(北师大版)2018-2019年度高中数学必修2同步习题-直线的倾斜角和斜率

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(北师大版)数学必修二达标练习：2.1.1直线的倾斜角和斜率(含答案)

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课堂达标·效果检测1.如图所示，直线l的倾斜角是( )A.0°B.90°C.∠CABD.∠OAB【解析】选C.由倾斜角的定义易知，直线l的倾斜角为∠CAB.2.过点P(-2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为( )A.1B.4C.1或3D.1或4【解析】选A.由斜率公式知=1，解得m=1.3.过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是60°，则y等于( )A.2-3B.-1C.-3D.3-2【解析】选A.直线的倾斜角为60°，则其斜率k=tan60°=.由斜率公式，得=，解得y=2-3.4.已知M(2m+3，m)，N(m-2，1).当m∈________时，直线MN的倾斜角为锐角；当m=________时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈________时，直线MN的倾斜角为钝角.【解析】当2m+3=m-2，即m=-5时，MN的倾斜角为直角；当m≠-5时，k MN==，若直线MN的倾斜角为锐角，则k MN=>0，有或解得m<-5或m>1.同理可得-5<m<1时，MN的倾斜角为钝角.答案：(-∞，-5)∪(1，+∞) -5 (-5，1)5.已知A(，0)，B(，-)，C(a，)三点共线，求实数a的值.【解析】因为A，B，C三点共线，≠≠a，所以AB，AC的斜率都存在，且k AB=k AC，即=，解得a=2.关闭Word文档返回原板块。

北师大版高中数学必修二第二章第一节《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》同步测试题(含简答)

《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》测试题姓名：班级：高二（）班1、若两直线1l ，2l 的倾斜角分别为1α，2α，则下列四个命题中正确的是（）A.若21αα<，则两直线的斜率：21k k <B.若21αα=，则两直线的斜率：21k k =C.若两直线的斜率：21k k <，则21αα<D.若两直线的斜率：21k k =，则21αα=【答案】D2、若直线经过），（），（3-40,1B A 两点，则直线AB 的倾斜角为【答案】65π 3、直线013=++y x 的倾斜角的大小是_________ 【答案】65π 4、若直线01=-+my x 的倾斜角为 30,则实数m 的值为【答案】3-5、若直线经过两点(),2A m ， 3,212B m m ⎛⎫-⎪⎝⎭，且倾斜角为045，则m 的值为【答案】26、直线cos 20x y α++=的倾斜角的范围是【答案】][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭7、若直线06=++by ax 在x 轴、y 轴上的截距分别是-22和3，则a = ，b = 【答案】113，-2 8、已知点）（2,2-A ，）（4,2B ，若直线1+=kx y 与线段AB （包含端点B A ，）有公共点，则实数k 的取值范围是_________【答案】.),23[]21--+∞⋃∞，（ 9、若()1,2A ， ()3,2B t -， ()7,C t 三点共线，则实数t 的值是__________．【答案】510、直线l ：04)1(3=--++λλλy x ）（，若直线l 恒过定点P ，则P 的坐标为【答案】（1，3）11、已知直线b kx y l +=:1，k bx y l +=:2，则它们的图象为（）A.B ．C ．D ．【答案】C 12、已知直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，当A>0，B<0，C>0时，直线必经过第象限【答案】第一、二、三象限13、写出满足下列条件的直线l 的方程，答案请化为一般式（0=++C By Ax ）（1）斜率是21-且经过点A(8，－6)的直线方程为【答案】x ＋2y ＋4＝0. （2）过点），（3-2A 且倾斜角为直线03-=y x 的倾斜角的2倍的直线方程为【答案】01332=--y x（3）斜率为4，在y 轴上的截距为－2的直线方程为【答案】4x －y －2＝0.（4）经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点的直线方程为【答案】2x ＋y －3＝0.（5）在x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1的直线方程为【答案】x ＋3y +3＝0.（6）经过点B(4,2)，且平行于x 轴的直线方程为【答案】y －2＝0（7）过点），（42P 且在x 轴上的截距是y 轴上截距的21的直线方程为【答案】082=-+y x 或02=-y x（8）经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为【答案】x ＋y ＝1或70x y --=或043=+y x（9）斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6的直线方程为【答案】01243=+-y x 或021-43=-y x（10）过点）（4,0M ，且与两坐标轴围成三角形的周长为12的直线方程为【答案】4x ＋3y －12＝0或4x －3y ＋12＝0.14、设直线l 的方程为2)1(-+--=a x a y(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】（1）03=+y x 或02=++y x ；（2）]1,(--∞15（自己选择做不做）、如图所示，已知直线l 过点P(3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求AOB ∆面积最小时l 的方程．【答案】01232=-+y x。

2018-2019高一数学北师大版必修二2.1.1 直线的倾斜角和斜率

3.直线的斜率
做一做2 写出上述“做一做1”中三条直线对应的斜率分别为 , , .
答案:1 0 -1
4.过两点的直线斜率的计算公式经过不同的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y 2)的直线的斜率公式是 ��2 -��1 k= (x1≠x 2).
�� 2 -�� 1
4 2 -3 -3
-2
1
= =1.
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)直线的倾斜角α 的取值范围是[0°,180°]. ( ) (2)直线的倾斜角越大,其斜率也越大. ( ) (3)直线的斜率越大,其倾斜角也越大. ( ) (4)若直线的斜率k=tan θ ,则θ 一定为该直线的倾斜角. ( ) (5)只要一条直线的倾斜角确定,那么该直线就确定了. ( ) (6)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一直线的斜率【例1】 (1)已知一条直线的倾斜角为60°,求这条直线的斜率; (2)求经过两点A(2,3),B(m,4)的直线的斜率. 分析:(1)利用斜率的定义求解;(2)对参数m进行分类讨论,分情况求解.
解:(1)直线的斜率为 k=tan 60°= 3. (2)当 m=2 时,直线 AB 的斜率不存在 ; 当 m ≠2 时,直线 AB 的斜率 kAB=
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1若点A(4,2),B(5,b)的连线与点C(1,2),D(3,4)的连线的斜率相等,则b的值为 .
解析:由题意,可得
答案:3

【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修二《直线的倾斜角和斜率》课时同步训练及解析

2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率【课时目标】 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．1．倾斜角的概念和范围在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按____________方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．直线倾斜角α的范围是0°≤α<180°．2．斜率的概念及斜率公式定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，即k ＝tan α取值范围当α＝0°时，______；当0°<α<90°时，______；且α越大，k 越大；当90°<α<180°时，______；且α越大，k 越大；当α＝90°时，斜率________．过两点的直线的斜率公式直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝__________ (x 1≠x 2)．一、选择题 1．对于下列命题①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为( ) A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )A．[0°，90°]B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0°D．[90°，135°]5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则( )A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k26．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是( )A．mn>0 B．mn<0C．m>0，n<0 D．m<0，n<0二、填空题7．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为____________．8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底边BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜率之和为____________________________________________________________________．三、解答题10．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．11．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P 点的坐标．能力提升12．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，当2≤x ≤3时，求y x的最大值和最小值．13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c的大小关系是 ________________．第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率答案知识梳理 1．逆时针 2．定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，即k ＝tan α 取值范围当α＝0°时，k ＝0；当0°<α<90°时，k >0；且α越大，k 越大；当90°<α<180°时，k <0；且α越大，k 越大；当α＝90°时，斜率不存在．过两点的直线的斜率公式直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)．作业设计1．C [①②③正确．]2．C [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3．]3．D [因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180° ＝α－135°．]4．C [倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．]5．D [由图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，且l 2比l 3的倾斜角大． ∴k 1<k 3<k 2．]6．C [由题意知，直线与x 轴不垂直，故n ≠0．直线方程化为y ＝－m nx ＋1n，则－mn>0，且1n<0，即m >0，n <0．]7．30°或150° 33或－338．09．20°≤α<200°解析因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)，所以0°≤α－20°<180°，解之可得20°≤α<200°． 10．解 αAD ＝αBC ＝60°，αAB ＝αDC ＝0°，αAC ＝30°，αBD ＝120°．k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0，k AC ＝33，k BD ＝－3． 11．解设P (x,0)，则k PA ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x，依题意，由光的反射定律得k PA ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x，解得x ＝2，即P (2,0)． 12．解y x ＝y －0x －0其意义表示点(x ，y )与原点连线的直线的斜率．点(x ，y )满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，则点(x ，y )在线段AB 上，并且A 、B 两点的坐标分别为A (2,4)，B (3,2)，如图所示．则k OA ＝2，k OB ＝23．所以得y x 的最大值为2，最小值为23．13．f (c )c >f (b )b >f (a )a解析画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率．。

2018-2019学年度最新北师大版数学必修2课时跟踪检测：(十四)直线的倾斜角和斜率

课时跟踪检测（十四）直线的倾斜角和斜率层级一学业水平达标1．给出下列说法，正确的个数是()①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；②一条直线的倾斜角为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．A．0B．1C．2 D．3解析：选A若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．已知直线l的倾斜角为120°，则直线l的斜率为()A．－ 3 B. 3C．1 D．－2 2解析：选A由题意可知，k＝tan 120°＝－ 3.3．过点A(－3，2)与B(－2，3)的直线的倾斜角为() A．45°B．135°C．45°或135°D．60°解析：选A k AB＝3－2－2－(－3)＝3－23－2＝1.4．若经过A(2,1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是() A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)解析：选A由l的倾斜角为锐角，可知k AB＝m－11－2＞0，即m＜1.5．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是() A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在解析：选C由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.6．若过点A (4,2)和B (5，b )的直线与过点C (1,2)，D (3,4)的直线的斜率相等，则b 的值为________．解析：由题意，可得b －25－4＝4－23－1＝1，∴b ＝3. 答案：37．已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为________．解析：若B 点在x 轴上，则设B 点坐标为(x,0)，由题意知4－03－x＝2，解得x ＝1，即B (1,0)；若B 点在y 轴上，则设B 点坐标为(0，y )，由题意知4－y3－0＝2，解得y ＝－2，即B (0，－2)． ∴点B 的坐标可以为(1,0)或(0，－2)．答案：(1,0)或(0，－2)8．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________．解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即53－a＝9a ＋75， ∴a ＝2或29. 答案：2或299．已知直线过点A (2m,3)，B (2，－1)，根据下列条件求m 的值．(1)直线的倾斜角为135°；(2)直线的倾斜角为90°；(3)点C (3，m )在直线上．解：(1)由题意，得3－(－1)2m －2＝tan 135°＝－1，得m ＝－1. (2)由题意，得2m ＝2，得m ＝1.(3)由题意，得3－(－1)2m －2＝m －(－1)3－2，得m ＝±3. 10．已知直线l 上两点A (－2,3)，B (3，－2)，求其斜率．若点C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系，并求当a ＝12时，b 的值．解：由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1. ∵C 在l 上，k AC ＝－1，即b －3a ＋2＝－1. ∴a ＋b －1＝0.当a ＝12时，b ＝1－a ＝12. 层级二应试能力达标1．设点P 在y 轴上，点N 是点M 关于y 轴的对称点，若直线PM 的斜率为k (k ≠0)，则直线PN 的斜率是( )A ．kB ．－k C.1k D ．－1k解析：选B 设P 点的坐标为(0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (－x 1，y 1)，由题意知PM 斜率为k ＝y 0－y 10－x 1，而直线PN 的斜率为y 0－y 10－(－x 1)＝－k ，故选B. 2．l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．0°≤α＜90°B ．90°≤α＜180°C ．90°＜α＜180°D ．0°＜α＜180°解析：选C 直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的范围是90°＜α＜180°.3．如图，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选A 根据“当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确．4．已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1,0]B ．[0,1]。

高中数学北师大版必修2 2.1 基础练习《直线的倾斜角和斜率》(数学北师大必修二)

《直线的倾斜角和斜率》基础练习本课时编写：崇文门中学高巍巍一、选择题1. 下列说法中正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是第一或第二象限角C ．和x 轴平行的直线，它的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率2. 已知直线倾斜角为30︒，则斜率为（）A ．1BC . 3D . 3- 3. 以下两点确定的直线的斜率不存在的是（）A ．（4，2）与（-4，1）B .（0，3）与（3，0）C .（3，-1）与（2，-1）D .（-2，2）与（-2，5）4. 如图，若图中直线321,,l l l 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A .k 1< k 2< k 3B . k 3< k 1< k 2C . k 3< k 2< k 1D . k 1< k 3< k 25. 已知三点A （2，-2），B （3，P ），C （P ，0）共线，则P 的值为( )A B ． C ． D ．6二、填空题6.已知直线斜率为，则其倾斜角为__________.7.已知点(2,0),(2,)A B b -，如果直线AB 的倾斜角为45︒，那么实数b 等于________.8.求经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的斜率为_______；倾斜角为_________.9.直线1l 过点()12，与()3a ，，与斜率为-1的直线，则a=_________.10. 已知点P (3，2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为_________.11.已知直线l 过点(2,1)A -且与线段BC 相交，设(1,0),(1,0)B C -，则直线l 的斜率k 的取值范围是．三、简答题12．已知A （a ，2），B （5，1），C （-4，2a ）三点在同一条直线上，求a 的值．13. 已知1l 经过A （-3，3），B （-8，6），2l 经过21,62M ⎛⎫-⎪⎝⎭，9,32N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：12l l 、斜率相同．解析和答案一、选择题1．【答案】D。

北师大版高中数学必修二第二章第一节《直线的倾斜角与斜率直线的方程》同步测试题(含简答)

北师大版高中数学必修二第二章第一节《直线的倾斜角与斜率直线的方程》同步测试题（含简答）姓名：班级：高二〔〕班1、假定两直线1l ，2l 的倾斜角区分为1α，2α，那么以下四个命题中正确的选项是〔〕A.假定21αα<，那么两直线的斜率：21k k <B.假定21αα=，那么两直线的斜率：21k k =C.假定两直线的斜率：21k k <，那么21αα<D.假定两直线的斜率：21k k =，那么21αα=【答案】D2、假定直线经过），（），（3-40,1B A 两点，那么直线AB 的倾斜角为【答案】65π 3、直线013=++y x 的倾斜角的大小是_________ 【答案】65π 4、假定直线01=-+my x 的倾斜角为 30,那么实数m 的值为【答案】3-5、假定直线经过两点(),2A m ， 3,212B m m ⎛⎫-⎪⎝⎭，且倾斜角为045，那么m 的值为【答案】26、直线cos 20x y α++=的倾斜角的范围是【答案】][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭7、假定直线06=++by ax 在x 轴、y 轴上的截距区分是-22和3，那么a = ，b = 【答案】113，-2 8、点）（2,2-A ，）（4,2B ，假定直线1+=kx y 与线段AB 〔包括端点B A ，〕有公共点，那么实数k 的取值范围是_________【答案】.),23[]21--+∞⋃∞，（9、假定()1,2A ， ()3,2B t -， ()7,C t 三点共线，那么实数t 的值是__________．【答案】5 10、直线l ：04)1(3=--++λλλy x ）（，假定直线l 恒过定点P ，那么P 的坐标为【答案】〔1，3〕11、直线b kx y l +=:1，k bx y l +=:2，那么它们的图象为〔〕A.B ．C ．D ．【答案】C 12、直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，当A>0，B<0，C>0时，直线必经过第象限【答案】第一、二、三象限13、写出满足以下条件的直线l 的方程，答案请化为普通式〔0=++C By Ax 〕〔1〕斜率是21-且经过点A(8，－6)的直线方程为【答案】x ＋2y ＋4＝0.〔2〕过点），（3-2A 且倾斜角为直线03-=y x 的倾斜角的2倍的直线方程为【答案】01332=--y x〔3〕斜率为4，在y 轴上的截距为－2的直线方程为【答案】4x －y －2＝0.〔4〕经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点的直线方程为【答案】2x ＋y －3＝0.〔5〕在x 轴，y 轴上的截距区分为－3，－1的直线方程为【答案】x ＋3y +3＝0.〔6〕经过点B(4,2)，且平行于x 轴的直线方程为【答案】y －2＝0〔7〕过点），（42P 且在x 轴上的截距是y 轴上截距的21的直线方程为【答案】082=-+y x 或02=-y x 〔8〕经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的相对值相等的直线方程为【答案】x ＋y ＝1或70x y --=或043=+y x〔9〕斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6的直线方程为【答案】01243=+-y x 或021-43=-y x〔10〕过点）（4,0M ，且与两坐标轴围成三角形的周长为12的直线方程为【答案】4x ＋3y －12＝0或4x －3y ＋12＝0.14、设直线l 的方程为2)1(-+--=a x a y(1)假定l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)假定l 不经过第二象限，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕03=+y x 或02=++y x ；〔2〕]1,(--∞15〔自己选择做不做〕、如下图，直线l 过点P(3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴区分交于A 、B 两点，求AOB ∆面积最小时l 的方程．【答案】01232=-+y x。

高中数学必修二同步练习题库：直线的倾斜角与斜率(选择题：容易)

直线的倾斜角与斜率（选择题：容易）1、直线的倾斜角是（）A． B． C． D．2、经过两点，的直线的倾斜角为（）A．120° B．150° C．60° D．30°3、已知是直线的倾斜角，则的值是（）A． B． C． D．4、若直线过点，则的斜率为（）A． B． C． D．5、若直线与直线互相垂直，那么的值等于A． B． C． D．6、直线的倾斜角是（）A． B． C． D．7、设两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，则l1∥l2是m＜﹣4的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8、若直线过点，则的斜率为（）A． B． C． D．9、已知倾斜角为的直线经过，两点，则A． B． C． D．10、若直线的倾斜角为，则（）A． B． C． D．不存在11、直线倾斜角的范围是（）A．（0，] B．[0，] C．[0，π） D．[0，π]12、若经过和的直线斜率为1，则等于（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或413、过点M（-2，a）和点N（a,4）的直线的倾斜角为，则a的值为（）A．1或4 B．4 C．1或3 D．114、若三点共线则的值为（）A． B． C． D．15、一条直线经过点，倾斜角为，则这条直线的方程为( ) A． B． C． D．16、倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（）A． B． C． D．17、经过两点的直线方程是（）．A． B．C． D．18、若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）A． B． C． D．19、若直线的倾斜角为，则等于（）．A． B． C． D．不存在20、设：，：直线：与：平行，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件21、已知直线，直线，若，则实数的值是（）. A． B． C． D．22、已知，，，若直线的斜率为1，则直线的斜率为（）A． B． C． D．423、直线的方程为，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．24、直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．25、直线x-y+2=0的倾斜角为( )A．300 B．450 C．600 D．135226、若直线 ( )A． B．0 C．1 D．227、与已知直线平行，且不过第一象限的一条直线的方程是（）A． B．C． D．28、已知直线经过点和点，则直线的斜率为（）A． B． C． D．不存在29、直线的倾斜角为（）A． B． C． D．30、设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过点P(1,1)且与线段AB相交，则的斜率k的取值范围是()A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤ C．－≤k≤4 D．以上都不对31、直线的倾斜角是（）A． B． C． D．32、在直角坐标系中，直线的倾斜角是（）A． B． C． D．33、直线的倾斜角为（）A． B． C． D．34、直线的倾斜角为（）A． B． C． D．35、直线的倾斜角为A． B．C． D．36、已知两条直线若，则（）A．5 B．4 C．3 D．237、过两点，的直线的倾斜角是，则（）A． B． C． D．38、过两点，的直线的倾斜角是，则（）A． B． C． D．39、直线的倾斜角为A． B． C． D．40、直线经过原点与点（-1，-1），则它的倾斜角是（）A．45° B．135° C．45°或135° D．0°41、下列说法正确的是 ()A．函数y＝2sin(2x－)的图象的一条对称轴是直线T＝B．若命题p：“存在x∈R，x2－x－1＞0”，则命题p的否定为：“对任意x∈R，x2－x－1≤0”C．若x≠0，则x＋≥2D．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件42、两条直线与的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交且不垂直 D．重合43、若直线l1：mx﹣3y﹣2=0与直线l2：（2﹣m）x﹣3y+5=0互相平行，则实数m的值为A．2 B．﹣1 C．1 D．044、已知直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为（）A． B． C． D．45、已知直线与直线平行，则的值为A． B．C．或 D．或46、直线的倾斜角是 ( )A． B． C． D．47、直线的倾斜角为A． B． C． D．48、直线的倾斜角为A． B．C． D．49、若过不重合的，两点的直线的倾斜角为，则的取值为（）A． B． C．或 D．或50、直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则=（）A． B． C． D．51、如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= ( )A．-3 B．-6 C． D．52、点在直线上，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．53、两条直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于()A．－1 B．0 C．1 D．254、直线的倾斜角是（）A． B． C． D．55、若三点在同一条直线上，则实数的值为（）A． B． C． D．56、“”是“直线与直线相互垂直”的（）条件A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要57、设直线，，若，则（）A． B．1 C． D．058、设直线，，若，则（）A． B．1 C． D．059、若直线：过点，则直线与：( )A．平行 B．相交但不垂直C．垂直 D．相交于点60、直线的倾斜角为（）A．； B．； C．； D．61、已知直线的倾斜角为，则的值是（）A． B． C． D．62、直线的倾斜角为（）A． B．C． D．63、直线的倾斜角为（）A． B． C． D．64、已知点A（,0），B（0，2）．若直线l：与线段AB相交，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．65、直线的倾斜角是（）A． B．C． D．66、直线的倾斜角和斜率分别是（）A．，1 B．，-1C．，不存在 D．，不存在67、直线的倾斜角为（）A． B． C． D．68、已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1， 1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k 的取值范围是（）A．或k≤﹣4B．或C．D．69、直线的倾斜角是（）A． B． C． D．70、直线的倾斜角为（）A． B． C． D．参考答案1、B2、A3、B4、A5、A6、D7、A8、A9、C10、C11、C12、A13、D14、A15、C16、D17、A18、A19、A20、C21、C22、B23、A24、B25、B26、A27、A28、B29、B30、A31、D32、A33、B34、B35、C36、D37、D38、D39、D40、A41、B42、B43、C44、D45、A46、C47、C48、C49、B50、B51、B52、C53、A54、B55、A56、B57、A58、A59、C60、C61、C62、D63、D64、C65、B66、C67、C68、A69、B.70、C【解析】1、，斜率为，故倾斜角为.2、试题分析：设经过两点，的直线的倾斜角为θ，利用斜率计算公式可得：tanθ=，解出即可得出．解：设经过两点，的直线的倾斜角为θ，则tanθ==﹣，∵θ∈[0°，180°），∴θ=120°．故选：A．考点：直线的倾斜角．3、由可得，直线的斜率为，即，故选B.4、直线的斜率,故选A.5、由于直线x+2y+1=0的斜率存在，且直线x+2y+1=0与直线ax+y-2=0互相垂直，则，解得．故选A．6、∵直线的斜率为﹣tan =，由tanα=，且0≤α＜π，得．故选：D．点睛：由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率得答案。

2018-2019学年北师大版必修2直线的倾斜角和斜率作业

课时跟踪检测（十四）直线的倾斜角和斜率层级一学业水平达标1．给出下列说法，正确的个数是()①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；②一条直线的倾斜角为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．A．0B．1C．2 D．3解析：选A若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．已知直线l的倾斜角为120°，则直线l的斜率为()A．－ 3 B. 3C．1 D．－2 2解析：选A由题意可知，k＝tan 120°＝－ 3.3．过点A(－3，2)与B(－2，3)的直线的倾斜角为() A．45°B．135°C．45°或135°D．60°解析：选A k AB＝3－2－2－(－3)＝3－23－2＝1.4．若经过A(2,1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是() A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)解析：选A由l的倾斜角为锐角，可知k AB＝m－11－2＞0，即m＜1.5．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是() A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在解析：选C由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.6．若过点A (4,2)和B (5，b )的直线与过点C (1,2)，D (3,4)的直线的斜率相等，则b 的值为________．解析：由题意，可得b －25－4＝4－23－1＝1，∴b ＝3. 答案：37．已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为________．解析：若B 点在x 轴上，则设B 点坐标为(x,0)，由题意知4－03－x＝2，解得x ＝1，即B (1,0)；若B 点在y 轴上，则设B 点坐标为(0，y )，由题意知4－y3－0＝2，解得y ＝－2，即B (0，－2)． ∴点B 的坐标可以为(1,0)或(0，－2)．答案：(1,0)或(0，－2)8．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________．解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即53－a＝9a ＋75， ∴a ＝2或29. 答案：2或299．已知直线过点A (2m,3)，B (2，－1)，根据下列条件求m 的值．(1)直线的倾斜角为135°；(2)直线的倾斜角为90°；(3)点C (3，m )在直线上．解：(1)由题意，得3－(－1)2m －2＝tan 135°＝－1，得m ＝－1. (2)由题意，得2m ＝2，得m ＝1.(3)由题意，得3－(－1)2m －2＝m －(－1)3－2，得m ＝±3.10．已知直线l 上两点A (－2,3)，B (3，－2)，求其斜率．若点C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系，并求当a ＝12时，b 的值．解：由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1. ∵C 在l 上，k AC ＝－1，即b －3a ＋2＝－1. ∴a ＋b －1＝0.当a ＝12时，b ＝1－a ＝12. 层级二应试能力达标1．设点P 在y 轴上，点N 是点M 关于y 轴的对称点，若直线PM 的斜率为k (k ≠0)，则直线PN 的斜率是( )A ．kB ．－k C.1k D ．－1k解析：选B 设P 点的坐标为(0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (－x 1，y 1)，由题意知PM 斜率为k ＝y 0－y 10－x 1，而直线PN 的斜率为y 0－y 10－(－x 1)＝－k ，故选B. 2．l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．0°≤α＜90°B ．90°≤α＜180°C ．90°＜α＜180°D ．0°＜α＜180°解析：选C 直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的范围是90°＜α＜180°.3．如图，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选A 根据“当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确．4．已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1,0]B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[0,2]解析：选D 由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.5．已知A (－1,2)，B (3,2)，若直线AP 与直线BP 的斜率分别为2和－2，则点P 的坐标是________．解析：设点P (x ，y )，则有y －2x ＋1＝2且y －2x －3＝－2，解得x ＝1，y ＝6，即点P 坐标是(1,6)．答案：(1,6)6．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，斜率k ＝1＋a －2a 1－a －3＝a －1a ＋2＜0，解得－2＜a ＜1.答案：(－2,1)7．已知直线l 过点A (1,2)，B (m,3)，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．解：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，当m ＝1时，斜率k 不存在，α＝90°，当m ≠1时，k ＝3－2m －1＝1m －1，当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°，当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，此时α为钝角，90°＜α＜180°. 所以直线l 的斜率k 的取值范围为(－∞，0)∪(0，＋∞)，倾斜角α的取值范围为0°＜α＜180°.8．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图像上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．解：y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率． ∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图像上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16， ∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围为⎣⎡⎦⎤－16，53.。

2018-2019版高中数学第二章解析几何初步疑难规律方法学案北师大版必修2

2018-2019版高中数学第二章解析几何初步疑难规律方法学案北师大版必修21.直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，当直线l 和x 轴平行时，它的倾斜角为0°.解读 (1)直线的倾斜角分两种情况定义：第一种是与x 轴相交的直线；第二种是与x 轴平行或重合的直线.这样定义可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角.(2)从运动变化的观点来看，当直线与x 轴相交时，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向转动到与直线重合时所转过的角. (3)不同的直线可以有相同的倾斜角.(4)直线的倾斜角直观地描述了直线相对x 轴正方向的倾斜程度. 2.直线的斜率我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 解读 (1)斜率坐标公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后顺序可以同时颠倒.(2)所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是说该直线不存在，而此时直线垂直于x 轴.(3)斜率和倾斜角都是反映直线相对于x 轴正向的倾斜程度的，通常情况下求斜率比求倾斜角方便.(4)当x 1＝x 2，y 1≠y 2时直线没有斜率. 3.两条直线平行的判定对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.解读 (1)利用上述公式判定两条直线平行的前提条件有两个：一是两条直线不重合，二是两条直线的斜率都存在.(2)当两条直线的斜率都不存在时，l 1与l 2的倾斜角都是90°，此时也有l 1∥l 2. 4.两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.解读 (1)利用上述公式判定两条直线垂直的前提条件是两条直线都有斜率.(2)两条直线中，若一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线也垂直.2 直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线与直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础.一、根据倾斜角求斜率例1 如图，菱形ABCD的∠ADC＝120°，求两条对角线AC与BD所在直线的斜率.分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角，再利用公式k＝tan θ.解∵在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ABC＝120°.又菱形的对角线互相平分，∴∠BAC＝30°，∠DBA＝60°.∴∠DBx＝180°－∠DBA＝120°.∴k AC＝tan 30°＝33，k BD＝t an 120°＝－ 3.评注本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率.二、利用两点斜率公式例2 直线l沿y轴正方向平移3个单位，再沿x轴的负方向平移4个单位，恰好与原直线l 重合，求直线l的斜率k.分析由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现.因此，本题可以采取在直线上取一点P，经过相应的平移后得到一个新点Q，它也在直线上，则直线l的斜率即为PQ的斜率.解设P(x，y)是直线l上任意一点，按平移后，P点的坐标移动到Q(x－4，y＋3).∵Q点也在直线l上，∴k＝y＋－yx －－x＝－34.评注①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x，y)沿x轴正方向平移a个单位，再沿y轴正方向移动b个单位，坐标由(x，y)变为(x＋a，y＋b).②直线过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＝x 2，y 1≠y 2，则倾斜角等于90°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在.三、利用待定系数法例3 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l 的斜率.分析本题可以利用例2的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解.除此之外，还可以考虑直线l 的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果. 解设直线l 的方程为y ＝kx ＋b .把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为y －1＝k (x ＋3)＋b ，即y ＝kx ＋3k ＋b ＋1.由条件，知y ＝kx ＋3k ＋b ＋1与y ＝kx ＋b 为同一条直线的方程. 比较系数，得b ＝3k ＋b ＋1，解得k ＝－13.评注本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果.3 直线方程形式的相互转化直线方程的五种形式之间密切相关，可以进行相互转化. 一、一般式方程转化为斜截式方程例1 已知直线方程为3x ＋4y －6＝0，求此直线的斜率与此直线在y 轴上的截距. 分析只需把已知直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，根据直线的斜截式方程可以直接判断出对应直线的斜率与在y 轴上的截距. 解由3x ＋4y －6＝0，可得4y ＝－3x ＋6，即y ＝－34x ＋32.根据直线的斜截式方程，可以得出此直线的斜率为－34，此直线在y 轴上的截距为32.评注在直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中，非常直观地表示了该直线对应的斜率为k ，该直线在y 轴上的截距为b .二、一般式方程转化为截距式方程例2 求直线ax ＋by －1＝0(a ≠0，b ≠0)与两坐标轴所围成的三角形的面积.分析只需把已知直线的一般式方程转化为直线的截距式方程，根据直线的截距式方程可以直接判断出对应直线在相应坐标轴上的截距，再求解对应的三角形面积.解由直线ax ＋by －1＝0(a ≠0，b ≠0)，可得x 1a ＋y1b＝1.根据直线的截距式方程，可以得出此直线在x 轴，y 轴上的截距分别为1a ，1b.所以对应的三角形面积为S ＝12·|1a |·|1b |＝12|ab |.评注在直线的截距式方程x a ＋y b＝1(a ≠0，b ≠0)中，方程的左侧为两个分式的和，右侧为常数1，其中的a ，b 分别为直线在x 轴，y 轴上的截距.要正确理解截距的定义，但要注意在x 轴，y 轴上的截距分别表示的是直线与x 轴，y 轴交点的横、纵坐标. 三、斜截式方程转化为点斜式方程例3 直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过的定点为__________________________________. 分析只需把已知直线的斜截式方程转化为直线的点斜式方程，根据直线的点斜式方程可以直接判断出对应直线所过的定点.解析由y ＝mx －3m ＋2，可得y ＝m (x －3)＋2，即y －2＝m (x －3)，根据直线的点斜式方程，可以得出此直线必过的定点为(3,2). 答案 (3,2)评注在直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)中，表示恒过定点(x 0，y 0)的一系列直线.在解答此类问题时，也可以通过参数的两个不同取值，通过求解两特殊直线的交点来达到确定定点的目的. 四、一般式方程转化为点斜式方程例4 已知直线l 的方程为(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0，求证：无论k 取何实数时，直线l 必过定点，并求出这个定点的坐标.分析只需把已知直线的一般式方程转化为直线的点斜式方程，即可判断出对应的定点. 证明由直线l 的方程(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0，可得(k ＋1)x ＝(k －1)y ＋2k ，则(k ＋1)x －k ＝(k －1)y ＋k ，亦即(k ＋1)x －(k ＋1)＝(k －1)y ＋(k －1). 当k ≠1时，y ＋1＝k ＋1k －1(x －1)，根据直线的点斜式方程可得直线l 必过定点(1，－1)；当k ＝1时，直线l 的方程为x ＝1，亦必过定点(1，－1). 综上所述，无论k 取何实数时，直线l 必过定点(1，－1).评注在解答有关直线过定点的问题中，经常利用直线的点斜式方程来解决.直线方程的五种表达式都有着各自的长处和不足，在求解有关的直线方程时，一定要注意各自方程形式的局限之处.4 直线方程中的“缺陷”一、斜截式中斜率“缺陷”例1 已知直线方程为3x ＋my －6＝0，求此直线的斜率与此直线在y 轴上的截距. 错解由3x ＋my －6＝0，得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m.剖析忘记讨论当m ＝0时，直线的斜率并不存在.正解当m ＝0时，直线可化为x ＝2，此时直线的斜率不存在，在y 轴上的截距也不存在；当m ≠0时，可得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m，得出此直线的斜率为－3m，在y 轴上的截距为6m.评注在直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中，非常直观地表示了该直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b .研究直线的斜率与在y 轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方程来处理.但要注意当y 的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论. 二、两点式中分式“缺陷”例2 已知直线l 过点A (1,2)，B (a,3)，求直线l 的方程.错解由两点式，得直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1.剖析忽视了a ＝1，即直线与x 轴垂直的情况，若a ＝1，则y －23－2＝x －1a －1不成立.正解当a ＝1时，直线l 的方程为x ＝1；当a ≠1时，直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1. 综上所述，知直线l 的方程为x －(a －1)(y －2)－1＝0.评注一般地，过P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点的直线方程，不能写成y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，而应写成(x 2－x 1)(y －y 1)－(y 2－y 1)(x －x 1)＝0. 三、截距式中截距“缺陷”例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程. 错解设直线的方程为x a ＋y－a＝1.因为直线过点(2,4)，所以2a ＋4－a ＝1，解得a ＝－2.故所求的直线方程为x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0.剖析直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解. 正解当直线的截距均不为0时，同错解；当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率为k ＝2，直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.故所求的直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋2＝0.评注事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m (m >0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况. 四、一般式中系数“缺陷”例4 如果直线(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0的斜率不存在，求m 的值. 错解因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0. 解得m ＝3或m ＝1.所以当m ＝3或m ＝1时，直线的斜率不存在.剖析由于方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，本身隐含着(A ，B 不同时为0)这一条件.当m ＝1时，方程(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0即为0·x ＋0·y －0＝0，它不表示直线，应舍去.正解因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0，且m －1≠0，解得m ＝3. 所以当m ＝3时，直线的斜率不存在.评注方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)才叫作直线的一般式方程，才表示一条直线.5 突破两条直线的位置关系在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型.下面举例说明. 题型一根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的取值.例1 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0.试求m 为何值时，l 1与l 2：(1)平行？(2)垂直？分析 (1)由“两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0平行⇔－ab ＝－m n 且－c b ≠－d n”或“两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比”，通过解方程求出m 的值；(2)由“两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0垂直⇔(－a b )·(－m n)＝－1”即可求解. 解 (1)若l 1∥l 2，则－1m ＝－m －23且－6m ≠－2m3.解得m ＝－1.所以当m ＝－1时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，则(－1m )·(－m －23)＝－1.解得m ＝12.所以当m ＝12时，l 1⊥l 2.评注如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点.利用此法只需把直线方程化为一般式即可. 题型二有关直线相交的问题有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交.例2 若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求实数m 的取值范围.分析可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标.由于交点在第四象限，所以交点的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而可求出m 的取值范围.解根据题意，由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，可得这两条直线的交点坐标为(2m ＋37，m －27).因为交点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋37>0，m －27<0.解得－32<m <2.所以实数m 的取值范围是(－32，2).评注本题考查直线交点的求法，又由于交点在第四象限，因此又考查了解不等式的能力. 题型三有关距离的问题在平面直角坐标系中，与直线有关的距离问题主要有两类：(1)点到直线的距离；(2)两平行线间的距离.这两类距离可由相应的距离公式求得：其中点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(应用此公式应注意两点：(1)把直线方程化为一般式方程；(2)使x ，y 的系数分别对应相等). 例3 求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0的距离.分析用上述平行线距离公式时，首先需要把两直线方程中的x ，y 的系数化为分别对应相等，然后用公式可求出距离.解把l 1：2x ＋3y －8＝0变形为l 1：4x ＋6y －16＝0. 利用公式，可得l 1与l 2的距离为d ＝－－－42＋62＝151326.6 直线系方程的类型及应用在求直线方程的时候，要利用两直线的斜率关系，或利用两直线的交点坐标，通过解方程的途径来获解.而在一些有关平行或垂直的问题，或是过有关两已知直线交点的问题中，利用相应的直线系方程，能简化解题过程，提高解题效率. 一、直线系方程的类型1.平行直线系：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋C 1＝0(C ≠C 1).2.垂直直线系：与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋C 1＝0.3.交点直线系：若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P ，则过交点P 的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线l 2).4.过定点P (a ，b )的直线系方程可设为m (x －a )＋(y －b )＝0(m 为参数). 二、直线系方程的应用1.平行或垂直的直线系方程的应用例1 已知正方形的中心为G (－1,0)，一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在的直线方程.解正方形的中心G 到已知边的距离为d ＝|－1－5|12＋32＝610. 设正方形与已知直线平行的一边所在的直线方程为x ＋3y ＋c ＝0，则d ＝|－1＋c |10＝610，解得c ＝7或c ＝－5(舍去).故所求一边的直线方程为x ＋3y ＋7＝0.又由于正方形另两边所在的直线与已知直线垂直，故设另两边所在的直线方程为3x －y ＋m ＝0. 则d ＝－1＋m |10＝610，解得m 1＝9或m 2＝－3.因此正方形另两边所在的直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0. 评注利用平行或垂直的直线系，可免去求斜率的麻烦，直接套用公式即可.在运用直线系方程时，要注意通过图形的几何性质，得出所设方程的参数. 2.过交点的直线系方程的应用例2 在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b ，0)，C (c,0)，设P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP ，CP 分别交AC ，AB 于点E ，F ，一同学已正确求得OE 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p －1a y ＝0，求直线OF 的方程.解由截距式可得直线AB ：x b ＋y a＝1，直线CP ：x c ＋y p＝1，点F 为直线AB 与直线CP 的交点，故过F 点的直线系方程可设为l ：x b ＋ya－1＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x c ＋y p －1＝0. 又直线l 过原点(0,0)，代入方程得λ＝－1，故所求直线OF 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫1c －1b x ＋⎝⎛⎭⎪⎫1p －1ay ＝0.评注本例通过设出过交点的直线系方程，简化了求交点的烦琐过程，大题小做，直观简洁. 3.过定点的直线系方程的应用例3 已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，若直线不过第二象限，求实数a 的取值范围. 解直线方程可化为(3x －y )a －(x －2y ＋1)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即无论a 为何实数，直线总过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.设直线的斜率为k，直线OP的斜率为k OP.由图像可知，当直线的斜率k满足k≥k OP时，直线与y轴的交点不会在原点的上方，即直线不经过第二象限.故由k≥k OP，解得a∈(2，＋∞).又当a＝2时满足题意，故实数a的取值范围是[2，＋∞).评注过定点的直线系的特征是直线方程中有一个参数.本例通过直线过定点P，运用数形结合的思想，只考虑直线斜率满足的条件将问题巧妙转化解出.7 活用两点间的距离公式已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则该两点之间的距离可表示为|AB|＝x2－x12＋y2－y12.两点间的距离公式是整个解析几何中几个最重要的公式之一，是平面解析几何的基础，在数学学习与生产生活中都有着广泛的应用.因此应熟练掌握公式并且灵活运用.一、判断三角形的形状例1 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0).求证：△ABC是直角三角形.分析求出每两个点之间的距离，用勾股定理验证.证明|AB|＝－1－2＋＋2＝25，即|AB|＝25，∴|AB|2＝20，同理|AC|2＝5，|BC|2＝25.∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC是以顶点A为直角顶点的直角三角形.评注在顶点坐标已知的情况下欲判断三角形是直角三角形，只需要求出边长再用勾股定理验证即可.二、求点的坐标例2 已知点A(－3,4)，B(2，3)，在x轴上找一点P使得|PA|＝|PB|，并求出|PA|的值. 分析由于点P在x轴上，可设P(x,0)，再利用条件|PA|＝|PB|即可解决.解设P(x,0)，则有|PA |＝x ＋2＋－2＝x 2＋6x ＋25，|PB |＝x －2＋－32＝x 2－4x ＋7.由|PA |＝|PB |，可得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，解得x ＝－95，从而得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0，且|PA |＝21095. 评注应熟练掌握在坐标轴上的点的坐标的设法. 三、证明三点共线问题例3 已知A (1，－1)，B (3,3)，C (4,5)三点，求证：这三点在同一条直线上.分析要证A ，B ，C 三点在同一条直线上，可通过几何方法进行证明.而在直角坐标系中解决此类问题，可能会更简单一些，只需证|AC |＝|AB |＋|BC |即可，要确定|AC |，|AB |，|BC |的长，只需利用两点间的距离公式即可. 证明 |AB |＝－2＋＋2＝22＋42＝25， |BC |＝－2＋－2＝12＋22＝5， |AC |＝－2＋＋2＝32＋62＝3 5.∵|AB |＋|BC |＝35，|AC |＝35， ∴|AB |＋|BC |＝|AC |，即A ，B ，C 三点共线.评注在平面直角坐标系中证明几何问题时，应注意图形的特点，充分运用两点间的距离公式进行运算，从而解决问题. 四、证明平面几何问题例4 如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，试用坐标法证明：|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2.分析要想用坐标法证明几何问题，首先必须建立平面直角坐标系，确定各点的坐标，利用两点间的距离公式进行计算.在建立平面直角坐标系时，要注意图形的特点，使建系后点的坐标表示尽量简便.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设M (x ，y )，C (x 1，y 1)，则A (0,0)，B (x 1,0)，D (0，y 1)，|AM |＝x 2＋y 2，|BM |＝x －x 12＋y 2，|CM |＝x －x 12＋y －y 12，|DM |＝x 2＋y －y 12.∵|AM |2＋|CM |2＝x 2＋y 2＋(x －x 1)2＋(y －y 1)2， |BM |2＋|DM |2＝x 2＋y 2＋(x －x 1)2＋(y －y 1)2， ∴|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2.即如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2都成立. 评注用坐标法证明几何问题时，首先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数法进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.8 圆的两种方程的区别与联系圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；而二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F >0时，表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆，叫作圆的一般方程.二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程.掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的.(2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r (或D 、E 、F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值.标准方程与一般方程的差别主要反映在以下两点：一、二者确定圆的条件不同例1 圆心P 在直线y ＝x 上，且与直线x ＋2y －1＝0相切的圆，截y 轴所得的弦长|AB |＝2，求此圆的方程.解 ∵圆心P 在直线y ＝x 上，∴可设P 的坐标为(k ，k )，设圆的方程为(x －k )2＋(y －k )2＝r 2(r >0). 作PQ ⊥AB 于Q ，连接AP ，在Rt△APQ 中，AQ ＝1，AP ＝r ，PQ ＝k ，∴r ＝1＋k 2.又r ＝|k ＋2k －1|12＋22，∴|k ＋2k －1|12＋22＝k 2＋1，整理得2k 2－3k －2＝0，解得k ＝2或k ＝－12.当k ＝2时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝5，故圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5. 当k ＝－12时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝52，故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝54.因此所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5或⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝54. 例2 已知△ABC 的各顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆的方程. 分析可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程. 解设过A 、B 、C 三点的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)代入可得 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，∴其外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.评注圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程，而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算.另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单. 二、二者的应用方面不同例3 若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y ＝33x (x ≥0)相切，求这个圆的方程. 分析利用“半径为1的圆与y 轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口.解由题意知圆心的横坐标及半径为1，设圆心纵坐标为b ，则圆的方程为(x －1)2＋(y －b )2＝1，∵圆与射线y ＝33x (x ≥0)相切，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1＝1，解得b ＝3，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1.评注圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.9 探究圆的切线探究1 已知点M (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝r 2上一点，l 是过点M 的圆的切线，求直线l 的方程. 解设点P (x ，y )是切线l 上的任意一点，则OM ⊥MP . ∴k OM ·k MP ＝－1，即y 0x 0·y －y 0x －x 0＝－1.整理，得x 0x ＋y 0y ＝x 0 2＋y 0 2. ∵x 0 2＋y 0 2＝r 2，∴切线l 的方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.当点M 在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用.结论1 过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 探究2 求过圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线l 的方程. 解设点P (x ，y )是切线l 上的任意一点，则CM ⊥MP . ∴k CM ·k MP ＝－1，即y 0－b x 0－a ·y －y 0x －x 0＝－1. 整理，得(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2. ∵(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，∴切线l 的方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. 当点M 在直线x ＝a 和y ＝b 上时，可以验证上述方程同样适用.结论2 过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.探究3 求过圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0上一点M (x 0，y 0)的切线l 的方程. 解把圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0化为标准方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝14(D 2＋E 2－4F ). 由结论2可知切线l 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋D 2(x ＋D 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋E 2(y ＋E 2)＝14(D 2＋E 2－4F ). 整理，得x 0x ＋y 0y ＋D ·x ＋x 02＋E ·y ＋y 02＋F ＝0.∴切线l 的方程为x 0x ＋y 0y ＋D ·x ＋x 02＋E ·y ＋y 02＋F ＝0.结论3 过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0上一点M (x 0，y 0)的切线l 的方程为x 0x ＋y 0y ＋D ·x ＋x 02＋E ·y ＋y 02＋F ＝0.10 圆弦长的求法一、利用两点间的距离公式若直线与圆相交的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22.例1 求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长.解设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线的方程为y ＝3x .解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x ，x 2＋y 2－4y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝3.∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝－32＋－2＝2 3.评注解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解.这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法. 二、利用勾股定理若弦心距为d ，圆的半径为r ，则弦长|AB |＝2r 2－d 2.例2 求直线x ＋2y ＝0被圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长|AB |.解把圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝25，所以其圆心为(3,1)，半径r ＝5.因为圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋1×2|12＋22＝5，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4 5. 三、利用弦长公式若直线l 的斜率为k ，与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2].例3 求直线2x －y －2＝0被圆(x －3)2＋y 2＝9所截得的弦长|AB |.解设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x －2＋y 2＝9消去y ，整理得5x 2－14x ＋4＝0.则x 1＋x 2＝145，x 1x 2＝45. ∴|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1452－4×45＝21455.评注通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y (或x )转化为关于x (或y )的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解.11 圆与圆相交的三巧用圆与圆的位置关系主要有五种，即相离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相交时求公切线的条数.一、圆与圆相交，求公共弦所在的直线方程例1 已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________.分析求两个圆的相交弦所在的直线问题，如果先求出这两个圆的交点，然后再求出AB 的直线方程，则运算量大，而且易出错，因此可通过将两个圆方程的二次变量消去，得到二元一次方程即为所求.解析两圆方程作差，得x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝0评注求两圆的公共弦所在的直线方程，只需将两圆作差即可. 二、圆与圆相交，求公共弦的垂直平分线方程例2 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是________________________________________________________________________. 分析关于两圆公共弦的垂直平分线方程问题，关键是要善于将AB 的垂直平分线问题转化为两个圆的圆心连线所在的直线问题.解析由平面几何知识，知AB 的垂直平分线就是两圆的圆心连线，即求过(2，－3)与(3,0)两点的直线的方程.可求得直线的方程为3x －y －9＝0. 答案 3x －y －9＝0评注通过将问题转化，不但可简化运算的程序，而且有利于更好地掌握两个圆的位置关系. 三、求圆与圆相交时公切线的条数问题例3 已知圆A ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆B ：(x －2)2＋(y －2)2＝9，则圆A 和圆B 的公切线有________条.分析判断两个圆的公切线有多少条，关键是判断两个圆的位置关系，通过确定两个圆的位置关系就可判断两个圆的公切线的条数. 解析因为圆心距|AB |＝－2＋－2＝2，R ＝3，r ＝2，且R ＋r ＝3＋2＝5，R －r ＝3－2＝1，所以有R －r <|AB |<R ＋r ，即两圆相交.所以两圆的公切线有两条. 答案 2评注判断两个圆的位置关系时，除了考虑两个圆的半径之和与两个圆的圆心距外，还要考虑两个圆的半径之差与两个圆的圆心距.12 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题大致分为两类：一类是运用几何特征及几何手段先确定达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题.例1 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差为________.分析利用数形结合法求出最大距离与最小距离后再作差. 解析由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0配方得 (x －2)2＋(y －2)2＝18，即圆心为C (2,2)，半径r ＝32，则圆心到直线的距离d ＝|2＋2－14|12＋12＝52，所以圆上的点到直线的最大距离为d ＋r ＝82，最小距离为d －r ＝22，则圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为 82－22＝6 2. 答案 6 2评注一般地，设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r (r <d )，则圆上的点到直线的距离的最大值、最小值分别为d ＋r 和d －r .例2 在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，P 是△ABC 内切圆上的动点，试求点P 到△ABC 的三个顶点的距离的平方和的最大值与最小值.分析可以C 点为坐标原点建立坐标系，设出定点和动点坐标，建立函数关系，然后转化为。

2018-2019数学北师大版必修2作业：第二章1.1 直线的倾斜角和斜率

[学业水平训练]1.关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( )A ．所有的直线都有倾斜角和斜率B ．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C ．直线的倾斜角和斜率有时都不存在D ．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角解析：选B.所有的直线都有倾斜角，因为斜率是倾斜角的正切值，故倾斜角为90°时，斜率不存在，故选B.2.A (2，1)，B (3，－1)两点连线的斜率为( )A ．－2B ．－12C.12D ．2 解析：选A.k AB ＝－1－13－2＝－2. 3．已知下列直线的倾斜角，则直线的斜率小于0的是( )A ．α＝30°B ．α＝45°C ．α＝75°D ．α＝115°解析：选D.因为当0°<α<90°时，k >0；当90°<α<180°时，k <0.4.直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选D.k AB ＝m 2－11－2＝－m 2＋1≤1，所以直线l 的斜率的取值范围为(－∞，1]．5.如图所示，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 1＜k 3＜k 2D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选C.由图知k 2＞k 3＞0＞k 1.6.平面直角坐标系中，一条直线的斜率等于3，则此直线的倾斜角α等于________．解析：由k ＝tan α＝3，则α＝60°.答案：60°7.已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为________．解析：如图，因为l 1⊥l 2且l 1的倾斜角为60°，则l 2的倾斜角为90°＋60°＝150°.答案：150°8.若过P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为0°，则a ＝________．解析：若直线的倾斜角为0°，则直线平行于x 轴，则1＋a ＝2a ，即a ＝1.答案：19.(1)当且仅当m 为何值时，经过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12.(2)当且仅当m 为何值时，经过两点A (m ，2)，B (－m ，2m －1)的直线的倾斜角是45°.解：(1)由题意，得3m －61－（－m ）＝12，解得m ＝－2.(2)由题意，得（2m －1）－2－m －m＝1，解得m ＝34. 10.直线l 的斜率为k ＝1－m 2(m ∈R )，求直线l 的倾斜角的取值范围．解：∵k ＝1－m 2≤1，∴当0≤k ≤1时，倾斜角的取值范围为0°≤α≤45°，当k<0时，倾斜角的取值范围为90°<α<180°.综上，倾斜角的取值范围为[0°，45°]∪(90°，180°)．[高考水平训练]1.已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线l 过点P(1，1)与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥2或k ≤34 B.34≤k ≤2 C ．k ≥34D ．k ≤2 解析：选A.如图k PA ＝3－12－1＝2， k BP ＝－2－1－3－1＝34，所以，若直线l 过点P(1，1)与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≥2或k ≤34. 2.若三点A(3，3)，B(a ，0)，C(0，b)(ab ≠0)共线，则1a ＋1b＝________．解析：显然三点横坐标不相等，即直线的斜率存在．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即33－a＝3－b 3，∴a ＋b ＝13ab ，两边同时除以ab(ab ≠0)，∴1a ＋1b ＝13. 答案：133.求过点M(0，2)，N(2，3m 2＋12m ＋13)(m ∈R )的直线l 的斜率k 的取值范围．解：由直线的斜率公式得k ＝（3m 2＋12m ＋13）－22－0＝ 3m 2＋12m ＋112＝3（m ＋2）2－12＝32(m ＋2)2－12≥－12. 所以k 的取值范围为k ≥－12. 4．已知A (2，4)，B (3，3)，点P (a ，b )是线段AB (包括端点)上的动点，试结合斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 2≠x 1)．求b －1a －1的取值范围．解：设k ＝b －1a －1，则k 可以看成点P (a ，b )与定点Q (1，1)连线的斜率．如图，当P 在线段AB 上由B 点运动到A 点时，PQ 的斜率由k BQ 增大到k AQ ，因为k BQ ＝3－13－1＝1，k AQ ＝4－12－1＝3，所以1≤k ≤3，即b －1a －1的取值范围是[1，3]．。

2018-2019学年高中北师大版数学必修2：第2章1.1 直线的倾斜角和斜率含解析

第二章解析几何初步1 直线与直线的方程1．1 直线的倾斜角和斜率时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知直线过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－2C ．2D ．不存在答案：B解析：由题意可得AB 的斜率为k ＝2－41－0＝－2. 2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( )A ．(4,1)与(－4，－1)B ．(0,1)与(1,0)C ．(1,4)与(－1,4)D ．(－4,1)与(－4，－1)答案：D解析：选项A ，B ，C ，D 中，只有D 选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x 轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．3．经过原点O (0,0)与点P (1,1)的直线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°答案：B解析：设过点O 与点P 的直线的倾斜角为α.因为直线OP 的斜率k ＝1－01－0＝1，又0°≤α<180°，所以α＝45°. 4．若直线经过点A (m 2,0)，B (2，3m )，且倾斜角为60°，则实数m ＝( )A ．1或－1B ．2或－2C ．1或－2D ．－1或2答案：C解析：因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan60°＝ 3.又直线经过点A (m 2,0)，B (2，3m )，所以3m －02－m 2＝3，即m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或－2.5．如图所示，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2答案：D解析：设直线l 1、l 2、l 3的倾斜角分别是α1、α2、α3，则90°＜α1＜180°，0°＜α3＜α2＜90°， ∴tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0.∴k 1＜k 3＜k 2.6．已知直线l 1过点A (－1，－1)和B (1,1)，直线l 2的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的斜率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．不存在答案：D解析：设直线l 1的倾斜角为α.因为直线l 1过点A (－1，－1)和B (1,1)，所以直线l 1的斜率为1－(－1)1－(－1)＝1.又0°≤α<180°，所以α＝45°，则直线l 2的倾斜角为90°，所以直线l 2的斜率不存在．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．若直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，33，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．答案：[0°，30°)解析：当0≤k <33时，因为tan0°＝0，tan30°＝33，所以0°≤α<30°. 8．已知A (2，－3)，B (4,3)，C ⎝⎛⎭⎫5，m 2三点在同一条直线上，则实数m 的值为________．答案：12解析：因为A 、B 、C 三点在同一条直线上，所以有k AB ＝k AC ，即3－(－3)4－2＝m 2－(－3)5－2，解得m ＝12. 9．若经过A (2,1)，B (1，m )的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是________．答案：m ＜1解析：由l 的倾斜角为锐角，可知K AB ＝m －11－2＞0，即m ＜1. 三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．如图，直线l 2的倾斜角α2＝120°，直线l 1的倾斜角为α1，直线l 1⊥l 2，求直线l 1的斜率．解：由平面几何知识可得α2＝α1＋90°，所以α1＝α2－90°＝120°－90°＝30°，所以直线l 1的斜率为k ＝tan30°＝33. 11．已知点A (1,0)，P 为抛物线y ＝x 2＋2x －3上一点，若直线P A 的倾斜角为45°，求点P 的坐标．解：设点P (x 1，y 1)(x 1≠1)，则y 1＝x 21＋2x 1－3.因为A (1,0)，所以k P A ＝y 1－0x 1－1＝x 21＋2x 1－3x 1－1＝x 1＋3.又直线P A 的倾斜角为45°，所以k P A ＝1，所以x 1＋3＝1，即x 1＝－2.当x 1＝－2时，y 1＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3.所以点P 的坐标为(－2，－3)．12．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角α不是锐角，求实数t 的取值范围．解：因为直线的倾斜角α不是锐角，所以α＝0°或α＝90°或α是钝角．当α＝0°时，1＋t ＝2t ，得t ＝1；当α＝90°时，1－t ＝3，得t ＝－2；当α是钝角时，直线的斜率小于0，即2t －(1＋t )3－(1－t )<0，得t －1t ＋2<0，。

高中数学必修2同步测试题第2章直线的倾斜角与斜率缺答案

北师大版高中数学必修二第二章《直线的倾斜角与斜率》同步测试1、对于下列命题，其中正确命题为 ①若θ是直线l 的倾斜角，则︒<≤︒1800θ； ②若直线倾斜角为α,则它斜率αtan =k ；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一直线都有斜率,但不一定有倾斜角.2、对于下列命题：其中正确命题为 ①任何一条直线都有倾斜角，也都有斜率； ②平行于x 轴的直线倾斜角是︒0或︒180； ③直线斜率的范围是),(+∞-∞;④直线的倾斜角越大,斜率越大；⑤两直线的斜率相等,则它们的倾斜角相等;⑥两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等。

3、没有斜率的直线一定是 ( ）A 。

过原点的直线B 。

垂直于x 轴的直线C 。

垂直于y 轴的直线D 。

垂直于坐标轴的直线 4、若右图中的直线1l ， 2l , 3l 的斜率为1k ，2k ，3k ，则( ) A ．321k k k << B ．213k k k<<C ．312k k k<<D ．123k k k<<5、直线的倾斜角α的取值范围是；斜率k 的取值范围是；当]2,0[πα∈时，∈k ；当),2[ππα∈时，∈kyxOl 3l 2l 16、已知直线1l 的倾斜角为α，将直线1l 绕着它与x 轴的交点,逆时针旋转45得直线2l ，则直线2l 的倾斜角为7、已知直线l 的倾斜角为α，若cosα=－54，则直线l 的斜率为8、直线l 1的倾斜角为30°，且21l l ⊥，则直线l 2的斜率为9、已知直线的斜率k 满足13<≤-k ，则直线的倾斜角α的范围是_______已知直线的倾斜角α满足παπ433<≤，则直线的斜率K 的取值范围是10、若直线l 的倾斜角θ满足,3tan <θ，则θ的取值范围是11、当直线的倾斜角α满足1200<≤α,且 90≠α时,它的斜率k 满足13、直线y =x cosα+1 （α∈R ）的倾斜角的取值范围是 13、若直线l 经过原点和点（－3，－3),则直线l 的倾斜角为 14、已知点)33,1(),3,1(-B A ，则直线AB 的倾斜角是15、经过A （a ， b )和B （3a ， 3b ）（a ≠0）两点的直线的斜率k =16、过两点(4,),(2,3)A yB -的直线的倾斜角为34π，则y等于17、过点A (2， b )和点B （3， –2）的直线的倾斜角为43π，则b 的值是18、过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1,则a 的值为过点M （–2, a ）, N （a ， 4）的直线的斜率为12-，则a 等于19、下列三点能构成三角形的三个顶点的为（）A 。

北师大版高中数学必修二直线的斜率与直线方程同步练习(精品试题)

直线的斜率与直线方程一、选择题(每小题5分，共30分)1.直线x＝3的倾斜角是( )(A)0 (B)π2(C)π(D)不存在2.直线经过原点和点(-a,a)(a≠0)，则它的倾斜角是( )(A)45°(B)135°(C)45°或135°(D)0°3.设直线3x＋4y－5＝0的倾斜角为θ，则该直线关于直线x＝m(m∈R)对称的直线的倾斜角β等于( )(A)π2－θ(B)θ－π2(C)2π－θ(D)π－θ4.(2012·滁州模拟)若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b 必经过定点( )(A)(1，－2) (B)(1,2)(C)(－1,2) (D)(－1，－2)5.(2012·阜阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a、b、c应满足( )(A)ab>0，bc<0 (B)ab>0，bc>0(C)ab<0，bc>0 (D)ab<0，bc<06.(易错题)直线xcos140°＋ysin140°＝0的倾斜角是( )(A)40°(B)50°(C)130°(D)140°二、填空题(每小题5分，共15分)7.(2012·淮南模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.π≤α8.(易错题)若过点P(-3,1)和Q(0,a)的直线的倾斜角的取值范围为3π，则实数a的取值范围是_______.≤239.若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为.三、解答题(第10题12分，第11题13分，共25分)10.是否存在实数a，使三点A(－1,4)，B(2,1)，C(3，a)共线？11.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.【选做•探究题】在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形ABCD折叠使A 点落在直线DC上，若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程.答案解析1.【解析】选B.∵直线x ＝3垂直于x 轴，∴其倾斜角为π2.2.【解析】选B.因为经过原点和点(-a,a)(a ≠0)的直线的斜率k=0a 0a-+ =-1，所以直线的倾斜角为135°.3.【解析】选D.结合图形可知θ＋β＝π，故β＝π－θ.4.【解析】选A.∵k ，－1，b 成等差数列， ∴k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ， ∴y ＝kx －k －2＝k(x －1)－2， ∴直线过定点(1，－2).5.【解题指南】把直线方程化为斜截式，由斜率和截距的符号确定a ，b ，c 满足的关系.【解析】选A.直线方程变形为y ＝－a b x －cb ，如图，∵直线同时要经过第一、二、四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a b <0－c b >0，∴⎩⎨⎧ab>0bc<0.6.【解析】选B.∵直线xcos140°＋ysin140°＝0的斜率k ＝－cos140°sin140°＝－cos(180°－40°)sin(180°－40°)＝－－cos40°sin40°＝＝sin50°cos50°＝tan50°. ∴直线xcos140°＋ysin140°＝0的倾斜角为50°.7.【解析】当直线过原点时，方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0，当直线l 不过原点时，设其在两坐标轴上的截距为a ，则其方程为x a ＋ya ＝1，∴－2a ＋3a＝1，∴a ＝1.即其方程为x ＋y －1＝0，∴直线方程为3x ＋2y ＝0或x ＋y －1＝0. 答案：3x ＋2y ＝0或x ＋y －1＝08.【解题指南】解决本题可以先求出直线的斜率，再由倾斜角的取值范围，得出斜率的取值范围，然后求出实数a 的取值范围.【解析】过点P(-3,1)和Q(0,a)的直线的斜率k=033=+，又直线的倾斜角的取值范围是3π≤α≤23π，所以k=3≥3或k=3≤-3，解得：a ≥4或a ≤-2. 答案：a ≥4或a ≤-29.【解析】根据A(a,0)、B(0，b)确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b)＝ab ，又ab>0，故a<0，b<0，根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b)≥4ab ，又ab>0，得ab ≥4，故ab ≥16，即ab 的最小值为16. 答案：16【方法技巧】研究三点A 、B 、C 共线的常用方法方法一：建立过其中两点的直线方程，再使第三点满足该方程；方法二：过其中一点与另两点连线的斜率相等；方法三：以其中一点为公共点，与另两点连成有向线段所表示的向量共线.10.【解析】由题意知过A 、B 、C 任两点的直线的斜率都存在. ∵k AB ＝4－1－1－2＝－1，k BC ＝a －13－2＝a －1，∴若A 、B 、C 共线，则k AB ＝k BC ，即a －1＝－1，∴a ＝0.故存在a ＝0，使三点共线.【变式备选】设a 、b 、c 是互不相等的三个实数，如果A(a ，a 3)、B(b ，b 3)、C(c ，c 3)在同一直线上，求证：a ＋b ＋c ＝0. 【证明】∵a ，b ，c 互不相等，∴过A 、B 、C 任两点的直线的斜率都存在. 又A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，也就是b 3－a 3b －a ＝c 3－b3c －b，∴b 2＋ab ＋a 2＝c 2＋bc ＋b 2，∴a 2－c 2＋ab －bc ＝0， ∴(a －c)(a ＋b ＋c)＝0，又a ≠c ，∴a ＋b ＋c ＝0.11.【解析】(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，满足题意，此时a ＝2，∴l 的方程为3x ＋y ＝0；当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，∴l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可知，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)方法一：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，由题意得⎩⎨⎧ －(a ＋1)>0a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0a －2≤0.解得a ≤－1.∴a 的取值范围是(－∞，－1].方法二：将l 的方程化为：(x ＋y ＋2)＋a(x －1)＝0(a ∈R).它表示过l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：x －1＝0交点(1，－3)的直线系(不包括x ＝1).由图像可知l 的斜率－(a ＋1)≥0，即a ≤－1时，直线l 不经过第二象限.【选做•探究题】【解析】(1)当k ＝0时，此时A 点与D 点重合，折痕所在直线的方程为y ＝12； (2)当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在直线DC 上的点为G(a,1)，所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，所以有k AG ·k ＝－1，1a k ＝－1，所以a＝－k ，G 点的坐标为G(－k,1)，从而折痕所在的直线与AG 的交点坐标为M(－k2，12)，折痕所在的直线方程为：y －12＝k(x ＋k 2)，即y ＝kx ＋2k 2＋12；当k ≠0时，折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋2k 2＋12. 对y ＝kx ＋k 22＋12，当k ＝0时，y ＝12.即y＝kx＋k22＋12，对k＝0时的情况也成立.综上，折痕所在的直线方程为y＝kx＋k22＋12.。