高等数学一总复习资料

B 中的函数是相同的。因为
对一切实数 x 都成立，故应选 B。
C 中的两个函数是不同的。因为
的定义域为 x ≠-1 ，而 y=x 的定义域为（ - ∞，
+∞）。
D 中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（ - ∞， 0）∪（ 0，+∞）和（ 0，+ ∞）。
例 4：设
解：在
令 t=cosx-1 ，得
由于
，故（ B）中数列发散。
由于正弦函数是一个周期为
的周期函数，当
时，
于一个确定的值，因而（ C）中数列也发散。
由于
，故（ D）中数列收敛。
并不能无限趋近
例 2：设 A.0 B.1 C.3 D.1/3
，则 a=( )
解：假设 =0，则所给极限为 趋于有限值 3，所以极限为∞，不是 1/5 ，因而 ≠ 0。
又因为 -1 ≤cosx ≤1，所以有 -2 ≤cosx-1 ≤ 0，即 -2 ≤ t ≤ 0，从而有
。
例 5：
f(2) 没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。
例 6：函数
是（ ）。
A．偶函数 B ．有界函数 C．单调函数 D．周期函数
解：由于
，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（ A）
例 2：函数
的定义域为（ ）.
解：由于对数函数 lnx 的定义域为 x>0，同时由分母不能为零知 lnx ≠0，即 x≠1。由根式内
要非负可知
即要有 x>0、x≠1 与
同时成立，从而其定义域为
，
即应选 C。
例 3：下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）
解： A 中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当 |x|>1 时，两函数取得不同的 值。
所以有
f(-x) = - f(x)
，即 f(x) 为奇函数，故应选 A 。
例 8 ：函数
的反函数是（ ）。
A．
B．
C．
D．
解：
于是，
是所给函数的反函数，即应选 C。
例 9 ：下列函数能复合成一个函数的是（
）。
A．
B．
C．
D．
解：在 (A)、(B)中，均有 u=g(x) ≤ 0，不在 f (u) 的定义域内，不能复合。在 (D)中， u=g(x)=3
A.
B.
C.
D.
解：由于
所以应选 A. 例 10． 要使函数 A.1/2 B.2 C.1 D.0
解：
在 x=0 处连续， f (0)应该补充定义的数值是 ( )
要使函数 f (x)在 x=0 处连续，必须有 因此要令 f(0)=1. 故应选 C。
例 11． 设
求 k，使 f (x) 连续。
解：由于函数 f (x)在（ - ∞，0）和（ 0，+∞）两区间内均由初等函数表示，而且在这两个
第一章 函数及其图形
例 1： A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x
（ ）. ≤ 1} D. {x | x ≤1}
注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题 的解题策略与技巧》 ，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。
A．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 Ｄ．奇偶性不确定
解：因为 f(x+y)=f(x)+f(y) ，故 f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)
，可知 f(0)=0 。在
f(x+y)=f(x)+f(y) 中令 y = -x ，得 0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)
也不满足 f(u) 的定义域
，也不能复合。 只有 (C)中
的定义
域内，可以复合成一个函数，故应选 C。
例 10 ：函数
可以看成哪些简单函数复合而成：
解：
，三个简单函数复合而成
第二章 极限与连续
例 1：下列数列中，收敛的数列是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：（ A）中数列为 0，1，0，1，……其下标为奇数的项均为 0，而下标为偶数的项均为 1，即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。
，其分子趋于∞，而分母
当 ≠0 时，所给极限为
，故应选 C。
一般地，如果有理函数
那么，当
时，
当 k=l 时， f (n) 的极限为
，其中
、
分别为 次项的系数之比；
当 k<l 时， f (n) 的极限为零； 当 k>l 时， f (n) 的极限为∞。
对于当 x→∞（或 +∞，－∞）时 x 的有理分式函数 果。
例 4. 求 解法 1 解法 2
解法 3 例 5.
A. 0 B. 1 C. 1/2 D. 1/4 解：由于 例 6.
, 故应选 D。
解
:
注意 本题属于“∞ - ∞”型，是个未定式，不能简单地认为它等于 0 或认为是∞，对于此类 问题一般需要将函数进行通分，然后设法进行化简，进而求出其极限值。
例 7. 当 x→0 时，
区间内均有定义，因此在这两个区间内是连续的。函数是否连续取决于它在
x=0 处是否连续。
要让 f (x)在 x=0 处连续，必须
由于
= 又由 可知
例 12． 证明方程
在区间（ 1，2）内必有一根。
证：令
，由于 f （x）是初等函数，它在区间（ - ∞， +∞）
上连续，另外 f （1）=-1<1 ，f （2）=13>0， f （x）在 [1 ，2] 上连续，故由零点
不正确。由函数在 x=0，1，2 点处的值分别为 0， 1，4/5 ，可知函数也不是单调函数；该函数 显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。
事实上，对任意的 x，由 任意的 x，有
。
，可得
，从而有
。可见，对于
因此，所给函数是有界的，即应选择 B。
例 7：若函数 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y), 则 f(x) 是（ ）。
例 3.
A. 0 B. 1 C. 解 利用重要极限
π D. n
的极限，也有类似的结
，故应选 C。
注：第一重要极限
的本质是
子，里面可以填入任意以零为极限的表达式（三个
， 这里的 可以想象为一个空的筐 填入的内容要相同）。
类似地，第二重要极限 相同的任意趋于无穷大的表达式。
可以看作是
，其中 可以同时填入
的（ ）。
A. 同阶无穷小量 B. 高阶无穷小量 C. 低价无穷小量 D. 较低阶的无穷小量
解：由于
可知 例 8. 当
是 x 的同阶无穷小量，所以应选 A。 等价的无穷小量是 ( )
A.
B.
C.
D.
解：由于
可知 所以选 D。
的高阶无穷小量，同时
等价的无穷小量，
例 9. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是 ( )