解FOKKER—PLANCK—LANDAU方程的谱方法

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分数阶fokker–planck方程

分数阶Fokker-Planck方程I.概述Fokker-Planck方程在物理学和数学领域有着广泛的应用。

它描述了具有随机性质的系统的演化过程，并在统计物理、金融工程、生态学和化学等领域得到了广泛的应用。

然而，传统的Fokker-Planck方程假设了系统的漂移和扩散过程是由布朗运动描述的，而在实际应用中，很多系统的漂移和扩散行为不能完全由布朗运动来描述。

引入分数阶导数来描述非马尔科夫性质的随机过程，成为了当前研究的热点之一。

II.分数阶导数A.分数阶微积分的概念及应用分数阶微积分是指微分和积分可以取非整数次幂的一种微积分。

在不同的领域中，分数阶微积分有着不同的解释和应用。

在描述复杂介质中的传热传质问题时，分数阶微分方程可以更好地描述材料中的多尺度性质。

在描述非马尔科夫性质的随机过程时，分数阶微分方程可以更好地描述系统的长程记忆和非局域性行为。

B.分数阶导数的定义及性质分数阶导数可以由分数阶积分来定义，具体的定义为：[1] $\frac{d^{\alpha} f(t)}{dt^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dt} \int_{0}^{t} \frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}}d\tau$其中，$\alpha$为分数阶，$\Gamma$为gamma函数。

III.分数阶Fokker-Planck方程的推导A.经典Fokker-Planck方程经典的Fokker-Planck方程描述了布朗运动中粒子位置和速度分布的演化过程，其一维形式可以写为：[2] $\frac{\partial}{\partial t}p(x,t)=\frac{\partial}{\partialx}(\mu(x)p(x,t))+\frac{\partial^2}{\partialx^2}(\sigma^2(x)p(x,t))$其中，$p(x,t)$为粒子在位置x处于时间t时的概率密度函数，$\mu(x)$为粒子的漂移系数，$\sigma(x)$为粒子的扩散系数。

joseph谱分解法

joseph谱分解法
Joseph谱分解法是一种数学方法，用于将一个矩阵分解为一个或多个约瑟夫矩阵的组合。

约瑟夫矩阵是一个m×n矩阵，其元素满足以下条件：
1.第一行和第一列的元素均为1。

2.除第一行和第一列外，其他元素均为0。

约瑟夫矩阵可以用递归的方式生成，例如：
1.一个约瑟夫矩阵是约瑟夫矩阵的零矩阵。

2.如果存在一个约瑟夫矩阵J和一个矩阵P，其中P的所有列都是不同的，并且每一列中只有一个元素为1，其他元素为0，那么J= P+J*P。

Joseph谱分解法的步骤如下：
1.将原始矩阵分解为一个或多个约瑟夫矩阵的组合。

2.对于每个约瑟夫矩阵，确定其阶数（即行数和列数）。

3.对于每个约瑟夫矩阵，确定其谱（即特征值）。

4.对于每个约瑟夫矩阵，计算其特征向量。

5.使用这些特征向量构建矩阵P。

6.使用P和原始矩阵构建新的矩阵Q。

7.将Q分解为一个或多个约瑟夫矩阵的组合。

8.重复步骤1-7，直到达到所需的精度或收敛性。

Joseph谱分解法在数学、物理和工程等领域有广泛应用，例如在量子力学、化学反应动力学和控制系统等领域中用于求解线性代数
方程组和计算特征值等问题。

一类Fokker_Planck方程的变分迭代解法

收稿日期:2009-09-01 作者简介:黄得建(1980-),男,河南太康人,琼州学院数学系助教硕士,研究方向为偏微分方程1第16卷　第5期琼州学院学报2009年10月28日Vol .16　No .5Journal of Q i ongzhou University Oct .28.2009一类Fokker -Planck 方程的变分迭代解法黄得建,李艳青(琼州学院数学系,海南三亚572022)摘　要:将讨论抛物型方程初值问题的解.目的是应用改进的变分迭代算法来解决福克-普朗克方程和一些类似方程的求解问题.这种算法成功的应用于一些线性和非线性问题.几个具体例子说明这种方法的有效性。

关键词:变分迭代算法;非线性;Kol m ogor ov 方程;Fokker -Planck 方程中图分类号:0241 文献标识码:A 文章编号:1008-6722(2009)05-0018-020　引言Fokker 和Planck 提出的Fokker -Planck 方程首先用来描述液体中固体颗粒的布郎运动[1].质量为m 的颗粒的运动方程:9W 9t =γ9(v W )9v +γKT m 92W9v 2(1)其中W (v,t )表示概率分布,v 表示颗粒的运动速度,t 是时间,γ表示牵引常量,K 是Boltz mann 常量,表示液体的温度.一般的含一个变量、有初始条件的Fokker -Planck 方程有如下形式:9u 9t =-99x A (x )+929x 2B (x )u u (x,0)=f (x ),x ∈R(2)其中u (x,t )是未知函数,B (x ),>0是扩散系数,A (x )是漂移系数。

变分迭代算法是何吉欢在广义拉氏乘子法的基础上提出来的[2,3],被许多作者成功的应用到一些非线性问题[4-7],是一种非常有效的方法.应用变分迭代算法求解具有初始条件的Fokker -Planck 方程[1].1　Fokker -Planck 方程及解法分析式(2)中的扩散系数和漂移系数也可与变量有关,即有下式:9u 9t=-99x A (x,t )+929x 2B (x,t )u (3)上式又可称为前进的kol m og or ov 方程;类似的有落后的kol m ogor ov 方程,如下:9u 9t =-A (x,t )99x +B (x,t )929x 2u (4)更一般地,与时间和多个变量有关的Fokker -Planck 方程有如下形式:9u9t=-∑Ni =199x i A i (X )+∑Ni,j =1929x i 9x jB i,j (X )u u (X,0)=f (X ),x ∈RN(5)式中X =(x 1,x 2,…,x N ),A i (X )和B i,j (X )都和多个变量有关.而非线性Fokker -Planck 方程的应用更广泛,含单变量的非线性Fokker -Planck 方程有如下形式[8]:9u 9t=-99x A (x,t,u )+929x 2B (x,t,u )u (6)改进的变分迭代算法在文献[3,4]中有详细的说明,下文用几个具体的例子来说明.2　应用例1　在式(2)中,考虑A (x )=-1,B (x )=1,初始值F (X )=x,x ∈R 的情形.由变分迭代算法,构造t -方向校正泛函:u n +1(x,t )=u n (x,t )+∫t0λ9u n9s--99x A (X )+929x2B (x )u ～n ds 由变分原理,知δu n +1(x,t )=δu n (x,t )+δ∫t0λ9u n9s--99x A (X )+929x2B (x )u ～n ds =δu n (x,t )+λδu n (x,s )|s =t +∫tλ′(s )δu n (x,s )ds =0对上述校正泛函取驻值,可得驻值条件:1+λ(s )|s =t =0;λ′(s )=0;则拉氏乘子可近似识别为:λ=-1,应用[3,4]中改进后的迭代公式,将λ=-1,A (x ),B (x )代入可得求解迭代公式为:u n +1(x,t )=u 0(x,t )+∫t+(99x +929x 2)u n ds (7)若取u 0(x,t )=u (x,0)=f (x ),由式(7)可得:u 1=x +∫tds =x +t 为式(2)在初始条件下的精确解.例2　在式(3)中,考虑A (x t )=e tcoth (x )cosh (x )+e tsinh (x )-coth (x );B (x t )=e tcosh (x ),初始值f (x )=sinh (x ),x ∈R 的情形.应用变分迭代算法可以得到解的迭代公式如下:u n +1=u 0+∫t+-99x A (x,s )+929x 2B (x,s )u n ds (8)若取u 0=u (x,0)=f (x ),由式(8)可得:u 1=sinh (x )+t sinh (x ),u 2=sinh (x )+t sinh (x )+t22!sinh(x ),u 3=sinh (x )+sinh (x )t +t22!sinh (x )+t33!sinh (x ),……,当n ϖ∞时,可得到u (x,t )=e tsinh (x )+t sinh (x )为式(3)在初始条件下的精确解.例3　在式(5)中,考虑A 1(x,y )=x,A 2(x,y )=5y;B 1,1(x,y )=x 2,B 1,2(x,y )=1,b 2,1(x,y )=1,B2,2(x,y )=y 2,初始值f (x,y )=x,x,y ∈R 的情形.应用变分迭代算法可以得到解的迭代公式如下:u n +1=u 0+∫t 0+-9A 19x -9A 29x +92B 1,19x 2+92B 1,29x 9y +92B 2,19y 9x +92B 2,29y2u n ds (9)若取u 0(x,y,t )=u (x,y,0)=f (x,y ),由式(9)可得:u 1==x +tx,u 2=x +tx +t22!x u 3=x +tx +t22!x +t33!x,……,当n ϖ∞时,可得到为式(5)在初始条件下的精确解.例4.在式(6)中,考虑A (x,t,u )=,4u x -x 3;B (x,t,u )=u,初始值f (x )=32,x ∈R 的情形.应用变分迭代算法可以得到解的迭代公式如下:u n +1=u 0+∫t+-99x4u n x -x 3929x 2u n u n ds (10)若取u 0=u (x,0)=f (x ),由式(10)可得:u 1=x 2+tx 2,u 2=x 2+x 2t +x 2t22!,u 3=x 2+x 2t +x2t22!t33!,……,当n ϖ∞时,可得到u (x,t )=x2e t为式(6)在初始条件下的精确解.(下转第22页)91　第5期黄得建,李艳青:一类Fokker -Planck 方程的变分迭代解法22琼州学院学报(第16卷)2009这就得到了用发生函数和组合构造求对合数的统一.参考文献:[1]Herbert S.wilf著,王天明译.发生函数论[M].北京:清华大学出版社,2002:90-97.[2]丁同仁,李承制.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,2003:110-125.[3]曹汝成.组合数学[M].广州:华南理工大学出版社,2000:7-8.[4]连秀国,张咏梅.对称群Sn的极小生成集[J].德州学院学报,2001,17(2):10-11.[5]宦红伦,刘红美,谢炜.对称群上基于极小对换生成集的Cay Ley图的同构[J].合肥学院学报自然科学版,2006,16(4):24-25.A Note on the I nvoluti on of S nZENG Fu2geng(Depart m ent ofMathe matics,Q i ongzhou University,Sanya Hainan572022,China) Abstract:The concep t of the Card,Hand,and Deputy are intr oduced,the exponential f or mula is led.U sed the method of Generating Functi on and Combining constructi on res pectively,the exp ressi on of the I nvoluti on of Sn is given.Key words:Generating Functi on;Exponential For mula;I nvoluti on;Combining constructi on(上接第19页)3　结论将改进的变分迭代算法成功地应用到Fokker-Planck方程求解,过程既简单又直观,并且收敛速度很快,精确度很高.参考文献:[1]H.R isken,The Fokker-Planck Equati on;Method of s oluti on and App licati ons[M].Berlin:S p ring Verlag,Heidelberg,1989.[2]He,J.H.,Variati onal iterati on method:a kind of nonlinear analytical technique:s ome exa mp les[J].I nt.J.Nonlinear Mech.1999,34(4):699-708.[3]He,J.H.,Variati onal iterati on method-s o me recent results and ne w inter pretati on[J].J.Co mput.Appl.Math.2007(207):3-17.[4]黄得建,李艳青,变分迭代算法的应用[J].琼州学院学报,2008(02):9-11.[5]A. A.Soli m an,M. A.Abdou,Numerical s oluti ons of nonlinear eveluti on iquati ons using variati onal iterati on method[J].J.Comput..App l.Math.,2007,207(1):111-120.[6]J.B iazar,H.Ghazvini,He’s variati onal iterati on method f or s olving hyperbolic differential equati ons[J].I nt.J..NonlinearSci.,2007,8(3):311-314.[7]Z M.Odibat,S.Momani,App licati on of variati onal iterati on method t o Nonlinear differential equati ons of fracti onal order[J].I nt.J.Nonlinear Sci.Nu mer.Si m ul,2006,7(1):27-34.[8]M.Tatari,M.Dehghan,M.Razzaghi,App licati on of the Adom ian decompositi on method f or the Fokker-Planck equati on[J].M put..Modelling,2007(45):639-650.The Soluti on of Var i a ti ona l Itera ti on for a k i n d of Fokker-Pl anck Equa ti on sHUANG De2jian,L I Yan2qing(Depart m ent of Mathe matics,Q i ongzhou University,Sanya Hainan572022,China) Abstract:This paper will discuss the s oluti on of an initial value p r oble m of parabolic type.The ai m of the p resent paper is t o investigate the app licati on of the modified variati onal iterati on method f or s olving the Fokker2 Planck equati ons and s ome si m ilar equati ons.Thismethod can be successfully app lied t o a large class of linear and nonlinear p r oble m s.Some exa mp les illustrate the effectiveness and convenience of the method.Key words:variati onal iterati on method;Nonlinearity;Kol m ogor ov equati on;Fokker2Planck equati on。

北京大学硕士论文

iii
iv
目录
摘要剪切流中的一维棒状液晶随机模型的分析 i 1 3 3 4 7 7 9 9
第一部分第一章前言
§1.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.2 问题的数学表述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第二章解的存在唯一性
§A.0.1 小时间的不动点结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 §A.0.2 大范围时间解的构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 附录二参考文献
n Θj tn (yi ) − Θi,j L2 ω
要
第一部分中，我们考虑剪切流中的液晶聚合物的随机模型．液晶聚合物分子的运动通过带有分子间相互作用 Maier-Saupe 势的非线性随机微分方程来刻画．宏观的应力张量来自聚合物微观构象的系综平均．我们首先通过压缩映射方法证明非线性的随机微分方程强解的存在唯一性，然后针对耦合的偏微分方程 – 随机微分方程组进行先验估计，采用 Galerkin 方法证明耦合的流体 – 聚合物方程组存在小时间范围内的唯一解．在考虑系统的数值离散格式的时候，由于随机微分方程的解是一个非线性扩散过程，经典的蒙特卡洛方法和大数定律不再适用，我们采用弱相互作用的随机过程来逼近，并且在加上针对流体计算的交错网格差分格式之后，证明了 1 2 完整的杂交耦合格式的收敛性，收敛速度为 O(h + δt + √M ). 本文的第二部分针对复杂流体的一种特殊物理现象 – spurt 现象，总结了一维简单剪切流的情况下 spurt 现象的理论结果，强调 spurt 现象和非单调的应变应力关系的重要联系．回顾和发展了当前的针对全耦合模型的数值方法．数值计算了 1 维硬棒模型、 Hookean 模型、 FENE 模型和 FENE 近似模型的应变应力的单调函数关系，从而否定了这些模型出现 spurt 现象的可能性．其中针对 2 维 FENE 模型的计算采用的数值方法包括计算 Fokker Planck 方程的谱方法和求解随机微分方程的布朗动力学随机模拟，两种方法都得出了相同的数值结果．针对 3 维 FENE 模型的布朗动力学随机模拟表明 1 维简单剪切流中 2 维 FENE 模型和 3 维 FENE 模型的应变应力的函数关系基本没有区别．

推导一维fokker-planck方程

一维Fokker-Planck方程是描述概率密度随时间演化的偏微分方程，在物理学、生物学和金融学等领域都有广泛的应用。

本文将从基本概念开始，详细介绍一维Fokker-Planck方程的推导过程，以及其在实际问题中的应用。

一、概念介绍1.1 Fokker-Planck方程的基本概念1.2 随机过程与概率密度函数1.3 Langevin方程及其与Fokker-Planck方程的关系二、推导过程2.1 布朗运动的描述与随机微分方程2.2 极限过程与Fokker-Planck方程的出现2.3 一维Fokker-Planck方程的具体推导三、方程性质分析3.1 稳态解与边界条件3.2 Langevin方程的稳态解与Fokker-Planck方程的关系3.3 数学方法与数值模拟四、应用领域4.1 生物学中的应用4.2 物理学中的应用4.3 金融学中的应用五、总结与展望5.1 一维Fokker-Planck方程的研究现状5.2 发展趋势与挑战5.3 在实践中的意义与价值通过以上分析，我们对一维Fokker-Planck方程的推导过程和应用领域有了更深入的了解。

在未来的研究和实践中，我们可以更好地利用这一理论工具，解决复杂的实际问题，推动该领域的发展。

希望本文能够对读者有所启发，引起更多人对一维Fokker-Planck方程的关注和研究。

一维Fokker-Planck方程是描述概率密度随时间演化的偏微分方程，在物理学、生物学和金融学等领域都有广泛的应用。

本文将从基本概念开始，详细介绍一维Fokker-Planck方程的推导过程，以及其在实际问题中的应用。

一、概念介绍1.1 Fokker-Planck方程的基本概念Fokker-Planck方程是描述随机过程中概率密度函数随时间演化的方程，它可以用来描述粒子在势场中的扩散过程。

其形式为一个偏微分方程，通常用于描述布朗运动和扩散过程，在物理、化学、生物和金融等领域有着广泛的应用。

关于fokker——planck方程的几种解法

关于fokker——planck方程的几种解法FokkerPlanck方程是由德国物理学家以克弗克莫尔和德国数学家马克斯普朗克于1906年共同提出的。

它是对分布函数随时间动态变化的研究，它可以精准地描述物理系统中的随机运动，因此它在物理学上有着非常重要的意义。

在统计物理学的研究中，FokkerPlanck 方程扮演着重要的角色。

FokkerPlanck方程有许多解法，这些解法都是基于具体问题进行求解的。

这里就涉及到了概率论等数学方面的知识，因此很多人都会遇到很大的挑战。

FokkerPlanck方程的解法可以根据以下几种情况进行分类：一、常微分方程法利用概率论计算机技术，可以利用常微分方程法求解FokkerPlanck方程。

该方法是利用概率论的背景将FokkerPlanck方程改写成一组有限个常微分方程，然后求解这些常微分方程，得到FokkerPlanck方程的解。

二、Wiener-Ito-Kolmogorov法这种方法是将Fokker-Planck方程转化为Wiener-Ito-Kolmogorov(WIK)方程。

通过解WIK方程，可以获得Fokker-Planck方程的解。

WIK方程描述的是一个傅里叶变换及其反变换的形式，它可以用来描述概率密度的协方差函数的变化。

三、基本解法这种方法是证明Fokker-Planck方程的基本解。

通过利用概率论的方法和多元变量微分学的原理，证明Fokker-Planck方程的基本解，用这种解式解法可以求出Fokker-Planck方程的解。

四、变分法变分法是一种常用的求解Fokker-Planck方程的方法，它是将变分优化技术应用到Fokker-Planck方程中，从而求解出Fokker-Planck方程的解。

这种方法简单易操作，可以有效提高求解Fokker-Planck方程的效率。

五、积分变换法积分变换法是一种求解Fokker-Planck方程的方法，它是将概率论的概念加以处理，将Fokker-Planck方程转换为一个积分问题，然后进行求解。

关于Fokker-Planck方程的小噪声展开

n ( 2) 经过简单的运算后可以验证 , 使用 n∑ p nε = p 连同( 7. 1) ,( 7. 2) 代入 ( 6) 后 , 多项 =0
∞
式两边的幂次无法恒等 , 所以也是不相容的 .
3 主
要结论和证明
再仔细分析一下就可以知道 , 多项式展开的关键在于方程( 6) 的漂移项不是没有限制的 , 标度变换的分母 ε 限制了漂移的摄动只能保持和 ε 有相同的阶数 . [ 5] 中出现 A[ α ( s) + ε y] - A[ α ( s) ] 缺乏推导的严格性 . 因而方程( 2) 的小噪声展开应该在 A 和 p 中从 n = 1 开始 , 即
t
p =
x
[ kxp] +
1 2 2 ε xp 2
的解是一个非奇异的 G auss 分布
＊收稿日期 : 96 年 3 月 13 日 , 收到修改稿日期 : 96 年 12 月 8 日 .
34
数理统计与应用概率
第 13 卷第 1 期
pε ( y ,t) = 其中 α ( t ) = < x( t) > , β ( t) = ( 1 - e-
t
s = t p( y , s) = ε p( x , t) p y y t + p s
( 3)
p( y , s) = p( y , s) =
x
1 p ε y 1 p( y , s) tp = ε s
因而( 2) 的漂移项 == 而( 2) 的扩散项 1 2 2 ε x[ B( x) p( x , t ) ] 2 1 2 2 = ε ( s) + ε y] x{ B[ α 2 1 2 = 2 ε x{ B[ α ( s) + ε y] = 1 2 ε {B[ α ( s) + ε y] 2 y

等离子体物理讲义12_碰撞算子BBGKY理论

2
等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。为简化对等离子体现象的研究，依据作用方式可将相互作用分成两类。等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式各样的集体性质，正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
5
1d
d
1
2d
d
2
和动量矩守恒
d d
其中常数，分别为（碰撞前）初始动能和初始动量矩
1d
d
2d
d
解出
1d 2d 2
d2
d
2
.根据动量矩守恒
d
得到 d 2
积分 d
2 其中由条件
d d 确定，即
d d
0
d 1
6
1 因此偏转角
2
对于 Coulomb 位势而言
＝0
d 2
1
其中
/
/
因此
/4
2 arcsin
；
位置，，相对位移是
。碰撞后，粒子的速度分别为
，，相对速度为
。粒子的运动方程为
3
其中
d
，d
d
d
。引入质心坐标系和相对位移
则得到质心运动速度和折合质量为
d 0
d
d
常矢量
d
d d
结果表明，二粒子碰撞在质心系中相当于一个质心保持匀速直线运动，
相对运动相当一个质量为的粒子受在力心固定的向心力

关于fokker——planck方程的几种解法

关于fokker——planck方程的几种解法Fokker-PlanckFP）程是一种有效的用来描述随机过程中系统的变化的方程。

它最初由凯斯佛克弗克尔（KurtFokker）和爱因斯坦玻尔兹曼（Einstein）合作开发，从而获得了其名称。

它在多个科学和工程领域都有应用，其中包括热力学，分子动力学，流体动力学，质量传输等等。

Fokker-Planck方程有多种不同的解法，这些解法都可以帮助我们更好地理解和控制系统的行为。

下面，我们将介绍几种常用的解法来解决Fokker-Planck方程。

首先，最常用的方法是采用数值法解决Fokker-Planck方程。

这种方法也被称为随机过程模拟。

通过使用数值法，我们可以模拟系统中的不同状态，因此可以更轻松地解决Fokker-Planck方程。

其方法主要包括：后向Euler方法（Backward Euler Method），Crank-Nicolson方法（Crank-Nicolson Method）和前向差分方法（Forward Difference Method）等。

其次，采用分析法解决Fokker-Planck方程也是一种有效的方法。

对于非线性的Fokker-Planck方程，可以采用拉格朗日变换的方法解决。

另外，还可以使用几类其他的分析方法，比如正则化方法、快速傅立叶变换法（FFT）、局部平移方法、能量方法等。

最后，还有一些称为统计非线性方法的算法，可以被用于解决Fokker-Planck方程。

它们包括基于梯度下降方法和粒子滤波方法（Particle Filtering）。

另外，统计非线性方法也可以用来解决高维Fokker-Planck方程，例如用核密度估计（Kernel Density Estimation）来解决高维问题。

总之，fokker-planck方程有几种解法，其中包括数值法、分析法和统计非线性方法等。

它们各自都有一定的优缺点，在实际应用中可以根据具体情况选择不同的解法。

一类动力学方程及流体力学方程解的Gevrey类正则性

Boltzmann 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 碰撞算子 Q(f, f ) 的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . Fokker-Planck 方程、Landau 方程以及 Boltzmann 方程线性化模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Navier-Stokes 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gevrey 函数空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
研究现状及本文主要结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 存在性及唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 动力学方程的正则性理论: 空间齐次情形 . . . . . . . . . . . 动力学方程的正则性理论: 空间非齐次情形 . . . . . . . . . . Navier-Stokes 方程的正则性理论 . . . . . . . . . . . . . . .
第二章预备知识 2.1 2.2 2.3 基本记号
Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 基本函数空间及常用不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 2.3.2 Lp 空间及其性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sobolev 空间及其性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fokker–planck 方程和郎之万方程

fokker-planck方程和郎之万方程分别是描述随机过程中概率密度演化的重要方程。

它们在物理学、统计学、金融学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍这两个方程的基本概念、推导过程和物理意义，并探讨它们在不同领域的具体应用。

希望通过本文的阐述，读者能对这两个方程有一个更深入的理解。

一、fokker–planck方程的基本概念fokker–planck方程是描述随机过程中概率密度演化的偏微分方程。

它起源于布朗运动的研究，后来被推广到了更一般的随机过程中。

fokker–planck方程的一般形式可以写作：∂p/∂t = -∇·(vp) + ∇·D∇p其中p(x, t)是随机变量x在时间t的概率密度函数，v(x, t)是x的漂移速度场，D(x, t)是扩散系数。

这个方程描述了随机变量概率密度在时间和空间上的演化。

推导fokker–planck方程的方法有很多种，其中一种比较直观的方法是使用随机微分方程的技巧。

假设随机变量x的演化由随机微分方程dx = b(x)dt + σ(x)dW描述，其中b(x)是漂移系数，σ(x)是扩散系数，dW是布朗运动的随机微分。

通过伊藤引理和对概率密度函数的适当操作，可以得到fokker–planck方程。

fokker–planck方程在物理学中有很多应用，比如描述粒子在势场中的扩散过程、描述相变动力学中的概率密度演化等。

在金融学中，它也被用来描述资产价格的随机演化过程。

二、郎之万方程的基本概念郎之万方程是描述随机过程中概率密度演化的另一种重要方程。

它的一般形式可以写作：∂p/∂t = -∂(A(x, t)p)/∂x + 1/2 * ∂^2(B(x, t)p)/∂x^2其中p(x, t)是随机变量x在时间t的概率密度函数，A(x, t)和B(x, t)是x和t的函数。

与fokker–planck方程相似，郎之万方程也描述了随机变量概率密度在时间和空间上的演化。

Fokker-Planck方程的一个精确解

归结为 F (s) 的 8 次多项式：
( ) ( ) 3b22 − 6b2 R + (6b1b2 − 2b1R) F ( s) + 3b12 + 6a0b2 − 4b2Q F ( s)2 + (6a0b1 + 6a1b2 − b1Q) F ( s)3 ( ) + 3a02 + 6a1b1 + 6a2b2 − 2b2 P − 2a2 R F ( s)4 + (6a0a1 + 6 a2b1 − a1Q) F ( s)5 ( ) ( ) + 3a12 + 6a0a2 − 4a2Q F ( s)6 + (6a1a2 − 2a1P) F ( s)7 + 3a22 − 6a2 P F ( s)8
关键词
Fokker-Planck方程，F-展开法，Mathematica软件，雅各比椭圆函数
An Exact Solution of the Fokker-Planck Equation
Zhuomadaiji, Suonanwangmao, Zhaxilamu, Yixizhuoma College of Science, Minzu University of China, Beijing
两个，而造成这两种不同的原因可能与参数 m 的取值有关。
DOI: 10.12677/aam.2021.101024
215
应用数学进展
卓玛代吉等
Figure 5. When t = 5 , the solution evolves with v and µ 图 5. 当 t = 5 时解随 v, µ 的演化过程
DOI: 10.12677/aam.2021.101024

具有零或负扩散系数的fokker-planck方程的形式解及其在量子光学中的应用

具有零或负扩散系数的fokker-planck方程的形式解及
其在量子光学中的应用
Fokker-Planck方程是一种统计动力学和概率动力学方程，它是用来描述概率密度函数(PDF)随时间变化的微分方程。

Fokker-Planck方程具有零或负扩散系数的形式解为：
p(x,t) = Aexp[-(U(x) - U0)t]/∫Bexp[-(U(x) - U0)t]dx
其中，U(x)是时间封闭系统的势能，U0为一个常数，A和B为常数。

这种形式的Fokker-Planck方程密切相关于量子光学中的量子吸收过程，其中电子的概率密度分布随着时间的变化而变化。

一般情况下，量子吸收过程可以描述为由一个势能平面的电子到另一个势能平面的过渡，其中上升的势能呈凹陷(或坡度)状态。

当电子从一个势能平面转移到另一个势能平面时，电子是从一个概率密度函数到另一个概率密度函数的过渡，而这个过程可以用上述Fokker-Planck方程的形式解来描述。

谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程硕士学位论文1 精品推荐

硕士学位论文谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程摘要薛定谔方程是物理系统中量子力学的基础方程，它可以清楚地说明量子在系统中随时间变化的规律。

通过求解微观系统所对应的薛定谔方程，我们能够得到其波函数以及对应的能量，从而计算粒子的分布概率，进一步来了解其性质。

在化学和物理等诸多科学研究领域当中，薛定谔方程求解的结果都与实际很相符。

近年来，很多学者通过各种方法研究具有复杂势函数的薛定谔方程，解释了很多重要的物理现象，因此对薛定谔方程的求解具有相当重要的意义。

本文主要是用Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程。

首先运用Galerkin-Chebyshev谱方法来对空间导数进行近似，离散二维薛定谔方程，从而将原问题转化为复数域上的线性常微分方程组。

然后用边界值法求解该方程组，所求得的数值解即为原问题的解，之后进行误差分析。

最后利用Matlab进行数值模拟，给出数值解的图像以及误差曲面图像，结果显示此方法精度高且具有很好的稳定性。

关键词：薛定谔方程；Galerkin-Chebyshev谱方法；边界值法；数值解；精度高；稳定AbstractThe Schrödinger equation is the basic equations of quantum mechanics in the physical system. It can clearly describe the regular of the quantum evolves over time. By solving the Schrödinger equation which the micro system correspond, we can get the wave function and energy, and thus calculate the probability distribution of the particles, further understand the nature of it.In chemistry, physics and other fields of scientific research, the results of solving the Schrodinger equation are basically consistent with the actual.In recent years, many researchers used a variety of methods to investigate the Schrödinger equation with complex potential function, and explained a lot of important phenomena.Thus solving the Schrödinger equation has very important significance.The main purpose of this paper is to solve the two dimensional Schrödinger equation through the Galerkin-Chebyshev spectral method and the boundary value method. First we use the spectral method to approximate the spatial derivation, discretize the two dimensional Schrödinger equation，and transform the original problem into a set of linear ordinary differential equations in the complex number field.Then by using the boundary value method to solve the equations, that the numerical solutions is the solutions of the original problem, and then analyze the error. Finally we use Matlab to conduct the numerical simulation, and give the images of the numerical solutions and errors, which show that the methods have high precision and good stability.Keywords: Schrödinger equation, Galerkin-Chebyshev spectral method, boundary value method, numerical solutions, high precision, stability目录摘要 (I)Abstract ................................................................................................................. I II 第1章绪论. (5)1.1课题研究的背景和意义 (5)1.2国内外研究现状 (6)1.3本文的主要研究内容 (6)第2章预备知识 (8)2.1克罗内克积的简介 (8)2.2Chebyshev多项式介绍及其性质 (9)2.3Chebyshev正交逼近的性质 (10)2.4投影算子的性质 (11)2.5本章小结 (12)第3章Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法 (13)3.1用Galerkin-Chebyshev谱方法求解椭圆型方程 (13)3.2用边界值法求解常微分方程 (14)3.3本章小结 (18)第4章求解二维薛定谔方程 (19)4.1区域和边界条件的处理 (19)4.1.1 区域的处理 (19)4.1.2 边界条件的处理 (21)4.2二维薛定谔方程的求解 (24)4.3误差分析 (25)4.4本章小结 (30)第5章数值模拟 (31)结论 (36)参考文献 (37)哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明 .....错误！未定义书签。

Fokker-Planck方程

现在关注括号中第⼀项，令z=y−ξ，则该项就是z的函数，写为∫dξP(z,t|y0,0)P(z+ξ,t+τ|z,t)上式在z=y处展开为泰勒级数，得到∫dξ∞∑n=0(z−y)nn!∂n∂z n P(z,t|y0,0)P(z+ξ,t+τ|z,t)z=y注意上⾯求导最后在z=y点取值，因此可以直接改写为∫dξ∞∑n=0(z−y)nn!∂n∂y n P(y,t|y0,0)P(y+ξ,t+τ|y,t)代回⽅括号中，得到∂∂t P(y,t|y0,0)=1τ∫dξ∞∑n=0(z−y)nn!∂n∂y n P(y,t|y0,0)P(y+ξ,t+τ|y,t)−∫dξP(y+ξ,t+τ|y,t)P(y,t|y0,0)其中n=0项和括号第⼆项抵消，从⽽∂∂t P(y,t|y0,0)=1τ∫dξ∞∑n=1(−1)nn!ξn∂n∂y n P(y,t|y0,0)P(y+ξ,t+τ|y,t) [][][]|[] {[]}[]取极限τ→0，得到∂∂t P(y,t|y0,0)=∞∑n=1(−1)nn!∂n∂y n[P(y,t|y0,0)∫dξlim如果随机变量y满⾜在时间间隔\tau很⼩时变化同样很⼩，则上⾯的求和保留前⼏项即可。

关于fokker——planck方程的几种解法

关于fokker——planck方程的几种解法"解决复杂的量子力学问题: 从Fokker-Planck方程解法谈"Fokker--Planck方程是由德国理论物理学家Fokker和Planck发现的，它属于热力学系统中的重要方程之一，用于描述概率粒子分布的分步变化，从而研究不同的近似方法或精确解决方案。

Fokker-Planck方程可以用来研究复杂系统中的微观过程，广泛应用于物理，化学，经济，社会和生物学等领域。

Fokker-Planck方程的解法有各种不同的类型，包括：1. 积分方法：通过Fick-Jacobs方程求解Fokker-Planck方程；2. 服从某一马尔科夫状态转换频率分布的解法：最常见的是隐式马尔科夫模型，也有非标准Markov隐式马尔科夫模型和多参数隐式马尔科夫模型；3. 数值方法：改进的Runge-Kutta方法，Euler方法，Crank-Nicolson方法，Heun方法以及蒙特卡罗方法；4. 特殊解法：可以使用一些偏微分方程定理和无限维分布函数来求解Fokker-Planck方程；5. 连续转换解法：采用Karhunen-Loève过程或正交变换，用来求解Fokker-Planck方程；6. 电磁学解法：可以用电磁学方法对Fokker-Planck方程进行求解，采用Maxwell方程和Stampazzi方程；7. 轨道积分解法：利用轨道积分理论来求解Fokker-Planck方程，主要包括快速移动的方法和退火法；8. 其他解决方案：解析解决方案、解析和近似迭代法、包容法以及粒子近似方法。

总的来说，虽然Fokker-Planck方程的解法有很多种，但是它主要依靠数值模拟来求得解。

此外，若想正确地求解Fokker-Planck方程，必须充分考虑到微观系统的具体情况，因为每一种解法都可能受到某种条件的限制。

Fokker-Planck方程有限解析/Monte Carlo数值模拟方法

Fokker-Planck方程有限解析Monte Carlo数值模拟方法徐江荣;周俊虎;张平;岑可法【摘要】对白噪声驱动随机系统的Fokker-Planck方程进行约化,求得约化方程的解析解,使用局部解析解和Monte Carlo结合方法求解常系数Fokker-Planck方程,并与常系数Fokker-Planck方程的精确解进行对比,之后求解了变驱动力系统的行为.数值模拟结果表明,有限解析/Monte Carlo结合的方法,能成功求解一维Fokker-Planck方程,求解粒子数为105个,能获得十分光滑的PDF分布曲线,计算颗粒在300个时,就能获得较好的均值.其研究为两相湍流PDF模型新计算方法研究提供基础.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2006(038)001【总页数】6页(P73-78)【关键词】Fokker-Planck方程;Monte Carlo方法;数值计算;两相流动【作者】徐江荣;周俊虎;张平;岑可法【作者单位】杭州电子科技大学应用物理系,杭州,310018;浙江大学热能工程研究所,杭州,310027;杭州电子科技大学应用物理系,杭州,310018;浙江大学热能工程研究所,杭州,310027【正文语种】中文【中图分类】其他第 38 卷第 1 期力学学报Vol.38,No.1 2006 年1 月Chinese Journal of TheoreticalandAppliedMechanics Jan.,2006================================================ ===================== Fokker-Planck方程有限解析／l\/IonteCarlo数值模拟方法u徐江荣4 ，z ）周俊虎十张平+ 岑可法 ++(杭州电子科技大学应用物理系，杭州 310018) t （浙江大学热能工程研究所，杭州 310027 ）摘要对白噪声驱动随机系统的 Fokker-Planck 方程进行约化，求得约化方程的解析解，使用局部解析解和MonteCarlo 结合方法求解常系数Fokker-Planck 方程，并与常系数 Fokker-Planck 方程的精确解进行对比，之后求解了变驱动力系统的行为．数值模拟结果表明，有限解析 /MonteCarlo 结合的方法，能成功求解一维Fokker-Planck方程，求解粒子数为 105 个，能获得十分光滑的 PDF 分布曲线，计算颗粒在 300 个时，就能获得较好的均值．其研究为两相湍流 PDF 模型新计算方法研究提供基础．关键词 MonteCarlo 方法，数值计算，两相流动中图分类号： TK121文献标识码： A 文章编号：0459-1879(2006)01-0073-06引言基于概率密度函数 (PDF) 的单相湍流流动、湍流反应流动和湍流两相流动的模型和数值模拟研究在近 20年中有了长足的发展，～方面因为 PDF 方法来自于经典统计物理，有很强的基础性和广泛的适应性，因而 PDF 方法成为发展上述三类流动模型的有效方法，使得 PDF 模型比雷诺平均两阶矩模型（被称为“宏观层次” ）高一个层次，被称为“中观层次” 【 1] ．另一方面，直接求解包含随机过程的 PDF 输运方程成为极具挑战性的研究课题 [1] ． PDF方程的求解，在单相湍流流动和湍流反应流动两个领域同时开展，单相湍流流动的有限体积／颗粒混合求解方法研究取得良好的结果，并成功地对稳态、非稳态、可压缩、不可压缩流动问题进行了数值模拟 [ 扒4】，更多的研究集中在湍流反应流动领域，以 Pope 为主的研究组就有限体积／颗粒混合求解方法、位置一速度一标量一频率联合 PDF求解、结构／非结构网格求解方法、随机微分方程格式精度等诸多方面展开研究 [5~9]，使有限体积／颗粒法混合求解方法成为了一种较成熟的计算方法．本文的研究是PDF 方程的一个新数值方法的第 1 步．新方法主要研究两相湍流流动，暂且不考虑单相湍流的计算方法，认为单相湍流可以用现有的模型获得流动速度、雷诺应力、压强、湍流耗散率等流场的平均信息，将研究的重点放在颗粒 PDF 输运方程的求解上，由于颗粒 PDF 输运方程在位置一速度高维相空间上，常规的 MonteCarlo 方法需要较多的 CPU时间．考虑先获得局部 PDF 方程的解析阶，再结合 MonteCarlo 方法进行联合求解，因此称之为“有限解析 /MonteCarlo方法” ．本文使用上述思路求解一个可获得准确解的 1-D 常系数以验证新方法的准确性，再求解变系数 Fokker-Planck 方程，并探讨有关算法的几个问题．1 白噪声系统 Fokker-Planck方程解析解考虑白噪声驱动随机系统 Langevin 方程又 =V(X，￡ )(1)矿= -p[V(X ，￡ ) 一 F(X)]+ ，( ￡ )其中卢为常数， r(t) 为白噪声驱动力，定义为 ( ，@))=o ， (，( 幻，( ￡ 7))=2Q 占（ t 一￡7 ）2004-04-13收到第 1 稿， 2005-11-30收到修改稿． 1) 浙江省自然科学基金(Y105028) 和教育部跨世纪优秀人才培养计划 (2002(48》资助项目 2) E-mail: jrxu@第38卷1期力学报 Vol.38,No.1 2006年 1月 Chinese of TheoreticalandAppliedMechanics Jan.,2006方程有限解析／ l\/IonteCarlo4，z）周俊虎十张平+岑可法 + +( t（浙江大学热能工程研究所，杭州 310027 ）对白噪声驱动随机系统的 Fokker-Planck 方程进行约化，求得约化方程的解析解，使用局部解析解和 MonteCarlo 结合方法求解常系数 Fokker-Planck 方程，并与常系数 Fokker-Planck 方程的精确解进行对比，之后求解了变驱动力系统的行为．数值模拟结果表明，有限解析 /MonteCarlo 结合的方法，能成功求解一维MonteCarlo 方法，数值计算，两相流动 A文章编号： 0459-1879(2006)01-0073-06引言基于概率密度函数 (PDF) 的单相湍流流动、湍流反应流动和湍流两相流动的模型和数值模拟研究在近 20法来自于经典统计物理，有很强的基础性和广泛的适应性，因而 PDF 方法成为发展上述三类流动模型的有效方法，使得PDF 模型比雷诺平均两阶矩模型”高一个层次，被称为次【1]．另一方面，直接求解包含随机过程的 PDF 输流动两个领域同时开展，单相湍流流动的有限体积／颗粒混合求解方法研究取得良好的结果，并成功地对稳态、非稳态、可压缩、不可压缩流动问题进行了数值模拟 [ 扒4】，更多的研究集中在湍流反应流动领域，以Pope为主的研究组就有限体积／颗粒混一标量频率联合 PDF解、结构／非结构网格求解方法、随机微分方程格粒法混合求解方法成为了一种较成熟的计算方法．本文的研究是 PDF 方程的一个新数值方法的步．新方法主要研究两相湍流流动，暂且不考虑单相湍流的计算方法，认为单相湍流可以用现有的模型获得流动速度、雷诺应力、压强、湍流耗散率等流场的平均信息，将研究的重点放在颗粒 PDF 输运方程的求解上，由于颗粒 PDF 输运方程在位置一速度高维相空间上，常规的 MonteCarlo 方法需要较多的 CPU解析阶，再结合MonteCarlo 方法进行联合求解，“有限解析 /MonteCarlo 方法本文使用上述思路求解一个可获得准确解的 1-D 常系数个问题．白噪声系统 Fokker-Planck又= V(X，￡ ) (1) -p[V(X ，￡ ) 一 F(X)]+ ，( ￡ )，@))=o7 2004-04-1374 2006 年第 38 卷定义概率密度函数 p-p(t;X ，矿)，对应的 Fokker- Planck 方程为警 + 孑≥ (yp)+ 砉≥ 【． p(v-F)p] ： Q 害苫 (2) 1.1约化方程解析解在 X ～ X+dX 微分范围内，定义速度空间 PDF 妒 =cp(v ，￡ ) 满足的 Fokker-Planck 方程，此时 F 看作常数警十品 [-p(v-F) 纠 =Qg\(3)仿照文献 [10] 的方法，方程 (3)的解为 [10] cp(t; V)=N(t)exp[ -2 丢 -(V-b(t 》 2](4)其中 det[] 为矩阵行列式，式中的平均量和方差可由以下方程组求得 Mi=M2 , Mi(0) =0 (9) M2 =-,8M2,M2(0)=B(O) dii=2u12ir12=-pU12+U22, aij(0)=o (10) U22=-2Pcj22+2Q式(10)的初始条件由方程转换到波数空间时确定不难求得速度的两阶矩。

常系数Ginzburg-Landau方程自相似脉冲演化的解析解

常系数Ginzburg-Landau方程自相似脉冲演化的解析解
常系数Ginzburg-Landau方程自相似脉冲演化的解析解
采用对称约简方法, 通过分离变量法首次得出了Ginzburg-Landau方程抛物渐近自相似脉冲的解析解, 给出了自相似脉冲的振幅、相位、啁啾以及脉冲宽度的一般表达式, 讨论了掺杂光纤增益色散对抛物型自相似脉冲演化特性的影响.数值计算结果证实了Ginzburg-Landau方程具有抛物渐近型自相似解, 其与解析分析的结论一致.
作者：冯杰徐文成李书贤刘颂豪作者单位：冯杰(华南师范大学物理与电信工程学院,广州,510006)
徐文成,李书贤,刘颂豪(光子信息技术广东省高校重点实验室,华南师范大学光电子信息科技学院,广州,510006)
刊名：中国科学G辑ISTIC PKU英文刊名：SCIENCE IN CHINA(SERIES G) 年，卷(期)：2007 37(4) 分类号：O1 关键词：增益色散抛物渐近自相似脉冲线性啁啾正常GVD 光纤放大器。