四川省古蔺县中学高三数学 2.5对数函数、幂函数复习学案

四川省古蔺县中学高三数学复习学案：2.5对数函数、幂函数

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一、考纲点击

1、对数函数

2、幂函数

（1）了解幂函数的概念。

（2）结合幂函数y=x，y=x2，y=x3，

1

y

x

=

，

1

2

y x

=的图象，了解它们的变化情况。

二、热点提示

1、对数函数

（1）对数运算是高中学习的一种重要运算,而对数函数又是最重要的一类基本初等函数,因此该节内容是高考的重点。

（2）考查热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想。

（3）常以选择题、填空题的形式考查对数函数的图象、性质，或与其他知识交汇以解答题的形式出现。

2、幂函数

（1）幂函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点；

（2）探求具体幂函数的性质及应用它们的性质解决其他问题是重点，也是难点；

（3）题型以选择题和填空题为主，与函数的性质、二次函数、方程、不等式等知识点交汇命题。

【考纲知识梳理】

一、对数函数

1、对数的概念

（1）对数的定义

如果

(01)

x

a N a a

=>≠

且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log N a

x=

，其中a

叫做对数的底数，N叫做真数。（2）几种常见对数

2、对数的性质与运算法则

（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：

①1log 0a =，②log 1a a =，③log N

a a N =，④

log N

a a N =。 （2）对数的重要公式： ①换底公式：

log log (,1,0)log N N

a b

b

a a

b N =>均为大于零且不等于；

②

1

log log b a a b =

，推广log log log log a b c a b c d d =。

（3）对数的运算法则：

如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①

N M MN a a a log log )(log +=；

②

N M N M

a a a

log log log -=；

③∈=n M n M a n

a (log log R ）；

④

b m n

b a n a m log log =

。

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

（1）定义：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量。而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。 （2）表示：函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x)表示.

（

3）指数函数y=ax 与对数函数y=logax 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。 二、幂函数

1、幂函数的定义

形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 2、五种幂函数的图象比较

注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2， y=x ，12

y x =，y=x-1方法：可画出x=x0； 当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x ，12

y x =， y=x-1； 当0

y x = ，y=x ， y=x2，y=x3 。

提示：（1）由于在第四象限x>0，又因为此时

因此幂函数图象上的点不会在第四象

限；

（2）由函数的定义可知，幂函数的图象最多出现在两个象限内。 【要点名师解析】 （一）对数函数

一、对数式的化简与求值 对数的化简与求值的基本思路

利用换底公式及，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；

利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算； 约分、合并同类项，尽量求出具体值。 〖例1〗计算

解：（1）原式

22

(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；

（2）原式

lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3

(

)()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+

3lg 25lg35

2lg36lg 24=

⋅=

；

（3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2

=++=++；

分母=

41006

lg 26lg 101100036lg

)26(lg =-+=⨯-+；

∴原式=43

。

二、比较大小 1、相关链接

（1）比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成。 ①a>1,f(x)>0.g(x)>0,则logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0; ②00,g(x)>0,则logaf(x)>logag(x) ⇔0

（2）比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较。 ①若a>b>1，如图1.

当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x); 当0

logaf(x)> logbf(x).

②若1>a>b>0,如图2。

当f(x)>1时，logbf(x)> logaf(x); 当1>f(x)>0时，logaf(x)> logbf(x). ③若a>1>b>0。

当f(x)>1时，则logaf(x)> logbf(x); 当0

①作差（商）法；②利用函数的单调性；③特殊值法（特别是1和0为中间值） 2、例题解析

〖例〗对于01a <<，给出下列四个不等式：

①

1

log (1)log ();

a a a a a +<+ ②

1

log (1)log (1)

a a a a +>+； ③1

11;a

a a

a

+

+<

④111;a

a

a a +

+>其中成立的是（ ）

（A ）①与③（B ）①与④（C ）②与③（D ）②与④

分析：从题设可知，该题主要考查log a y x =与x

y a =两个函数的单调性，故可先考虑函数

的单调性，再比较大小。