我的高考数学错题本：我的高考数学错题本——第3章 函数易错题

我的高考数学错题本

第3章 函数易错题

易错点1 求函数定义域时条件考虑不充分 【例1】 求函数

y =

+0(1)x +的定义域．

【错解】由题意得2

320x x --≥，解得31x -≤≤，所以原函数的定义域为[3,1]-．

【错因】忽视分母不为零；误以为0

(1)x +=1对任意实数成立．在求函数的定义域时应注意以下几点①分式的分母不为零；②偶次根式被开方式非负；③对数的真数大于零；④零的零次幂没有意义；⑤函数的定义域是非空的数集．

【正解】由题意得232010

x x x ⎧-->⎨+≠⎩，解得31

1x x -<<⎧⎨≠-⎩，所以原函数的定义域为)

(()3,11,1---．

【纠错训练】（2015湖北高考）函数256

()lg 3

x x f x x -+=-的定义域为（ ）

A ．(2,3)

B ．(2,4]

C ．(2,3)(3,4]

D ．(1,3)(3,6]-

【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：4||0x -≥，256

03x x x -+>-，解

之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C ．

易错点2 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”

【例2】 已知函数()[]3log 2,1,9f x x x =+∈，求函数()[]()

2

2

x f x f y +=的值域．

【错解】设3log t x =，[][]1,9,0,2x t ∈∴∈，266y t t ∴=++，[]0,2t ∈，[]6,22∴函数的值域是．

【错因】求函数()[]

()2

2

x f x f y +=定义域时，应考虑2

19

19x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩

. 【正解】因为()f x 的定义域为[]1,9，2

1919

x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得()[]()

2

2

x f x f y +=的定义域为[1,3]，

设3log t x =，[][]1,3,0,1x t ∈∴∈，266y t t ∴=++，[]0,1t ∈，∴函数()[]()22

x f x f y +=的值

域为[]6,13．

【纠错训练】奇函数()f x )是定义在(1,1)-上的减函数，且(1)(21)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围.

【解析】由(1)(21)0f a f a -+-<，得(1)(21)f a f a -<-- ∵()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴(1)(12)f a f a -<-

又∵()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，∴1111121112a a a a -<-<⎧⎪

-<-<⎨⎪->-⎩

，解得01a <<．

即所求实数a 的取值范围是01a <<．

易错点3 判断函数奇偶性时忽视定义域 【例3】 判断函数1()(1)

1x

f x x x

-=++的奇偶性. 【错解】∵1()(1)

1x f x x x -=++＝

221(1)11x

x x x

-+=-+ ∴22()1()1()f x x x f x -=--=-= ∴1()(1)

1x

f x x x

-=++是偶函数 【错因】对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件. 【正解】1()(1)

1x f x x x -=++有意义时必须满足10111x

x x

-≥⇒-<≤+即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝

，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 【纠错训练】（2015高考北京，文3）下列函数中为偶函数的是（ ）

A ．2

sin y x x = B ．2

cos y x x = C ．ln y x = D ．2x

y -=

【解析】根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B .

【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 （2）函数

()f x 具有奇偶性，则()()f x f x =-或()()f x f x =--是对定义域内

x 的恒等式。常常利用这一点求

解函数中字母参数的值。

易错点4 求复合函数单调区间时忽视定义域

【例4】 函数2

0.5log (43)y x x =+-的单调递增区间是______________．

【错解一】∵外层函数为减函数，内层函数2

43u x x =+-减区间为3

[,)2+∞，∴原函数增区间为3[,)2

+∞． 【错解二】∵2

430x x +->，函数定义域为()1,4-，又内层函数2

43u x x =+-在 3(1,]2

-为增函数，

在3[,)2+∞为减函数，∴原函数增区间为3(1,]2

-．

【错因】解法一，基础不牢，忽视定义域问题；解法二，识记不好，对复合函数单调性法则不熟练．求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间．解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错． 【正解】∵2

430x x +->，函数定义域为()1,4-，外层函数为减函数，内层函数2

43u x x =+-在

3(1,]2-为增函数，在3[,4)2为减函数，∴原函数增区间为3

[,4)2

．

【纠错训练1】 函数y =_________．

【解析】y =[5,1]-，又2

()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间

[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]--．

【纠错训练2】已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 ． 【解析】：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0．

∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，

∴a ＞1，又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，

ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可，∴a ＜2综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2．

易错点5 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论

【例5】函数2

()(1)2(1)1f x m x m x =-++-的图象与x 轴只有一个交点，求实数m 的取值范围． 【错解】由0∆=解得03m m ==-或．

【错因】知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑10m -=的情况．

【正解】（1）当10m -=时，即1m =，()41f x x =-与x 轴只有一个交点，满足题意； （2）10m -≠时，24(1)4(10)(1)0m m ∆=+-⨯-⨯-=，解得03m m ==-或； 综上所述，实数m 的取值范围是{}3,0,1-．

【纠错训练】已知集合2{|440,,}A x ax x x R a R =++=∈∈只有一个元素，求a 的值与集合A.