数列求和方法小结

合集下载

数列求和方法归纳

数列求和方法归纳
1.数列的求和
数列的求和，是在数学中一个重要的概念，是对连续数字之和的描述，是对序列数据的运算总和。

数列的求和就是把一个数列中的数据累加起来，得到最终总和的过程。

这种数据求和的方法可以应用在各种计算任务上，
有助于我们计算各种复杂的数据结构，同时也是应用最广泛的一种计算方法。

2.通用求和公式
数列的求和是由一种通用的公式来描述的，它可以表示为：
S=a1+a2+a3+…+an，其中a1、a2、a3…即为数列中的n个数值，S即为求
和结果。

3.等差数列的求和
等差数列是指其中各项的差值相等的数列，其通用公式为：
S=(a1+an)*n/2，其中，a1为等差数列的第一项，an为最后一项，n为数
列中数值的个数。

4.等比数列的求和
等比数列是指其中各项的比值相等的数列，其通用公式为：
S=(a1*(1-q^n))/(1-q)，其中，a1为等比数列的第一项，q为等比数列的
比值，n为数列中数值的个数。

5.组合数列的求和
组合数列是指由多个数字组成的数列，其通用公式为：
S=(a1+a2+a3+…+an)*n!/[(n-1)!*(n-2)!*…*1!]，其中，a1、a2、a3…即为组合数列中的n个数值，S即为求和结果。

6.其他求和方法
除了上述数列的求和方法之外，还有其他几种求和的方法。

数列求和的几种常见方法

数列求和的几种常见方法数列求和是数学中一种常见的问题，主要目的是计算给定数列的所有项的和。

在数学中，有许多不同的方法可以解决这个问题。

下面将介绍几种常见的数列求和方法。

1.数学归纳法：数学归纳法是一种常见的求和方法。

它基于数学归纳法的思想，即从其中一条件的正确性推出下一个条件的正确性。

当我们想计算一个数列的和时，可以尝试使用归纳法进行推导。

首先，我们假设数列的和为S(n)，即前n个项的和。

然后，我们找到S(n+1)与S(n)的关系，例如通过观察求和式的规律。

最后，我们使用归纳法证明S(n+1)与S(n)的关系成立，并找到S(n)的表达式。

2.公式求和法：一些数列具有明确的求和公式，通过使用这些公式，可以直接计算数列的和。

例如，等差数列的求和公式为S(n) = n(a1 + an) / 2，其中n为项数，a1为首项，an为末项。

类似地，等比数列的求和公式为S(n) = a1(1 - r^n) / (1-r)，其中a1为首项，r为公比。

利用这些公式，我们可以快速计算出数列的和。

3.差分法：差分法是另一种常见的数列求和方法。

它通过求取数列的差分数列来简化求和问题。

差分数列是指将数列中每个相邻的项相减得到的新数列。

通过计算差分数列的和，我们可以得到原始数列的和。

差分法的思路是将原本的复杂数列转化为更加简单的等差或等比数列。

4.数列分解法：数列分解法是一种将复杂的数列拆分为更简单的数列的方法。

通过拆分数列，我们能够找到更简单的求和规律，从而快速计算出数列的和。

数列分解法常用于特殊数列的求和，例如和差数列、间隔数列等。

5.递推法：递推法是通过逐步迭代计算数列的每一项来求和的方法。

我们首先计算出数列的前几个项，然后利用递推关系计算出下一个项，并将其加入到已有的和中。

通过不断迭代，我们可以逐步计算出所有项的和。

递推法常用于递推数列或递归数列的求和。

除了以上提到的求和方法，还有一些其他的方法，如等差数列的部分和、等比数列的部分和、级数求和、积分求和等。

数列求和公式七个方法

数列求和公式七个方法数列求和是数学中的一个重要概念，常用于计算数列中各项之和。

数列求和公式有多种方法，下面将介绍七种常见的求和公式方法。

方法一：等差数列求和公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。

等差数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。

等差数列求和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。

方法二：等比数列求和公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。

等比数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。

等比数列求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。

方法三：斐波那契数列求和公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。

斐波那契数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。

斐波那契数列求和公式为Sn=f(n+2)-1，其中Sn表示数列的和，f表示斐波那契数列。

方法四：调和数列求和公式调和数列是指数列中每一项的倒数是一个调和级数的一项。

调和数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。

调和数列求和公式为Sn=1+1/2+1/3+...+1/n，即Sn=Hn，其中Hn表示调和级数的n项和。

方法五：等差数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等差数列的求和公式。

差分公式是指数列中相邻两项之差等于同一个常数d。

等差数列求和差分公式为Sn=[(a1+an)/2]n，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。

方法六：等比数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等比数列的求和公式。

差分公式是指数列中相邻两项之比等于同一个常数q。

等比数列求和差分公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。

方法七：等差数列求和公式（倍差法）倍差法是一种基于等差数列的求和方法。

数列求和方法总结

数列求和方法总结数列是数学中常见的一个概念，它由一系列按特定规律排列的数所组成。

在数列中，常常需要求和，即将数列中的所有元素相加得到一个总和。

求和是数列中的一个重要问题，有着多种方法和技巧，本文将对数列求和方法进行总结。

首先，我们来介绍一些常见的数列求和公式。

1.等差数列求和公式：对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数，d为公差，可以使用以下公式求和：Sn = (a1 + an) * n / 2其中Sn表示前n项和。

2.等比数列求和公式：对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，n为项数，r为公比，可以使用以下公式求和：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)其中Sn表示前n项和。

3.调和数列求和公式：调和数列是指an = 1/n，其中n为正整数。

调和数列没有一个简单的求和公式，但它满足以下性质：Sn=1+1/2+1/3+...+1/nSn = ln(n) + γ + O(1/n)接下来，我们将介绍一些常见的数列求和方法。

1.逐项相加法：这是最简单的求和方法，即将数列中的每一项逐个相加得到和。

例如，对于数列1,2,3,4,5，可以逐项相加得到152.折半相加法：这是一种针对特定数列的求和方法。

对于一些具有对称性质的数列，可以将数列折半后再进行求和。

例如，对于数列1,2,3,4,5，可以将其折半为1,5,3，再相加得到93.和差法：这是一种将数列拆分为两个子数列，并利用数列之间的关系求和的方法。

例如，对于等差数列1,2,3,4,5，可以将其拆分为两个等差数列1,3,5和2,4，并利用等差数列求和公式求和后再相加。

4.差分法：对于一些特定数列，其前后项之间存在一定的差值关系。

通过求得这种差值关系，我们可以将数列转化为差分数列，并利用差分数列的性质进行求和。

例如，对于数列1,4,9,16,25，可以发现相邻项之间的差值为3,5,7，可以将其转化为差分数列3,5,7，并利用等差数列求和公式求和后再进行相加。

数列求和方法总结

适用于数列正序和倒序相乘的情况
02
方法描述
将数列正序和与倒序和对角线上的元素相乘，再求和，即可求得数列的前 n 项和
03
例子
以等比数列为例，已知首项 a1，公比 q，项数 n，则前 n 项和为 Sn = \frac{a1(1-q^n)}{1-q}
03
间接求和方法
裂项相消法
总结
裂项相消法是通过将数列的每一项拆分为两个部分，然后利用相邻两项相消的方式，达到求和的目的。
倒序相加法
适用范围
适用于数列正序和倒序相加的情况
方法描述
将数列正序和与倒序和相加，再除以 2，即可求得数列的前 n 项和
例子
以等差数列为例，已知首项 a1，公差 d，项数 n，则前 n 项和为 Sn = \frac{n}{2}(a1 + an) + \frac{n}{2}(d)
错位相减法
01
适用范围
利用计算机程序简化求和
01
适用场景
当数列项数较大，且需要多次求和时
02
原理
编写计算机程序可以减少重复计算，提高效率。
03
方法
①将数列各项存储到一个数组或列表中；②编写一个循环，逐一将数
组或列表中的各项相加，并输出结果。
06
数列求和的推广
数列求和与计算机科学
算法设计与优化
数列求和算法是计算机科学中算法设计和优化的经典案例，如快速排序、归并排序等算法都可以通过数列求和进行优化。
分组求和法
要点一
总结
分组求和法是将数列中的项按照某种规律分成若干组，然后将每一组的和相加得到最终的和。
要点二
适用范围
适用于数列中各项之间没有明显的递推关系，但是可以将数列中的项按照某种规律分成若干组的情况。

数列求和各种方法总结归纳

故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
an (2)设数列{ n－1}的前n项和为Sn， 2 a2 an 即Sn＝a1＋ 2 ＋…＋ n－1，① 2 Sn a1 a2 an 故S1＝1， 2 ＝ 2 ＋ 4 ＋…＋2n，② 所以，当n＞1时，①－②得
a2－a1 an－an－1 an Sn 2 ＝a1＋ 2 ＋…＋ 2n－1 －2n
－－－
(2)由题意知bn－an＝3n 1，所以bn＝3n 1＋an＝3n 1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3
n－1
3n－1 )＝－n ＋20n＋ 2 .
2
[冲关锦囊]
分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·n－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； q (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式；第三行
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求 {bn}的前2n项和S2n
[自主解答]
(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，
2 3a2＝1，a3＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b }的前n项和． n
[自主解答]
(1)设数列{an}的公比为q.由a2＝9a2a6得 3 9 3
1 1 2 2 2 a3＝9a4，所以q ＝ .由条件可知q＞0，故q＝ . 1 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝3. 1 故数列{an}的通项公式为an＝3n.

数列求和公式方法总结

数列求和公式方法总结数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数构成的序列。

在数列中，求和是一个常见的问题，而求和公式和方法则是解决这一问题的关键。

本文将对数列求和的常见公式和方法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握数列求和的技巧。

一、等差数列求和公式。

等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，常用的求和公式有以下两种：1. 等差数列的前n项和公式，Sn = (a1 + an) n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

2. 等差数列的通项公式，an = a1 + (n-1) d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。

二、等比数列求和公式。

等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列，常用的求和公式有以下两种：1. 等比数列的前n项和公式，Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

2. 等比数列的通项公式，an = a1 q^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，q为公比。

三、其他常见数列求和公式。

除了等差数列和等比数列外，还有一些其他常见的数列求和公式，如：1. 平方和公式，1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6。

2. 立方和公式，1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n (n + 1) / 2)^2。

3. 斐波那契数列求和公式，F(n) = F(n+2) 1，其中F(n)为斐波那契数列的前n项和。

四、数列求和的常用方法。

除了利用求和公式外，还有一些常用的方法可以帮助我们求解数列的和，如：1. 数学归纳法，通过证明首项成立，然后假设第k项成立，推导出第k+1项也成立，从而得出结论。

2. Telescoping series，利用数列中相邻项之间的关系，将求和式中的部分项相互抵消，从而简化求和过程。

3. 倒序相消法，将数列按照相反的顺序排列，然后与原数列相加，利用相邻项之间的关系进行相消，从而简化求和过程。

数列求和各种方法总结归纳

数列求和各种方法总结归纳数列求和是数学中常见的问题之一，涉及到很多的方法和技巧。

下面我将对几种常见的数列求和方法进行总结归纳。

一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项的差都相等的数列。

我们可以通过以下几种方法来求等差数列的和：1. 公式法：对于等差数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。

等差数列的和可以表示为：S = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

2.差分法：我们可以通过差分法来求等差数列的和。

即将数列中相邻两项的差列示出来，并求和，这样就变成了一个等差数列求和的问题。

例如对于数列1,3,5,7,9，差分后得到的数列是2,2,2,2，再求和得到83.数学归纳法：我们可以通过数学归纳法来求等差数列的和。

首先假设等差数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。

例如对于数列1,3,5,7,9，我们可以假设Sn=1+3+5+7+9，然后通过归纳可以得到Sn+1=1+3+5+7+9+11=Sn+a(n+1)，其中a(n+1)为数列的第n+1项，最终求得Sn=n^2二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项的比相等的数列。

我们可以通过以下几种方法来求等比数列的和：1.公式法：对于等比数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。

等比数列的和可以表示为：S=a*(1-r^n)/(1-r)，其中a为首项，r为公比，n为项数。

需要注意的是，当r小于1时，求和公式仍然成立。

当r等于1时，等比数列的和为a*n。

2.求导法：我们可以通过对等比数列求导来求和。

对等比数列进行求导得到的结果是一个等差数列，然后再对等差数列进行求和就可以求得等比数列的和。

3.数学归纳法：和等差数列一样，我们也可以通过数学归纳法来求等比数列的和。

首先假设等比数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。

三、递推数列求和递推数列是指数列中每一项都是由前面一项或几项推出来的。

数列求和方法总结

数列求和方法总结数列求和是数学中一个非常常见且重要的问题，它出现在各个领域的数学问题中，并且在高中数学及以上的学习中经常遇到。

在解决数列求和问题时，我们可以通过多种方法，其中包括代入法、消元法、几何法、差分法、数学归纳法等等。

下面我将对这些方法进行详细的总结与说明。

1. 代入法：代入法是一种常见的求和方法。

我们可以通过代入来求和项的个数和具体数值。

首先，我们需要确定数列的通项公式，然后将要求和的项数具体代入到通项公式中，求出每一项的数值，最后再将这些数值相加即可得到所求的数列的和。

例如，要求等差数列1、3、5、7、9的前n项和，我们可以先找到通项公式为an=2n-1，然后代入每一项的数值，得到1、3、5、7、9，最后相加得到的和为(1+9)*5/2=25。

2. 消元法：消元法是一种常用的数学方法，在求和问题中也有广泛应用。

通过对求和式进行变形，我们可以通过消除多项式的常数项、控制变量项或者引入新的变量来简化求和的步骤，从而得到更简单的表达式。

例如，要求等差数列1、2、3、4、5的前n项和，我们可以通过对求和式进行变形，得到Sn=(n+1)*n/2。

3. 几何法：几何法是一种求解数列求和的常见方法，它通常适用于等比数列求和问题。

当数列的各项之间的比值存在规律时，我们可以通过将数列的各项代入到几何模型中来计算求和的方法。

例如，要求等比数列1、2、4、8、16的前n项和，我们可以将这些数列代入等比数列的几何模型中，即1、2、2^2、2^3、2^4，可见，这是一个以2为公比的等比数列。

根据等比数列的求和公式Sn=a1*(r^n-1)/(r-1)，代入数值可得到所求的和。

4. 差分法：差分法是一种通过对数列进行差分来求和的方法。

它通常适用于数列之间的差为常数或规律的数列，通过对数列进行差分可以简化求和的过程。

例如，要求等差数列1、3、5、7、9的前n项和，我们可以通过差分法来解决，即将数列进行差分得到2、2、2、2，可以发现这是一个公差为2的等差数列。

数列求和技巧全总结(共3篇)

数列求和技巧全总结第1篇1、在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题。

2、在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力。

进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。

3、培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。

拓展：求数列极限的方法总结极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。

熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键，极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。

以下我们就极限的内容简单总结下。

极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。

数列求和方法总结

数列求和方法总结求数列的前n项和是高中数学的教学重点之一，但有些数列既非等差数列，又非等比数列，那么这些数列该怎样求和呢？下面举例说明这类数列求和的常用方法及解题策略。

一、公式法如果是等差、等比数列可直接利用其求和公式求和，而有些特殊的常见数列则应记住其求和结果，以便于应用。

二、分组求和法有些数列，通过合理分组，从而改变原数列的形式，转换成新数列，再利用公式法求和。

三、聚合法有些数列表示形式复杂，每一项是若干个数的和，这时可先对其第n 项求和，然后将和化简，改变原数列形式，从新组合后再求和，此法称为聚合法。

例1.列2，2+4，2+4+6，2+4+6+8，…,2+4+6+…+2n，…的前n 项和。

解：由an=2+4+6+…+2n=n(n+1)=n2+n 知Sn=(12+1)+(22+2)+(32+3)+…+(n2+n)=（12+22+32+…n2）+（1+2+3+…n）=1/6n(n+1)(2n+1)+1/2n(n+1)=1/3n(n+1)(n+2)四、裂项法此方法是先把数列的第n 项aa分裂为几项的代数和，从而改变了数列的形式，以便可以分组求和或能进行消项处理，进而达到求和的目的。

例2.求数列1， 1/1+2， 11+3，…，1/1+2+3+…+n，…的前n项和。

解：∵an= 1/1+2+3+…+n= 2/n（n+1）=2n- 2/n+1∴sn=2[(1-1/2)+(12-1/3)+…+（1n- 1/n+1）]=2（1- 1/n+1）= 2n/n+1五、归纳法用此方法求数列的和，一般分两步：第一步先用不完全归纳法推测出sn的表达式；第二步再对sn的表达式用数学归纳法证明。

例3.求数列1/1×2， 1/2×3， 1/3×4，…， 1/n(n+1)，…的前n项和。

解：∵s1=a1= 1/2，s2=s1+a2= 2/3，s3=s2+a3= 3/4，s4=s3+a4= 4/5，…，于是由不完全归纳法可猜想sn= n/n+1，再由数学归纳法证明上式正确，证明略。

求级数的和的方法总结

求级数的和的方法总结一、引言级数是高等数学中的一个重要概念，它是由无穷多个数相加而成的。

求级数的和是解决许多问题的基础，因此研究求级数和的方法具有重要意义。

二、常见方法1. 等差数列求和公式当级数为等差数列时，可以使用等差数列求和公式进行求和。

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等差数列前n项和Sn=n(a1+an)/2。

例如：求1+3+5+...+99的和。

解：首项a1=1，公差d=2，末项an=99。

所以Sn=n(a1+an)/2=50(1+99)/2=2500。

2. 等比数列求和公式当级数为等比数列时，可以使用等比数列求和公式进行求和。

等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

等比数列前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

例如：求3+6+12+...+1536的和。

解：首项a1=3，公比q=2，末项an=1536。

由于1536/3=512，所以共有10个数字。

所以Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=3(1-2^10)/(1-2)=3069。

3. 幂级数求和当级数为幂级数时，可以使用幂级数求和公式进行求和。

幂级数的通项公式为an=cnx^n，其中cn为系数。

幂级数前n项和Sn=∑(n-1)k=0 cnx^k。

例如：求1+x+x^2+...+x^n的和。

解：Sn=∑(n-1)k=0 x^k=(1-x^n)/(1-x)。

4. 夹逼准则当级数无法使用上述方法进行求和时，可以使用夹逼准则进行估算。

夹逼准则即将待求的级数与已知的两个级数之间进行比较，从而确定待求级数的大小。

例如：求∑(n=1)^∞ 1/n 的和。

解：由于 1/(n+1)< 1/n < 1/n-1，所以有：∑(n=2)^∞ 1/n < ∑(n=2)^∞ 1/(n-1) = ∑(n=1)^∞ 1/n - 1 <∑(n=2)^∞ 1/(n+1)即：ln(n+1) < ∑(n=2)^∞ ⅟_n < ln(n)+C其中C为常量。

数列求和常见方法总结

数列求和的几种常用方法
一：公式法：即直接用求和公式，求数列的前n和Sn
①等差数列的前n项和公式：
Sn

n(a1 2
an )

na1

n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式：
Sn

naa1(11(qqn1)) 1q

a1 anq 1q
(q
1)
（3）:12 22 32
解：(1)设数列{an}的公比为 q.由 a23＝9a2a6 得
a23＝9a24，所以
q2＝1.由条件可知 9
q＞0，故
q＝1. 3
由 2a1＋3a2＝1，得 2a1＋3a1q＝1，得 a1＝13.
故数列{an}的通项公式为 an＝31n.
练习：(2011·全国新课标卷)等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6. (2)设 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b1n}的前 n 项和．
an＝2－n.
综上，数列{2an－n 1}的前 n 项和 Sn＝2nn－1.
(12分)(2010·四川高考)已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； (1)an＝3－(n－1)＝4－n (2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
qn ＋1－n ＋1qn ＋1
q－1
.
若
q＝1，则
S
n＝1＋2＋3＋…＋n＝n
n＋1. 2
nn＋1 2
所以，Sn＝ nqn＋1－n＋1qn＋1 q－12
q＝1， q≠1.
于是，S
n

几种常见数列求和方法的归纳

几种常见数列求和方法的归纳1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

主要适用于等差，比数列求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（等差数列推导用到特殊方法：倒序相加）（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）（3）222221(1)(21)1236nk n n n k n =++=++++=∑（不作要求，但要了解）例：（1）求=2+4+6+ (2)（2）求=x+++…+(x )2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。

例：（1）求证：等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++ .3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

例：（1）求和：(1)个n n S 111111111++++=81109101--+n n（2）22222)1()1()1(n n n x x x x x x S ++++++=当1±≠x 时，n x x x x S n n n n 2)1()1)(1(22222+-+-=+ 当n S x n 4,1=±=时4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

（分式求和常用裂项相消）常见的拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ，)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ， 1111()(2)22n n n n =-++，)12)(12(11)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n ，=例：（1）求和：1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+.（2）求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n12)1(2++=n n n S n5．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ (适用于：等差数列乘以等比数列的通项求和)例：求和：23,2,3,,,n a a a na当1a =时，123n S =+++ (1)2n n n ++=，当1a ≠时，212(1)(1)n n n na n a aS a ++-++=-6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。

数列求和常见的7种方法

.
1、等差数列求和公式： Sn
n (a1 an)
n(n 1)
na1
d
2
2
2、等比数列求和公式： Sn
na1 a1 (1 qn )
1q
( q 1)
a1 an q 1q
(q 1)
3、 Sn
n
k
k1
1n(n 1) 2
4、 Sn
n
k2
k1
1n(n 1)(2n 1) 6
5、 Sn
n
k3
1 [ n( n
1)] 2
数列求和常见的 7 种方法
数列求和的基本方法和技巧
一、总论：数列求和 7 种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
[ 例 12] 求 cos1° + cos2° + cos3° +··· + cos178° + cos179°的值 . 解：设 Sn＝ cos1° + cos2° + cos3° +···+ cos178° + cos179°
∵ cos n cos(180 n )
（找特殊性质项）
∴ Sn＝（ cos1° + cos179°） +（ cos2°+ cos178°） + （ cos3°+ cos177°） +···
4
数列求和常见的 7 种方法
（ 2）利用第（ 1 ）小题已经证明的结论可知，

数列求和的方法技巧总结

数列求和的方法技巧总结数列求和的方法技巧总结总结是事后对某一时期、某一项目或某些工作进行回顾和分析，从而做出带有规律性的结论，写总结有利于我们学习和工作能力的提高，我想我们需要写一份总结了吧。

总结怎么写才不会千篇一律呢？下面是小编为大家整理的数列求和的方法技巧总结，仅供参考，欢迎大家阅读。

一、倒序相加法此法来源于等差数列求和公式的推导方法。

例1. 已知求解：。

①把等式①的右边顺序倒过来写，即①可以写成以下式子：②把①②两式相加得二、错位相消法此法来源于等比数列求和公式的推导方法。

例2. 求数列的前n项和。

解：设当时，当时，①①式两边同时乘以公比a，得②①②两式相减得三、拆项分组法把一个数列分拆成若干个简单数列（等差数列、等比数列），然后利用相应公式进行分别求和。

例3. 求数列的前n项和。

解：设数列的前n项和为，则当时，当时，说明：在运用等比数列的前n项和公式时，应对q＝1与的'情况进行讨论。

四、裂项相消法用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项技巧。

如例4. 求数列的前n项和。

解：五、奇偶数讨论法如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别总结出与n的关系进行求解。

例5. 已知数列求该数列的前n项和。

解：对n分奇数、偶数讨论求和。

①当时，②当时，六、通项公式法利用，问题便转化成了求数列的通项问题。

这种方法不仅思路清晰，而且运算简洁。

例6. 已知数列求该数列的前n项和。

解：即∴数列是一个常数列，首项为七、综合法这种方法灵活性比较大，平时注意培养对式子的敏锐观察力，尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。

例7. 已知求分析：注意观察到：其他可依次类推。

关键是注意讨论最后的n是奇数还是偶数。

解：①当n为奇数时，由以上的分析可知：②当n为偶数时，可知：由①②可得说明：对于以上的各种方法，大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。

当然，数列求和的方法还有很多，大家平时还应多注意总结。

数列求和方法归纳

数列求和方法归纳一．公式法（等差：11()(1)22n n n a a n n dS na +-==+；等比：1(1)1n n a q S q -=- ） 1.（1）已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得：n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 ＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21。

已知数列{}n a ，满足n n a a a n 3a 2321+=++++ ，求132a 21++++n a a n 的值。

解：由已知：23n n a S n n+==+，则)1(2a 1+=-=-n S S n n n ，2)1(4a +=∴n n ，令)1(41b +=+=n n a nn ，则132a 21++++n a a n =4（2+3+4+...+n+1)=)3(22)3n n 4+=+⨯n n （. 二、倒序相加法（121n n a a a a -+=+=）2.（1）已知lgxy =a （）,n n-1n-22n n =lg x +lg x y +lg x y +lg y S ⋅⋅⋅（）（）+，求n S 。

解：n n-1n-22nn =lg x +lg x y +lg x y +lg y S ⋅⋅⋅（）（）+①，n n-1n-22n n =lg y +lg y x +lg y x +lg x S ⋅⋅⋅（）（）+②把①②两式相加得nn 2=n+1lg xy =n n+1lg xy=a n n+1S （）（）（）（）).1n (n 2aS n +⋅=∴（2）求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x， ①+②得)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89 ∴S ＝44.5三．分组法求和（等差+等比，正负交错）3.（1）求数列()2-1x+x，()22-2x +x ，…， ()2n-n x +x，的前n 项和。

数列求和方法总结

1数列求和（一）主要知识：1．等差数列与等比数列的求和公式的应用；2．倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法；（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；4.复习目标：掌握数列求和的常用方法：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法。

5.熟记公式：（1）等差数列求和公式 d n n a n a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列求和公式 )1(),1(11)1(111==≠--=--=q na S q qqa a q q a S n n n n（3）1+2+3+…+n =2)1(+n n ; （4）6)12)(1(3212222++=++++n n n n ；（5）23333]2)1([321+=++++n n n ；（三）例题分析：例1．求下列数列的前n 项和n S ：（1）5，55，555，5555，…，5(101)9n-，…；（2）1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+ ；（3）n a =（4）23,2,3,,,na a a na ；（5）13,24,35,,(2),n n ⨯⨯⨯+ ；（6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++ ．解：（1）555555555n n S =++++ 个5(999999999)9n =++++ 个235[(101)(101)(101)(101)]9n =-+-+-++- 235505[10101010](101)9819n n n n =++++-=-- ．（2）∵1111()(2)22n n n n =-++，∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++．2（3）∵n a ===∴n S =1)=+++1=．（4）2323nn S a a a na =++++ ，当1a =时，123n S =+++ (1)2n n n ++=，当1a ≠时，2323n S a a a =+++…n na + ，23423n aS a a a =+++…1n na ++，两式相减得 23(1)n a S a a a -=+++ (1)1(1)1n n n n a a a nana a++-+-=--，∴212(1)(1)n n n na n a aS a ++-++=-．（5）∵2(2)2n n n n +=+，∴ 原式222(123=+++ (2))2(123n ++⨯+++…)n +(1)(27)6n n n ++=．（6）设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =++++，又∵2222sin 89sin 88sin 87sin 1S =++++， ∴ 289S =，892S =．例2．已知数列{}n a 的通项65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．解：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列；当n 为奇数时，奇数项有12n +项，偶数项有12n -项， ∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423n n n n n n n S --++--+--=+=+-，当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项，∴2(165)4(14)(32)4(21)221423n n n n n n n S +----=+=+-，3所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23n n nn n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数．例3．数列{}n a 的前n 项和2()nn S p p R =+∈，数列{}n b 满足2log n n b a =，若{}n a 是等比数列，（1）求p 的值及通项n a ；（2）求和222123()()()n T b b b =-+…12*(1)()()n n b n N -+-∈．巩固练习：设数列11,(12),,(122),n -++++ 的前n 项和为n S ，则n S 等于（ D ）()A 2n()B 2n n -()C 12n n +-()D 122n n +--例 4. 已知数列}{n a 的前n 项和),(||),(102N n a b N n n n S n n n ∈=∈-=又.}{n n T n b 项和的前求数列分析 112)1()1(1010221+-=-+---=-=-n n n n n S S a n n n ，又当6,2110112≥≥⇒<+-=n n n a n 即，⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-=)6(5010)6(1022n n n n n n T n注：当6≥n 时n n n S S S S S T -=+-+=5552)(例5. 求数列１，３＋４，５＋６＋７，７＋８＋９＋１０，…的前n 项的和. 分析观察数列发现每项的第一个数为2n-1，最后一个数为3n －2，)35(21)23()12(2)12(2n n n n n n a n -=-+++++-= )25)(1(61]2)1(36)12)(1(5[21)]321(3)321(5[212222-+=+-++=++++-++++=∴n n n n n n n n n n S n例7．求和：n n ana a a S ++++=32321；分析注：用错位相减法前要讨论两种情况和11≠=a a 。