湖南省五市十校2021届高三上学期第二次大联考数学试卷数学参考答案

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湖南省五市十校2020届高三上学期第二次联考数学(理)试题答案

高三理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.3117 14.F+V －E=2 15.(,1]-∞三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、解：（1）∵ 2222cos 4c a b ab C =+-= ∴ 2c = 故ABC ∆的周长为5. ……………………………………………………………………………… 6分（2） ∵1c o s 4C =且C 为ABC ∆的内角 ∴ sin C =由正弦定理sin sin a c A C =得sin A = ∴ 7c o s 8A =∴11cos()cos cos sin sin 16A C A C A C -=+=…………………………………………………………………………12分 18、解：(1）依题知21()2n n n S a a =+ ……………………………………………………………………………………………………① ∴ 21111()2a a a =+，又0n a > ∴11a = 21111(a a ),n 22n n n S ---=+≥……………………………………………………………………………………………② 由①-②得22111()2n n n n n a a a a a --=-+-∴22111,0n n n n n a a a a a ---+=-->n 且a ,则11n n a a --=∴{}n a 是等差数列，∴1(1)1n a n n =+-⨯=…………………………………………………………………………6分 (2) ∵ 11()()22nnn n b a n ==， ∴2311112()3()222n T n =⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯n 1（）2，∴23411111()2()3()2222n T n =⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯n+11（）2，两式相减得123111111()()()-()22222n n T n +=+++⋅⋅⋅+⨯n1（）2，∴11()112()2(2)()12212nn n n T n n -=-=-+-.…………………………………………………………………………12分 19．解：（1）证明：在梯形ABCD 中，因为0//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，所以2AB =，所以22202cos 603AC AB BC AB BC =+-=，所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE平面ABCD AC =，因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，则())()()0,0,0,,0,1,0,M ,0,1C AB λ，∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-，设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x=，则()11,3,n λ=，．．．．．．．．．．．7分 ∵()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴1212cos 1n n n n θ===+．．．．．．．．．．．．．．10分∵0λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ，当λ=cos θ有最大值12． ∴1cos 2θ⎤∈⎥⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20..解：(1)当l 1与x 轴重合时，k 1＋k 2＝k 3＋k 4＝0，即k 3＝－k 4， ∴l 2垂直于x 轴，得|AB |＝2a ＝23，|CD |＝2b 2a ＝433，得a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 22＝1. --------------------------------------------------------- 4分(2)焦点F 1，F 2坐标分别为(－1，0)，(1，0)，当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(－1，0)或(1，0)， ------------------------------------------- 5分当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝m 1（x ＋1），得(2＋3m 21)x 2＋6m 21x ＋3m 21－6＝0，∴x 1＋x 2＝－6m 212＋3m 21，x 1x 2＝3m 21－62＋3m 21， k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝m 1⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1＋x 2＋1x 2＝m 1⎝⎛⎭⎫2＋x 1＋x 2x 1x 2＝m 1⎝⎛⎭⎫2－2m 21m 21－2＝－4m 1m 21－2， ------------------ 7分同理k 3＋k 4＝－4m 2m 22－2， -------------------------------------------------------------------------------------------- 8分∵k 1＋k 2＝k 3＋k 4，∴－4m 1m 21－2＝－4m 2m 22－2，即(m 1m 2＋2)(m 2－m 1)＝0，由题意知m 1≠m 2，∴m 1m 2＋2＝0 --------------------------------------------------------------------------------- 9分设P (x ，y )，则y x ＋1·y x －1＋2＝0，即y 22＋x 2＝1(x ≠±1)， --------------------------------------------------- 10分又当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(－1，0)或(1，0)也满足此方程， ∴点P (x ，y )在椭圆y 22＋x 2＝1上，存在点M (0，－1)和点N (0，1)，使得|PM |＋|PN |为定值，定值为2 2. ------------------------------ 12分 21、解（1）10,(),x f x a x'>=-………………………………………………………………………1分 ()0,()0+f x f x '>∞若a<0,在（，）上单调递增,3)0,0(),ae x f x =->→→-∞3且f(e 时，此时，f(x)存在唯一零点；………………3分10,x a'==1-ax 若a>0,f (x)=x 11(0,),(),(,),()x f x x f x a a∈∈+∞ m a x1()()l n 4f x f a a∴==-- -4ln 40,a>e a --<当即时，f(x)无零点； -4当-lna-4=0,即a=e 时，f(x)有一个零点；-4当-lna-4>0,即0<a<e 时，f(x)有两个零点。

湖南省五市十校2021届高三上学期第二次大联考化学试题

湖南省五市十校2020年下学期高三年级第二次大联考试题化学可能用到元素的相对原子质量：H 1 O 16 Na 23 Mg 24 S 32 Te 128 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1. 2020年7月23日我国首个火星探测器“天问一号”发射成功。

火星车所涉及的下列材料中属于金属材料的是( )A. 用石墨纤维和硅制成的太阳能电池复合材料B. 温控涂层材料的成分聚酰胺C. 用钛合金做的车轮材料D. 探测仪镜头材料用的二氧化硅2. 设N A 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是( )A. 4120.0g NaHSO 与4MgSO 的固体混合物中含有的离子总数大于2N AB. 含30.1mol CH COONa 的溶液与适量的3CH COOH 混合使溶液的pH 7=，则3CH COO -的个数为0.1N AC. 0.1mol Fe 恰好溶解在100mL 某浓度的硝酸溶液中，该反应转移的电子数为0.3N AD. 标准状况下，22.24L Cl 溶于水转移电子的数目为0.1N A 3. 下列对化学用语的描述中，正确的是( ) A. 羟基与氢氧根离子的电子式都可表示为：B. 2S -的结构示意图：C. 由Na 与Cl 形成NaCl 的过程：D. HClO 的结构式：H Cl O --4. 下列对实验现象解释的方程式中，正确的是( )A. 向醋酸中加入小苏打溶液，产生无色气体：2333222CH COOH CO 2CH COO CO H O --++===↑+ B. 向4NaHSO 溶液中加入足量的2Ba(OH)溶液，得到白色沉淀：224422H SO Ba2OH BaSO 2H O ===+-+-+++↓+ C .向AgCl 悬浊液中滴入2Na S 溶液，生成黑色沉淀：22=2S ==Ag S Ag +-+↓ D. 向铬酸钾溶液中滴入少量浓硫酸，溶液变橙色：2-+2-47222O CrO ()+)2HC O (H r +色黄色橙5. 实验室提纯含少量氯化钠杂质的硝酸钾的过程如图所示，下列分析错误的是( )A. 操作Ⅰ是溶解，操作Ⅱ是蒸发浓缩B. 若从分离出固体的滤液中获得NaCl 晶体，可再降温结晶C. 操作Ⅲ是降温结晶→过滤→洗涤→干燥，使硝酸钾晶体从溶液中分离岀来D. 除去3KNO 中NaCl 的原理是二者溶解度受温度变化影响不同 6. 已知某有机物X 的结构简式如图所示，下列说法正确的是()A. X 属于芳香烃的含氧衍生物B. X 的分子式为10163C H OC. X 分子只含有两种官能团D.X 分子可发生取代、消去、加成、氧化、缩聚反应 7. 二氧化硫—空气质子交换膜燃料电池将化学能转变成电能的同时，实现了制硫酸、发电、环保三位一体的结合，降低了成本提高了效益，其原理如图所示(注：质子指H +，质子交换膜仅允许H +通过)。

湖南省五市十校2020届高三上学期第二次联考数学(文)试题答案

高三文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.12 14.2- 15.75- 16.1010三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.【答案】（1）3A =π；（2）【解析】（1）∵2sin()cos cos 2c A a B b A 5π+=+， ∴2cos cos cos c A a B b A =+，…………2分由正弦定理得，()2sin cos sin cos sin cos sin sin C A A B B A A B C =+=+=， ∴2sin cos sin C A C =，…………4分又0C <<π，∴sin 0C ≠，∴1cos 2A =，…………5分又0A <<π，∴3A =π.…………6分（2）设ABC △外接圆的半径为R ，则1R =，2sin a R A ==8分由余弦定理得()22222cos33a b c bc b c bc π=+-=+-，…………9分即3273bc =-，8bc ∴=，……………10分ABC ∴∆的面积11sin 822S bc A ==⨯=。

…………12分 18.【答案】（1）12n n a -=；（2）()12326n n +-⋅+ 【解】（1）当1n =时，111211a S ==-=；…………1分当2n ≥时，()()11112121222n n n n n n n n a S S ----=-=---=-=.…………3分11a =也适合12n n a -=，因此，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=；…………5分（2）21282n n n n b b a ++-==Q ，在等式两边同时除以12n +得11222n n n n b b ++-=，且112b =. 所以，数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，…………6分()121212nnb n n ∴=+-=-，…………7分 ()212n n b n ∴=-⋅.…………8分()123123252212n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅L ， ()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，…………9分上式-下式得()12312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅L ()()()31112122212322612n n n n n -++-=+--⋅=-⋅--，…………11分因此，()12326n n T n +⋅=-+。

2021年湖南省“五市十校教研教改共同体”高考数学大联考试卷(5月份)(附答案详解)

2021年湖南省“五市十校教研教改共同体”高考数学大联考试卷（5月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.(2021·湖南省·模拟题)设集合A={0,2，4}，B={x|x2−mx+n=0}，若A∪B={0,1，2，3，4}，则m+n的值是()A. 1B. 3C. 5D. 72.(2019·广东省惠州市·单元测试)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是()A. 0.72B. 0.8C. 89D. 0.93.(2021·湖南省·模拟题)设a，b，m为实数，给出下列三个条件：①a3>b3；②am2>bm2；③1a <1b，其中使a>b成立的充分不必要条件是()A. ①B. ②C. ③D. ①②③4.(2021·湖南省·模拟题)算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠(简称上珠)代表5，下面一粒珠(简称下珠)代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，且往上拨2粒下珠，则算盘表示的数的个数为()A. 9B. 18C. 27D. 365.(2021·湖南省·模拟题)F1、F2分别是双曲线x22−y24=1的左、右焦点，过F1的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若AF2⊥BF2，|AF2|=|BF2|，则|AF2|=() A. 2 B. 2√2 C. 4 D. 4√26. (2021·湖南省·模拟题)已知|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,m ⃗⃗⃗ =a ⃗ +t b ⃗ ，设函数f(t)=|m ⃗⃗⃗ |，当t =√34时，f(t)取得最小值，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为( ) A. √3B. −√3C. √32 D. −√327. (2021·湖南省·模拟题)已知(1+x)7=a 0+a 1(x −1)1+a 2(x −1)2+⋯+a 7(x −1)7，则a 0+a 3=( )A. 688B. 161C. 129D. 228. (2021·江西省九江市·模拟题)已知a =x 13，b =(13)x ，c =log 13x ，则下列说法正确的是( )A. 当a =b 时，c <aB. 当b =c 时，a <cC. 当a =c 时，b <aD. 当c =0时，a <b二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. (2021·重庆市市辖区·模拟题)关于函数f(x)=1x +1x+1，的结论正确的是( )A. f(x)在定义域内单调递减B. f(x)的值域为RC. f(x)在定义域内有两个零点D. y =f(x −12)是奇函数10. (2021·湖南省·模拟题)设复数z 1，z 2满足z 1+z 2=0，则( )A. z 1−=z 2 B. |z 1|=|z 2|C. 若z 1(2−i)=3+i ，则z 1z 2=−2iD. 若|z 1−(1+√3i)|=1，则1≤|z 2|≤311. (2021·湖南省·模拟题)已知函数f(x)=e x +acosx ，f′(x)是f(x)的导函数，则下列说法正确的是( )A. 当a =−1时，f(x)在(0,+∞)单调递增B. 当a =−1时，f(x)在(0,f(0))处的切线为x 轴C. 当a =1时，f′(x)在[0,+∞)上无零点D. 当a =1时，f(x)在(−3π2,−π)存在唯一极小值点12. (2021·湖南省·模拟题)在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 为菱形，AB =2，AA 1=1，∠BAD =π3，则下列结论正确的是( )A. 直线AC 1⊥平面A 1BDB. 直线DB 1与平面C 1CDD 1所成角的正切值为√62C. 过A 1D 作与AC 1平行的平面A 1DG ，则平面A 1DG 截直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的截面面积为√102D. 点E 为棱B 1C 1上任意一点，直线AA 1与直线BE 所成角的正切值的取值范围是[0,2]三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·重庆市市辖区·单元测试)若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______．14. (2021·湖南省·模拟题)已知sin(π8−α)=13，则sin2α+cos2α= ______ ． 15. (2021·湖南省·模拟题)已知函数f(x)=lnx ，数列{a n }是公差为2的等差数列，且a n =f(x n )，若x 1+x 2+x 3+⋯+x 10=e ，则ln(x 11+x 12+x 13+⋯+x 20)= ______ ．16. (2021·湖南省·模拟题)函数f(x)的定义域为D ，对D 内的任意x 1、x 2，当x 1<x 2时，恒有f(x 1)≤f(x 2)，则称f(x)为非减函数.已知f(x)是定义域为[0,1]的非减函数，且满足：①对任意x ∈[0,1]，f(1−x)+f(x)=2.②对任意x ∈[0,14]，f(x)≥4x.则f(47)+f(58)的值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (2021·湖南省·模拟题)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n ，数列{b n }满足b 1=1，b n+1−b n =2⋅3n−1．(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式； (2)记c n =(−1)n (a n +1)n(n+1)+log 3(b n +1−b n )，求数列{c n }的前n 项和T n ．18. (2021·江西省新余市·模拟题)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积为S ，且b(asinA +csinC −bsinB)=3S ． (1)求cos B 的值；(2)若a、b、c成等比数列，且△ABC的面积是√7，求△ABC的周长．219.(2021·湖南省·模拟题)如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=2，DE=BF，BF//DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BMD//平面EFC；(2)若ED⊥平面ABCD，BM⊥CF，求二面角E−AF−B的余弦值．20.(2021·湖南省·模拟题)某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况，从两个方面进行了调查统计，一是产品的质量参数x，二是产品的使用时间t(单位：千小时)，经统计分析，质量参数x服从正态分布N(0.8,0.0152)，使用时间t与质量参数x之间有如下关系：(1)该地监管部门对该公司的该产品进行检查，要求质量参数在0.785以上的产品为合格产品.现抽取20件该产品进行校验，求合格产品的件数的数学期望； (2)该公司研究人员根据最小二乘法求得线性回归方程为t =2.92x +0.76，请用相关系数说明使用时间t 与质量参数x 之间的关系是否可用线性回归模型拟合．附：参考数据：x −=0.8,t −=3.1,∑x i 27i=1=4.55,∑t i 27i=1=67.88,√0.115=0.339．若ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)=0.6828，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544参考公式：相关系数r =n i=1i −i −√∑(ni=1x i −x −)2∑(n i=1t i −t −)2；回归直线方程为t ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=∑(n i=1x i −x −)(t i −t −)∑(n i=1x i −x −)2,a ̂=y −−b ̂x −．21. (2021·江西省抚州市·模拟题)已知椭圆x 216+y29=1，A 是椭圆的右顶点，B 是椭圆的上顶点，直线l ：y =kx +b(k >0)与椭圆交于M 、N 两点，且M 点位于第一象限． (1)若b =0，证明：直线AM 和AN 的斜率之积为定值； (2)若k =34，求四边形AMBN 的面积的最大值．22.(2021·湖南省·模拟题)已知函数f(x)=(x+1)lnx．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：ln21+ln76+⋯+ln(n2−2)n2−3+2n>32(n≥2,n∈N∗)．答案和解析1.【答案】D【知识点】并集及其运算【解析】解：∵A={0,2，4}，B={x|x2−mx+n=0}，A∪B={0,1，2，3，4}，∴B={1,3}，∴x=1，3是方程x2−mx+n=0的两实根，∴根据韦达定理，{m=1+3n=1×3，∴m+n=7．故选：D．根据题意可得出B={1,3}，然后根据韦达定理即可求出m，n的值，进而得出m+n的值．本题考查了一元二次方程最多有2个实根，并集及其运算，韦达定理，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【知识点】条件概率【解析】解：设一批种子的发芽率为事件A，则P(A)=0.9，出芽后的幼苗成活率为事件B，则P(B)=0.8，∴这粒种子能成长为幼苗的概率P=P(A)P(B)=0.9×0.8=0.72．故选：A设一批种子的发芽率为事件A，则P(A)=0.9，出芽后的幼苗成活率为事件B，则P(B)= 0.8，根据条件概率公式计算即可，本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．3.【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】解：a3>b3⇔a>b，∴①错误，由am2>bm2能推出a>b，但是由a>b当m=0时，则推不出am2>bm2，故②正确，当a=−2，b=4时，则1a <1b成立，但a>b不成立，∴1a<1b不是a>b的充分不必要条件，∴③错误，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4.【答案】B【知识点】两个计数原理的综合应用【解析】解：根据珠算的运算法则以及题干中描述的操作，从个、十、百上珠中选1粒往下拨，则有C31种，下珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百，即C31种，或者来自个、十、百中的两个，即C32种，故算盘表示的数的个数为C31(C31+C32)=18．故选：B．利用分类计数原理和分步计数原理求解即可．本题考查了组合以及两个计数原理的应用，考查的核心素养为逻辑推理，属于基础题．5.【答案】C【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：双曲线x22−y24=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的左，右两支于点A，B.若AF2⊥BF2，且|AF2|=|BF2|，如图：设|AF2|=|BF2|=m，由定义|BF1|=m+2√2=√2m+|AF1|，|AF1|=m−2√2，所以m=4，所以|AF2|=4，故选：C．利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题．6.【答案】D【知识点】向量的数量积【解析】解：因为|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,m ⃗⃗⃗ =a ⃗ +t b ⃗ ，所以f(t)=|m ⃗⃗⃗ |，当t =√34时，f 2(t)=|m ⃗⃗⃗ |2=(a ⃗ +t b ⃗ )2=1+2t a ⃗ ⋅b ⃗ +4⋅t 2，当t =−2a ⃗ ⋅b ⃗ 2⋅4=√34，即a ⃗ ⋅b ⃗ =−√3时，f 2(t)取得最小值，于是f(t)取得最小值，所以a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅b⃗ |b⃗ |=12⋅a ⃗ ⋅b ⃗ =−√32，故选：D ．先根据二次函数取最小值，确定a ⃗ ⋅b ⃗ 值，再用向量投影定义求解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．7.【答案】A【知识点】二项式定理【解析】解：∵(1+x)7=a 0+a 1(x −1)1+a 2(x −1)2+⋯+a 7(x −1)7，即[2+(x −1)]7=a 0+a 1(x −1)1+a 2(x −1)2+⋯+a 7(x −1)7，令x =1可得：a 0=27=128，a 3=C 73×24=560，∴a 0+a 3=688，故选：A ．根据[2+(x −1)]7=(1+x)7，再结合二项式定理即可求解结论．本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．8.【答案】C【知识点】对数函数及其性质【解析】解：分别作出a =x 13，b =(13)x ，c =log 13x 的图像，对于A ，当a =b 时，x 13=(13)x ，交点为P ，此时c =log 13x 在上方，c >a ，错误；对于B ，当b =c 时，(13)x =log 13x ，交点为R ，此时a =x 13在上方，a >c ，错误；对于C ，当a =c 时，x 13=log 13x ，交点为Q ，此时b =(13)x 在下方，b <a ，正确；对于D ，当c =0时，为S 点，此时a =x 13在b =(13)x 上方，错误．故选：C ．由题意，分别作出a =x 13，b =(13)x ，c =log 13x 的图像，逐一判断各个选项即可得解．本题主要考查了函数的性质及其应用，考查了数形结合思想，属于中档题．9.【答案】BD【知识点】函数的奇偶性【解析】解：f(x)=1x +1x+1的定义域为(−∞,−1)∪(−1,0)∪(0,+∞)，而1x 和1x+1在各段定义域内均为减函数，故f(x)在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误；当x <−1时，x →−∞时，有f(x)=1x +1x+1→0，因为f(x)单调递减，故f(x)在x <−1时的值域(−∞,0)；当x ∈(−1,0)时，有f(−12)=0，因为f(x)单调递减，故f(x)在−1<x <0时的值域R ；当x >0时，x →+∞时，f(x)→0，因为f(x)单调递减，故f(x)在x >0时的值域(0,+∞)；所以f(x)的值域为R ，故B 正确；令f(x)=1x +1x+1=2x+1x 2+x =0，可得x =−12，所以f(x)在定义域内有一个零点，故C 错误；y =f(x −12)=1x−12+1x+12=2x x 2−14=8x4x 2−1，令g(x)=8x 4x 2−1，易知x ≠±12，此时定义域关于原点对称，且g(−x)=−8x4x 2−1=−g(x)，故g(x)为奇函数，所以y =f(x −12)是奇函数，故D 正确，故选：BD ．根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断，即可得解．本题综合考查了函数的单调性，奇偶性，零点及函数值域的求解，解题的关键是函数性质的灵活应用，属于中档题．10.【答案】BCD【知识点】复数的模、复数的四则运算【解析】解：设复数z1=a+bi，z2=c+di，(a,b，c，d∈R)，∵z1+z2=0，∴a+c+(b+d)i=0，∴a=−c，b=−d，∴z1−=a−bi=−c+di≠z2，|z1|=√a2+b2=√c2+d2=|z2|，因此A不正确，B 正确．z1(2−i)=3+i，z1=3+i2−i =(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=6−1+5i5=1+i，∴z2=−1−i，则z1z2=(1+i)(−1−i)=−2i.因此C正确．∵|z1−(1+√3i)|=1，∴z1对应的点Z1的轨迹是以C(1,√3)为圆心，1为半径的圆，|OC|=√12+(√3)2=2，∴2−1≤|z2|≤2+1，即1≤|z2|≤3.因此D正确．故选：BCD．设复数z1=a+bi，z2=c+di，(a,b，c，d∈R)，根据z1+z2=0，可得a+c+(b+d)i= 0，a=−c，b=−d，利用复数的运算法则、模的计算公式、几何意义即可判断出正误．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】ACD【知识点】利用导数研究函数的极值【解析】解：当a=−1时，f(x)=e x−cosx，则f′(x)=e x+sinx，∵当x∈(0,+∞)时，e x>1，−1≤sinx≤1，则f(x)=e x+sinx>0恒成立，故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，故A正确；f(0)=e0+sin0=1，f′(0)=0，故f(x)在(0,f(0))处的切线方程为：y=x，故B错误；当a=1时，f(x)=e x+cosx，故f′(x)=e x−sinx，令φ(x)=e x−sinx，则φ′(x)=e x−cosx>0，故φ(x)=e x −sinx 在[0,+∞)单调递增，即f′(x)在[0,+∞)上单调递增，f′(x)≥f′(0)=1，故f′(x)在[0,+∞)上无零点，故C 正确，当x ∈(−3π2,−π)时，f′(x)在(−3π2,−π)递增，又f′(−3π2)=e −3π2−1<0，而f′(−π)=e −π>0，由零点存在定理得：存在唯一x 0∈(−3π2,−π)，使得f′(x 0)=0，当x ∈(−3π2,x 0)时，f′(x 0)<0，故函数f(x)在(−3π2,−π)递减，当x ∈(x 0,−π)时，f′(x 0)>0，故函数f(x)在(x 0,−π)递增，从而f(x)在(−3π2,−π)上存在唯一的极小值点x 0，故D 正确；故选：ACD ．代入a =−1，求出函数的导数，判断函数的单调性即可判断A ，计算f(0)，f′(0)，求出切线方程判断B ，代入a =1，求出函数的导数，根据函数的单调性判断C ，D 即可．本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查转化思想，是中档题．12.【答案】BCD【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、命题及其关系、异面直线所成角、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征【解析】解：连接AC ，BD 交于点O ，连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1， ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，又四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，∴OO 1⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的正方向为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系：则A(√3,0,0)，B(0,1，0)，C(−√3,0,0)，D(0,−1,0)，A 1(√3,0,1)，B 1(0,1，1)，C 1(−√3,0,1)， ∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,0,1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,−1)，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6−1=5≠0，即AC 1不垂直于A 1B ，∴AC 1与平面A 1BD 不垂直，故选项A 错误；DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，设平面CC 1D 1D 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −y =0，令x =1，则y =√3,z =0，∴n ⃗ =(1,√3,0)，设直线DB 1与平面C 1CDD 1所成角为θ，则sinθ=|DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√32√5=√155，∴tanθ=√62，故选项B 正确；连接A 1D 交AD 1与M ，取C 1D 1中点H ，连接MH ，由直四棱柱特点知：四边形ADD 1A 1为矩形，∴M 为AD 1中点，∴MH//AC 1，又MH ⊂面A 1DH ，AC 1⊄面A 1DH ，∴AC 1//面A 1DH ，过A 1D 作平面A 1DG//AC 1，面A 1DG 截直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1所得的截面为A 1DH ，在△A 1DH 中，由余弦定理得：A 1H 2=4+1−4cos2π2=7，∴A 1H =√7，又A 1D =√4+1=√5，DH =√1+1=√2，∴A 1D 2+DH 2=A 1H 2，∴A 1D ⊥DH ， ∴S △A 1DH =12A 1D ⋅DH =√102，即所求截面面积为√102，故选项C 正确；设E(x,y ，1)，且B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，又B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −1,0)，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)，∴x =−√3λ,y =1−λ，∴E(−√3λ,1−λ,1)，设直线AA 1与BE 所成角为θ， ∴cosθ=|cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4λ2+1，∴tanθ=2λ，又因为λ∈[0,1]，∴tanθ∈[0,2]，故选项D 正确．故选：BCD ．连接AC ，BD 交于点O ，根据垂直关系可以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；由向量坐标运算可求得AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，知线线垂直不成立，由此线面垂直不成立，A 错误；利用线面角的向量求法可求得所求角的正弦值，由同角三角函数可求得正切值，B 正确；连接A 1D 交AD 1于M ，取C 1D 1中点H 吗，由线面平行的判定知AC 1//平面A 1DH ，可知所求截面为△A 1DH ，根据长度关系可求得面积，C 正确；设B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，可利用λ表示出E 点坐标，由线线角的向量求法可求得所求角的余弦值，进而得到正切值，即可判断D 正确．本题考查了空间中线与面的位置关系，空间中的动点问题，以及空间向量与立体几何的综合应用，属于中档题．13.【答案】8√33π【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】【分析】本题考查圆锥的基础知识，属于基础题．利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出圆锥底面半径，再求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为：4π，所以底面半径为2，又母线长为4 则圆锥的高为2√3；圆锥的体积为：13π⋅22×2√3=8√33π. 故答案为：8√33π.14.【答案】7√29【知识点】二倍角公式及其应用、两角和与差的三角函数公式【解析】解：因为sin(π8−α)=13，所以cos(π4+2α)=1−2sin 2(π8−α)=1−2×19=79，又cos(π4+2α)=√22(sin2α+cos2α)=79，所以sin2α+cos2α=7√29．故答案为：7√29．由已知利用二倍角的余弦公式可求cos(π4+2α)的值，进而根据两角和的余弦公式即可求解．本题主要考查了二倍角的余弦公式，两角和的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.【答案】21【知识点】等差数列的通项公式【解析】解：因为a n =f(x n )=lnx n ，所以x n =e a n ，x n+1x n=e a n+1−a n =e 2，所以数列{x n }是公比为e 2的等比数列，若x 1+x 2+x 3+⋯+x 10=e ，则ln(x 11+x 12+x 13+⋯+x 20)=lne 21=21．故答案为：21．由已知结合等差数列与等比数列的性质及通项公式即可求解．本题主要考查了等差与等比数列的性质的应用，属于基础题．16.【答案】2【知识点】函数的性质、抽象函数【解析】解：∵对任意x ∈[0,1]，f(1−x)+f(x)=2， ∴f(1−12)+f(12)=2f(12)=2，得f(12)=1，当x =38时，f(1−38)+f(38)=f(58)+f(38)=2，∵对任意x ∈[0,14]，f(x)≥4x ∴当x =14时，f(14)≥4×14=1， ∵已知f(x)是定义域为[0,1]的非减函数， ∴当x 1<x 2时，恒有f(x 1)≤f(x 2)，当14≤x ≤12时，f(14)≤f(x)≤f(12)=1，即此时f(x)=1为常数函数，则f(37)=1，f(38)=1，则f(58)=2−f(38)=1，f(47)=2−f(37)=2−1=1，则f(47)+f(58)=1+1=2．故答案为：2根据条件利用赋值法先求出f(12)=1，然后利用函数的单调性和取值范围得到当14≤x ≤12时，f(x)=1为常数函数，然后根据条件进行转化求解即可．本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数的单调性得到当14≤x ≤12时，f(x)=1为常数函数是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：(1)∵S n =n 2+n ，∴a 1=S 1=2，n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2+n −[(n −1)2+n −1]=2n ， n =1时符合上式通项，∴a n =2n ，又b n+1−b n =2⋅3n−1，∴b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=2⋅3n−2+2⋅3n−3+⋯+2⋅30+1=3n−1，即b n =3n−1； (2)∵c n =(−1)n (a n +1)n(n+1)+log 3(b n +1−b n )，∴c n =(−1)n (2n +1)n(n +1)+log 3(3n −3n−1)=(−1)n ⋅1n −(−1)n+1⋅1n+1+n −1+log 32，∴T n =(−1)1⋅11−(−1)n+1⋅1n +1+0+n −12⋅n +nlog 32=−1−(−1)n+1n+1+n 2−n 2+nlog 32，即数列{c n}的前n项和T n=−1−(−1)n+1n+1+n2−n2+nlog32．【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(1)利用a n=S n−S n−1求出a n，再利用累加法求出b n；(2)将c n裂项为(−1)n⋅1n −(−1)n+1⋅1n+1+n−1+log32，即可求出数列{c n}的前n项和T n．本题考查了数列求通项，裂项相消法求数列和，其中对于裂项的考查较为灵活，计算量较大，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为b(asinA+csinC−bsinB)=3S=312acsinB，所以b(a2+c2−b2)=3×12acb，即a2+c2−b2=3ac2，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =34；(2)由题意得b2=ac，S=12acsinB=12×√74ac=√78ac=√72，所以ac=4，b=2，又a2+c2−b2=3ac2=6，所以a2+c2=10，所以(a+c)2−2ac=10，所以a+c=3√2，△ABC的周长a+b+c=3√2+4．【知识点】正弦定理【解析】(1)由已知结合正弦定理及三角形面积公式先进行化简，然后结合余弦定理可求cos B；∖(2)由等比中项性质及三角形面积公式可求ac，b，然后求出a+c，进而可求．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：连接AC交BD于O，连接MO．∵ABCD为正方形，∴O是AC的中点，又M是AE的中点，∴在△AEC中，MO//EC，又BF//DE且BF=DE，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD//EF ，∴平面BMD//平面EFC ．(2)∵ED ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，∴以D 为空间坐标系原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标D −xyz ，设DE =BF =t ，则B(2,2，0)，M(1,0，t2)，C(0,2，0)，F(2,2，t)， BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,t 2)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，t)， ∵BM ⊥CF ，∴BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+t 22=0，解得t =2，∴E(0,0，2)，F(2,2，2)，A(2,0，0)，B(2,2，0)， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，设平面AEF 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0n ⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,−1,1)，平面ABF 的法向量m⃗⃗⃗ =(1,0，0)，设二面角E −AF −B 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3=√33， ∴二面角E −AF −B 的余弦值为√33．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、面面平行的判定【解析】(1)连接AC 交BD 于O ，连接MO ，证明MO//EC ，结合BF//DE 说明四边形BDEF 是平行四边形，推出BD//EF ，即可证明平面BMD//平面EFC ．(2)以D 为空间坐标系原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标D −xyz ，利用向量法能求出二面角E −AF −B 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．20.【答案】解：(1)一件产品的质量参数在0.785以上的概率P =1−1−0.68282=0.8414，设抽取20件该产品中为合格产品的件数为X ，则X ～B(20,0.8414)，所以E(X)=20×0.8414=16.828；(2)由题意，∑(7i=1x i −x −)2(t i −t −)=∑(7i=1x i −0.8)(t i −3.1)=0.205，∑(7i=1x i −x −)2=∑x i 27i=1−2x −∑x i 7i=1+∑x −27i=1=4.55−2×0.8×7×0.8+7×0.82=0.07，同理∑(7i=1t i −t −)2=67.88−2×3.1×7×3.1+7×3．12=0.61，所以r =n i=1i −i −√∑(ni=1x i −x −)2∑(n i=1t i −t −)2=√0.07×0.61=√0.0427≈0.992，因为r 接近1，故时间t 与x 之间可以用线性回归拟合．【知识点】正态曲线及其性质【解析】(1)先根据正态分布求出一件产品的质量参数在0.785以上的概率，然后利用二项分布的数学期望计算公式求解即可；(2)根据参考数据求出相关系数，最后根据相关系数的值进行判断，即可得到答案．本题考查了离散型随机变量数学期望的求解，二项分布的应用，正态分布的应用以及相关系数的求解，考查了运算能力，属于中档题．21.【答案】(1)证明：设M(x 1,y 1)，则N(−x 1,−y 1)，∵A(4,0)，B(0,3)，∴k AM =y 1x1−4,k A N =y 14+x 1，∵M(x 1,y 1)在椭圆上，∴y 12=916(16−x 12)， ∴k AM ⋅k AN =y 12x 12−16=916⋅16−x 12x 12−16=−916为定值．(2)解：设l ：y =34x +b ，依题意：k >0，M 点在第一象限，∴−3<b <3，联立：{y =34x +b x 216+y 29=1得：9x 2+12bx +8b 2−72=0，∴x 1+x 2=−4b 3,x 1⋅x 2=89b 2−8，设A 到l 的距离为d 1，B 到l 的距离为d 2， ∴d 1=|12+4b|5=45⋅|3+b|=45(3+b),d 2=|−12+4b|5=45⋅|b −3|=45(3−b)，∴d 1+d 2=245．又∵|MN|=√1+916⋅|x 1−x 2|=54√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=54√−169b 2+32≤5√2(当b =0时取等号)，∴S ANBN =12|MN|⋅(d 1+d 2)≤12⋅5√2⋅245=12√2．故四边形AMBN 的面积的最大值为12√2．【知识点】直线与椭圆的位置关系【解析】(1)首先写出直线的斜率表达式，然后结合点在椭圆上即可证得题中的结论；(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，得到点A，B到直线的距离，然后结合均值不等式和图形的特征即可求得面积的最大值．本题主要考查椭圆中的定值问题，直线与椭圆的位置关系，椭圆中四边形面积的最值问题与求解方法等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=(x+1)lnx，f(1)=0，f′(x)=lnx+x+1x，f′(1)=2，∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为：y−0=2(x−1)，∴y=2(x−1)；(2)证明：令ℎ(x)=(x+1)lnx−2(x−1)，x∈(0,+∞)，则ℎ′(x)=lnx+x+1x −2=lnx+1x−1=u(x)，u′(x)=1x −1x2=x−1x2>0，∴函数u(x)在x∈(1,+∞)单调递增，∴ℎ′(x)=u(x)>u(1)=0，∴函数ℎ(x)在x∈(1,+∞)单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(1)=0．∴当x>1时：(x+1)lnx>2(x−1)，令x=n2−2，则化为：ln(n2−2)n2−3>2n2−1=1n−1−1n+1，∴ln21>1−13，ln76>12−14，ln1412>13−15，……，ln(n2−2)n2−3>2n2−1=1n−1−1n+1，∴ln21+ln76+ln1412+⋯+ln(n2−2)n2−3>1+12−1n−1n+1>32−2n，n≥2，n∈N∗，∴ln21+ln76+⋯+ln(n2−2)n2−3+2n>32(n≥2,n∈N∗)．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的几何意义【解析】(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程即可；(2)求出(x+1)lnx>2(x−1)，令x=n2−2，则化为：ln(n2−2)n2−3>2n2−1=1n−1−1n+1，利用累加求和即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、累加求和方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

湖南省五市十校2021届高三上学期第二次大联考数学试题(含答案解析)

姓名__________ 准考证号____________________（在此卷上答题无效）绝密★启用前湖南省五市十校2020年下学期高三年级第二次大联考试题2020.12命题：宁乡一中雷锋学校东山学校本试卷共4页。

全卷满分150分,考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动•用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时•将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数Z= 亍+2i,则IZl =Λ.0 B. 1 C.√2 D. 22.已知 SinG＞0,COS（@—兀）＞0,则 0是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.设等差数列仏＞的公差为厶仇=2■则是为递减数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充耍条件D.既不充分也不必耍条件4.陈镜开（1935〜2010）,新中国举重运动员.1956年在上海举行的“中苏举垂友谊赛”中，他以133 公斤的成绩，打破美国运动员C・温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录. 1956〜1964年期间•在上海、北京、英斯科、莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破眾轻量级和次轻量级挺举世界纪录.举重比赛挺举项目中，运动员对所要重虽冇3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重员的比赛，才冇资格进人下轮所耍更大重量的比赛.结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0. 6（每次试举之间互不影响）・则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的槪率是A.0. 784B. 0. 84C. 0. 904D. 0. 9365.已知直线Z：^+J-I=0,圆C S（^-I）2 + ⅛-2）2 = 8,则圆C上到直线/的距离为√T的点共有A. 1个 B 2个 C. 3个 D. 4个6.原油作为“工业血液”、“黑色黃金”,其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油网次,这段时间燃油价格有升有降.现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升,第二种方案是每次加油200元、则下列说法正确的是A.第一种方案更划算B.第二种方案更划算C.两种方案一样D.无法确定7. 如图，在半径为2的扇形AOB 中，ZA0B = ¥，P 是弧∕∖B 上的一个三等分点.M ∙N 分别是线段OA,OB±的动点.则页？ •两的最大值为 A.√2 B. 2 C.4D.4√28. 函数/(-2∙) = 7⅛T+ 2COS (^)在区间［一2.4］上的所有零点的和为二、多项选择题：本题共4小題，每小题5分，共20分。

湖南省五市十校教研教改共同体2021-2022学年高三上学期12月第二次大联考数学试题

C．平面A1BE与平面CDD1C1所成锐二面角的正切值为
D．过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为
三、填空题
13．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“五经”是儒家典籍《周易》､《尚书》､《诗经》､《礼记》､《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在最后1节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有___________种．
B．在上单调递增
C．在内有2个零点
D．在上的最大值为
11．早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）
由双曲线方程知：实半轴长，虚半轴长，且，
设圆与分别切于，如下图所示：
由圆的切线性质知：，，
由双曲线定义知：，即，
设，则，解得：，
由切线性质可知：与横坐标都为，
由三角形内切圆的性质知：为的角平分线，
设直线的倾斜角为，则，
，
，
双曲线渐近线为：，其倾斜角分别为和，
（1）某时间段内来院就诊的5名发热病人中，恰有3人感染新型冠状病毒的概率是多少？
（2）治疗重症病人需要使用呼吸机，若该呼吸机的一个系统G由3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作．为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p（），且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？

2021届湖南省五市十校教研教改共同体高三上学期10月大联考数学试卷及答案

2021届湖南省五市十校教研教改共同体高三上学期10月大联考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷共4页,22题。

全卷满分150分,考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填入相应位置内。

2.客观题请用2B 铅笔填涂在答题卡上,主观题用黑色的签字笔书写在答题卡上。

3.考试结束时,只交答题卡,试卷请妥善保管。

一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|x>3},B ＝{x|0<x ≤2},则A ∩(R B)＝A.{x|2<x<3}B.{x|x>3}C.{x|x>2}D.{x|x ≤0}2.已知12a i i+-＝i(i 为虚数单位,a ∈R),则a ＝ A.－2 B.－1 C.1 D.23.已知tan α＝－13,则2cos sin cos ααα-+的值为 A.－3 B.－34 C.－43 D.344.已知a ＝123,b ＝12log 3,c ＝(12)3,则 A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b5.已知{a n }是公差为1的等差数列,且a 4是a 1与a 10的等比中项,则a 1＝A.0B.1C.3D.26.曲线y ＝x －x 2在点(1,0)处的切线方程是A.x －2y －1＝0B.x ＋2y －1＝0C.x －y －1＝0D.x ＋y －1＝07.已知a,b 为单位向量,且(2a －b)⊥b,则|a －2b|＝- 2 - 8.已知曲线C 1：y ＝sin(2x －3π),C 2：y ＝cosx,则下面结论正确的是 A.先将曲线C 2向左平移3π个单位长度,再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标保持不变,便得到曲线C 1B.先将曲线C 2向右平移3π个单位长度,再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变,便得到曲线C 1 C.先将曲线C 2向左平移56π个单位长度,再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变,便得到曲线C 1D.先将曲线C 2向右平移56π个单位长度,再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标保持不变,便得到曲线C 1二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

湖南省2021年高三第二次模拟考试数学【理】试题及答案

2021年高三第二次模考理科数学命题人：审题人：试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．设集合}30|{<≤=x x M ，}043|{2<--=x x x N ，则集合N M 等于A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x ≤≤C ．{|03}x x ≤<D ．{|03}x x ≤≤2．复数22 ()i （其中i 为虚数单位）的虚部等于 A ．i -B ．1-C ．1D ．03．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为 A .7B.6 C .5D.44．在ABC ∆中，“()sin()cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是“ABC ∆是直角三角形”的 A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是 A.2 B.92 C.32D.3 6．若数列{}n a 满足110n npa a +-=，*,n N p ∈为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”. 已知正项数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且99123992b b b b =，则892b b +的最小值是A ．2B ．4C ．6D ．8 7．定积分1(2)x x dx -⎰的值为A.4π B.2πC.πD.2π 8．已知双曲线2221(0)9x y b b-=>，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点分别记作C 、D ,双曲线的右顶点为E ,150=∠CED ，其双曲线的离心率为 A 23．32C 3239. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞ C ．()(),01,-∞+∞ D ．()3,+∞10．已知(1,0)A ，曲线:C e ax y =恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ⋅的最小值为2，则a 的值为A.2-B.1-C.1D.2第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分） 11.在极坐标系中，定点)2,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动，则线段AB 长度的最小值为__________．12.如图,PAB 、PCD 为圆O 的两条割线,若5PA =，7AB =，11CD =，2AC =，则BD =.13.若不等式2373x x a a ++-≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是. （二）必做题（14~16题）14.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布2(105,10)N ，已知(95105)0.34p X ≤≤=，估计该班学生数学成绩在115分以上的有_______ 人.15. 已知点),(y x P 满足条件0,,20x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若3z x y =+的最大值为8，则k =.16.设()f x 是定义在R 上的增函数，对于任意的x 都有(1)(1)0f x f x -++=恒成立，若实数,m n满足22(623)(8)03f m m f n n m ⎧-++-<⎨>⎩，则22m n +的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)已知向量()sin ,cos x a x ωω→=，()cos 3x b x ωω→=，其中0>ω，若函数3()f x a b →→=⋅的最小正周期为π.（Ⅰ）求函数()x f 的单调递增区间；（Ⅱ）如果ABC ∆的三边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，且满足bc a c b 3222+=+, 求()A f 的值.18．（本小题满分12分）从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率；（Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，侧棱1AA 与底面ABC 成60°的角，12AA =．底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为G 点， E 是线段1BC 上一点，且113BE BC =．（Ⅰ）求证：GE //侧面11AA B B ；（Ⅱ）求平面1B GE 与底面ABC 所成锐二面角的正切值． 20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{b }n 是等比数列，113a b =，且对任意的+∈N n ，都有1112233(21)334n n n n a b a b a b a b +-+++++=…．（Ⅰ）求数列{}n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{b }n 的首项为3，公比为3，设11(1)2n a n n n c b λ+-=+-⋅，且对任意的+∈N n ，都有1n n c c +>成立，求实数λ的取值范围．21．(本小题满分13分)已知抛物线Γ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线Γ相交于M 、N 两点，且|MN |=4．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若点P 是抛物线Γ上的动点，点B 、C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．22．(本小题满分13分) 已知函数()ln f x x mx m =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的0a b <<，求证：()()1(1)f b f a b a a a -<-+．怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2021年高三二模理科数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 89 10答案C BD A C B A D A C二、填空题 11、3 ； 12、6； 13、[]2,5-；14、 8 ； 15、6-； 16、(13,49). 三、解答题17解：（Ⅰ）因为()()sin ,cos cos 333)22o (s x x x f x a x b ωωωω→→=-=⋅⋅- 2sin cos 33s 2o x x x ωωω+-=3(cos 213sin 12)222x x ωω++-= sin(32)x πω+=……………………… 2分由()f x 的周期为π得 1ω=，即()sin 2)3(x f x π=+………… 4分由22(23)22x k k k Z πππππ+≤-≤+∈解得)(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ，所以()f x 的单调增区间为)(]12,125[Z k k k ∈+-ππππ…………………6分（Ⅱ）由已知bc a c b 3222+=+及余弦定理2222cos a b c bc A =+-可知3cos A =8分因为(0,)A π∈，所以6A π=………………… 10分所以 3()()si 3n62f A f ππ===………………… 12分 18解：（Ⅰ）至少有一名女同学的概率为310361C C -.65611=-=…………… 4分（Ⅱ）同学甲被选中的概率为,10331029=C C则同学甲被选中且通过测试的概率为0.3×0.7=0.21 ………… 8分（Ⅲ）根据题意，ξ的可能取值为0、1、2、3，31)0(31034===C C P ξ，103)1(3102416===C C C P ξ， 21)2(3101426===C C C P ξ 61)3(31036===C C P ξ所以，ξ的分布列为：8.161321210313010)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………12分 19解法1：（Ⅰ）延长B 1E 交BC 于点F ，11B EC ∆∽△FEB ，BE =21EC 1，∴BF =21B 1C 1=21BC ，从而点F 为BC ∵G 为△ABC 的重心，∴A 、G 、F 三点共线．且11//,31AB GE FB FE FA FG ∴==，又GE ⊄侧面AA 1B 1B ，∴GE //侧面AA 1B 1B （Ⅱ）在侧面AA 1B 1B 内，过B 1作B 1H ⊥AB ，垂足为H ，∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，∴B 1H ⊥底面ABC ．又侧棱AA 1与底面ABC 成60°1=2，∴∠B 1BH =60°，BH =1，B 1H =.3在底面ABC 内，过H 作HT ⊥AF T ，连B 1T ，由三垂线定理有B 1T ⊥AF ，又平面B 1CE 与底面ABC 的交线为AF ，∴∠B 1TH 为所求二面角的平面角． ∴AH =AB +BH =3，∠HAT =30°，∴HT =AH 2330sin =︒．在Rt △B 1HT 中，332tan 11==∠HT H B TH B ，从而平面B 1GE 与底面ABC 成锐二面角的正切值为233…………… 12分解法2：（Ⅰ）∵侧面111成60°的角，∴∠A 1AB =60°，又AA 1=AB =2，取AB 的中点O ，则AO ⊥底面ABC ．以O 为原点建立空间直角坐标系O —xyz 如图，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()3,0,0C，()10,0,3A ，()10,2,3B ，()13,1,3C ．∵G 为△ABC 的重心，∴3,0,03G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 113BE BC =，∴33,1,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴1310,1,33CE AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭．又GE ⊄侧面AA 1B 1B ，∴GE //侧面AA 1B 1B ． ……………5分（Ⅱ）设平面B 1GE 的法向量为(,,)a b c =n ，则由10,0.B E GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得3230,3330.3a b c b c ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可取()3,1,3=-n 又底面ABC 的一个法向量为()0,0,1=m设平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为θ，则21cos ||||7θ⋅==⋅m n m n ．由于θ为锐角，所以227sin 1cos 7θθ=-=，进而23tan 3θ=．故平面B 1GE 与底面ABC 成锐二面角的正切值为233…………… 12分20解：（Ⅰ）因为 1112233(21)33a 4n n n n b a b a b a b +-+++++=…，当2n ≥时，11223311(23)33a 4n n n n b a b a b a b ---+++++=…，两式相减，得 3nn n a b n =⋅（2n ≥），又当1n =时，11a 3b =，适合上式，从而3nn n a b n =⋅（n N +∈） …………… 5分（Ⅱ）因为数列{b }n 的首项为3，公比为3，故3nn b =，n a n =，所以1111(1)23(1)2n a n n n n n n c b λλ+--+=+-⋅=+-⋅．因为对任意的n N +∈，都有1n n c c +>成立，即12113(1)23(1)2n n n n n n λλ++-++-⋅>+-⋅恒成立，化简得 113(1)()32n n λ--<⋅…………… 9分当n 为奇数时，13()32n λ<⋅恒成立，所以113()32λ<⋅，即12λ<，当n 为偶数时，13()()32n λ>-⋅恒成立，所以213()()32λ>-⋅，即34λ>-，综合可得31(,)42λ∈-…………… 13分21解：（Ⅰ）已知(,0)2p F ，则过点F 且斜率为1的直线方程为2py x =-．联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 得： 22304p x px -+=，设()1122(,),,M x y N x y ，则 123x x p +=，所以 |MN |=124x x p p ++==4，解得p=1．所以抛物线Γ的方程为22y x =………………………… 5分（Ⅱ）设000(,)(0),(0,),(0,)P x y x B b C c ≠，不妨设b>c ，直线PB 的方程为 00y by b x x --=，化简得 000()0y b x x y x b --+=，又圆心（1,0）到直线PB 的距离为1，故()0022001()y b x =-+-，即22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，不难发现02x >，上式又可化为2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=，所以b ，c 可以看做关于t 的一元二次方程2000(2)20x t y t x -+-=的两个实数根，则00002,(2)(2)y x b c bc x x --+==--，所以 ()2222000204(2)()4(2)x y x b c b c bc x +--=+-=- 因为点00(,)P x y 是抛物线Γ上的点，所以2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，又02x >，所以0022x b c x -=-．所以20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--，当且仅当04x =时取等号，此时022y =±，所以PBC ∆面积的最小值为8 ………………………… 13分 22解：（Ⅰ）'11()((0,))mxf x m x x x-=-=∈+∞，当0m ≤时，'()0f x >恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，此时函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0m >时，由'11()0mxf x m x x-=-=>，得1(0,)x m ∈，由'11()0mx f x m x x -=-=<，得1(,)x m∈+∞，此时()f x 的单调递增区间为1(0,)x m ∈，单调递减区间为1(,)m+∞…………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当m ≤0时，f （x ）在(0,)+∞上递增，f （1）=0，显然不成立；当m ＞0时，max 11()()ln 1ln 1f x f m m m m m==-+=-- 只需ln 10m m --≤即可，令()ln 1g x x x =--，则'11()1x g x x x-=-=，(0,)x ∈+∞ 得函数()g x 在（0,1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∴min ()(1)0g x g ==()0g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，也就是ln 10m m --≥对(0,)m ∈+∞恒成立，∴ln 10m m --=，解1m =，∴若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，则1m =…………… 8分（Ⅲ）证明：ln()()ln ln ln ln 1111b f b f a b a a b b a a b b a b a b a a a--+--==-=⋅-----，由（Ⅱ）得()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时去等号，又由0a b <<得1ba>，所以有 0ln 1b b a a <<-，即ln11ba b a<-．则2ln1111111(1)(1)1b a a a b a a a a a a a a--⋅-<-==<++-，则原不等式()()1(1)f b f a b a a a -<-+成立 …………… 13分。

湖南省顶级名校2021届高三第二次月考数学试题答案

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2021年高三上学期第二次联考数学理含答案

2021年高三上学期第二次联考数学理含答案一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置.1.设，则＝（）A． B． C． D．2.命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3.下列函数中，既是偶函数又在区间上递增的函数为（）A． B． C． D．4.一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒5.函数的零点位于（）A． B． C． D．6.“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7.函数的图象可能是（）D 1C 1B 1A 1D CBAxyπ6π35π63- 3OA B C D 8.如图：正方体，棱长为1，黑白二蚁都从点出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中）.设黑白二蚁走完第xx 段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 ( )A ． 1 B. C. D. 0二、填空题.本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 9.函数的定义域为____________.10.若函数是函数且的反函数，且函数的图像经过点，则 ____________. 11.已知函数，则的值为____________.12.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>< 的图象，则其解析式是____________.13.由曲线与直线、直线所围成的图形的面积为____________.14.设函数,若对任意实数，函数的定义域为，则的取值范围为____________.三、解答题.本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分12分）已知函数,（1）求的值；（2）若，求.16.（本小题满分12分）设函数,（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.17．（本小题满分14分）设函数,（1）求函数的最小正周期，并求在区间上的最小值；（2）在中，分别是角的对边，为锐角，若，，的面积为，求.18.（本小题满分14分）已知函数（1）若函数在处的切线垂直轴,求的值；（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；（3）讨论函数的单调性.19.（本小题满分14分）已知函数（1）设为函数的极值点，求证: ；（2）若当时，恒成立，求正整数．．．的最大值.20.（本小题满分14分）设函数2* ()1,(,)1!2!!nnx x xf x x R n Nn=-++++∈∈（1）证明对每一个，存在唯一的，满足；（2）由（1）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；（3）对任意，满足（1），试比较与的大小.xx届六校十月联考理科数学参考答案一.选择题二.填空题9. 10. 11.12. 13. ____1____ 14.三.解答题15．（本小题满分12分）已知函数,（1）求的值；（2）若，求.解:（1）……2分……4分……5分（2）……7分……8分……9分……10分= ……12分16.（本小题满分12分）设函数,（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.解：(1)……2分令 ……3分的变化情况如下表：……5分由上表可知的单调递增区间为和,单调递减区间为. ……6分（2）由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ……7分的极大值 ……8分的极小值 ……9分又， ……10分 ……11分函数在区间上的最大值为，最小值为 . ……12分17．（本小题满分14分）设函数,（1）求函数的最小正周期，并求在区间上的最小值；（2）在中，分别是角的对边，为锐角，若，，的面积为，求. （资料苏元高考吧广东省数学教师QQ 群：179818939）解：（1）()21cos 2sin cos 22x f x x x x x -==+ ……3分所以函数的最小正周期为 ……4分因为，所以.所以当时，函数在区间上的最小值为. ……7分（2）由得：.化简得：，又因为，解得：. ……10分由题意知：，解得，又， ……12分由余弦定理：()()22222cos 21cos 25a b c bc A b c bc A =+-=+-+=， . ……14分18. （本小题满分14分）已知函数（1）若函数在处的切线垂直轴,求的值；（2）若函数在为增函数，求的取值范围； (3) 讨论函数的单调性.解：（1）因为，故， ……1分函数在处的切线垂直轴，所以 ……3分（2）函数在为增函数，所以当时，恒成立，分离参数得：，从而有：. ……7分（3）2()()(2)(2)ln g x f x a x x a x a x =-+=-++22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x-++--'=-++== ……10分令，因为函数的定义域为，所以（1）当，即时，函数在上递减，在上递增； ……11分（2）当，即时，函数在上递增，在上递减，在上递增 ……12分（3）当，即时，函数在上递增； ……13分（4）当，即时，函数在上递增，在上递减，在上递增. ……14分19.（本小题满分14分）已知函数（1）设为函数的极值点，求证: ；（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值.解：（1）因为，故, ……2分为函数的极值点,, ……3分即,于是,故……5分(2)恒成立,分离参数得……7分则时，恒成立，只需，，记，，……9分在上递增，又，在上存在唯一的实根，且满足，……11分当时，即；当时，即,,故正整数的最大值为……14分20.（本小题满分14分）设函数2* ()1,(,)1!2!!nnx x xf x x R n Nn=-++++∈∈（1）证明对每一个，存在唯一的，满足；（2）由（1）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；（3）对任意，满足（1），试比较与的大小.解:（1）显然,当时,,故在上递增. ……2分又，221111()()(1())1111112222()11()()1()01222!!222212nn n n n f n -=-++++<-++++=-+=-<-故存在唯一的，满足 ……4分（2）由（1）知在上递增因为所以21111111111()1()02!!(1)!(1)!n n n nn n n n n n n n x x x x f x x f x n n n ++++++++++=-+++++=+=++ ……6分（资料苏元高考吧广东省数学教师QQ 群：179818939），由（1）知在上递增故，即数列单调递减. ……9分 (3) 由（2）数列单调递减，故而21()102!!(1)!()!nn n pn pn pn pn pn p n p n p x x x x f x x n n n p +++++++++=-+++++++=++ ……11分两式相减：并结合，以及211111!!11!!(1)111111k kkn pnn p nn pn n p k k n k n pn pn p n pk n k n k n n pk n x x x x x k k x k k k k k k n n p n ++++==+++++=+=+=++=+--=+<≤<-⎡⎤=-=-<⎢⎥-+⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 所以有 ……14分35914 8C4A 豊30109 759D 疝}22072 5638 嘸40741 9F25 鼥kM20286 4F3E 伾24667 605B 恛26537 67A9 枩/P`32426 7EAA 纪<。

2021年高三上学期第二次联考数学文含答案

2021年高三上学期第二次联考数学文含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，20小题，满分150分。

考试用时120分钟。

第一部分选择题(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，，则为A． B． C. D．2．已知命题，则A．B．C．D．3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是A．B．C．D．4. 在各项都为正数的等比数列中，首项为3，前3项和为21，则等于A．15 B．12 C．9 D．65.已知函数则函数的零点个数为A．B．C．D．6. 函数在区间的简图是Ａ. Ｂ.7. 如果等差数列中，，那么等于A．21 B．30 C．35 D．408. 的三个内角的对边分别为，已知，向量，，若，则角的大小为Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.9．已知定义在上的函数满足，为的导函数，且导函数的图象如Array右图所示．则不等式的解集是（）A．B．C．D．10. 设是边长为的正的边及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，若点，则的最大值为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．第二部分非选择题(共100 分)二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11.已知函数，则________.12. 已知向量，若，则_________ .13．某住宅小区计划植树不少于60棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数等于_____________.14.定义在上的函数满足.若当时.,则当时,=________________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）已知函数,.(1) 求的值；(2) 若,,求.16．（本小题满分12分）已知向量，，设函数，.（1）求的最小正周期与最大值；（2）在中，分别是角的对边，若的面积为，求的值.17．（本小题满分14分）设数列满足：，，．（1）求的通项公式及前项和；（2）已知是等差数列，为前项和，且，.求的通项公式，并证明：．18．（本小题满分14分）已知函数，.（1）当，时，求的单调区间；（2）当，且时，求在区间上的最大值．19.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，，是与的等差中项（）.（1）证明数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数(是常数)在处的切线方程为，且.（1）求常数的值；（2）若函数()在区间内不是单调函数，求实数的取值范围；（3）证明:.xx 届高三六校第二次联考文科数学参考答案第Ⅰ卷选择题（满分50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（C ） 2．（A ） 3．（A ） 4．（B ） 5．（C ） 6．（A ） 7．（C ） 8．（A ） 9．（B ） 10．（C ）第Ⅱ卷非选择题（满分100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11． 12． 13． 14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分12分）解：(1)1sin sin sin 4412662f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……………… ……4分(2))2sin 2sin 2sin 2cos 2331242f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………… ……7分因为,,所以, ……………… ……9分所以,……………… 11分所以.…………12分16．（本小题满分12分）解：(1) ……………… ……2分……………… ……4分∴ 的最小正周期为＝， ………………………5分的最大值为5. ……………………6分 (2)由得，，即，∵ , ∴，∴ ………………………8分又, 即,∴ ………………………10分由余弦定理得，32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a∴ …………………………………12分17．（本小题满分14分）解：（1）因为，又，所以，因此是首项为1，公比为3的等比数列， ……………2分所以，. ……………6分（2）设等差数列的公差为，依题意，所以，即，故. ……………8分由此得，. （资料苏元高考吧） …………10分所以，()()1223111111113352121n n b b b b b b n n ++++=+++⨯⨯-+1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 .因此所证不等式成立. ……………14分18．（本小题满分14分）解：（1）当，时，， (1)分则 ……………………………2分令，解得，，当或时，有；当时，有，………… 5分所以的单调递增区间和，的单调递减区间．……………………………7分（2）当，且时，，.则，令，得或． …………………8分 ①当，即时，此时当时，有，所以在上为减函数，当时，有，所以在上为增函数， ………9分又，，所以的最大值为； …………………………10分 ②当，即时，此时当时，；当时，；当时，；所以在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数. ……………………12分3231111()()()3266f m m m m m -=-+-=<，，所以的最大值为， …………………13分综上，在区间上的最大值为 . …………………14分19.（本小题满分14分）解:（1）因为是与的等差中项，所以（），即，（） ……………2分由此得)23(31213123)131(231-=-=-+=-+n n n n S S S S （）， …………4分又，所以（），所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ……………6分（2）由（1）得，即（），……………7分所以，当时，121131])31(2123[])31(2123[----=---=-=n n n n n n S S a ，…9分又时，也适合上式，所以. ……………10分（3）原问题等价于（）恒成立.当为奇数时，对任意正整数不等式恒成立； ……………11分当为偶数时，等价于恒成立，令，，则等价于恒成立，因为为正整数，故只须，解得，，所以存在符合要求的正整数，且其最大值为11. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（1）由题设知，的定义域为,, ……………1分因为在处的切线方程为，所以,且，即,且 …………3分又解得，，. …………4分（2）由(1)知，因此，22()()ln (0)g x x mf x x mx m x m x =+=-++>，所以)0)(2(12)(2'>+-=+-=x m mx x xx m m x x g . …………5分令.（ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即在内有且仅有一个根，又因为，当，即时，在内有且仅有一个根，当时，应有，即，解得，所以有. ………7分（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函数在内有两个不等根，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>+-⨯=>+-=>⨯⨯-=∆,341,0332)3(,02)1(,02422m m m d m m d m m解得. …………8分综上，实数的取值范围是. …………9分（3）因为，所以当时，有，所以在上为减函数，因此当时, ，即，即当时, ，所以对一切都成立， …………11分所以，，， … ，所以ln2ln3ln4ln20121232012 23420122342013⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯，所以. …………14分6,j20298 4F4A 佊40222 9D1E 鴞30121 75A9 疩29675 73EB 珫JM27804 6C9C 沜28420 6F04 漄31014 7926 礦Xhb。

湖南名校2021届高三第二次(12月)联考数学试卷

绝密★启用前湖南名校2021届高三第二次（12月）联考数学试卷学校：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设集合{}2 2 0 ,0{|}| 3A x x x B x x =-->=<< , 则A B ⋂=（） A. ()0,2 B.()1,2C. (0,3)D. ()2,32.若i32ia -+为纯虚数,则实数a 的值为（） A.32-B.23-C.23D.323.平面向量 1,2 ,()||3,6==⋅=-a b a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为（）A. B. C.15D.454.《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（）A.18B.14 C. 38D.125.已知两个变量具备线性相关性，现通过最小二乘法求回归直线方程ˆˆˆy bx a =+, 将已知数据代入公式 Q =21()nii i ybx a =--∑计算后得到的代数式为：223131223a b ab b ++-+, 使上述代数式取值最小的,a b 的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为（）A.ˆ2y x =-+B.ˆ2y x =--C.ˆ2yx =+D.ˆ2yx =- 6.某单位有 6 名员工,2020 年国庆节期间,决定从 6人中留 2人值班,另外 4人分别去张家界、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游.要求每个景点有 1 人游览,每个人只游览一个景点 ,且这 6 个人中甲、乙不去衡山,则不同的选择方案共有（） A.120种B.180种C.240种D.320种7.已知数列{}n a 前 n 项和为n S ,命题()1:2n n n a p S α+=,命题:{}n q a 为等差数列 ,则p 是 q 成立的（） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知 ,A B 分别为椭圆22:14x C y +=的左、右顶点 ,P 为椭圆 C 上一动点,, PA PB 与直线3x =交于 , M N 两点,PMN △与PAB △的外接圆的周长分别为12,L L ,则12L L 的最小值为（）D.14二、填空题9.已知函数2log ,0,()22,0,x x x f x x ->⎧=⎨+⎩≤，则1(())2f f = ．10.某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥高为．11.已知三棱锥 P ABC -外接球的表面积为 100π,PB ⊥平面,8 120ABC PB HAC =∠=︒，, 则三棱锥 P ABC -体积的最大值为．12.如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A B ，两点．若120AOB OAB ∠=︒，△内切圆的半径r=5b-，则双曲线的离心率为．三、多项选择题13.空气质量指数大小分为五级．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在：[][][][][] 0, 5051, 100101, 200 , 201, .300 , 301,500，，分别对应“优”、“良”、“ 轻(中 )度污染”、“ 中度(重 )污染”、“重污染”五个等级．下面是某市连续 14 天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有（）A.这14 天中有 4 天空气质量指数为“良”B.这 1 4天中空气质量指数的中位数是 103C.从 2 日到 5日空气质量越来越差D.连续三天中空气质量指数方差最小的是 9日到 11日14.设动点 P 在正方体1111ABCD A B C D -上(含内部),且11D P D B λ= ,当APC ∠为锐角时,实数λ可能的取值是（） A.12B.13C.14 D.1515.在ABC △中，下列说法正确的是（） A.若 A B >, 则 sin sin A B >B. 存在ABC △满足cos cos 0A B +≤C.若 sin cos A B <, 则ABC △为钝角三角形D.若π2C >，则22sin sin sin C A B >+ 16.已知220,()e e ,()()sin πx x a m x f x am x x -->=-=-，若()f x 存在唯一零点，下列说法正确的有（）A.()m x 在 R 上递增B.()m x 图象关于点(2,0)中心对称C.任取不相等的实数12,x x R ∈ 均有1212()()()22m x m x x xm ++<D.2a π≥四、解答题17.在①212(1)n n n S S S --+=+；②1212n n n S S a ++++=-；③1(1)nn S a n n+=-+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：已知数列{}n a 的前 n 项和为 1,1n S a =，，若确定{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式，否则，说明理由．18.在ABC △中，,153B AB π∠==，点 D 在边BC 上，11,cos 26CD ADC =∠=.(1) 求 sin BAD ∠; (2) 求ABC △的面积.19.四棱锥 P ABCD - 的底面 ABCD 是边长为2 的菱形， 120,BAD PA ∠=︒⊥底面,ABCD PA=, E F 分别是,PC PD 的中点．(1 ) 已知BG BC λ=, 若平面 //EFG 平面PAB ,求l 的值；(2) 在(1)的条件下，求平面 EFG 与平面PCD 所成二面角的正弦值．20.已知 ,A B 分别椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，过点()2,0M 任作一条非水平直线交椭圆于 ,P Q 两点，若椭圆长轴长为 8,且过点． (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 记直线 ,AP BQ 的斜率分别为12k k ，，则12k k 是否为定值，若是，求出该定值．若不是，请说明理由．21.有编号为 1 , 2, 3 的三只小球，和编号为 1, 2 , 3 , 4 的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立． (1) 求三只小球恰在两个盒子中的概率；(2) 求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率； (3) 记录至少有一只球的盒子．以X 表示这些盒子编号的最大值，求EX . 22.已知2()e (21)e x x f x a a x =+--, a 为常数．(1) 讨论()f x 的单调性；(2) 若0x ≥时，()(31)cos f x a x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1.答案：D解析：{2A x x =>∣或1}x <-，则(2,3)A B =∩. 2.答案：C 解析：(i)(32i)(32)(23)i i 32i (32i)(32i)13a a a a ----+-==++-,则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =. 3.答案：B解析：cos ||||θ⋅===a b a b 4.答案：C 解析：38m p n ==. 5.答案：D解析：222231312233(2)(1)2a b ab b a b b ++-+=++-+,当2010a b b +=⎧⎨-=⎩，即21a b =-⎧⎨=⎩时上式最小，故ˆ2yx =-. 6.答案：C解析：以地点为对象，依次考虑各景点可能人数：4543240N =⨯⨯⨯=. 7.答案：C解析：若p 成立，则()12n n n a a S +=，则()111(1)2n n n a a S ++++=，两式相减得：()()1111(1)22n n n n a a n a a a +++++=-，即11(1)0n n n a na a +--+=，于是，211(1)0n n na n a a ++-++=，再将以上两式相减得：2120n n n na na na ++-+=，即2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 为等差数列，故命题q 成立；而q 成立，p 显然成立. 8.答案：A解析：容易知道14PA PB k k ⋅=-，设1:(2),:(2)4PA PB l y k x l y x k=+=--，令3x =得15,4M N y k y k ==-，不妨设0k >，则154MN k k=+，设PMN △和PAB △外接圆的半径分别为12,r r ，由正弦定理得122,2sin sin MN ABr r MPN APB ==∠∠，又180MPN APB ︒∠+∠=，所以111222125524424k k L r r MN kL r r ABππ⋅+=====9.答案：4解析：(1)2111log 1,(1)224222f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 10.答案：解析：圆锥底面半径2,r h ===11.答案：解析：设ABC △三边的长分别为11,,,sin120832a b c V bc ︒=⋅⋅=，设球的半径为R ，由24100R π=π，得225R =，设ABC △外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sin120a r ︒=，即222,425r R ⎫==+⎪⎪=⎝⎭，所以22272cos120a b c bc ︒==+-⋅，即222723b c bc bc bc bc =+++=，故23239,963bc V bc =⨯=，当且仅当3b c ==时取等号. 12.解析：由焦点F 到渐近线的距离为,120b OAB ︒∠=知AF =，在OAF △中，由余弦定理得2222cos120OF OA AFOA AF ︒=+-⋅⋅⋅，即2222cos120c OA OA ︒⎫=+-⋅⋅⎪⎪⎝⎭，解得OA a =-，设OAB △内心为M ，作MN OA ⊥于N ，显然60,MAO MN r ︒∠===，则AN ==ON OA AN a=-=-，tan MNMON ON ∠===b e a ==. 13.答案：ACD解析：14天中有：1日，3日，12日，13日空气质量指数为良，共4天，故A 对； 14天中的中位数为86121103.52+=，故B 错误；从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故C 对；D 答案显然成立. 14.答案：CD解析：设1,AP x D P t ==，设正方体的棱长为1，则AC APC △中，由余弦定理得2222221cos 2x x x APC x x +--∠==，若APC ∠为锐角，则2210x x ->，则21x >，在1AD P △中，11cos AD AD P =∠=2222x t t =+-⋅于是2221t t +->，即2330t -+>，解之得：t >t <，由1D B =1λ>（舍）或103λ<<.15.答案：ACD 解析： 16.答案：ABD 解析：17.答案：若选①，由()2121n n n S S S --+=+成立，则必须n ≥3，此时1122n n n n S S S S ----=-+，即12(3)n n a a n -=+，这只能说明数列{}n a 从第2项开始构成等差数列，数列通项公式无法确定。

2021年高三数学联考试题理(含解析)湘教版

2021年高三数学联考试题理（含解析）湘教版【试卷综述】全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查.全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、旋转体、简易逻辑试卷都有所考查.在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识.明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1、已知，则复数是虚数的充分必要条件是（）A. B. C. D. 且【知识点】复数的意义；充要条件. L4 A2【答案】【解析】C解析：根据虚数的定义：复数（），当时，是虚数.故选C.【思路点拨】根据虚数的定义得结论.【题文】2．函数的定义域是（）A．[-1，4] B． C．[1，4] D．【知识点】函数定义域的求法；一元二次不等式的解法. B1 E3【答案】【解析】D 解析：由，故选 D.【思路点拨】根据函数定义域的意义，得关于x的不等式组，解此不等式组即可.【题文】3．已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.3【知识点】函数值的意义；集合运算. B1 A1【答案】【解析】C 解析：∵A={0,1,2,3}，B={x|x=2a ，a ∈A}，∴B={0,2,4,6}， ∴A ∩B={0,2}，故选C.【思路点拨】由函数值的意义得集合A 中元素，从而A ∩B.【题文】4、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（） A.8 B.7 C.6 D.5 【知识点】等差数列及其前n 项和. D2【答案】【解析】A 解析：由a 1=1，a 3=5得d=2,所以S k+2﹣S k =()()121221221236k k a a a k d k +++=++=++⨯=，解得:k=8,故选A. 【思路点拨】由等差数列的通项公式，前n 项和公式求得结论.【题文】5.已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若255(sin),(cos ),(tan )777a fb fc f πππ===,则（） A. B. C. D.【知识点】函数单调性的应用；数值大小的比较. B3 E1 【答案】【解析】B 解析：∵，∴<0,又，∴，∵函数是上的奇函数,且在区间上单调递增，∴函数是上的增函数，∴.故选B 【思路点拨】先判断的大小关系，再利用函数的奇偶性、单调性确定结论. 【题文】6 ．由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是（） A. B. C. D. 【知识点】定积分；微积分基本定理. B13 【答案】【解析】A 解析：，故选A.【思路点拨】根据定积分的几何意义，及微积分基本定理求解.【题文】7．已知点分别是正方的棱的中点，点分别在线段上. 以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（）【知识点】几何体的三视图. G2【答案】【解析】C 解析：当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与重合时，三棱锥的俯视图为A；当M、N、Q、P是所在线段的中点时为B；当M、N、P是所在线段的非端点位置，而E与B重合时，三棱锥的俯视图有选项D的可能.故选C.【思路点拨】由运动变化的观点，分析三棱锥的俯视图的可能情况，从而得出其不可能情况. 【题文】8.运行如左下图所示的程序，如果输入的n是6，那么输出的p是（）A.120B.720C.1440D.5040 【知识点】算法与程序. L1 L2【答案】【解析】 B 解析：程序运行的过程为：（1）p=1,k=2;(2)p=2,k=3;(3)p=6,k=4;(4)p=24,k=5;(5)p=120,k=6;(6)p=720,k=7,这时不满足，所以输出的p是720 ，故选B.【思路点拨】根据程序描述的意义，依次写出每次循环的结果即可.【题文】9、函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)【知识点】函数的图像与性质. C4【答案】【解析】 B 解析：由图可得,又最低点 B(2,-2),所以7222,326k k k Z πππϕπϕπ⨯+=-⇒=-∈，因为0≤φ≤π，所以，即，解不等式得f （x ）的递增区间是[6k-4,6k-1] (K ∈Z).故选B.【思路点拨】先根据图像求得函数解析式，再利用正弦函数的单调区间求f （x ）的递增区间.【题文】10、已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则 ( ).A. B.-1 C.2 D.1【知识点】指数函数的定点性；向量数量积的坐标运算；导数的应用. B6 F2 F3 B12 【答案】【解析】D 解析：根据题意得B(0，1),设，则()()1,11,1ax ax AB AP x e x e ⋅=-⋅-=-++，即函数有最小值0.因为，所以当a 时f(x)无最小值；当a>0时，有时f(x)=0,即，显然a=1是此方程的解，故选D.【思路点拨】易得B （0,1），设出点P 坐标，利用向量数量积德坐标运算，转化为函数最值问题，再利用导数求函数取得最值得条件.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．【题文】11、已知各项均为正数的等比数列中，则。

2021-2022年高三上学期第二次联考数学(理)试题含答案

2021年高三上学期第二次联考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上． 1．设集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2．已知是虚数单位，和都是实数，且，则（）A ．B ．C ．D ．3．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，则的值为 A ． B ． C ． D ．4．设为两个非零向量，则“”是“与共线”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于A ．B ．C ．D ． 6．已知，且，则A ．B ．C ．D ． 7．已知,点在内，且，设，则等于（）A ．B ．3C ．D ． 8．等差数列的前项和为，且，，则过点和 ()的直线的一个方向向量是( )A ．B ．C ．D ．9．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为( )A ．B ．4C ．D ．10．在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A ．B ．C ．D ．11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位）A ．B ．C ．D ．12．若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为 A ． B ． C ． D ．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上． 13．的展开式中的系数为＊＊．14．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为＊＊．15．设点满足条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥≤2200x y y x ，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是＊＊．16．在中，若，则的最大值＊＊．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列的各项均为正数，前项和为，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+=（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求． 18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学路上所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点．（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．21．已知函数x0.0030.006510080604020O（Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若有两个极值点，证明：．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知外接圆劣弧上的点（不与点、重合），延长至,延长交的延长线于．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅． 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知，对，恒成立，求的取值范围．河北省“五个一名校联盟”xx 高三教学质量监测（二）理科数学(答案)第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：BDADC CBADB AC 二、填空题：13． -200 ．14．．15．．16．．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列的各项均为正数，前项和为，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+= （Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求解：（Ⅰ） ① )2(2)1(111≥+=---n a a S n n n ②①-②得：21212----+=n n n n n a a a a a 整理得：()111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a数列的各项均为正数，时，数列是首项为公差为的等差数列 6分（Ⅱ）由第一问得 222112(1)1n b n n n n n n ⎛⎫∴===- ⎪+++⎝⎭1111111122(1)()2122334111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 12分18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于分钟的概率）解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以． 3分（Ⅱ）新生上学所需时间不少于小时的频率为：，因为，所以1200名新生中有名学生可以申请住宿． 6分（Ⅲ）的可能取值为由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ． 10分0123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或）所以的数学期望为． 12分19．已知四棱锥中，，底面是边长为的菱形，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值． 19．解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ………………2分又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC ………………4分从而平面PBD ⊥平面PAC ． ……………6分（Ⅱ）方法1．过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD因为DO ⊥平面PAC ，可以推出DH ⊥PM,所以∠OHD 为O-PM-D 的平面角………………8分又33,,244a a OD a OM AM ===，且………………10分从而2222·4191669OH b a a b ==++………………11分 223(169)tan 26b a ODOHD OH +∠===所以，即． ………………………12分MO DACBPH法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则,, …………8分yz xMO DACBP从而333(0,,),(,,)8PD a b PM a b =-=-………………9分因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO 的一个法向量为．……10分设平面PMD 的法向量为,由得3330,088PD n ay bz PM n ax ay bz ⋅=-=⋅=+-= 取，即 ……………11分设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得531cos 5||||ab abOD n OD n a θ-+⋅===⋅从而，即． ……………12分 20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点．（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．解：（Ⅰ）联立，消并化简整理得．依题意应有，解得．设，则，设圆心，则应有121200,422x x y yx y ++===-．因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又||AB=．所以 ||28AB r ==，解得．所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为．故所求圆的方程为．（Ⅱ）因为直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，直线：整理得，点到直线的距离，所以1||42AOB S AB d ∆==-= 令，，，21．已知函数（Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若有两个极值点，证明：．解：（Ⅰ）时，2(),()2,xxf x x e f x x e '=-=-易知max ()(ln 2)2ln 220,f x f ''==-<从而为单调减函数．………………４分（Ⅱ）有两个极值点，即有两个实根，所以，得．(ln 2)2ln 220f a a a a '=->，得．………………6分又，所以………………8分111()20x f x ax e '=-=，得111121111()122x x x x x e f x ax e x e e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭………………10分， 1(1)()(0)12ef f x f -=<<=-………………12分另解：由两个实根，，当时，所以单调递减且，不能满足条件．当时，所以单调递减且当时，所以单调递增且，故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即即，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．有两个实根，不是根，所以由两个实根，，当时，所以单调递减且，不能满足条件．当时，所以单调递减且当时，所以单调递增且，故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即即，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．解：(Ⅰ)证明：、、、四点共圆．………………2分且,EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠,……………4分．………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,又, 所以与相似, ，…………7分又, ，AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得，……………9分AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为……………………………………………2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，[ 所以曲线的直角坐标方程为…………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得… ………6分令，得，即点的坐标为(2，0)．又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则… ……8分所以………………………10分 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知，对，恒成立，求的取值范围．解：∵ a ＞0，b ＞0 且a+b=1 ∴ +=(a+b)( +)=5++≥9 ，故+的最小值为9，……5分因为对a ，b ∈(0，+∞)，使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9，∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜时，-3x≤9，∴ -1＜x＜，当 x≥时，x-2≤9，∴≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分。