2.4 无穷大量与无穷小量
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2.4 无穷大量和无穷小量
tan x sin x 例9 求 lim . 3 x 0 x
注：在和、差的极限计算中，不能用等价无穷小作代换。 sin x sin x tan x sin x sin x(1 cos x ) cos x 解： lim lim lim 3 3 x 0 x 0 x 0 x x 3 cos x x 1 2 x x 1 1 2 lim 3 lim x 0 x cos x x 0 2cos x 2
15
§2.4 无穷大量和无穷小量
定义2.8 设 lim f ( x ) （或 lim f ( x ) 0且f ( x ) 0( x X )）
x X x X
如果
g( x ) f ( x ) o( f ( x ))
(x X)
则称x X 时， f ( x )是g( x )的主部.
0, n m , n n 1 an x an1 x a1 x a0 an lim , n m, m 1 x b x m b b1 x b0 bm m m 1 x , n m .
8
§2.4 无穷大量和无穷小量
n
问题：下列函数在自变量的何种变化过程中为无穷小量？ 1 1 { 2 }, , sin x , x a. n x 注：(1) 无穷小量是变量,不能与很小的量混为一谈. (2) 0是无穷小量,除此之外的任意小的数都不是无穷小量.
1
§2.4 无穷大量和无穷小量
定理1 : lim f ( x ) A 的充要条件是 f ( x ) A o(1)
6
§2.4 无穷大量和无穷小量
定理3 : 无穷大量于无穷小量之间的关系 在自变量的同一变化过程中，
冲刺高考数学无穷小量与无穷大量的比较
冲刺高考数学无穷小量与无穷大量的比较在高考数学的广袤知识海洋中，无穷小量与无穷大量的比较是一个颇为重要的考点，也是很多同学在学习和解题过程中容易感到困惑的地方。
让我们一起深入探讨这个有趣且关键的数学概念，为高考冲刺做好充分准备。
首先，我们要明白什么是无穷小量和无穷大量。
简单来说，无穷小量就是在某个变化过程中，极限为零的变量。
比如说，当 x 趋近于无穷大时，函数 f(x) ＝ 1/x 的值就越来越接近于零，那么 1/x 就是 x 趋近于无穷大时的无穷小量。
而无穷大量则是在某个变化过程中，绝对值无限增大的变量。
比如当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) ＝ 1/x²的值就变得越来越大，趋向于无穷，那么 1/x²就是 x 趋近于 0 时的无穷大量。
理解了基本概念后，我们来看看无穷小量和无穷大量的性质。
对于无穷小量，有这么几个重要的性质。
其一，有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。
但要注意，无限个无穷小量的和、差、积就不一定是无穷小量了。
其二，有界函数与无穷小量的乘积仍然是无穷小量。
接下来，我们讲讲无穷小量的比较。
在同一个变化过程中，设α和β都是无穷小量。
如果lim(β/α) ＝ 0，那么就说β是比α高阶的无穷小量，记作β ＝o(α)；如果lim(β/α) ＝∞，则说α是比β高阶的无穷小量；如果lim(β/α) ＝c（c 为非零常数），那么就说α和β是同阶无穷小量；特别地，如果 c ＝ 1，就称α和β是等价无穷小量，记作α ～β。
等价无穷小量在解题中有着非常重要的作用。
比如在求极限的时候，如果能够巧妙地运用等价无穷小量进行替换，往往可以使计算变得简单快捷。
常见的等价无穷小量有：当 x 趋近于 0 时，sin x ～ x，tanx ～ x，1 cos x ～ x²/2 等等。
再来说说无穷大量。
无穷大量也有相应的比较方法。
同样在某个变化过程中，如果lim(β/α) ＝ 0，那么α是比β更高阶的无穷大量；如果lim(β/α) ＝∞，则β是比α更高阶的无穷大量；如果lim(β/α) ＝ c（c 为非零常数），那么α和β是同阶无穷大量。
微积分——无穷大量与无穷小量讲解.ppt
x 因为lim lim x 0, 当x 0时，x 2比x较高阶的 x 0 x x 0 无穷小量，可以记做 x 2 o( x )
反之，当 x 0时，x是比x 2较低阶的无穷小量。
x 1 1 lim lim , 当x 0时，x与2 x是同阶的 x 0 2 x x 0 2 2 无穷小量。
练习题答案
一、1、0； 3、 ； 二、0 x
1 . 4 10 2
2、 lim f ( x ) C ；
x x
1 4、 . f ( x)
（二）无穷小量
定义2.9: 以0为极限的变量，称为无穷小量.
亦即，对于任意给定的 正数，如果在变量y的 变化过程中，总有那么 一个时刻，在那个时刻 以后，不等式 | y | 无穷小量。 例如
1 1 lim n 0, 当n 时，变量yn n 是无穷小量. n 2 2
| y | M 又因为 是无穷小量，所以，对于任意的 0，总有
那么一个时刻，在那个时刻以后，恒有
| |
M
于是，在上述两个时刻 中较晚的时刻以后，恒 有
| y || || y | M
M
成立，故 y 是无穷小量。
推论
常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量
1 例4 求 lim x sin x 0 x 1 1 解 因为lim x＝0. 而 | sin | 1，即sin 是有界变量。 x 0 x x 1 故 lim x sin ＝0 x 0 x
0
显然，x2比x与2x趋于0的速度快得多。 快慢是相对的，是相互比较而言。因此有
定义2.10 设，是同一过程中的两个无穷小量，
如果 lim 0, 则称是比较高阶的无穷小量， 记做 o( ) 如果 lim c 0 c为常量） （ , 则称是比是同阶的 无穷小量。特别当 c 1时，称与是等价的 无穷小量，记做 ～。 如果 lim , 则称是比较低阶的无穷小量。
2.2.4 无穷小量和无穷大量
“” f ( x) A ( x) （ 是 x a 时的无穷小）
即 f ( x) A ( x), 由于 是 x a 时的无穷小
则 0， 0，当 0 | x a | 时，成立 | ( x) | ；
即 | f ( x) A | ； 故 lim f ( x) A xa
说明 对于其它趋向情况定理也成立。
2.无穷小量
考虑 lim 1 x0 x
定义 当 x a时，f ( x) 有无穷极限，
y
f (x) 1 x
0
x
则称 f ( x) 为在 x a 时的无穷大量，简称无穷大．
即 M 0， 0，当 0 | x a | 时，成立 | f ( x) | M。
xa
证: “” 0， 0，当 0 | x a | 时，成立 | f ( x) A | ；
令 ( x) f ( x) A， 则有 | ( x) | ， 即 lim ( x) 0 xa f ( x) A ( x) （ 是 x a 时的无穷小）
2.2.4 无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 定义 若 lim f ( x) 0，则称 f ( x) 当 x a 时是无穷小( a | ，成立 | f ( x) | 。
当 x 0 时，x2是无穷小；当 x 1时，x2 不是无穷小；
注意: (i) 不可把无穷小与很小的数混为一谈，零是可以
作为无穷小的唯一的数； (ii) 一函数是否为无穷小与自变量的变化趋势有关。
在同一命题中出现多个无穷小，除说明，一 般指同一过程中的无穷小。
无穷小与函数极限之间的关系
：
定理 8
lim f ( x) A f ( x) A ( x)， ( x) 为 x a 时的无穷小。
即 f ( x) A ( x), 由于 是 x a 时的无穷小
则 0， 0，当 0 | x a | 时，成立 | ( x) | ；
即 | f ( x) A | ； 故 lim f ( x) A xa
说明 对于其它趋向情况定理也成立。
2.无穷小量
考虑 lim 1 x0 x
定义 当 x a时，f ( x) 有无穷极限，
y
f (x) 1 x
0
x
则称 f ( x) 为在 x a 时的无穷大量，简称无穷大．
即 M 0， 0，当 0 | x a | 时，成立 | f ( x) | M。
xa
证: “” 0， 0，当 0 | x a | 时，成立 | f ( x) A | ；
令 ( x) f ( x) A， 则有 | ( x) | ， 即 lim ( x) 0 xa f ( x) A ( x) （ 是 x a 时的无穷小）
2.2.4 无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 定义 若 lim f ( x) 0，则称 f ( x) 当 x a 时是无穷小( a | ，成立 | f ( x) | 。
当 x 0 时，x2是无穷小；当 x 1时，x2 不是无穷小；
注意: (i) 不可把无穷小与很小的数混为一谈，零是可以
作为无穷小的唯一的数； (ii) 一函数是否为无穷小与自变量的变化趋势有关。
在同一命题中出现多个无穷小，除说明，一 般指同一过程中的无穷小。
无穷小与函数极限之间的关系
：
定理 8
lim f ( x) A f ( x) A ( x)， ( x) 为 x a 时的无穷小。
2.4无穷大量与无穷小量
三. 无穷大量与无穷小量的关系
例
则
1 设 f ( x) = , x ∈ ( −∞,+∞) 且 x ≠ 0 . x 1 (1) lim = 0. x →∞ x
( 无穷大量的倒数为无穷小量, x ≠ 0 )
1 (2) lim = ∞. x →0 x
( 无穷小量的倒数为无穷大量, x ≠ 0 )
定理2.7 定理2.7 在某一极限过程中
不是无穷大量 是无穷大量
{xn − yn } : − 2, 4, − 6, 8, L
二、无穷小量
简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限 的量称该极限过程中的一个无穷小量.
定义 2.9 若 lim f ( x ) = 0, 则称 f ( x )是极限过程
x→ X
x → X下的无穷小量 .
例
(1) lim x 2 = 0, x → 0 时, x 2 是一个无穷小量 .
x→ X
充分性 设 f ( x) = A + o(1),
其中 o(1)是当x → X时的无穷小量 ,
则 lim f ( x) = lim ( A + o(1)) = A + lim o(1) = A. x→ X → x→ x x→ x
0 0
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷小 将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小 将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷小);
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 三个定义 三个定理 一个推论 、主要内容 三个定义;三个定理 三个定理;一个推论 2、几点注意: 、几点注意
是变量,不能与很小 不能与很小（ （1） 无穷小（ 大）是变量 不能与很小（大）的数混 ） 无穷小（ 零是唯一的无穷小的数； 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大 ） 无界变量未必是无穷大.
无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中重要的概念之一。
它们在极限理论的研究中起着重要的作用，能够描述数列、函数等的趋势和极限。
本文将从无穷小量和无穷大量的定义、性质以及在微积分中的应用等方面进行介绍和探讨。
一、无穷小量的定义和性质无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。
通常用符号"ε"或者"δ"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足0<|f(x)|<ε，那么函数f(x)就是无穷小量。
无穷小量具有以下的性质：1. 无穷小量的高阶无穷小量比低阶无穷小量高阶，也就是说，当x趋于某个值时，x的幂次越高的无穷小量趋于零的速度越快。
2. 无穷小量可以进行四则运算，即两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。
3. 无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。
4. 无穷小量与无穷小量的乘积还是无穷小量。
这些性质使得无穷小量在微积分的运算中具有重要的意义，可以方便地进行极限的计算和推导。
二、无穷大量的定义和性质无穷大量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷的量。
通常用符号"∞"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数M，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足f(x)>M，那么函数f(x)就是无穷大量。
无穷大量具有以下的性质：1. 无穷大量的相反数是无穷小量。
2. 无穷大量与有界函数的乘积可以是无穷大量或者无穷小量，具体取决于有界函数的性质。
3. 无穷大量与无穷大量的四则运算结果不确定，可能是无穷大量、无穷小量或者有限量，具体取决于无穷大量的相对大小关系。
无穷大量在极限的计算和研究中起着重要的作用，可以帮助我们判断函数的趋势和性质，解决一些特殊的极限问题。
三、无穷小量与极限的关系无穷小量是极限的重要概念，它与极限之间存在着密切的关系。
当我们讨论函数在某一点的极限时，实际上就是在讨论自变量趋于某一点时，函数值的趋势。
2.4 无穷大量与无穷小量
证明
时的有界量， 由于 g ( x ) 是 x → X 时的有界量，
0 ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x ) (x → X )
则存在常数 M > 0, 使得 g ( x ) ≤ M ( x → X )
从而
由于 f ( x ) = o(1) ( x → X )， 从而 lim M f ( x ) = M lim f ( x ) = 0,
记为α ~ β ( x → X )
(二) Def2.７: 二 ７
α和β为数列时同样定义. → 变化趋势下的两个无穷大量， 设 α 和 β 均是 x→ X 变化趋势下的两个无穷大量， α 且lim = A， x→X β 的低阶的无穷大量. (1)如果 = 0 则称 α 是 β 的低阶的无穷大量 A ， 的高阶的无穷大量. 或称 β 是 α 的高阶的无穷大量 记为 = o(β )(x → X) α 是同阶的无穷大量. (2)如果 ≠ 0 则称 α 与 β 是同阶的无穷大量 A ，
x →0
lim x = 0 +
lim ln x = 0
x →1
x = o ( 1 ) ( x → 0+ );
ln x = o ( 1 ) ( x → 1 );
e x = o ( 1 ) ( x → ∞ );
x → ∞
lim e x = 0
定义2.5 若 lim f ( x ) = ∞ , 则称 f ( x )是 x → X 时无穷大量 . 定义 x→ X
1 2 1 cos x ~ x , 2
x ~ ln(1 + x) ~ e 1,
x
当 x → 1 时,
ln x ~ x 1.
a x 1 ~ x ln a (a > 0, a ≠ 1) (1 + x )a 1 ~ ax (a ≠ 0 是常数 )
时的有界量， 由于 g ( x ) 是 x → X 时的有界量，
0 ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x ) (x → X )
则存在常数 M > 0, 使得 g ( x ) ≤ M ( x → X )
从而
由于 f ( x ) = o(1) ( x → X )， 从而 lim M f ( x ) = M lim f ( x ) = 0,
记为α ~ β ( x → X )
(二) Def2.７: 二 ７
α和β为数列时同样定义. → 变化趋势下的两个无穷大量， 设 α 和 β 均是 x→ X 变化趋势下的两个无穷大量， α 且lim = A， x→X β 的低阶的无穷大量. (1)如果 = 0 则称 α 是 β 的低阶的无穷大量 A ， 的高阶的无穷大量. 或称 β 是 α 的高阶的无穷大量 记为 = o(β )(x → X) α 是同阶的无穷大量. (2)如果 ≠ 0 则称 α 与 β 是同阶的无穷大量 A ，
x →0
lim x = 0 +
lim ln x = 0
x →1
x = o ( 1 ) ( x → 0+ );
ln x = o ( 1 ) ( x → 1 );
e x = o ( 1 ) ( x → ∞ );
x → ∞
lim e x = 0
定义2.5 若 lim f ( x ) = ∞ , 则称 f ( x )是 x → X 时无穷大量 . 定义 x→ X
1 2 1 cos x ~ x , 2
x ~ ln(1 + x) ~ e 1,
x
当 x → 1 时,
ln x ~ x 1.
a x 1 ~ x ln a (a > 0, a ≠ 1) (1 + x )a 1 ~ ax (a ≠ 0 是常数 )
2.4无穷小量与无穷大量
( 1 ) lim x tan x arcsin x x ln( 1 x ) e 1
x 3 4 x 0
:
; ; ;
:
( 2 ) lim ( 4 ) lim
1 cos x x sin x 2 1
x
x 0
; ; .
( 3 ) lim ( 5 ) lim
x 0
x 0
1 x 1 sin x
1 ~ ( x ) ( x X ) 等等 .
(2) 等价无穷小量的应用 命题4
设 f ( x ) (1 ) , g ( x ) (1 ) ( x X ) , 且
若 lim v(x) g(x) B
f (x) ~ g(x) (x X ),
lim g ( x ) u ( x ) A ,
1 x X
若 f ( x ) o ( 1 ) 且 f ( x ) 0 ( x X ), 则 lim [ f ( x )]
.
例7
设 a n 0 , b m 0 , 求极限 lim a n x a n 1 x
n n 1
a1 x a0 b1 x b 0
( ii ) 1 cos x ~ x / 2 ( x 0 ) .
2
例4 已知 : ln( 1 x ) ~ x ( x 0 ), 证明 :
( i ) e 1 ~ x ( x 0 );
x
( ii ) a 1 ~ x ln a ( x 0 ), 其中 a 0 , a 1 ;
x X
命题1
命题2
若 f i ( x ) o ( 1 ) ( x X ), i 1 , 2 , n , 则
( i ) f i ( x ) o (1 ) ( x X ) ;
x 3 4 x 0
:
; ; ;
:
( 2 ) lim ( 4 ) lim
1 cos x x sin x 2 1
x
x 0
; ; .
( 3 ) lim ( 5 ) lim
x 0
x 0
1 x 1 sin x
1 ~ ( x ) ( x X ) 等等 .
(2) 等价无穷小量的应用 命题4
设 f ( x ) (1 ) , g ( x ) (1 ) ( x X ) , 且
若 lim v(x) g(x) B
f (x) ~ g(x) (x X ),
lim g ( x ) u ( x ) A ,
1 x X
若 f ( x ) o ( 1 ) 且 f ( x ) 0 ( x X ), 则 lim [ f ( x )]
.
例7
设 a n 0 , b m 0 , 求极限 lim a n x a n 1 x
n n 1
a1 x a0 b1 x b 0
( ii ) 1 cos x ~ x / 2 ( x 0 ) .
2
例4 已知 : ln( 1 x ) ~ x ( x 0 ), 证明 :
( i ) e 1 ~ x ( x 0 );
x
( ii ) a 1 ~ x ln a ( x 0 ), 其中 a 0 , a 1 ;
x X
命题1
命题2
若 f i ( x ) o ( 1 ) ( x X ), i 1 , 2 , n , 则
( i ) f i ( x ) o (1 ) ( x X ) ;
无穷大量与无穷小量
f (x) = 1 = o(1), (x → ∞). x
f (x) = ex = o(1), (x → −∞).
f (x) = arcsin x = o(1), (x → 0). f (x) = 0 = o(1), (x → X ).
2018/10/11
Edited by Lin Guojian
1
例: 证明设 lim f (x) = A ⇔ f (x) − A = o(1), (x → X ). x→X
例 : 设f (x) = 6x3, g(x) = 3x3,则当x → 0时, f (x) = o(1), g(x) = o(1)(x → 0), 则lim f (x) = 6x3 = 2,即f (x)与g(x)同阶无穷小. x→0 g(x) 3x3
例 : 设f (x) = sin x = o(1), g(x) = x = o(1)(x → 0),
f (x) 2
x→X
从而0 ≤ f (x)g(x) ≤ M f (x) , (x → X ).
由于f (x) = o(1), (x → X ),故 lim M f (x) = M lim f (x) = 0.
x→X
x→X
由夹逼定理知 : lim f (x)g(x) = 0. x→X
从而f (x)g(x) = o(1), (x → X ).
x→0
x
例: lim x2 sin x→0
1 x3
= 0,
lim x cos 1 = 0,
x→0
x
lim(ln x)⋅sin 1 = 0.
x→1
x −1
1
1
注 : lim sin 不存在,lim cos 不存在.
x→0
2.4无穷大量与无穷小量
又如 : x , x2 2x 1的主部为: x 2 2x 1 lim 0 2 x x 2 2 2 2 2x 1 o(x ), x 2x 1 x o(x ), x
取趋于无穷大速度快的为主部
性质2.11 设 lim f ( x ) , 且x X时g( x )的主部
6.无穷大量、无穷小量的阶,主部的概念 (1)无穷小量的阶
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0, x 比3 x要快得多; x0 3 x 观 察 sin x sin x与x大致相同; 1, 各 lim x0 x 极 1 2 x sin 限 1 x lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x0 x0 x x
不是无穷大．
y
1 1 sin x x
( k 0,1,2,3,)
无界，
但 y( xk ) 2k sin 2k 0.
4.无穷小与函数极限的关系:
结论 : lim f (x) A f (x) A o(1), x X
x X
证 必要性
x X
设 lim f (x) A,
x X
是f ( x ), 则 lim g( x ) 0, 且g( x ) ~ f ( x )( x X )
x X
4.等价无穷小量的替换法则
性质2.13 若f(x) o(1), g(x) o(1), x X, 且f(x) ~ g(x) 若 lim g( x)h( x) A, 则 lim f ( x)h( x) lim g( x)h( x) A
x X
则有 lim(f (x) A) 0, f ( x) A o(1) x X.
2.4 无穷大量 无穷小量
sin x 3 arctanx x3 x 解 lim 2。 lim 2 x 0 x 0 1 1 cos x ( x2 )2 2 sin(ax) 练习 求极限 lim (b 0)。 x 0 tan( ) bx a 答案 b
7
2013年8月4日星期日
在代换时我们关注的不是自变量是否趋于零，而是保证
2
2013年8月4日星期日
3、比较
由无穷小量的性质，两个无穷小量的和、差、积仍是无 穷小量，但对两个无穷小量的商结果就复杂得多，例如当
x→1时f(x)=x-1、g(x)=x2-1、h(x)=(x-1)2都是无穷小量，但
f ( x) x 1 1 lim lim 2 ； x 1 g ( x ) x 1 x 1 2
则称x→x0时f(x)为无穷大量，记作
x x0
lim f ( x)
对x的其他变化趋势可类似定义。
10
2013年8月4日星期日
注 ①无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量, 而不
是一个很大的常量. 当ƒ(x)取正值无限增大(取负值绝对值无 限增大)时, 称为正无穷大量(负无穷大量)，记为
lim sin x sin x 1，但 lim 0。 x 0 x x x
③并非任意两个无穷小量都可以分阶；
1 1 如x 时无穷小量f ( x) 与g ( x) sin x无法比较。 x x
④阶的高低反映了无穷小量趋于零的速度。 高阶的较快，低阶的较慢；同阶的相当；等价的同步。
得出结果：对分子、分母分解因式，约去公因式直到代入时 分子、分母至少一个不为零为止。若分子、分母都不为零， 则得出非零极限值；若分子为零(分母不为零)，则函数为无 穷小量；若分母为零(分子不为零)，则函数为无穷大量。
2.4无穷大量与无穷小量
无穷小的性质: 无穷小的性质
有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 性质 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证 设函数u为有界函数, 则∃M > 0, 使得 u ≤ M . 为有界函数
又设α 是当x → x 0时的无穷小,
∴ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 时 ε 恒有α < . M
则当 0 < x − x 0 < δ 时, 恒有
u ⋅α = u ⋅ α < M ⋅
ε M
= ε,
∴ 当x → x 0时, u ⋅ α 为无穷小 .
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1 2 1 例如,当x → 0时, x sin , x arctan 都是无穷小。 都是无穷小。 x x
sin x , 是无穷小。 当x → ∞ 时, 是无穷小。 x
α ( 2) 如果 lim = C ≠ 0, 就说 α 与 β 是同阶的无穷小 . β α 特殊地， 特殊地， 如果 lim = 1, 则称 α 与 β 是等价的无穷小 , β 记作 α ~ β ;
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例如， 例如，
x2 ∵ lim = 0， x→ 0 3x
∴ 当 x → 0 时，x 2 是比 3x 高阶的无穷小 ;
lim f ( x) = ∞ 或 f ( x) → ∞
若在自变量的某一变化过程中，函数 无限增大， 若在自变量的某一变化过程中，函数f(x) (-f(x))无限增大， 无限增大 则称f(x)为正 负)无穷大量 记作 为正(负 无穷大量 无穷大量,记作 则称 为正
lim f ( x) = +∞ lim f ( x) = −∞
∵ lim 2x = 2， x→ 0 x
2.4无穷大量与无穷小量
1 1 1 2 2 ＋ 2 ? 3. lim n n n n 3 n 个
n lim 2 lim n n n n
3
定理2.7 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 (仅证x x0时的情形)设函数u在U 0 ( x0 , 1 )内有界，
证
设 lim f ( x ) .
x x0
所以 0, 0, 使得当0 x x0 时 1 恒有 f ( x ) , 即 1 . f ( x)
1 所以当x x0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 2 当 x N 2时恒有 ; 2
取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
极限-N定义
lim xn a 0, N 0, 使n N时, 恒有 xn a .
n
M定义: lim f ( x ) A
>0,M>0,使当|x|>M时,恒有|f(x)A|<
x
定义: >0, >0,使当0<|xx0|< 时, 恒有|f(x)A|<
1 y x 1
再如 lim 2 x ,函数2x 是当x 时的无穷大量.
x
2. 无穷小量
(1) 无穷小量的概念
无穷小量：以零为极限的变量. 定义 若函数 f(x) 在某个极限过程中以零为
极限, 则称f(x)为该过程中的无穷小量, 简称无 穷小.
n lim 2 lim n n n n
3
定理2.7 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 (仅证x x0时的情形)设函数u在U 0 ( x0 , 1 )内有界，
证
设 lim f ( x ) .
x x0
所以 0, 0, 使得当0 x x0 时 1 恒有 f ( x ) , 即 1 . f ( x)
1 所以当x x0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 2 当 x N 2时恒有 ; 2
取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
极限-N定义
lim xn a 0, N 0, 使n N时, 恒有 xn a .
n
M定义: lim f ( x ) A
>0,M>0,使当|x|>M时,恒有|f(x)A|<
x
定义: >0, >0,使当0<|xx0|< 时, 恒有|f(x)A|<
1 y x 1
再如 lim 2 x ,函数2x 是当x 时的无穷大量.
x
2. 无穷小量
(1) 无穷小量的概念
无穷小量：以零为极限的变量. 定义 若函数 f(x) 在某个极限过程中以零为
极限, 则称f(x)为该过程中的无穷小量, 简称无 穷小.
无穷大量和无穷小
无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。
为此我们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当时，成立，则称函数当时为无穷大量。
记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。
定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量.记作：(或)注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。
无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差是当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。
定理二：无穷小量的有利运算定理a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比较通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。
定义：设α，β都是时的无穷小量，且β在x0的去心领域内不为零，a)：如果，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；b)：如果，则称α和β是同阶无穷小；c)：如果，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等价)例：因为，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小；因为，所以当x→0时，x2是3x的高阶无穷小；因为，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。
无穷大量与无穷小量学习笔记
y3
x2lim sin y 2
x0 3 x 2x x2 x0 3 x
y0 y
例4
设an
0, bm
0,
求极限
lim
x
an bm
xn xm
an1xn1 L bm1xm1 L
a1x a0 b1x b0
解： 当n 时, an xn an1xn1 L a1x a0的主部是an xn
bm xm bm1xm1 L b1x b0的主部是bm xm
x0
sin x3
x 3x
lim x x0 3x
1 3
(2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价,
则 ~ , 且 lim lim ,
但 ~ 时此结论未必成立 .
例如,
lim
x0
tan 2x sin 1 x 1
x
lim
x0
2x
1 2
x
x
2
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 (x) 极限存在或有
（2）没有单独的无穷小量，无穷小量总是在某一种变化趋势下为无 穷小量，不过，有时在变化趋势是明显的时候，也简称说某函数为时一 个无穷小量。
（3）理解举例
例1 证明 lim f (x) A f (x) A o(1),(x X ) xX
证： Q lim f (x) A, xX
lim f (x) A lim f (x) A A A 0
0, m n
lim
x
an bm
xn xm
an1xn1 L bm1xm1 L
a1x a0 b1x b0
lim
x
an bm
xn xm
,m n an , m n bm
2[1].4 无穷小与无穷大
![2[1].4 无穷小与无穷大](https://img.taocdn.com/s3/m/94caf00b763231126edb110d.png)
1 1 例 如 , 当 x → 1 时, 无 限 增 大, 所 以 是当 x −1 x −1 x → 1 时 的 无 穷 大, 可 记 作
1 lim =∞ x →1 x −1
又如, x →
π
2
−
时, tan x取正值无限增大,所以
x→
lim− tan x = +∞;
π
2
x→
π
2
+
时, tan x取负值且绝对值无限增大,所以
x→
lim+ tan x = −∞.
π
2
与无穷小相仿,应当注意以下几点:
(1) 说函数f ( x)是无穷大, 必须指明自变量x的变化趋势;
(2) 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
切不可把绝 对值很大的常 数认为是无穷 大.
二、无穷小与无穷大的关系
定理 若 若 在自变量的同一变化过程中, 在自变量的同一变化过程中,
1 为无穷大, 为无穷大 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷小, 为无穷小 且 f ( x) ≠ 0, 则 为无穷大. 为无穷大 f ( x)
说明: 说明 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 关于无穷大的问题都可转化为 无穷大的问题都可 无穷小来讨论 来讨论. 无穷小来讨论
1 . 例 求 极 限 lim1 2 x→ − x小，无穷小的倒数 无穷大的倒数就是无穷小， 无穷大的倒数就是无穷小 就是无穷大”这一命题是否正确？ 就是无穷大”这一命题是否正确？ 答案 3. 两个无穷小的商是否一定为无穷小？ 两个无穷小的商是否一定为无穷小？ 举例说明. 举例说明 答案
4.请写出当x → 0时与x是等价无穷小的常见 的无穷小量 (写至少4个 ) ;
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性质:无穷小量与局部有界变量之积仍为无穷小量。 若 f ( x ) o(1) ( x X ) , g ( x ) 是 x X 时的 例 有界量, 证明：f ( x ) g ( x ) o(1) ( x X ) .
证明
由于 g( x ) 是 x X 时的有界量， 0 f ( x ) g( x ) M f ( x ) (x X)
特别地，如果A 1，则称 与 是等价的无穷小量. 记为 ~ ( x X )
(二) Def2.７:
和 为数列时同样定义 . 设 和 均是 x X 变化趋势下的两个无穷大量，
且 lim A，( 型 ) x X 则称 是 的低阶的无穷大量. (1)如果A 0， 或称 是 的高阶的无穷大量.
x 1 cos x 2 sin 2 sin x ~ x( x 0) 故
2
ex 1 y lim lim 1 x 0 y 0 ln(1 y ) x
1 cos x 例 求极限 lim x 0 x sin x
0 0
1 2 解 当x 0时，有 sin x ~ x , 1 cos x ~ x , 2 1 2 x 1 cos x 2 1. lim 所以有 lim x 0 x sin x x 0 x x 2
因此 f ( x ) g( x ) o(1) ( x X ).
x X
x X
1 例.求极限 lim x sin sin x x 0 lim ? x x x 1 1 解： 因为sin 1, 所以sin 当x 0时是有界变量. x x 所以x当x 0时是无穷小量 . 又 lim x 0, x 0 1 所以当x 0时，x sin 是有界变量与无穷小量 的乘积. x 1 由前面的性质可知： x sin 0. lim x 0 x 3 1 x 2 sin x 2 练习：求极限：lim arctan x 1. x 2. lim x x x 1 key : 0;0.
0 0
当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x, sin 2 x ~ 2 x
正 解 当x 0时, sin 2 xin x tan x(1 cos x ) ~ x x x , 2 2 1 3
但这个数列不是无穷大 . 量
(5) 有限个无穷小量之和、积都为无穷小量.
有限个无穷大量之积为 无穷大，但有限个无穷 大量 之和不一定为无穷大量 .
(6) lim f ( x ) lim f ( x ) ,并且 lim f ( x ) ；
x x0
x
x x 0
( 2)设x 0时f ( x ) ~ x , 证：f ( x ) x是x的高阶无穷小量。
性质2.13 若 f ( x ) (1) , g( x ) (1) ( x X ) , 且 f ( x ) ~ g( x ) ( x X ) , 若
x X
lim g ( x )u( x ) A ,
key : ,1.
指出下列变量当 x
1 x 1 ?时是无穷小量： 2 , ln(1 x ) , e 1 x x 1
指出下列变量当x ? 时是无穷大量： ln(1 x ),
e
1 x
二、无穷小量与无穷大量阶的比较
无穷小量虽然都是趋于零的变量，但不同的无穷小量 趋于零的速度都不一样，有时差别很大。
x x 0
lim f ( x ) lim f ( x ) 且 lim f ( x ) ；
x x
( 无穷小量与函数极限的关系 )
例
证明： f ( x ) A 的充分必要条件是 lim
x X
f ( x ) A o(1) ( x X ) f ( x ) A o(1) ( x X ) 证明 必要性：由 lim f ( x ) A 及四则运算法则知
例
解
π 求极限 lim n sin . n n π π π 由于 n 时, 0， sin ~ , 因此 n n n π π lim n sin lim n π. n n n n
例
错 解
tan x sin x 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
x x 原式 lim x 0 3 0. (2 x )
例如： ~ ( 0) sin
1 1 ln(1 ) ~ ( x ) x x
1 cos x 1 lim 例 证明： 2 x 0 x 2
证： 由于
x x sin ~ ( x 0) 又 2 2 2 x 2 x 2 2 sin 1 cos x 2 lim 2 1 所以lim lim 2 x 0 x 0 x 0 x2 2 x x2 ex 1 例 证明： lim 1 x 0 x 证： y e x 1,则x ln(1 y ) 当x 0时y 0 令
注:无穷大量与有界变量之积未必为无穷大量。
在自变量的同一变化过程中, 无穷小与无穷大的关系：
1 为无穷大, 则 若 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 若 为无穷小, 且 f ( x ) 0 , 则 f ( x) 说明: 关于无穷大的问题可转化为无穷小来讨论.
2 2x 3 sin x x 求(1) lim 2 . ( 型 ， 0) ( 2) lim 练习： x 1 x 5 x 4 x cos x 2 x 0
例：函数x , x 2 , x 3当x 0时都为无穷小量 x
x
2
1
0.5
0.1
0.01
0.01
0
1 0.25 0.125
0.0001 0 0.001 0.000001 0
x3 1
显然x 3比x , x 2 趋于0的速度要快。
同样不同无穷大量趋于无穷大的速度也不同。
(一) Def2.6: 设 和 均是 x X 变化趋势下的两个无穷小量，
1 1 练习： )当x 时， 2 (1 和 是等价无穷小， ax bx x 1 则常数a , b为多少？
key : a 0, b 1
x2 2x c ( 2)设 lim 8, 求 c . x3 x3 x 2 ax b 设 lim 3, 求a, b. x 1 x 1
x o ( 1 ) ( x 0 );
ln x o ( 1 ) ( x 1 );
lim ln x 0
x 1
x
lim e x 0
e x o ( 1 ) ( x );
定义2.5 若 lim f ( x ) , 则称 f ( x )是 x X 时无穷大量.
x X
1 1 称 例如： lim 为当x 1时的无穷大量. x 1 x 1 x 1
x 0
lim ln x 称 ln x为当x 0时的无穷大量 .
2
lim x 称x 2为当x 时的无穷大量 . x 关于无穷小量与无穷大量注意以下几个问题：
(1)无穷小量与无穷大量的定义同样适用于数列。 (2)无穷小量(无穷大量)是相对于自变量的某一变化
记为 o( )( x X )
则称 与 是同阶的无穷大量. ( 2)如果A 0，
如果A 1， 则称 与 是等价的无穷大量.
无穷小量更小的为高阶 ；无穷大量更大的为高 . 阶
1 1 n 当n 时， 是比 1 高阶无穷小。 例1、 lim n 1 n2 n 1 1 2 记为 2 o( ) n n n x2 9 例2、 lim 6 x3 x 3
x X
lim f ( x ) lim[ f ( x ) A A] lim[ f ( x ) A] lim A A.
x X x X
f ( x ) 1 sin x 2, 求 lim f ( x ) 例：已知 lim x 0 x 0 x x2 f ( x ) 1 sin x x sin x 1 解：法一： f ( x ) 2 x x x f ( x ) 1 sin x lim x lim sin x 1 2 lim f ( x ) lim x 0 x 0 x 0 x x 2 x 0 x f ( x ) 1 sin x 2 o(1) 法二： x x2 sin x f ( x ) 2 x o( x ) 1 x
1 2 1 cos x ~ x , 2
x ~ ln(1 x ) ~ e x 1,
当 x 1时,
ln x ~ x 1.
a x 1 ~ x ln a (a 0, a 1) (1 x )a 1 ~ ax (a 0 是常数)
上列等价量中，x可用任意无穷小量代替 。
当x 3时，x 2 9与x 3是同阶无穷小。
xx 1 例3、 lim x 0 x
2
x x 2 ~ x ( x 0)
当x 0时，x x 2与x是等价无穷小。
比较当x 时，x 2 ,2 x 2 , x 5 之间的阶的比较。 例4、
x 5 是x 2的高阶无穷大量；x 2与2x 2 是同阶无穷大量。
过程而言的。 1 例如：当x 时为无穷小量， x 0时为无穷大量。 当 x
(3)无穷小量(无穷大量)不是指很小(很大)的数而是指 一个变量。实数中仅有０是无穷小量 ！ (4)无穷大量是一个特殊的无界变量，反之无界变量 未必为无穷大量。例如：数列 ,0,2,0,3,0,, n,0无界. 1
x X
lim[ f ( x ) A] lim f ( x ) A 0， x X x X
从而 f ( x ) A 是 x X 下的无穷小量. 充分性： 由 f ( x ) A o(1) ( x X ) 知