梁的挠曲线近似微分方程及其积分.

f 同向为正，反之为负。
P
二、转角：横截面绕其中
A
Bx
性轴转动的角度。用
表示，顺时针转动为正，
C1
反之为负。
f
三、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
=f（x）
四、转角与挠曲线的关系：
tg
df
小变形
dx
f …… （1）
§8－2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
P
f
(
x)
6EI P
6EI
(a x)3 3a2 x a3 3a2 x a3
(0 x a) (a x L)
最大挠度及最大转角
max
(a)
Pa 2 2EI
P a
x
L
fmax
f (L)
Pa 2 6EI
3L a
f
§8－3 求梁的挠度与转角的共轭梁法
一、方法的用途：求梁上指定点的挠度与转角。 二、方法的理论基础：相似比拟。
x)3
C1
x
C2
D1 x D2
应用位移边界条件求积分常数
a
EIf
(0)
1 6
Pa3
C2
0
P
x
EI
(0)
1 2
Pa2
C1
0
f
L
(a ) (a ) C1 D1
f (a ) f (a )
C1a C2 D1a D2
C1
D1
1 2
Pa2
; C2
D2
1 6
Pa3
写出弹性曲线方程并画出曲线
③： 令： q( x) - M（x） 依此建立虚梁上的分布载荷。
④：依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。
EIf A M A ; EI A QA
a ：固定端 ←→ 自由端 b ：铰支座 ←→ 铰支座 c ：中间铰支座 ←→ 中间铰链
⑤ ：依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。
fx
Mx EI
M >0
x
1 Mz(x)
EI z
f ( x ) 0 fy
M <0
yf f ( x ) 0
1 ± f ( x)
(1 f 2 )3 2
小变形
±f
( x)
x f ( x) M z ( x) EI z
f ( x ) M ( x ) …… （2）
EI
式（2）就是挠曲线近似微分方程
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
虚梁对应方程： M (x) q(x)
：令： q( x) -M(x) 依此建立虚梁上的分布载荷。
EIf ( x) M (x) ：虚梁“力”微分方程的积分
M (x) q(x)
x
Q( x) M (x) 0 q(x)dx Q0
xx
M ( x) 0 ( 0 q(x)dx)dx Q0 x M0
、连续条件： fC fC
、光滑条件： C C
fD 0 D 0
或写成fC 左 fC 右
或 写 成 C 左 C 右
例 8-2-1：求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：建立坐标系并写出弯矩方程 M( x) P( x L)
L
P
x
写出微分方程的积分并积分
f
EIf M( x) P(L x) 应用位移边界条件求积分常数
(L)
PL2 2EI
f max
f (L)
PL3 3EI
解：建立坐标系并写出弯矩方程
P
a
M
(
x)
P( 0
x
a)
(0 x a) (a x L)
x
L
写出微分方程的积分并积分
f
EIf
Baidu Nhomakorabea
P(a 0
x)
(0 x a) (a x L)
EIf
1 2
P(a
x)2
C1
D1
EIf
1 6
P(a
MA 0 QA 0
MA 0 QA 0
A
自由端A
A
固定端A
A
铰支端A
fA 0
M A 0 中间铰A
A
A左 A右 0 QA左 QA右 0
f A左 f A右
MA左 MA右 中间铰
A
A左 A右
QA左 QA右
支座A
总结：等截面实梁与虚梁的关系： ①： x 轴指向及坐标原点完全相同。②：几何形状完全相同。
实梁“位移”微分方程的积分
EIf ( x) M( x)
x
EI EIf ( x) 0 ( M ( x))dx EI 0
xx
EIf ( x) 0 ( 0 ( M ( x))dx)dx EI 0 x EIf 0
下脚标带“0”的量均为坐标原点的量。 EIf ( x) M(x)
EI ( x) Q(x)
EIf
1 2
P(
L
x)2
C1
EIf
(0)
1 6
PL3
C2
0
EIf
1 6
P(L
x)3
C1 x
C2
EI
(0)
EIf
(0)
1 2
PL2
C1
0
C1
1 2
PL2
; C2
1 6
PL3
L
P
x
f 写出弹性曲线方程并画出曲线
f ( x) P (L x)3 3L2 x L3 6EI
最大挠度及最大转角
max
; x
Qx EI
例 8-3-1：求下列等截面直梁B点的位移（挠度和转角）。
q A
L
f q0
qL 2 2
q（x）
解： 建立坐标和虚梁
EIf ( x) M( x)
二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1、微分方程的积分
EIf ( x) M( x)
EIf ( x) (M( x))dx C1 EIf ( x) ( ( M( x))dx)dx C1 x C2
2、位移边界条件
A
P
C
B
D
P
、支点位移条件：
fA 0 fB 0
：依实梁的“位移”边界条件建立虚梁的“力”边界条件。
EIf A M A ; EI A QA
实梁
共轭梁
虚梁
支 承 和 端 部 情 况 位移边界 力边界
相应的支承和端部情况
A
固定端A
A
自由端A
A
铰支端A
中间铰
A
支座A
A
中间铰A
fA 0
A 0
fA 0
A 0
fA 0
A 0
MA 0 QA 0
梁的挠曲线微分:方E程 If ( x) M ( x) 梁的外载与内力的为关 : M系(x) q(x)
上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为 外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求 弯矩与剪力的问题。
三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）： ：x 轴指向及坐标原点完全相同。 ：几何形状完全相同。 ：实梁对应方程： EIf ( x) M( x)
第八章 弯曲变形
§8–1 概述 §8–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §8–3 求梁的挠度与转角的共轭梁法 §8-4 按叠加原理求梁的挠度与转角 §8-5 梁的刚度校核 §8-6 梁内的弯曲应变能 §8-7 简单超静定梁的求解方法 §8-8 梁内的弯曲应变能
§8－１ 概 述
一、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。用 表示。与