离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论复习

第3章命题逻辑的推理理论

主要内容

1. 推理的形式结构：

①推理的前提

②推理的结论

③推理正确

④有效结论

2. 判断推理是否正确的方法：

①真值表法

②等值演算法

③主析取范式法

3. 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明

4. ①自然推理系统P的定义

②自然推理系统P的推理规则：

前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。

③附加前提证明法

④归谬法

学习要求

1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即

①{A1,A2,…,A k}├B

②A1∧A2∧…∧A k→B

③前提与结论分开写：

前提：A1,A2,…,A k

结论：B

在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。

2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。

3. 牢记P系统中的各条推理规则。

4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。

5. 会用附加前提证明法和归谬法。

3.1 推理的形式结构

定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。

二、有效推理的等价定理

定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当

(A1∧A2∧…∧A k )→B

为重言式。

A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。

由此定理知，推理形式：

前提：A1,A2,…,A k

结论：B

是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式。(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。于是，推理正确

{A1,A2,…,A k} B

可记为

A1∧A2∧…∧A k B

其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。

而判断命题公式永真性有三个方法：

1．真值表法

2．等值演算法

3．主析取范式法

三、重言蕴涵式

由上一个小节可以看出：形如A→B的重言式在推理中十分重要。

若A→B为重言式，则称B为A的推论，记为A B，下面是几个重要的重言蕴涵式及其名称

1．A(A∨B) 附加律

2.(A∧B) A 化简律

3.(A→B)∧A B 假言推理

4.(A→B)∧┐B┐A 拒取式

5.(A∨B)∧┐B A 析取三段论

6.(A→B)∧(B→C)(A→C) 假言三段论

7.(A B)∧(B C)(A C) 等价三段论

8.(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D) 构造性二难

(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B 构造性二难(特殊形式)

9.(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)

(┐A∨┐C) 破坏性二难

这几个蕴涵式在下节中将起重要的作用。

3.2 自然推理系统P

一、形式推理系统

我们将前述推理用更严谨的形式推理系统描述出来。

定义3.2一个形式系统I由下面四个部分组成：

（1）非空的字符表集，记作A(I)。

（2）A(I)中符号构造的合式公式集，记作E(I)。

（3）E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作A X(I)。

（4）推理规则集，记作R(I)。

可以将I记为.其中是I的形式语言系统，

为I的形式演算系统。

形式系统一般分为两类。一类是自然推理系统，它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论（有时称为有效的结论，它可能是重言式，也可能不是）。另一类是公理推理系统，它只能从若干给定的公理出发，应用系统中推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理。

二、自然推理系统P

P是一个自然推理系统，因而没有公理。故P只有三个部分。

定义3.3自然推理系统P定义如下：

1．字母表

（1）命题变项符号：p，q，r，…,p i，q i，r i，…

（2）联结词符号：┐,∧,∨,→,

（3）括号和逗号：( , )，，

2．合式公式同定义1.6

3．推理规则

（1）前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。

（2）结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。

（3）置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式。

由九条推理定律和结论引入规则还可以导出以下各条推理定律。

（4）假言推理规则（或称分离规则）：若证明的公式序列中已出现过A→B和A，

则由假言推理定律(A→B)∧A B可知，B是A→B和A的有效结论。由结论引入规则可知，可将B引入到命题序列中来。用图式表示为如下形式：

以下各条推理定律直接以图式给出，不再加以说明。

（5）附加规则：

（6）化简规则：

（7）拒取式规则：

（8）假言三段论规则：

（9）析取三段论规则：

（10）构造性二难推理：

（11）破坏性二难推理规则：