2011年高考一轮数学复习 3-4数列求和 理 同步练习(名师解析)

第3章 第4节 知能训练·提升

考点一：利用等差、等比数列的求和公式求和

1．等差数列{a n }中，若a 10＝10，a 19＝100，前n 项和S n ＝0，则n ＝

( )

A ．7

B ．9

C ．17

D ．19 答案：C

2．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1

，…的前n 项和S n ＞1020，那么n 的最小值是

( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

解析：a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n

－1，

∴S n ＝(21＋22＋ (2)

)－n ＝2(2n

－1)2－1

－n

＝2n ＋1

－2－n .

S n ＞1020 即2n ＋1－2－n ＞1020. ∵210

＝1024,1024－2－9＝1013＜1020. 故n min ＝10. 答案：D

考点二：裂项法求和

3．求和：S n ＝221·3＋423·5＋625·7＋…＋(2n )

2(2n －1)(2n ＋1)

.

解：对通项a n ＝(2n )

2

(2n －1)(2n ＋1)变形，寻找规律．

a n ＝(2n )2(2n －1)(2n ＋1)＝4n 2

4n 2－1＝1＋1

4n 2－1

＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝1＋12(12n －1－1

2n ＋1

)．

∴S n ＝n ＋12(1－13＋13－15＋……＋12n －1－1

2n ＋1

)

＝n ＋12(1－12n ＋1)＝2n 2

＋2n 2n ＋1

.

4．设f (x )＝x a (x ＋2)，x ＝f (x )有唯一解，f (x 1)＝11 003

，f (x n )＝x n ＋1(n ∈N *

)．

(1)求x 2004的值；

(2)若a n ＝4x n －4009，且b n ＝a 2n ＋1＋a 2

n 2a n ＋1a n

(n ∈N *

)，求证：b 1＋b 2＋…＋b n －n ＜1.

解：(1)由x ＝

x

a (x ＋2)

，得ax (x ＋2)＝x ，

∴ax 2

＋(2a －1)x ＝0，

∴当且仅当a ＝1

2时，x ＝f (x )有唯一解x ＝0.

从而f (x )＝2x

x ＋2

.

又由已知f (x n )＝x n ＋1，得2x n

x n ＋2

＝x n ＋1.

∴

1

x n ＋1＝12＋1x n ，即1x n ＋1－1x n ＝12

(n ∈N *)． ∴数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1x n 是首项为1x 1，公差为1

2的等差数列，

∴1x n ＝1x 1＋n －12＝2＋(n －1)x 12x 1

， ∴x n ＝2x 1

(n －1)x 1＋2

.

∵f (x 1)＝11 003，∴2x 1x 1＋2＝11 003，即x 1＝2

2 005

.

∴x n ＝2×

22 005(n －1)·22 005＋2

＝2

n ＋2 004

，

故x 2 004＝22 004＋2 004＝1

2 004

.

(2)证明：∵x n ＝2

n ＋2 004

，

∴a n ＝n ＋2 0042×4－4 009＝2n －1，

∴b n ＝a 2n ＋a 2n ＋1

2a n a n ＋1＝(2n －1)2＋(2n ＋1)22(2n －1)(2n ＋1)＝4n 2

＋14n 2－1

＝1＋2(2n －1)(2n ＋1)＝1＋12n －1－1

2n ＋1，

∴b 1＋b 2＋…＋b n －n

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1－12n ＋1－n ＝1－1

2n ＋1

＜1.

考点三：分组法求和、错位相减求和 神书网/ 奀莒咽

5．求和：(1)S n ＝1＋11＋111＋…＋；

(2)S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n

＋1x

n )2.

解：(1)∵a n ＝19

(10n

－1)，

∴S n ＝1＋11＋111＋…＋ ＝19[(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n

－1)] ＝19

[(10＋102＋ (10)

)－n ] ＝19[10(10n －1)9－n ]＝10n ＋1

－9n －1081

. (2)当x ＝±1时，∵(x n

＋1x

n )2＝4，∴S n ＝4n ，

当x ≠±1时，∵a n ＝x 2n

＋2＋

1

x 2n

，

∴S n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n

)＋2n ＋(1x 2＋1x 4＋…＋1x

2n )

＝

x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n

)

1－x －2

＋2n ＝(x 2n －1)(x 2n ＋2

＋1)x 2n (x 2－1)

＋2n ，

所以当x ＝±1时，S n ＝4n ；

当x ≠±1时，S n ＝(x 2n －1)(x 2n ＋2

＋1)

x 2n (x 2－1)

＋2n .

6．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n

2

n ，则前n 项和为

( )

A ．S n ＝1－1

2n

B ．S n ＝2－12n －1－n

2

n

C ．S n ＝n (1－1

2

n )

D ．S n ＝2－12n －1＋n

2

n

解析：∵a n ＝n

2n ，

∴S n ＝1×12＋2×122＋…＋n ×1

2

n ，①

12S n ＝1×122＋2×123＋…＋(n －1)×12n ＋n ×1

2

n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋122＋…＋12n －n

2n ＋1，

∴S n ＝1＋12＋…＋12n －1－n

2n

＝1－12n

1－12－n 2n ＝2－12n －1－n 2n .

答案：B 7．(2010·潍坊质检)已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }，a 1＝b 1＝1，a 3＋a 5＋a 7＝9，a 7是b 3和b 7的等比中项．

(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；

(2)若c n ＝2a n ·b 2

n ，求数列{c n }的前n 项和T n .

解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由题设知a 3＋a 5＋a 7＝9，∴3a 5＝9，∴a 5＝3.

则d ＝a 5－a 14＝12，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋12

.

∴a 7＝4.

又∵a 27＝b 3·b 7＝16，∴b 2

5＝b 3·b 7＝16， 又b 5＞0，∴b 5＝4，

∴q 4

＝b 5b 1

＝4，又q ＞0，∴q ＝2，

∴b n ＝b 1·q n －1

＝.

(2)c n ＝2a n ·b 2n ＝(n ＋1)·2n －1

，

∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2＋3·2＋4·22＋…＋(n ＋1)·2n －1

，①

2T n ＝2·2＋3·22＋…＋n ·2n －1＋(n ＋1)·2n

，②

①－②得，－T n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1－(n ＋1)·2n