天津市南开区2015届高三一模数学(文)试卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(天津卷,含解析)
线 A1B1
与平面 BCB1 所成角,Rt△ A1NB1
中,由 sin A1B1N
A1N A1B
1, 2
得直线
A1B1
与平面 BCB1 所成
角为 30 .
试题解析：（I）证明：如图,连接 A1B ,在△ A1BC 中,因为 E 和 F 分别是 BC, A1C 的中点,所以 EF BA1 ,
又因为 EF 平面 A1B1BA , 所以 EF 平面 A1B1BA .
（II）将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A1, A2, A3, A4, A5, A6 ,从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参
加双打比赛. （i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设 A 为事件“编号为 A5, A6 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A 发生的概率.
【答案】（I）3,1,2；（II）（i）见试题解析；（ii） 3 5
.
（II）（i）从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛,所有可能的结果为 A1, A2 ,
A1, A3 , A1, A4 , A1, A5 , A1, A6 , A2, A3 , A2, A4 , A2, A5 , A2, A6 , A3, A4 , A3, A5 ,
A3, A6,A4, A5 ,A4, A6 ,A5, A6,共 15 种.
(C) {1, 4, 6}
(D) {2, 3, 5}
试题分析： A ={2,3,5}, ðU B ={2,5} ,则 A （ðU B）={2,5},故选 B.
考点：集合运算
ì 2.设变量 x, y 满足约束条件 ïïí
x- 2? 0 x- 2y ? 0
,则目标函数 z = 3x + y 的最大值为（
天津市南开区2015届高三第二次高考模拟考试数学(文)试题带答案
南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数 学 试 卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·球的体积公式V 球=34πR 3， P (A ∪B )=P (A )+P (B )． 其中R 表示球的半径．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设i 是虚数单位，则复数ii65-=（ ）． （A ）6–5i （B ）6+5i （C ）–6+5i （D ）–6–5i （2）已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≥0，则⌝p 是（ ）．（A ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （B ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （C ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0 （D ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）．（A ）10 （B ）11 （C ）12（D ）13（4）下列函数是奇函数的是（ ）．（A ）f (x )=–|x | （B ）f (x )=lg (1+x )–lg (1–x )（C ）f (x )=2x +2–x （D ）f (x )=x 3–1（5）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（ ）．（A ）k ＜132? （B ）k ＜70? （C ）k ＜64? （D ）k ＜63?（6）已知双曲线C ：22x a –22y b=1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）．（A ）220x –25y =1 （B ）25x –220y =1（C ）280x –220y =1 （D ）220x –280y =1（7）已知函数f (x )=sin (ωx +4π)（x ∈R ，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f (x )的图象向左平移|ϕ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ）． （A ）2π（B ）83π（C ）4π （D ）8π（8）在△ABC 中，若|AB +AC |=|AB –AC |，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE •AF =（ ）．（A ）98 （B ）910 （C ）925（D ）926南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答 题 纸（文史类）第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
天津市南开中学2015届高三第四次月考数学(文)试题 Word版含答案
天津市南开中学2015届高三第四次月考数学（文）试题说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上.第І卷（选择题共40分）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上．．．．．．．．．．．!) 1. 复数143i i++的虚部是（ ）.A 125i .B125 .C 125i - .D 125- 2. 若m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题是( ).A 若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β .B 若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β.C 若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α .D 若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ3. 已知变量,x y 满足约束条件22220,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则5z x y =+的最小值为（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 44. 设,R x y ∈，则“922≥+y x ” 是“3>x 且3≥y ”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 即不充分也不必要条件5. 将函数cos 2y x =的图象向右平移π6个单位，得到cos(2)y x =+ϕ，(π,π]∈-ϕ的图象，则ϕ的值为（ ）.A π6 .B π6- .C π3 .D π3- 6. 设112450.8,0.7,log 0.3a b c ===，则c b a ,,的大小关系是（ ）.A b c a >> .B b a c >> .C c a b >> .D c b a >>7. 已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）.A 2233110025x y -= .B 221205x y -= .C 2233125100x y -= .D 221520x y -= 8. 设定义域为R 的函数|1251,0,()44,0,x x f x x x x -⎧-≥=⎨++<⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =( ). .A 2 .B 4或6 .C 2或6 .D 6第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上．．．．．．．．．．!) 9. 在如图的程序框图中，输出的值为x ，则123log x x += .10. 已知等差数列,6,2},{31==a a a n 若将541,,a a a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 .11. 已知01x <<，则141x x+-的最小值为 .12. 如右图,PT 切圆O 于点T,PA 交圆O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝ ．P13. 在圆0722:22=---+y x y x C 上总有四个点到直线043:=++m y x l 的距离是1，则实数m 的取值范围是____________.14. 已知非零向量AB 与AC 满足()0AB AC BC ABAC+⋅=，且||AB AC -=|AB + |AC =D 是△ABC 中BC 边的中点，则AB BD ⋅= _______.三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. (本小题满分13分)城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求。
南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测(二)数 学 试 卷(文史类)
南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数 学 试 卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·球的体积公式V 球=34πR 3， P (A ∪B )=P (A )+P (B )． 其中R 表示球的半径．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设i 是虚数单位，则复数ii65-=（ ）． （A ）6–5i （B ）6+5i （C ）–6+5i （D ）–6–5i （2）已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≥0，则⌝p 是（ ）．（A ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （B ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （C ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0 （D ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）．（A ）10 （B ）11 （C ）12（D ）13（4）下列函数是奇函数的是（ ）．（A ）f (x )=–|x | （B ）f (x )=lg (1+x )–lg (1–x )（C ）f (x )=2x +2–x （D ）f (x )=x 3–1（5）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（ ）．（A ）k ＜132? （B ）k ＜70? （C ）k ＜64? （D ）k ＜63?（6）已知双曲线C ：22x a –22y b=1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）．（A ）220x –25y =1 （B ）25x –220y =1（C ）280x –220y =1 （D ）220x –280y =1（7）已知函数f (x )=sin (ωx +4π)（x ∈R ，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f (x )的图象向左平移|ϕ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ）． （A ）2π（B ）83π（C ）4π（D ）8π（8）在△ABC 中，若|AB +AC |=|AB –AC |，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE •AF =（ ）．（A ）98 （B ）910（C ）925 （D ）926南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答 题 纸（文史类）第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
天津市南开区2015届高三一模语文试卷.pdf
点上首次夺得亚洲杯冠军。
B．黄兴国市长说，天津正积极实施“美丽天津·一号工程”，大力开展“四清一绿”，通过持续努力，切实改善
生态环境。
C．由此可见，各中小学的校长们不仅希望学校课程设置过程中文化课是富有创造性的，而且社团活动也是富有创
造性的。
D．台湾当红小生柯震东和房祖名在北京吸食大麻和毒品被捕，此消息犹如一枚重磅炸弹，震惊民众。
啦，大老远跑来动它？”一个中年人向老人作了解释，市里要创建生态文明城市，正在突击购树、栽树。还说，这棵树
市里可是花了大价钱的，村里准备用这笔钱为村民打一口水井，今后，再也不必跑好几里山路去挑水了。这可是两全其
美的好事啊！
老人无言以对。
一般来说，想通了的事，老人便会释然。可这次不知怎的，道理似乎明白了，可心里老是憋屈得慌。自从老榆树被
13．把文言文阅读材料中画横线的句子翻译成现代汉语。（8分）
（1）先生避席却行，大惊曰：“汝来将奈何!”麾之去。（3分）
译文：
（2）议论文章，开口触忌，则穷于言。（2分）
译文：
（3）顾吾之所以效于先生者，皆以为功于先生也。
（2）颔联中“愧”字有何妙处？请加以分析。（2分）
9．对下列各句中加点词语的解释，不正确的一项是
A．表示冒昧请求的意思
B．C．然余之罪，顾有可者 矜：
D．A．求人如韩愈者从之，不得
B．抱其无用之书，负其不羁之气臣之壮也，犹不如人
C．
D．以下六句话，分别编为四组，全都属于被褐先生拒绝穷鬼原因的一组是
12．下列对本文的理解，不正确的一项是
A．这是一篇寓言式散文，文章借助穷鬼与被褐先生的对话，表明“穷”不但无害于人，反而有助于锻炼倔傲的性
格，激发慷慨激烈之气，成就愤世嫉俗之文。
2015年南开区高考一模数学试卷分析
2015届南开区高考一模考试试卷分析数学(文科、理科）陈文胜一、命题思路严格遵循天津市高考数学学科《考试说明》中所提出的考试性质、功能与测量目标来进行选材和命题。
（一）发挥模拟考试的检测功能1．试题平和，贴近考生试题设计突出了对基础知识，基本技能，基本方法的考查。
从各试卷的大部分题目的设计中可以看出以下几个特点：考查的内容是常见的；解题的思路是常规的；解题的方法是常用的。
（1）源于课本，重在主干在命题中，有一部分试题是由课本中的例题、习题和历年各省市的高考题或模拟题加工、改造、整合而成，是考生熟悉的题型，做到源于课本，重在主干。
（2）坡度平缓, 层次分明整个试卷安排具有层次性；在难题的设计上，通过分层设问，缓解了难度；体现了文理的差异。
2．充满数学思辨，深入考查数学思想数学考试大纲“数学考试的学科特点的第二个方面就是充满思辨性：这个特点源于数学的抽象性，系统性和逻辑性，数学不是知识性的学科，而是思维型的学科。
因此，数学试题靠机械记忆，只凭直觉和印象就可以作答的很少，为了正确解答，就要求考生具备一定的观察，分析和推断能力。
”如：文科对三角函数的考查，理科的选择题第7、8题、填空题第13、14题。
3．注重知识交汇，提高对思维能力的考查深度和广度数学高考考试大纲指出：“对能力的考查，强调‘以能力立意’，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料。
侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。
”文科考查内容：150个知识点；理科考查内容：172个知识点．有的学生对各个知识点的学习都比较完整，但解决问题，特别是解决综合性问题的能力较差，原因在于其知识的整体系统的结构不合理，较低层次的知识点和能力元难以组成较高层次的功能系统，各知识点和能力元在系统中不能形成耦合和互补的关系，因而一旦解决问题受阻，就无法另辟蹊径。
2015年南开区一模
2015年南开区高考模拟理科综合测试（一）物理试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分第Ⅰ卷注意事项：答卷前，考生务必用蓝、黑水笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上相应位置。
答卷时，考生务必将答案用2B铅笔涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
一、单项选择题（每小题6分，共30分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1.下列说法正确的是（）A.汤姆生发现电子，表明原子具有核式结构B.太阳辐射的能量主要来自太阳内部的核裂变反应C.一束光照射到某金属上不能发生光电效应，是因为该束光的波长太短D.按照玻尔理论，氢原子核外电子从半径较小的轨道跃迁到半径较大的轨道时，电子的动能减小，原子总能量增大2.如图所示，A、B分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的v-t图象，根据图象可以判断（）A.两球在t = 2s时速度相等B.两球在t = 8s时相遇C.两球在t = 8s时相距最远D.甲、乙两球做初速度方向相反的单向匀减速直线运动，加速度大小相同方向相反3.为了探测某星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上做匀速圆周运动，周期为T1，总质量为m1，随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上做匀速圆周运动，此时登陆舱的质量为m2，则（）A.该星球的质量为21214r MGTπ=B.该星球表面的重力加速度为21214r g T π= C.登陆舱在半径为r 2轨道上做圆周运动的周期为2T T =D.登陆舱在r 1与r 2轨道上运动时的速度大小之比为12v v =4. 图1是一列简谐横波在t = 1.25s 时的波形图，已知c 位置的质点比a 位置的晚0.5s 起振，则图2所示振动图象对应的质点可能位于（）A.a <x <bB.b <x <cC.c < x <dD.d <x <e5. 一物体静止在粗糙水平地面上，现用一大小为F 1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v ，若将水平拉力的大小改为F 2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为3v ，对于上述两个过程，用W F 1、W F 2分别表示拉力F 1、F 2所做的功，W f 1、W f 2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则（）A.W F 2<9W F 1W f 2 = 3W f 1B. W F 2< 9W F 1W f 2< 3W f 1C. W F 2>9W F 1W f 2> 3W f 1D. W F 2> 9W F 1W f 2 = 3W f 1二、不定项选择题（每小题6分，共18分。
天津市南开区高三语文一模考试卷(含解析)
天津市南开区2015届高三一模语文试题【试卷综析】天津市南开区2015届高三一模语文试题，考查内容能涵盖《教学大纲》所规定的考点内容。
从考点的设置、考察角度和难易安排来说，符合目前高三学生复习的实际情况，难易程度适中，具有较好的导向性。
命题仍然坚持重基础，查能力，看创新的命题思路。
诗歌鉴赏等小题形式和难度稍有改变。
天津市南开区2015届高三一模语文试题共七大题，23个小题，20个考点，涉及识记、理解、分析综合、鉴赏评价、表达应用和探究等六种语文能力。
取材课内外兼有，总分150分，作文60分。
试卷设题科学，答题要求明确，基本无常识性错误。
题量大，考点多，难易题目分配比例合理，难度值为0.72。
本试卷上的信息明显地突出语文的教学考试意图，以高考题型为参照，继续渗透所有的考点。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时150分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在相应位置上。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡和试卷上。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、（15分）【题文】A01．下列词语中加点字的读音，完全正确的一组是A．狷（juān）狂胡诌（zhōu）抹（mā）桌子期（jī）颐之年B．悭（jiān）吝祛（qū）除扎（zā）小辫力能扛（ɡānɡ）鼎C．芟（shān）除铁砧（zhēn）打寒噤（jīn）呶（náo）呶不休D．当（dàng）真斡（wò）旋迫（pǎi）击炮为（wèi）虎作伥【知识点】本题考查考生识记现代汉语普通话常用字的字音的能力，能力层级为识记A。
【答案解析】答案：D 解析：A“期颐之年”应读为qī：B“悭吝”应读为qiān：C“打寒噤”应读为jìn【思路点拨】字音题考核的内容有多音字、形似字、音近字、形声字、统读字、生僻字、方言误读七类，命题形式主要有找出注音全部正确的一项、找出读音全部相同（或不同）的一项，找出读音全部相同（或不同）的一组三类。
天津市南开中学届高三校模拟.docx
天津市南开中学2015届高三校模拟数学试卷（理科） I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1. 复数z 满足：()()i 2i 5z --=，则z =( ).A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i +2. 已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B =( ).A ．∅B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x <<3. 设变量y x ,满足约束条件2024x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩, 则目标函数y x z 32+=的最小值为( ).A ．2B ．3C ．4D ．5 4. 已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 ( ).考试时间：120分钟A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l5. 设x y ∈,R ，1a >，1b >，若3x y a b ==，23a b +=，则11xy+的最大值为( ). A ．2B ．32C ．1D ．126. 设()322()log 1f x x x x =+++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的( ).A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，12F F ，是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A B ，分别是12C C ，在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）．A ．2B ．3C ．32D ．628. 在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L 距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L 距离”之和等于定值(大于12||||F F )的点的轨迹可以是( ).A Bx yB AF 1F 2OC D II 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．)二、填空题：(每小题5分，共30分．)9. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 ．10. 已知()0sin cos a x x dx π=+⎰，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数是__________.11. 如图，在ABC 中，3AB =，4BC =，5CA =，点D 是BC 的中点，BE AC ⊥于点E ，BE 的延长线交DEC 的外接圆于点F ，则EF 的长为__________.12. 已知直线l 的参数方程为413x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数) 则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________.13. 如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =， ACD 是等边三角形，则AC BD ⋅的值为__________.14. 已知函数2()ln x f x a x x a =+-，对任意的12[01]x x ∈、，,不等式1)()(21-≤-a x f x f 恒成立，则a 的取值范围为__________.DABCFCE DBA三、解答题：(15—18每小题13分，19—20每小题14分，共80分．)15. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙的得分X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16. 已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若()22Af =,1b =，2c =，求a 的值.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11AAC C ,3AB =，5BC =. (Ⅰ)求证: 1AA ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角111A BC B --的余弦值；(Ⅲ)证明:在线段1BC 存在点D ,使得AD ⊥1A B ,并求1BDBC 的值.18. 椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e .过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8. （Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n nb a S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：32n T <.20. 已知函数()2ln f x x x ax =+-()a R ∈． （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明：()()123ln 24f x f x -≥-+；（Ⅲ）设()()22ln6ax g x f x x +=+，对于任意()2,4a ∈时，总存在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()24g x k a >-成立，求实数k 的取值范围．天津南开中学2015届高三理科数学校模拟试卷参考答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 DBDDCADA二、填空题：9101112131410192-1415372[),e +∞三、解答题：21. 15. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙的得分X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.40.16.已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若()22Af =,1b =，2c =，求a的值.（Ⅱ）22A f =(),则2sin()26A π-=⇒sin()16A π-= …………9分22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈ …………10分又20,3A A ππ<<∴=………………………11分 2222cos 7a b c bc A =+-=…………12分7a ∴=… ……………………13分17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11AAC C ,3AB =，5BC =.(Ⅰ)求证: 1AA ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角111A BC B --的余弦值；(Ⅲ)证明:在线段1BC 存在点D ,使得AD ⊥1A B , 并求1BDBC 的值. 解：（I ）因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC. (II)由（I ）知AA 1 ⊥AC ，AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB ⊥AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz , 则B(0，3，0),A 1(0，0，4),B 1(0，3，4),C 1(4，0，4)，设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(，则1110A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩，令3z =，则0x =，4y =，所以(0,4,3)n =. 同理可得，平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =, 所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |. 由题知二面角．．．．．．A ．1．－．BC ．．1．－．B ．1．为锐角．．．，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (III)设D (,,)x y z 是直线BC1上一点，且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=，33y λ=-，4z λ=.所以(4,33,4)AD λλλ=-.由1·0AD A B =，即9250λ-=.解得925λ=. 因为9[0,1]25∈，所以在线段BC 1上存在点D ， 使得AD ⊥A 1B. 此时，1925BD BC λ==. 41. 42.18.椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e .过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设22c a b =- 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,3,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y +=（Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x2220203331343443434x x y xy x y k y x '+=⇒=-⇒=-⇒=--直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Qx x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*） （*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n nb a S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：32n T <. （Ⅰ）证明：因为()14211n n S n a +=-+，所以当2n ≥时，()14231n n S n a -=-+， 两式相减，得()()()1421232n n n a n a n a n +=---≥，所以()()12121n n n a n a ++=-，即()121221n n a n n a n ++=≥-， 在()14211n n S n a +=-+中，令1n =，得23a =，所以123211232121232553=12123252731n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n n n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---- ，所以()()()1212322n n a a n n n --=---=≥，故数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，且21n a n =-.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()2122n n n S n n -=+⨯=， 当1n =时，1111312T a S ==<； 当1n ≥时，()()()11221121221222222n n nb n n n n n n n na S ===<=-----，所以12311111131312446222222n n T b b b b n n n =++++<+-+-++-=-<-.20.已知函数()2ln f x x x ax =+-()a R ∈．52. （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；53. （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明：()()123ln 24f x f x -≥-+；54. （Ⅲ）设()()22ln6ax g x f x x +=+，对于任意()2,4a ∈时，总存在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()24g x k a >-成立，求实数k 的取值范围．55. 解：()()212120x ax f x x a x x x-+'=+-=>.56.（Ⅰ）当3a =时，()2231x x f x x -+'=，令()0f x '=，有12x =或1x =，57. 当102x <<或1x >时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<.58. 所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.59. （Ⅱ）由于()f x 有两个极值点12,x x ，则2210x a x -+=有两个不相等的实根， 60. 所以12121,22a x x x x +=⋅=，即()122112,2x x a x x +==， 61. 所以()()()()()2212111222112121211121ln ln 1=ln ln221=2ln ln 2014f x f x x x ax x x ax ax x x a x x x x x x x -=+---+-+----++<≤ . 62. 设()()2212ln ln 2014F x x x x x=-++<≤， 63. 则()()223321212022x F x x x x x -'=--=-<， 64. 所以()F x 在(]0,1上单调递减，所以()()31ln 24F x F ==-+，65. 即()()123ln 24f x f x -≥-+.66. （Ⅲ）()()()()2222lnln 2ln +2ln 2ln 662ln +22ln 6ax g x f x x x ax ax x x ax x ax +=+=+-+--=+-- ,67. 所以()24222222a ax x a a g x x a ax ax ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=+-=++， 68. 因为()2,4a ∈，所以2423222a a a a -=->-，且32x ≥，所以2402a x a -+>. 69. 所以()0g x '>，()g x 在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，70. 所以()()()max 22ln 22242ln6g x g a a ==+-+-，71. 所以()()22ln 22242ln 64a a k a +-+->-在()2,4a ∈上恒成立. 72. 令()()()22ln 22242ln 64h a a a k a =+-+---，则()20h =， 73. 则()0h a >在()2,4上恒成立. 74. 因为()()2122211a ka k h a ka a a +-'=-+=++， 75. 当0k ≤时，()0h a '<，()h a 在()2,4上单调递减，()()20h a h <=，不合题意；76. 当0k >时，令()0h a '=，有1ka k-=， 77. 若12k k ->，即103k <<时，()h a 在12,k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，存在，()()20h a h <=，不合题意； 78. 若12k k -≤，即13k ≥时，()h a 在()2,4上单调递增，()()20h a h >=，满足题意.79. 综上，实数k 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
【天津市】2015年南开区一模数学试卷分析
2015年一模数学试卷分析一、命题思想全面了解学生数学学习的过程和结果，评价学生在知识技能、数学思考、问题解决等方面的表现。
通过评价得到的信息，了解学生通过第一轮总复习学习达到的水平和存在的问题，为教师进行总结与反思，进而调整和改进教学内容与教学过程提供数据依据。
命题过程中尽量做到：以教材为依托，落实各项基本要求；以数学为工具，体现知识的应用价值；以能力为导向，关注不同层次学生的发展。
二、考试数据分析1、试卷的结构和内容分布注：一模试卷考核范围为七--九年级上、下册，着重考查了支撑学科知识体系的知识主干内容，以及探究、归纳、推理等数学能力。
难度与中考持平；知识点与二模知识点共同覆盖中考内容。
2、试卷分数一般性统计描述减人数如下表：（90分以上减少8人，90分以下增加309人）要想取得最后的胜利，面临的任务还是挺艰巨的。
3、各类校成绩统计(1)A类校成绩统计(2)B类校成绩统计三、各指标位次情况1.各指标前五位学校统计：（1）平均分前五位学校（2）及格率前五位学校（3）优秀率前五位学校2.A类校成绩统计：（2）高、低分段人数比较3.B类校成绩统计：（1）B类校各阶段均值位次比较（2）高、低分段人数比较但已有所收获。
四、考试后的思考1.在后阶段的复习中依然要重视回归教材，落实基础。
在14届中考试卷中，源于教材的原题6个，分值18分；教材原题变式8个，分值36分；源于教材素材的题5个，分值34分。
在一模试卷中我们为了引导师生回归教材也选取了教材的原题或变式，从答题的情况看，应该还有很大上升空间。
2.阅卷后，每校抽取一本样卷，后删除了样本小于30的。
并针对部分难易程度在7或2的题目答题情况进行统计。
从下表中可以看出各校在落实基础上取得的成绩和存在的问题。
3.计算问题还没有得到根本的解决，算不对、分数不约分等等问题还是困扰学生提高成绩的主要障碍。
第1题：-3+（-5）如此简单的计算只有43中和天大附得分率100%（当然也许个别校的个别学生存在涂卡问题）。
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天津市南开中学2015届高三校模拟数学试卷（理科） I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1. 复数z 满足：()()i 2i 5z --=，则z =( ).A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i +2. 已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B =I ( ).A ．∅B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x <<3. 设变量y x ,满足约束条件2024x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩, 则目标函数y x z 32+=的最小值为( ).A ．2B ．3C ．4D ．5 4. 已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 ( ).A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l5. 设x y ∈,R ，1a >，1b >，若3x y a b ==，a b +=，则11xy+的最大值为( ). A ．2B ．32C ．1D ．126.设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是考试时间：120分钟()()0f a f b +≥的( ).A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，12F F ，是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A B ，分别是12C C ，在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）．ABC ．32D8. 在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L 距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L 距离”之和等于定值(大于12||||F F )的点的轨迹可以是( ).A BC DII 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．)二、填空题：(每小题5分，共30分．)9.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 ．10. 已知()0sin cos a x x dx π=+⎰，则二项式6a x x ⎛ ⎝的展开式中含2x 项的系数是__________.11. 如图，在ABC V 中，3AB =，4BC =，5CA =，点D 是BC 的中点，BE AC ⊥于点E ，BE 的延长线交DEC V 的外接圆于点F ，则EF 的长为__________.12. 已知直线l 的参数方程为413x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数) 则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________.13. 如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =， DFCE DACD V 是等边三角形，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为__________.14. 已知函数2()ln x f x a x x a =+-，对任意的12[01]x x ∈、，,不等式1)()(21-≤-a x f x f 恒成立，则a 的取值范围为__________.三、解答题：(15—18每小题13分，19—20每小题14分，共80分．)15. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙的得分X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16. 已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若()22Af =,1b =，2c =，求a 的值.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11AAC C ,3AB =，5BC =. (Ⅰ)求证: 1AA ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角111A BC B --的余弦值；(Ⅲ)证明:在线段1BC 存在点D ,使得AD ⊥1A B ,并求1BDBC 的值. 18. 椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e .过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由. 19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n b ={}n b 的前n 项和为n T ，证明：32n T <. 20. 已知函数()2ln f x x x ax =+-()a R ∈． （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明：()()123ln 24f x f x -≥-+；（Ⅲ）设()()g x f x =+，对于任意()2,4a ∈时，总存在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()24g x k a >-成立，求实数k 的取值范围．天津南开中学2015届高三理科数学校模拟试卷参考答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 DBDDCADA二、填空题：9101112131410192-1415372[),e +∞三、解答题：21. 15. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙的得分X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率． 22.16.已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若()22Af =,1b =，2c =，求a的值.（Ⅱ）22A f =(),则2sin()26A π-=⇒sin()16A π-= …………9分22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈ …………10分 又20,3A A ππ<<∴=………………………11分2222cos 7a b c bc A =+-=…………12分7a ∴=… ……………………13分17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11AAC C ,3AB =，5BC =.(Ⅰ)求证: 1AA ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角111A BC B --的余弦值；(Ⅲ)证明:在线段1BC 存在点D ,使得AD ⊥1A B , 并求1BDBC 的值. 解：（I ）因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC. (II)由（I ）知AA 1 ⊥AC ，AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB ⊥AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz , 则B(0，3，0),A 1(0，0，4),B 1(0，3，4),C 1(4，0，4)，设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(，则1110A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u rn n , 即34040y z x -=⎧⎨=⎩，令3z =，则0x =，4y =，所以(0,4,3)n =. 同理可得，平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =, 所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |. 由题知二面角．．．．．．A ．1．－．BC ．．1．－．B ．1．为锐角．．．， 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (III)设D (,,)x y z 是直线BC1上一点，且1BD BC λ=u u u r u u u u r. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=，33y λ=-，4z λ=.所以(4,33,4)AD λλλ=-u u u r.由1·0AD A B =u u u r u u u r ，即9250λ-=.解得925λ=. 因为9[0,1]25∈，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B. 此时，1925BD BC λ==. 18.椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e .过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设c = 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y += （Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x220031434x x y y y k y '+=⇒=⇒=⇒=-直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x MP MQ x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--u u u r u u u u r g （*） （*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n b ={}n b 的前n 项和为n T ，证明：32n T <. （Ⅰ）证明：因为()14211n n S n a +=-+，所以当2n ≥时，()14231n n S n a -=-+， 两式相减，得()()()1421232n n n a n a n a n +=---≥， 所以()()12121n n n a n a ++=-，即()121221n n a n n a n ++=≥-， 在()14211n n S n a +=-+中，令1n =，得23a =，所以123211232121232553=12123252731n n n n n n n a a a a aa a a a a a a n n n n n n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----L L ，所以()()()1212322n n a a n n n --=---=≥，故数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，且21n a n =-.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()2122n n n S n n -=+⨯=， 当1n =时，1312T ==<；当1n ≥时，()()()1221121221222222n b n n n n n n n n===<=-----，所以12311111131312446222222n n T b b b b n n n =++++<+-+-++-=-<-L L . 20.已知函数()2ln f x x x ax =+-()a R ∈．23. （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；24. （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明：()()123ln 24f x f x -≥-+；25. （Ⅲ）设()()g x f x =+，对于任意()2,4a ∈时，总存在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()24g x k a >-成立，求实数k 的取值范围．26. 解：()()212120x ax f x x a x x x-+'=+-=>.27.（Ⅰ）当3a =时，()2231x x f x x -+'=，令()0f x '=，有12x =或1x =，28. 当102x <<或1x >时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<.29. 所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.30. （Ⅱ）由于()f x 有两个极值点12,x x ，则2210x ax -+=有两个不相等的实根， 31. 所以12121,22a x x x x +=⋅=，即()122112,2x x a x x +==，32. 所以()()()()()2212111222112121211121ln ln 1=ln ln221=2ln ln 2014f x f x x x ax x x ax ax x x a x x x x x x x -=+---+-+----++<≤ . 33. 设()()2212ln ln 2014F x x x x x=-++<≤，34. 则()()223321212022x F x x x xx -'=--=-<，35. 所以()F x 在(]0,1上单调递减，所以()()31ln 24F x F ==-+，36. 即()()123ln 24f x f x -≥-+.37. （Ⅲ）()()()()22ln 2ln +2ln 2ln 62ln +22ln 6g x f x x x ax ax x ax x ax =+=+-+--=+-- ,38. 所以()24222222a ax x a a g x x a ax ax ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=+-=++， 39. 因为()2,4a ∈，所以2423222a a a a -=->-，且32x ≥，所以2402a x a -+>. 40. 所以()0g x '>，()g x 在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，41. 所以()()()max 22ln 22242ln6g x g a a ==+-+-，42. 所以()()22ln 22242ln 64a a k a +-+->-在()2,4a ∈上恒成立. 43. 令()()()22ln 22242ln 64h a a a k a =+-+---，则()20h =， 44. 则()0h a >在()2,4上恒成立. 45. 因为()()2122211a ka k h a ka a a +-'=-+=++， 46. 当0k ≤时，()0h a '<，()h a 在()2,4上单调递减，()()20h a h <=，不合题意；47. 当0k >时，令()0h a '=，有1ka k-=， 48. 若12k k ->，即103k <<时，()h a 在12,k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，存在，()()20h a h <=，不合题意；49.若12kk-≤，即13k≥时，()h a在()2,4上单调递增，()()20h a h>=，满足题意.50.综上，实数k的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
天津市2014~2015 学年度第二学期南开一模数学答案
关注公众号：《物理小宇宙》获得更多学习资料！ 物理小宇宙，一个有深度的公众号一、选择题2015 南开区一模试卷答案1-5 DBBCB 6-10 DAABC11-12 AB二、填空题13. a 514. K>-1 且 k≠015. x<-216. 1217. 318. （I ）24（II ）如图先过 D 点向下剪出一个三角形放在平行四边形的左边，再在剪去 D 点下面两格的小正方形放在右面，就组成了矩形．三、解答题19.（I ） x>-3（II ） x≤2（III ）关注公众号：《物理小宇宙》获得更多学习资料！（IV）-3<x≤2物理小宇宙，一个有深度的公众号 520.（I ）a=100;b=40%（II ）（III ）2000×40%=800（人）答：估计全校选择“绘画”的学生大约有 800 人21.（I ）连接OC ，过 A 做 AP⊥OC 于 P ，可知 PO=3，AP=4在 Rt△APC 中，AP=4，PC=2，可求得AC= 2 （II ）在 Rt△AGB 中，AG=4，BG=3，所以 AB=5。
因为ABGC 为圆内接四边形，所以∠B+ACG=180°，而∠ACG+∠ACD=180°所以∠B=∠ACD所以sin∠ACD=AD：AC=sinB=AG ：AB=4:522. 解：如图，在 Rt△APC 中，∠APC=90°-65°=25°∴PC=PA·cos∠APC≈80×0.91-72.8（海里）则 PB = PC sin ∠B = 72.8 = 130 海里0.56答：海轮所在的 B 处距离灯塔P 约有 130 海里物理小宇宙，一个有深度的公众号3 3 23. （I ）图标如下（II ）设每个房间每天的定价增加 10x 元，宾馆的最大利润为y 元y=(180+10x-20)(50-x)=-10x 2+340x+8000=-10(x-17)2+10890故当房价定为 180+10×17=350 时，宾馆的利润最大，最大利润为 10890 元24.解：（1）由已知可得∠A ’OE=60°，A ’E=AE由 A’E∥x 轴，得△OA‘E 是直角三角形设 A’的坐标为（0,b ）AE=A’E= b,OE=2b ， 3b + 2b = 2 +所以 b=1，A’的坐标是（0,1）,E 的坐标是（ ，1）（2）因为 A’、E 在抛物线上，所以⎪⎧ 1 = c ⎪⎧ c = 1 ⎨1 = - 1 ( 3)2 + 3b + c ，所以⎨b = 3⎩⎪ 6 ⎩⎪ 6 所以函数关系式为 y = - 1 x 2 + 63x + 1 6 令 y=0 得， x 1 = - x 2 = 2 3 33可知与 x 轴两个交点的坐标为(- 3,0)(23,0)（3）不可能使△A’EF 成为直角三角形∵∠FA’E=∠FAE=60°。
天津市南开区2015届高三上学期一模数学(文)试题 含解析
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1。
i 是虚数单位，复数ii 5225+-=（ ）．（A ）–i （B ）i (C)–2921–2920i （D ）–214+2110i【答案】A 【解析】试题分析：52(52252925(25)(25)29i i i i i ii i ----===-++-)(),故选A .考点:复数的四则运算. 2.已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-4004y y x y x ，，，则目标函数–2z x y =的最小值是（ ）． （A ）0 (B ）–6（C ）–8 （D ）–12【答案】D考点:简单线性规划的应用。
3。
设A,B 为两个不相等的集合，条件()p x A B ∉⋂：， 条件()q x A B ∉⋃：，则p 是q 的（ ）．（A ）充分不必要条件 (B ）充要条件(C)必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析:()p x A B ∉⋂：成立，可能x A ∈或x B ∈,即x A B ∈⋃，所以()q x A B ∉⋃：不成立;反之,()q x A B ∉⋃：成立，则x A ∉且x B ∉，所以()p x A B ∉⋂：成立，故选C .考点：1。
充要条件;2.集合的基本运算。
4。
如图,是一个几何体的三视图,其中主视图、左视图是直角边长为2的等腰直角三角形,俯视图为边长为2的正方形,则此几何体的表面积为（ ）．(A)8+42(B ）8+43（C ）662+ （D ）8+22+23【答案】A 【解析】试题分析:由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P ABCD -，恰为棱长为2正方体的一角。
其表面积为2211222222222842,22S =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=+选A 。
考点:1.三视图2.几何体的结构特征；3。
几何体的表面积。
数学(文)一模答案
天津市五区县2015年高三质量调查试卷（一）数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（1~4）ACBC （5~8） DDBA 二、填空题 （9）3（10）83（11）116（12）(1,2)-（13）1()sin()26g x x π=+（14）1(,1)e或a =0 三、解答题（15）解：（I ）在[50,60)内的频数为8，则80.16n=，即50n =.…………………2分 210.0045010y =⨯=，0.10.040.0160.010.0040.03x =----=. ……6分 （II ）由（I ）知，在[80,90)之间的有5人，分别记为12345,,,,A A A A A ，[90,100]之间的2人，分别记为12,B B .……………………………8分从[80,100]中随机抽取2人的基本事件空间Ω={121314151112,,,,,A A A A A A A A A B A B ，232425212234353132454142515212,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ,}，共21个基本事件. ……………………………10分设事件A =“抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]”，则A 所包含的基本事件为：1121314151122232425212,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B B 共有11个，………12分所求事件的概率为1121P =.……………………………13分 （16）解：（I ）由正弦定理得2cos cos sin 2sin cos sin --=C A A CB B，…………2分 即cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos -=-A B C B C B A B ，所以cos sin sin cos 2sin cos 2cos sin +=+A B A B C B C B ，sin()2sin()+=+A B C B ，…5分而A B C π++=，则sin 2sin =C A ，即sin 2sin =C A ，所以2=ca. ………………7分 （II ）因为2=c a 及2cos 3B =，所以222222272cos 5433b ac ac B a a a =+-=-⋅=，即b =，……………………………10分 因为在ABC ∆中2cos 3B =，则sin B =，由21sin 2∆===ABC S ac B a 求得2=a，所以6b =分 （17）解：（I ）∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，AB BC ⊥，CB ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面ABEF =AB ，∴CB ⊥平面ABEF .…………2分∵AF ⊂平面ABEF ，∴CB ⊥AF . 又∵AF BF ⊥，CB BF =B ，CB ⊂平面CBF ，BF ⊂平面CBF ， ∴AF ⊥平面CBF . …………4分（II ）设DF 的中点为N ，连接MN ，则MN ∥CD ，MN =12CD . 又∵AO ∥CD ，AO =12CD ，∴MN ∥AO ，MN =AO ，∴MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN ………6分又∵AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，∴OM ∥平面DAF .…………8分 （III ）因为AF ⊥平面CBF ，ABEF 为梯形，且AB ⊥CB ，BF 是AB 在平面CBF 内的射影，故BF ⊥CB ，ABF ∠为二面角D BC F --的平面角，故ABF ∠=60.……9分又因为AB =2，所以1BF EF ==且BFE ∠=60，故BFE∆为等边三角形，取BF 的中点H ，连接EH ，MH ，由（I ）知CB ⊥平面ABEF ，CB ⊂平面CBF ，故平面CBF ⊥平面ABEF ，所以EH⊥平面CBF ，MH 为直线EM 在平面CBF 上的射影，所以EMH ∠为直线EM 与平面CBF 所成的角， …………11分在Rt EMH∆中，2EH =，1122MH BC ==，tan EH EMH MH∠==，故直线EM 与平面CBF 分 （18）解：（I ）设l 的方程为1(1)2-=-y k x，即22120-+-=kx y k ；………1分=，解得12=-k ，即:220+-=l x y (4)分令0=x ，得1=y ；令0=y ，得2=x ，即2,1a b ==，所以椭圆1C 的方程为2214x y +=.………7分 （II ）两椭圆的离心率相等，且2C 以1C 的长轴为短轴，则2C ：221416x y +=.……9分因为2OB OA =，即,,O A B 三点共线，而且直线AB 的斜率k 存在，其方程设为y kx =（0k ≠），并设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx =分别代入2214x y +=与221416x y +=可得，221222416,144x x k k ==++；………11分 又2OB OA =，所以22214x x =，解得21k =，1k =-或1k =，从而直线AB 的方程为y x =或y x =-.………13分（19）解：（I ）因为()[1(1ln )]ln f x a x a x '=-+=-，令()0f x '=，得1x =. …2分（1）当0a >时，令()0f x '>，得01x <<，()f x 单调递增；令()0f x '<，得1x >，()f x 单调递减.（2）当0a <时，令()0f x '>，得1x >，()f x 单调递增；令()0f x '<，得01x <<，()f x 单调递减. ………6分综上：0a >时，函数()f x 的单增区间为(0,1)，单减区间为(1,)+∞；0a <时，函数()f x 的单增区间为(1,)+∞，单减区间为(0,1). ………7分（II ）因为()1e (1)ln xf x a x x >---，0x >，所以1e ln x a x x->+恒成立. (9)分令1e ()ln x h x x x -=+，则2(1e )(1)()x x h x x--'=，因为0x >，1e 0x-<，所以01x <<时，()0h x '>，1x >时，()0h x '<.即函数()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减.故max ()(1)1e h x h ==-，只需要1e a >-. ………12分又因为0a ≠，所以实数a 的取值范围是(,0)(,)1e 0-+∞. ………14分（20）解：（I ）在4(21)1n n S n a =++（n *∈N ）中，令1n =有11431a a =+，解得11a =.………………………………2分当2n ≥时，有11(21)1(21)144n n n n n n a n a a S S --++-+=-=-， …………4分 整理得12123n n a n a n --=-，…………5分 从而1211212123312123251n n n n n a a a n n a a n a a a n n -----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=---. ………7分 当1n =时，11a =符合21n a n =-，所求通项公式为21n a n =-. …8分（II ）由()1n n n n n b a a =+得1(21)()2n n b n =-.………………………………9分 则()()23111111135232122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此得()()23411111111352321222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减可得()231111111*********n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()21111112222112212n n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+-- ⎪⎝⎭-()1312322n n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭………………………………………………11分所以()13232nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.…………………………………………………………12分()()1111251112325230222222n n n nn n n T T n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+-=+> ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以{n T }为递增数列，所以当1n =时，n T 最小，最小值为12. ………………14分。
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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·球的体积公式V 球=34πR 3， P (A ∪B )=P (A )+P (B )． 其中R 表示球的半径．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）i 是虚数单位，复数ii5225+-=（ ）． （A ）–i （B ）i （C ）–2921–2920i （D ）–214+2110i （2）已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-4004y y x y x ，，，则目标函数z=x –2y 的最小值是（ ）．（A ）0 （B ）–6 （C ）–8（D ）–12（3）设A ，B 为两个不相等的集合，条件p ：x ∉(A ∩B )， 条件q ：x ∉(A ∪B )，则p 是q 的（ ）．（A ）充分不必要条件（B ）充要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件（4）如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长 为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的 表面积为（ ）．（A ）8+42 （B ）8+43 （C）6+ （D ）8+22+23（5）已知双曲线ax 2–by 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是x –3y=0，它的一个焦点在抛物线y 2=–4x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）． （A ）4x 2–12y 2=1 （B ）4x 2–34y 2=1 （C ）12x 2–4y 2=1 （D ）34x 2–4y 2=1 （6）函数y=log 0.4(–x 2+3x+4)的值域是（ ）．（A ）(0，–2]（B ）[–2，+∞)（C ）(–∞，–2]（D ）[2，+∞)（7）已知函数f (x )=sin ωx –3cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数y=f (x )的图象向左平移6π个单位得到函数y=g (x )的图象，则y=g (x )是减函数的区间为（ ）．（A ）(–3π，0) （B ）(–4π，4π)（C ）(0，3π) （D ）(4π，3π)（8）已知函数f (x )=|mx |–|x –1|（m ＞0），若关于x 的不等式f (x )＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ）．（A ）0＜m ≤1 （B ）34≤m ＜23（C ）1＜m ＜23 （D ）23≤m ＜2主视图左视图俯视图南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）答题纸（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
（9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为．（10）已知公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a2，a5依次成等比数列，则15aa=．（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=．（12）过点(–2，6)作圆x2+(y–2)2=4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为．（13）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=26，PO=8．则BD的长为．（14）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=λAB，AE=λAC．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则OF•CF=．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（15）（本小题满分13分）某高中从学生体能测试结果中随机抽取100名学Array生的测试结果，按体重（单位：kg）分组，得到的频率分布表如右图所示．（Ⅰ）请求出频率分布表中①、②位置相应的数据；（Ⅱ）从第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进行第二次测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二次测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在6名学生中随机抽取2名学生由李老师进行测试，求第4组至少有一名学生被李老师测试的概率？（16）（本小题满分13分）在非等腰△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且a =3，c =4，C=2A ． （Ⅰ）求cos A 及b 的值； （Ⅱ）求cos (3–2A )的值．（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角P-AC-E的余弦值；（Ⅲ）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．（18）（本小题满分13分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n–b1=S1•S n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=b n•log3a n，求数列{c n}的前n项和T n．（19）（本小题满分14分）已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），F为左焦点，原点O 到直线FA 的距离为22b ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，求证：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！设函数f (x )=(x –1)2+a ln x ，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线y=f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x+2y –1=0垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅲ）若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2且x 1＜x 2，求证：f (x 2)＞41–21ln2．南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）数学试卷（文史类）参考答案 2015.04一、选择题：二、填空题：（9）60； （10）9； （11）2500； （12）x –2y +6=0； （13）26； （14）0（16）解：（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理A a sin =B b sin =CCsin ， 得A sin 3=Csin 4， …………2分 因为C=2A ，所以A sin 3=A 2sin 4，即A sin 3=A A cos sin 24，解得cos A=32． …………4分在△ABC 中，由余弦定理a 2=b 2+c 2–2bc cos A ，得b 2–316b+7=0，解得b =3，或b =37． 因为a ，b ，c 互不相等，所以b =37． …………7分（Ⅱ）∵cos A=32，∴sin A=35，∴sin2A=2sin A cos A=954，cos2A=2cos A 2–1=–91， …………11分 ∴cos (3π–2A )=21cos2A+23sin2A=181154-． …………13分（17）解：（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC ．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2． ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ． 又BC ∩PC=C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ． …………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC ⊥平面PBC ，∴AC ⊥CP ，AC ⊥CE ，∴∠PCE 即为二面角P -AC -E 的平面角． …………6分 ∵PC=AB=2AD=2CD=2， ∴在△PCB 中，可得PE=CE=26， ∴cos ∠PCE=CE CP PE CE CP ⋅-+2222=36． …………9分（Ⅲ）作PF ⊥CE ，F 为垂足．由（Ⅰ）知平面EAC ⊥平面PBC ， ∵平面平面EAC ∩平面PBC=CE ， ∴PF ⊥平面EAC ，连接AF ，则∠PAF 就是直线PA 与平面EAC 所成角． …………11分∴sin ∠PAF =PA PF =32， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为32． …………13分（18）解：（Ⅰ）∵a n+1=3a n ，∴{a n }是公比为3，首项a 1=1的等比数列，∴通项公式为a n =3n –1． ………… 2分 ∵2b n –b 1=S 1•S n ，∴当n=1时，2b 1–b 1=S 1•S 1，∵S 1=b 1，b 1≠0，∴b 1=1． ………… 4分 ∴当n ＞1时，b n =S n –S n –1=2b n –2b n –1，∴b n =2b n –1， ∴{b n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列，∴通项公式为b n =2n –1． …………7分（Ⅱ）c n =b n •log 3a n =2n –1log 33n –1=(n –1)2n –1， ………… 8分T n =0•20+1•21+2•22+…+(n –2)2n –2+(n –1)2n –1 ……① 2T n = 0•21+1•22+2•23+……+(n –2)2n –1+(n –1)2n ……②①–②得：–T n =0•20+21+22+23+……+2n –1–(n –1)2n=2n –2–(n –1)2n =–2–(n –2)2n∴T n =(n –2)2n +2． ………… 13分（19）解：（Ⅰ）设F 的坐标为(–c ，0)，依题意有bc=22ab ， ∴椭圆C 的离心率e=a c =22． …………3分 （Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=22，∴椭圆方程为14822=+y x ． …………5分 联立方程组⎩⎨⎧+==+48222kx y y x ，化简得：(2k 2+1)x 2+16kx+24=0， 由△=32(2k 2–3)＞0，解得：k 2＞23 由韦达定理得：x M +x N =12162+-k k …①，x M x N =12242+k …② …………7分 设M (x M ，kx M +4)，N (x N ，kx N +4)，MB 方程为：y=MM x kx 6+x –2，……③ NA 方程为：y=N N x kx 2+x +2，……④ …………9分 由③④解得：y=MN N M N M x x x x x kx -++3)3(2 …………11分=12164)212161224(2222+--++-++k k x x k k k k N N =12164)2128(222++++k k x x k kN N =1即y G =1，∴直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上． …………14分（20）解：（Ⅰ）函数f (x )的定义域为(0，+∞)， …………1分f '(x )=2x –2+xa =x ax x +-222， …………2分∵曲线y=f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x+2y –1=0垂直，∴f '(1)=a=2． …………4分令g (x )=2x 2–2x+a ，则△=4–8a ． ①当△≤0，即a ≥21时，g (x )≥0，从而f '(x )≥0， 故函数f (x )在(0，+∞)上单调递增； …………6分 ②当△＞0，即a ＜21时，g (x )=0的两个根为x 1=2211a --，x 2=2211a -+＞21，当1≥，即a ≤0时，x 1≤0，当0＜a ＜21时，x 1＞0．0＜a ＜21时，函数f (x )在(0，2211a --)，(2211a -+，+∞)单调递增，在(2211a --，2211a-+)单调递减． …………9分。