四川省成都七中2015届高三零诊模拟数学(文)试题 Word版无答案[ 高考]
四川省成都七中实验学校2015届高三零诊模拟训练数学试题 Word版
四川省成都七中实验学校2015届高三零诊模拟训练数学试题第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}210A x x =-≥，集合{}10B x x =-≤，则()U C A B =I （ ） A ．{}1x x ≥ B ．{}11x x -<< C ．{}11x x <-<≤ D ．{}1x x <- 解析：{}210A x x =-≥={}11x x x 或≥≤-，∴U C A ={}11x x -<<， 又{}10B x x =-≤={}1x x ≤，∴ ()U C A B =I {}11x x -<< 答案B 2. 下列四种说法中，正确的是 （ C ） A ．}{1,0A =-的子集有3个；B ．“若22,am bm a b <<则”的逆命题为真；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件；D ．命题“x R ∀∈，均有2320x x --≥”的否定是 “,x R ∃∈使得2320x x --≤ 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ） A ．244π+ B ．166π+C ．242π+D ．164π+由三视图知，该几何体是由两个半径为1的半球和一个棱长为2正方体组成，表面积为42262242S πππ=+⨯⨯-=+，选C ．4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果k =( B )A. 4B. 5C. 6D. 75.函数3,0(),0-+<⎧=⎨≥⎩x x a x f x a x (01)a a >≠且是R 上的减函数，则a 的取值范围是( B )A ．()0,1B ．1[,1)3C ．1(0,]3D ．2(0,]3解:据单调性定义，()f x 为减函数应满足：0013a a a <<⎧⎨≥⎩即113a ≤<. 答案B 6. 已知向量()()ABC BC AB ∆︒︒=︒︒=则,45sin ,30cos ,120sin ,120cos 的形状为 ( C )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ． 钝角三角形D ．锐角三角形()()cos120,sin120cos30,sin 45=cos120cos30+sin120sin 45AB BC ⋅=︒︒⋅︒︒︒︒︒︒1=02->，所以ABC ∠为钝角 答案C7. 设,m n 为空间的两条不同的直线，,αβ为空间的两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若,m m αβ⊥⊥，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若,m n αα⊥⊥，则m ∥n ． 上述命题中，所有真命题的序号是 （ D ）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8．某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工．在每台设备A 、每台设备B 上加工1件甲产品所需工时分别为1h 和2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 和1h ，A 设备每天使用时间不超过4h ，B 设备每天使用时间不超过5h ，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是 ( D )A ．18万元B . 12万元C . 10万元D .8万元9. 若()sin(2)f x x b ϕ=++, 对任意实数x 都有()()3f x f x π+=-，2()13f π=-,则实数b 的值为 （ A ）A ．2-或0B ．0或1C ．1±D ．2±解：由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得()f x 关于直线6x π=对称，因为213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭且函数周期为π，所以21163f f b ππ⎛⎫⎛⎫=-==±+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2b =-或0b =10. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当 6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ A ）A ．3 B.2 C.332 D.2 解:设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1111,c ce a a e ==.双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，,c ce a a e==.12,,(0)PF x PF y x y ==>>，则由余弦定理得2222242cos 60c x y xy x y xy =+-=+-，当点P 看做是椭圆上的点时,有22214()343c x y xy a xy =+-=-，当点P 看做是双曲线上的点时,有2224()4c x y xy a xy =-+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即22214()3()c cc e e=+，所以22111()3()4e e +=，又因为11e e =，所以22134e e +=，整理得42430e e-+=，解得23e =，所以e ，，选A.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5题,每小题5分,共25分．答案填在答题卡上． 11. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则2014a =22017=n a 12. 已知a b>，且1ab =，则221a b a b++-的最小值是 . 13．有一个内接于球的四棱锥P ABCD －，若PA ABCD ⊥底面，2BCD π∠=，2ABC π∠≠，BC ＝3，CD ＝4，PA ＝5，则该球的表面积为________．解： 由∠BCD ＝90°知BD 为底面ABCD 外接圆的直径，则2r ＝32＋42＝5.又∠DAB ＝90°⇒PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，BA ⊥AD .从而把PA ，AB ，AD 看作长方体的三条棱，设外接球半径为R ，则(2R )2＝52＋(2r )2＝52＋52， ∴4R 2＝50，∴S 球＝4πR 2＝50π.14.已知函数221,(20)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧⎪⎨⎪⎩++-<≤=->有3个零点，则实数a 的取值范围是 .解:因为二次函数最多有两个零点，所以函数必有一个零点，从而0a >，所以函数3(0)y ax x =->221(20)y ax x x =++-< 必有两个零点，故需要()()22022000440a f f a ìïï-<-<ïïïïï->íïï>ïïïï=->ïîV ，解得34a < 答案 3(,)4+∞15．下列命题正确的有___________.①已知A,B 是椭圆+=22134x y 的左右两顶点, P 是该椭圆上异于A,B 的任一点,则⋅=-34AP BP k k .②已知双曲线-=2213y x 的左顶点为1A ,右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点,则⋅12PA PF 的最小值为－2.③若抛物线C :=24x y 的焦点为F ，抛物线上一点(2,1)Q 和抛物线内一点(2,)R m >(1)m ，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分∠RQF ；④已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,'=->>(1)0,()()0(0)f xf x f x x , 则不等式>()0f x 的解集是-+∞(1,0)(1,).答案 （2） （3） （4）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且222823ABC b c a S ∆+-=（其中ABC S ∆为△ABC 的面积）．（1）求2sin cos 22B CA ++；（2）若2b =，△ABC 的面积为3，求a ．解析：（1）由已知得A bc A bc sin 21382cos 2⨯=即0sin 4cos 3>=A A 53sin =∴A 54cos =A212cos cos 22cos 2cos 12cos 2sin 22-+=++=++A A A A A C B50592152425162=-⨯+⨯=………………6分 （2）由（Ⅰ）知53sin =A 2,3sin 21===∆b A bc S ABC ,A b c a c cos 265222++==∴ 又13545222542=⨯⨯⨯-+=∴a13=∴a ……………………………………12分17．(本小题满分12分)已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，点(),n n S 在抛物线23122y x x =+上；各项都为正数的等比数列{}n b 满足13511,1632==b b b .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =,求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：（1）23122n S n n =+Q 当1n =时，2a S ==∴数列n a 是首项为2，公差为3的等差数列，31n a n ∴=- 又各项都为正数的等比数列{}n b 满足13511,432b b b ==解得1,22b q ==，()2n n b ∴= ……………………5分(2)由题得1(31)()2n n c n =-①②①-②得2311111113()()()(31)()22222n n n T n +⎡⎤=++++--⎢⎥L52n n T ∴=- ………………………………………………12分18. (本小题满分12分)已知函数3221()(1)3f x x a x b x =--+，其中,a b 为常数． （1）当6,3a b ==时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若任取[0,4],[0,3]a b ∈∈，求函数()f x 在R 上是增函数的概率．19. (本小题满分12分)如图,已知平面ABCD ⊥平面BCEF ,且四边形ABCD 为矩形,四边形BCEF 为直角梯形, 090CBF ∠=,//BF CE ,BC CE ⊥,4DC CE ==, 2BC BF ==.(1)作出这个几何体的三视图(不要求写作法).(2)设,P DF AG Q =⋂是直线DC 上的动点,判断并证明直线PQ 与直线EF 的位置关系.(3)求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值.19.(1)如右图. (2)垂直.(3)220．(本小题满分13分)平面内两定点12,A A 的坐标分别为(2,0),(2,0)-，P 为平面一个动点，且P 点的横坐标()2,2x ∈-. 过点P 作PQ 垂直于直线12A A ，垂足为Q ，并满足21234PQ AQ A Q =⋅. （1）求动点P 的轨迹方程.（2）当动点P 的轨迹加上12,A A 两点构成的曲线为C . 一条直线l 与以点(1,0) 为圆心，半径为2的圆M 相交于,A B 两点. 若圆M 与x 轴的左交点为F ，且6FA FB ⋅=. 求证：直线l 与曲线C 只有一个公共点.解：（1）设(),P x y ，()2,2x ∈-则：2212,2,2PQ y AQ x A Q x ==+=- 所以：23(2)(2)4y x x =-+，即：22143x y +=，()2,2x ∈- -----4分 （2）由(1)知曲线C 的方程为22143x y +=,圆M 的方程为()2214x y -+=，则()1,0F - 设()()1122,,,A x y B x y①当直线l 斜率不存在时，设l 的方程为：0x x =，则：12012,x x x y y ===-，()()01021,,1,FA x y FB x y =+=+因为6FA FB ⋅=，所以：()201216x y y ++=，即：()220116x y +-=因为点A 在圆M 上，所以：()220114x y -+=代入上式得：02x =±所以直线l 的方程为：2=+x （经检验x=-2不合题意舍去）， 与曲线C 只有一个公共点. ------5分 经检验x=-2不合题意舍去所以 x=2 -------6分②当直线l 斜率存在时，设l 的方程为：y kx m =+，联立直线与圆的方程：()2214y kx mx y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 得： 222(1)2(1)30k x km x m ++-+-=所以：12221222(1)131km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩------------8分 因为：()()11221,,1,FA x y FB x y =+=+，且6FA FB ⋅=所以：121212()5x x x x y y +++=又因为：1122y kx my kx m =+⎧⎨=+⎩，所以：()()2212121212()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++代入得：221212(1)(1)()5k x x km x x m +++++=， 化简得：2243m k -=--------10分 联立直线l 与曲线C 的方程：22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：222(34)84120k x kmx m +++-= 22222(8)4(34)(412)48(43)km k m k m ∆=-+-=-+ ----12分 因为：2243m k -=，所以0∆=，即直线l 与曲线C 只有一个公共点21．(本小题满分14分) (文科)已知函数()1xaf x x e =-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数()f x 的极值;(3)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.解:(Ⅰ)由()1x a f x x e =-+,得 ()1xaf x e '=-. 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴, 得()10f '=,即10ae-=,解得a e =.(Ⅱ)()1xa f x e '=-, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值.综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值.(Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e=-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+, 则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. 假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解, 与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤.又1k =时,()10x g x e=>,知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1.另解(Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e=-+.直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11xk x e -=(*)在R 上没有实数解.①当1k =时,方程(*)可化为10x e =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为11x xe k =-.令()xg x xe =,则有()()1xg x x e '=+.令()0g x '=,得1x =-,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:当1x =-时,()min g x e=-, 同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -. 综上,得k 的最大值为1.（理科）已知函数2()ln f x x x =+.（1）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若1a >，3()3x xh x e ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；(3)设2()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点,m n<<(0)m n ，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能 否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.解：（Ⅰ）21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x'=-=+-=+-由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1(2)a x x≤+…… 2分又10,2x x x>+≥x =时等号成立.故min 1(2)x x+=a ≤……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a <≤ 令x e t =，则[1,2]t ∈，则3()()3.h x H t t at ==-2()333(H t t a t t '=-=+……5分由()0H t '=，得t =或t =（舍去），34(1,2[1,2]a ∈，①若1t <≤()0,()H t H t '<单调递减；()h x在也单调递减； 2t <≤，则()0,()H t H t '>单调递增. ()h x 在2]也单调递增；故()h x的极小值为(ln 2h =-……8分（Ⅲ）设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln .F x x x kx =-- 结合题意，有220002ln 0,2ln 0,2,220,m m km n n kn m n x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩ ……10分①—②得2ln ()()().m m n m n k m n n -+-=-，所以02ln 2.m n k x m n =-- 由④得0022.k x x =- 所以2(1)2()ln .1m m m n n m n m n n--==++⑤ ……11分 设(0,1)m u n =∈，⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+ 设2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+， 2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++ 所以函数2(1)ln 1u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，1|0u y y =<=， 即2(1)ln 0.1u u u --<+ 也就是，2(1)ln 1m m n m n n-<+，此式与⑤矛盾. 所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴.……14分① ② ③④。
成都七中届高三零诊模拟考试数学试题及答案(文)
四川省成都七中2015届高三零诊模拟考试（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R xB. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x 【知识点】命题的否定．【答案解析】C 解析 ：解：∵命题0||,2≥+∈∀x x R x 是全称命题， ∴命题0||,2≥+∈∀x x R x 的否定是：0||,2000<+∈∃x x R x ，故选：C ．【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论． 2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则A B =（ ）A ．[0,2] B.[1,3) C. (1,3) D.(1,4) 【知识点】交集及其运算．【答案解析】B 解析 ：解：{||1|2}A x x =-<={x 丨﹣1＜x ＜3}， {|2,[0,2]}xB y y x ==∈={y|1≤y ≤4}，则A ∩B={x|1≤y ＜3}， 故选：B【思路点拨】求出集合A ，B 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论． 3．在极坐标系中，过点22(,)π且与极轴平行的直线方程是（ ） A ．2ρ= B.2θπ=C. cos 2ρθ=D.sin =2ρθ 【知识点】极坐标与直角坐标的互化，简单曲线的极坐标方程求解. 【答案解析】D 解析 ：解：先将极坐标化成直角坐标表示，22(,)π化为（2,0），过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示，即ρsin θ=2. 故选：D ． 【思路点拨】先将极坐标化成直角坐标表示，过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示即可．4.已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A ．33x y > B. sin sin x y > C. 22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 【知识点】指数函数的图像与性质．【答案解析】A 解析 ：解：∵实数x ，y 满足a x ＜a y（0＜a ＜1），∴x ＞y ，A ．当x ＞y 时，x 3＞y 3，恒成立， B ．当x=π，y=时，满足x ＞y ，但sinx ＞siny 不成立．C ．若ln （x 2+1）＞ln （y 2+1），则等价为x 2＞y 2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＞y 2不成立． D ．若＞，则等价为x 2+1＜y 2+1，即x 2＜y 2，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＜y 2不成立． 故选：A ．【思路点拨】不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质依此判断即可. 5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【知识点】由三视图还原实物图．菁优【答案解析】D 解析 ：解：由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形． 故选D ．【思路点拨】由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案． 6. 下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）A ．()sin =f x xB ．()sin cos =f x x xC ．()cos =f x xD ．22()cos sin =-f x x x【知识点】抽象函数及其应用；函数的奇偶性；函数的周期性．【答案解析】D 解析 ：解：对于任意x ∈R ，f （x ）满足()()f x f x =-， 则函数()f x 是偶函数，选项中，A ，B 显然是奇函数，C ，D 为偶函数，俯视图侧（左）视图正（主）视图又对于任意x ∈R ，()f x 满足(π)()f x f x -=，则(π)()f x f x +=，即f （x ）的最小正周期是π，选项C 的最小正周期是2π，选项D 22()cos sin =cos 2f x x x x =-其最小正周期是22ππ= 故同时满足条件的是选项D ． 故选D ．【思路点拨】由()f x 满足()()f x f x =-，根据函数奇偶性的定义得()f x 为偶函数，将选项A ，B 排除，因为它们是奇函数，再由()f x 满足(π)()f x f x -=推出函数的最小正周期是π，由三角函数的周期公式得选项D 符合．7.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【知识点】程序框图．【答案解析】D 解析 ：解：若x=t=2， 则第一次循环，1≤2成立，则M=11×2＝2，S=2+3=5，k=2， 第二次循环，2≤2成立，则M=22×2＝2，S=2+5=7，k=3， 此时3≤2不成立，输出S=7， 故选：D ．【思路点拨】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．8.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A.10B.8C.3D.2 【知识点】线性规划的简单应用 【答案解析】B 解析 ：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．由z=2x-y 得y=2x-z ，平移直线y=2x-z ，由图象可知当直线y=2x-z 经过点C 时，直线y=2x-z 的截距最小， 此时z 最大．由70310x y x y +--+⎧⎨⎩＝，＝解得52x y ⎧⎨⎩＝，＝即C （5，2） 代入目标函数z=2x-y ，得z=2×5-2=8．故选：B ．【思路点拨】作出不等式组表示的平面区域，由z=2x-y 可得-z 表示直线z=2x-y 在直线上的截距，截距-z 越小，z 越大，利用数形结合可求z 的最大值9． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A ．4个 B.6个 C. 10个 D.14个 【知识点】新定义.【答案解析】C 解析 ：解：分以下两种情况讨论：（1）点P 到其中两个点的的距离相等，到另外两个点的距离分别相等，且这两个距离相等，此时点P 位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P 到其中三个点的的距离相等，到另外一个点的距离与它到其它三个点的距离不相等，此时点P 在正四面体各侧面的中心，符合条件的有4个点；综上，满足题意的点共计10个，故答案选C.【思路点拨】抓住已知条件中的关键点进行分类讨论即可.10. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是( ) A.12【知识点】抛物线的基本性质；直线与抛物线的位置关系.【答案解析】B 解析 ：解：由题意可知，抛物线的准线方程为1x =-，()1,0A -， 如图，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，BADC. P由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：1y k x =+（），所以214y k x y x=+⎧⎨=⎩（）， 解得：2222240k x k x k +-+=（），所以2242440k k ∆=--=（），解得1k =±，所以45NPA ∠=︒，||||PF PA = cos NPA ∠ =．故选B ．【思路点拨】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设向量,a b满足|a b |+=,|a b |-=,则a b ⋅=【知识点】平面向量数量积的运算．【答案解析】1 解析 ：解：∵|a b |+=|a b |-=∴分别平方得2222210,26,a a b b a a b b +⋅+=-⋅+=两式相减得44a b ⋅=， 即1a b ⋅=，故答案为：1．【思路点拨】将等式进行平方，相加即可得到结论．12.设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1cos 4a b C ==1，=2，，则sin B =【知识点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系．【答案解析】4解析 ：解：∵C 为三角形的内角，cosC=， ∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2﹣2abcosC 得：c 2=1+4﹣1=4，解得：c=2， 又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：【思路点拨】由C 为三角形的内角，及cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，再由a 与b 的值，利用余弦定理列出关于c 的方程，求出方程的解得到c 的值，再由sinC ，c 及b 的值，利用正弦定理即可求出sinB 的值．13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =【知识点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质． 【答案解析】14解析 ：解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8． 取M （1，4），则AM 的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1，故a=．故答案为：．【思路点拨】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M （1，4），由AM 的斜率可求出a 的值．【典型总结】本题考查双曲线和性质和应用，解题时要注意抛物线性质的应用．14.随机地向半圆0y <<a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 .【知识点】几何概型． 【答案解析】112π+ 解析 ：解：由已知得半圆（a ＞0）则半圆的面积S=其中原点与该点的连线与x 轴夹角小于的平面区域面积为：S 1=故原点与该点的连线与x 轴夹角小于的概率P===故答案为：【思路点拨】根据已知条件，分别求出题目中半圆的面积，再求出满足条件原点与该点的连线与x 轴夹角小于的事件对应的平面区域的面积，然后代入几何概型，即可得到答案．【典型总结】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N（A ），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．15.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列5个命题：①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2x y = ②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln = 其中正确的是 _(写出所有正确命题的编号) 【知识点】命题的真假判断与应用；曲线与方程．【答案解析】C 解析 ：解：对于①，由2x y =，得y ′=2x ，则00|x y ='=，直线y=0是在点P （0，0）的曲线C 的切线，但2x y =恒在直线y=0上方，∴命题①错误；对于②，由21y x =+（），得21y x '=+（），则10|x y =-'=，而直线l ：x=-1的斜率不存在，在点P （-1，0）处不与曲线C 相切，∴命题②错误；对于③，由y=sinx ，得y ′=cosx ，则01|x y ='=，直线y=x 是过点P （0，0）的曲线的切线，又x ∈,02π⎛⎫-⎪⎝⎭时x ＜sinx ，x ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时x ＞sinx ，满足曲线C 在P （0，0）附近位于直线y=x 两侧，∴命题③正确； 对于④，由y=tanx ，得y ′＝21cos x，则01|x y ='=，直线y=x 是过点P （0，0）的曲线的切线，又x ∈,02π⎛⎫-⎪⎝⎭时tanx ＜x ，x ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时tanx ＞x ，满足曲线C 在P （0，0）附近位于直线y=x 两侧，∴命题④正确； 对于⑤，由y lnx =，得y ′＝1x，则11|x y ='=，曲线在P （1，0）处的切线为1y x =-， 由g （x ）=x-1-lnx ，得()g x '＝1−1x，当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0．∴g （x ）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g （1）=0．∴1y x =-恒在y lnx =的上方，不满足曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，命题⑤错误．∴正确的命题是③④． 故答案为：③④．【思路点拨】分别求出每一个命题中曲线C 的导数，得到曲线在点P 出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P 两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii ），则正确的选项可求．三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每题12分，20题13分，21题14分）16. 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x-=．（Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值； （Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．【知识点】三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【答案解析】（Ⅰ）定义域为{x |x ∈R ，且x ≠kπ，k ∈Z }．最大值为1x 的取值集合为{x |4πk π+≤x ≤k ππ+且2x k pp ?，k ∈Z }． 解析 ：解：（Ⅰ） cos x ≠0知2x k pp ?，k ∈Z ，即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠kπ，k ∈Z }．………………………3分 又∵ x xx x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-=)2cos 2(sin 1x x +-= )42sin(21π+-=x ，∴ 21)(max +=x f ． ……………………………………………………………8分（Ⅱ）由题意得1)04πx +≥，即sin(2)42πx +≤，解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ，整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ． 结合x ≠kπ，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为{x |4πk π+≤x ≤k ππ+且2x k pp ?，k ∈Z }．……………………………12分 【思路点拨】（1）根据函数f （x ）的解析式可得cosx ≠0，求得x 的范围，从而求得函数f （x ）的定义域．再利用三角函数的恒等变换化简函数f （x）的解析式为1)4πx +，从而求得函数的最大值．（2）由题意得1)04πx +≥，即sin(2)42πx +≤，解得x 的范围，再结合函数的定义域，求得满足f （x ）≥0 的x 的取值集合．17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机 抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名 志愿者被抽中的概率.【知识点】等可能事件的概率；频率分布直方图．【答案解析】（Ⅰ）应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.（Ⅱ）概率为3.5解析 ：解：第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿第（17）题图者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:1060×6=1. 所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分(2)记第3组的3名志愿者为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者为B 1,B 2,第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),( A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2), (A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共有15种. …………8分 其中第4组的2名志愿者B 1,B 2至少有一名志愿者被抽中的有:(A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 2,B 1), (A 2,B 2), (A 3,B 1), (A 3, B 2), (B 1,B 2), (B 1,C 1), (B 2,C 1),共有9种,………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93.155=…………12分 【思路点拨】Ⅰ）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（Ⅱ）从6名志愿者中抽取2名志愿者有15种情况，其中第4组的2名志愿者B 1，B 2至少有一名志愿者被抽中有9种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．【典型总结】熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键．18 如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2===AE EB BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。
四川省成都市第七中学2015届高三2月阶段性考试数学试题Word版含解析
成都七中2015届高三2月阶段性测试 数 学 试 题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A=2{|320}x x x -+>， B={|2,N*}x x x <∈， 则()R C A B =A ．φB ．{1} C.{2} D.{1，2} 【解析】集合A={|12}x x x <>或，{|12}R C A x x ∴=≤≤，B={|2,*}x x x N <∈，(){1}R C A B ∴=，故选B ．2.已知i 是虚数单位， 若22()01i mi +<+（m R ∈），则m 的值为A ．12 B ．2- C ．2 D ．12-【解析】 由22()01i mi +<+，知21i mi ++为纯虚数，222(12)11i m m imi m +++-∴=++为纯虚数，2m ∴=-，故选B.3.已知命题p:1x ≠或2y ≠，命题q:3x y +≠，则p 是q 的 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 因为命题p:1x ≠或2y ≠，命题q:3x y +≠，所以¬p ：12x y ==且，¬q: 3x y +=，所以¬p ⇒¬q ，但¬q ⇒¬p ，等价于q ⇒p ，但p ⇒q ，所以p 是q 的必要不充分条件. 4. 在如图所示的程序框图中，若0()xf x xe =，则输出的结果是A.2016x x e xe +B.2015x xe xe + C.2014x xe xe + D.2013x e x +【解析】 由0()x f x xe = 得当1i =时，10()()()x x x f x f x xe e xe ''===+，当2i =时，2015i =1()()i i f x f x -'=21()()()2x x x xf x f x e xe e xe ''==+=+，……，当2015i =时，20152014()()(2014)2015x x x x f x f x e xe e xe ''==+=+，故选B.5.一个边长为2m ，宽1m 的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为A ．352m B ．652m C ．1252m D ．1852m【解析】 由几何概型的概率计算公式可知， =会标的面积落在会标区域内豆粒长方形的面积数总豆粒数，所以会标的面积约为60621005⨯=，故选B. 6.三角函数()sin cos f x a x b x =-，若()()44f x f x ππ-=+，则直线0ax by c -+=的倾斜角为A ． 4πB ．3πC ．23πD ． 34π【解析】 由()()44f x f x ππ-=+知三角函数()f x 的图像关于4x π=对称，所以02()()f f π=所以=-a b ，直线0ax by c -+=的斜率1a k b ==-，其倾斜角为倾斜角为34π.故选D.7.已知数列{}n a 满足*1112,(N )1nn na a a n a ++==∈-，则1232014a a a a ⋅⋅⋅⋅=-6 B.6 C.-1 D.1【解析】 由111n n na a a ++=-可得21n na a +=-，从而可得4n na a +=，所以数列{}n a 是一个周期为4的数列.又12a =，所以2345113,,,2,23a a a a =-=-==，所以12341a a a a ⋅⋅⋅=，又201450342=⨯+，所以1232014126a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅=-.8. 已知向量(4,0)OA =， B 是圆C：22((1x y -+-=上的一个动点，则两向量OA OB 与所成角的最大值为A ． 12πB ． 6πC ．3πD ． 512π【解析】 如图，过点O向圆C 作切线OB ，连结CB ，AOB ∠为OA OB 与成的最大角，因点C ，所以4AOC π∠=，||2OC =，||1BC =，又OC CB ⊥，6COB π∴∠=，56412AOB πππ∴∠=+=，故选D.9.已知抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线222:13x C y -=的左焦点的连线交1C 于第二象限内的点M ，若抛物线1C 在点M 处的切线平行于双曲线2C 的一条渐近线，则p=B.C.8D.16【解析】 由题意可知，抛物线21:2(0)C x p y p =>的焦点坐标为(0,)2p ，双曲线222:13x C y -=的左焦点坐标为(2,0)-，则过抛物线的焦点与双曲线的左焦点的直线方程为122x yp +=-，即202p x y p -+=.设该直线与抛物线1C 的交点M 的坐标为200(,)2x x p ，则抛物线1C 在点M 的切线斜率为x p ，又抛物线1C在点M 处的切线与双曲线2C 的一条渐近线平行，点M在第二象限，所以03x b p a =-=-，解得03x p =-.即(,)36p M p-，又点M 在直线202px y p -+=上，所以()2026p p p p ⋅-⋅+=，解得p =,故选A. 10.定义区间12[,]x x 长度为21x x -，（21x x >），已知函数22()1()a a x f x a x +-=(,0a R a ∈≠)的定义域与值域都是[,]m n ，则区间[,]m n 取最大长度时a 的值为A ．3 B ． 13a a ><-或 C ．1a > D ． 3【解析】 设[,]m n 是已知函数定义域的子集.0,x ≠[,](,0)m n ∴⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞，故函数222()111()a a x a f x a x a a x +-+==-在[,]m n 上单调递增，则()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，故,m n 是方程211a x a a x +-=的同号的相异实数根，即222()10a x a a x -++=的同号的相异实数根.211mn a =>，,m n ∴同号，只需2(3)(1)0a a a ∆=+->，13a a ∴><-或，n m -== nm -取最大值为.此时3a =.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为 .【解析】 由分层抽样的定义可知，总人数129680812212543N =÷=+++.12.已知2tan ),,2(-=∈αππα，则)232cos(απ-=_______.【解析】 由2tan ),,2(-=∈αππα,得552sin =α，55cos -=α, 则==αααcos sin 22sin 54-,53sin cos 2cos 22-=-=ααα,所以103432sin 32sin 2cos 32cos )232cos(-=+=-απαπαπ.13.设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--02022022y x y x y x ，若z mx y =+取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值是 .【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由于目标函数取最大值时的最优解有无穷多个，所以目标函数z mx y =+的几何意义是直线0mx y z +-=与直线220x y -+=重合，比较得12m =-.14. 设1,1a b >>，若2e ab =，则ln 2e as b=-的最大值为 .【解析】1,1a b >>，∴ln 0,ln 0a b >>，由2e ab =得ln ln 2a b +=为定值，令ln a t b =，ln 2ln ln ln ln ln ln ()12a a b t b a b +∴==⋅≤=，当且仅当e a b ==时等号成立，ln 1t ∴≤，e t ∴≤，ln 2e e a s b ∴=-≤-.15.在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点(,)x y ，若,x y 都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线.现有如下几个命题：①如果k 与b 都是无理数，则直线y=kx+b 一定是遗憾直线； ②“直线y=kx+b 是完美直线”的充要条件是“k 与b 都是有理数”； ③存在恰有一个完美点的完美直线；④完美直线l 经过无穷多个完美点，当且仅当直线l 经过两个不同的完美点. 其中正确的命题是______．（写出所有正确命题的编号）【解析】 对于①，如果取，-1，0），是完美直线，所以①错误；对于②，由①知当k 与b 均为无理数，但是直线是完美直线，所以②错误；对于③，设直线方程为y=，只经过了一个完美点（0，0），所以③正确；对于④，设y=kx 为过原点的完美直线，若此直线l 过不同的完美点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入完美直线l 的方程得y1=kx1，y2=kx2，两式相减得y1-y2=k （x1-x2），则（x1-x2，y1-y2）也在完美直线y=kx 上，且（x1-x2，y1-y2）也为完美点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个完美点，所以④正确.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2,13A C b π+==．yC（1）记角,()A x f x a c ==+，若△ABC 是锐角三角形，求f (x)的取值范围；（2）求△ABC 的面积的最大值.【解析】 （1）在△ABC 中， A+B+C=π，32π=+C A ，解得3π=B . （1分） ∵ 在△ABC 中，C cB b A a sin sin sin ==，b=1，∴CA c a sin 3sin1sin 3sin1ππ+⋅=+)]32sin([sin 332A A -+=π]sin 32cos cos 32sin [sin 332A A A ππ-+=A A cos sin 3+= )6sin(2π+=A ，即)6sin(2)(π+=x x f ． （4分）△ABC 是锐角三角形，62A ππ∴<<，得3π<x+6π<23π，于是3<)(x f ≤2，即f (x)的取值范围为(3，2]． （6分） （2）由（1）知3π=B ，1b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22212cos3a c ac π=+-.2212a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=，当且仅当a c =时，等号成立. （10分）此时11sin sin 223ABC S ac B ac π∆===≤，故当a c =时，△ABC的面积的最大值为4. （12分）17.（本小题满分12分）2015年元月成都市跳伞塔社区要派人参加成都市财政局、水务局、物价局联合举行的“成都中心城区居民生活用水及特种用水价格调整方案听证会”，为了解居民家庭月均用水量（单位：吨），从社区5000住户中随机抽查100户，获得每户2014年12月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）．（1）分别求出频率分布表中a、b的值，并估计社区内家庭月用水量不超过3吨的频率；（2）设A1，A2，A3是月用水量为[0，2）的家庭代表．B1，B2是月用水量为[2，4]的家庭代表．若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求家庭代表B1，B2至少有一人被选中的概率．【解析】（1）由频率分布直方图可得a=0.5×0.5=0.25，∴月用水量为[1.5，2）的频数为25．故2b=100﹣92=8，得b=4．由频率分布表可知，月用水量不超过3吨的频率为0.92，所以家庭月用水量不超过3吨的频率约为0.92．（6分）（2）由A1、A2、A3、B1、B2五代表中任选2人共有如下10种不同选法，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．记“B1、B2至少有一人被选中”的事件为A，事件A 包含的基本事件为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共包含7个基本事件数．又基本事件的总数为10，所以．即家庭代表B1、B2至少有一人被选中的概率为．（12分）18.（本小题满分12分）已知几何体A-BCPM的三视图如图所示，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形，点E、F分别是AB、AP的中点.（1）求证：PC AB；（2）求证：EF∥平面BMC（3）求三棱锥M-ABC的体积.【解析】（1）由三视图可知， 平面PCBM ⊥平面ABC ， 平面PCBM平面ABC BC =，且PC BC ⊥，∴PC ⊥平面ABC ， （3分） 又AB ⊂平面ABC ，∴PC AB ⊥. （5分） （2）连接PB ．∵点E 、F 分别是AB 、AP 的中点， ∴EF 是ABP ∆的中位线， ∴EF ∥PB ，又PB ⊂平面BMC ，EF ⊄平面BMC ，∴EF ∥平面BMC . （8分）（3）由（1）知PC ⊥平面ABC ，由三视图可知PM ∥BC ， PC= 1，CB=2，AC=1，点A 到直线BC 的距离为AG=，∴PM ∥平面ABC ，∴点M 到平面ABC 的距离为PC=1，∴1122222ABC S BC AG ∆=⨯=⨯⨯=，∴三棱锥M-ABC的体积为11133M ABC ABC V S PC -∆=∙==. （12分）19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S满足)N ()2)(1(2243*∈++-+=+n n n n n a S n n ，且)2)(1(1+++=n n n a b n n . 求证:数列{}n b 是等比数列,并通项公式nb ；（2）设nn na c =，nT 为数列{}n c 的前n 项和，求nT .【解析】（1）由)2)(1(2243++-+=+n n n n a S n n 可得，)3)(2)(1(214311+++-+=+++n n n n a S n n ，两式作差得=++++--+++-=-+)3)(2)(1(2)3)(2()3)(2)(1(2)1(21n n n n n n n n n n n n a a n n）（3)2)(1(3)3)(2)(1(262+++--=++++-n n n n n n n n n n ， （3分）又)2)(1(1+++=n n n a b n n ，则)3)(2)(1(111++++=++n n n a b n n ，所以)2)(1(1)3)(2)(1(22211++-++++-=-++n n n n n n a a b b n n n n ，整理得112n nb b +=，又2161316111=+=+=a b ，故数列{}n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以12n n b =. （6分）由（1）可得）（2n )1(121)2)(1(1++-=++-=n n n n n b a n n n ，所以）（2n )1(12++-==n n na c n n n ， （7分）故]2)1(1431321[)2834221(321）（++++⨯+⨯-++++=++++=n n n c c c c T n n n ，设nnF 2834221n ++++=，则1n 2163824121+++++=n n F ，作差得1n 22116181412121+-+++++=n n n F ， 所以n n F 222n +-=. （9分）设）（2)1(1431321n ++++⨯+⨯=n n G ，则2121211141313121n +-=+-+++-+-=n n n G ， （11分）故2122232121222+++-=+--+-=n n n n T n n n ）（.（12分）20.（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为e 是方程2230x -+=的根. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 长轴的左右端点分别为A1，A2，设直线x=4与x 轴交 于点D ，动点M 是直线x=4上异于点D 的任意一点，直线A1M ， A2M 与椭圆C 交于P ，Q 两点，问直线PQ 是否恒过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由．【解析】 （1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则依题意得2a c -=，又离心率e 是方程的2230x -+=的根，所以c e a ==，2,a c ==21b ∴=.∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （4分） （2）由（1）知椭圆C 的标准方程为2214x y +=，12(20)(20)A A ∴-，，，，设动点(4,)(R 0)M m m m ∈≠且，1122(,),(,)P x y Q x y ，则12,62A M A M m mk k ==，∴直线1A M 的方程为(2)6m y x =+，直线2A M 的方程为(2)2my x =-，由22)1(642x y m y x ⎧⎪⎪⎨⎪+=+⎩=⎪ 消去y 得2222(9)44360m x m x m +++-=， 2124362,9m x m -∴-=+2121829m x m -∴=+，1269m y m =+，2221826(,99m mP m m -∴++. （6分）由22)1(242x y m y x ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪ 消去y 得2222(1)4440m x m x m +-+-=， 22222244222,11m m x x m m --∴=∴=++，2221m y m -=+，222222(,)11m m Q m m --∴++. （8分）222222262291(18222391PQ m m m m m k m m m m m m --++∴==≠----++，∴直线PQ 的方程为22222222()131m m m y x m m m ---=-+-+， 22222222()311m m m y x m m m --∴=-+-++22222222223311m m m m x m m m m -=-⨯---++222233m m x m m =--- 22(1)3m x m =--，∴直线PQ 过定点(10)，. （12分）当m =时，(1,2P，(1,2Q -；当m =(1,2P -，(1,2Q . 此时直线PQ 也恒过定点(1,0).综上可知，直线PQ 恒过定点，且定点坐标为(1,0). （13分）21.（本小题满分14分）已知函数()ln xf x a x bx =+（(0,)x ∈+∞的图象过点11(,)e e -，且在点（1,(1)f ）处的切线与直线0x y e +-=垂直.（1）求,a b 的值.（2）若存在01[,e]e x ∈（e 为自然对数的底数，且e=2.71828…），使得不等式2000113()222f x x tx +-≥-成立，求实数t 的取值范围.【解析】 （1）()ln ln x f x a x bx ax x bx =+=+，()ln ,f x a x a b '∴=++又在点（1,(1)f ）处的切线与直线0x y e +-=垂直.(1)1f a b '∴=+=. （3分）又函数()ln x f x a x bx =+的图象过点11(,)e e -， ∴11111()ln a b f a b ee e e e e e =⨯⨯+⨯=-+=-， 1a b ∴-=，1,0a b ∴==. （5分）（2）由（1）知，()ln f x x x =，由题意2113()222f x x tx +-≥-得， 2113ln 222x x x tx +-≥-，则32ln t x x x ≤++， 若存在1[,]x e e ∈，使不等式2113()222f x x tx +-≥-成立， 只需t 小于或等于32ln x x x ++的最大值， 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=， （8分） 当1[,1]x e ∈时，()0h x '<，故()h x 单调递减；当[1,]x e ∈时，()0h x '>，故()h x 单调递增. 33()2ln 2,h e e e e e e =++=++1111()2ln 323h e e e e e e =++=-++，12()()240h h e e e e ∴-=-->，∴1()() h h ee>，故当1[,]x ee∈时，h（x）的最大值为11()23h ee e=-++，故123t ee≤-++，即实数t的取值范围是1(,2+3e]e-∞-+. （14分）。
2015届四川省成都市高三摸底(零诊)数学(文)试题
2015届四川省成都市高三摸底（零诊）数学（文）试题本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟． 注意事项1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用椽皮撵擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b= （A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（1，-1） （D ）（-1，1） 2．设全集U={1，2，3，4}，集合S={l ，3}，T={4}，则（U ðS ）T 等于（A ）{2，4} （B ）{4}（C ）∅（D ）{1,3,4}3．已知命题p ：x ∀∈R ，2=5，则⌝p 为（A ）x ∀∉R,2=5 （B ）x ∀∈R,2≠5 （C ）0x ∃∈R ，2x =5（D ）0x ∃∈R ，20x ≠54．计算21og 63 +log 64的结果是 （A ）log 62 （B ）2（C ）log 63（D ）35．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z=4x+y 的最大值为（A ）10 （B ）8 （C ）2 （D ）0 6．已知a ，b 是两条不同直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是 （A ）若a ∥b ．b α⊂，则a//α （B ）若a//α，b α⊂，则a ∥b （C ）若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b （D ）若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A 肺颗粒物，般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m 3）则下列说法正确的是 （A ）这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等（B ）这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，己的较大 （C ）这10日内乙监测站读数的众数与中位散相等 （D ）这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等8．已知函数f （x ）cos (0)x x ωωω+>的图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于x ，则f（x ）的单调递减区间是 （A ）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （B ）,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z （C ）42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （D ）52,21212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z 9．已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的一条渐近线与圆(x －3)2+y 2=9相交于A,B 两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为 （A ）8（B）（C ）3（D ）3210．已知定义在R 上的函数f (x)的周期为4，且当x ∈(-1，3]时，f (x) =(]2,(1,1)1cos ,1,32x x x x π⎧∈-⎪⎨+∈⎪⎩,则函数g （x ）=f （x ）－1og 6x 的零点个数为(A)4 (B)5(C)6 (D)7第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上。
四川省成都七中2015届高三零诊模拟语文试题
请用2B铅笔将1—9题、第15题的答案涂在答题卡选择题方框的相应题号处，其他题目的答案必须用0．5mm黑色签字写在答题卡的相应位置上。
第Ⅰ卷（单项选择题 共27分） 一、（12分，每小题3分） 1．下列词语中加点的字，读音全部正确的一组是 A．应许(yīng)单薄(bó)煞风景(shā)徇私舞弊(xùn) B．熟稔(rěn))中轴线(zhóu)休戚相关(qī) C．屋脊(jǐ)椽(chuán)随大溜(li)刨根究底(jiū) D．遒劲(jìn)豢养(huàn)嗑瓜子(kè)栩栩如生(xǔ) A．霄瀚 岑寂神采奕奕偃旗息鼓 B．平生观摹一蹴而就义愤填膺 C．羸弱盘桓乌烟瘴气声名雀起 D．田畴付梓掎角之势心律不齐 3．下列各句中加点的词语，使用最恰当的一句是 A．《舌尖上的中国》第二季再次引爆收视率，纵然该片有很多关于美食的介绍，但探寻美食背后浓郁的中国味和人情味才是该片的匠心所在。
B．古典诗歌是最优美的文学形式，鉴赏古典诗歌是学习语言最简洁的途径，在英国，传统的语言教学也是重视古典诗歌的。
C．很多同学平时在书写工整、卷面整洁等问题上不以为意，他们认为考试时留意一下就可以了，殊不知，一个良好的习惯绝不是一朝一夕养成的。
D．集合哨已经响了，他还在七手八脚地洗脸刷牙、整理床铺，为此，教官把他狠狠批评了一顿。
4．～ 纵观古今中外的文学发展史，文学作为人类文化的重要表现形式和精神世界的重要载体，始终在内容和形式的变化中摇摆前进。
但是，基于人类情感的稳定性，文学所要表达的人的内心世界已是“常量”状态，文学的形式才是“变量”。
从甲骨文到当代长篇小说，从希腊神话到后现代主义诗歌，我们看到的多是形式上的变化，文本对人类精神世界的描写并无太大的差别。
网络文学作为互联网技术下的文学样式，其“新”也在形式上。
网络文学的出现颠覆了文学要以“书”的形式存在的历史，网络成为文学的载体，文学的传播方式由静态转变为动态，文字的黑白意境被光怪陆离的光电幻境所取代。
成都七中2015届零诊模拟试题参考答案(全新编排)
成都七中高2015届语文零诊模拟试题参考答案4．B(A项句意不明，“他们”可以理解为“原有科技骨干”，也可理解为“引进人才”，还可理解为两者全包括。
C项成分残缺，缺乏宾语中心语，“解决一考定终身”后加“的弊端”。
D项关联词语位置不当，“电子商务”放到“不仅”之前)5．D（表述扩大范围，原文为“直逼文学源头的神话传说和英雄史诗”）6．B（A项理解有误，原文为“颠覆了文学要以“书”的形式存在的历史”，而非“淘汰了书的存在”。
C 项无中生有，原文无“这使作品具有现实主义特色”的信息。
D项张冠李戴，应是“网络充当着这个时代的主流表达方式”）7．B（强加因果。
原文中，读者“以轻松的愉悦体验完成阅读”的原因是网络文学文本形式的变化）8．C（省：查看）9．A（A项两个“因”副词，可译为“趁机”。
B项第一个“以”连词，可译为“因为”，第二个“以”介词，可译为“按照”。
C项第一个“何”疑问代词，可译为“什么”，第二个“何”疑问副词，可译为“怎么”。
D 项第一个“其”第三人称代词，可译为“它的”，第二个“其”第一代词，可译为“我”）10．（1）洪州西南靠近章江，有河水泛滥的忧患，赵概筑河堤长二百丈，高五丈，用来阻挡河水的冲击，章江水患得以解除。
（大意2分，落实“薄”“虞”各1分）（2）（赵概）以太子少师这一身份退休回家，退居十五年，曾收集集古今谏争之事，编写《谏林》一百二十卷呈给皇上。
（大意2分，落实“致仕”“上”各1分）11．①治理有方，果断行事；②心胸宽广，不计较，让位于贤；③坚持正义，直言相谏；④退处山林，有志爱君；⑤秉心和平，真诚帮助他人。
（一点1分，语意相近即可）【参考译文】赵概，字叔平，南京虞城人。
年少时勤奋学习能自力，器量见识宏远。
中进士，任集贤校理、开封府推官。
在殿中奏事，（因才干突出）仁宗当面奖赐他金银锦帛。
赵概从京城到洪州任职。
洪州西南靠近章江，有河水泛滥的忧患，赵概筑河堤长二百丈，高五丈，用来阻挡河水的冲击，章江水患得以解除。
四川省成都市第七中学2015届高三周练数学试题及答案
成都七中高三2015届周末练习题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.设复数z 满足i i21=+z，则 z =( ) A.i 2+- B.i 2-- C.i 2+D.i 2-2.设集合P ＝{x |⎰>=+-x02006103x dt t t ,)(}，则集合P 的非空子集个数是( )A.2B.3C.7D.8 3.下列结论正确的是( )A.若向量//a b ，则存在唯一的实数λ使得a λb =B.已知向量,a b 为非零向量，则“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是“,a b ＜0”C.命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 且1-≠x ，则21x ≠D.若命题012<+-∈∃x x x P ,R :，则012>+-∈∀⌝x x x P ，R :4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A.π36B.π9C.π29 D.π8275.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,27),...(43211n 2312=+++=-a a a a a a S n ，则6a =（ ）A.27B.81C.243D.729 6.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=x x f 的图像关于直线32π=x 对称,它的周 期是π，则（ ）A.)(x f 的图象过点)21,0( B.)(x f 的一个对称中心是)0,125(πC.)(x f 在]32,12[ππ上是减函数D.将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象7．已知函数若x ，y 满足约束条件1,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(4,2)-B.(4,1)-C.(,4)(2,)-∞-+∞ D.(,4)(1,)-∞-+∞8．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =22，则下列结论中错误．．的个数是 ( ) (1) AC ⊥BE ；(2) 若P 为AA 1上的一点,则P 到平面BEF 的距离为22； (3) 三棱锥A -BEF 的体积为定值；(4) 在空间与DD 1，AC ，B 1C 1都相交的直线有无数条；(5) 过CC 1的中点与直线AC 1所成角为40°并且与平面BEF 所成角为50°的直线有2条. A.0 B.1 C.2 D.3 9.已知椭圆)0(1:112122121>>=+b a b y a x C 与双曲线)0,0(1:222222222>>=-b a b y a x C 有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2又分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则22214e e +的最小值为( )A.25 B.4 C.29D.9 10．已知1ln 1)(-+=x x x f ，*)()(N k xkx g ∈=，对任意的c ＞1,存在实数b a ,满足c b a <<<0，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.平面向量a 与b 的夹角为60°，a =(2,0)，|a |=1，则|a+2b |＝ .12.已知tan β＝43，sin (α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为 .13.设正数c b a ,,满足c b a c b a ++≤++36941，则=+++c b a cb 32 .14.已知两个正数a ，b ，可按规则c=ab+a+b 扩充为一个新数c ，在a ，b ，c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p ＞q ＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n-1（m ，n为正整数），则n m +的值为 ．15. 如右图，圆O 的直径AB =8，C 为圆周上一点，BC =4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应边分别是a 、b 、c ，c=2,222sin sin sin sin sin A B C A B +-=.（1）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求△ABC 面积；（2）求AB 边上的中线长的取值范围.17.(12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1{lg}na 的前n 项和最大？18.(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC =12AD =1，CD =3． （1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ； （2）若二面角M -BQ -C 为30°，设=t，试确定t 的值.。
成都七中2015级高三“一诊”模拟考试数学答案
C D OBE'AH成都七中2015级高三“一诊”模拟考试数学试题参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） BAADB ACBAD 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 180 12.12 13. - 14. (－7, 3) 15. ①②③⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)【解析】（I ）由已知条件得：cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=，解得1cos 2A =，角60A =︒ （II ）1sin 2S bc A ==4c ⇒=，由余弦定理得：221a =，()222228sin a R A ==25sin sin 47bc B C R ∴==.17、(本小题满分12分) 解答：（1）331328()327p C ==，22232128()33327p C =⋅=，222342114()()33227p C =⋅=（2）由题意可知X 的可能取值为：0, 1, 2, 3. 乙队得分X 的分布列为：乙队得分X 的数学期望：1644170123.27272799EX =⨯+⨯+⨯+⨯=18、(本小题满分12分)【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.3210X P2742742719结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而A H '==所以cos 5OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为5.向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示, 则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z = 为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =,得(1,n =-由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦19、(本小题满分12分)（1）解：由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2[()](1)0.n n S n n S -++=由于{a n }是正项数列，所以20,.n n S S n n >=+于是112,2a S n ==≥时，221(1)(1)2.n n n a S S n n n n n -=-=+----= 综上，数列{a n }的通项2.n a n = （2）证明：由于2,n a n =221(2)n nn b n a +=+， 则22221111[4(2)16(2)n n b n n n n +==-++.2222222221111111111[11632435(1)(1)(2)n T n n n n =-+-+-++-+--++ 2221111[1]162(1)(2)n n =+--++2115(1).16264<+=【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==), 则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.。
四川省成都市第七中学2015届高三文科数学上期半期考试试题答案(解析版)
成都七中高2015届高三上学期期中数学考试题答案（文科）满分150分，考试时间120分钟 出题人：江海兵 审题人：廖学军一、选择题，本大题有10个小题，每小题5分，共50分，每小题有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卷上.1.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若13, 2.cos()3a b A B ==+=，则c =（ ）.4.15.3.17A B C D 答案：D解析：22211cos ,2cos 94232()1733C c a b ab C =-=+-=+-⋅⋅-=2．《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布。
（不作近似计算）（ ）A. 12B. 815C. 1629D.1631 答案：C解析：由题可知,是等差数列,首项是5,公差为d ,前30项和为390.根据等差数列前n 项和公式,有d 22930530390⨯+⨯=,解得2916=d .3．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，则b 的取值范围是（ ）.[1,)A -+∞ .(1,)B -+∞ .(,1)C -∞- .(,1]D -∞- 答案：D解析：由题意可知()02bf x x x '=-+≤+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立， 即(2)b x x ≤+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，2()(2)2f x x x x x =+=+且(1,)x ∈-+∞()1f x ∴>- ∴要使(2)b x x ≤+，需1b ≤- 故答案为1b ≤-，选D4．已知c ＞1， 1a c =+－c ， b c =－1-c ，则正确的结论是( ) A ．a ＜ b B ．a ＞b C ．a ＝ b D ．a 、b 大小不定 答案：A解析：1a c =+－11c c c =++ b c =－1-c = 11c c-+，易看出分母的大小，所以a ＜b5．已知数列{}n a 满足*1130,,31n n n a a a n N a +-==∈+，则2015a 等于( ) 3.0.3.3.2A B C D -答案：B解析：根据题意，由于数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝331n n a a -+，那么可知∴a 1=0，a 2=- 3 ，a 3=3，a 4=0，a 5=- 3，a 6= 3…，故可知数列的周期为3，那么可知201523a a ==-，选B. 6．在ABC ∆中，若a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且cos2cos cos()1B B A C ++-=，则有（ ）A ．,,a c b 成等比数列B ．,,a c b 成等差数列C ．,,a b c 成等差数列D ．,,a b c 成等比数列 答案：D解析：由cos 2cos cos()1B B A C ++-=变形得：cos cos()1cos 2B A C B +-=-，[]2cos cos ()cos(),cos212sin B A C A C B B π=-+=-+=-，∴上式化简得：2cos()cos()2sin A C A C B --+=，22sin sin()2sin A C B ∴--=，即2sin sin sin A C B =，由正弦定理:sin :sin :sin a A b B c C ==得：2ac b =，则,,a b c 成等比数列．故选D7.设M 是ABC ∆所在平面上的一点，且330,22MB MA MC D ++=是AC 中点，则MD BM的值为（ ）11...1.232A B C D答案：A解析：D 为AC 中点，33()2322MB MA MC MD MD ∴=-+=-⋅=- 13MD MB ∴=8．已知函数9()4,(0,4),1f x x x x =-+∈+当x a =时，()f x 取得最小值b ，则在直角坐标系中函数||1()()x bg x a+=的图像为（ ）答案：B解析：因为x ∈（0，4），∴x+1＞1，故99()4152951,(0,4),11f x x x x x x =-+=++-≥-=∈++当且仅当911x x +=+时取得等号，此时函数有最小值1，∴a=2，b=1，可知g(x)的解析式进而作图可知结论选B.9．下列说法正确的是（ ）A ．函数y f x =()的图象与直线x a =可能有两个交点；B ．函数22log y x =与函数22log y x =是同一函数；C ．对于[]a b ,上的函数y f x =()，若有0f a f b ⋅()()＜，那么函数y f x =()在()a b ,内有零点；D ．对于指数函数x y a = (1a ＞)与幂函数n y x = (0n ＞)，总存在一个0x ,当0x x ＞时，就会有x n a x ＞． 答案：D解析：因为选项A 中最多有个交点，选项B 中，不是同一函数，定义域不同，选项C 中，函数不一定是连续函数，故选D.10．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a = ( ) A. 1-或2564- B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7答案：A解析：由3y x =求导得2'3y x =设曲线3y x =上的任意一点300(,)x x 处的切线方程为320003()y x x x x -=-，将点()1,0代入方程得00x =或032x =.（1）当00x =时：切线为0y =，所以215904ax x +-=仅有一解，得2564a =-（2）当032x =时：切线为272744y x =-,由22727441594y x y ax x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩得24309ax x --=仅有一解，得1a =-.综上知1a =-或2564a =-.二、填空题，本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填在答题卷上. 11．sin155cos35cos 25cos 235-= __ ．答案：32解析：略12.已知指数函数()y f x =，对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图像都过1(,2)2P ，如果123()()()4f xg xh x ===，那么123x x x ++= 答案：32解析：令(),()log ,()x cb f x a g x x h x x ===则12111()2,()log log 22222b b f a g ====-=，11()()222c h ==111232114,,1()441,,244x a b c f x x x x ∴===-∴==⇒===12332x x x ∴++= 13．6,62,a b ta b ta b ==+-已知若与 的夹角为钝角,则t 的取值范围为答案：(2,0)(0,2)-解析：ta b ta b +-与 的夹角为钝角，∴2222()0,0,36720,22ta b ta b t a b t t +⋅-<∴-<∴-<∴-<<)(,又因为ta b +与ta b -不共线,所以0t ≠,所以(2,0)(0,2)t ∈- 14.已知命题p ：函数2()2f x x a x =+-在[1,1]-内有且仅有一个零点．命题q ：23(1)20x a x +++≤在区间13[,]22内恒成立．若命题“p 且q”是假命题，实数a 的取值范围是 ．答案：52a >-提示：先确定p 且q 为真命题的a 的取值范围，然后取补集可得结果.15.给出定义：若11,,()22x m m m Z ⎛⎤∈-+∈ ⎥⎝⎦，则m 叫做实数x 的“亲密函数”，记作{}x m =，在此基础上给出下列函数{}()f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =在(0,1)x ∈上是增函数；②函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；③函数()y f x =的图像关于直线()2kx k Z =∈对称；④当(]0,2x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点.其中正确命题的序号是 答案：②③④解析：11,22x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，{}()0f x x x x =-=-，当13,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()1f x x =-当35,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()2f x x =-，作出函数的图像可知①错，②，③对，再作出ln y x =的图像可判断有两个交点，④对三、解答题，本大题共6个小题，共75分，请将答案及过程写在答题卷上.16.（12分）已知函数2()3cos 42cos (2)14f x x x π=-++（1）求()f x 得最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.解析：（1）()3cos 4cos(4)3cos 4sin 42sin(4),233f x x x x x x T πππ=-+=+=+∴=（2）43,4,sin(4)16433323x x x ππππππ-≤≤∴-≤+≤∴-≤+≤ ()f x ∴的取值范围为3,2⎡⎤-⎣⎦ 17. （12分）已知数列{}n a 满足11121,(*)2n nn nn a a a n N a ++==∈+. （Ⅰ）证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设(1)n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .解析:（Ⅰ）由已知可得1122n nn nn a a a ++=+，所以11221n n n na a ++=+，即11221n nn n a a ++-=， ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得122(1)11n n n n a a =+-⨯=+，∴21nn a n =+. .（Ⅲ）由（Ⅱ）知，2n n b n =⋅，所以231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，234121222322n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅，相减得23122222n n n S n +-=++++-⋅ 11222n n n ++=--⋅， ∴1(1)22n n S n +=-⋅+18.(12分) ABC ∆为一个等腰三角形形状的空地，腰AC 的长为3（百米），底AB 的长为4（百米）.现决定在空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为1S 和2S . （1）若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度；（2）若小路的端点,E F 两点分别在两腰上，求12SS 得最小值.解：（1）E 为AC 中点，333,34222AE EC ∴==+<+，F ∴不在BC 上，故F 在AB 上，可得72AF =，在ABC ∆中，2cos 3A =，在AEF ∆中，222152cos 2EF AE AF AE AF A =+-⋅=，302EF ∴=（2）若小路的端点,E F 两点分别在两腰上，如图所示，设,CE x CF y ==，则5x y +=1221sin 991121111125sin 22ABC CEF ABC CEF CEF CA CB C S S S S S S S xy x y CE CF C∆∆∆∆∆⋅-==-=-=-≥-=+⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭当且仅当52x y ==时取等号，故12SS 的最小值为1125.19．(12分)关于x 的不等式23-. （Ⅰ）当1m =时，解此不等式；（Ⅱ）设函数|)7||3lg(|)(--+=x x x f ，当)23,1(M 为何值时，3πϕ=恒成立？ 解析：（1）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<，可得其解集为{|27}.x x << （2）设|3||7|t x x =+--，则由对数定义及绝对值的几何意义知100≤<t ，因x y lg =在),0(∞+上为增函数， 则1lg ≤t ，当7,10≥=x t 时，1lg =t ， 故只需1>m 即可，即1m >时，m x f <)(恒成立．20．(13分)设y x ,满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥102 211y x x y x 的可行域为M（1）求x y A 2-=的最大值与22y x B +=的最小值;（2）若存在正实数a ,使函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cos 42sin 2ππx x a y 的图象经过区域M 中的点,求这时a 的取值范围.解:（1）由⎪⎩⎪⎨⎧==x y x 211，得⎪⎩⎪⎨⎧==211y x ∴)21,1(A 由⎩⎨⎧=+=1021y x x ，得⎩⎨⎧==81y x ∴)8,1(B由⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 21102，得⎩⎨⎧==24y x ∴)2,4(c ，可行域M 为如图ABC ∆ ∵21=AC k ，又∵x y A 2-= ∴A A x y ,2+=是y 轴的截距，212=>=AC k k∴过点)8,1(B 时，6128最大=⨯-=A ∵22y x B +=是表示区域M 上的点),(y x 到原点O )0,0(距离平方.CA BE F如图)21,1(A 使所求距离的平方最小，∴4521122最小=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B . （2）∵0>a x a x a xxa y c o s )2s i n ()42co s ()42si n (2=+=++=πππ过区域M 中的点，而区域中41≤≤x 又∵0>a ，函数x a y cos =图象过点,421),0,2(<<ππ当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,2ππx 时，423 ,0><πy ∴满足x a y cos =过区域M 中的点，只须图象与射线)21(,1≥=y x 有公共点. ∴只须1=x 时, 1cos 21211cos ≥∴≥a a ∴所求a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,1cos 21a . 21.（14分）已知函数21(),()()sin 2f x xg x f x x λ'==+，其中函数()g x 在[]1,1-上是减函数.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()3sin1g x λ≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，求λ得取值范围.（3）关于x 的方程ln (1)2f x x m +=-，1 1.1x e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦有两个实根，求m 的取值范围.解析：（1）2(),()2,(1)2f x x f x x f ''=∴==，∴在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-， 即210x y --=（2）()sin ,()cos ,()g x x x g x x g x λλ'=+∴=+在[]1,1-上单减()0g x '∴≤在[]1,1-上恒成立， 即cos x λ≤-在[]1,1-上恒成立，1λ∴≤-，又()g x 在[]1,1-单减，[]max ()(1)sin1g x g λ∴=-=-()3sin1g x λ≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，∴只需sin13sin1λλ--≤+恒成立，2sin1λ∴≥-sin30sin1,12sin1,2sin11λ<<∴-≤≤-（3）由（1）知2(1)(1)f x x +=+∴方程为2ln(1)2x x m +=-，设2()ln(1)2h x x x m =+-+，则方程2ln(1)2x x m +=-根的个数即为函数()h x 图像与x 轴交点的个数.22()211xh x x x-'=-=++，当(1,0)x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在(1,0)-上为增函数,当(,1)(0,)x ∈-∞-+∞时，()0,()h x h x '<∴在(,1)(0,)x ∈-∞-+∞和都是减函数.()h x ∴在1,01e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭上为减函数，在(]0,1e -上为减函数.()h x ∴在1,11e e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦上的最大值为(0)h m =，又12(1),(1)42h m h e m e e e -=--=+-且224e e ->，∴所求方程有两根需满足1(1)0(0)0(1)0h e h h e ⎧-≤⎪⎪>⎨⎪-≤⎪⎩20m e ⇒<≤时原方程有两根，20,m e ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦。
四川省成都市第七中学高三数学二诊模拟试卷 文(扫描版
四川省成都市第七中学2015届高三数学二诊模拟试卷文（扫描版）成都七中2015届二诊模拟考试 数学（参考答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．552； 12．4； 13．12d =±； 14．13；15．①⑤. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，由正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C （22sin B ＋22cos B ）＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1即sin(B －C )＝1………6分 (Ⅱ)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设公比为q ，由题意：q>1, 11=a ，则2a q =，23a q =，∵1223+=s s，∴1)(221321++=++a a a a a则1)1(212++=++q q q 解得： 2=q 或1-=q （舍去），∴12n n a -= ………6分（Ⅱ）121212n n n b n a n -=-+=-+()()113.....2112......2n n T n -=+++-+++⎡⎤⎣⎦又∵221nn T n =+- 在[)1,+∞ 上是单调递增的∴12n T T ≥=∴2n T ≥，316T =∴满足17n T <的1,2,3n = ………12分 18．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）∵四边形MNEF ，EFDC 都是矩形， ∴MN ∥EF ∥CD ，MNEF CD ==，∴四边形MNCD 是平行四边形，∴NC ∥MD ， 又∵NC⊄平面MFD ，MD ⊂平面MFD ，∴NC ∥平面MFD ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）易证NE ⊥平面FEC ，设NEx =，则4EC x =-，其中04x <<．∴四面体CDFN 的体积为11(4)32CDFN NCDF NFEC EFC V V V S NE x x ∆===⋅=- 21(4)[]222x x +-≤⋅=，当且仅当4x x =-， 即2x =时取“=”，故四面体CDFN 体积最大值为2． ……12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）第3组的人数为0.06510030⨯⨯=，第4组的人数为0.04510020⨯⨯=， 第5组的人数为0.02510010⨯⨯=．所以第3,4,5组共60名志愿者． 利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数为： 第3组：306360⨯=；第4组：206260⨯=；第5组：106160⨯=． 所以应从第3,4,5组中分别抽取的人数为3人，2人，1人． ……6分（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为1A ，2A ，3A ，第4组的2名志愿者为1B ，2B ，第5组的1名志愿者为1C ．从6名志愿者中取2名志愿者有：12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，11(,)A C ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A C ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C ．共有15种方法． ………9分其中第4组的2名志愿者1B ，2B 至少有一名志愿者被抽中的有：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C ．共9种．所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93155=． ……………12分20.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)曲线W 的标准方程为22143x y +=． ……6分（Ⅱ）略（Ⅲ）设Q(11,x y ），22(,)R x y ，则11'(,)Q x y -联立224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消x 得22(34)24360m y my +++=222(24)436(34)144(4)0m m m ∆=-⨯+=->，即24m >由韦达定理有12212224,(1)3436,(2)34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩……７分直线RQ 的方程为211121()y y y x x y x x +=---令0=y ，得122112121212121212(4)(4)24()x y x y my y y my my y y y x y y y y y y ++++++===+++ 将（1），（2）代人上式得1=x ，又121||||2TRQ S ST y y ∆=-==18≤，当3282=m 时取得． ………11分此时TRQ S =V ，直线l：3120x +-=或3120x --=．……13分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为(1)0f -=，所以10a b -+=，因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以20,40a b a >⎧⎨∆=-=⎩， ……2分所以24(1)02,1b b b a --=⇒==，所以2()(1)f x x =+，所以22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩； ……4分（Ⅱ）因为()f x 是偶函数，所以20,()1b f x ax ==+即，又0a >，所以221,0()1,0ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩， ……6分因为0mn <，不妨设0m >，则0n <，又0m n +>，所以0m n >->， 此时2222()()11()0F m F n am an a m n +=+--=->，所以()()0F m F n +>； ……8分 （Ⅲ）因为0x >，所以2()()1F x f x ax bx ==++，又1a b ==，则2()1F x x x -=+，因为ln 1()xx g x e+=，所以'1ln 1()x x x g x e --= 则原不等式证明等价于证明“对任意实数0x >，221ln 1()1xx x x x e e---+⋅<+ ” ， 即 21(1ln )1x xx x x e e-+⋅--<+． ……10分先研究 1ln x x x --，再研究1x xe+．① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=， 当(0x ∈，2)e -时'()0i x >，()i x 单增；当2(x e -∈，)+∞时'()0i x <，()i x 单减 ． 所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+．② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，所以()j x 在(0,)+∞单减，所以，()(0)1j x j <=，即11x x e+<．综上①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e--++=--≤+<+．即原不等式得证，对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ ……14分。
四川省成都市第七中学2015届高三上学期期中文科数学考试题word版含答案(已解析)
成都七中高2015届高三上学期期中数学考试题答案（文科）满分150分，考试时间120分钟 出题人：江海兵 审题人：廖学军一、选择题，本大题有10个小题，每小题5分，共50分，每小题有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卷上.1.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若13, 2.cos()3a b A B ==+=，则c =（ ）.4.15.3.17A B C D 【答案】D【解析】22211cos ,2cos 94232()1733C c a b ab C =-=+-=+-⋅⋅-=故答案为：D【考点】余弦定理 【难度】 12．《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布。
（不作近似计算）（ ）A. 12B. 815C. 1629D.1631 【答案】C【解析】由题可知,是等差数列,首项是5,公差为d ,前30项和为390.根据等差数列前n 项和公式,有d 22930530390⨯+⨯=,解得2916=d .故答案为：C【考点】等差数列 【难度】 13．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，则b 的取值范围是（ ） .[1,)A -+∞ .(1,)B -+∞ .(,1)C -∞- .(,1]D -∞- 【答案】D【解析】由题意可知()02bf x x x '=-+≤+， 在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x ≤+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，2()(2)2f x x x x x =+=+ 且(1,)x ∈-+∞()1f x ∴>- ∴要使(2)b x x ≤+，需1b ≤- 故答案为1b ≤-， 故答案为：D【考点】导数的概念和几何意义 【难度】 24．已知c ＞1， 1a c =+－c ， b c =－1-c ，则正确的结论是( ) A ．a ＜b B ．a ＞b C ．a ＝b D ．a 、b 大小不定【答案】A【解析】1a c =+－11c c c=++b c =－1-c =11c c-+，易看出分母的大小，所以a ＜b故答案为：A【考点】不等式的性质 【难度】 25．已知数列{}n a 满足*1130,,31n n n a a a n N a +-==∈+，则2015a 等于( ) 3.0.3.3.2A B C D -【答案】B【解析】根据题意，由于数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝331n n a a -+， 那么可知∴a 1=0，a 2=- 3 ，a 3= 3，a 4=0，a 5=- 3，a 6= 3…，故可知数列的周期为3，那么可知201523a a ==-， 故答案为：B【考点】数列的递推关系 【难度】26．在ABC ∆中，若a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且cos2cos cos()1B B A C ++-=，则有（ ）A ．,,a c b 成等比数列B ．,,a c b 成等差数列C ．,,a b c 成等差数列D ．,,a b c 成等比数列 【答案】D【解析】由cos 2cos cos()1B B A C ++-=变形得： cos cos()1cos 2B A C B +-=-，[]2cos cos ()cos(),cos212sin B A C A C B B π=-+=-+=- ， ∴上式化简得：2cos()cos()2sin A C A C B --+=， 22sin sin()2sin A C B ∴--=，即2sin sin sin A C B =， 由正弦定理:sin :sin :sin a A b B c C ==得： 2ac b =，则,,a b c 成等比数列． 故答案为：D【考点】等比数列;恒等变换综合 【难度】 27.设M 是ABC ∆所在平面上的一点，且330,22MB MA MC D ++=是AC 中点，则MD BM 的值为（ ）11...1.232A B C D【答案】A【解析】D 为AC 中点，33()2322MB MA MC MD MD ∴=-+=-⋅=-13MD MB ∴=故答案为：A【考点】平面向量的线性运算 【难度】 28．已知函数9()4,(0,4),1f x x x x =-+∈+当x a =时，()f x 取得最小值b ，则在直角坐标系中函数||1()()x b g x a+=的图像为（ ）【答案】B【解析】因为x ∈（0，4），∴x+1＞1，故99()4152951,(0,4),11f x x x x x x =-+=++-≥-=∈++ 当且仅当911x x +=+时取得等号，此时函数有最小值1，∴a=2，b=1，可知g(x)的解析式进而作图可知结论.故答案为：B【考点】均值定理 【难度】 29．下列说法正确的是（ ）A ．函数y f x =()的图象与直线x a =可能有两个交点；B ．函数22log y x =与函数22log y x =是同一函数；C ．对于[]a b ,上的函数y f x =()，若有0f a f b ⋅()()＜，那么函数y f x =()在()a b ,内有零点；D ．对于指数函数x y a = (1a ＞)与幂函数n y x = (0n ＞)，总存在一个0x ,当0x x ＞时，就会有x n a x ＞．【答案】D【解析】因为选项A 中最多有个交点，选项B 中，不是同一函数， 定义域不同，选项C 中，函数不一定是连续函数， 故答案为：D【考点】函数综合 【难度】310．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a = ( ) A. 1-或2564- B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7【答案】A【解析】由3y x =求导得2'3y x =设曲线3y x =上的任意一点300(,)x x 处的切线方程为320003()y x x x x -=-，将点()1,0代入方程得00x =或032x =.（1）当00x =时：切线为0y =，所以215904ax x +-=仅有一解，得2564a =- （2）当032x =时：切线为272744y x =-,由22727441594y x y ax x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩得24309ax x --=仅有一解，得1a =-.综上知1a =-或2564a =-.故答案为：A【考点】导数的概念和几何意义 【难度】 3解析：二、填空题，本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填在答题卷上. 11．sin155cos35cos 25cos 235-= __ ．【答案】32【解析】sin155cos35cos25cos235-sin(18025)cos35cos25cos(27035)=---sin 25cos35cos25sin35=+3sin(2535)sin 602=+==故答案为：32【考点】诱导公式;两角和与差的三角函数 【难度】212.已知指数函数()y f x =，对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图像都过1(,2)2P ，如果123()()()4f xg xh x ===，那么123x x x ++= 【答案】32【解析】令(),()log ,()x cb f x a g x x h x x ===则12111()2,()log log 22222b b f a g ====-=，11()()222c h ==24,,12a b c ∴===-1112311()441,,44x f x x x x ∴==⇒===12332x x x ∴++=故答案为：32【考点】函数图象 【难度】 213．6,62,a b ta b ta b ==+-已知若与 的夹角为钝角,则t 的取值范围为【答案】(2,0)(0,2)-【解析】 ta b ta b +-与 的夹角为钝角，∴ 2222()0,0,36720,22ta b ta b t a b t t +⋅-<∴-<∴-<∴-<< )(,又因为ta b + 与ta b -不共线,所以0t ≠,所以(2,0)(0,2)t ∈- 故答案为：(2,0)(0,2)- 【考点】平面向量的线性运算 【难度】 214.已知命题p ：函数2()2f x x a x =+-在[1,1]-内有且仅有一个零点．命题q ：23(1)20x a x +++≤在区间13[,]22内恒成立．若命题“p 且q”是假命题，实数a 的取值范围是 ．【答案】52a >-【解析】先考查命题p ：当p 为真时，0(1)(1)0a f f ≠⎧⎨-⋅≤⎩，解得11a a ≤-≥或；再考查命题q ：当命题q 为真时，23(1)()()a x h x x+≤-+= 当32x =时，min 9()2h x =-，所以93(1)2a +≤-，解得52a ≤- 若命题“p 且q”为真，则1152a a a ≤-≥⎧⎪⎨≤-⎪⎩或即52a ≤- 所以，若命题“p 且q”为假，则52a >-故答案为：52a >-【考点】命题及其关系;不等式的性质 【难度】 215.给出定义：若11,,()22x m m m Z ⎛⎤∈-+∈ ⎥⎝⎦，则m 叫做实数x 的“亲密函数”，记作{}x m =，在此基础上给出下列函数{}()f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =在(0,1)x ∈上是增函数；②函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；③函数()y f x =的图像关于直线()2kx k Z =∈对称；④当(]0,2x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点. 其中正确命题的序号是 【答案】②③④【解析】当11,22x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，{}()0f x x x x =-=-， 当13,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()1f x x =-当35,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()2f x x =-，作出函数的图像可知①错，②，③对，再作出ln y x =的图像可判断有两个交点，④对 故答案为：②③④【考点】函数综合 【难度】 3三、解答题，本大题共6个小题，共75分，请将答案及过程写在答题卷上.16.（12分）已知函数2()3cos 42cos (2)14f x x x π=-++（1）求()f x 得最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】见解析 【解析】解：（1）()3cos 4cos(4)2f x x x π=-+ 3cos4sin 42sin(4),33x x x T ππ=+=+∴=（2）4,4,64333x x πππππ-≤≤∴-≤+≤3sin(4)123x π∴-≤+≤ ()f x ∴的取值范围为3,2⎡⎤-⎣⎦ 【考点】三角函数综合【难度】317. （12分）已知数列{}n a 满足11121,(*)2n n n nn a a a n N a ++==∈+. （Ⅰ）证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设(1)n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】见解析【解析】解:（Ⅰ）由已知可得1122nnn nn a a a ++=+，所以11221n n n na a ++=+，即11221n nn n a a ++-=， ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得122(1)11n n n n a a =+-⨯=+，∴21nn a n =+. .（Ⅲ）由（Ⅱ）知，2n n b n =⋅， 所以231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ， 234121222322n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ，相减得23122222n n n S n +-=++++-⋅ 11222n n n ++=--⋅， ∴1(1)22n n S n +=-⋅+【考点】数列综合应用 【难度】318.(12分) ABC ∆为一个等腰三角形形状的空地，腰AC 的长为3（百米），底AB 的长为4（百米）.现决定在空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为1S 和2S . （1）若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度；（2）若小路的端点,E F 两点分别在两腰上，求12SS 得最小值.【答案】见解析 【解析】解：（1）E 为AC 中点，333,34222AE EC ∴==+<+ ，F ∴不在BC 上，故F 在AB 上，可得72AF =， 在ABC ∆中，2cos 3A =，在AEF ∆中，222152cos 2EF AE AF AE AF A =+-⋅=，302EF ∴=（2）若小路的端点,E F 两点分别在两腰上，如图所示， 设,CE x CF y ==，则5x y +=1221sin 991121111125sin 22ABC CEF ABC CEF CEF CA CB CS S S S S S S xy x y CE CF C∆∆∆∆∆⋅-==-=-=-≥-=+⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭当且仅当52x y ==时取等号，故12SS 的最小值为1125.【考点】解斜三角形;均值定理【难度】319．(12分)关于x 的不等式lg(37)x x m +--<. （Ⅰ）当1m =时，解此不等式；（Ⅱ）设函数|)7||3lg(|)(--+=x x x f ，当)23,1(M 为何值时，3πϕ=恒成立？【答案】见解析 【解析】解：（1）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<， 可得其解集为{|27}.x x << （2）设|3||7|t x x =+--，C A BE F则由对数定义及绝对值的几何意义知100≤<t ， 因x y lg =在),0(∞+上为增函数，则1lg ≤t ，当7,10≥=x t 时，1lg =t ，故只需1>m 即可，即1m >时，m x f <)(恒成立．【考点】绝对值不等式 【难度】320．(13分)设y x ,满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥102 21 1y x x y x 的可行域为M （1）求x y A 2-=的最大值与22y x B +=的最小值;（2）若存在正实数a ,使函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cos 42sin 2ππx x a y 的图象经过区域M 中的点,求这时a 的取值范围.【答案】见解析 【解析】解:（1）由⎪⎩⎪⎨⎧==x y x 211，得⎪⎩⎪⎨⎧==211y x ∴)21,1(A 由⎩⎨⎧=+=1021y x x ，得⎩⎨⎧==81y x ∴)8,1(B 由⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 21102，得⎩⎨⎧==24y x ∴)2,4(c ，可行域M 为如图ABC ∆∵21=AC k ，又∵x y A 2-=∴A A x y ,2+=是y 轴的截距，212=>=AC k k ∴过点)8,1(B 时，6128最大=⨯-=A∵22y x B +=是表示区域M 上的点),(y x 到原点O )0,0(距离平方.如图)21,1(A 使所求距离的平方最小，∴4521122最小=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=B . （2）∵0>a 2sin()cos()2424x x y a ππ=++sin()cos 2a x a x π=+=过区域M 中的点，而区域中41≤≤x 又∵0>a ，函数x a y cos =图象过点,421),0,2(<<ππ当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,2ππx 时，423 ,0><πy∴满足x a y cos =过区域M 中的点，只须图象与射线)21(,1≥=y x 有公共点. ∴只须1=x 时, 1cos 21211cos ≥∴≥a a∴所求a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,1cos 21a .【考点】线性规划【难度】321.（14分）已知函数21(),()()sin 2f x xg x f x x λ'==+，其中函数()g x 在[]1,1-上是减函数.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()3sin1g x λ≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，求λ得取值范围.（3）关于x 的方程ln (1)2f x x m +=-，1 1.1x e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦有两个实根，求m 的取值范围.【答案】见解析【解析】解：（1）2(),()2,(1)2f x x f x x f ''=∴== ， ∴在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-， 即210x y --=（2）()sin ,()cos ,g x x x g x x λλ'=+∴=+()g x 在[]1,1-上单减()0g x '∴≤在[]1,1-上恒成立， 即cos x λ≤-在[]1,1-上恒成立，1λ∴≤-， 又()g x 在[]1,1-单减，[]max ()(1)sin1g x g λ∴=-=-()3sin1g x λ≤+ 在[]1,1x ∈-上恒成立，∴只需sin13sin1λλ--≤+恒成立，2sin1λ∴≥- sin30sin1,12sin1,2sin11λ<<∴-≤≤-（3）由（1）知2(1)(1)f x x +=+∴方程为2ln(1)2x x m +=-， 设2()ln(1)2h x x x m =+-+，则方程2ln(1)2x x m +=-根的个数即为函数()h x 图像与x 轴交点的个数.22()211xh x x x-'=-=++ ，当(1,0)x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在(1,0)-上为增函数,当(,1)(0,)x ∈-∞-+∞ 时，()0,()h x h x '<∴在(,1)(0,)x ∈-∞-+∞和都是减函数.()h x ∴在1,01e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭上为减函数，在(]0,1e -上为减函数.()h x ∴在1,11e e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦上的最大值为(0)h m =，又12(1),(1)42h m h e m e e e -=--=+-且224e e->，∴所求方程有两根需满足1(1)0(0)0(1)0hehh e⎧-≤⎪⎪>⎨⎪-≤⎪⎩20me⇒<≤时原方程有两根，20,me⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦【考点】4【难度】导数的综合运用。
四川省成都市第七中学2015届高三数学(文)试题(5月13日) Word版含答案
成都七中2015届高三文科数学综合训练（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则AB =（ ）A ．{}4,5,6B ．{}3,4,5C ．{}36x x <≤D ．{}36x x <≤2. sin 3的取值所在的范围是（ ）A ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．0,2⎛ ⎝⎭ C ．2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛-- ⎝⎭ 3.已知直线1:l 1y kx =+和直线2:l y mx m =+，则“k m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列函数中，在),0(+∞上为增函数的是（ ）A.x x f 2sin )(= B ．x x x f -=3)( C ．x xe x f =)(D ．x x x f ln )(+-=5.某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A.1008B.2015C.1007D. 1007-7.已知函数()sin()3f x x π=-,若120x x >，且12()()0f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ）A.6π B.3π C.2π D.23π8.已知向量a ，b 是夹角为60的单位向量，当实数1λ≤-时，向量a 与向量a b λ+的夹角范围是（ ） A ．)60,120⎡⎣ B ．)0,60⎡⎣ C ．)120,180⎡⎣ D ．)60,180⎡⎣ 8.P 是AOB ∆所在平面上一点，且在AB 的垂直平分线上，若3,2OA OB ==,则OP AB ⋅=（ ） A.32B.3-C.52-D.59.已知函数21()(,g x a x x e e=-≤≤e 为自然对数的底数)与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）（第10题A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e+- D ．2[2,)e -+∞10.如图，已知双曲线C ：22221x y a b -=()0,0>>b a 的右顶点为,A O 为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点Q P ,．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为( ) ABC D二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．11.函数1()1x f x x -=+()x R ∈的图象对称中心是_______ 12. 已知点(,)(0,4)(2,0)P x y A B -到和的距离相等，则24x y+的最小值为 .13.已知y x z +=2，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是14. 已知函数()2f x x k x k =---，若对任意的,()(3)(4)x R f x f f ∀∈≥=都成立，则k 的取值范围为 .15.若在由正整数构成的无穷数列}{n a 中，对任意的正整数n ，都有1+≤n n a a ，且对任意的正整数k ，该数列中恰有12-k 个k ，则2015a =三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（12分）已知函数()sin()(0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈,且函数()f x 的最大值为2、最小正周期为2π，并且函数()f x 的图像过点(,0).24π（1）求函数()f x 的解析式；（2）设ABC ∆的角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、,且()2,4C f c ==求2a b +的取值范围.17. （12分）已知x x f 2sin2)(π=，集合M =(){}2,0x f x x =>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}n a ，*∈N n . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211+=n n a b ，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证41<n T .18. （12分）（文科）已知函数4()f x ax x=+． （Ⅰ）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）若连续掷两次骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a 和b ，记事件B ={2()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率．19.（12分）如图，ABCD 中，C E A D ⊥于E ,BF AD ⊥于F ,且1AF BF BC ===，DE =，现将ABF ∆，CDE ∆分别沿BF 与CE 翻折，使点A 与点D 重合，点O 为AC 的中点，设面ABF 与面CDE 相交于直线l ，（1）求证：//l CE ； （2）求证：OF ⊥面ABE ．20. （13分）已知椭圆C:12222=+by a x （0>>b a ）的离心率e =21，且过点M （1，23）（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 长轴两端点分别为A 、B,点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，定直线4=x 与直线PA 、PB 分别交于M 、N 两点，又E(7，0)，过 E 、M 、N 三点的圆是否过x 轴上不同于点E 的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.A F E DB CA lB CEO F21.（14分）已知函数221()ln ,(),,2f x x mxg x mx x m R =-=+∈令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值；成都七中2015届高三文科数学综合训练（二）参考答案1-10 : ABBCD DBABB11. (-1，1) 12. 13. 4114. []2,3 15. 4515. 解析：∵对任意的正整数k ，该数列中恰有2k-1个k ， ∴数列是1；2，2，2；3，3，3，3，3，… 设2014a 在第n+1组中，由1+3+5+…+（2n-1）=n 2＜2015，解得n ＜45 ∴, 2014a 在第45组中， 所以201445a =，16.已知函数()sin()(0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈,且函数()f x 的最大值为2、最小正周期为2π，并且函数()f x 的图像过点(,0).24π（1）求函数()f x 的解析式；（2）设ABC ∆的角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、,且()2,4C f c ==求2a b +的取值范围.(1)易求得2,4,()2sin(4).66A f x x ππωϕ===-⇒=-(2)因为2()2sin()2,463C f C C ππ=-=⇒=由正弦定理得sin 12sin 2sin sin sin sin sin a A a b c a b A B b B A B C =⎧====⇒⇒+=+⎨=⎩ ,又 2333A B A B ππππ+=-=⇒=- ,则2)(0)63a b B B ππ+=+<<⇒2a b +∈ 17. 已知x x f 2sin2)(π=，集合M =(){}2,0x f x x =>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}n a ，*∈N n .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211+=n n a b ，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证41<n T .（1） 2)(=x f ∴22πππ+=k x 12+=k x Z k ∈ ……（3分）又 0>x ∴12-=n a n )(*∈N n ……（6分） （2） 211+=n n a b 2)12(1+=n )(*∈N n ……（7分） 2)12(1+=n b n 14412++=n n n n 4412+<)111(41+-=n n ……（10分） ∴<+⋅⋅⋅+=n n b b T 13121211(41-+-=)111+-⋅⋅⋅+n n 41)1(4141<+-=n ∴41<n T 得证 ……（12分） 18. 已知函数4()f x ax x=+．（Ⅰ）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）若连续掷两次骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a 和b ，记事件B ={2()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率．解：（Ⅰ）函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点，∴()20f x -=，即2240ax x -+=有两个不同的正根1x 和2x1212020404160a x x ax x aa ≠⎧⎪⎪+=>⎪∴⎨⎪=>⎪⎪∆=->⎩104a ⇒<<…4分 114()416P A ∴== …………………6分（Ⅱ）由已知：0,0a x >>，所以()f x ≥()f x ≥min ()f x ∴=，()2b x f >在()0,x ∈+∞恒成立2b ∴>......()* (8)分当1a =时，1b =适合()*； 当2,3,4,5a =时，1,2b =均适合()*； 当6a =时，1,2,3b =均适合()*； 满足()*的基本事件个数为18312++=．…10分 而基本事件总数为6636⨯=，…………11分 121()363P B ∴==．19.如图，梯形ABCD 中，CE AD ⊥于E ,BF AD ⊥于F ,且1AF BF BC ===，DE ，现将ABF ∆，CDE ∆分别沿BF 与CE 翻折，使点A 与点D 重合，点O 为AC 的中点，设面ABF 与面CDE 相交于直线l ，（1）求证：//l CE ；（2）求证：OF ⊥面ABE ．解析：（Ⅰ）//////CE BFCE ABFCE ABF CE ACE l CE BF ABF ABF ACE l ⎫⎫⎪⎪⊄⇒⊂⇒⎬⎬⎪⎪⊂=⎭⎭面面面面面面．……………6分（Ⅱ）1,ABF AF BF AF BF AB AE BCEF BE CF G 为等腰直角三角形取正方形两对角线的交点为∆⎫==⎫⎪⇒⇒⎬⎬⊥∴==⎪⎭⎭,AG BE BE ACF ACF ABE AG CF BE BE ABE ⊥⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⊥⊂⎭⎭面面面交线为面 ①1AF EF AF FE AF BCEF AF BF AE ==⎫⊥⎫⎪⇒⇒⊥⎬⎬⊥=⎪⎭⎭面，在Rt AFC ∆中，连接OG ,得11//22OG AF OG AF ==且,且,tan 2tan 22OF OC OFC OCF Rt AFG FAG FGA ⎫=⇒∠=∠=θθ=⎪⎪⎬π⎪∆∠=⇒∠=-θ⎪⎭中，2FGA OFG OF AG π⇒∠+∠=⇒⊥② 结合①②得，即 OF ⊥面ABE ． 20.已知椭圆C:12222=+by a x （0>>b a ）的离心率e =21，且过点M （1，23）（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 长轴两端点分别为A 、B,点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，定直线4=x 与直线PA 、A F E DB CAl B C E OFPB 分别交于M 、N 两点，又E(7，0)，过 E 、M 、N 三点的圆是否过x 轴上不同于点E 的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.解：（1）13422=+y x ………5分 (2)设PA,PB 的斜率分别为21,k k ,),(00y x p ，则4321-=k k ………7分 则PA:)2(1+=x k y ，则)6,4(1k M PB: )2(2-=x k y ,则)2,4(2k N 又11236k k k EM -=-=，322k k EN -= 1-=EN EM k k ………10分设圆过定点F(m,o),则1424621-=--mk m k ，则m=1或m=7(舍)故过点E 、M 、N 三点的圆是以MN 为直径的圆过点F （1,0）………12分 21.（本小题满分14分）已知函数221()ln ,(),,2f x x mxg x mx x m R =-=+∈令()()()F x f x g x =+.（Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值；21.解：⑴21(),0,2f x lnx x x =->211()(0)x f x x x x x-'=-=> ……………………2分由()0,f x '>得210,x ->又0,x >所以01x <<．所以()f x 的单增区间为(0,1). ………4分（2）方法一：令21()()(1)(1)1,2G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+所以21(1)1()(1)mx m x G x mx m x x-+-+'=-+-=．当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>．所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数，又因为213(1)11(1)120,22G ln m m m =-⨯+-+=-+>所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立． ………………………6分 当0m >时，21()(1)(1)1()m x x mx m x m G x xx-+-+-+'==-． 令()0,G x '=得1x m =，所以当1(0,)x m ∈时，()0;G x '>当1(,)x m∈+∞时，()0G x '<．因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在1(,)x m∈+∞是减函数．故函数()G x 的最大值为2111111()()(1)1ln .22G ln m m m m m m m m =-⨯+-⨯+=- …………8分令1()ln ,2h m m m =-因为11(1)0,(2)20,24h h ln =>=-< 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <． 所以整数m 的最小值为2． ……………10分方法二：⑵由()1F x mx ≤-恒成立，得2112lnx mx x mx -+≤-在(0,)+∞上恒成立．问题等价于2112lnx x m x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立．令21()12lnx x h x x x ++=+，只要max ()m h x ≥． ……………………6分因为221(1)()2(),1()2x x lnx h x x x +--'=+令()0,h x '=得102x lnx --=．设1()2x x lnx ϕ=--，因为11()02x x ϕ'=--<，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递减，不妨设102x lnx --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0;h x '>当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '<．所以()h x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max020*********()()11(1)22x lnx x h x h x x x x x x +++====++． …………………8分 因为111()20,(1)0242ln ϕϕ=->=-<所以011.2x <<此时max 0112,()(1,2).g x x <<∈所以2,m ≥即整数m 的最小值为2 …… 10分。
四川省成都七中2015届高三零诊模拟数学(文)试题Word版无答案
四川省成都七中2015届高三零诊模拟数学（文）试题选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否认是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R xB. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R xD. 0||,2000≥+∈∃x x R x2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则AB =（ ）A ．[0,2] B.[1,3) C. (1,3) D.(1,4) 3．在极坐标系中，过点22(,)π且与极轴平行的直线方程是（ ） A ．2ρ= B.2θπ=C. cos 2ρθ=D.sin =2ρθ 4.已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则以下关系式恒成立的是（ ）A ．33x y > B. sin sin x y > C. 22ln(1)ln(1)x y +>+ D. 221111x y >++ 5.已知一个三棱锥的三视图如下图，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 以下函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）A ．()sin =f x xB ．()sin cos =f x x xC ．()cos =f x xD ．22()cos sin =-f x x x7.执行右图程序框图，假如输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ ）A. 4B. 5C. 6D. 78.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y=-的最大值为（ ）俯视图侧（左）视图正（主）视图A.10B.8C.3D.29． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，假如集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A ．4个 B.6个 C. 10个 D.14个 10. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是( ) A.12二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11.设向量,a b满足|a b |+=|a b |-=,则a b ⋅=12.设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1cos 4a b C ==1，=2，，则sin B =13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-a y x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = 14.随机地向半圆0y <<（a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 .15.若直线l 与曲线C 满足以下两个条件： )(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .以下5个命题：①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2x y = ②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin =④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan =BA DC . P⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln = 其中准确的是 _(写出所有准确命题的编号)三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每题12分，20题13分，21题14分）16. 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x-=． （Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值；（Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如下图.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.18 如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2===AE EB BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。
四川省成都市第七中学届高三数学(文)综合练习(5月15日)答案.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高2015届成都七中第十一周测试题（文科）考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案写在答题纸上．第I 卷（共50分）一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则)(T C S U 等于A ．}{,,,1456B ．}{4C ．}{,15D ．}{,,,,12345答案：C 2．若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 A ．-6 B ．13 C ．32D ．13答案：A3．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A4．若直线l 与平面α相交但不垂直，则A ．α内存在直线与l 平行B ．α内不存在与l 垂直的直线C ．过l 的平面与α不垂直D ．过l 的平面与α不平行答案：D5．某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为A ．8B ．7C ．9D ．168答案：A6．从集合122,3,4,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭中取两个不同的数,a b ，则log 0a b >的概率为A ．12B ．15C ．25D ．35答案：C7．若G 为三角形ABC 的重心，若060=∠A ，2=∙AC AB ，则||AG 的最小值是A ．33B ．22C ．23D ．332 答案：D8．已知函数()sin 3cos f x x x =-的定义域为[],a b ，值域为3,2⎡⎤-⎣⎦，则b a -的取值范围为A ．55,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．75,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：A9．设P 为双曲线221916x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左焦点和右焦点，过P 点作12PH F F ⊥，若12PF PF ⊥，则PH =A ．645B ．85C ．325D ．165答案：D10．已知函数()32,f x x x R =-∈．规定：给定一个实数0x ，赋值()10x f x =，若1244x ≤，则继续赋值()21,x f x =，以此类推，若1244n x -≤，则()1n n x f x -=，否则停止赋值，如果n x 称为赋值了n 次()n N *∈．已知赋值k 次后该过程停止，则0x 的取值范围为A ．(653,3k k --⎤⎦ B ．(5631,31k k --⎤++⎦ C ．(6531,31k k --⎤++⎦D ．(4531,31k k --⎤++⎦答案：B第Ⅱ卷 非选择题部分 （共100分）二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．11．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =13 12.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为644π+13．直角坐标平面内能完全“覆盖”区域Ω：24020y x y x y ≤⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩的最小圆的方程为()()221225x y ++-=14．已知,,,0,10a b c R a b c a bc ∈++=+-=，则a 的取值范围222a ≥-+或222a ≤--15. 如果)(x f y =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”. 给出下列命题： ①函数x y sin =具有“)(a P 性质”； ②若奇函数)(x f y =具有“)2(P 性质”，且1)1(=f ，则(2015)1f =；③若函数)(x f y =具有“(4)P 性质”，图象关于点(10)，成中心对称，且在(1,0)-上单调递减，则)(x f y =在(1,2)上单调递增；④若不恒为零的函数)(x f y =同时具有“)0(P 性质”和“(3)P 性质”，且函数)(x g y =对R x x ∈∀21,，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-成立，则函数)(x g y =是周期函数.其中正确的命题有①③④三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在ABC ∆中，45,C D ∠=为BC 中点，2BC =．记锐角A D B α∠=，且满足7cos2.25α=-（Ⅰ）求cos CAD ∠; （Ⅱ）求BC 边上的高． 解：（1）1cos 23cos 25αα+== ()72cos cos cos cos sin sin 10CAD C C C ααα∠=-=+=（2）由sin sin AD CDC CAD =∠得5AD =， 4545sin =⨯=⋅=∴αAD h 17．（本题满分12分）为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产的甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，卞表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）规定：当食品中的有害微量元素含量在[0，10]时为一等品，在(]20,10为二等品，20以上为劣质品。
四川省成都市第七中学届高三数学(文)综合练习(5月15日)答案.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作高2015届成都七中第十一周测试题（文科）考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案写在答题纸上．第I 卷（共50分）一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则)(T C S U 等于A ．}{,,,1456B ．}{4C ．}{,15D ．}{,,,,12345答案：C 2．若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 A ．-6 B ．13 C ．32D ．13答案：A3．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A4．若直线l 与平面α相交但不垂直，则A ．α内存在直线与l 平行B ．α内不存在与l 垂直的直线C ．过l 的平面与α不垂直D ．过l 的平面与α不平行答案：D5．某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为A ．8B ．7C ．9D ．168答案：A6．从集合122,3,4,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭中取两个不同的数,a b ，则log 0a b >的概率为A ．12B ．15C ．25D ．35答案：C7．若G 为三角形ABC 的重心，若060=∠A ，2=∙AC AB ，则||AG 的最小值是A ．33B ．22C ．23D ．332 答案：D8．已知函数()sin 3cos f x x x =-的定义域为[],a b ，值域为3,2⎡⎤-⎣⎦，则b a -的取值范围为A ．55,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．75,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：A9．设P 为双曲线221916x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左焦点和右焦点，过P 点作12PH F F ⊥，若12PF PF ⊥，则PH =A ．645B ．85C ．325D ．165答案：D10．已知函数()32,f x x x R =-∈．规定：给定一个实数0x ，赋值()10x f x =，若1244x ≤，则继续赋值()21,x f x =，以此类推，若1244n x -≤，则()1n n x f x -=，否则停止赋值，如果n x 称为赋值了n 次()n N *∈．已知赋值k 次后该过程停止，则0x 的取值范围为A ．(653,3k k --⎤⎦ B ．(5631,31k k --⎤++⎦ C ．(6531,31k k --⎤++⎦D ．(4531,31k k --⎤++⎦答案：B第Ⅱ卷 非选择题部分 （共100分）二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．11．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =13 12.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为644π+13．直角坐标平面内能完全“覆盖”区域Ω：24020y x y x y ≤⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩的最小圆的方程为()()221225x y ++-=14．已知,,,0,10a b c R a b c a bc ∈++=+-=，则a 的取值范围222a ≥-+或222a ≤--15. 如果)(x f y =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”. 给出下列命题： ①函数x y sin =具有“)(a P 性质”； ②若奇函数)(x f y =具有“)2(P 性质”，且1)1(=f ，则(2015)1f =；③若函数)(x f y =具有“(4)P 性质”，图象关于点(10)，成中心对称，且在(1,0)-上单调递减，则)(x f y =在(1,2)上单调递增；④若不恒为零的函数)(x f y =同时具有“)0(P 性质”和“(3)P 性质”，且函数)(x g y =对R x x ∈∀21,，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-成立，则函数)(x g y =是周期函数.其中正确的命题有①③④三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在ABC ∆中，45,C D ∠=为BC 中点，2BC =．记锐角A D B α∠=，且满足7cos2.25α=-（Ⅰ）求cos CAD ∠; （Ⅱ）求BC 边上的高． 解：（1）1cos 23cos 25αα+== ()72cos cos cos cos sin sin 10CAD C C C ααα∠=-=+=（2）由sin sin AD CDC CAD =∠得5AD =， 4545sin =⨯=⋅=∴αAD h 17．（本题满分12分）为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产的甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，卞表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）规定：当食品中的有害微量元素含量在[0，10]时为一等品，在(]20,10为二等品，20以上为劣质品。
四川省成都市第七中学届高三数学(文)综合练习(5月13日).docx
成都七中2015届高三文科数学综合训练（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则AB =（ ）A ．{}4,5,6B ．{}3,4,5C ．{}36x x <≤D ．{}36x x <≤2. sin3的取值所在的范围是（ ） A ．2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．2,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．21,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 3.已知直线1:l 1y kx =+和直线2:l y mx m =+，则“k m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列函数中，在),0(+∞上为增函数的是（ ）A. x x f 2sin )(= B ． x x x f -=3)( C ．x xe x f =)( D ．x x x f ln )(+-=5.某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A.1008B.2015C.1007D. 1007-7.已知函数()sin()3f x x π=-,若120x x >，且12()()0f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ）A.6π B.3π C.2π D.23π8.已知向量a ，b 是夹角为60的单位向量，当实数1λ≤-时，向量a 与向量a b λ+的夹角范围是（ ） A ．)60,120⎡⎣ B ．)0,60⎡⎣ C ．)120,180⎡⎣ D ．)60,180⎡⎣yxAQ PO（第10题8.P 是AOB ∆所在平面上一点，且在AB 的垂直平分线上，若3,2OA OB ==,则OP AB ⋅=（ ） A.32 B.3- C.52- D.5 9.已知函数21()(,g x a x x e e=-≤≤e 为自然对数的底数)与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e+- D ．2[2,)e -+∞ 10.如图，已知双曲线C ：22221x y a b -=()0,0>>b a 的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点Q P ,．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为( )A ．233B ．72C ．396D ．3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．11.函数1()1x f x x -=+()x R ∈的图象对称中心是_______ 12. 已知点(,)(0,4)(2,0)P x y A B -到和的距离相等，则24xy+的最小值为 .13.已知y x z +=2，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是14. 已知函数()2f x x k x k =---，若对任意的,()(3)(4)x R f x f f ∀∈≥=都成立，则k 的取值范围为 . 15.若在由正整数构成的无穷数列}{n a 中，对任意的正整数n ，都有1+≤n n a a ，且对任意的正整数k ，该数列中恰有12-k 个k ，则2015a =三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（12分）已知函数()sin()(0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈,且函数()f x 的最大值为2、最小正周期为2π，并且函数()f x 的图像过点(,0).24π（1）求函数()f x 的解析式；（2）设ABC ∆的角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、,且3()2,,42C f c ==求2a b +的取值范围.17. （12分）已知x x f 2sin2)(π=，集合M =(){}2,0x f x x =>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}n a ，*∈N n .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211+=n n a b ，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证41<n T .18. （12分）（文科）已知函数4()f x ax x=+． （Ⅰ）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）若连续掷两次骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a 和b ，记事件B ={2()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率．19.（12分）如图，梯形ABCD 中，CE AD ⊥于E ,BF AD ⊥于F ,且1AF BF BC ===，2DE =，现将ABF ∆，CDE ∆分别沿BF 与CE 翻折，使点A 与点D 重合，点O 为AC 的中点，设面ABF 与面CDE 相交于直线l ， （1）求证：//l CE ；（2）求证：OF ⊥面ABE ．20. （13分）已知椭圆C:12222=+by a x （0>>b a ）的离心率e =21，且过点M （1，23）（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 长轴两端点分别为A 、B,点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，定直线4=x 与直线PA 、PB 分别交于M 、N两点，又E(7，0)，过 E 、M 、N 三点的圆是否过x 轴上不同于点E 的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.21.（14分）已知函数221()ln ,(),,2f x x mxg x mx x m R =-=+∈令()()()F x f x g x =+.（Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值；成都七中2015届高三文科数学综合训练（二）参考答案1-10 : ABBCD DBABB11. (-1，1) 12. 42 13. 4114. []2,3 15. 4515. 解析：∵对任意的正整数k ，该数列中恰有2k-1个k ， ∴数列是1；2，2，2；3，3，3，3，3，… 设2014a 在第n+1组中，由1+3+5+…+（2n-1）=n 2＜2015，解得n ＜45 ∴, 2014a 在第45组中， 所以201445a =，16.已知函数()sin()(0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈,且函数()f x 的最大值为2、最小正周期为2π，并且函数()f x 的图像过点(,0).24π（1）求函数()f x 的解析式；（2）设ABC ∆的角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、,且3()2,,42C f c ==求2a b +的取值范围. (1)易求得2,4,()2sin(4).66A f x x ππωϕ===-⇒=-(2)因为2()2sin()2,463C f C C ππ=-=⇒=由正弦定理得sin 3212sin 2sin sin sin sin sin 23a A a b c a b A B b B A B C =⎧===⋅=⇒⇒+=+⎨=⎩,又2333A B A B ππππ+=-=⇒=- ,则23sin()(0)63a b B B ππ+=+<<⇒ 32(,3).2a b +∈ 17. 已知x x f 2sin2)(π=，集合M =(){}2,0x f x x =>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}n a ，*∈N n .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211+=n n a b ，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证41<n T . （1） 2)(=x f ∴22πππ+=k x 12+=k x Z k ∈ ……（3分）又 0>x ∴12-=n a n )(*∈N n ……（6分）（2） 211+=n n a b 2)12(1+=n )(*∈N n ……（7分） 2)12(1+=n b n 14412++=n n n n 4412+<)111(41+-=n n ……（10分） ∴<+⋅⋅⋅+=n n b b T 13121211(41-+-=)111+-⋅⋅⋅+n n 41)1(4141<+-=n ∴41<n T 得证 ……（12分） 18. 已知函数4()f x ax x=+．（Ⅰ）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）若连续掷两次骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a 和b ，记事件B ={2()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率．解：（Ⅰ）函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点，∴()20f x -=，即2240ax x -+=有两个不同的正根1x 和2x1212020404160a x x ax x aa ≠⎧⎪⎪+=>⎪∴⎨⎪=>⎪⎪∆=->⎩104a ⇒<<…4分 114()416P A ∴== …………………6分（Ⅱ）由已知：0,0a x >>，所以4()2f x ax x≥⋅，即()4f x a ≥ min ()4f x a ∴=，()2b x f >在()0,x ∈+∞恒成立 24a b ∴>……()* ……………………………8分当1a =时，1b =适合()*； 当2,3,4,5a =时，1,2b =均适合()*； 当6a =时，1,2,3b =均适合()*； 满足()*的基本事件个数为18312++=．…10分 而基本事件总数为6636⨯=，…………11分 121()363P B ∴==．19.如图，梯形ABCD 中，CE AD ⊥于E ,BF AD ⊥于F ,且1AF BF BC ===，2DE =，现将ABF ∆，CDE ∆分别沿BF 与CE 翻折，使点A 与点D 重合，点O 为AC 的中点，设面ABF 与面CDE 相交于直线l ， （1）求证：//l CE ；（2）求证：OF ⊥面ABE ．A F E DAl OF解析：（Ⅰ）//////CE BFCE ABFCE ABF CE ACE l CE BF ABF ABF ACE l ⎫⎫⎪⎪⊄⇒⊂⇒⎬⎬⎪⎪⊂=⎭⎭面面面面面面．……………6分（Ⅱ）12,,ABF AF BF AF BF AB AE BCEF BE CF G 为等腰直角三角形取正方形两对角线的交点为∆⎫==⎫⎪⇒⇒⎬⎬⊥∴==⎪⎭⎭,AG BE BE ACF ACF ABE AG CF BE BE ABE ⊥⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⊥⊂⎭⎭面面面交线为面 ①12AF EF AF FE AF BCEF AF BF AE ==⎫⊥⎫⎪⇒⇒⊥⎬⎬⊥=⎪⎭⎭面，在Rt AFC ∆中，连接OG ,得11//22OG AF OG AF ==且,且2,tan 22tan 22OF OC OFC OCF Rt AFG FAG FGA ⎫=⇒∠=∠=θθ=⎪⎪⎬π⎪∆∠=⇒∠=-θ⎪⎭中，2FGA OFG OF AG π⇒∠+∠=⇒⊥② 结合①②得，即 OF ⊥面ABE ． 20.已知椭圆C:12222=+by a x （0>>b a ）的离心率e =21，且过点M （1，23）（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 长轴两端点分别为A 、B,点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，定直线4=x 与直线PA 、PB 分别交于M 、N 两点，又E(7，0)，过 E 、M 、N 三点的圆是否过x 轴上不同于点E 的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.解：（1）13422=+y x ………5分 (2)设PA,PB 的斜率分别为21,k k ,),(00y x p ，则4321-=k k ………7分 则PA:)2(1+=x k y ，则)6,4(1k M PB: )2(2-=x k y ,则)2,4(2k N又11236k k k EM -=-=，322k k EN -=1-=EN EM k k ………10分设圆过定点F(m,o),则1424621-=--mk m k ，则m=1或m=7(舍)故过点E 、M 、N 三点的圆是以MN 为直径的圆过点F （1,0）………12分 21.（本小题满分14分）已知函数221()ln ,(),,2f x x mxg x mx x m R =-=+∈令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值；21.解：⑴21(),0,2f x lnx x x =->211()(0)x f x x x x x -'=-=> ……………………2分由()0,f x '>得210,x ->又0,x >所以01x <<．所以()f x 的单增区间为(0,1). ………4分（2）方法一：令21()()(1)(1)1,2G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+所以21(1)1()(1)mx m x G x mx m x x-+-+'=-+-=．当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>．所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数，又因为213(1)11(1)120,22G ln m m m =-⨯+-+=-+>所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立． ………………………6分 当0m >时，21()(1)(1)1()m x x mx m x m G x xx-+-+-+'==-． 令()0,G x '=得1x m =，所以当1(0,)x m ∈时，()0;G x '>当1(,)x m∈+∞时，()0G x '<． 因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在1(,)x m∈+∞是减函数．故函数()G x 的最大值为2111111()()(1)1ln .22G ln m m m m m m m m =-⨯+-⨯+=- …………8分令1()ln ,2h m m m =-因为11(1)0,(2)20,24h h ln =>=-< 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <． 所以整数m 的最小值为2． ……………10分方法二：⑵由()1F x mx ≤-恒成立，得2112lnx mx x mx -+≤-在(0,)+∞上恒成立．问题等价于2112lnx x m x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立．令21()12lnx x h x x x ++=+，只要max ()m h x ≥． ……………………6分因为221(1)()2(),1()2x x lnx h x x x +--'=+令()0,h x '=得102x lnx --=．设1()2x x lnx ϕ=--，因为11()02x x ϕ'=--<，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递减，不妨设102x lnx --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0;h x '>当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '<．所以()h x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max020*********()()11(1)22x lnx x h x h x x x x x x +++====++． …………………8分 因为111()20,(1)0242ln ϕϕ=->=-<所以011.2x <<此时max 0112,()(1,2).g x x <<∈所以2,m ≥即整数m 的最小值为2 …… 10分。
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四川省成都七中2015届高三零诊模拟数学（文）试题
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.命题“0||,2
≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）
A.0||,2<+∈∀x x R x
B. 0||,2
≤+∈∀x x R x
C. 0||,2000<+∈∃x x R x
D. 0||,2
000≥+∈∃x x R x 2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x
B y y x ==∈，则A B =（ ）
A ．[0,2] B.[1,3) C. (1,3) D.(1,4)
3．在极坐标系中，过点22
(,)π
且与极轴平行的直线方程是（ ） A ．2ρ= B.2
θπ
=
C. cos 2ρθ=
D.sin =2ρθ 4.已知实数,x y 满足(01)x
y
a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）
A ．33x y > B. sin sin x y > C. 22
ln(1)ln(1)x y +>+
D.
22
11
11
x y >++ 5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该
三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6. 下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和
(π)()f x f x -=的函数是（ ）
A ．()sin =f x x
B ．()sin cos =f x x x
C ．()cos =f x x
D ．22()cos sin =-f x x x 7.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S=
（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪--≥⎩
，则2z x y
=-的最大值
为（ ）
A.10
B.8
C.3
D.2 9． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与
顶点不
A
俯视图
侧（左）视图
正（主）视图
重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）
A ．4个 B.6个 C. 10个
D.14个
10. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则
||
||
PF PA 的最小值是( ) A.
12 B.22 C.32
D.223 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.设向量,a b 满足10|a b |+=,6|a b |-=
,则a b ⋅=
12.设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1
cos 4
a b C ==1，=2，
，则sin B =
13. 已知抛物线)1)0(22
m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，
双曲线12
2
=-a
y x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =
14.随机地向半圆202y ax x <<
-（a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积
成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4
π
的概率为 .
15.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：
)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列5个命题：
①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2
x y =
②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2
)1(+=x y
③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln = 其中正确的是 _(写出所有正确命题的编号)
三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每题12分，20题13分，21题14分） 16. 已知函数sin 2(sin cos )
()cos x x x f x x
-=
．
（Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值；
（Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．
17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机 抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名 志愿者被抽中的概率.
18 如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2===AE EB BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。
（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求证：AE ∥平面BFD ； （Ⅲ）求三棱锥-C BGF 的体积。
19. 已知等差数列{}n a 为递增数列，且25,a a 是方程2
12270x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和
1
1;2
n n T b =-
（1）求数列{}{}n n a b 和的通项公式；（2）若1
3n n
n n n b c a a +⋅=⋅，求数列{}n c 的前n 项和.n S
20．已知椭圆E ：22
221x y a b
+=)0(>>b a 的离心率为22，直线l
分别经过椭圆长轴和短轴的一个顶点，
第（17）题图
且与圆C ：3
2
2
2=
+y x 相切， （I ）求椭圆E 的方程；
（II ）P 为圆C 上任意一点，以P 为切点作圆C 的切线与椭圆E 相交于点M ，N ，求线段|MN |的取值范围．
21. 已知函数2
1()ln 2
f x ax x =-，a ∈R ．
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．。