勾股定理的应用3
直角三角形的勾股定理应用
直角三角形的勾股定理应用一、勾股定理的定义与记忆•勾股定理是指直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。
•勾股定理的数学表达式为：a² + b² = c²，其中c为斜边，a和b为直角边。
二、勾股定理的证明•证明方法有多种，如几何拼贴法、代数法、欧几里得证法等。
三、勾股定理的应用1.计算直角三角形的未知边长•已知两个直角边长，可求斜边长。
•已知斜边长和一个直角边长，可求另一个直角边长。
2.计算直角三角形的面积•直角三角形的面积等于两个直角边长的乘积除以2，即S = (ab)/2。
3.判断一个三角形是否为直角三角形•若一个三角形的三边满足a² + b² = c²，则该三角形为直角三角形。
4.在坐标系中求直角三角形的边长和面积•在直角坐标系中，若一个直角三角形的顶点坐标为(a, b)、(c, d)和(e,f)，可利用距离公式求出各边长，进而判断是否为直角三角形。
四、勾股定理在实际生活中的应用1.测量身高和距离•当目测一个人的身高和其影子的长度时，可利用勾股定理求出实际身高。
2.测量建筑物的高度•在地面上测量建筑物底部到顶部影子的长度和建筑物底部的宽度，利用勾股定理求出建筑物的高度。
3.求解物体在空中的飞行轨迹•利用勾股定理求解物体在抛射运动中的飞行距离和落地位置。
五、拓展知识1.勾股定理的推广•勾股定理不仅适用于直角三角形，还适用于非直角三角形，即一般三角形的余弦定理。
2.勾股定理的应用领域•勾股定理在工程、物理、数学等领域都有广泛的应用。
3.相关数学问题•例如，求解直角三角形中的角度、求解三角形的面积等。
知识点：__________以上是对直角三角形的勾股定理应用的详细知识归纳，希望能帮助您更好地理解和掌握这一重要定理。
习题及方法：1.习题：已知直角三角形两个直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长。
答案：斜边长= √(3² + 4²) = 5cm解题思路：直接应用勾股定理，计算斜边长。
勾股定理的应用
勾股定理的应用勾股定理作为数学中著名的定理之一，广泛应用于各个领域。
它是数学中的基础定理之一，也是几何学中三角形研究的重要工具。
本文将从几个应用角度介绍勾股定理在实际生活中的运用。
一、建筑工程中的应用勾股定理在建筑工程中有着广泛的应用。
举个例子，我们在修建某一斜坡时，需要确定其坡度，勾股定理可以帮助我们准确计算出坡度。
此外，在设计斜面道路、楼梯等结构时，勾股定理也能帮助我们确保结构的稳定与安全。
二、航海导航中的应用在航海导航中，勾股定理被广泛用于测量船只的航向和航速。
通过测量船只相对于岸上两个点的距离，结合勾股定理可以计算出船只的位移和速度，为航海者提供准确的导航信息。
三、地理测量中的应用在地理测量中，勾股定理被用于测量两个相隔较远的地点之间的距离。
通过在地面上进行三角测量，即测量两个点与另一个点的夹角以及距离，再利用勾股定理求解，可以得到精确的距离数据，为地理测量和地图绘制提供重要支持。
四、天文学中的应用在天文学中，勾股定理被用于测量遥远星体之间的距离和角度。
天文学家通过观测星体的位置和角度，结合勾股定理的计算方法，可以确定天体的距离和大小，进而推断宇宙的形态和结构。
五、计算机图形学中的应用计算机图形学中，勾股定理被广泛应用于图形处理和渲染。
图形引擎通过勾股定理来计算线段的长度、图形的形状和倾斜度等信息，为计算机生成的图像提供基础数学支持。
综上所述，勾股定理作为数学中一项重要的基础定理，在实际生活中有着广泛的应用。
它在建筑工程、航海导航、地理测量、天文学和计算机图形学等领域中都起着重要的作用。
通过勾股定理的运用，我们可以提高工作效率，确保工程安全，促进科学发展。
因此，深入理解和应用勾股定理对我们的日常生活和社会发展都具有重要意义。
14.2勾股定理的应用3
14.2章勾股定理的应用（3）
教学目标：
１.在运用勾股定理时，要看图形是不是直角三角形。
２.要学会根据题意画出草图，构建直角三角形。
３.考虑问题要全面，不要漏了某些情况。
复习导学：
请说出勾股定理的性质和判定的内容。
前面我们已经学习了最短路程的求法，这节课我们将再研究一些勾股定理的其它应用。
问题研讨：
一、网格问题：
1、如图，正方形网格中，每个小正方形的
边长为1，则网格上的△ABC三边的大小关
系？
2、如图，小方格都是边长为1的正方形，
求四边形ＡＢＣD的面积．
二、面积问题：
1、如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
2.如图，在四边形ABCD中，∠B=900
AB=BC=4,CD=6,AD=2，
求四边形ABCD的面积。
三、折叠问题：
1、矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？
2、如图，在矩形ABCD中，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，AB＝8cm，CE=3cm，求BF的长度。
3、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
课堂小结：
和同学们交流一下这节课你学到了什么？
课堂作业：
课本60页，练习第１题，
课本62页，复习题第１题。
课后反思：。
勾股定理在实际中的应用
勾股定理是解决直角三角形问题 的基础，可以用于计算直角三角 形的角度、边长等。
勾股定理在解决几何问题中的应用
利用勾股定理可以解决一些与直角三 角形相关的几何问题，例如计算三角 形的面积、求解三角形的边长等。
在实际生活中，勾股定理可以用于建 筑、航海、航空等领域，例如计算建 筑物的稳定性、船舶的航行轨迹等。
勾股定理可以用于确定物体在三维空 间中的运动轨迹，例如计算抛物线、 椭圆等轨迹的参数。
在建筑和工程领域，勾股定理可以用 于分析结构的稳定性，例如计算梁的 弯曲程度、柱子的承载能力等。
求解碰撞问题
在碰撞力学中，勾股定理可以用于计 算碰撞后物体的速度和方向，以及能 量损失等。
勾股定理在光学中的应用
折射定律
04 勾股定理在日常生活中的 应用
建筑学中的勾股定理应用
确定建筑物的垂直度
01
利用勾股定理可以计算出建筑物的垂直高度，以确保建筑物的
垂直度符合设计要求。
确定建筑物的稳定性
02
勾股定理可以用于计算建筑物在不同方向上的受力情况，以确
保建筑物的稳定性。
确定建筑物的安全性能
03
通过勾股定理可以计算出建筑物的承重能力，从而评估建筑物
勾股定理在地球物理学中的应用
地形测量
地球物理学家利用勾股定 理进行地形测量，确定地 物的位置和高度，以及计 算两点之间的距离。
地震研究
在地震研究中，勾股定理 用于分析地震波的传播路 径和速度，以了解地球内 部结构和地质构造。
海洋学研究
在海洋学研究中，勾股定 理用于测量海床和海水的 深度，以及研究海洋环流 和潮汐现象。
勾股定理在实际中的应用
目 录
• 引言 • 勾股定理在几何学中的应用 • 勾股定理在物理学中的应用 • 勾股定理在日常生活中的应用 • 勾股定理在现代科技中的应用
勾股定理的实际测量应用
勾股定理的实际测量应用勾股定理是一条数学定理，描述了直角三角形中边长之间的关系。
在实际测量中，勾股定理被广泛应用于各种领域，包括建筑、地理测量、导航和天文学等。
本文将探讨勾股定理在实际测量中的应用，并介绍一些相关案例。
1. 地理测量在地理测量中，勾股定理被用于测量地面的距离和高度。
例如，当我们需要测量一个山峰的高度时，可以利用勾股定理计算斜边和水平距离之间的关系。
通过测量斜边和水平距离，我们可以确定山峰的高度。
类似地，在航空测量中，通过测量飞机和地面上两个点的距离和角度，可以使用勾股定理计算出高度差。
2. 建筑在建筑领域，勾股定理常用于测量建筑物的水平和垂直距离。
例如，在建造一座大楼时，工程师可以利用勾股定理计算建筑的高度和斜边之间的关系。
通过这些测量，工程师可以确保建筑物的各个方面都符合设计要求。
3. 导航勾股定理在导航中也有广泛应用。
当我们使用地图和指南针导航时，可以利用勾股定理计算出两个点之间的直线距离。
这在航海、飞行和汽车导航等领域都非常有用。
此外，当我们需要确定一个目标的方位角时，也可以利用勾股定理计算出相对方位的关系。
4. 天文学在天文学中，勾股定理被用于测量星体之间的距离和角度。
通过测量星体的视差和角度，可以使用勾股定理计算它们的真实距离。
这对于研究星系和宇宙的结构非常重要。
总结：勾股定理作为一条基本的数学定理，被广泛应用于实际测量中。
无论是地理测量、建筑、导航还是天文学，勾股定理都发挥着重要的作用。
它不仅帮助我们测量距离、高度和角度，还为各个领域的科学研究提供了重要的数学工具。
在未来，勾股定理的应用将继续推动科学技术的发展，帮助我们更好地理解和利用世界的各个方面。
直角三角形的勾股定理应用
直角三角形的勾股定理应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度。
直角三角形的勾股定理是三角学中一个重要的定理，它描述了直角三角形的边之间的关系。
勾股定理的应用广泛，涉及到许多实际问题的求解，如测量距离、解决航行问题以及建筑设计等。
本文将探讨勾股定理的应用。
1. 测量距离在测量距离时，勾股定理可以帮助我们计算两点之间的直线距离。
假设我们要测量一个山谷的宽度，可以在山谷两侧的位置选择两个测量点，构成一个直角三角形。
然后，使用勾股定理计算斜边的长度，即山谷的宽度。
这种方法可以很好地应用于实地测量和地图测量等领域。
2. 解决航行问题勾股定理在航行和导航中也有广泛的应用。
例如，当船只从一个港口航行到另一个港口时，可以使用勾股定理计算两个港口之间的直线距离。
这样的计算对于规划航程、估计燃料消耗以及导航目标的定位都非常重要。
勾股定理的应用使航行更具可行性和准确性。
3. 建筑设计在建筑设计中，勾股定理被广泛应用于测量和规划。
以建筑设计中的角度和长度为基础，可以使用勾股定理计算建筑物的高度、宽度和斜面的倾斜角度。
此外，勾股定理还可以用来计算建筑物之间的距离，以及建筑物的位置和方向。
4. 解决几何问题勾股定理在解决几何问题时也非常有用。
例如，在平面几何中，我们经常需要计算直角三角形的边长或角度。
根据勾股定理，知道两个边的长度，我们可以计算出第三边的长度。
此外，勾股定理还可以帮助我们计算直角三角形中的角度，如求解一个角的正弦、余弦或正切值。
5. 物理应用勾股定理在物理学中也有着重要的应用。
例如，在力学中，勾股定理可以用来计算力的合成或分解。
根据勾股定理，我们可以计算合成力的大小和方向，以及将一个力分解为两个分力的大小和方向。
这对于研究质点平衡以及分析物体受力情况非常有用。
总结：直角三角形的勾股定理是一个广泛应用于各个领域的重要定理。
它不仅可以用于测量距离、解决航行问题和建筑设计，还可以用于解决几何问题和物理应用。
3 勾股定理的应用
目 录
01 新知梳理 02 当堂反馈
1. 如图①，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的半径为3cm.在圆柱下 底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点 A 相对的点 B 处的食 物，求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程.根据“两点之间， 线段 最
短”可知，最短路程是这个圆柱的侧面展开图（图②）中 AB 的
长，也就是以12cm， 9 cm为直角边长的直角三角形的斜边长，等 于 15 cm（π取整数3）.
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2. 当我们只有刻度尺时，要检验一个角是否为直角，可以以这个角构造 一个三角形，量出这个三角形的三边长分别为 a ， b ， c （ c 最大），再 计算并检验 a2， b2， c2之间的关系是否满足 a2＋ b2＝ c2 ，就能判断
第2题
A. 2000m
B. 3000m
C. 4000m
D. 5000m
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3. 有一根长为33cm的木棒（粗细忽略不计）和一个长、宽、高分别为 24cm，18cm，16cm的木箱，这根木棒理论上 能 （填“能”或“不 能”）放进木箱.
1234
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4. 一只螳螂在一段圆柱形树干的点 A 处，发现它的正上方点 B
处有一只虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按
如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它.已知树干横截面的周长
为20cm， A ， B 两点之间的距离为15cm.若螳螂想吃掉点 B 处的 第4题 小虫子，求螳螂绕行的最短路径长. 解：如图，把这段圆柱形树干的侧面展开，则
展开图中 AB 的长即为所求的最短路径长，其
这个三角形是否为直角三角形.
三角形的勾股定理及其应用
三角形的勾股定理及其应用在几何学中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。
这一定理被广泛应用于解决与三角形有关的数学问题和实际应用中。
本文将介绍勾股定理的背景、推导过程及其应用。
1. 勾股定理的背景勾股定理最早出现在古代中国和古希腊的数学文献中。
据史载，中国的《周髀算经》是最早提出并应用勾股定理的文献之一。
希腊数学家毕达哥拉斯也被后世誉为勾股定理的创立者。
这些数学家通过实际测量和几何推理，发现了直角三角形中一条直角边的平方等于其他两条边平方的和的关系。
2. 勾股定理的推导勾股定理的推导可以分为几种不同的方法，下面我们将介绍其中一种常见的方法。
假设在直角三角形ABC中，角C为直角，边AB为直角边，边AC和BC分别为直角边的另外两条边。
根据三角形的性质，我们可以得到以下等式：（1）△ABC的面积为：S₁ = 1/2 * AB * AC（2）△ABC由AB和AC为两条边所构成，故S₁可由AB和AC的长度表示。
（3）同理，由△ABC的直角边AB和BC，可以得到△ABC的面积表示为：S₂ = 1/2 * AB * BC。
根据（2）和（3），我们可以得到以下等式：S₁ = S₂1/2 * AB * AC = 1/2 * AB * BCAC = BC根据等式AC = BC，我们可以推导出：AC² = BC²由于三角形中两条直角边的关系，我们也可以得到：AB² = AC² + BC²因此，勾股定理得到表达：AB² = AC² + BC²3. 勾股定理的应用勾股定理的应用非常广泛。
下面介绍几个常见的应用场景。
（1）求解直角三角形的边长勾股定理可以帮助我们求解直角三角形的边长。
通过已知的两条边，我们可以利用勾股定理求解第三条边的长度。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以使用勾股定理计算出斜边的长度为5。
勾股定理生活中的应用
勾股定理生活中的应用
勾股定理是数学中的一条重要定理，它在生活中有着广泛的应用。
勾股定理是
指直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个简单的公式在我们的日常生活中有着很多实际的应用。
首先，勾股定理在建筑设计中起着重要作用。
在设计房屋或其他建筑物时，建
筑师需要使用勾股定理来计算房屋的结构和角度。
这有助于确保建筑物的结构稳固，同时也能够确保建筑物的外观符合设计要求。
其次，勾股定理在地理测量中也有着重要的应用。
地理学家和测量员们经常使
用勾股定理来计算地球上不同地点之间的距离和角度。
这有助于我们更好地理解地球的形状和大小，同时也能够帮助我们更准确地进行地图绘制和导航。
此外，勾股定理在工程领域也有着广泛的应用。
工程师们经常使用勾股定理来
计算机械设备的角度和距离，以确保设备能够正常运行并且安全稳定。
这对于工程项目的顺利进行至关重要。
最后，勾股定理还在日常生活中有着一些小小的应用。
比如在装修房屋时，我
们可能需要使用勾股定理来确保墙角的垂直度；在购买家具时，我们可能需要使用勾股定理来计算家具的尺寸和摆放位置。
总之，勾股定理在我们的生活中有着广泛的应用，它不仅帮助我们更好地理解
世界，同时也为我们的生活和工作提供了便利。
因此，我们应该更加重视数学知识的学习，以便更好地应用数学知识解决实际问题。
勾股定理的应用
勾股定理的应用勾股定理是数学中一条基本而重要的定理，也被广泛应用于各个领域。
它描述了直角三角形中三条边之间的关系，为计算直角三角形中未知边长、角度等提供了有效的工具。
本文将探讨勾股定理在几个实际问题中的应用。
一、建筑与测量1.地量测绘勾股定理的应用在地量测绘中非常广泛。
测量一个区域的边长和角度时，可以利用勾股定理来计算直角边的长度。
例如，测量一个房屋的原型，通过测量两个直角边的长度，可以用勾股定理计算出斜边的长度，从而得到房屋的真实尺寸。
2.建筑设计勾股定理在建筑设计中也有重要的应用。
设计师可以根据建筑的具体需求，利用勾股定理计算出建筑物各个部分的长度和角度。
例如，在设计一个大厦的楼梯时，可以根据勾股定理计算出楼梯的长度和高度，以保证楼梯的坡度合理。
二、物理学中的应用1.力学在力学中，勾股定理可以用来求解物体的速度和加速度。
例如，需要计算一个物体在竖直上抛运动中的速度和加速度时，可以利用勾股定理计算出物体在水平方向和竖直方向的速度分量，从而得到物体的总速度。
2.光学在光学中，勾股定理被广泛应用于光的折射和反射问题中。
光的折射定律和反射定律可以通过利用勾股定理推导得出。
例如，在设计光学系统时，可以利用勾股定理计算出光线的折射角度和反射角度，以确定光线的传播路径。
三、电子技术中的应用1.电路设计在电子技术中，勾股定理可以用于计算电路中的电阻、电流和电压之间的关系。
例如，在设计一个交流电路时，可以利用勾股定理计算出电阻和电流之间的关系，从而确定电路的工作状态。
2.无线通信在无线通信技术中，勾股定理被用来计算信号的传播距离和路径损耗。
例如，在设计一个无线网络时，可以利用勾股定理计算信号的传播距离和路径损耗，从而确定网络的覆盖范围和信号强度。
总结：勾股定理作为一条基本的数学定理，在各个领域都有广泛的应用。
无论是在建筑测量、物理学还是电子技术中，勾股定理都发挥着重要的作用。
通过合理地应用勾股定理，我们可以解决各种实际问题，提高工作效率和准确性。
勾股定理及其应用
勾股定理及其应用勾股定理是中国古代数学的一大发明，也是数学中最基础、最重要的定理之一。
它描述了直角三角形中三边的关系，被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
本文将介绍勾股定理的原理以及它在实际问题中的应用。
一、勾股定理的原理勾股定理可以用数学公式表示为：在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，根据勾股定理可以得出以下公式：a² + b² = c²这个公式是勾股定理的基本表达式，它是通过对直角三角形的三边进行数学推导得出的。
二、勾股定理的应用1. 解决几何问题勾股定理在几何学中有广泛的应用。
例如，可以通过已知直角边的长度来计算斜边的长度，或者通过已知斜边和一个直角边的长度来计算另一个直角边的长度。
通过勾股定理，我们可以解决诸如直角三角形的边长计算、角度计算等几何问题，对于建筑设计、地理测量等领域都有重要意义。
2. 测量地理距离在地理学中，我们often需要计算地球表面上两点之间的直线距离。
由于地球是球状的，所以实际距离不能直接通过直线距离计算得出。
但是在较小的地理范围内（例如一个城市、一个国家等），可以将地球表面近似为平面，这样就可以使用勾股定理来计算两点之间的近似直线距离。
3. 解决物理问题勾股定理也在物理学中得到了广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以通过勾股定理计算一个斜面上物体的重力分量和斜面的角度之间的关系；在光学中，勾股定理可以用来计算光的传输路径和折射角度等。
4. 三角函数的应用勾股定理与三角函数之间存在紧密的关系。
通过勾股定理，我们可以定义正弦、余弦和正切等三角函数。
这些三角函数在科学计算、电子工程、信号处理等领域中有广泛的应用，例如在无线通信中，计算机图形学中，音频信号处理中等。
总结：勾股定理作为数学中的重要定理，不仅仅是理论的产物，更是实践中的有力工具。
它的应用广泛涉及到几何学、物理学、工程学等多个领域。
勾股定理的应用(3种题型)
第03讲勾股定理的应用（3种题型）【知识梳理】一．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．二．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．【考点剖析】题型一．勾股定理的实际应用例1．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是() A．8m B．5m C．9m D．7m【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是()A．8m B．10m C．12m D．15m例2．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【变式】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．题型二．平面展开-最短路径问题例3．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm例4．一个上底和下底都是等边三角形的盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240cm，M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)题型三：勾股定理中的折叠问题例5．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1B．43C．32D．2【变式】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知3CE cm=，8AB cm=，求图中阴影部分的面积．【过关检测】一．选择题1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．0.8米B．2米C．2.2米D．2.7米4．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．1305．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是cm．（π取3）6．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．7．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为．8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB ＝10，BC＝4，求AC的长．9．如图，一架25米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B离墙AO有7米．（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？11．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：尺）原处还有多高的竹子？（1丈1012．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？13．（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．14．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC ＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB＝1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B 1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．。
勾股定理的应用3
6
10
1 2
8
A
3
6
c
练习3:
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5 米、2.2米，那么，能进入电梯内的竹竿的最 大长度大约是多少米？
2.2米 1.5米
1.5米
A
2.2米
x
1.5米 1.5米 1.5米
2.2米
1.5米
C
x
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
17 的点吗？试一试！
扩展
利用勾股定理作出长为 的线段.
2, 3, 5
用同样的方法，你能否 在数轴上画出表示 1 2
3 4
5 ，…
1 1
2
3
4
5
用同样的方法，你能 否在数轴上画出示1 04
1
5
，…
2
3
1 2 32 5 3
4
5
问题2: 练习1:
A
5 蚂蚁从A点经B到C点的最少要爬了多少厘米？ 4 G 3
A1 D A a D1 B1
A1
b
D1
a
C1 c C
A1
ac
A
a
A1
B1
c c a
b b B
a 2 b 2 c 2 2bc 最小
从A1到C的最短路径是
a (b c )
2
2
A1 2
D1
29 4
D1 B1 C1 1 C
D
5 41 A
a
4
A1
37
B1
c 1 4
2 b B
如果长方形的长、宽、高分别是a、b、c（a＞b＞c）， 你能求出蚂蚁从顶点A1到C的最短路径吗？
勾股定理的应用
详细描述
在计算机图形学中，勾股定理被用于计算两点之间的距 离，以实现图形的测量和比较。同时，勾股定理还可以 用于计算角度和面积，以实现图形的旋转、缩放和平移 等变换。此外，勾股定理在三维图形学中也被用于计算 深度和阴影等效果，以提高图形的真实感和立体感。
案例三：利用勾股定理解决物理学中的问题
总结词
THANK YOU
风险管理
在衡量投资组合的风险时，利用勾股定理可以计算投资组合的波动率， 从而更好地评估和降低投资风险。
03
估值模型
基于勾股定理的估值模型可以更准确地评估公司的价值，尤其是在考虑
公司未来的增长率和折现率时。
利用勾股定理在环境科学中的应用
地理信息系统（GIS）
在环境科学领域，勾股定理被广泛应用于地理信息系统中，以帮助 研究人员更好地了解地球表面形态、地形地貌以及植被分布等信息 。
利用勾股定理解决实际问题
01
02
03
建筑学
在建筑设计中，勾股定理 被用来确定角度、长度等 参数，以确保建筑物的稳 定性和美观。
航空航天
在航空航天领域，勾股定 理被用来计算飞行器的路 径、高度等，以确保飞行 器的安全和高效。
地理学
在地理学中，勾股定理被 用来确定两点之间的距离 、高度差等，以便更好地 了解地球的形状和大小。
空间计量经济学
空间计量经济学是研究空间自相关和空间异质性的学科，利用勾股定理可以更好地理解和 分析空间数据的结构和特征。
人类行为研究
在研究人类行为和社会现象时，利用勾股定理可以帮助解释人类行为和决策的背后逻辑， 例如人类的迁移、聚集和社会分层等现象。
05
勾股定理的应用前景 与挑战
勾股定理的应用前景
勾股定理的八大应用
勾股定理的八大应用
1. 测量直角三角形边长和角度：勾股定理可以用来确定直角三角形的斜边长，也可以用来计算两侧的直角边的长度。
它还可以用来计算三角形角度。
2. 计算斜率和距离：勾股定理可以用来计算误差，比如在工程学中，测量仪器的精度可以通过勾股定理来检验。
3. 计算面积和体积：勾股定理可以用来计算任意形状的物体的表面积和体积。
4. 面对三角形和圆形的圆角问题，勾股定理可以帮助我们解决。
5. 在游泳、篮球和足球比赛中，勾股定理可以帮助我们预测运动员的最终目标。
6. 在数学中，勾股定理是三角函数的基础，可以用来证明一些三角函数的恒等式。
7. 勾股定理可以用来推导其他数学和物理方程的解，如波动方程。
8. 勾股定理也可以用于解决实际问题，例如构建建筑物或在电路中设计电路。
勾股定理的计算方法利用勾股数列进行推导
勾股定理的计算方法利用勾股数列进行推导勾股定理是数学中的一条基本定理，它描述了直角三角形中三个边的关系。
在数学中，勾股数列是特殊的整数数列，可以用于推导和计算勾股定理。
本文将介绍勾股数列的由来、性质以及利用勾股数列进行勾股定理的推导和计算方法。
一、勾股数列的由来和性质勾股数列最早由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，其定义为满足勾股定理关系的整数数列。
即在三个自然数a、b、c中，如果满足a² + b² = c²，那么a、b、c就构成了勾股数列。
勾股数列具有以下性质：1. 互素性：勾股数列中的任意两个数a、b互质。
这是因为如果a、b有公约数d，那么d也将是c的公约数，与a、b、c构成勾股数列的条件矛盾。
2. 奇偶性：勾股数列中的两个奇数构成一组，一个偶数和一个奇数构成一组。
这是因为一个完全平方数（即n²）的奇偶性只与n的奇偶性相同，而完全平方数是勾股数列中的必要存在。
二、勾股数列的推导和计算方法根据勾股数列的定义，我们可以通过一些数学方法进行勾股定理的推导和计算。
下面将介绍几种常见的计算方法。
1. 欧几里德求法：欧几里德求法是根据勾股数列的互素性质，通过求解不定方程a² + b² = c²来计算勾股数。
这种方法适用于寻找较小的勾股数。
2. 辗转相除法求法：辗转相除法求法是利用勾股数列的奇偶性质，通过逐个遍历奇数来寻找勾股数。
这种方法适用于寻找较大的勾股数。
3. 比例法求法：比例法求法是利用已知的勾股数，通过求比例关系来计算其他勾股数。
例如已知3、4、5是勾股数列，可以利用比例关系来计算其他勾股数，如6、8、10。
三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是数学中的一条基本定理，还有广泛的应用。
以下是一些勾股定理的应用领域：1. 圆的直径和半径的关系：在圆的几何学中，根据勾股定理可以推导出直径和半径的关系，即直径等于半径的两倍。
2. 三角函数关系：由勾股定理可以得到三角函数中的正弦、余弦、正切等函数之间的关系，这是三角学中的重要内容。
数学：16.3《勾股定理的应用》课件3(冀教版八年级上)
娘已进入古稀之年。她忙碌了大半辈子，该歇歇脚，该安享晚年了，我们最大的心愿就是希望老人家健康长寿。因为老人家的健康长寿就是我们最大的幸福。现在，我们全家和和 睦睦，其乐融融，多好哇！我们要有滋有味的活。好日子长着呢！好日子还在后头呢！翘首以盼，四世同堂近在咫尺。我们坚信，父母也一定能够享受到五世同堂的天伦之乐。祝 娘生日快乐！万寿无疆！同时祝爸身体健康！精神愉快！ 王景云 壬午年二月十四日
现在吃南瓜饭和上世纪六七十年代吃南瓜饭感觉是不一样的，过去吃南瓜饭是为了饱肚子活命，现在吃南瓜饭则是为了图新鲜、图均衡营养，过去的一碗南瓜饭可能会救一条人命， 现在的南瓜饭吃得再多很少有人会有深刻的印象。
Hale Waihona Puke 有其母必有其子。她的三个孩子都非常优秀。这不但是我们的血管里流淌着她殷红的鲜血，而且品格、气质甚至连处事为人的方式都与她酷似，这正是我们从小就受到了她潜移默 化地熏陶和影响。还值得一提的是，她很有福气，摊上了好媳妇和好女婿，大家都对老人家敬佩的五体投地。生活在这样一个温馨的家庭环境里，我们都感到非常幸福和骄傲。她 不会缠绵，从不会说：孩子，我爱你。我们也和她一样笨嘴笨舌，但是，我们会在和谐中交流感情信息。养儿方知父母恩。从我们对王玉、雪皎和素洁的宠爱与呵护，就可以真真 切切地感悟到，父母对我们的感情和希望。我们无论处在什么情况下、无论走得多远、无论年龄多大，最令人牵肠挂肚的，就是我们那身体状况不算很好、不善言表的老母亲。。
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3．若等腰三角形中相等的两边长 为10cm,第三边长为16 cm,那么第 三边上的高为 ( D) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD 证明：过A作AE⊥BC于E D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) ∵AB=AC，∴BE=CE
B
E
C
= DE2- BE2 = (DE+BE)· ( DE- BE) = (DE+CE)· ( DE- BE) =BD· CD
5、已知：数7和24，请你再写一个整数， 使这些数恰好是一个直角三角形三边的长， 25 则这个数可以是——
6、一个直角三角形的三边长是不大于１ 24 ０的三个连续偶数，则它的周长是—— ——
G F
D A C
H
B1
F
B3
G
B2
A
C
D
1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？ 2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？
试一试： 在我国古代数学著作 《九章算术》中记载了一道 有趣的问题，这个问题的意 思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形，在 水池的中央有一根新生的芦 苇，它高出水面1尺，如果把 这根芦苇垂直拉向岸边，它 的顶端恰好到达岸边的水面， 请问这个水池的深度和这根 芦苇的长度各是多少？
7 .观察下列表格：
猜想 列举
3、4、5 5、12、13 7、24、25
……
32=4+5 52=12+13 72=24+25
……
13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 即b= 84 ，c= 85
9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？
D C
B
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； / 昆明安定医院 ；
确定每天等待着马开の消息/想要知道马开今天又有什么惊天骇地の消息传出来/ 它们没有失望/确定抪确定听到马开和壹些声名显赫の人交手/有时候/听到马开和三佫准宗王境交手全身而退/ 这壹佫佫消息传出来/让众人咋舌/因为每壹佫消息传出来/马开の实力好像又有长进/ 这种疯狂の提升/让它们 难以置信/ "天啊/真の要逆天咯/" 众人到听到壹佫消息后/它们为之惊恐/发出咯这样壹佫感叹/而这些消息确定/// 为咯（正文第壹二七八部分马开威势） 第壹二七九部分达到五尘境 第壹二七九部分 而这佫消息就确定/// 三佫准宗王境围攻马开/马开居然杀咯出去/并且重创咯其中壹佫/ 这佫消息 壹度让人疯狂咯/这太过震撼咯/让人难以置信/这太强咯/真の可以逆天/ 三佫准宗王境何其恐怖/马开居然能重创壹佫离开/它の实力比起和张立壹战/强の抪确定壹点两点/ 这佫消息带起咯壹阵风暴/席卷四方/无数人为马开震动/觉得这确定壹佫传奇人物/觉得当世年少才俊没有谁能出其左右/ 能到法 则境战三佫准宗王境重创壹佫离开/这样已经颠覆咯它们の认知/ "此刻马开多强咯?每壹次交手/传出の消息都要强过之前/" 很多人疯狂/把马开当做偶像/觉得壹佫人能活到这种程度/此生无悔咯/ "它之前才四尘境/但每壹战都变强/此刻应该达到五尘咯/太快咯/距离斩杀张立才短短壹佫月の时间/就达 到咯这种地步/它如果索性妖孽/步入咯六尘境/甚至达到法则境巅峰都好/可要确定只确定五尘境/这未免就太过恐怖咯/确定啊/才五尘境就这样强大/要确定再给它/壹/本/读/袅说xs成长の空间/达到六尘境/甚至气尘境会多强/ "真要逆天咯也说抪定/到时候准宗王境甚至都抪可能确定它对手咯/啧啧/要 确定达到法则境巅峰/岂抪确定敢和宗王境叫板/ 众人都咋舌/马开带给它们の震撼太多/完全消化抪咯/ 而正如它们猜测の那样/马开确实达到咯五尘境/这段时间被这些老壹辈强者磨练/自身又借助着雨雾圣液和各种天材地宝/实力飙升/突破到五尘境/ 也正确定因为达到这佫境界/马开和三佫准宗王境 交手/借着自身所学/借机重创咯对方壹佫/ 但到这三佫准宗王境の围攻下/它也付出咯极为惨烈の代价/身上伤痕累累/连锻炼到极强境界の肉身都被贯穿咯几处/ 马开同样遭受到重创/只抪过达到它这佫层次/没有致命の重创/就抪会有太大の危险/ 三佫准宗王境の围攻太过恐怖/特别确定到它们施展领 域之后/更确定让马开举步维艰/要抪确定有本命圣术天帝圣拳轰碎它们の领域/马开真の要到它们の攻击下饮恨/ 但即使如此/它借着狐山秘法/蛊惑咯其中壹佫准宗王境/这才借着圣王枪重创咯其中壹佫/借着瞬风诀离开咯三人の围攻/拖着惨烈伤痕累累の身体离开/ 它抪知道自己の这壹场战意多么轰动 /引得无数修行者为此议论纷纷/此刻の马开/离开之后/动用许多疗伤圣药/努力の恢复/ 因为它知道/打绿色头颅の修行者越来越多/这些都确定步入宗王境无望の人/这确定它们唯壹の机会/所以抪管壹切都扑向咯它/ 马开唯有保持全盛时期才能对抗它们/此刻遭受重创/要抪早点恢复/危险万分/ 也幸好 马开有着瞬风诀/平常修行者都难以追上它/虽然时抪时の被人找出来/但马开借助瞬风诀/嫌少有人能追上拦住它/ 到这种变退边战の修养中/马开の伤势也缓缓の修复/自身の实力又有增长/ 巫体诀确定壹门战斗の炼体秘术/越战越勇/同样修行の也越来越深/到战斗中/马开の肉身到抪断の提升/法烙印 到身体中/和血液交融/渗透到骨髓中/马开の身体都要化作法和道/ 马开の身体变强/和元灵共振/也提升着马开の境界/两者相互交合/让马开受益匪浅/ 马开の天赋自然抪用说/每壹次战斗/都有新の感悟/这些感悟缓缓の汇聚/引得马开蜕变/借着雨雾圣液这样の宝物/真の确定壹日千里/ 短短壹周の时 间/马开の重创就彻底の修复/这展现出马开肉身の强悍/ 身体几处被贯穿/要确定别の修行者/就算确定宗王境都抪可能好の这么快/但马开身具巫体诀/恢复起来算の上神速/ 巫族当年也震撼天地/战力无穷/其肉身の自我修复能力自然抪用说/修行咯其圣术の马开/自然也具备咯这种能力/ 有修行者听说 马开被重创/它们大肆搜寻马开/想要借着这佫机会把马开解决/ 当见到马开时/它们大喜过望/觉得这确定它们の机会/ 可马开壹出手/这些人都惊恐咯/难以置信马开这么快就彻底恢复咯/战斗力比起之前还强/几佫修行者直接被马开斩杀/身上の器物被马开剥夺/马开再次强势の出现到众人の视线中/ 马 开很强势/壹路横推而去/要报它被重创の仇/ 马开の这壹路强势/直到又有三佫准宗王境合力出手/这才挡咯下来/ 三佫准宗王境见到马开/什么都没有说/直接动用领域/它们知道/面前这佫少年真の很强/壹般の招式它们已经难以抵挡咯/唯有借助它们独有の领域才能有优势/ 着对方领域覆盖它而来/马 开叹息咯壹声/终究还确定退走/没有和对方死战/ 它无惧这些人/但也抪想真の被它们算计/这三人它们抪怕/但问题还有抪少强者到围杀它/要确定被这三人拖住/很有可能碰到大麻烦/ 准宗王境确实很强/单打独斗马开都抪能保证百分百必胜/因为这样の存到确实有和它交手の资格/确定它の劲敌/对方 の领域/唯有它の本命圣术才能破开/这给很大の压力/ "五尘境还确定太弱咯/要确定达到六尘境/面对准宗王境就没有多少压力咯/破开它们の领域/也抪会这样吃力/" 马开嘀咕咯几声/想要尽快把自己の实力推到六尘境/只要达到六尘境/准宗王境它根本无惧/到时候自己完全能到它们面前稳占上风/而 抪像此刻壹样/面对它们要袅心翼翼/壹佫抪袅心就会被它们震杀/ "六尘境/再次蜕变壹次就能达到咯/" 马开也觉得头疼/要确定有时间沉淀下来修行/它步入这佫境界抪成问题/可现到确定这些人到处追杀它/难以让它真正の停下来/无法全身心の突破自身/再次蜕变/ 为咯（正文第壹二七九部分达到五 尘境） 第壹二八零部分确定你们 壹路而行/凶险无数/很多奢望冲入到宗王境の都出手咯/为夺取马开の绿色头颅抪折手段/ 到之前/壹佫法则境の强者都让人为之惊动/世人敬畏成神/可确定谁能想到/情域中居然隐藏咯这么多强者/抪管确定准宗王境和法则境巅峰の老壹辈强者/都数抪过来咯/ 这佫时 候/很多人才明白世上の强者无数/远抪确定它们想象の那样/很多身名显赫の法则境人物/都忍抪住叹息/ 它们当年横走天下/觉得到世间算壹佫人物/但此刻才发现/它们能有这样の名气/都确定那些强者未曾出世の缘故/ 此刻对马开出手の人物/谁抪强过它们? "情域都有着如此多隐世强者/别域就更抪 用说咯/" 众人咋舌/觉得它们根本抪咯解情域/既然有准宗王境/那自然也肯定有隐居突破到宗王境の人物/此刻未曾出现/确定没有吸引它们の东西/要确定出现壹件东西/能让它们都难以保持平静/那等人物怕也如现到壹样/雨后春笋壹样涌现抪断/ 当然/它们也为马开惊讶/到这么多强者の围攻下/马开 依旧安全/到它们の各种手段下都全身而退/这让抪少人咋舌/心想这佫少年真抪确定它们能想象の/ %壹%本%读%袅说 xs雨后春笋の强者满天下追杀马开/就为咯马开手中の绿色头颅/期待步入宗王境/ 马开壹路攻伐而去/磨练自身/感觉到自身の蜕变/只确定没有时间利用雨雾圣液咯/这让它十分憋屈/ 要确定能壹路战过去/又有时间动用雨雾圣液/冲击六尘境有望/ "马开/此刻你还往哪里逃/" 马开和壹佫修行者交手/避开对方/远遁而走/可没有跨越多远の距离/马开又被三佫修行者挡住/ "确定你们/马开着这三人也微微壹愣/这三人抪确定别人/正确定当初围攻它の三佫准宗王境/自己利用手段重创咯 对方壹佫/但确定没有想到对方这么快就追上来咯/最让它惊讶の确定/被它重创の修行者居然彻底恢复/精气神十分饱满/ 仇人相见/分外眼红/特别确定被马开重创过の准宗王境/着马开更确定阴森/就确定因为马开/它动用咯存用许久の壹颗丹药/这颗丹药它原本准备突破到宗王境の时候动用/可现到只 能提前咯/ 马开给予它の重创很严重/要确定正常修养の话/两佫月都抪见得能彻底恢复/更新最快最稳定)它只想着杀咯马开/所以