2016高中数学人教A版必修5第一章《解三角形》章末测试题(B)

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人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案

必修五第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于（）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为（）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。

新人教A版必修5高中数学第一章解三角形章末检测(B)

第一章解三角形章末检测（B ）新人教A 版必修5(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π33.在△ABC 中，已知||＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →²AC →等于( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±24．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 25．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <2 57．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223C ．－63 D.638．下列判断中正确的是( )A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( )A.34B.32C.3或32D.32或3410．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C为( )A. 3 B ．1 C.33 D.3211．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( ) A ．60° B ．45°或135°13．在△ABC 中，若sin A a＝cos Bb，则B ＝________.14．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________．15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，H 、G 、B 三点在同一条直线上，在G 、H 两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．20．(12分)为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．21．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．22．(12分) 如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．第一章解三角形章末检测答案 (B)1．B [∵a >b >c ，∴C 最小．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋32－122³2³3＝32，又∵0<C <π，∴C ＝π6.]2．B [∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0. ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝12，又∵0<C <π，∴C ＝π3.]∴||²|AC →|²sin A ＝12³4³1³sin A ＝ 3. ∴sin A ＝32.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°或120°.²AC →＝|AB →|²|AC →|cos A＝4³1³cos A ＝±2.] 4．D [由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin C ＝c ²sin B b ＝2sin 120°6＝12，∵c 022＋x 2－42>0解得：23<x <2 5.]7．D [由正弦定理得15sin 60°＝10sin B.∴sin B ＝10²sin 60°15＝33.∵a >b ，A ＝60°，∴B <60°. ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－332＝63.]8．B [A ：a ＝b sin A ，有一解； B ：A >90°，a >b ，有一解； C ：a b >c sin B ，有两解．]9．D [由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴12＝(3)2＋BC 2－2³3³BC ³32.整理得：BC 2－3BC ＋2＝0. ∴BC ＝1或2.当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³1³12＝34.当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³2³12＝32.]10．C [由S △ABC ＝12BC ²BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.]11．C [由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1，故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1，即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C.] 12．B [由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2a 2＋2b 2c 2，得cos 2C ＝a 2＋b 2－c 22ab2＝a 4＋b 4＋c 4＋2a 2b 2－2c 2a 2－2b 2c 24a 2b 2＝12⇒cos C ＝±22.∴角C 为45°或135°.]13．45°解析由正弦定理，sin A a ＝sin Bb.∴sin B b ＝cos Bb.∴sin B ＝cos B .∴B ＝45°.14．10 3解析设AC ＝x ，则由余弦定理得： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC cos A ，∴49＝25＋x 2－5x ，∴x 2－5x －24＝0. ∴x ＝8或x ＝－3(舍去)．∴S △ABC ＝12³5³8³sin 60°＝10 3.15．8 6解析如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝64³32＝326，∴v ＝MN4＝86(海里/小时)．16.33解析由(3b －c )cos A ＝a cos C ，得(3b －c )²b 2＋c 2－a 22bc＝a ²a 2＋b 2－c 22ab，即b 2＋c 2－a 22bc ＝33，由余弦定理得cos A ＝33.17．解在△ACD 中，∠DAC ＝α－β，由正弦定理，得AC sin β＝DCα－β，∴AC ＝a sin βα－β∴AB ＝AE ＋EB ＝AC sin α＋h ＝a sin βsin αα－β＋h .18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ²sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(33)2＋52－2³33³5³cos 30°＝7. ∴b ＝7.19．解 (1)在△POC 中，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ²OC ²cos θ ＝5－4cos θ，所以y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12³1³2sin θ＋34³(5－4cos θ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.20．解 ①需要测量的数据有：A 点到M 、N 点的俯角α1、β1；B 点到M 、N 点的俯角α2、β2；A 、B 的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM ，由正弦定理AM ＝d sin α2α1＋α2；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ³AN α1－β1. 21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.22．解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∠OCP ＝120°.在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CPsin θ，∴2sin 120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ.又OC －θ＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为S (θ)＝12CP ²OC sin 120°＝12²43sin θ²43sin(60°－θ)³32 ＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32cos θ－12sin θ ＝2sin θ²cos θ－23sin 2θ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－33∴θ＝π6时，S (θ)取得最大值为33.。

(完整版)新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题

解三角形一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝23AC ＝( ) A ．3 B ．22 C 332.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定 4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60ο的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75ο视角，则B 、C 两岛的距离是（）海里 A. 65 B. 35 C. 25 D. 55.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为2m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. 3mC. 2mD. 200m 7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3D ．7 3 9.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.3510.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) kmB ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，面积为3A ＝60°，则BC 的长等于( )A ．5 B.6 C ．7 D ．812.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,2C c a ∠=︒=，则（） A ．a b > B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752=--x x 的根，则此三角形的面积是。

高二数学人教A必修5章末检测：第一章解三角形 Word版含解析

章末检测一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若A ＋C ＝2B ，有a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B. 3 C.32 D ．2答案 C解析由A ＋C ＝2B ，解得B ＝π3.由余弦定理得(3)2＝1＋c 2－2c cos π3，解得c ＝2或c ＝－1(舍去)．于是，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2sin π3＝32.2．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403 答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.3．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53 B.54 C.55 D.56答案 B解析由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定答案 A解析由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，又C ＝120°，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2＝b 2＋ab ＞b 2，∴a ＞b ，故选A.5．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－12，0)D ．(12，＋∞)答案 D解析由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎨⎧ a ＋b >ca ＋c >b 即⎩⎨⎧ m (2k ＋1)>2mk3mk >m (k ＋1)，∴k >12.6．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为() A.922 B.924 C.928 D ．9 2答案 C解析设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928.7．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案 B解析 ∵sin A ＝sin C 且A 、C 是三角形内角，∴A ＝C 或A ＋C ＝π(舍去)．∴△ABC 是等腰三角形．8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝2∠A ，则AC 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．(0,2]D ．(2，3)答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜π－3∠A ＜π2，0＜2∠A ＜π2⇒π6＜∠A ＜π4，由正弦定理AC sin B ＝BCsin A 得AC ＝2cos A .∵∠A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，∴AC ∈(2，3)．9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解答案 D解析 A 中，因a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解；故A 、B 、C 都不正确．用排除法应选D.10．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于() A.21 B.106 C.69 D.154答案 B解析设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.二、填空题11．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C 的大小是________．答案 13解析由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab ＝13，所以cos C ＝13. 12．在△ABC 中，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.答案 2π3解析由已知3sin A ＝5sin B ，利用正弦定理可得3a ＝5b .由3a ＝5b ，b ＋c ＝2a ，利用余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.C ∈(0，π)，C ＝23π.13．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.答案 145解析在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝c sin C ，∴c ＝b sin C sin B ＝3×56651213＝145.14．太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 (km)．由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB sin ∠ACB， ∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.16.如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴t ＝2(t ＝－34舍去)．答我艇追上走私船所需要的时间为2小时．17．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值；(2)求c 的值．解 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin C sin A ＝5.18．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R ，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．在ABC △中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A >B ，则一定有（） A ．cos A >cos BB ．sin A >sin BC ．tan A >tan BD ．sin A <sin B3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2sin sin cos a A B b A +，则ba =（）A ．B ．C D4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a =，b ＝4．满足条件的△ABC （） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a b c =-，则角B 的大小是（） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -，sin C B =，则A ＝（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC sin aA为（）A B C D ．8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是（）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭9．在△ABC 中，已知B ＝45°，c =，b =A 的值是（） A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°10．在锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是（）A ．1<a <3B ．1a <<C a <D ．不确定11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 22A b cc+=，则 △ABC 的形状为（） A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形12．如图所示，在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A 等于（）A ．13B ．12C ．34D ．0二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，且3sin C ，则∠C ＝________． 15．在△ABC 中，a ＝3，26b =B ＝2∠A ，则cos A ＝________．16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值；（2）若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值．19．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222a b c +=．（1）求C ；（2）设cos cos A B =，()()2cos cos cos A B ααα++，求tan α的值．21．(12分)在△ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =．（1）求sin A 的值；（2）设6AC =，求△ABC 的面积．22．(12分)如图，已知扇形AOB ，O 为顶点，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 相交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．【答案】C 【解析】6A π=，3B π=，2C π=，132::sin :sin :sin 3222a b c A B C ===，故选C ． 2．【答案】B【解析】∵A B >，∴a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，故选B ．3．【答案】D【解析】本小题考查内容为正弦定理的应用．∵2sin sin cos a A B b A +=，∴22sin sin sin cos A B B A A +=，sin B A =，∴b =，∴ba．故选D ． 4．【答案】A【解析】4sin 60⨯︒=<a <b sin A ，∴△ABC 不存在．故选A ． 5．【答案】A【解析】∵222a b c =-，∴222a c b +-=，由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-===0°<B <180°，所以B ＝45°．故选A ． 6．【答案】A【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =，∴2226a b b -=，即a 2＝7b 2．由余弦定理，2222222cos2b c a A bc +-===，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°．故选A ． 7．【答案】B【解析】由1sin 2bc A =c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a =sin a A ==B ． 8．【答案】C【解析】本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-==≥=，∴03A π<≤，故选C ．9．【答案】D 【解析】∵sin sin b cB C =，∴sin sin c B C b ==． ∵0°＜C ＜180°．∴C ＝60°或120°，∴A ＝75°或15°．故选D ． 10．【答案】C【解析】∵b <c ，△ABC 为锐角三角形，∴边c 与边a 所对的角的余弦值大于0，即b 2＋a 2－c 2>0且b 2＋c 2－a 2>0，∴22140140a a ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩．∴3<a 2<5，∴35a <<．故选C ． 11．【答案】A【解析】由21cos cos 222A A b c c ++==，整理得cos bA c=．又222cos 2b c a A bc +-=，联立以上两式整理得c 2＝a 2＋b 2，∴C ＝90°．故△ABC 为直角三角形．故选A ． 12．【答案】C【解析】在△ABC 中，设∠ACD ＝∠BCD ＝β，∠CAB ＝α，由∠A ∶∠B ＝1∶2，得∠ABC ＝2α．∵∠A <∠B ，∴AC >BC ，∴S △ACD >S △BCD ，∴S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴1sin 3212sin 2AC DC BC DC ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴32AC BC =．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，sin 2sin 2sin cos sin AC BC AC BCααααα=⇒=， ∴133cos 2224AC BC α==⨯=，即3cos 4A =．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．815【解析】设△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝6，由余弦定理222222121267cos 2212128AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯．∵()0,A ∈π，∴15sin A =，∴外接圆半径8152sin BC r A == 14．【答案】23π【解析】∵a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，即cos C <0．又3sin C ，∴23C π∠=． 15．6【解析】∵a ＝3，26b =，∠B ＝2∠A ，由正弦定理326sin sin 2A A=， ∴2sin cos 26sin 3A A A =，∴6cos 3A =． 16．【答案】10 m【解析】画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°， ∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，3BO x ，在△BCO 中，由余弦定理得)()223100210cos 8040xx x =+-⨯⨯︒+︒，整理得25500x x -=-，解得10x =，5x =-(舍去)，故塔高为10 m ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）3B π=；（2）112b ≤<．【解析】（1）由已知得()cos cos cos 3cos 0A B A B A B -++-=，即有sin sin 3sin cos 0A B A B =．因为sin A ≠0，所以sin 30B B =．又cos B ≠0，所以tan 3B =．又0<B <π，所以3B π=．（2）由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．因为a ＋c ＝1，1cos 2B =，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又0<a <1，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<． 18．【答案】（1）3A π=；（2）1sin 3C =．【解析】（1）由题设知sin cos cos sin 2cos 66A A A ππ+=．从而sin 3A A ，所以cos A ≠0，tan A =．因为0<A <π，所以3A π=．（2）由1cos 3A =，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2，故△ABC 是直角三角形，且2B π=．所以1sin cos 3C A ==． 19．【答案】（1）3A π=；（2）5sin sin 7B C =．【解析】（1）由cos2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos 2A =或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以3A π=．（2）由11sin sin 223S bc A bc π====bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =．又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．20．【答案】（1）34C π=；（2）tan α＝1或tan α＝4．【解析】（1）因为222a b c +=，由余弦定理有222cos 2a b c C ab +-===34C π=．（2）由题意得()()2sin sin cos cos sin sin cos cos cos A A B B ααααα--，因此()()tan sin cos tan sin cos A A B B αα--=，()2tan sin sin tan sin cos cos sin cos cos A B A B A B A B αα-++=，()2tan sin sin tan sin cos cos A B A B A B αα-++=因为34C π=，4A B π+=，所以()sin A B +=因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即sin sin 52A B -=，解得sin sin 5210A B =-=．由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4． 21．【答案】（1）sin A ；（2）ABC S =△．【解析】（1）由2C A π-=和A ＋B ＋C ＝π，得22A B π=-，04A π<<． ∴cos2A ＝sinB ，即2112sin 3A -=，∴sin A =．（2）由（1）得cos A sin sin BC AC A B =，∴sin 31sin 3AC ABC B===∵2C A π-=，∴2C A π=+，∴sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，∴11sin 22ABC S AC BC C =⋅⋅==△． 22．【答案】当θ＝30°时，S (θ)．【解析】∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°．在△OCP 中，由正弦定理，得sin sin OP CP OCP θ=∠，即2sin120sin CPθ=︒，∴CP θ．又()2sin 60sin120CO θ=︒-︒，∴()60OC θ=︒-．故△POC 的面积是()1sin1202S CP CO θ=⋅⋅︒()()160sin si 2n 60θθθθ=︒-︒-()1sin sin 21cos 2602θθθθ⎫⎤=-︒=-⎪-⎥⎪⎝⎦⎭，()0,60θ∈︒︒， ∴当θ＝30°时，S (θ)单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在ABC △中，若90C =︒，6a =，30B =︒，则c b -等于（）A ．1B ．1-C ．D ．-2．在ABC △中，3AB =，2AC =，BC =BA ·AC 等于（）A ．32-B ．23-C ．23D ．323．在△ABC 中，已知a =，b =A ＝30°，则c 等于（）A ．BC ．D ．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（） A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为（）A B C D ．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c =A ＝75°，则b 等于（）A ．2B -C ．4-D ．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a =7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（）A B C D ．9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于（）A B C D10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是（） A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为（） A ．43sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．43sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=，则角B 的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，3b =， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =．（1）求2sin cos22B CA ++的值；（2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2．（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE ．20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，3cos 5B =．（1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．（1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．22．(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(),a b m =， ()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若m ⊥p ，边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒，tan30b a =︒=2c b ==，c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴2515c c =+-．化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c = 故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B =︒，即只有一解；B 中，20sin 60sin 18C ︒==c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b = 故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=．∴32sinR θ==，R =C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c b A c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ． 7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒，由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==．在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即22217424cos 42aa AMB =+-⨯⨯⋅∠ ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即22216424cos 42aa AMB =++⨯⨯⋅∠ ②①＋②得：22222176442a +=++，∴a =B ．10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b=，∴a cos B ＝b sin A ， ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C 选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=，即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ． 12．【答案】D 【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C ===，由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA ABC ++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=+++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0 14．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=，∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=．由正弦定理知，sin 1sin 2a B A b ==．又a +⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩，解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =．答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】（1）5950；（2）a = 【解析】（1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=．（2）∵4cos 5A =，∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=，∴a = 19．【答案】（1；（2）AE=．【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒= （2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠，即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =．【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B <π，∴4sin 5B ==．由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===．（2）∵1sin 42ABC S ac B ==△，∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =．由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形．【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一由（1）得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=，即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°．所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二由（1）A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B) 11sin sin sin 22B B B B B =-=＝sin(B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】（1）证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形．（2）解由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。

人教a版必修5学案：第1章《解三角形》本章回顾(含答案)

本章回顾识结构点回放1．三角形中的边角关系设△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C.(1)三角形内角和定理A＋B＋C＝π.(2)三角形中的诱导公式sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，sin A＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2，tan A＋B2＝cotC2.(3)三角形中的边角关系a＝b⇔A＝B；a>b⇔A>B；a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b.(4)三角形中几个常用结论①在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B(其余两个略)；②在△ABC中，sin A>sin B⇔A>B；③在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C. 2．正弦定理(1)正弦定理在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，则asin A＝bsin B＝csin C＝2R.其中R 是△ABC 外接圆半径． (2)正弦定理的变形公式正弦定理反映了三角形的边角关系．它有以下几种变形公式，解题时要灵活运用． ①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；③sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； ④sin A sin B ＝a b ，sin B sin C ＝b c ，sin C sin A ＝c a . 3．余弦定理 (1)余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.4．三角形的面积三角形面积公式S △＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c ；S △＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；S △＝12(a ＋b ＋c )r (r 为△ABC 内切圆半径)；S △＝abc4R (R 为△ABC 外接圆半径)；S △＝p (p －a )(p －b )(p －c ) ⎝⎛⎭⎫其中p ＝12(a ＋b ＋c ).5．解三角形的常见类型及解法在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解该三角形，按6．已知两边及一边对角解三角形，解的个数的判断在△ABC 中，以已知a ，b ，A 为例想方法一、构建方程(组)解三角问题例1如图所示，设P 是正方形ABCD 内部的一点，P 到顶点A 、B 、C 的距离分别是1,2,3，求正方形的边长．解设边长为x ，x >0，在△ABP 中，cos ∠ABP ＝x 2＋22－124x ＝x 2＋34x，在△CBP 中，cos ∠CBP ＝x 2＋22－324x ＝x 2－54x，又cos 2∠ABP ＋cos 2∠CBP ＝1， ∴⎝⎛⎭⎫x 2＋34x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2－54x 2＝1.∴x 2＝5＋22或x 2＝5－2 2.所以，x ＝5±22，即正方形的边长为5±2 2. 例2如图所示，测量人员沿直线MNP 的方向测量，测得塔尖A 处的仰角分别是∠AMB ＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB ＝60°，且MN ＝PN ＝500 m ，求塔高AB .分析设AB ＝h ，则MB ，NB ，PB 都可用h 来表示，在底面△BMP 中，MN ＝PN ＝500 m ，借助△MNB 与△MPB ，利用公共角∠PMB ，结合余弦定理的推论得出方程可求解．解设AB ＝h ，∵AB ⊥MB ，AB ⊥NB ，AB ⊥PB ，又∠AMB ＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB ＝60°，∴MB ＝3h ，NB ＝h ，PB ＝33h .在△MPB 中，cos ∠PMB ＝MP 2＋MB 2－BP 22MP ·MB＝1 0002＋3h 2－13h 22×1 000×3h. 在△MNB 中，cos ∠NMB ＝MN 2＋MB 2－BN 22MN ·MB＝5002＋3h 2－h 22×500×3h. ∴1 0002＋83h 22 0003h ＝5002＋2h 21 0003h. 整理，得h ＝250 6.∴塔高AB 为250 6 m. 二、构建目标函数解三角问题例3 如图所示，已知⊙O 的半径是1，点C 在直径AB 的延长线上，BC ＝1，点P 是⊙O 上半圆上的一个动点，以PC 为边作等边三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 的两侧．(1)若∠POB ＝θ，试将四边形OPDC 的面积y 表示为关于θ的函数； (2)求四边形OPDC 面积的最大值．分析四边形OPDC 可以分成△OPC 与△PCD .S △OPC 可用12OP ·OC ·sin θ表示；而求△PCD 的面积关键在于求出边长PC ，在△POC 中利用余弦定理即可求出；至于面积最值的获得，则可通过三角函数知识解决．解 (1)在△POC 中，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos θ＝5－4cos θ，所以y ＝S △OPC ＋S △PCD＝12×1×2sin θ＋34×(5－4cos θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534. (2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.例4 甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？分析利用余弦定理构建甲、乙两船的距离关于时间t 的目标函数，注意到t ＝2时，乙到达A 处，此时，甲地、乙地、A 地三处构不成三角形，要注意分类讨论．如下图所示：解设甲、乙两船经t 小时后相距最近，且分别到达P 、Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．①当0≤t ≤2时，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ，所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AP ·AQ cos 120°＝ (20－10t )2＋(8t )2－2(20－10t )×8t ×⎝⎛⎭⎫－12 ＝84t 2－240t ＋400＝221t 2－60t ＋100.②当t >2时，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝10t －20， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos 60°＝221t 2－60t ＋100. 综合①②知，PQ ＝221t 2－60t ＋100 (t ≥0)．当且仅当t ＝3021＝107时，PQ 最小．答甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．三、利用等价转化思想解三角问题例5 在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin 2A －sin 2B ＋sin 2C ＝1＋cos 2C1＋cos 2B，求证：△ABC 是等腰三角形或直角三角形．分析从题中的等式结构来看，情况较为复杂，且求证的是判定△ABC 为等腰三角形或直角三角形两种情况．因此，应综合应用正、余弦定理，先进行化简，再讨论．证明应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为：a 2＋b 2－c 2a 2－b 2＋c 2＝2cos 2C2cos 2B，再由余弦定理将其变形为：2ab cos C 2ac cos B ＝cos 2Ccos 2B，整理得cos C cos B ⎝⎛⎭⎫b c －cos C cos B ＝0.∴cos C cos B ＝0或b c －cos Ccos B ＝0，若cos C cos B ＝0，则C ＝90°；若b c －cos C cos B ＝0，依据正弦定理得sin B sin C ＝cos C cos B ，即sin B cos B ＝sin C cos C ．所以sin 2B ＝sin 2C . 所以2B ＝2C 或2B ＋2C ＝180°，即B ＝C 或B ＋C ＝90°. 综上所述，△ABC 是等腰三角形或直角三角形．例6 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，若a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，a ＝43，B ＝45°，求△ABC 的面积．分析解决本题的突破口是由a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2联想到余弦定理，这就需要降次，自然就得进行等式的变形．变形后自然容易发现它与余弦定理的关系，进而应用余弦定理解决问题．解因为a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，所以变形得(a ＋b )(a 2＋b 2－c 2－ab )＝0.因为a ＋b ≠0，所以a 2＋b 2－c 2－ab ＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab .根据余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又因为0°<C <180°，所以C ＝60°. 因为B ＝45°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(60°＋45°)＝75°.根据正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以b ＝a sin Bsin A ＝43×226＋24＝12－4 3.根据三角形的面积公式得S △ABC ＝12ab sin C ＝12×43×(12－43)×32＝36－12 3.四、构建辅助圆解三角应用题例7 (能力创新题)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ ⎝⎛⎭⎫其中sin θ＝2626，0°<θ<90° 且与点A 相距1013海里的位置C . (1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．分析第(1)问实际上就是求BC 长度，在△ABC 中，利用余弦定理求解即可；第(2)问警戒区域是以E 为中心的一个圆，半径为7(海里)，问题实质上可以看作直线BC 与圆E 是否有交点，因此可以构建辅助圆E 来求解．解 (1)如图所示，AB ＝402， AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626.由于0°<θ<90°，所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫26262＝52626.由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5. 所以船的行驶速度为 1054060＝10523＝155(海里/小时)． (2)如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D .由题设有，x 1＝y 1＝22AB ＝40，x 2＝AC cos ∠CAD ＝1013cos(45°－θ)＝30， y 2＝AC sin ∠CAD ＝1013sin(45°－θ)＝20.所以过点B 、C 的直线l 的斜率k ＝2010＝2，直线l 的方程为y ＝2x －40.又点E (0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|1＋4＝35<7，所以船会进入警戒水域．五、利用正、余弦定理解平面几何问题例8 (竞赛竞技题)(斯特瓦尔特定理)在△ABC 中，D 是BC 边上一点，若BD ＝p ，DC＝q ，求证：AD 2＝b 2p ＋c 2q p ＋q－pq .证明如图所示，在△ABD 中，由正弦定理：cos B ＝c 2＋p 2－AD 22cp.在△ABC 中，由余弦定理：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac.∴c 2＋p 2－AD 22cp ＝c 2＋a 2－b 22ca.∴c 2＋p 2－AD 2＝pa (c 2＋a 2－b 2)．∴AD 2＝c 2＋p 2－pa(c 2＋a 2－b 2)把a ＝p ＋q 代入后整理得：AD 2＝c 2－pp ＋q (c 2－b 2)－pq .即AD 2＝b 2p ＋c 2q p ＋q－pq .注当D 为BC 中点时，p ＝q ，此时，AD ＝122b 2＋2c 2－a 2，即三角形中线长定理．斯特瓦尔特定理是三角形中线长定理推广，中线长定理是该定理的特例．思妙解1．构造三角形巧求代数式的值例1 设a ，b ，c 为正实数，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋ac ＋c 2＝16b 2＋3c 2＝27a 2＋ab ＋13b 2＝25，求ab ＋2bc ＋3ac 的值．解 a 2＋ac ＋c 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝42； 13b 2＋c 2＝⎝⎛⎭⎫b 32＋c 2＝32； a 2＋ab ＋13b 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫b 32－2a ·⎝⎛⎭⎫b 3cos 150°＝52.三个条件式的结构都类似余弦定理，于是可以构造直角三角形ABC ，使∠C ＝90°.AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，在直角三角形ABC 内作一点O ，使∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，则∠COA ＝120°，如图所示．OA ＝a ，OB ＝b3，OC ＝c .一方面：S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △COA ＝12a ·b 3·sin 150°＋12·b 3·c ＋12·ca sin 120° ＝143(ab ＋2bc ＋3ac )．另一方面：S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×4×3＝6.∴143(ab ＋2bc ＋3ac )＝6. 即ab ＋2bc ＋3ac ＝24 3. 2．构造四面体巧证不等式例2 设x >0，y >0，z >0，求证：x 2－xy ＋y 2＋y 2－yz ＋z 2>z 2－zx ＋x 2. 证明如图所示，构造四面体V —ABC ，使∠AVB ＝∠BVC＝∠CVA＝60°，且VA＝x，VB＝y，VC＝z，由余弦定理得AB＝x2＋y2－2xy cos 60°＝x2－xy＋y2同理，BC＝y2－yz＋z2，CA＝z2－zx＋x2，在△ABC中，由于AB＋BC>CA，故有：x2－xy＋y2＋y2－yz＋z2>z2－zx＋x2.。

2016高中数学人教A版必修5第一章《解三角形》章末测试题B

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项就是符合题目要求的）在△磁中，已知&=错误!，*12=130° ,则此三角形解的情况为（）A、无解B、只有一解C、有两解D、解的个数不确上答案B解析因为a>b, £=130° ,所以⑷B,角B为锐角、因此该三角形只有一解、2、在△遊中，若5=120° ,则的值（）A、大于0B、小于0C、等于0D、不确定答案C解析根据余弦泄理，得cosl20°=错误! = ■错误!，即式+ / —匕=—ac、故才—F = 0、3、已知中，sirvi : sin5：sinC=l : 1 :错误!，则此三角形的最大内角的度数就A、60°B、90°C、120°D、135°答案C解析•••在△磁中.sinA : sin5：sinC=a : b ： c,.•・a： b： c=l ： 1 ：错误！、设a=b=k,c =错误!& （&〉0）,则cos*错误!= 一错误！、故*120°，应选C、4、若△磁的内角A,B,C所对的边a,b,c满足（a+矿一£=4,且c=60°，则必的值B、8 - 4错误!D、错误!答案A解析由（a+b） J = 4,得G + Z/—J）+2必=4、①T a b"—c —2abcQsC^•••方程①可化为2ab（1+cosC） =4.因此,a2>=错误！、X. */ C= 60 , /. ab =错误!、5、设a、b、c为△遊的三边，且关于*的方程（子+氐用+2错误!x+l= 0有两个相等的实数根，则月的度数就是（）A、120°B、90°C、60°D、30°答案c解析•.•由题意可知题中方程的判别式4=4（歹+£）—4 （孑+%）=0,・・・歹+£—£ = bc, 8$^=错误！、又•••0°<J<180° , ••期=60°、6、若△磁的三边分别为a、b, c,且满足E=ac, 2b=a+c,则此三角形就是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形答案D解析V2b=a+c9•••4歹=（a+c） \又° ： E=ac、（a —c） "=0、/• SL— Ox•••2b=a+c=2a、:・b=a、即a=b=c>故此三角形为等边三角形、7、已知在△ ABC^,a=x, 6=2,5=45°、若此三角形有两解，则x的取值范围就是（）A % -Y>2 B、*2C、2〈X <2y/2D、2<X2书答案C解析方法一要使三角形有两解，则a〉b且sinJ<l.•••由正弦左理可得错误!=错误！，即sinJ=错谋！=错误!，・•・错课! ••・2<水2错误!、方法二•••要使三角形有两解，则错误！即错误！・・・2 （.Y〈2错误！、8、某人站在山顶瞧见一列车队向山脚驶来，她瞧见第一辆车与第二辆车的俯角差等于她瞧见第二辆车与第三俩车的俯角差，则第一辆车与第二辆车之间的距离况与第二辆车与第三辆车之间的距离丛之间的关系为（）A、4）在B、&=在C、dgD、不能确宦大小答案C解析设山顶为点只山高为必第一、二.三辆车分别为A, B, C,俯角差为“作出图像如右图，由题知ZCPB=ZBPA=由正弦立理，得错误！=错误!，错误！=错误!，即PBsin a = cksinZFCB=d,sinZPAB,又9： sinZFAB） sinZFCB, ：.d.<d2.9、已知锐角三角形的三边长分别为3, 4, a,则a的取值范圉为（）A、l<a<5B、1 <a<7C、错误!<a<5D、错误!<a〈7答案C解析由锐角三角形及余弦左理知：错误!Q错误!Q错误!。

新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形检测B

第一章检测(B )(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知腰长为定值的等腰三角形的最大面积为2,则等腰三角形的腰长为( ).A .12B.1 C.2D.3解析:设该等腰三角形的腰长为a ,顶角为θ,则该等腰三角形的面积为12a2sin θ,易知当θ=90°时,该等腰三角形的面积取得最大值12a2=2,则a=2,故腰长为2.答案:C2在△ABC 中,b =√3,c =3,B =30°,则a 的值为( ). A .√3B.2√3 C .√3或2√3D.2 解析:∵sin C =sinBb ·c =√32,∴C=60°或C=120°.∴A=90°或A=30°.当A=30°时,a=b =√3;当A=90°时,a =√b 2+c 2=2√3. 答案:C3在△ABC 中,∠ABC =π4,AB =√2,BC =3,则sin ∠BAC=( ).A .√1010B.√105C .3√1010 D.√55解析:在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠ABC=2+9-2×√2×3×√22=5,即得AC =√5.由正弦定理AC sin∠ABC =BC sin∠BAC ,√5√22=3sin∠BAC ,所以sin ∠BAC =3√1010. 答案:C4在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a>b>c ,a 20,∴A <π2.又a>b>c ,∴A>B>C.∴A >π3,故选C .答案:C5在△ABC 中,sin A =34,a =10,则边长c 的取值范围是( ).A .(152,+∞)B.(10,+∞)C.(0,10)D .(0,403]解析:由正弦定理得,asinA =csinC ,c =asinA ·sin C =1034sin C =403sin C ≤403.又c>0,故0<c ≤403.答案:D6路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20 m,则折断点与树干底部的距离是( ).A .20√63mB.10√6 m C .10√63 mD.20√2 m解析:如图,设树干底部为O ,树尖着地处为B ,折断点为A ,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,∴∠OAB=60°.由正弦定理知,AOsin45°=20sin60°,∴AO =20sin45°sin60°=20√63(m).答案:A7在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.已知b=c ,a 2=2b 2(1-sin A ),则A=( ).A .3π4B.π3 C .π4D.π6解析:由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,又因为b=c ,所以a 2=b 2+b 2-2b×b cos A=2b 2(1-cos A ). 由已知a 2=2b 2(1-sin A ), 所以sin A=cos A , 因为A ∈(0,π),所以A =π4. 答案:C8在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若tan A=7tan B ,a 2-b2c=3,则c 等于( ).A.4B.3C.7D.6解析:由tan A=7tan B ,得sinAcosA =7sinBcosB ,即sin A cos B=7sin B cos A ,所以sin A cos B+sin B cos A=8sin B cos A , 即sin(A+B )=sin C=8sin B cos A.由正、余弦定理可得c=8b ·b 2+c 2-a 22bc ,即c 2=4b 2+4c 2-4a 2.又a 2-b 2c=3,所以c 2=4c ,即c=4.答案:A9在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于().A.34B.43C.−34D.−43解析:由2S=(a+b)2-c2,得2S=a2+b2+2ab-c2,即2×12absin C=a2+b2+2ab-c2,所以ab sin C-2ab=a2+b2-c2.由余弦定理可知cos C=a 2+b2-c22ab=absinC-2ab2ab=sinC2−1,所以cos C+1=sinC2,即2cos2C2=sin C2cos C2,所以ta n C2=2.所以tan C=2tan C21-tan2C2=2×21-22=−43.答案:D10甲船在B岛的正南方10 km处,且甲船以4 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是().A.1507 minB.157hC.21.5 minD.2.15 h解析:如图,设经过x h 后甲船处于点P 处,乙船处于点Q 处,两船的距离为s ,则在△BPQ 中,BP=10-4x ,BQ=6x ,∠PBQ=120°,由余弦定理可知s 2=PQ 2=BP 2+BQ 2-2BP ·BQ ·cos ∠PBQ , 即s 2=(10-4x )2+(6x )2-2(10-4x )·6x ·cos120°=28x 2-20x+100.当x=−-202×28=514时s 最小, 此时x =514(h)=1507(min). 答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b+c=2a ,3sin A=5sin B ,则角C= . 解析:∵3sin A=5sin B ,∴3a=5b.① 又∵b+c=2a ,②∴由①②可得,a =53b,c =73b,∴cos C =b2+a 2-c 22ab=b 2+(53b )2-(73b )22×53b×b =−12,∴C =2π3. 答案:2π312已知△ABC 的面积为S ,且|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2S,则B = .解析:设AB=c ,BC=a ,AC=b ,则∵|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2S, ∴a 2=ab cos C+ab sin C ,即a=b sin C+b cos C.由正弦定理得sin A=sin B sin C+sin B cos C. 又sin A=sin(B+C )=sin B cos C+cos B sin C ,∴sin B=cos B ,即tan B=1,B =π4. 答案:π413在△ABC 中,BC=1,B =π3,当△ABC 的面积等于√3时,sin C = . 解析:设AB=c ,AC=b ,BC=a ,则△ABC 的面积S =12acsin B =√3,解得c=4, 所以b =√a 2+c 2-2accosB =√13.所以cos C =a 2+b 2-c 22ab=−√1313.所以sin C =2√3913. 答案:2√391314在△ABC 中,已知b=1,sin C =35,bcos C +ccos B =2,则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 解析:由余弦定理的推论知cos C =a 2+b 2-c 22ab,cos B =a 2+c 2-b22ac .∵b cos C+c cos B=2,∴a2+b2-c22a+a2+c2-b22a=2.∴a=2,即|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.又b=1,∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.∵sin C=35,0°<C<180°,∴cos C=45或cos C=−45.∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =85或AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =−85.答案:85或−8515在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若1+tanAtanB =2cb,则A=.解析:由正弦定理,得2cb =2sinCsinB.又因为1+tanAtanB =tanB+tanAtanB=sinBcosA+cosBsinAsinBcosA=sin(A+B)sinBcosA=sinCsinBcosA,所以sinCsinBcosA =2sinCsinB.则cos A=12.又因为0°<A<180°,所以A=60°.答案:60°三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在△ABC 中,已知AB=2,AC=3,A=60°. (1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.解(1)由余弦定理知,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A=4+9-2×2×3×12=7,所以BC =√7.(2)由正弦定理知,AB sinC =BCsinA ,所以sin C =ABBC ·sin A =√7=√217.因为AB<BC ,所以C 为锐角,则cos C =√1-sin 2C =√1-37=2√77. 因此sin2C=2sin C ·cos C=2×√217×2√77=4√37. 17(8分)在△ABC 中,∠A =3π4,AB =6,AC =3√2,点D 在BC 边上,AD =BD,求AD 的长. 解设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos ∠BAC=(3√2)2+62−2×3√2×6×cos 3π4=18+36−(−36)=90,所以a=3√10.又由正弦定理得sin B =bsin∠BACa=3√10=√1010,由题设知0c.已知BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,cos B =13,b =3,求: (1)a 和c 的值; (2)cos(B-C )的值.解(1)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2得c ·a cos B=2.又cos B =13,所以ac=6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B. 又b=3,所以a 2+c 2=9+2×2=13.解{ac =6,a 2+c 2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因为a>c ,所以a=3,c=2. (2)在△ABC 中,sin B =√1-cos 2B=√1-(13)2=2√23,由正弦定理,得sin C =cb sin B =23×2√23=4√29. 因为a=b>c ,所以C 为锐角,因此cos C =√1-sin 2C =√1-(4√29)2=79.于是cos(B-C )=cos B cos C+sin B sin C=13×79+2√23×4√29=2327.19(10分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知a-c =√66b,sin B =√6sin C. (1)求cos A 的值;(2)求co s (2A -π6)的值.解(1)在△ABC 中,由b sinB =c sinC ,及sin B =√6sin C ,可得b =√6c.又由a-c =√66b,有a=2c.所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =2222√6c 2=√64. (2)在△ABC 中,由cos A =√64,可得sin A =√104.于是cos2A=2cos 2A-1=−14,sin 2A=2sin A ·cos A =√154.所以co s (2A -π6)=cos 2A ·co s π6+sin 2A ·si n π6=√15-√38.20(10分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知a=3,cos A =√63,B =A +π2. (1)求b 的值;(2)求△ABC 的面积.解(1)在△ABC 中,由题意知sin A =√1-cos 2A =√33,又因为B=A +π2,所以sin B=si n (A +π2)=cos A =√63.由正弦定理可得b=asinBsinA=3×√63√33=3√2.(2)由B=A+π2,得cos B=co s(A+π2)=−sin A=−√33.由A+B+C=π,得C=π-(A+B),所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin A cos B+cos A sin B=√33×(-√33)+√63×√63=13.因此△ABC的面积S=12absin C=12×3×3√2×13=3√22.。

高中数学必修5第一章--解三角形检测题及答案汇编

学习-----好资料第一章解三角形则A ，C 两地的距离为（aAcos — 2 bBcos2 c Ccos2等于（\3 : 2，贝U sin A : sin B : sin C =(C . 1 : 2 :5. 如果△ A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于厶A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则（）.A. △ A 1B 1C 1和厶A 2B 2C 2都是锐角三角形B. △ A 1B 1C 1和厶A 2B 2C 2都是钝角三角形C . △ A 1B 1C 1是钝角三角形，△ A 2B 2C 2是锐角三角形D . △ A 1B 1C 1是锐角三角形，△ A 2B 2C 2是钝角三角形 6. 在厶 ABC 中，a = 2叮'3，b = 2^2，/ B = 45 ° 则/ A 为（）.A . 30 或 150 °B . 60 °C . 60。

或 120 °D . 30 °7. 在厶ABC 中，关于x 的方程（1 + x 2）sin A + 2xsin B + （1 — x 2） sin C = 0有两个不等的实、选择题1.已知A , B 两地的距离为10 km , B ,C 两地的距离为20 km ，现测得/ ABC = 120 °A . 10 km10.3 kmC . 10 5 km10 一 7 kmA •等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形3•三角形三边长为 a ，b ，c ,且满足关系式(a + b + c)( a + b — c) = 3ab ,则c 边的对角A . 15 °45°C . 60°120 °4.在△ ABC 中，三个内角/ A ,Z B ，/ C 所对的边分别为a ， b ，c ，且2 .在△ ABC 中，若，则△ABC 是（根，贝U A为（）.A . 锐角B .直角C. 钝角 D.不存在&在厶ABC中，AB = 3, BC=、13,AC= 4,则边AC上的高为( ).A . 3、2B . 33C.3D.3、、3 2229. 在厶ABC中，3 3 3a +b —c 2—c,sin A • sinB= 3，则△ ABC.宀曰/定是（) a + b —c4A . 等边三角形B.等腰三角形C . 直角三角形D.等腰三角形或直角三角形10. 根据下列条件解三角形：①/ B= 30° a= 14, b= 7;②/ B = 60°a = 10,b = 9.那么，下面判断正确的是（）.A .①只有一解，②也只有一解.B .①有两解，②也有两解.C. ①有两解，②只有一解.D.①只有一解，②有两解.二、填空题11. ______________ 在厶ABC中，a, b分别是/ A和/ B所对的边，若a= 73 , b = 1，/ B = 30 °则Z A的值是_______ .12. _________________________________________________________ 在厶ABC中，已知sin Bsin C= cos2 -，则此三角形是________________________________________ 三角形.213. ___________________________ 已知a, b, c是厶ABC中Z A,Z B,Z C的对边，S是厶ABC的面积.若a = 4, b= 5, S= 5 3，求c的长度.14. A ABC中，a+ b = 10,而cos C是方程2x2—3x—2 = 0的一个根，求△ ABC周长的最小值___________ .15. 在△ ABC 中，Z A, Z B, Z C 的对边分别为a, b, c,且满足sin A : sin B : sin C =2 : 5 : 6.若△ ABC的面积为主竺，则△ ABC的周长为416. 在△ ABC中，Z A最大，Z C最小，且Z A = 2Z C, a+ c= 2b,求此三角形三边之比为________ .此三角形.18•如图所示，在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为15°向山顶前进100米后到达点B ，又从点B 测得斜度为45°建筑物的高 CD 为三、解答题17.在△ ABC 中，已知/ A = 30° a , b 分别为/ A ，/ B 的对边，且a = 4=二\解50米.求此山对于地平面的倾斜角 -学习-----好资料19.在△ ABC 中，/ A，/ B，/ C 的对边分别为a, b, c,若bcos C= (2a —c) cos B, (I )求/ B的大小;(n )若b = .../7 , a+ c = 4,求厶ABC 的面积.20•在△ ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,求证：c sin( A - B) sin C一、选择题 1. D解析：AC 2 = AB 2+ BC 2— 2AB • BCcos Z ABC =102+ 202— 2X 10X 20cos 120 °=700.■I ----AC = 10 . 7 . 2. B解析：由a =b =c 及正弦定理，得 sin A = sin B = sinC ，由2倍角 A cos — B cos—C cos — A B C 2 2 2cos — 2 cos 2 cos — 2的正弦公式得 sin A = sin — = sin —，/ A =Z B =Z C . 2 2 23. C解析：由(a + b + c)( a + b — c) = 3ab , 得 a ? + b ?— c ?= ab .2ab故 C = 60°. 4. D解析：由正弦定理可得 a : b : c = sin A : sin B : sin C = 1 : . 3 : 2. 5. D解析：△ A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于 0,则厶A 1B 1C 1是锐角三角形.nsin A 2= cosA = sin( — — A|)」sin B 2= cos B = sir(——比), sin C 2= cosC = sin( — — C 1)2那么，A 2+ —2+ C 2 = ―― — ( A 1 + —1 + G)=—，与 A 2 + —2 + C 2= n 矛盾.2 2 所以△ A 2B 2C 2是钝角三角形. 6. C2®： 3 ；•参考答案cos C = 2 2b 「c . n .A 2 = --- A|2得」B Q =」一B 1 ,2 C 2=- — C 12若厶A 2B 2C 2不是钝角三角形，由解析：由L，得sin A=asinB = ____________ 2 = 3,sin A sin B b 2/2 2 而b v a,•••有两解，即/ A = 60°或/ A = 120°.7. A解析：由方程可得(sin A —sin C) x2+ 2xsin B+ sin A + sin C= 0.•/方程有两个不等的实根，2 2 2•4sin B —4( sin A—sin C) > 0.由正弦定理一「= 一匚=—J，代入不等式中得b2—a2+ c2> 0, sin A sin B sinC再由余弦定理，有2ac cos A= b2+ c2—a2> 0.•0vZ A v90°.& B解析：■—r—由余弦定理得cos A= 1，从而sin A = 3，则AC边上的高BD = 3"2 2 29. A解析：3丄 3 3由 a + b c= c2二a3+ b3—c3= (a + b —c) c2= a3+ b3—c2(a + b) = 0= a + b—c(a+ b)( a2+ b2—ab —c2) = 0.a +b > 0,2 2 2二a2+ b2—c2—ab= 0. (1)由余弦定理(1)式可化为2 2 2 2a +b —(a + b —2abcos C) —ab = 0,1得cos C = —, Z C= 60°.2a b c asi n60 bsin60由正弦疋理= = ，得sin A= , sin B =si nA sinB sin 60” c c •sin A・sin B=西呼上=3,c2 4•卑=1, ab= c2. 将ab= c2代入(1)式得，a2+ b2—2ab= 0,即(a —b) 2= 0, a = b. c △ ABC是等边三角形.10. D解析：由正弦定理得sin A=asir|B，①中sin A= 1,②中sin A =葺.分析后可知① b 9有一解，/ A = 90°②有两解，/ A可为锐角或钝角.二、填空题11. 60 或120 °解析：由正弦定理=—计算可得sin A = _3，/ A = 60°或120°sin A sin B 212. 等腰.解析：由已知得2sin Bsin C = 1 + cos A = 1—cos(B+ C),即2sin Bsin C= 1 —( cos Bcos C —sin Bsin C),••• cos(B —C) = 1,得/ B =Z C,•••此三角形是等腰三角形.13. i 21 或.61 .1 J3解：T S= — absin C ,• sin C= —，于是/ C= 60°或/ C = 120°.2 2又c2= a2+ b2—2abcos C,当/C = 60°时，c2= a2+ b2—ab, c = .21 ;当/C = 120°时，c2= a2+ b2+ ab, c= V61 .• c的长度为,21或61 .14. 10+ 5 3 .解析：由余弦定理可得c2= a2+ b2—2abcos C,然后运用函数思想加以处理.•/ 2X2—3x—2 = 0,--X1 2, x? —.2又cos C是方程2x2—3x— 2 = 0的一个根，cos C =—1.2由余弦定理可得c = a + b? —2ab • ( —) = (a + b) —ab,2a + c = 2b ,则 c 2= 100-a(10 — a) = (a -5)2+ 75, 当a = 5时，c 最小，且c = 175 = 5, 此时 a + b + c = 5+ 5 + 5 /3 = 10+ 5 “.； 3 , △ ABC 周长的最小值为 10+ 5 3 .15. 13. 解析：由正弦定理及 sin A : sin B : sin C = 2 : 5 : 6,可得 a : b : c = 2 : 5 设a = 2k , b = 5k , c = 6k (k > 0)，由余弦定理可得 ma 2+b 2-c 24k 2+36k 2 —25k 2 5cos B ===-, 2ab2[2k)( 6k)8sin B = , 1— cos 2 B = —39 .8 1由面积公式S AABC = ac sin B ,得2-• (2k ) • (6k ) •』=,284.k = 1,A ABC 的周长为 2k + 5k + 6k = 13k = 13.:6,于是可本题也可由三角形面积I(海伦公式)得13k (13k— 2k)(13k— 5k)(13k— 6k)2 2 2 23 .、39 4f - f -3,3923 \ 39即k =—4 4k = 1.a +b +c = 13k = 13.16. 6 : 5 : 4.解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用.由正弦定理得？= 泄=色岛 =2cos C ,即cos C = 2 , c si nC sinC 2c由余弦定理 cos C =a 2 +b 2 —c 22ab (a + c)( a — c)+ b 22abcos C =a2c2b( a — c)+ ba + c 2a + c2 a — c)+ -2 2ab2a2 a — c)+2a整理得 2a 2— 5ac + 3c 2 = 0. 解得a = c 或a = 3 c .23 A = 2/C ,「. a = c 不成立，a = c 23 c c a c 2 5^ 2 243 5a :b :c = c : c : c = 6 : 5 : 4.2 4 故此三角形三边之比为 6 : 5 : 4. 三、解答题17. b = 4^3 , c = 8,/ C = 90 ° / B = 60。

高中数学人教A版必修5第一章《解三角形》word章末测试题(B)

第一章章末测试题(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝1，A ＝130°，则此三角形解的情况为( ) A ．无解 B ．只有一解 C ．有两解 D ．解的个数不确定答案 B解析因为a >b ，A ＝130°，所以A >B ，角B 为锐角．因此该三角形只有一解． 2．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定答案 C解析根据余弦定理，得cos120°＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，即a 2＋c 2－b 2＝－ac .故a 2＋ac ＋c 2－b 2＝0.3．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°答案 C解析 ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶ 3.设a ＝b ＝k ，c ＝3k (k >0)，则cos C ＝k 2＋k 2－3k22×k ×k＝－12.故C ＝120°，应选C.4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且c ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23答案 A解析由(a ＋b )2－c 2＝4，得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4.① ∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴方程①可化为2ab (1＋cos C )＝4.因此，ab ＝21＋cos C .又∵C ＝60°，∴ab ＝43.5．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程(a 2＋bc )x 2＋2b 2＋c 2x ＋1＝0有两个相等的实数根，则A 的度数是( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°答案 C解析 ∵由题意可知题中方程的判别式Δ＝4(b 2＋c 2)－4(a 2＋bc )＝0，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝12.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°.6．若△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2. 又∵b 2＝ac ，∴(a －c )2＝0.∴a ＝c . ∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c . 故此三角形为等边三角形．7．已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若此三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C ．2<x <2 2 D ．2<x <2 3答案 C解析方法一要使三角形有两解，则a >b ，且sin A <1. ∵由正弦定理可得a sin A ＝bsin B，即sin A ＝a sin B b ＝2x4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >2，24x <1.∴2<x <2 2.方法二 ∵要使三角形有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧b <a ，b >a sin B ，即⎩⎪⎨⎪⎧2<x ，2>x sin45°，∴2<x <2 2.8．某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车和第二辆车之间的距离d 1与第二辆车和第三辆车之间的距离d 2之间的关系为( )A ．d 1>d 2B ．d 1＝d 2C ．d 1<d 2D ．不能确定大小答案 C 解析设山顶为点P ，山高为PD ，第一、二、三辆车分别为A ，B ，C ，俯角差为α，作出图像如右图，由题知∠CPB ＝∠BPA ＝α，由正弦定理，得d 2sin α＝PB sin ∠PCB ，d 1sin α＝PBsin ∠PAB，即PB sin α＝d 2sin ∠PCB ＝d 1sin ∠PAB ，又∵sin ∠PAB >sin ∠PCB ，∴d 1<d 2.9．已知锐角三角形的三边长分别为3,4，a ，则a 的取值范围为( ) A ．1<a <5 B ．1<a <7 C.7<a <5 D.7<a <7答案 C解析由锐角三角形及余弦定理知： ⎩⎪⎨⎪⎧32＋a 2－42>0，32＋42－a 2>0，a >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2>7，a 2<25，a >0⇔7<a <5.10．(2013·新课标全国Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5答案 D解析由23cos 2A ＋cos2A ＝0，得cos 2A ＝125.∵A ∈(0，π2)，∴cos A ＝15.∵cos A ＝36＋b 2－492×6b ＝15，∴b ＝5或b ＝－135(舍)．故选D 项．11.如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6) n mile/hB ．20(6－2) n mile/hC ．20(3＋6) n mile/hD ．20(6－3) n mile/h 答案 B解析在△MNS 中，∠SMN ＝45°，∠MNS ＝105°，∠MSN ＝30°，于是MNsin30°＝20sin105°，解得MN ＝10(6－2)(n mile)．故所求货轮的速度为106－212，即20(6－2)(n mile/h)12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725B ．－725C ．±725D.2425答案 A解析在△ABC 中，由正弦定理，得b sin B ＝csin C.∴sin C sin B ＝c b ，∴sin2B sin B ＝85，cos B ＝45. ∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．已知在△ABC 中，7sin A ＝8sin B ＝13sin C ，则C 的度数为________．答案 120°解析由a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及7sin A ＝8sin B ＝13sin C，得a ∶b ∶c ＝7∶8∶13.设a ＝7k ，b ＝8k ，c ＝13k (k >0)，则有cos C ＝k2＋k 2－k22×7k ×8k＝－12.又∵0°<C <180°，∴C ＝120°.14．在△ABC 中，已知D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.答案 2＋ 5 解析如图，设AB ＝k ，则AC ＝2k . 再设BD ＝x ，则DC ＝2x . 在△ABD 中，由余弦定理，得k 2＝x 2＋2－2·x ·2·(－22)＝x 2＋2＋2x .① 在△ADC 中，由余弦定理，得 2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ，即k 2＝2x 2＋1－2x .②由①②得x 2－4x －1＝0，解得x ＝2＋5(负值舍去)．故BD ＝2＋ 5.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B＝2，则A 的大小为________．答案π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝2，∴sin(π4＋B )＝1.又∵0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12. 又∵a <b ，∴A <B .∴A ＝π6.16．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，给出下列结论： ①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532.其中正确结论的序号是________．答案 ②③解析由(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，可设a ＝7k ，b ＝5k ，c ＝3k (k >0)，a ，b ，c 随着k 的变化而变化，可知结论①错误．∵cos A ＝k2＋k 2－k22×5k ×3k<0，∴结论②正确．∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3， ∴结论③正确．∵cos A ＝－12，sin A ＝32，若b ＋c ＝8，不妨设b ＝5，c ＝3，a ＝7，则S △ABC ＝1534，∴结论④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)解答下列各题：(1)在△ABC 中，已知C ＝45°，A ＝60°，b ＝2，求此三角形最小边的长及a 与B 的值； (2)在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝120°，b ＝5，求C 及a 与c 的值．解析 (1)∵A ＝60°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝75°. ∴C <A <B .∴c <a <b ，即c 边最小．由正弦定理可得a ＝b sin A sin B ＝2sin60°sin75°＝32－6， c ＝b sin C sin B ＝2sin45°sin75°＝23－2.综上可知，最小边c 的长为23－2，a ＝32－6，B ＝75°. (2)∵A ＝30°，B ＝120°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝30°. ∴A ＝C .∴a ＝c . 由正弦定理可得a ＝b sin A sin B ＝5sin30°sin120°＝533. 综上可知，C ＝30°，a ＝c ＝533. 18．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析 (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或b ＝2 6.故⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.19．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解析 (1)由题意结合正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22.又B 为三角形的内角，因此B ＝45°. (2)由于sin A ＝sin(30°＋45°) ＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64. 故a ＝b sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6.20．(12分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a ＝2c sin A . (1)求角C 的值；(2)若c ＝7，且S △ABC ＝332，求a ＋b 的值．解析 (1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a c ＝2sin A 3＝sin Asin C .∵sin A ≠0，∴sin C ＝32. 又∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.(2)方法一 c ＝7，C ＝π3，由面积公式，得12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①由余弦定理，得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③ 将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5. 方法二前同方法一，联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，ab ＝6⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13，ab ＝6，消去b 并整理得a 4－13a 2＋36＝0，解得a 2＝4或a 2＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2.故a ＋b ＝5.21．(12分)已知△ABC 的面积是30，其内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，且cos A＝1213. (1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．解析由cos A ＝1213，得sin A ＝1－12132＝513. 又∵12bc sin A ＝30，∴bc ＝156.(1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×(1－1213)＝25.又∵a >0，∴a ＝5.22．(12分)(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解析 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )．所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429.由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝223. 因为a ＝c ，所以A 为锐角．所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.。

人教课标版高中数学必修5《解三角形》章末总结

人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习知识梳理1.正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理：（1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr (S=2cb a ++,r 为内切圆半径)=R abc 4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2BA +,sin 2C =cos 2BA ……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ，再求b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C.(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B bsin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =Bbsin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A>90° A=90° A<90° a>b 一解一解一解 a=b无解无解一解a<ba>bsinA 两解无解无解 a=bsinA 一解a<bsinA无解9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角． 2．余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．例1．.（2011江西卷17）．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，23a =，tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c例2．.（2009北京理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==。

(完整word版)高中数学必修五第一章解三角形章末测试(人教A版必修5)

答案： B4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）高中数学必修五第一章解三角形章末测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的） 1 .在△ ABC 中，已知 a = 3, b = 4, c^ ^.,13，则角 C 为（） A . 90 ° B . 60° C . 45° D . 30° 解析：根据余弦定理： -a 2+ b 2— c 2 32 + 42_锁2 1 C0S C = —20b — = —2 X 3X 4 = 2， ••C = 60 °答案： B2.在△ ABC 中，a = 5, b = 15, A = 30°，贝U c 等于（A . 2 ,5 B. ,5C . 2 .5或,5D .以上都不对解析：由于 sin B = bsin A =¥，故 B = 60 或 120 °a 2当 B = 60 时，C = 90 时，c = 30 ° = a 2+ b 2= 2 ,5; 当 B = 120 时，C = 30 °, c = a=^5.答案： C 3.已知三角形的两边长分别为 4,5，它们夹角的余弦是方程三边长是（） A. 20 C. 22 B. .21 D. .61 解析：设长为4,5的两边的夹角为 0, 1 由 2X 2 + 3X — 2= 0 得：X = 或 X = — 2（舍）. ••cos 0= 2, 第三边长为 + 52 — 2 X 4X 5 X 2= 21.2X 2+ 3x — 2 = 0的根，则第A . a = 1, b = 2, c = 3B . a = 1, b =玄2, A = 30 °C . a = 1, b = 2, A = 100 °D . b = c = 1, B = 45 °解析： A : a + b = 3= c ,不能构成三角形；B : bsin A<a<b ，故有两解.C : a<b ,故A 应为锐角，而已知 A = 100 °,故不能构成三角形.D : b = c = 1,故△ABC 为等腰三角形， •°C = B = 45 °, —A = 90；故只有一解.答案： D5.在△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,若 a 2 + b 2= c 2+ ab ,贝V C =( )A . 60°B . 120°C . 45°D . 30°解析：由余弦定理得又v C € （0 ； 180 ）••C = 60 :答案： A6 .在△ ABC 中，若 a 2 + b 2- c 2<0，则△ ABC 是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .都有可能解析：由余弦定理，得cos C = " +"-* <0.2ab所以C 为钝角.于是△ ABC 为钝角三角形.答案： C7.在△ ABC 中，sin A : sin B : sin C = 3 : 2 : 4，贝U cos C 的值为（）解析：由正弦定理及 sin A : sin B : sin C = 3 ： 2 ： 4 知，a : b : c = 3 ： 2 ： 4，令 a =3xC .D.4a 2+b 2-c 2cos C =ab 12ab2ab —2则b= 2x, c= 4x（x>0）,3x 2+ 2x 2— 4x 212X 3x X 2x =— 4.答案： C&在△ ABC 中，A = 60 ° AB = 2，且△ ABC 的面积 S ABC =专，则边BC 的长为( )A. . 3 B . 3 C. 7D . 71解析：由 S = 2AB x AC x Sin A 得 AC = 1由余弦定理得 BC 2 = AB 2 + AC 2 — 2AB x AC X cos A=22 + 12— 2X 2X 1 X cos 60 =°•'BC = ,3,故选 A.答案： A取值范围是( )A . (— 2,2)B . (0,2)C . ( 2,3)D . (.2, 2)b sin B sin 2A•a =而==2cos A ，B = 2A<90 °又•△k BC 是锐角三角形，•,A + 2A>90 °” _ _••30 °A<45 ° 则 b= 2cos A € ^[2, 需). a答案： C10. 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东 60方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达 B 处时，发现北偏西45。

人教新课标版数学高二-人教A版必修5第一章解三角形章末综合能力测试

答案：2
16．在锐角△ABC中，若BC＝1，B＝2A，则的值等于________，AC的取值范围为________．
解析：由正弦定理得＝，即＝ .∴ ＝2.∵△ABC是锐角三角形，∴0<A< ，0<2A< ，0<π－3A< ，解得 <A< .由AC＝2cosA得AC的取值范围为( ， )．
答案：2( ， )
C．在x轴下方D．与x轴交于两点
解析：(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(2bccosA)2－4b2c2＝4b2c2(cos2A－1)．
∵0<∠A< ，
∴cos2A－1<0.
∴(b2＋c2－a2)2－4b2c2<0，即抛物线开口向上与x轴没有交点．
答案：B
10．在△ABC中，三个角满足2A＝B＋C，且最大边与最小边分别是方程3x2－27x＋32＝0的两根，则△ABC的外接圆的面积是()
解得cosC＝，
故sinC＝ .
根据余弦定理有cosC＝＝，
ab＝a2＋b2－7，
3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，
ab＝6.
所以S＝ absinC＝ ×6× ＝ .
答案：A
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝ a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为()
∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形．
答案：D
4．在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2 －cos2C＝，且a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为()
A. B.
C. D.
解析：因为4sin2 －cos2C＝，
所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，

高中数学第一章解三角形章末测试新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题

解三角形(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则( ) A ．A ≥B B ．A >B C ．A <B D ．A 、B 大小不定2．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( )A ．1<c <3B ．2<c <3 C.5<c <3 D ．22<c <33．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213，且c －b ＝1，bc ＝156，则a 的值为( )A ．3B ．5C ．2 6D ．44．在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，角B 所对的边长b ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．4 5．在△ABC 中，已知b ＝a sin C ，c ＝a cosB ，则对△ABC 的形状描述最确切的是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 6．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010 B.105 C.31010 D.557．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，则角B 的大小为( ) A ．150° B ．30°C ．120°D ．60°8．在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B.13或37 C.37 D.13 9．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝m ∶(m ＋1)∶2m ，则m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(12，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞)10．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥y D ．x ＞y11．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b .若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( )A.π4B.π6C.π3D.π1212．海岛B 上有一座海拔1千米的山，山顶A 处设有观察站，上午11时测得一轮船在岛北偏东60°处，俯视角30°，11时10分又测得轮船在岛北偏西60°处，俯视角60°，则该轮船的速度为( )A ．239千米/小时 B.393千米/小时 C.10393千米/小时 D.396千米/小时二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝523，A ＝π4，则cos 2B ＝________．14.如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为________．15．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，△ABC 的面积S △ABC ＝6，BC ＝4，则△ABC 的周长为________．16．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________ km.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝2，S △ABC ＝3，求第三边c 的长．18．(本小题满分12分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．19.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2，2sin A ＝sin C 时，求b 和c 的长．20．(本小题满分12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．21.(本小题满分12分)在△ABC 中，a 3＋b 3－c 3a ＋b －c ＝c 2，sin A sin B ＝34，试判断△ABC 的形状．22.(本小题满分12分)某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？(2≈1.414，3≈1.732)参考答案与解析1．【解析】选B.sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B .2．【解析】选C.c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4cos C ＝5－4cos C ，因为c 为最大边，所以π2<C <π，－1<cos C <0，所以5<5－4cos C <9，即5<c <3.3．[导学号99570024] 【解析】选B.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc －2bc cos A ＝1＋2×156－2×156×1213＝25，所以a ＝5.4．【解析】选B.据正弦定理将角化边得a ＝3c ，再由余弦定理得c 2＋(3c )2－23c 2cos30°＝4，解得c ＝2，故S △ABC ＝12×2×23×sin 30°＝ 3.5．【解析】选D.因为c ＝a cos B ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－b 22c，所以2c 2＝a 2＋c 2－b 2，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝90°.又因为b ＝a sin C ＝a sin(90°－B )＝a cos B ＝c ，所以△ABC 是等腰直角三角形．6．【解析】选C.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5，所以AC ＝5，由正弦定理，得ACsin B ＝BC sin A ，即5sinπ4＝3sin A，所以sin ∠BAC ＝31010.7．【解析】选A.由sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C 及正弦定理可得b 2－c 2－a 2＝3ac ，即得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32，所以B ＝150°，故应选A.8．【解析】选D.由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC＝32，因为△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13，所以BC ＝13，故选D.9．【解析】选B.根据正弦定理得：a ∶b ∶c ＝m ∶(m ＋1)∶2m ，令a ＝mk ，b ＝(m ＋1)k ，c ＝2mk (k ＞0)，则：⎩⎪⎨⎪⎧mk ＋（m ＋1）k ＞2mk ，mk ＋2mk ＞（m ＋1）k ，（m ＋1）k ＋2mk ＞mk ，解得m ＞12，故选B.10．【解析】选D.A ＋B ＞π2，所以cos(A ＋B )＜cos π2＝0，即cos A cos B －sin A sin B＜0，所以x ＞y ，故应选D.11．【解析】选B.因为a cos C ＋32c ＝b ，所以 sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc ，联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝1×121＝12，因为b ＜c ，所以B ＜C ，则B ＝π6，故选B. 12．【解析】选A.如图所示，已知AB ＝1，∠ADB ＝60°，∠ACB ＝30°，由此可解得BC ＝3，BD ＝33，∠CBD ＝120°，从而CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠CBD ＝393，船速为393×6＝239(千米/小时)，故应选A. 13．【解析】由正弦定理得sin B ＝523sin π45＝13，所以cos 2B ＝1－2sin 2B ＝1－2×(13)2＝79. 【答案】7914．【解析】在△ADC 中，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，所以cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝－12，所以∠ADC ＝120°，所以∠ADB ＝60°，在△ABD 中，AD ＝5，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，所以AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，所以AB ＝562.【答案】56215．【解析】据已知得AB →·AC →＝bc cos A ＝9，S △ABC ＝12bc sin A ＝6，两式相除可得sin A cos A ＝43，则⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos A ＝43，sin 2A ＋cos 2A ＝1⇒cos A ＝35，故bc ＝15.又由余弦定理可得b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －18＝16，解得b ＋c ＝8，因此三角形ABC 的周长为b＋c ＋4＝12.【答案】12 16．【解析】如图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2， ∠ABC ＝150°. 由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地距离为7 km.【答案】717．【解】因为S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3.又a ＝23，b ＝2，所以12×23×2sin C ＝3，sin C ＝12，于是cos C ＝32或cos C ＝－32. 当cos C ＝32时，由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝(23)2＋22－2×23×2×32＝4，所以c ＝2. 当cos C ＝－32时，由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝(23)2＋22－2×23×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝28，所以c ＝27，故第三边c 的长为2或27.18．【解】设我艇追上走私船所需最短时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知(14t )2＝(10t )2＋122－2×12×10t cos 120°，所以t ＝2(t ＝－34舍去)．故我艇追上走私船所需要的最短时间为2小时． 19．【解】(1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，得sin 2C ＝58.又C ∈(0，π)，得sin C ＞0，所以sin C ＝104. (2)当a ＝2，2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由(1)得cos 2C ＝1－sin 2C ＝38，所以cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或b ＝26，所以⎩⎨⎧b ＝6c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.20．【解】(1)证明：因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B ，即a ·a2R ＝b ·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，所以a ＝b . 所以△ABC 为等腰三角形． (2)由题意知m·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. 所以a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0. 所以ab ＝4(舍去ab ＝－1)，所以S △ABC ＝12ab sin C＝12×4×sin π3＝ 3. 21．【解】由a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2⇒a 3＋b 3－c 3＝(a ＋b －c )c 2⇒a 3＋b 3－c 2(a ＋b )＝0⇒(a ＋b )(a2＋b 2－ab －c 2)＝0.因为a ＋b ＞0，所以a 2＋b 2－c 2－ab ＝0.①由余弦定理①式可化为a 2＋b 2－(a 2＋b 2－2ab cos C )－ab ＝0，得cos C ＝12.又0°＜C ＜180°，得C ＝60°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin 60°，得sin A ＝a sin 60°c， sin B ＝b sin 60°c ，所以sin A sin B ＝ab （sin 60°）2c 2＝34，所以ab c2＝1，即ab ＝c 2. 将ab ＝c 2代入①式得a 2＋b 2－2ab ＝0，即(a －b )2＝0，a ＝b .所以△ABC 是等边三角形． 22．【解】(1)在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7，②由∠C ＝∠D ，得cos C ＝cos D ，解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米．(2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD ＞AC ·BC ，所以S △ABD ＞S △ABC .故选择△ABC 建筑环境标志费用较低．因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形，∠D ＝60°. 故S △ABC ＝12AC ·BC sin C ＝103，所以总造价为5 000×103＝50 0003≈86 600(元)．。

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