2014高中数学(预习自测+课内练习+巩固提高)1.1.2子集、全集、补集新人教A版必修1

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高一数学集合、子集、交集、并集、补集训练基础训练含答案

集合、子集、交集、并集、补集一. 选择题：1. 设I 为全集，A B ⊂，则A B ⋃=（）A AB BC ID ....φ2. 满足{}{}-⊂⊆--1121012，，，，，M 的集合M 的个数是（）A. 6B. 7C. 8D. 93. {}{}M x x k k Z N x x k k Z ==+∈==-+∈||()3231，，，，则集合M 、N 的关系是（）A M NB M NC M ND M N ....=⊂⊃⋂=φ4. 已知{}{}M y y x x R N y y x x R ==+∈==+∈||211，，，，则M N ⋂等于（）{}{}{}A B C D .()()...[)011201121，，，，，，+∞5. 已知集合{}{}A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤+||35141，，且A B B ⋂=， B ≠φ，则实数a 的取值范围是（）A aB aC aD a ....≤≤≤≤-≤≤1010416. 下列各式中正确的是（）{}{}A B C D ....0000∈⊂=⊃φφφφ7. 设全集{}I =1234567，，，，，，，集合{}{}A B ==135735，，，，，，则（）A I A BB I A BC I A BD I A B ....=⋃=⋃=⋃=⋃8. 已知全集{}{}{}I x x x N A B =≤∈==|101352379，，，，，，，，，那么集合{}46810，，，是（）A AB B A BC A BD A B ....⋃⋂⋃⋂二. 填空题：1. 用列举法表示｛不大于8的非负整数｝__________________________。

2. 用描述法表示{1，3，5，7，9，…}________________________。

3. {}()|x y xy ，<0表示位于第___________象限的点的集合。

4. 若{}{}A x x x N B x x x N I N =<∈=>∈=||126，，，，，则A B ⋂=_______。

2014高中数学(预习自测+课内练习+巩固提高)1.3.1.1 函数的单调性新人教A版必修1

函数的单调性（二）[自学目标]1．理解函数的单调性，最大（小）值及其几何意义 2．会求简单函数的最值 [知识要点]1．会用配方法，函数的单调性求简单函数最值 2．会看图形，注意数形语言的转换 [预习自测]1．求下列函数的最小值（1）xy 1= ，[]3,1∈x （2）)0(,1≠+=a ax y ，[]3,1∈x2．已知函数1)(2-+=mx x x f ，且f(-1)= -3，求函数f(x)在区间[2，3]内的最值。

3．已知函数y=f(x)的定义域是[a ，b]，a ＜c ＜b ，当x ∈[a ，c]时，f(x)是单调增函数；当x ∈[c ，b]时，f(x)是单调减函数，试证明f(x)在x=c 时取得最大值。

[课内练习]1．函数f(x)=-2x+1在[-1，2]上的最大值和最小值分别是（）（A ）3，0 （B ）3，-3 （C ）2，-3 （D ）2，-22．xy 1=在区间(]1,2--上有最大值吗？有最小值吗？ 3．求函数[]0,2,322-∈+-=x x x y 的最小值4．已知f(x)在区间[a,c]上单调递减，在区间[c,d]上单调递增，则f(x)在[a,d] 上最小值为5．填表已知函数f(x),的定义域是F ，函数g(x)的定义域是G ，且对于任意的G x ∈，F x g ∈)(，试根据下表中所给的条件，用“增函数”、“减函数”、“不能确定”填空。

[归纳反思]1．函数的单调形是函数的重要性质之一，在应用函数的观点解决问题中起着十分重要的作用1．利用函数的单调性来求最值是求最值的基本方法之一 [巩固提高]1．函数y=-x 2+x 在[-3,0]的最大值和最小值分别是（）（A ）0，-6 （B ）41 ，0 （C ）41，-6 （D ）0，-12 2．已知二次函数f(x)=2 x 2-mx+3在(]2,-∞-上是减函数，在[)+∞-,2上是增函数，则实数m 的取值是（）（A ） -2 （B ） -8 （C ） 2 （D ） 83．已知函数f(x)=a x 2-6ax+1 (a ＞0)，则下列关系中正确的是（）（A ） f(2) ＜f(3) （B ） f(5)＜ f(3) （C ）f(-1)＜ f(1) （D ）f(2) ＞ f(3) 4．若f(x)是R 上的增函数，对于实数a,b,若a+b ＞0,则有（）（A ） f(a)+ f(b) ＞f(-a)+ f(-b) （B ）f(a)+ f(b) ＜f(-a)+ f(-b) （C ） f(a)- f(b) ＞f(-a)- f(-b) （D ）f(a)- f(b) ＜f(-a)-f(-b) 5．函数y=-x2+1在[1，3]上的最大值为最小值为 6．函数y=- x 2+2x-1在区间[0，3]的最小值为 7．求函数y=-2 x 2+3x-1在[-2，1]上的最值8．求 []2,0,12)(2∈--=x ax x x f 上的最小值9．已知函数f(x)是R 上的增函数，且f(x 2+x) ＞ f(a-x)对一切x ∈R 都成立，求实数a 的取值范围10．已知二次函数c bx x x f ++=2)((b 、c 为常数)满足条件：f(0)=10，且对任意实数x ，都有f(3+x)=f(3-x)。

1.2 子集、全集、补集(练习)(解析版)

1.2 子集、全集、补集【基础练习】1．已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则（）A ．AB ⊆B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆ 【答案】B【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D A ⊆，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B A ⊆ C A ⊆，正方形是矩形，所以C B ⊆．故选B ．2．集合2{|440}x x x -+=的子集个数为（）A ．4B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】由题意，求得{}2{|440}2x x x -+==，即可求解集合子集的个数，得到答案. 3．满足{}{}1123A ⊆⊆，，的集合A 的个数是（） A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】C【解析】由条件{}1A ⊆⊆{1,2,3}，根据集合的子集的概念与运算，即可求解．4．设集合{}12M x x =-≤<，{}0N x x k =-≤，若M N ，则k 的取值范围是（） A ．k 2≤ B ．k ≥-1 C ．1k >- D ．2k ≥【答案】D【解析】由M N ⊆，则说明集合M 是集合N 的子集，即集合M 中任意元素都是集合N 中的元素，即2k ≥即可.5（多选题）已知集合(){},0,0,,M x y x y xy x y =+<>∈R ，(){},0,0,,N x y x y x y =<<∈R ，那么（） A ．M N ⊆B ．M N ⊇C ．M ND ．M N【答案】ABC【解析】若0x <,0y <,则0x y +<,0xy >,故N M ⊆.若0x y +<,0xy >,则x 与y 同号且为负,即0x <,0y <,故M N ⊆,所以M N ,故选ABC.6．已知集合{}0,1,2A =，则集合A 的真子集共有个．【答案】7【解析】集合含有3个元素，则子集个数为328=，真子集有7个 7．集合{|24},{|2}A x x B x x a =<<=<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是________．【答案】[)4,+∞【解析】因为{|24},{|2}A x x B x x a =<<=<<，若A B ⊆，所以4a ≥，故a 的取值范围是[)4,+∞.8.若集合{2,3}A =，{1,2,3,4}B =，则满足A M B 的集合M 的个数是________.【答案】2 【解析】集合{2,3}A =，{1,2,3,4}B =，且A M B ，∴{1,2,3}M =或{2,3,4}M =，∴满足条件的集合M 的个数是2.9．已知{0,1,2,3},{0,2,4,5},,A B C A C B ==⊆⊆,写出符合条件的所有集合C .【答案】,{0},{2},{0,2}∅10．已知集合{}34A x x =-≤≤，{}211B x m x m =-<<+，且B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】{|1}m m ≥-【解析】∵B A ⊆，∵当B =∅时，211m m -≥+，即2m ≥，当B ≠∅时，213142m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪<⎩，解得12m -≤<，综上所述，m 的取值范围是{|1}m m ≥-．【能力提升】11．设a ，b ∈R ，若集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则20202020a b +=_______.【答案】2 【解析】由{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭易知0a ≠，1a ≠ 由两个集合相等定义可知若10b a b =⎧⎨+=⎩，得1a =-，经验证，符合题意；若01b a a b +=⎧=⎪⎨⎪⎩，由于0a ≠，则方程组无解综上可知，1a =-，1b =，故2020202020202020(1)12ab +=-+=.故答案为2 12．已知集合{}{}012a b c =,,,,，且下列三个关系：∵2a ≠；∵2b =；∵0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于__________．【答案】201【解析】已知集合{a ，b ，c }={1，2，3}，且下列三个关系：∵a ≠3；∵b =3；∵c ≠1有且只有一个正确，若∵正确，则c =1，a =2，b =2不成立，若∵正确，则b =3，c =1，a =3不成立，若∵正确，则a =3，b =1，c =2，即有100a +10b +c =312．故答案为312．。

高中数学第一章集合1子集、全集、补集自主训练苏教版1

1。

2 子集、全集、补集自主广场我夯基我达标1。

下列说法正确的是( )①任意集合必有子集②空集是任意集合的真子集③若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B，则B是A的子集A。

①②③B。

①③④C。

①③D。

①②③④思路解析：此题考查子集的性质,并需要注意空集的特殊性.（1)任意集合都是自身的子集，因此①正确。

（2）空集是任意非空集合的真子集，因此②不正确.(3)集合子集的性质具有传递性，因此③正确。

（4)可利用文氏图进行分析,④正确。

答案:B2。

已知集合{2x，x2-x｝有且只有4个子集，则实数x的取值范围是( ）A。

R B。

(—∞，0)∪（0，+∞)C.｛x|x≠3，x∈R｝D。

{x｜x≠0且x ≠3，x∈R}思路解析：由已知｛2x，x2—x}有且只有4个子集，可知2x≠x2-x.解得x≠0且x≠3.∴选D.答案:D3。

集合{x∈N｜x=5—2n，n∈N}的真子集的个数是（)A。

9 B。

8 C.7 D.6思路解析:∵x∈N，n∈N，∴x=5-2n=5，3，1。

∴集合{x∈N|x=5—2n，n∈N}={1，3，5｝.∴其真子集的个数是23-1=7.答案:C4.满足条件｛1，2｝⊆A｛1，2,3，4}的集合A的个数是（）A。

1 B.2 C。

3 D.4思路解析:∵{1，2}⊆A{1,2,3,4}，∴A中至少有1、2两个元素，至多有1、2、3(4）三个元素。

∴集合A可能有三种情况：{1，2}，｛1，2，3}，{1,2，4}。

∴集合A的个数是3.故选C。

答案:C5。

设M=｛x｜x=a2+1,a∈N＊},P=｛y｜y=b2-4b+5，b∈N*}，则下列关系正确的是( )A。

M=P B。

M P C.P M D.M∩P=∅思路解析：∵a∈N＊，∴x=a2+1=2，5,10，…。

∵b ∈N ＊，∴y=b 2-4b+5=(b-2）2+1=1，2，5,10，….∴M P 。

高中数学(苏教版,必修1)同步辅导与检测课件1.2子集、全集、补集

1 1 － ≤－， a 2
⇒0<a≤1.
1 综上可知：当B⊆A时，－ <a≤1. 2
点评：在解决含有不等式的两个数集关系时，往往利用数轴来帮助分析与求解.
变式训练 2.已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2－2px＋q＝0}，B≠∅ 且B⊆A.求实数p，q的值. 解析： ∵B＝{x|x2－2px＋q＝0}且B≠∅，B⊆{－1,1}，
例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是
A⊆B或B⊇A. _____________ 2．若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⊆B或B⊇A. 例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是A⊆B(或 B⊆A)． 3．若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A 与集合B相等，记作A＝B. 例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝0.
⇒a<－4.
当a>0时，若A⊆B，则 2 a≤2，
1 1 － ≥－， a 2
⇒a≥2.
综上可知：此时a的取值范围是a<－4或a≥2.
(2)当a＝0时，显然B⊆A.
当a<0时，若B⊆A，则 1 －a>2，当a>0时，若B⊆A，则 2 a≥2，
2 1 ≤－， a 2
1 ⇒－ <a<0. 2
变式训练
1.已知集合M＝{x|x＝a2－3a＋2，a∈R}，N＝{x|x
＝b2－b，b∈R}，则集合M、N的关系是( A.M ⊆ N C.M＝N B.M ⊆ N D.不确定
C
)
集合中包含关系的应用
已知集合A＝{x|0<ax＋1≤3}，

高中数学基础强化天天练必修1第2练子集全集和补集(1)

第2练子集、全集和补集（1）练习目标：理解子集、真子集的概念，弄清两个集合的包含关系．一、填空题1.若集合，则集合的子集个数为__________．【答案】8 【解析】记是集合中元素的个数，集合的子集个数为个．故填8. 2．集合U ，S ，T ，F 的关系如图所示，下列关系错误的有________．(填序号)①S U ；②F T ；③S T ；④S F ；⑤S F ；⑥F U .【答案】 ②④⑤【解析】 ①③⑥是正确的，②④⑤错误．3.以下五个式子中,错误的个数为 .①{1}∈{0,1,2};②{1,-3}={-3,1};③{0,1,2}⊆{1,0,2};④⌀⫋{0,1,2};⑤⌀={0}.【答案】2【解析】由于{1}是{0,1,2}的子集,所以①不正确;②③④均正确;因为⌀≠{0},所以⑤不成立.因此错误的式子有①⑤.4. 已知A ＝{x ∣x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x ∣x ＝2k －1，k ∈Z }，则下列关系中正确有____个．①A ⊆B ；②A ⊇B ；③A ＝B ；④A ≠B ．【答案】3【解析】①②③都正确．5. 已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．【答案】 a ≤14【解析】 ∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅，∴x 2－x ＋a ＝0至少有一个根，则Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14. 6.已知集合A ⊆{0,1,4}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为________．【答案】 6个【解析】只含一个偶数的子集为{0}，{0,1}，{4}，{4,1}，含2个偶数的子集为{0,4}，{0,1,4}．7．集合{1，2，3}的非空真子集的个数是______．【答案】6【解析】所以子集有23＝8个，非空真子集为8－2＝6个．8.设集合A={-1,1,3}，B={2+a ,22+a },若B ⊆A ，则实数a 的值是______．【答案】-19.已知M ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，N ＝{x |－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________．【答案】 N ⊆M【解析】 y ＝(x －1)2－2≥－2，∴N ⊆M .10．设A ={x | 1＜x ＜4}， B ={x | x -a ＜0}，若A B ，则a 的取值范围是________．【答案】【解析】由题意， ∵，∴. 二、解答题11．设集合A ＝{x |a －2<x <a ＋2}，B ＝{x |－2<x <3}，(1)若A B ，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 使B ⊆A?解: (1)A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －2≥－2，a ＋2≤3⇒0≤a ≤1. (2)要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥3，a －2≤－2⇒a ∈∅. ∴不存在a ∈R ，使B ⊆A .12．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋6＝0}，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解: A ＝{2,3}，B ＝{x |x 2＋ax ＋6＝0}，B 为方程x 2＋ax ＋6＝0的解集，所以分类讨论得： ①若B ≠∅，由B ⊆A ，∴B ＝{2}或B ＝{3}或B ＝{2,3},当B ＝{2}时，方程x 2＋ax ＋6＝0有两个相等实根，即x 1＝x 2＝2，x 1x 2＝4≠6，∴不合题意.同理B ≠{3}.当B ＝{2,3}时，a ＝－5，符合题意.②若B ＝∅，则Δ＝a 2－4×6<0，∴－26<a <2 6.综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ＝－5或－26＜a ＜26}.。

人教版高级中学数学第一册上第一章子集、全集、补集专项练习(带答案)1.doc

人教版高中数学第一册上第一章子集、全集、补集专项练习(带答案）1人教版高中数学第一册上第一章子集、全集、补集专项练习（带答案)进入高一数学学习的新高一生，高一数学的第一章就是集合，是高考数学中的重点，以下是第一章子集、全集、补集专项练习,请大家练习。

例1 判定以下关系是否正确（2)｛1,2,3}={３，2，１｝(４)0{0}分析空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空.例2列举集合{1,２,3}的所有子集.分析子集中分别含1，2，3三个元素中的０个,１个，2个或者3个．含有1个元素的子集有{１｝,{2}，{3};含有2个元素的子集有{1,2}，{1，3},{２，3｝;含有３个元素的子集有{1,2，３}.共有子集8个．_______＿．分析A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}真子集，所以满足条件的A有:{a，b｝，{a,b，c}｛a,ｂ,ｄ}.答共3个．说明:必须考虑A中元素受到的所有约束.分析作出4图形．答选C.说明:考虑集合之间的关系,用图形解决比较方便.点击思维例5 设集合Ａ=｛x|ｘ=5-４a+ａ2,aR｝，B=｛y|y＝4b２+4b+2,ｂR},则下列关系式中正确的是分析问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上ｘ＝5-4ａ＋a2=（2-a）2+１１,y=4b2+4b+2＝(2ｂ+1)2＋11，所以它们的值域是相同的,因此A＝B.答选Ａ.说明:要注意集合中谁是元素.M与P的关系是A.M=UPB.M=P分析可以有多种方法来思考,一是利用逐个验证(排除）的方法;二是利用补集的性质：M= ＵN= Ｕ( UP)=Ｐ;三是利用画图的方法．答选B.说明：一题多解可以锻炼发散思维.例7 下列命题中正确的是Ａ. Ｕ(UA）={Ａ}分析Ｄ选择项中AB似乎不合常规,而这恰恰是惟一正确的选择支.是由这所有子集组成的集合，集合A是其中的一个元素.ＡＢ.答选Ｄ.说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．例8已知集合A=｛２,４，６，8,9},B={１,2，3，５,8},又知非空集合C是这样一个集合:其各元素都加2后，就变为A的一个子集;若各元素都减２后,则变为B的一个子集,求集合C.分析逆向操作:A中元素减2得0,2,4,6，7，则Ｃ中元素必在其中;B中元素加2得3，4,５,7，10,则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7.答Ｃ={4｝或{７}或{4，7｝．说明:逆向思维能力在解题中起重要作用.例9 设S＝{1,2,3,4｝,且Ｍ={ｘS｜x2－5x+p=0},若SＭ=｛1，4},则p=__＿___＿_.分析本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于ＳM＝{1，４},M＝｛2,3｝则由韦达定理可解．答p=23=6.说明:集合问题常常与方程问题相结合.例１0已知集合S={2，3，a2+2a-3},A={|a＋1|，2}，SA={a+3},求ａ的值．S这个集合是集合A与集合SA的元素合在一起补成的,此外,对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用.解由补集概念及集合中元素互异性知a应满足在(1)中,由①得ａ=0依次代入②③④检验，不合②，故舍去.在(２)中,由①得ａ＝－3，a=2，分别代入②③④检验，a=-3不合②,故舍去，a=2能满足②③④.故a=2符合题意.说明：分类要做到不重不漏.A.M=ND.Ｍ与N没有相同元素分析分别令k=,-1，0，1，2，３，得答选C.说明:判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性第一章子集、全集、补集专项练习的全部内容就是这些,希望对同学们提高成绩有帮助。

2014高中数学(自主探究+合作探究+巩固练习+能力拓展)2.1.1 指数函数新人教A版必修1

2.1.1 指数函数使用说明：“自主学习”15分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”8分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。

“巩固练习”7分钟完成，组长负责，小组内部点评。

“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结。

最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:1、了解指数函数模型背景及实用性必要性。

2、了解根式的概念及表示方法。

3、理解根式的概念．理解分数指数幂的概念。

4掌握有理指数幂的运算性质，根式与分数指数幂的互化。

重点与难点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质；根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂。

学习过程：（一）自主探究动手、思考：一张纸你能折几次，每折一次有多少层呢？1、回顾初中根式的概念：2、复习初中整数指数幂的运算性质；3、根式的概念及运算：（1）定义次方根：（2）讨论：当为奇数时, 次方根情况如何？当为偶数时，正数的次方根情况？强调：负数偶次方根,0的任何次方根都是 , 即（3）练习：,则的4次方根为； , 则的3次方根为（4）定义根式：（5）计算；；（6）分数指数幂的意义规定：0正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

（7）有理数指数幂的运算性质（8）求值：；；（）（9）用分数指数幂表示下列格式：（）（）（二）合作探讨1、、的意义及结果？（特殊到一般）2、从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？3、如何理解无理指数幂（三）巩固练习1. 计算：；；；；（）(四) 个人收获与问题：知识：方法：我的问题：思考：；。

高中数学必修一子集、全集、补集知识点和练习.docx

子集、全集、补集［预习自测］集合的运算运算类型交集并集补集定由所有属于A且属于由所有属于集合A或设S是一个集合，A是S 义B的元素所组成的集属于集合B的元素所的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做A,B的交组成的集合，叫做A,B 合，叫做S中子集A的补集•记作AQB （读作的并集.记作：AUB 集（或余集）'A 交B，),即AQB= （读作'A并B，）,记作C/,即{ X I X€ A,且XG B}・即AUB ={x|xeA,或xeB}).CsA 二{x|xwS,山纟A}韦(/I D) 恩C A C A图\/示 F. 1图2性AQA=A AUA二A (CuA) n (C U B)Ap e二e AU e二A二C u (AUB)质ARB^BAA AUB 二BUA (C U A) U (C U B)AABcA AUBo A =C u (A n B)AABcB AUBoB AU (GA)二UAA (GA)二 e.例1.判断以下关系是否正确：（1）｛。

匕何；（刀｛1，2,3｝ = ｛3,2,1｝；（3）0/°｝；⑷0e｛0｝；⑸0屮｝；⑹0珂0｝；例2.设A = gTv兀＜3,"Z｝,写出A的所有子集.例3.已知集合M={d,Q + d,d + 2d}, N = \a,aq,aq‘ ,其中心。

且M = N ,求§和d的值(用d 表示)•例4.设全集”={2,3,° +2d-3},人={|2°-1|,2}C〃A = {5},求实数G的值.例5.已知 A = {g<3},B = {gs}.⑴若B Q A，求Q的取值范围；⑵若AgB，求d的取值范围；⑶若c討吳C』，求d的取值范围.［课内练习］下列关系中正确的个数为( )①oe {0),②eQ{0},③{0, 1}^{ (0, 1) },④殳(a, b) } = { (b, a) }A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 集合松，4,6,8}的真子集的个数是( )(A) 16 (B)15 (014 (D) 133. 集合人=｛正方形｝, 〃 = ｛矩形｝, C 二｛平行四边形｝, 0 = ｛梯丿切，则下面包含关系中不正确的是( )(A) A ^B⑻ BuC(c) C Q D①)A U C4. 已知 M 二｛x| —2WxW5｝, N 二｛x| a+1WxW2a —1｝・ (I )若M^N,求实数a 的取值范圉； (II )若M — N,求实数a 的取值范围.［巩固提高］1.四个关系式：①0u ｛O ｝；②o*｛O ｝；③0w ｛O ｝；④0 = ｛0｝.其中表述正确的是［］ A.①,②B.①，③C. ①，④D.②，④ 2・若 U 二｛x | x 是三角形｝, p={X 1x 是直角三角形｝,则CuP = ------------------------- []A. ｛x x 是直角三角形｝B. {x | X 是锐角三角形｝C. ｛x | x 是钝角三角形｝D. {x | X 是锐角三角形或钝角三角形｝ 3.下列四个命题：①0 = ｛°｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个子集；④空集是任何一个集合的子集5. 若5尺，A = {g )»x}, 3-{(讪；-1},则 A,B 的关系是—[] A ・兔人 B 聂B ・A BC. A = BD.6 •设 A 二何X <5K N},B={X I 1< x <6/旳，则 C 』A. 0个B. 1个 C ・2个4・满足关昊{1,2} G A------------------------ [1A ・5B. 6 C・7D. 3个｛1,2,3,4,*的集合A 的个数是D. 87. U二{x | /—8x + 15 = 0,xw/?},则u 的所有子集是8.已知集合A=UI GVXV5},B = {x\x^2}且满足AcB，求实数a的取值范围.9.已知集合p 二{x | F+ —6 $ 二{x | Q + 1 =若SUP,求实数Q的取值集合.1 0.已知M 二{x | x>°，兀丘尺}, N 二{x | x> ⑦ xwR}(1) 若M匚N ,求a得取值范围：(2) 若心N ,求。

高中数学（预习自测+课内练习+巩固提高）1.1.2子集、全集、补集新人教A版必修1

1.1.2子集、全集、补集[自学目标]1了解集合之间包含关系的意义 2理解子集、真子集的概念3了解全集的意义,理解补集的概念 [知识要点]1子集的概念：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素（若a A ∈,则a B ∈），那么称集合A 为集合B 的子集（ubet ），记作B A ⊆或A B ⊇,B A ⊆还可以用Venn 图表示我们规定:A ∅⊆即空集是任何集合的子集根据子集的定义,容易得到:⑴任何一个集合是它本身的子集,即A A ⊆⑵子集具有传递性,即若B A ⊆且B C ⊆,则A C ⊆2真子集：如果B A ⊆且A B ≠,这时集合A 称为集合B 的真子集（B A ⊆B A ⊆A B =A S ⊆entar et ）, 记作：（读作A 在S 中的补集）,即{,}.SA x x S x A =∈∉且补集的Venn 图表示:[预习自测]例1．判断以下关系是否正确： ⑴{}{}a a ⊆；⑵{}{}1,2,33,2,1=；⑶{}0∅⊆；⑷{}00∈；⑸{}0∅∈；⑹{}0∅=；例2设{}13,A x x x Z =-<<∈,写出的所有子集例3已知集合{},,2M a a d a d =++,{}2,,N a aq aq =,其中且M N =,求和的值用表示例4设全集{}22,3,23U a a =+-,{}21,2A a =-,{}5UC A =,求实数的值ASA例5已知{}3A x x =<,{}B x x a =< ⑴若B A ⊆,求的取值范围; ⑵若A B ⊆,求的取值范围; ⑶若 ,求的取值范围[课内练习]1．下列关系中正确的个数为（）①0∈{0}，②Φ{0}，③{0，1}{（0，1）}，④{（a ，b ）}＝{（b ，a ）}A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．集合{}8,6,4,2的真子集的个数是（）（A ）16 B15 C14 D 133．集合{}正方形=A ，{}矩形=B ，{}平行四边形=C ,{}梯形=D ,则下面包含关系中不正确的是（）（A ）B A ⊆ B C B ⊆ C D C ⊆ D C A ⊆ 4．若集合，则_____=b ．5．已知M={| -2≤≤5}, N={| a1≤≤2a -1} （Ⅰ）若MN ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若MN ，求实数a 的取值范围[归纳反思]1. 这节课我们学习了集合之间包含关系及补集的概念,重点理解子集、真子集,补集的概念,注意空集与全集的相关知识,学会数轴表示数集2. 深刻理解用集合语言叙述的数学命题，并能准确地把它翻译成相关的代数语言或几何语言，抓住集合语言向文字语言或图形语言转化是打开解题大门的钥匙，解决集合问题时要注意充分运用数轴和韦恩图，发挥数形结合的思想方法的巨大威力。

高中数学复习提升-1.2 子集、全集、补集(学生)

平远中学高一数学自主探究学案第一章集合第 2 课时内容：子集、全集、补集班级姓名小组【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系2.了解全集的含义及其符号表示;理解补集的含义,会求给定子集的补集.3.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn 图和数轴表达集合间的关系,加强从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.【自主学习】阅读课本(P8-P9)1．子集的概念及记法：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（），则称集合 A 为集合B 的子集,记为___________或___________读作“________________”或“__________________”用符号语言可表示为：____________________________________________________注意：（1）A 是B 的子集的含义：任意x ∈A ，能推出x ∈B ；（2）不能理解为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的集合.2．子集的性质：① A ⊆ A② A ∅⊆③ ,A B B C ⊆⊆,则A C ⊆思考:A B ⊆与B A ⊆能否同时成立？【答】 _________3．真子集的概念及记法：如果A B ⊆，并且A ≠B ，这时集合 A 称为集合B 的真子集,记为_________或_________读作“__________”或“__________________”4．真子集的性质：①∅是任何非空集合的真子集符号表示为___________________②真子集具备传递性符号表示为___________________5．全集的概念：如果集合U 包含我们所要研究的各个集合，这时U 可以看做一个全集（universal set ）全集通常记作_____6．补集的概念：设____________，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集, 记为___________ 读作“__________________________”即：U C A =_______________________7．补集的性质：① U C ∅=__________________② U C U =__________________③ ()U U C C A =______________【基础测试】1．写出下列集合的所有子集；（1）}1{（2）}2,1{（3）}3,2,1{2. 以下各组中两个对象是什么关系,用适当的符号表示出来.①0与}0{; ②0与φ; ③φ与}0{;④}1,0{与)}1,0{(; ⑤{(b,a)} )},{(b a 与)},{(a b3.已知全集}6,5,4,3,2,1,0{=U ，分别根据下列条件求A C u（1）}6,4,2,0{=A（2）}6,5,4,3,2,1,0{=A（3）φ=A【合作探究、交流展示】探究一：如何写出给定集合的子集【例1】集合{1,2}⊆M ⊆{1,2,3,4},试写出满足条件的所有集合M.分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏，但应注意两个特殊的子集：∅和本身．归纳:写子集，真子集要按一定顺序来写．①一个集合里有n 个元素，那么它有个子集；②一个集合里有n 个元素，那么它有个真子集；③一个集合里有n 个元素，那么它有个非空真子集．探究二：根据两个集合的关系求参数的取值(范围)问题【例2】设集合A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．分析：首先要弄清集合A 中含有哪些元素，在由B ⊆A ，可知，集合B 按元素的多少分类讨论即可．探究三：补集思想的应用（1）方程组210360xx+>⎧⎨-≤⎩的解集为A，U=R，试求A及uC A．（2）设全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，B是RC A的真子集，求实数a的取值范围．【学习小结】1．集合的概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集；2. 集合的表示——列举法、描述法以及Venn图；3. 集合的元素与元素的个数；4．常用数集的记法．【当堂检测】1．已知M={1，2，3，4，5，6， 7，8，9}，集合P满足：P⊆M，且若Pα∈，则10-α∈P，则这样的集合P有多少个？2．已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}，B ⊆ A，求a，b的取值范围．3. 设全集是数集U={2，3，a2+2a-3}，已知A={b，2}，UC A={5}，求实数a，b的【达标检测】1．设M满足{1，2，3}⊆M⊆{1，2，3，4，5，6}，则集合M的个数为（）A．8 B．7 C．6 D．52．下列各式中，正确的个数是（）①∅={0}；②∅⊆{0}；③∅∈{0}；④0={0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1，2，3}；⑦{1，2}⊆{1，2，3}；⑧{a，b}⊆{a，b}．A．1 B．2 C．3 D．43．若U={x|x是三角形}，P={x|x是直角三角形}则UC P=（）A．{x|x是直角三角形 B．{x|x是锐角三角形}C．{x|x是钝角三角形} D．{x|x是钝角三角形或锐角三角形}4．设A={x|1<x<2} ，B={x|x<a}，若A是B的真子集，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤25．若集合A={1，3，x}，B={x2，1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．46．设集合M={(x,y)|x+y<0，xy>0}和P={(x,y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为______________．7．集合A={x|x=a2-4a+5，a∈R}，B={y|y=4b2+4b+3，b∈R} 则集合A与集合B的关系是___________．8．设x，y∈R，B={(x,y)|y-3=x-2}，A={(x,y)|32yx--=1}，则集合A与B的关系是_______________．【附加题】1．设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P⊕Q={(a,b)|a∈P，b∈Q}，则P⊕Q的真子集个数（）A．23-1 B．27-1 C．212 D．212-12．集合M={x|x∈Z且121Nx∈+}，则M的非空真子集的个数是（）A．30个 B．32个 C．62个 D．64个3．已知a∈R，b∈R，A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3，1} 求（1）A={2，3，4}的x值；（2）使2∈B，B A，求a,x的值；（3）使B= C的a，x的值．4．设全集U={2，4，3-x}，M={2，x2-x+2}，UC M={1}，求x．⊂≠。

【世纪金榜】2014年高中数学 1.2.2.1 等差数列的前n项和课后巩固练习北师大版必修5

【世纪金榜】2014年高中数学 1.2.2.1 等差数列的前n 项和课后巩固练习北师大版必修5(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1．在等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝12，那么它的前8项和S 8等于( )(A)12 (B)24 (C)36 (D)482．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2+a 5=4，S 7=21，则a 7的值为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)93．（2011·某某高二检测）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若48S S =13,则816S S =( ) (A)18 (B)13 (C)19 (D)3104．一个项数为偶数的等差数列，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，若最后一项比第一项大1012，则该数列的项数为( )(A)20 (B)12 (C)10 (D)8二、填空题（每小题4分，共8分）5.（2011·某某高二检测）若{a n }为等差数列，a 15=8，a 60=20，则a 75=______.6.等差数列{a n }的首项a 1>0，前n 项和为S n ，若3a 5＝8a 12，则S n 最大时，n 的值是_______________．三、解答题（每小题8分，共16分）7.（2011·某某高二检测）已知等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，S 10=10，S 30=70，求S 40的值.8.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层多一根，要使堆垛的占地面积最小（即最下面一层根数最少），则最下面一层放几根？共堆了多少层？【挑战能力】（10分）求-12+22-32+42-52+62-…-992+1002的和.答案解析1．【解析】选D.∵a 1＋a 8＝a 4＋a 5＝12，∴S 8＝()188a a 2⨯+＝48，故选D. 2．【解析】选D.由S 7=21得a 1+a 7=6，由a 2+a 5=4,解得d=2,a 1=-3,a 7=-3+6d=9.3．【解析】选D.∵48S S =13,∴设S 4=k(k ≠0),则S 8=3k.因为数列{a n }是等差数列，所以S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等差数列.∴S 12＝6k,同理可得S 16=10k,∴816S S =310. 4．【解析】选D.设数列有2n 项，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n-1＝24，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝30，相减得nd ＝6，又由a 2n -a 1＝1012，得(2n-1)d ＝1012，∴n ＝4，2n ＝8.故选D. 5.独具【解题提示】解决本题可以从两个角度考虑，一是直接解出首项和公差，从而求得a 75，二是利用a 15,a 30,a 45,a 60,a 75成等差数列可以直接求得.【解析】方法一：{a n }为等差数列，设公差为d ，那么1560a 8a 20=⎧⎨=⎩，即11a 14d 8a 59d 20+=⎧⎨+=⎩，解得：a 1=6415，d=415，所以a 75=a 1+74d=6415+74×415=24；方法二：{a n }为等差数列，所以a 15,a 30,a 45,a 60,a 75也成等差数列，设公差为d ，则a 60-a 15=3d ，所以d=4，a 75=a 60+d=20+4=24.答案:246.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，∴3(a 1＋4d)＝8(a 1＋11d)，∴a 1＝-765d ， ∴a n ＝a 1＋(n-1)d ＝-815d ＋nd. ∵a 1>0，∴当n n 1a 0a 0+>⎧⎨<⎩时，S n 取得最大值，解得n ＝16.答案:167.【解析】由题意S 10=10，S 30=70可得：1110910a d 102302930a d 702⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩解得a 1=25,d=215 可得S 40＝40a 1+40392⨯×d=120.故S 40＝120.独具【误区警示】有些同学错误地将等差数列中S n,S2n-S n,S3n-S2n成等差数列记为S n,S2n,S3n成等差数列. 得到S30=S10+2d.∴d=30，∴S40=S30+d=100.并且前后用法不一致.8.【解析】设最下面一层放n根，则最多可堆n层，则1+2+3+…+n=()n n12+≥600,∴n2+n-1 200≥0,记f(n)=n2+n-1 200,∵当n∈N+时，f(n)单调递增，而f(35)=60>0,f(34)=-10<0,∴n≥35,因此最下面一层最少放35根.∵1+2+3+…+35=630,∴最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1+2+3+…+7=28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层.独具【方法技巧】模型法求解数列应用题数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立目标函数关系（即等差数列模型），然后确定公差、首项、项数是什么，分清a n和S n，然后选用适当的方法求解，最后回归实际.【挑战能力】独具【解题提示】观察-12+22-32+42-52+62-…-992+1002的特点可以发现，正好可以组成（22-12），（42-32），（62-52），…，（1002-992），利用平方差展开构造等差数列即可利用等差数列的前n项和公式求解.【解析】-12+22-32+42-52+62-…-992+1002=（22-12）+（42-32）+（62-52）+…+（1002-992）=（2-1）（2+1）+（4-3）（4+3）+（6-5）（6+5）+…+（100-99）（100+99）=1+2+3+4+5+6+…+99+100由等差数列的求和公式得S=10011002+（）=5 050.。

苏教版高中数学必修一课后巩固·提能：1.2.2补集、全集(必修1).docx

课后巩固·提能一、填空题1．(2012·连云港高一检测)设全集为U=R ，A={x|x<-4或x ≥1},则U A ð=______.2．(2012·宿迁高一检测)已知全集为U ，A={1,3,6,7}，U A ð={2,4,5,8,9}，U B ð ={4,6,9}，则B=______.3.设U ＝R ，A ＝{x|a ≤x ≤b},U A ð＝{x|x<3或x>4}，则a+b=______.4.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且A ÜR B ð,则a 的取值范围为______.5.设集合A={1，3，5，7，9}，P={1，3}，Q={3}，则()A P Q 痧= ______.6．(2012·南通高一检测)A 、B 是两个非空集合，定义集合A-B={x|x ∈A 且x ∉B}，若M={x|-3≤x ≤1}，N={x|0≤x ≤3}，则M-N=______．7.已知全集U={2,3,a 2+2a-3}，若A={b,2}，U A ð={5}，则a=______,b=______.二、解答题8．设全集U ＝{1，2，3，4}，A ＝{x ｜x 2-5x+m ＝0，x ∈U}，求U A ð，m.9.已知集合A={x|-4≤x ≤-2},集合B={x|x-a ≥0}.(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若全集U=R ，且A ⊆U B,ð求a 的取值范围.答案解析1．【解题指南】本题为无限集合，可以借助数轴，要特别注意端点的值是否可取.【解析】借助数轴，如图：易知U Að={x|-4≤x<1}.答案：{x|-4≤x<1}2．【解题指南】首先根据题设信息求出全集U，然后根据补集的概念求B.【解析】由题设A={1,3,6,7}，U Að={2,4,5,8,9}可知：全集U={1,2,3,4,5,6，7,8,9}，又U Bð={4,6,9}，所以B={1,2,3,5,7,8}. 答案：{1,2,3,5,7,8}3.【解题指南】先求U Að，再利用集合相等求参数. 【解析】∵U=R,A={x|a≤x≤b},∴U Að={x|x<a或x>b},又U Að＝{x|x<3或x>4}, ∴a=3,b=4,a+b=7.答案：74.【解析】R Bð={x|x≤1或x≥2},∵AÜR Bð, ∴分A=Ø和A≠Ø两种情况讨论.(1)若A=Ø,此时有2a-2≥a,∴a≥2.(2)若A≠Ø,则有2a2a2a2aa1. a12a22-<-<⎧⎧∴≤⎨⎨≤-≥⎩⎩，，或，综上所述，a≤1或a≥2.答案：a≤1或a≥2【误区警示】千万不要忘记对A=Ø的讨论. 【规律方法】空集优先原则解决这类问题常用到分类讨论思想.例如，本题中的A=Ø这种情况易被遗漏，解决含参数的集合问题时，常常会进行分类讨论，解题时一定要注意，尤其是对空集的讨论，不妨称之为“空集优先原则”.5.【解析】由题设可知P Q ð={1}，所以()A P Q 痧={3,5,7,9}.答案：{3,5,7,9}6．【解题指南】本题属于新信息题，首先把题设所给信息读懂，要把它与补集的概念区分开. 从所给定义看：类似补集但又区别于补集，A-B 与A B ð中元素的特征相同，后者要求B ⊆A ，而前者没有这约束.该问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题.【解析】由题设可知M-N 中的元素是：在M 中去掉M 与N 中都包含的元素0≤x ≤1，从而M-N={x|-3≤x<0}.答案：{x|-3≤x<0}7.【解题指南】由于U A ð＝{5},故5∈U,且A ⊆U,b ∈U,因此得a 2+2a-3=5且b=3，因此可得a,b 的值.【解析】由补集的定义可知：5∉A 且5∈U ，b ∈U,所以a 2+2a-3=5且b=3.解得a 42b 3,=-⎧⎨=⎩或，所以所求a,b 的值为a=-4或2,b=3.答案：-4或2 3【举一反三】若把题干中“A={b,2}，U A ð={5}”改为“A={2,5},U A ð={b}”,则结论如何?【解析】由补集的定义可知A ⊆U,因此a 2+2a-3=5,解得a=-4或a=2.此时全集U={2,3,5},故U Að={3},∴b=3.答案：-4或2 38．【解题指南】此题求解过程中要注意分类讨论思想的运用. 【解析】将x＝1，2，3，4代入x2-5x+m=0中，得m＝4或m＝6.(1)当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}；(2)当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}.故满足题设条件的U Að、m为：(1)U Að＝{2，3}，m＝4；(2)U Að＝{1，4}，m＝6.9.【解析】∵A={x|-4≤x≤-2},B={x|x≥a}. (1)由A⊆B,结合数轴(如图所示).可知a的范围为a≤-4.(2)∵U=R，∴U Bð={x|x＜a},要使A⊆U Bð,结合数轴(如图所示).可知a的范围为a＞-2.【误区警示】利用“数轴”分析集合间的包含关系时要特别注意区间端点值的情况.【规律方法】与集合有关的综合问题的解题策略子集、全集、补集综合问题，在解答这类问题时，一般根据元素的不同属性采用不同的方法求解，若给定的集合是不等式的解集，借助于数轴求解是常用的方法，解题时可将数轴画在草纸上；若给定集合是点集，用Venn图求解比较直观.。

苏教版数学必修一：1.2 子集、全集、补集应用案巩固训练 Word版含解析

[学生用书P79(单独成册)])[A 基础达标]1．已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，则下列式子表示正确的有( ) ①1∈A ；②{－1}∈A ；③∅⊆A ；④{1，－1}⊆A . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C.A ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，故①③④正确，②不正确． 2．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个解析：选B.依题意a ∈M ，且M{a ，b ，c ，d }，因此M 中必含有元素a ，且可含有元素b ，c ，d 中的0个、1个或2个，即M 的个数等于集合{b ，c ，d }的真子集的个数，有23－1＝7(个)．3．已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |x >1}，则集合A 的补集∁U A ＝( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x <1} C ．{x |－3≤x ≤1}D ．{x |－3≤x <1}解析：选C.因为U ＝{x |x ≥－3}，A ＝{x |x >1}，如图所示：所以∁U A ＝{x |－3≤x ≤1}．4．设集合M ＝{1，2}，N ＝{a 2}，那么( ) A ．若a ＝1，则N ⊆M B ．若N ⊆M ，则a ＝1C ．若a ＝1，则N ⊆M ，反之也成立D ．a ＝1和N ⊆M 成立没有关系解析：选A.显然a ＝1时，集合N ＝{1}，此时N ⊆M ；若N ⊆M ，则a 2可以是集合M 中的元素1或2，此时a 可以取值1，－1，2，－ 2.即若N ⊆M ，则a ＝1不成立．5．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧x |x ＝k 4＋12， }k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．MND ．M 与N 没有相同元素解析：选C.因为k 2＋14＝14(2k ＋1)，k 4＋12＝14(k ＋2)，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以MN .选C.6．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |1＜x ＜m }(m ＞1)，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为B ⊆A ，由图可知m ≤4，又因为m ＞1，所以实数m 的取值范围是1＜m ≤4. 答案：1＜m ≤47．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，所以方程x 2－x ＋a ＝0有实根，所以Δ＝(－1)2－4a ≥0，a ≤14.答案：a ≤148．已知全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ＜b }，∁U A ＝{x |x ＜1，或x ≥2}，则实数b ＝________．解析：因为∁U A ＝{x |x ＜1，或x ≥2}，所以A ＝{x |1≤x ＜2}．所以b ＝2. 答案：29．写出满足条件∅M{0，1，2}的所有集合M .解：因为∅M{0，1，2}，所以M 为{0，1，2}的非空真子集，M 中的元素个数为1或2. 当M 中只有1个元素时，可以是{0}，{1}，{2}；当M 中含有2个元素时，可以是{0，1}，{0，2}，{1，2}．所以所求集合M 为{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}.10.已知a ∈R ，x ∈R ，A ＝{2，4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x－3，1}，求：(1)使A ＝{2，3，4}的x 的值； (2)使2∈B ，B ⊆A 的a ，x 的值； (3)使B ＝C 的a ，x 的值．解：(1)由题意，知x 2－5x ＋9＝3，解得x ＝2或x ＝3.(2)因为2∈B ，B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝x 2＋ax ＋a ，3＝x 2－5x ＋9.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，a ＝－23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－74.(3)因为B ＝C ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（a ＋1）x －3＝3，x 2＋ax ＋a ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，a ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－2.[B 能力提升]1．设集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝{x |x <b －2，或x >b ＋2}．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3解析：选D.根据题意知A ⊆B ，作出如图所示的数轴，所以有b ＋2≤a －1或b －2≥a ＋1，解得a －b ≥3或a －b ≤－3，即|a －b |≥3.2．若集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0}有且仅有2个子集，则实数a 的值为________．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．①当a ＝0时，方程化为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意． ②当a ≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，所以a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．综上，a＝0或a＝±1.答案：0或±13．已知全集U＝{x|x≤5，且x∈N}，A＝{x|x2－5x＋a＝0，x∈U}，求集合∁U A.解：因为U＝{0，1，2，3，4，5}，在A中，x∈U，故x＝0，1，2，3，4，5分别代入x2－5x＋a＝0.得a＝0或a＝4或a＝6，故有如下结果．当a＝0时，A＝{0，5}，∁U A＝{1，2，3，4}；当a＝4时，A＝{1，4}，∁U A＝{0，2，3，5}；当a＝6时，A＝{2，3}，∁U A＝{0，1，4，5}；当a≠0，4，6时，A＝∅，∁U A＝U.4．(选做题)设全集U＝{3，6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|，6}，∁U A＝{5}，求实数m. 解：因为∁U A＝{5}，所以5∈U但5∉A，所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U＝{3，5，6}，A＝{3，6}，满足∁U A＝{5}；当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，此时U＝{3，5，6}，A＝{6，7}，不满足A⊆U.综上可知实数m的值为3.。

高中数学 1.3.2 全集与补集课后强化作业北师大版必修1

高中数学 1.3.2 全集与补集课后强化作业北师大版必修1一、选择题1．(2014·辽宁理，1)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}[答案] D[解析] A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．2．设全集U＝{x∈Z|－1≤x≤5}，A＝{1,2,5}，B＝{x∈N|－1<x<4}，则B∩∁U A＝( ) A．{3} B．{0,3}C．{0,4} D．{0,3,4}[答案] B[解析] ∵U＝{－1,0,1,2,3,4,5}，B＝{0,1,2,3}，∴∁U A＝{－1,0,3,4}，∴B∩∁U A＝{0,3}．3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A．A∩B B．A∪BC．B∩(∁U A) D．A∩(∁U B)[答案] C[解析] 由Venn图可知阴影部分为B∩(∁U A)．4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)[答案] D[解析] 本题主要考查集合的运算．(∁U M)∩(∁U N)＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}．5．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁R M)∩N等于( )A．{x|x<－2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<1} D．{x|－2≤x<1}[答案] A[解析] ∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁R M＝{x|x>2或x<－2}，∴(∁R M)∩N＝{x|x<－2}．故选A.6．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )[答案] B[解析] ∵M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，∴N⊆M，故选B.二、填空题7．已知集合A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1,1，－3,3}，∁U B＝{－1,0,2}，则集合B＝________.[答案] {1,4,6，－3,3}[解析] ∵∁U A＝{－1,1，－3,3}，∴U＝{－1,1,0,2,4,6，－3,3}，又∁U B＝{－1,0,2}，∴B＝{1,4,6，－3,3}．8．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.[答案] －3[解析] ∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}．∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根．∴0＋3＝－m.∴m＝－3.三、解答题9．设A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，当a为何值时，(1)A∩B≠∅；(2)A∩B ＝A；(3)A∪(∁R B)＝∁R B.[解析] (1)A∩B≠∅，因为集合A的区间长度为3，所以由图可得a<－1或a＋3>5解得a <－1或a >2，∴当a <－1或a >2时，A ∩B ≠∅. (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .由图得a ＋3<－1或a >5.即a <－4或a >5时，A ∩B ＝A .(3)由补集的定义知：∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}，∵A ∪(∁R B )＝∁R B ， ∴A ⊆∁R B . 由右图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1a ＋3≤5，解得：－1≤a ≤2.一、选择题1．(2013·山东高考)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅[答案] A[解析] 由A ∪B ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，U ＝{1,2,3,4}知A ∩∁U B ＝{3}．2．如图所示，用集合A 、B 及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是( )A ．(A ∪B )∩(A ∩B ) B ．∁U (A ∩B )C ．[A ∩(∁U B )]∪[(∁U A )∩B ]D ．∁U (A ∪B )∩∁U (A ∩B )[答案] C[解析] 阴影有两部分，左边部分在A内且在B外，转换成集合语言就是A∩(∁U B)；右边部分在B内且在A外，转换成集合语言就是(∁U A)∩B.故选C.二、填空题3．设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，B∁R A，实数a的取值范围为________．[答案] a≥－1[解析] ∵A＝{x|x>1}，如图所示，∴∁R A＝{x|x≤1}．∵B＝{x|x<－a}，要使B∁R A，则－a≤1，即a≥－1.4．设全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或2≤x<3}，B＝{x|－2≤x<4}，则(∁U A)∪B＝__________.[答案] {x|x≥－2}[解析]由数轴得，∁U A＝{x|－1≤x<2或x≥3}，再由数轴得，(∁U A)∪B＝{x|x≥－2}．三、解答题5．已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，集合A＝{1，|2x－1|}，如果∁U A＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．[解析] ∵∁U A＝{0}，∴0∈U，但0∉A，∴x3＋3x2＋2x＝0，∴x(x＋1)(x＋2)＝0，∴x1＝0，x2＝－1，x3＝－2.当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，故舍去；当x＝－1时，|2x－1|＝3，而3∈U，故成立；当x＝－2时，|2x－1|＝5，而5∉U，故舍去，综上所述，实数x存在，且它只能是－1.6．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝{x|x≤0，或x≥52 }，(1)求A∩B；(2)求(∁U B )∪P ； (3)求(A ∩B )∩(∁U P )．[解析] 借助数轴，如图(1)A ∩B ＝{x |－1<x ≤2}． (2)∵∁U B ＝{x |x ≤－1，或x >3}， ∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0，或x ≥52}．(3)∁U P ＝{x |0<x <52}．(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x ≤2}∩{x |0<x <52}＝{x |0<x ≤2}．7．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈R |a ≤x ≤2}，B ＝{x ∈R |2x ＋1≤x ＋3，且3x ≥2}． (1)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝1，求A ∪B ，(∁U A )∩B . [解析] (1)B ＝{x |x ≤2，且x ≥23}＝{x |23≤x ≤2}，又∵B ⊆A ，∴a ≤23.(2)若a ＝1，则A ＝{x |1≤x ≤2}，此时A ∪B ＝{x |1≤x ≤2}∪{x |23≤x ≤2}＝{x |23≤x ≤2}．∵∁U A ＝{x |x <1或x >2}，∵(∁U A )∩B ＝{x |x <1，或x >2}∩{x |23≤x ≤2}＝{x |23≤x <1}．。

苏教版高中数学必修一课后巩固·提能：1.2.1子集、真子集(必修1).docx

课后巩固·提能一、填空题1．(2012·淮安高一检测)已知集合A={-1，1}，B={0，1，x-1}，且A ⊆B ，则实数x 的值为_________.2．已知a 是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则a 的值是_________.3．已知A={(x,y)|y=x-1}，B={(2,1)}，则集合A ，B 的关系为_________.4. 已知集合M={x|4<x<10}，集合P={x|x<m+1}，且M ⊆P ，则实数m 的取值范围为_________.5．若非空集合M 满足M ⊆{1,2,3,4,5}，且当a ∈M 时，6-a ∈M ，则满足条件的M 的个数为_________.6．(2012·苏州高一检测)设集合A={x|x=k 1,24+ k ∈Z},B={x|x=k 1,42+ k ∈Z},则集合A 与集合B 的关系是_________．7．已知A={1,2}，B={x ｜x ⊆A}，则集合A 与B 的关系为_________.二、解答题8．(2012·无锡高一检测)已知集合A={x|x 2+x-6=0},B={x|mx+1=0},若B ÜA ，求实数m 的值.9．(2012·东台高一检测)已知集合A={1，3，x 2},B={2-x,1}.(1)记集合M={1，2113x ，},若集合A=M ，求实数x 的值；(2)是否存在实数x,使得B ⊆A?若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由. 答案解析1．【解析】∵A⊆B,∴x-1=-1,从而x=0.答案：02．【解析】∵集合{x|ax=1}是任何集合的子集，∴{x|ax=1}=Ø,即方程ax=1无解，故a=0.答案：03．【解析】集合A表示的是一次函数y=x-1的图象上的所有点，而集合B中的点在该一次函数的图象上，故BÜA.答案：BÜA4.【解析】根据题设，借助于数轴，如图：故有m+1≥10，得m≥9.答案：m≥95．【解析】a∈M，6-a∈M ，故1与5，2与4可成对出现在M内，故M={3}或M={1,5}或M={2,4}或M={1,3,5}或M={2,3,4}或M={1,2,4,5}或M={1,2,3,4,5}，共7种可能．答案：7【举一反三】本题条件中的“M⊆{1,2,3,4,5}，且当a∈M时，6-a∈M”改为“M ⊆{1,2,3,4,5,6,7}，且当a∈M时，8-a∈M”，则结果如何？【解析】因为a∈M，8-a∈M，故1与7，2与6，3与5都可成对出现在M内，4也满足条件，故集合M的个数可看成含有4个元素集合的非空子集个数，即24-1=15．故满足条件的M的个数为15．6．【解析】由集合A 可知k12k 1x 244+=+=，由集合B 可知k 1k 2x 424+=+=，k ∈Z ，因此，集合A 表示的是所有的奇数除以４，集合B 表示的是所有的整数除以４，所以有A ÜB ．答案：A ÜB7．【解题指南】由B={x|x ⊆A}，可知B 集合中的元素是由A 集合的子集构成的,故A,B 关系可知.【解析】由题意可知B={x ｜x ⊆A}={Ø,{1}，{2}，{1，2}}，可见A ∈B ．答案：A ∈B8．【解析】由题意易知A={-3，2}，又∵B ÜA ，∴(1)当B=Ø时，mx+1=0无解，此时m=0.(2)当B ≠Ø时，此时B={1m -}， ∵B ÜA ， ∴1m -=-3或1m-=2，从而m=13或m=1.2- 综上所述，实数m 的值为0或12-或1.39．【解题指南】解答本题第(1)问可直接根据集合相等的条件列方程组求解，解答本题第(2)问要注意分类讨论，并且要注意集合元素互异性的检验.【解析】(1)根据题设，应有221x 313x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，解得x=3±，即实数x的值为3± (2)假设存在，则应有2-x=3或2-x=x 2,若2-x=3,得x=-1,此时，x 2=1,不符合题意，故x ≠-1；若2-x=x 2,得x=1或x=-2.易知x=1不合题意.x=-2时，A={1，3，4}，B={4，1}，符合题意.综上所述：存在实数x=-2，使得B⊆A.。

高中数学1.1.2数列的函数特征课后巩固练习北师大版必修5

-3, ∴ λ >-3.
答案：（ -3 ， +∞）
7. 独具【解题提示】考虑本题的第二问时，需要特别注意，全部的偶数项取出作为新的数列，直接根据第
一问的结论，代入 2n 即可 .
【解析】 (1) 依题意可设通项公式为 an＝pn＋ q，
pq 3
p2
得
，解得
，
7p q 15
q1
∴ {a n} 的通项公式为 an＝2n＋ 1. (2) 依题意 bn＝ a2n＝ 2(2n) ＋ 1＝ 4n＋ 1， ∴ {b n} 的通项公式为 bn＝4n＋ 1.
4. 若数列 {a n} 的通项公式为 an＝ 7·( 3 ) 2n－ 2－3· ( 3 ) n－1，则数列 {a n} 的 ( )
4
4
(A) 最大项为 a5，最小项为 a6
(B) 最大项为 a6，最小项为 a7
(C) 最大项为 a1，最小项为 a6
(D) 最大项为 a7，最小项为 a6 二、填空题（每小题 4 分，共 8 分） 5.(2011 ·石狮高二检测 ) 已知数列 {a n} 的通项公式为
3
【挑战能力】
15 项 .
1
1
1
1
【解析】 (1) ∵ an=
,
n1 n2 n3
2n
1
∴ an+1=
n1 1
1 n1 2
1 n1 3
1 2n 1
=1
1
1
n2 n3 n 4
11
1,
2n 2n 1 2n 2
1
∴ an+1-a n=
1
1
1
1
,
2n 1 2n 2 n 1 2n 1 2 n 1

【世纪金榜】2014年高中数学 1.2.1.1 等差数列课后巩固练习北师大版必修5

【世纪金榜】2014年高中数学 1.2.1.1 等差数列课后巩固练习北师大版必修5(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1．（2011·某某高二检测）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{2a n }是( )（A ）公差为d 的等差数列（B ）公差为2d 的等差数列（C ）非等差数列（D ）以上说法均不正确2．2 005是等差数列7,13,19,25,31，…中的第n 项，则n 等于( )（A ）332 （B ）333 （C ）334 （D ）3353．（2011·某某高二检测）等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成新的等差数列，那么新的等差数列的公差是( )（A ）34 （B ）-34 （C ）-67（D ）-1 4．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )（A ）a 1a 8>a 4a 5（B ）a 1a 8<a 4a 5（C ）a 1＋a 8>a 4＋a 5（D ）a 1a 8＝a 4a 5二、填空题（每小题4分，共8分）5.（2010·苏北四市联考）已知数列{a n }为等差数列，且a 9-2a 5=-1,a 3=0,则公差d=__________.6．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1-a n ＝a n ＋1·a n ，那么a 31等于_________.三、解答题（每小题8分，共16分）7．已知无穷等差数列{a n }，首项a 1＝3，公差d ＝-5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n }．(1)求b 1和b 2；(2)求{b n }的通项公式；(3){b n }中的第110项是{a n }的第几项？8．有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，问去哪一家商场购买花费较少．【挑战能力】（10分）已知数列{a n }是等差数列，公差d ≠0,a n ≠0（n ∈N +）,a k x 2+2a k+1x+a k+2=0（k ∈N +）.（1）求证：当k 取不同正整数时，方程都有公共根；（2）若方程不同的根依次为x 1,x 2,x 3,…,x n ,…，求证：123n 1111,,,,x 1x 1x 1x 1⋯++++，…是等差数列.答案解析1．【解析】选B.∵2a n ＋1-2a n ＝2(a n ＋1-a n )＝2d(n ∈N +)．∴数列{2a n }是公差为2d 的等差数列．故选B.2．【解析】选C.首项为7，公差为6，由2 005＝7＋(n-1)×6，得n ＝334.故选C.3．独具【解题提示】解决本题的关键是明确a 1与a 5之间插入后有多少项，然后利用等差数列通项公式求解公差.【解析】选B.设新数列a 1，b 1，a 2，b 2，a 3，b 3，a 4，b 4，a 5，…，公差为d ，则a 5＝a 1＋8d 所以d ＝51a a 28638884---===-.故选B. 4．【解析】选B.设等差数列的公差为d ，则a 1a 8-a 4a 5＝a 1(a 1＋7d)-(a 1＋3d)(a 1＋4d)＝-12d 2<0，所以a 1a 8<a 4a 5.5.【解析】a 9-a 5=4d,a 5=a 3+2d,∴a 9-2a 5=(a 9-a 5)-(a 3+2d)=-1∴4d-2d=-1即d=-12. 答案：-126．独具【解题提示】解决本题的关键是正确地对a n+1-a n =a n+1·a n 进行变形，构造等差数列进行求解. 【解析】由已知可得n 1n 11a a +-＝-1，设b n ＝n 1a ，则数列{b n }是以12为首项，公差为-1的等差数列,所以b 31＝12＋(31-1)·(-1)＝-592，所以a 31＝-259. 答案：-259 7．【解析】(1)∵a 1＝3，d ＝-5，∴a n ＝3＋(n-1)(-5)＝8-5n.∵数列{a n }中项的序号被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，…，∴{b n }的首项b 1＝a 3＝-7，b 2＝a 7＝-27.(2)设{a n }中的第m 项是{b n }的第n 项，即b n ＝a m ，则m ＝3＋4(n-1)＝4n-1，∴b n ＝a m ＝a 4n-1＝8-5(4n-1)＝13-20n(n ∈N +)．∵b n -b n-1＝-20(n ∈N +，n ≥2)，∴{b n }是等差数列，其通项公式为b n ＝13-20n(n ∈N +)．(3)∵b 110＝13-20×110＝-2 187，设它是{a n }中的第m 项，则-2 187＝8-5m ，则m ＝439.8．【解析】设某单位需购买电视机n 台．在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n }．a n ＝780＋(n-1)(-20)＝-20n ＋800.由a n ＝-20n ＋800≥440，得n ≤18，即购买电视机台数不超过18台时，每台售价为800-20n 元；购买电视机台数不少于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600元．比较在甲、乙两家商场的费用(800-20n)n-600n ＝20n(10-n)，①当n<10时，(800-20n)n>600n ；②当n ＝10时，(800-20n)n ＝600n ；③当10<n ≤18时，(800-20n)n<600n ；④当n>18时，440n<600n.答：当购买电视机台数少于10台时，到乙商场花费较少；当购买电视机10台时，到两商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少．独具【方法技巧】应用数列方法解实际问题技巧在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决.若这组数依次沿直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题.【挑战能力】独具【解题提示】（1）在已知一元二次方程中，其系数中的a k ,a k+1,a k+2为等差数列的相邻三项，则可以考虑用等差中项的性质将其中一个系数用另外两个系数表示，这样可考虑将方程左端分解因式，看是否有与k 无关的因式；（2）只要证明n n 111x 1x 1--++（n ≥2,n ∈N +）为一个常数即可. 【证明】（1）∵｛a n ｝是等差数列，d ≠0,a n ≠0(n ∈N +),∴2a k+1=a k +a k+2.代入已知方程，得a k x 2+(a k +a k+2)x+a k+2=0.即（x+1）(a k x+a k+2)=0.方程有解x=-1,故当k 取不同正整数时，方程总有公共根-1.(2)当k 取正整数时，x k =-k 2ka a +, ∴x k +1=-k 2ka a ++1=-k 2k k a a a +-=k -2d a . 故k 1x 1+=-k a 2d, 则k+11x 1+-k 1x 1+=(-k+1a 2d )-(-k a 2d ) =-k+1k a -a 2d =-d 2d =-12. ∴数列{k 1x 1+}是公差为-12的等差数列.。