根据一些已有定理直接进行判定或证明；(2)利用常见模型进行判断；(3)举反例判断.

变式(2015·镇江期末改编)设α，β为互不重合的平面，m，n是互不相同的直线，给出下列四个命题：

①若m∥n，n α，则m∥α；

②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ； ④若m ⊂α，m ∥β，α∩β=n ，则n ∥m. 其中正确的命题为 .(填序号) 【答案】④

【解析】对于①，直线m 可能在平面α内，故①错误；对于②，没有m 与n 相交的条件，故②错误；对于③，m 与n 还可能异面，故③错误.

线面平行的判定与证明

例2 如图(1)，四棱锥P-ABCD 的底面为平行四边形，E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点，

求证：EF ∥平面

PAD.

(例2(1))

【思维引导】证明线面平行可以取PD 的中点M ，构造平行四边形AEFM ；也可以构造三角形，找到中位线，再找平行关系；还可以先证明面面平行，再证线面平行.

【解答】方法一：如图(2)，取PD 的中点M ，连接FM ，AM ，

因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM=1

2CD.

因为四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 的中点，

所以EA ∥CD ，且EA=1

2CD ，

所以FM ∥EA ，且FM=EA ， 所以四边形AEFM 为平行四边形， 所以EF ∥AM.

又AM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD.

图(2)

方法二：如图(3)，连接CE并延长交DA的延长线于点N，连接PN.

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以AD∥BC，

所以∠BCE=∠ANE，

∠CBE=∠NAE.

又AE=EB，所以△CEB≌△NEA，

所以CE=NE.

因为F为PC的中点，所以EF∥NP.

又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

图(3)

(例2)

【精要点评】(1)线面平行⇔线线平行.(2)找平行关系时，常借助三角形的中位线与边的平行关系，或借助平行四边形边的平行关系.有时还可以借助两平面平行的关系来证明线面平行.(3)证明线面平行时务必要说清三点：两线平行；一线在面外；一线在面内.

变式1(2015·南京、盐城一模改编)如图(1)，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，E 分别为B1D，AB的中点.求证：OE∥平面BCC1B1.

(变式1(1))

【解答】如图(2)，连接BC 1，B 1C ，设BC 1∩B 1C=F ，连接

OF.

(变式1(2))

因为O ，F 分别是B 1D 和B 1C 的中点，

所以OF ∥DC ，且OF=1

2DC.

又因为E 为AB 的中点，

所以EB ∥DC ，且EB=1

2DC ，

从而OF ∥EB ，且OF=EB ， 即四边形OEBF 是平行四边形， 所以OE ∥BF.

又因为OE ⊄平面BCC 1B 1，BF ⊂平面BCC 1B 1， 所以OE ∥平面BCC 1B 1.

变式2 (2015·宿迁一模)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形.若平面PBC

与平面PAD 的交线为l ，求证：BC ∥

l.

(变式2)

【解答】因为四边形ABCD 为菱形，所以BC ∥AD. 因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD.

又因为BC ⊂平面PBC ，平面PBC∩平面PAD=l ， 所以BC ∥l.