梁的挠曲线近似微分方程及其积分.
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梁的挠度及转角(1)
A2= mL/6EI B2= - mL/3EI
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角等 于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠 度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
yM (x)F(Lx) EI EI
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的 挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面 的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作 用下该截面的挠度和转角的叠加．
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
❖❖❖使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角等 于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠 度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
yM (x)F(Lx) EI EI
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的 挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面 的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作 用下该截面的挠度和转角的叠加．
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
❖❖❖使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
梁的变形,挠曲线微分方程及其积分
1
w1
Fb 6lEI
l2 b2 3x2
w1
Fbx 6lEI
l2 b2 x2
CB段 (a x l)
2
w2
Fb 6lEI
(l 2
b2
3x2 )
3l b
x
a
2
w2
Fb 6lEI
(l 2
b2
x2)x
l b
x
a
3
2.求最大挠度和最大转角
将 x = 0 和 x = l 分别代入转 角方程左右两支座处截面的 转角
46
EIw ql x3 q x4 Cx D — (2) 12 24
边界条件为
x 0, wA 0 x l, wB 0
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w x l 2
5ql 4 384EI
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,求 w(x)、θ(x)及wmax、θmax。
对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的 梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的 弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了 （x-a）的项。
对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为 积分变量，从而简化了确定积分常数的工作。
梁中点处的挠度为
w x l 2
Fbl 2 16EI
0.0625 Fbl 2 EI
结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲 线上无拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度 值来代替, 其精确度是能满足工程要求的.
EI 抗弯刚度---表征梁抵抗弯曲变形的能力。
用积分法计算梁变形时应遵循的两个规则
解：1.求挠曲线方程和转 角方程
积分法求梁的位移
EI
2. 取w’0
x
M
y
M<0 w″<0
x
M
y
M>0 w″>0
M x w
EI
M x w
EI
EIw M x
EIw M xd x C EIw [ M xd x]d x Cx D
例：弯曲刚度为EI的悬臂梁如图，求梁的挠曲线方程
及其最大挠度wmax。
q
解： x截面处弯矩方程为：
0
A
x
AD段： 1
w1
Fb 2lEI
1 3
l2 b2
x
2
Fbx
w1 6lEI
l2 b2 x2
DB段：2 w2
Fb 2lEI
l b
x
a2
1 3
l2 b2
x
2
w2
Fb 6lEI
l b
x
a
3
l2
b2
x
x
3
A y
l/2 Ⅰ
A
x1 a
F
C
DⅡ
wC
wmax
B
b
B x
当载荷作用在梁的中点，即a=b=l/2时，其最大转 角和挠度为：
x A
F
D
B
x
a
b
l y
解： 1）求弯矩方程
AD段：M1x
Fb l
x
DB段：M2 x
Fb l
x
Fx
a
2）梁的挠曲线方程
AD段：EIw1
M1x
F
b l
x
DB段：EIw2
M
2
x
F
b l
x
Fx
2. 取w’0
x
M
y
M<0 w″<0
x
M
y
M>0 w″>0
M x w
EI
M x w
EI
EIw M x
EIw M xd x C EIw [ M xd x]d x Cx D
例：弯曲刚度为EI的悬臂梁如图，求梁的挠曲线方程
及其最大挠度wmax。
q
解： x截面处弯矩方程为：
0
A
x
AD段： 1
w1
Fb 2lEI
1 3
l2 b2
x
2
Fbx
w1 6lEI
l2 b2 x2
DB段：2 w2
Fb 2lEI
l b
x
a2
1 3
l2 b2
x
2
w2
Fb 6lEI
l b
x
a
3
l2
b2
x
x
3
A y
l/2 Ⅰ
A
x1 a
F
C
DⅡ
wC
wmax
B
b
B x
当载荷作用在梁的中点，即a=b=l/2时，其最大转 角和挠度为：
x A
F
D
B
x
a
b
l y
解： 1）求弯矩方程
AD段：M1x
Fb l
x
DB段：M2 x
Fb l
x
Fx
a
2）梁的挠曲线方程
AD段：EIw1
M1x
F
b l
x
DB段：EIw2
M
2
x
F
b l
x
Fx
《材料力学》讲义5-2梁挠曲线近似微分方程及积分ppt课件
A
EI z
aB L
y 连续条件
Me
x
C
共有四个积分常数 边界条件
x0
xaL
A 0 A 0 C 0
xaB1 B2EI 2Fb 6Lx3
1 6
Fx
a3
C2 x
D2
x a 1Da1 D22 a 1aC1C22a
6FEELbI2FIzaZLb32Ca1L3C1aCC2F1Lb2 D6FxL1b26FL2FLb3L12b6FLFa16Lb22Fax3bL122aF162aFa3aFaCba22L6L23LC0bC2 22a D2
d 2
dx 2
M (x) EI Z
o
xo
x
M
M
d2y dx 2
0
M
M
d2y dx 2
0
y
y
d 2
dx 2
M (x) EI Z
梁挠曲线近似微分方程
d 2
dx 2
M (x) EI Z
A
C
Bx
C y
d
dx
B
M (x) EI Z
dx
C1
tan d
dx
M (x) EI Z
在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截
EI z 2
x
A
L2
B
L2
C
y
挠曲线方程应分两段AB,BC.
共有四个积分常数
边界条件
x0
连续条件
A 0 A 0
x L 2
B1 B2 B1 B2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分 方程时应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边 界条件
§6-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分(精)
大挠度fmax和最大转角max。
解: 由对称性可知梁的两个支反力为
RA
q
RB
ql RA RB 2
A
B
x
y
l
例题 6 -2 图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M ( x) x qx (lx x 2 ) 2 2 2 q 2 EI ' ' M ( x) (lx x ) 2
EI ' ' M ( x) Pl Px (2)
例题 6-1 图
对挠曲线近似微分方程进行积分, 得
Px 2 EI ' Plx C1 (3) 2 Plx 2 Px 3 EI C1 x C 2 (4) 2 6
边界条件为 :
x
A
l x
B x
x 0, 0 x 0, ' 0
EIυ [ M ( x )dx ]dx C1x C2
得
C1 EI '| x 0 EI 0 C2 EI 0
式中，θ 0 和 v0 分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。
例题６-３ 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中 力P的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大 挠度和最大转角。
两段梁的挠曲线方程分别为
1 挠曲线方程 转角方程 挠度方程
( 0 «x «a)
2
( a«x « l )
b " P x EIv1 M1 l
b EIv2 " M 2 P x P( x a) l
3 θA ql θ max θB 24 EI
x
q
材料力学 积分法求梁的变形
一、挠曲线近似微分方程
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
梁的挠曲线近似微分方程
由边界条件：
x 0，yA 0 ; D 0
xl,
yB 0 ;
C ql3 24
q
A
x θA
θB
y
l
B
x
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
EIy ql x2 q x3 ql3 4 6 24
q (l3 6lx2 4x3)
ql x3 q x4 ql3 x 12 24 24
24EI
最大转角和最大挠度分别为：
y qx (l3 2lx2 x3) 24EI
ymax
y
x l 2
5ql 4 384EI
max
A
B
ql3 24 EI
外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。 设弯矩刚度EI为常数。
§6-3 用积分法求梁的变形
解：1、绘制挠曲线的基本依据
1 y M (x)
(x)
EI z
根据弯矩的正、负、零值点或零值区，确定挠曲线的凹、
凸、拐点或直线区。
在梁的被约束处，应满足位移边界条件；在分段处，则 应满足位移连续条件。
载荷作用。试求此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角
和最大挠度。
y
q
解：
FRA
FRB
ql 2
A
B
x
M(x) ql x q x2 22
x
l
EIy ql x q x2 22
EIy ql x2 q x3 C 46
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
§6-3 用积分法求梁的变形
§6-3 用积分法求梁的变形
梁的挠曲线近似微分方程：
d 2 y M (x) dx2 EI
材料力学：梁弯曲时的位移
Flx 2 Fx3 EIw C1 x C2 2 6
C1=0 C2=0
(3)
(4)
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
Flx Fx 2 w' EI 2 EI
Flx 2 Fx3 w 2 EI 6 EI
24
F
A B x
w
max
l
θ max
y
max 及 wmax都发生在自由端截面处
M ( x) EI
12
(1 w' )
2
3
2
M
M
在规定的坐标系中，x 轴水平向右 为正，y 轴竖直向下为正。 曲线向下凸 时 ： w’’< 0 , M > 0 曲线向上凸 时 : w’’ > 0 , M < 0
y
M>0
w" 0
o
M
x
M
M<0
因此, M 与 w’’ 的正负号相反 y
w" 0
挠曲线方程为
w w( x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角
tg w' w' ( x)
6
四、挠度和转角符号的规定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
w 挠度
C1=0 C2=0
(3)
(4)
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
Flx Fx 2 w' EI 2 EI
Flx 2 Fx3 w 2 EI 6 EI
24
F
A B x
w
max
l
θ max
y
max 及 wmax都发生在自由端截面处
M ( x) EI
12
(1 w' )
2
3
2
M
M
在规定的坐标系中，x 轴水平向右 为正，y 轴竖直向下为正。 曲线向下凸 时 ： w’’< 0 , M > 0 曲线向上凸 时 : w’’ > 0 , M < 0
y
M>0
w" 0
o
M
x
M
M<0
因此, M 与 w’’ 的正负号相反 y
w" 0
挠曲线方程为
w w( x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角
tg w' w' ( x)
6
四、挠度和转角符号的规定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
w 挠度
概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分
y
a
P
A x1
C
x2
L
x B
EIw
0
P(a
x1)
(0 x1 a) (a x2 L)
EIw
P 2
x12
Pax1
C1
C2
EIw
P
6
x13
Pa 2
x12
C1x1
D1
C2 x2 D2
确定积分常数 边界条件
EI 0 x1 0
EI w 0 x1 0
C1 0 D1 0
连续性条件
当 x1 x2 a 时，
讨论题：指出下列梁的边界条件。
q
q
A
A
B
a
l
a
B L
连续性条件: 挠曲线上任意点有唯一确定的挠度和转角。 若连续性条件不满足，则挠曲线就不连续(图a)和不光滑(图b)。
A
C
B
A
C
B
（图a）
（图b）
对上述梁：
边界条件： wA 0, wB 0
连续性条件： wC左 wC右 , C 左 C 右
挠曲线近似微分方程
(x2 )
dw(x2 ) dx2
Pa 2 2EI
y
a
P
C
Bx
C wB
L
例2 求图示梁自由端的转角和挠度。
P
EI
2EI
解： 建立坐标系并写出弯矩方程
A x1
B x2 C
a
a
AB段 (0 x1 a)
M 1 Px1
BC段 (0 x2 a)
M 2 P(a x2 )
写出挠曲线微分方程并积分
AB段 EIw1 M1 Px1
3 2EI
第七章梁的位移转角、挠度
第七章 梁的弯曲变形
§7-2 挠曲线的近似微分方程
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M
ρ EIz
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
( x) EIz
5
第七章 梁的弯曲变形
§7-2 挠曲线的近似微分方程
1 M (x)
EI Z
1
d2 y dx2
1
(
dy dx
边界条件
x0 0
x0 y 0
xL
B
qL3 6EI z
C1
qL3 6EI z
C2
qL3 24 EI z
yB
qL4 8 EI z
EIz
y
1 24
qL
x4
C1x
C2
q L x3 L3 6EI z
y q L x4 4L3x L4 24 EIz 12
C
1 5q0L4 2 384EIZ
5q0 L4 768EI Z
21
第七章 梁的弯曲变形
§7-4 用叠加法求梁的变形
A
B
L 2a
q
L 2a
例7-6 已知：悬臂梁受力如图
示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC和转角C
C 解 1）首先，将梁上的载荷
变成有表可查的情形
为了利用梁全长承受均
Fb L
x
F b
C
l
y
x
最大转角 y'' 0 M x 0
A
第5章(梁的挠度和转角及挠曲线近似微分方程)
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第五章 梁弯曲时的位移
知识点：梁的挠度和转角及挠曲线近似微分方程
一、梁的位移——挠度和转角 二、梁的挠曲线的概念
三、梁的挠曲线近似微分方程
1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
一、梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直
ห้องสมุดไป่ตู้
生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h
的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有
1 M x x x EI
注意：对于有些l/h>10的梁，例如工字形截面等直梁，如同
在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主 要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制 作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。
8
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1 w x 1 w2
3/ 2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方 向的变化率，是有正负的。
9
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
原来位置的角位移，即挠度和转角。梁的变形体现在梁轴
线的变化：梁的各截面发生位移，导致梁变形；梁的各截 面形心的线位移所描述的曲线即为变形后的轴线。
4
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
二、梁的挠曲线的概念
弯曲后梁的轴线——挠曲线为一平坦而光滑的曲线， 它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形 后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q 也就
第五章 梁弯曲时的位移
知识点：梁的挠度和转角及挠曲线近似微分方程
一、梁的位移——挠度和转角 二、梁的挠曲线的概念
三、梁的挠曲线近似微分方程
1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
一、梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直
ห้องสมุดไป่ตู้
生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h
的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有
1 M x x x EI
注意：对于有些l/h>10的梁，例如工字形截面等直梁，如同
在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主 要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制 作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。
8
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1 w x 1 w2
3/ 2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方 向的变化率，是有正负的。
9
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
原来位置的角位移，即挠度和转角。梁的变形体现在梁轴
线的变化：梁的各截面发生位移，导致梁变形；梁的各截 面形心的线位移所描述的曲线即为变形后的轴线。
4
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
二、梁的挠曲线的概念
弯曲后梁的轴线——挠曲线为一平坦而光滑的曲线， 它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形 后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q 也就
材料力学-梁的挠度
F 3 Fl 2 x1 x1 12EI 12EI y 2 3 F 3 1 5 Fl Fl 2 3 ( lx2 x2 ) x2 6 6 EI 4 EI EI 4
F 2 Fl 2 (x ) x1 1 1 4 EI 12EI 2 F 3 1 Fl 2 2 ( x2 ) ( lx2 x2 ) EI 2 2 3EI Fl 2 由此可知： A 1 ( x1 0) (逆时针方向 )； 12 EI 3 Fl 3 yC y2 ( x2 l ) (向下) 2 8 EI
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：v =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系：
df tg dx
f
(1)
§7-2
梁的挠曲线近似微分方程
M z ( x) EI z 1
(1)
小变形
3
一、挠曲线 0
f
1
梁的刚度校核
max
1 1 f (对土建工程 : ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条 件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
f
max
L
f L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
P
A C
q B
[例4] 按叠加原理求A点转角 和C点挠度。 解、① 载荷分解如图
a
P A
a
②
由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
=
B
材料力学第五章 梁弯曲时的位移
分
F
F
B
M
+
B a wC (F )
C qB×a wC (F )
qB = qB ( q ) + qB ( M )
§5-5 梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施
一、梁的刚度校核
wmax w [ ] l l
qmax [q ]
刚度条件
吊车梁：
w 1 1 [ ] ～ l 500 600
屋梁和楼板梁： 钢闸门主梁： 普通机床主轴：
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0
qA ＝ 0
边界条件 —— 支座处的约束条件
挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁 段的交接处，应具有相同的挠度和转角。
约束条件 本教材中 连续条件 边界条件
例1：悬臂梁在自由端受集中力F作用， 试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转 角和最大挠度。设梁的弯曲刚度为 EI。
F
A a B a
M
C a D
F
A H B a
M
C a D x
y
0.5Fa
－
a
＋
M图
0.5Fa
M＜0，挠曲线上凸； M＞0，挠曲线下凸； H 为挠曲线的拐点； M＝0，挠曲线为直线。
例4：已知一直梁的挠曲线方程为
试求：
q0 x 3 2 3 w (l 3lx 2 x ) 48EI
① 端点（ x ＝0 及 x ＝l ）的约束情况； ② 画弯矩图、剪力图； ③ 荷载情况，并画出梁的简图。
1
高等数学：
w = ± 3/2 r (x) （1＋ w2）
1
材料力学第9章 梁的挠度和刚度计算
x
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 24
qx4
C1x
D1
EIw2
1 48
ql
3l 2
3
x
C2 x
D2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 6
qx3
C1
EIw2
1 16
ql
3l 2
2
x
C2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
4 边界条件、连续条件 5 梁的转角方程和挠曲线方程
2
2 EIw(l) 0
EIw
1 6
qx3
ql 4
x2
C1
1 24
ql 4
ql 12
l3
C1l
D1
0
EIw
1 24
qx 4
ql 12
x3
C1x
D1
C1
ql 2 24
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
[f] L ~ L 500 600
普通机车主轴
[q ] 0.30
3，影响变形的因素
L 10时, Q的影响只有M的3% h
由小变形条件， x不计
4，计算变形的方法
积分法、 叠加法、 能量法、
………
9.2 挠曲线近似微分方程
1、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
EI z
七章梁弯曲时的位移
§7－5 梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施
一、梁的刚度条件
wm ax l
w l
max
例题5-8 图示悬臂梁AB，承受均布荷载 q 的作用。已知： l=3m，q=3kN/m，，梁采用20a号工字钢，其弹性模量 E=200GPa，试校核梁的刚度。
q
A l
y
Bx
解：查得工字钢的惯性矩为:
I 0.237104 m4
(x
a) 2
C2
（c）
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
（d）
应用位移边界条件求积分常数 支座约束条件：
w x0 0 w xl 0
位移连续条件：
w1(a) w2 (a), w1(a) w2 (a)
得：
C1 C2
Fb (l 2 b2 ), 6l
D1 D2 0
④ 写出转角方程及挠曲线方程。
例题7-4 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试 按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。
Me
q
A
C
l
q
A Me
A
解：此梁上的荷载可以分为 B 两项简单荷载，如图所示。
wC
wCq
wCM
5ql 4 384 EI
Mel2 16 EI
B
A
Aq
AM
ql3 24 EI
M el 3EI
正对称荷载作用下：
wC1
5(q / 2)l 4 384 EI
5ql 4 768 EI
A1
B1
(q / 2)l3 24 EI
ql3 48 EI
B
q
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EIf
1 2
P(
L
x)2
C1
EIf
(0)
1 6
PL3
C2
0
EIf
1 6
P(L
x)3
C1 x
C2
EI
(0)
EIf
(0)
1 2
PL2
C1
0
C1
1 2
PL2
; C2
1 6
PL3
L
P
x
f 写出弹性曲线方程并画出曲线
f ( x) P (L x)3 3L2 x L3 6EI
最大挠度及最大转角
max
虚梁对应方程： M (x) q(x)
：令： q( x) -M(x) 依此建立虚梁上的分布载荷。
EIf ( x) M (x) ：虚梁“力”微分方程的积分
M (x) q(x)
x
Q( x) M (x) 0 q(x)dx Q0
xx
M ( x) 0 ( 0 q(x)dx)dx Q0 x M0
M >0
x
1 Mz(x)
EI z
f ( x ) 0 fy
M <0
yf f ( x ) 0
1 ± f ( x)
(1 f 2 )3 2
小变形
±f
( x)
x f ( x) M z ( x) EI z
f ( x ) M ( x ) …… （2）
EI
式（2）就是挠曲线近似微分方程
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
实梁“位移”微分方程的积分
EIf ( x) M( x)
x
EI EIf ( x) 0 ( M ( x))dx EI 0
xx
EIf ( x) 0 ( 0 ( M ( x))dx)dx EI 0 x EIf 0
下脚标带“0”的量均为坐标原点的量。 EIf ( x) M(x)
EI ( x) Q(x)
f 同向为正，反之为负。
P
二、转角：横截面绕其中
A
Bx
性轴转动的角度。用
表示，顺时针转动为正，
C1
反之为负。
f
三、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
=f（x）
四、转角与挠曲线的关系：
tg
df
小变形
dx
f …… （1）
§8－2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
x)3
C1
x
C2
D1 x D2
应用位移边界条件求积分常数
a
EIf
(0)
1 6
Pa3
C2
0
P
x
EI
(0)
1 2
Pa2
C1
0
f
L
(a ) (a ) C1 D1
f (a ) f (a )
C1a C2 D1a D2
C1
D1
1 2
Pa2
; C2
D2
1 6
Pa3
写出弹性曲线方程并画出曲线
：依实梁的“位移”边界条件建立虚梁的“力”边界条件。
EIf A M A ; EI A QA
实梁
共轭梁
虚梁
支 承 和 端 部 情 况 位移边界 力边界
相应的支承和端部情况
A
固定端A
A
自由端A
A
铰支端A
中间铰
A
支座A
A
中间铰A
fA 0
A 0
fA 0
A 0
fA 0
A 0
MA 0 QA 0
梁的挠曲线微分:方E程 If ( x) M ( x) 梁的外载与内力的为关 : M系(x) q(x)
上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为 外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求 弯矩与剪力的问题。
三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）： ：x 轴指向及坐标原点完全相同。 ：几何形状完全相同。 ：实梁对应方程： EIf ( x) M( x)
(L)
PL2 2EI
f max
f (L)
PL3 3EI
解：建立坐标系并写出弯矩方程
P
a
M
(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)
P( 0
x
a)
(0 x a) (a x L)
x
L
写出微分方程的积分并积分
f
EIf
P(a 0
x)
(0 x a) (a x L)
EIf
1 2
P(a
x)2
C1
D1
EIf
1 6
P(a
P
f
(
x)
6EI P
6EI
(a x)3 3a2 x a3 3a2 x a3
(0 x a) (a x L)
最大挠度及最大转角
max
(a)
Pa 2 2EI
P a
x
L
fmax
f (L)
Pa 2 6EI
3L a
f
§8－3 求梁的挠度与转角的共轭梁法
一、方法的用途：求梁上指定点的挠度与转角。 二、方法的理论基础：相似比拟。
第八章 弯曲变形
§8–1 概述 §8–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §8–3 求梁的挠度与转角的共轭梁法 §8-4 按叠加原理求梁的挠度与转角 §8-5 梁的刚度校核 §8-6 梁内的弯曲应变能 §8-7 简单超静定梁的求解方法 §8-8 梁内的弯曲应变能
§8－１ 概 述
一、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。用 表示。与
③： 令： q( x) - M（x） 依此建立虚梁上的分布载荷。
④：依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。
EIf A M A ; EI A QA
a ：固定端 ←→ 自由端 b ：铰支座 ←→ 铰支座 c ：中间铰支座 ←→ 中间铰链
⑤ ：依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。
fx
Mx EI
EIf ( x) M( x)
二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1、微分方程的积分
EIf ( x) M( x)
EIf ( x) (M( x))dx C1 EIf ( x) ( ( M( x))dx)dx C1 x C2
2、位移边界条件
A
P
C
B
D
P
、支点位移条件：
fA 0 fB 0
MA 0 QA 0
MA 0 QA 0
A
自由端A
A
固定端A
A
铰支端A
fA 0
M A 0 中间铰A
A
A左 A右 0 QA左 QA右 0
f A左 f A右
MA左 MA右 中间铰
A
A左 A右
QA左 QA右
支座A
总结：等截面实梁与虚梁的关系： ①： x 轴指向及坐标原点完全相同。②：几何形状完全相同。
、连续条件： fC fC
、光滑条件： C C
fD 0 D 0
或写成fC 左 fC 右
或 写 成 C 左 C 右
例 8-2-1：求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：建立坐标系并写出弯矩方程 M( x) P( x L)
L
P
x
写出微分方程的积分并积分
f
EIf M( x) P(L x) 应用位移边界条件求积分常数
; x
Qx EI
例 8-3-1：求下列等截面直梁B点的位移（挠度和转角）。
q A
L
f q0
qL 2 2
q（x）
解： 建立坐标和虚梁