离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论复习
离散数学课件03命题逻辑的推理理论
((┐p∧┐q)∨p) ∨ q
((┐p∨p )∧(┐q∨p)) ∨ q
(┐q∨p) ∨ q 1
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由定理 3.1可知， 推理正确。
15
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B)
附加律
(2) (A∧B) A
化简律
(3) (A→B)∧A B
假言推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A
拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
析取三段论
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C)
假言三段论
(7) (AB) ∧ (BC) (A C)
等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B
构造性二难 构造性二难
(特殊形式)
(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐精D选)课件pp(t ┐A∨┐C) 破坏性二难16
只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
推理正确，并不能保证结论B一定为真。
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8
例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
正确 不正确
p q p(p→q) q p(q→p)
推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
证明是描述推理正确或错误的过程。
要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或 正确的。
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4
命题逻辑的推理理论
概念
描述问题 的句子
《离散数学》复习提纲(2018)
《离散数学》期末复习大纲一、数理逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论6、谓词、量词、个体词（一阶逻辑3要素）、个体域、变元（约束出现与自由出现）7、命题符号化、谓词公式赋值与解释，谓词公式的类型（永真、永假、可满足）8、谓词公式的等值式（代换实例、消去量词、量词否定和量词辖域收与扩、量词分配）和置换规则（置换规则、换名规则）9、一阶逻辑前束范式（定义、求法）本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理、谓词与量词、命题符号化、谓词公式赋值与解释、求前束范式。
[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
6、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；掌握命题的符号化。
7、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。
8、掌握求一阶逻辑前束范式的方法。
二、集合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补以及对称差等运算及有穷集的计数（文氏（Venn）图、包含排斥原理）3、集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、矛盾律、德摩根律等）及应用本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明。
离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论
第3章命题逻辑的推理理论3.1 推理的形式结构一、有效推理数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程，而前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。
定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B 也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
关于定义3.1还需要做以下几点说明：1．由前提A1,A2,…,A k推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。
因而前提的公式不一定是序列，而是一个有限的公式集合，若将这个集合记为Г，可将由Г推B 的推理记为Г├B。
若推理是正确的，则记为ГB，否则记为ГB。
这里，可以称Г├B和{ A1,A2,…,A k}├B 为推理的形式结构。
2．设A1,A2,…,A k，B中共出现n个命题变项，对于任何一组赋值α1,α2,…,αn(αi =0或者1，i=1,2,…,n)，前提和结论的取值情况有以下四种：(1) A1∧A2∧…∧A k为0，B为0.(2) A1∧A2∧…∧A k为0，B为1.(3) A1∧A2∧…∧A k为1，B为0.(4) A1∧A2∧…∧A k为1，B为1.由定义3.1可知，只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
3．由以上的讨论可知，推理正确，并不能保证结论B一定为真，这与数学中的推理是不同的。
例3.1判断下列推理是否正确：(1){p,p→q}q(2){p,q→p}q解只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是否出现前提合取式为真，而推论为假的情况。
(1)由表3.1可知，没有出现前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(1)中推理正确，即{p,p→q}q.(2)由表3.1可知，在赋值为10情况下，出现了前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(2)推理不正确，即{p,q→p}q.表3.1对于本例这样简单的推理，不用写真值表也可以判断推理是否正确。
离散数学及其应用第3章-命题演算与推理(上)
Discrete Mathematics
汪荣贵 教授
合肥工业大学计算机与信息学院
20210/3/7
计算机应用技术研究所
1
第3章 命题演算与推理 （上）
2020/3/7
计算机应用技术研究所
2
命题演算与推理(上)
2020/3/7
1 命题的概念与运算
2 命题公式与等值演算
33
联结词的完备集
2020/3/7
计算机应用技术研究所
14
弗雷格
Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925)
1879年的重要著作：
概念文字:一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言
是第一个公理化谓词逻辑系统 是自Aristotle以来逻辑的最重要进展 基本实现了Leibniz梦想
命题的概念与运算
2020/3/7
计算机应用技术研究所
4
命题的概念与运算
☺ 逻辑与命题逻辑 命题的基本概念 命题的常用联结词
逻辑学
逻辑学--是一门研究思维形式和思维规律的科学， 包含：
辩证逻辑：研究人的思维中的辩证法。例如：用全 面的和发展的观点观察事物；具体问题具体分析； 实践是检查事物正误的唯一标准；等等。
形式逻辑：研究人的思维的形式和一般规律。本课 程只关心形式逻辑。
2020/3/7
计算机应用技术研究所
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人类的思维规律
人类的思维过程：通过学习掌握概念和判断，然 后进行推理，即： 概念 判断 推理
推理：由若干个已知的判断(前提)，推出新的判 断(结论)的思维过程。
正确的思维： 概念清楚，判断正确，推理合乎逻辑
数理逻辑包括： 命题逻辑、谓词逻辑、公理化集合论、
《离散数学》命题逻辑
解 （1）设P：1是偶数；Q：1是负数，则命题（1）可符号化为P↔Q，真值为1。
（2）设R：太阳从东方升起；S：小鸡会飞，则命题（2）可符号化为R↔S，真值为0。
总结
第 2章 命题逻辑
18
解题小贴士—复合命题的真值判断方法
首先确定复合命题中每个原子命题的真值，然后确定具体的联结词，最后根据上表直接计算。
CONTENTS
F
T
例2.3 符号化下列命题，并确定其真值。
（1）0是偶数且是自然数。
P
O
O
1
1
Q
O
1
O
1
P∧Q
O
O
O
1
（2）雪是白的且羊是食肉动物。
解 （1）设P：0是偶数；Q：0是自然数，则命题（1）可符号化为P∧Q，真值为1。
（2）设R：雪是白的；S：羊是食肉动物，则命题（2）可符号化为R∧S，真值为0。
第 2章 命题逻辑
1
O
例2.2 符号化下列命题，并确定其真值。
（1）四川不是人口最多的省份。
（2）并不是没有最小的自然数。
解：（1）设P：四川是人口最多的省份，则命题（1）可符号化为： ¬ P，真值为1。
（2）设Q：有最小的自然数，则命题（2）可符号化为： ¬ ( ¬ Q)，真值为1。
2、合取联结词
第 2章 命题逻辑
例如，若P：周末天气晴朗；Q：我们将到郊外旅游。
则如果周末天气晴朗，则我们将郊外旅游可符号化为P→Q
例2.5 符号化下列命题，并确定其真值。
P
O
O
1
1
Q
P→Q
善意推断
O
1
1
1
O
O
离散数学课件-3-命题逻辑的推理理论
第三章 命题逻辑的推理理论§1 推理的形式结构推理：从前提出发推出结论的思维过程。
前提：已知命题公式集合。
结论：从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
定义设A1, A2, …, A k, B都是命题公式，若命题公式A1∧A2∧…∧A k→B是重言式，则称由前提A1, A2, …, A k推出结论B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。
推理的形式结构记为{A1,A2,…,A k}A B推理正确，记为{ A1,A2,…,A k }⊨B推理无效，记为{ A1,A2,…,A k }⊭B注①推理正确，结论未必为真。
②推理只注重结构。
例判断下述推理的正确性。
(1) {p, p→q}⊢ q(2) {p, q→p}⊢ q解 (1) p∧(p→q)→q⇔p∧(¬p∨q)→q⇔(p∧¬p)∨(p∧q)→q⇔p∧q→q⇔¬ (p∧q)∨q⇔¬p∨(¬q∨q)⇔¬p∨1⇔1故{p, p→q }⊨ q(2) p∧(q→p)→q让q =0，可得q→p =1，再取p =1可得p∧(q→p)=1 由此得p∧(q→p)→q有成假赋值1 0，故{ p, q→p }⊭ q判断推理正确性：1．真值表法。
2．等值演算法。
3．主析取范式法。
4．构造证明。
例判断下述推理是否正确？（1）若a能被4整除，则a能被2整除。
a能被4整除。
所以a能被2整除。
（2）若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳。
若她去游泳，则她就不去看电影了。
所以，若王小燕没去看电影，则下午气温必超过了30℃。
解(1) p：a能被4整除q：a能被2整除前提：p→q，p结论：q推理的形式结构：{p→q，p} A q前面已证此推理正确。
(2) p：下午气温超过30℃q：王小燕去游泳r：王小燕去看电影前提：p→q, q→¬r结论：¬ r→p推理的形式结构：{p→q，q→¬r} A(¬r→p)因为，(p→q)∧(q→¬ r)→(¬r→p)⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7主析取范式显然不是重言式，故推理不正确。
离散数学复习提纲(完整版)解析
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）一、命题逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]1、公式类型的判定判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。
例1.试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）解：（1） 真值表因此公式（1）为可满足。
离散数学 第3章 基于归结原理的推理证明
7
3.1.1.2 斯柯林(Skolem)标准范式
定义 3.1.2 从前束范式中消去全部存在量词所得到的公式即为 Skolem 标准范式。 例如，如果用 Skolem 函数 f(x)代替前束形范式 x (y)(z)( P( x) F ( y, z) Q( y, z)) 中 的 y 即得到 Skolem 标准范式： ( x) ( z)(P(x)∧F(f(x), z)∧Q(f(x), z)) Skolem 标准型的一般形式是
(x1 )(x2 )...(xn )M ( x1, x2 ,...,xn )
其中，M(x1,x2,…,xn)是一个合取范式，称为 Skolem 标准型的母式。
8
将谓词公式 G 化为 Skolem 标准型的步骤如下： （1）消去谓词公式 G 中的蕴涵（→）和双条件符号（） ，以A∨B 代替 A→B，以(A∧ B)∨(A∧B)替换 AB。 （2）减少否定符号（）的辖域，使否定符号“”最多只作用到一个谓词上。 （3）重新命名变元名，使所有的变元的名字均不同，并且自由变元及约束变元亦不同。 （4）消去存在量词。这里分两种情况，一种情况是存在量词不出现在全称量词的辖域内，此 时，只要用一个新的个体常量替换该存在量词约束的变元，就可以消去存在量词；另一种情况 是，存在量词位于一个或多个全称量词的辖域内，这时需要用一个 Skolem 函数替换存在量词 而将其消去。
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例 3.2.1 求子句集 S＝{T(x)∨Q(z),R(f(y))}的 H 域。 解 此例中没有个体常量，任意指定一个常量 a 作为个体常量；只有一个函数 f(y)，有： H0={a} H1={a,f(a)} H2={a,(a),f(f(a))} …… H∞={a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),…}
离散数学第3章 命题逻辑
课堂练习 P80 习题3.1: 1, 2.
7
3.2 逻辑联结词
使用逻辑联结词可以将原子命题构成一个复合命 题. 逻辑联结词类似于自然语言中的连词，但逻辑联 结词就是逻辑运算
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1. 否定联结词 : p p: 2 + 3 = 5. p : 2 + 3 5.
p 1 0
p 0 1
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 pq 1 1 1 0
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4. 异或联结词 : p q “不可兼或”, 它表示两者不能同时为真
例 p: 明天去深圳的飞机是上午八点起飞, q :明天去深圳 的飞机是上午八点半起飞. p q: 明天去深圳的飞机是上午八点或上午八点半起飞 . p 1 1 0 q 1 0 1 pq 0 1 1 p q pq 1 1 1
10
备注
“小王和小李是同学”中的“和”没有合取之意. 在数理逻辑中, 合取联结词可以将任意两个命题联 结起来以构造出新的命题, 如用p: 2 + 3 = 5, q: 今天上课, 则p q : 2 + 3 = 5且今天上课.
11
3. 析取联结词 : p q p: 这学期我选修人工智能课程, q: 这学期我选修 模式识别课程 . p q: 这学期我选修人工智能课程或者模式识别 课程 . 析取“”相当于“或者”. p | q, p || q, p + q(“或 门”).
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例.
理解的难点 (P Q：P是Q的充分条件):
6. 双蕴涵(双条件)联结词 : p q p: 四边形是平行四边形, q :四边形的对边平行 . p q :四边形是平行四边形当且仅当四边形的对 边平行. p q :可读作“p当且仅当q”. “p当且仅当q”有两层含义：
离散数学最全最新答案--屈婉玲
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案4.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.7.因为p与q不能同时为真.13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0（3）（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔1(4)（π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数1答：p:q: 3是无理数02是无理数 1r:s: 6能被2整除1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
离散数学复习资料
离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。
离散数学第三章 命题逻辑的推理理论
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
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练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
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例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
离散数学 第3章 命题逻辑
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例3.2.1
（1）太阳是圆的； （2）成都是一个旅游城市； （3）北京是中国的首都； （4）这个语句是假的； （5）1＋1＝10； （6）ｘ+y>０； （7）我喜欢踢足球； （8）3能被2整除； （9）地球外的星球上也有人； （10）中国是世界上人口最多的国家； （11）今天是晴天；
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例3.2.3
1) 今天天气很冷。
2) 今天天气很冷并且刮风。
3) 今天天气很冷并且刮风，但室内暖和。
通常用大写的带或不带下标的英文字母Ａ、Ｂ、 Ｃ、...P、Q、R、... Ai、Bi 、Ci、...Pi、Qi、 Ri、...等表示命题
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T T T 非命题 T/F 非命题 T/F F T/F T T
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例3.2.1（续）
（12）把门关上； （13）滚出去！ （14）你要出去吗？ （15）今天天气真好啊！
注意： 一切没有判断内容的句子都不能作为命题，如命令 句、感叹句、疑问句、祈使句、二义性的陈述句等。
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约
定
为了不使句子产生混淆，作如下约定，命题联结 词之优先级如下： 1. 否定→合取→析取→蕴涵→等价 2. 同级的联结词，按其出现的先后次序(从左 到右) 3. 若运算要求与优先次序不一致时，可使用 括号；同级符号相邻时，也可使用括号。 括号中的运算为最优先级。
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离散数学命题逻辑公式
离散数学命题逻辑公式1. 命题逻辑的基本概念命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。
命题逻辑中的基本概念包括：命题：命题是描述客观事实真假的句子。
命题的真假值只有两个：真和假。
命题联结词：命题联结词用于将两个或多个命题连接起来，形成新的命题。
常见的命题联结词有：否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等价（↔）。
命题公式：命题公式是由命题和命题联结词组成的表达式。
命题公式的真假值取决于其组成命题的真假值。
2. 命题逻辑的推理规则命题逻辑的推理规则是用于从给定的命题公式推导出新命题公式的规则。
常见的推理规则有：三段论：三段论是一种由两个前提和一个结论组成的推理形式。
如果两个前提都是真的，那么结论也一定是真的。
例如：所有哺乳动物都是恒温动物。
猫是哺乳动物。
所以，猫是恒温动物。
假言推理：假言推理是一种由一个条件句和一个结论组成的推理形式。
如果条件句是真的，那么结论也一定是真的。
例如：如果今天下雨，那么我就不出门。
今天下雨。
所以，我不出门。
选言推理：选言推理是一种由两个或多个分支组成的推理形式。
如果其中一个分支是真的，那么结论也一定是真的。
例如：要么今天下雨，要么明天下雨。
今天下雨。
所以，明天不会下雨。
3. 命题逻辑的应用命题逻辑在计算机科学、人工智能、哲学等领域有着广泛的应用。
在计算机科学中，命题逻辑用于设计和分析逻辑电路、编译器和操作系统等。
在人工智能中，命题逻辑用于知识表示和推理。
在哲学中，命题逻辑用于研究逻辑的本质和推理的有效性。
4. 结语命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。
命题逻辑的应用非常广泛，包括计算机科学、人工智能、哲学等领域。
离散数学命题逻辑推理理论
通过引入新的逻辑元素、运算符和规则，扩展 命题逻辑的表达能力和应用范围。
模糊命题逻辑
研究模糊命题的逻辑结构和推理规则，以处理 不确定性和模糊性。
模态命题逻辑
引入模态算子，研究模态命题的逻辑结构和推理，以处理必然性和可能性。
未来命题逻辑的研究热点
自然语言处理中的逻辑推理
结合自然语言处理技术，研究自然语言中复杂逻辑 关系的表达和推理。
人工智能中的逻辑推理
探索在人工智能领域中应用命题逻辑的方法和技术 ，提高人工智能系统的推理能力。
多模态逻辑推理
研究多模态信息（如文本、图像、音频等）的逻辑 结构和推理规则，以实现多模态信息的融合和理解 。
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离散数学命题逻辑推理理论
目
CONTENCT
录
• 命题逻辑基础 • 推理规则 • 逻辑推理题目解析 • 命题逻辑的应用 • 命题逻辑的局限性与发展
01
命题逻辑基础
命题与逻辑联结词
命题
命题是具有真假意义的陈述句，可以 判断为真或假。
逻辑联结词
逻辑联结词用于连接命题，形成复合 命题，常见的逻辑联结词包括与(&&) 、或(||)、非(~)等。
命题形式与真值表
命题形式
命题可以表示为不同的形式，如P、Q、R等，表示简单命题，也 可以表示为P(&&)Q、P(||)Q等，表示复合命题。
真值表
真值表是用来表示命题逻辑运算结果的表格，根据不同的逻辑联 结词和命题的真假值，可以计算出复合命题的真假值。
命题的等价与蕴含
命题等价
如果两个命题在逻辑上具有相同的真 假值，则它们是等价的。
80%
归结推理
离散数学命题逻辑知识点总结
离散数学命题逻辑知识点总结《离散数学命题逻辑知识点总结》命题逻辑是数理逻辑的一个分支，研究的是命题之间的关系以及它们的推理规则。
以下是离散数学命题逻辑的一些重要知识点的总结：1. 命题：命题是一个陈述句，它要么是真的，要么是假的，但不能同时既是真的又是假的。
2. 逻辑运算符：逻辑运算符用于组合和操作命题。
常见的逻辑运算符有：“与（∧）”、“或（∨）”、“非（¬）”、“蕴含（→）”和“等价（↔）”。
3. 真值表：真值表用于表示逻辑运算符的结果。
通过列出所有可能的命题组合，并在每个组合下计算逻辑运算符的结果，可以得到真值表。
4. 合取范式和析取范式：合取范式是通过将命题用“与”运算符连接起来得到的，析取范式是通过将命题用“或”运算符连接起来得到的。
将命题转化为它们的合取范式或析取范式，能方便地进行逻辑运算。
5. 重言式和矛盾式：重言式是指对于所有可能的命题组合，逻辑表达式都为真的命题。
矛盾式是指对于所有可能的命题组合，逻辑表达式都为假的命题。
重言式和矛盾式具有重要的推理性质。
6. 推理规则：推理规则是用来推导逻辑表达式的一些基本规则。
常见的推理规则有“假言推理法”、“逆命题推理法”、“逆否命题推理法”和“拒取式推理法”。
7. 等价关系和等价演算：等价关系是指两个逻辑表达式具有相同的真值。
等价演算是一种通过运用逻辑等价关系来简化逻辑表达式的方法。
通过应用等价演算，可以将复杂的逻辑表达式简化为更简单的形式。
8. 形式化证明：在命题逻辑中，形式化证明是用推理规则和等价演算来推导出逻辑表达式的一系列步骤。
形式化证明的目的是证明一个逻辑表达式的正确性。
离散数学命题逻辑是理解和应用数理逻辑的基础。
通过掌握上述知识点，我们能够准确地分析和推理命题逻辑问题，并在解决问题时运用逻辑规律和推理方法。
对于计算机科学、人工智能和数学等领域的研究和应用，命题逻辑具有重要的理论和实际意义。
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第3章命题逻辑的推理理论主要内容1. 推理的形式结构：①推理的前提②推理的结论③推理正确④有效结论2. 判断推理是否正确的方法：①真值表法②等值演算法③主析取范式法3. 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明4. ①自然推理系统P的定义②自然推理系统P的推理规则：前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。
③附加前提证明法④归谬法学习要求1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即①{A1,A2,…,A k}├B②A1∧A2∧…∧A k→B③前提与结论分开写：前提：A1,A2,…,A k结论：B在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。
2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。
3. 牢记P系统中的各条推理规则。
4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。
5. 会用附加前提证明法和归谬法。
3.1 推理的形式结构定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
二、有效推理的等价定理定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当(A1∧A2∧…∧A k )→B为重言式。
A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。
由此定理知，推理形式：前提：A1,A2,…,A k结论：B是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式。
(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。
从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。
于是，推理正确{A1,A2,…,A k} B可记为A1∧A2∧…∧A k B其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。
而判断命题公式永真性有三个方法：1．真值表法2．等值演算法3．主析取范式法三、重言蕴涵式由上一个小节可以看出：形如A→B的重言式在推理中十分重要。
若A→B为重言式，则称B为A的推论，记为A B，下面是几个重要的重言蕴涵式及其名称1．A(A∨B) 附加律2.(A∧B) A 化简律3.(A→B)∧A B 假言推理4.(A→B)∧┐B┐A 拒取式5.(A∨B)∧┐B A 析取三段论6.(A→B)∧(B→C)(A→C) 假言三段论7.(A B)∧(B C)(A C) 等价三段论8.(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B 构造性二难(特殊形式)9.(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)(┐A∨┐C) 破坏性二难这几个蕴涵式在下节中将起重要的作用。
3.2 自然推理系统P一、形式推理系统我们将前述推理用更严谨的形式推理系统描述出来。
定义3.2一个形式系统I由下面四个部分组成：（1）非空的字符表集，记作A(I)。
（2）A(I)中符号构造的合式公式集，记作E(I)。
（3）E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作A X(I)。
（4）推理规则集，记作R(I)。
可以将I记为<A(I),E(I),A X(I),R(I)>.其中<A(I),E(I)>是I的形式语言系统，<A X(I),R(I)>为I的形式演算系统。
形式系统一般分为两类。
一类是自然推理系统，它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论（有时称为有效的结论，它可能是重言式，也可能不是）。
另一类是公理推理系统，它只能从若干给定的公理出发，应用系统中推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理。
二、自然推理系统PP是一个自然推理系统，因而没有公理。
故P只有三个部分。
定义3.3自然推理系统P定义如下：1．字母表（1）命题变项符号：p，q，r，…,p i，q i，r i，…（2）联结词符号：┐,∧,∨,→,（3）括号和逗号：( , )，，2．合式公式同定义1.63．推理规则（1）前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2）结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3）置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式。
由九条推理定律和结论引入规则还可以导出以下各条推理定律。
（4）假言推理规则（或称分离规则）：若证明的公式序列中已出现过A→B和A，则由假言推理定律(A→B)∧A B可知，B是A→B和A的有效结论。
由结论引入规则可知，可将B引入到命题序列中来。
用图式表示为如下形式：以下各条推理定律直接以图式给出，不再加以说明。
（5）附加规则：（6）化简规则：（7）拒取式规则：（8）假言三段论规则：（9）析取三段论规则：（10）构造性二难推理：（11）破坏性二难推理规则：（12）合取引入规则：本条规则说明，若证明的公式序列中已出现A和B ，则可将A∧B引入序列中。
这就完成了P的定义。
三、P中的证明P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P中的规则，推出结论。
当然此结论也为P中公式。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s结论：r∧(p∨q)(2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s结论：p→s解 (1)证明：①p→s 前提引入②┐s 前提引入③┐p ①②拒取式④p∨q 前提引入⑤q ③④析取三段论⑥q→r 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理⑧r∧(p∨q) ⑦④合取此证明的序列长为8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q)是有效结论。
(2)证明：①┐p∨q 前提引入②p→q ①置换③r∨┐q 前提引入④q→r ③置换⑤p→r ②④假言三段论⑥r→s 前提引入⑦p→s ⑤⑥假言三段论从最后一步可知推理正确，p→s是有效结论。
可以在自然推理系统P中构造数学和日常生活中的一些推理，所得结论都是有效的，即当各前提的合取式为真时，结论必为真。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明：若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。
所以a是无理数。
解首先将简单命题符号化：设p：a是实数。
q：a是有理数。
r：a是无理数。
s：a能表示成分数。
前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s结论：r证明：①p∧┐s 前提引入②p ①化简③┐s ①化简④p→(q∨r) 前提引入⑤q∨r ②④假言推理⑥┐s→┐q 前提引入⑦┐q ③⑥假言推理⑧r ⑤⑦析取三段论P中证明的两个常用技巧：1．附加前提证明法2．归谬法四、附加前提法有时推理的形式结构具有如下形式（A1∧A2∧…∧A k)→(A→B) （3.5）（3.5）式中结论也为蕴涵式。
此时可将结论中的前件也作为推理的前提，使结论只为B。
即，将（3.5）化为下述形式(A1∧A2∧…∧A k∧A)→B （3.6）其正确性证明如下：（A1∧A2∧…∧A k)→(A→B)）┐(A1∧A2∧…∧A k)∨(┐A∨B）┐(A1∧A2∧…∧A k∨┐A)∨B┐(A1∧A2∧…∧A k∧A)∨B(A1∧A2∧…∧A k∧A)→B因为（3.5）式与（3.6）式是等值的，因而若能证明（3.6）式是正确的，则（3.5）式也是正确的。
用形式结构（3.6）式证明，将A称为附加前提，并称此证明法为附加前提证明法。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；小赵不去看电影或小张去看电影；小王去看电影。
所以，当小赵去看电影时，小李也去看电影。
解将简单命题符号化：设p:小张去看电影。
q:小王去看电影。
r:小李去看电影。
s:小赵去看电影。
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q结论：s→r证明：用附加前提证明法。
①s 附加前提引入②┐s∨p 前提引入③p ①②析取三段论④(p∧q)→r 前提引入⑤q 前提引入⑥p∧q ③⑤合取⑦r ④⑥假言推理思考：不用附加前提证明法构造例3.5的证明。
五、归谬法在构造形式结构为(A1∧A2∧…∧A k)→B的推理证明中，如果将┐B作为前提能推出矛盾来，比如说得出(A∧┐A)，则说明推理正确。
其原因如下：(A1∧A2∧…∧A k)→B┐(A1∧A2∧…∧A k)∨B┐(A1∧A2∧…∧A k∧┐B)若(A1∧A2∧…∧A k∧┐B)为矛盾式，正说明(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式，即(A1∧A2∧…∧A k)B,故推理正确。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队未取胜，或者A 队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名；小张守第一垒。
因此，小李没有向B 队投球。
解先将简单命题符号化。
设p:小张守第一垒。
q:小李向B队投球。
r:A队取胜。
s:A队获得联赛第一名。
前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p结论：┐q证明：用归谬法①q 结论的否定引入②┐r∨s 前提引入③┐s 前提引入④┐r ②③析取三段论⑤(p∧q)→r 前提引人⑥┐(p∧q) ④⑤拒取式⑦┐p∨┐q ⑥置换⑧p 前提引入⑨┐q ⑦⑧析取三段论⑩q∧┐q ①⑨合取由于最后一步q∧┐q0，即(((p∧q)→r)∧(┐r∨s)∧┐s∧p)∧q0，所以推理正确。