【学习课件】第五节全微分方程
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高等数学上册第五节 函数的微分及其应用优秀课件
y y f(x)
y
当y x时，
记
yx dx 称x为自变量的微分, 记作 d x
o
x0
x
x0 x
则有 dyf(x)dx
从而 dy f (x) dx
导数也叫作微商
©
例1 设 y x3, 求当 x 0 1, x0.1及 x0.01
时，函数的增量和微分的值 . 解: 当 x 0 1 时，函数的增量
©
例3.设 y ex2 cos1 x
解:
，求 dy
d yco1d s(ex2)ex2d(c1 o)s
x
x
co s1e x2d( x2)e x2( sin1)d(1)
x
xx
ex2(2xcos11sin1)dx x x2 x
©
例4.设 y3x 32 x 31ln1x2arctanx, 求 dy
解:先化简
dy y scix o x n y s (s ) ix s n ix y n )(dx
例5. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1 ) d12 x(2 C) x d x
( 2 )d1s( int C) co td ts
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
当 f(x0)0时 , lim y lim y x 0 d y x0 f(x0)x 1 limy 1 f(x0)x0x
《全微分及其应用》课件
全微分的充要条件以及性质
全微分的存在与函数的偏导数连续性相关， 具有一些重要性质。
求解全微分
1
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束最优化问题的方法，也可以用于求解全微 分的相关问题。
2
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本公式，用于计算全微分。
应用
工程问题中的应用
全微分在工程领域中有广泛的应用，如优化设 计、控制系统等。
统计学中的应用
全微分在统计学中有重要的应用，如数据拟合、 回归分析等。
总结
全微分在实际中的重要性
全微分是解决实际问题的数学工具，对于 许多ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ域的研究与应用具有重要意义。
进一步探究的方向
全微分是一个广阔而深奥的领域，可以有 更多的研究和应用方向值得深入探索。
《全微分及其应用》PPT 课件
全微分及其应用是一门重要的数学课程，本PPT课件将介绍全微分的定义、性 质、求解方法以及实际应用，帮助您深入了解这一概念。
引言
全微分是微积分中的核心概念之一，在许多应用领域中起着重要作用。本节将介绍全微分的定义 以及相关概念，并为后续内容打下基础。
性质
几何意义
全微分对应着曲面的切平面，具有重要的 几何意义。
《高数全微分方程》课件
求解方法和应用
回顾全微分方程的不同求解方法，并强调它 们在数学和科学领域中的广泛应用。
重要性
强调全微分方程在实际问题中的重要性，以 及进一步学习和应用的必要性。
参考资料
在这一部分中，我们推荐相关教材和参考资料，以供进一步学习和深入研究。 总计token数量为340。
在本节中，我们将探讨全微分方程的物理意义和应用实例。
全微分方程的物理意义
解释全微分方程在物理领域中的应用，例如电分 析和化学反应动力学。
应用举例
通过具体案例介绍全微分方程在实际问题中的应 用，包括数学建模和工程问题。
源自文库
总结
在这一部分中，我们将总结全微分方程的求解方法和应用，并强调它们在实际问题中的重要性。
求解全微分方程
在本节中，我们将介绍三种方法来求解全微分方程。
1
方法一：求解常微分方程
利用已知的常微分方程解法，结合全微分方程的性质，进行求解。
2
方法二：变量分离法
利用变量分离法将全微分方程转化为常微分方程，并求解。
3
方法三：积分因子法
介绍积分因子法的原理和步骤，并应用于求解全微分方程。
全微分方程的应用
《高数全微分方程》PPT 课件
# 高数全微分方程 PPT课件
这是一份关于《高数全微分方程》的PPT课件，旨在向大家介绍微分方程的概 念、求解方法和应用。让我们一起探索微分方程的神奇世界吧！
高数-全微分方程
∂P ∂Q = −1 ≠ =1 ∂y ∂x
1 y xdy − ydx , 知 x 2 是一个积分因子。 是一个积分因子。 解 由d = 2 x x 1 将方程两端同乘以 2 ，则化为全微分方程 x xdy − ydx y = 0 即 d = 0 x x2 y 于是原方程的通解为： = C ，即 y = C x 。 于是原方程的通解为： x 1 1 注 一般来说，积分因子并不是唯一的。 例2 中, y 2 、 都是 一般来说，积分因子并不是唯一的。 xy
O
• • •
T
θ
ρg s x
∵ tan θ = y ' ,
又由弧长公式 s =
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∫
x
0
1 + y' 2 dx
1 x ∴ y ′ = ∫ 1 + y' 2 dx a 0 应满足的微分方程为: 于是 ，y= y(x) 应满足的微分方程为
1 y" = a
= a , y'
x =0
1 + y' 2 （*） ）
= 0.
(n ) 一般地， 的方程，只要连续积分n 一般地，形如 y = f ( x ) 的方程，只要连续积分 次，即可 求得通解。 求得通解。
10
型的微分方程( 二 、y" = f ( x , y' ) 型的微分方程(不显含 y ) 令 y ' = p ( x ), 则 y" = p'. 对应的微分方程 就成为一个关于变量 x、p 的一阶微分方程
数值分析5─微分方程ppt课件
49
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四阶rungekutta方法推导数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解线性多步法数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解一阶常微分方程组的数值解法数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解高阶初值问题的求解以三阶为例数值分析常微分方程数值解二阶边值问题的求解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解数值分析常微分方程数值解
地址：北京学院路29号 教三楼315
电话：010－82322022 邮件：cbz@cugb.edu.cn 主页：www.chu-shi.com
数值分析
（常微分方程数值解）
褚宝增
数值分析─常微分方程数值解
一阶初值问题的数值解法
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数值分析
（常微分方程数值解）
褚宝增
数值分析─常微分方程数值解
一阶初值问题的数值解法
全微分方程
13
三、一阶微分方程小结
一阶微分方程
分离变量法 常数变易法 全微分方程
14
习题 12 5
P285
1(1 )( 3 )( 5 )( 7 ), 2 (1 )( 3 )( 5 ), 4
15
思考题
方程
2x y
3
dx
y 3x
2
2
y
4
dy 0
是否为全微分方程？
16
思考题解答
2x 6x 3 4 , y y y y P
一、全微分方程及其求法
1.定义: 若有全微分形式
du( x , y ) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
则 P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
例如
xdx ydy 0 ,
全微分方程 或恰当方程
1 2 (x
2
u( x , y)
y ),
即
d
1 2
x
2
d
1 2
y x
0, 或 d
2
y x
0
故原方程的通解为
x
y x
C
5
例3
求方程( x 3 xy )dx ( y 3 x y )dy 0
3 2 3 2
的通解.
三、一阶微分方程小结
一阶微分方程
分离变量法 常数变易法 全微分方程
14
习题 12 5
P285
1(1 )( 3 )( 5 )( 7 ), 2 (1 )( 3 )( 5 ), 4
15
思考题
方程
2x y
3
dx
y 3x
2
2
y
4
dy 0
是否为全微分方程？
16
思考题解答
2x 6x 3 4 , y y y y P
一、全微分方程及其求法
1.定义: 若有全微分形式
du( x , y ) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
则 P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
例如
xdx ydy 0 ,
全微分方程 或恰当方程
1 2 (x
2
u( x , y)
y ),
即
d
1 2
x
2
d
1 2
y x
0, 或 d
2
y x
0
故原方程的通解为
x
y x
C
5
例3
求方程( x 3 xy )dx ( y 3 x y )dy 0
3 2 3 2
的通解.
多元函数第五节高等数学同济七版
du u dx u dy u dz. x y z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例 1 计算函数z e xy 在点(2,1) 处的全微分.
解 z ye xy , z xe xy ,
x
y
z e2 , z 2e2 ,
x (2,1)
y (2,1)
所求全微分 dz e2dx 2e2dy.
例 3 计算函数u x sin y e yz 的全微分. 2
解 u 1, x
u 1 cos y ze yz , y 2 2
u ye yz , z
所求全微分
du dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
例4 要造一个无盖的圆柱形水槽，其内径为2 米，高为4米，厚度均为0.01米,求需用材 料多少立方米?
2、若u ln( x 2 y 2 z 2 ),则
du _____________________________.
3、若函数z y ,当x 2, y 1 ,x 0.1, y 0.2 时, x
函数的全增量z _______;全微分dz ________.
4、若 函 数 z xy x , 则 z对x 的 偏 增 量 y
x z ___________;lim x z ______________. x0 x
二、求函数z ln(1 x 2 y 2 ) 当x 1, y 2时的全微分.
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例 1 计算函数z e xy 在点(2,1) 处的全微分.
解 z ye xy , z xe xy ,
x
y
z e2 , z 2e2 ,
x (2,1)
y (2,1)
所求全微分 dz e2dx 2e2dy.
例 3 计算函数u x sin y e yz 的全微分. 2
解 u 1, x
u 1 cos y ze yz , y 2 2
u ye yz , z
所求全微分
du dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
例4 要造一个无盖的圆柱形水槽，其内径为2 米，高为4米，厚度均为0.01米,求需用材 料多少立方米?
2、若u ln( x 2 y 2 z 2 ),则
du _____________________________.
3、若函数z y ,当x 2, y 1 ,x 0.1, y 0.2 时, x
函数的全增量z _______;全微分dz ________.
4、若 函 数 z xy x , 则 z对x 的 偏 增 量 y
x z ___________;lim x z ______________. x0 x
二、求函数z ln(1 x 2 y 2 ) 当x 1, y 2时的全微分.
《微分方程 》课件
详细描述
微分方程被广泛应用于各个领域，如物理中的牛顿第二定律、工程中的控制系统、经济中的供需关系 、生物中的种群增长等。通过建立和解决微分方程，我们可以更好地理解和预测各种实际问题的变化 过程。
02
一阶微分方程
一阶线性微分方程
定义
01
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)的一阶方程称为一阶线性微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
详细描述
微分方程是数学中的一种基本工具， 用于描述各种实际问题的变化过程。 它通过将函数及其导数（即微分）表 示为一个等式，来描述数学模型中变 量之间的动态关系。
一阶常系数线性微分方程
定义
形如y'+py=q(x)y' + py = q(x)y'+py=q(x)的一阶方程，其中p和 q是常数。
求解方法
通过解特征方程，得到通解。
应用
描述物理、工程、经济等领域的模型，特别是当系统具有线性特性 时。
03
微分方程被广泛应用于各个领域，如物理中的牛顿第二定律、工程中的控制系统、经济中的供需关系 、生物中的种群增长等。通过建立和解决微分方程，我们可以更好地理解和预测各种实际问题的变化 过程。
02
一阶微分方程
一阶线性微分方程
定义
01
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)的一阶方程称为一阶线性微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
详细描述
微分方程是数学中的一种基本工具， 用于描述各种实际问题的变化过程。 它通过将函数及其导数（即微分）表 示为一个等式，来描述数学模型中变 量之间的动态关系。
一阶常系数线性微分方程
定义
形如y'+py=q(x)y' + py = q(x)y'+py=q(x)的一阶方程，其中p和 q是常数。
求解方法
通过解特征方程，得到通解。
应用
描述物理、工程、经济等领域的模型，特别是当系统具有线性特性 时。
03
第五讲：全微分方程
成为全微分方程,则称 ( x, y ) 为(1)的积分 因子.
显然，若μ (x,y)≠ 0,则（1）与（2）同解。
问题: 如何求方程的积分因子?
10
我们用反推的办法来求积分因子
( M ) ( N ) , （2）为全微分方程 y x M N M N y y x x
19
一题多解：
dy x2 x3 y 的通解. 例6 求微分方程 dx 1 x
解1
dy 1 2 y x , 整理得 dx 1 x
C . A 常数变易法: 对应齐方通解 y 1 x 3 4 x x C ( x) 设 y . C ( x) C . 3 4 1 x
2 3
21
u 2 3 x x y, C 不定积分法: x 3 4 x x ( x 2 x 3 y )dx xy C ( y ), 3 4 u u x C ( y ), 又 1 x, y y
x C ( y ) 1 x , C ( y ) 1,
3
例1 求解微分方程 2 xydx ( x2 y 2 )dy 0.
我们通过观察寻找方程的一个原函数。
左端 2 xydx x 2 dy y 2 dy ydx 2 x 2 dy y 2 dy 1 1 d ( x 2 y) d ( y 3 ) d ( x 2 y y 3 ). 3 3
显然，若μ (x,y)≠ 0,则（1）与（2）同解。
问题: 如何求方程的积分因子?
10
我们用反推的办法来求积分因子
( M ) ( N ) , （2）为全微分方程 y x M N M N y y x x
19
一题多解：
dy x2 x3 y 的通解. 例6 求微分方程 dx 1 x
解1
dy 1 2 y x , 整理得 dx 1 x
C . A 常数变易法: 对应齐方通解 y 1 x 3 4 x x C ( x) 设 y . C ( x) C . 3 4 1 x
2 3
21
u 2 3 x x y, C 不定积分法: x 3 4 x x ( x 2 x 3 y )dx xy C ( y ), 3 4 u u x C ( y ), 又 1 x, y y
x C ( y ) 1 x , C ( y ) 1,
3
例1 求解微分方程 2 xydx ( x2 y 2 )dy 0.
我们通过观察寻找方程的一个原函数。
左端 2 xydx x 2 dy y 2 dy ydx 2 x 2 dy y 2 dy 1 1 d ( x 2 y) d ( y 3 ) d ( x 2 y y 3 ). 3 3
全微分方程
全微分方程 P Q . y x
2
2.解法:
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 为全微分方程
(1)应用曲线积分与路径无关.
P Q y x
x
y
通解为 u( x, y) x0 P( x, y)d x y0 Q( x0 , y)dy
y
x
y0 Q( x, y)dy x0 P( x, y0 )d x,
0
0
x5 3 x2 y2 x y3 1 y3
2
3
y (x, y)
因此方程的通解为
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
2
3
o (x,0) x
4
例2.
求解
(
x
y x2
)d
x
1 x
d
y
0
解:
因为
P y
1 x2
Q x
,
所以这是一个全微分方程
.
用凑微分法求通解. 将方程写为
x
d
x
x
d
y x2
0
y 3dy
x4 3 x2 y2 y4 ,
42
4
原方程的通解为 x4 3 x2 y2 y4 C .
42
百度文库
4
6
一、全微分方程及其求法
1.定义: 若有全微分形式
2
2.解法:
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 为全微分方程
(1)应用曲线积分与路径无关.
P Q y x
x
y
通解为 u( x, y) x0 P( x, y)d x y0 Q( x0 , y)dy
y
x
y0 Q( x, y)dy x0 P( x, y0 )d x,
0
0
x5 3 x2 y2 x y3 1 y3
2
3
y (x, y)
因此方程的通解为
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
2
3
o (x,0) x
4
例2.
求解
(
x
y x2
)d
x
1 x
d
y
0
解:
因为
P y
1 x2
Q x
,
所以这是一个全微分方程
.
用凑微分法求通解. 将方程写为
x
d
x
x
d
y x2
0
y 3dy
x4 3 x2 y2 y4 ,
42
4
原方程的通解为 x4 3 x2 y2 y4 C .
42
百度文库
4
6
一、全微分方程及其求法
1.定义: 若有全微分形式
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
次方程 $y' + P(x)y = 0$ 的通解，然后将通解中的常数变为函数，通过
求导和代入原方程求解。
02
常数变易法的步骤
设齐次方程的通解为 $y = Ce^{-int P(x)dx}$，其中 $C$ 为常数。将
$C$ 变为 $x$ 的函数 $u(x)$，得到 $y = u(x)e^{-int P(x)dx}$，求导
曲线拟合问题
在实际问题中，经常需要将离散 的数据点拟合成一条光滑的曲线 ，一阶线性方程全微分方程提供 了有效的解决方法。
在物理问题中的应用
运动学问题
在物理学中，物体的运动轨迹往往可 以用微分方程来描述，一阶线性方程 全微分方程可以求解物体的运动速度 和位移等问题。
力学问题
力学中的许多问题，如弹簧振子、阻 尼振动等，都可以通过一阶线性方程 全微分方程来求解和分析。
中的一个特定情况。
通解与特解的关系
通解包含了原方程所有可能的解， 而特解是通解在特定条件下的一 个特例。通过设定不同的初始条
件，可以得到不同的特解。
03 一阶线性方程全微分方程 的求解方法
变量可分离法
识别可分离变量的方程
形如 $y' = f(x)g(y)$ 的一阶微分方程，若 $f(x)$ 和 $g(y)$ 可分离，则可采用变量可分离法。
后代入原方程求解 $u(x)$。
《高数全微分方程》课件
全微分方程的分类
线性全微分方程
线性全微分方程是指方程中的未知函数及其导数都是一次的。
非线性全微分方程
非线性全微分方程是指方程中的未知函数及其导数都是非一次的。
全微分方程的应用场景
01
物理学
全微分方程在物理学中有广泛的 应用，如波动方程、热传导方程 等。
工程学
02
03
经济学
全微分方程在工程学中也有广泛 应用，如电路分析、流体动力学 等。
全微分方程在经济学中的应用
在经济学中，全微分方程常用于描述经济变 量的变化规律，例如，供需平衡方程、消费 函数等。
全微分方程在经济学中的应用还包括描述经 济系统的动态行为，例如，货币市场的动态
变化等。
THANKS FOR WATCHING
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详细描述
全微分方程可以表示曲线上任意一点处曲线在各个方向 上的弯曲程度的变化情况。通过求解全微分方程，可以 了解曲线的弯曲程度在各个方向上的变化情况，从而更 好地理解曲线的几何特性。
05
全微分方程的扩展知识
全微分方程与偏微分方程的联系
全微分方程是偏微分方程的特例，当偏微分方程中只有一个未知函数时，即为全微分方程。
参数方程法
总结词
参数方程法是通过引入参数，将全微分 方程转化为参数微分方程，然后求解参 数的微分，最后得到原全微分方程的解 。
第五节-全微分方程省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
6/19
1.公式法: (P) (Q) ,
y
x
P P Q Q 两边同除，
y y x x
Q ln P ln P Q 求解不轻易
x
y y x
特殊地:
a. 当只与x有关时; 0, d ,
y
x dx
7/19
d ln
dx
1 (P Q y
Q) x
f (x)
( x) e f ( x)dx .
（2 xy ln ydx x2dy) y2 1 y2dy 0,
易知 ( x, y) 1 ,
y
则 (2x ln ydx x2 dy) y 1 y2dy 0,
y
即d(x2
ln
y)
1 d(1
3
y2 )2
0.
可积组正当
原方程通解为
3 x2
ln
y
1 (1
3
y2 )2
C.
3
13/19
例6
x2 y3
)
d(
1 y
x2 y3
),
原方程通解为
1 y
x2 y3
C.
5/19
二、积分因子法
定义: ( x, y) 0连续可微函数，使方程
( x, y)P( x, y)dx ( x, y)Q( x, y)dy 0成为全
微分方程.则称 ( x, y)为方程的积分因子.
1.公式法: (P) (Q) ,
y
x
P P Q Q 两边同除，
y y x x
Q ln P ln P Q 求解不轻易
x
y y x
特殊地:
a. 当只与x有关时; 0, d ,
y
x dx
7/19
d ln
dx
1 (P Q y
Q) x
f (x)
( x) e f ( x)dx .
（2 xy ln ydx x2dy) y2 1 y2dy 0,
易知 ( x, y) 1 ,
y
则 (2x ln ydx x2 dy) y 1 y2dy 0,
y
即d(x2
ln
y)
1 d(1
3
y2 )2
0.
可积组正当
原方程通解为
3 x2
ln
y
1 (1
3
y2 )2
C.
3
13/19
例6
x2 y3
)
d(
1 y
x2 y3
),
原方程通解为
1 y
x2 y3
C.
5/19
二、积分因子法
定义: ( x, y) 0连续可微函数，使方程
( x, y)P( x, y)dx ( x, y)Q( x, y)dy 0成为全
微分方程.则称 ( x, y)为方程的积分因子.
全微分方程
其中为任意常数。 事实上，设是原方程的解，则有 即有 对积分得到 这表明满足方程(2)。 反之，设是函数方程(2)的解，即它是由(2)所确定的隐函数，则有 对微分得到 即 这表明满足方程(1)。
的判别与求解
①如何判别方程(1)为全微分方程，这个问题在数学内早有结论，即 方程(1)是全微分方程的充分必要条件是 在矩形域内成立。 ②如果已判定方程(1)为全微分方程，如何求出相应全微分的原函数，这个问题在数学分析中也已经得到解 决，最常用的方法是不定积分法。 因为所求的原函数适应方程组 首先由第一个式子出发，把看成参数，两边对积分，得 其中是的任意可微函数，而且要选择适当的，使满足第二个式子。为此，将其代入第二个等式得 即 两边对积分，即可得到，再代回之前的积分，即可得到。 但对于某些特殊的全微分方程，为了求出相应全微分的原函数，还可以采用相对简单的“分组凑全微分”的 方法，即把方程的左端各项进行重新组合，使每个组的原函数容易观察得出，从而可以写出。
定义
一阶显式方程 可以改写成关于和的对称形式
(1) 这种形式有时便于求解。这里和在某一矩形域内是的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。 如果存在一个二元函数使得该方程的左端恰好是它的全微分，即有 则称其为全微分方程（或恰当方程），而函数是的原函数。
的通积分形式
当方程是全微分方程时，它可写成，于是其通积分就是 (2)
全微分方程
的判别与求解
①如何判别方程(1)为全微分方程，这个问题在数学内早有结论，即 方程(1)是全微分方程的充分必要条件是 在矩形域内成立。 ②如果已判定方程(1)为全微分方程，如何求出相应全微分的原函数，这个问题在数学分析中也已经得到解 决，最常用的方法是不定积分法。 因为所求的原函数适应方程组 首先由第一个式子出发，把看成参数，两边对积分，得 其中是的任意可微函数，而且要选择适当的，使满足第二个式子。为此，将其代入第二个等式得 即 两边对积分，即可得到，再代回之前的积分，即可得到。 但对于某些特殊的全微分方程，为了求出相应全微分的原函数，还可以采用相对简单的“分组凑全微分”的 方法，即把方程的左端各项进行重新组合，使每个组的原函数容易观察得出，从而可以写出。
定义
一阶显式方程 可以改写成关于和的对称形式
(1) 这种形式有时便于求解。这里和在某一矩形域内是的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。 如果存在一个二元函数使得该方程的左端恰好是它的全微分，即有 则称其为全微分方程（或恰当方程），而函数是的原函数。
的通积分形式
当方程是全微分方程时，它可写成，于是其通积分就是 (2)
全微分方程
《高等数学之全微分》课件
《高等数学之全微分》 PPT课件
探索高等数学中的全微分的概念、定义、性质与应用，让你深入了解这一重 要的数学概念，并学会计算方法。让我们一起开始吧！
什么是全微分
全微分是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点上的线性逼近。
1 定义
全微分是函数在某一点上的一阶线性逼近。
2 性质
全微分是函数变化的最佳线性逼近。
点到点性质
全微分仅仅描述函数在某一 点上的性质。
全微分的应用
全微分在实际问题中有广泛的应用，帮助我们进行函数的近似计算和优化。
1
近似计算
利用全微分可以进行函数值的近似计算，方便解决复杂问题。
2
优化问题
全微分可以帮助我们找到函数的极值点，解决优化问题。
3
微分学习
全微分是进一步学习微分学的基础，为后续的数学知识奠定重要基础。
通过计算过程详细说明全微分的计算方法。
结论和要点
通过学习本课件，你将深入了解全微分的概念、定义、性质与应用，并学会全微分的计算方法。
1 概念与定义
2 性质和应用
理解全微分的概念和基本定义。
掌握全微分的性质和在实际问题中的应用。
3 计算方法
熟练掌握全微分的计算方法。
全微分的定义
全微分是多元函数的微分算子在某一点上的线性逼近。
微分算子
微分算子描述函数变化的矩阵运算。
探索高等数学中的全微分的概念、定义、性质与应用，让你深入了解这一重 要的数学概念，并学会计算方法。让我们一起开始吧！
什么是全微分
全微分是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点上的线性逼近。
1 定义
全微分是函数在某一点上的一阶线性逼近。
2 性质
全微分是函数变化的最佳线性逼近。
点到点性质
全微分仅仅描述函数在某一 点上的性质。
全微分的应用
全微分在实际问题中有广泛的应用，帮助我们进行函数的近似计算和优化。
1
近似计算
利用全微分可以进行函数值的近似计算，方便解决复杂问题。
2
优化问题
全微分可以帮助我们找到函数的极值点，解决优化问题。
3
微分学习
全微分是进一步学习微分学的基础，为后续的数学知识奠定重要基础。
通过计算过程详细说明全微分的计算方法。
结论和要点
通过学习本课件，你将深入了解全微分的概念、定义、性质与应用，并学会全微分的计算方法。
1 概念与定义
2 性质和应用
理解全微分的概念和基本定义。
掌握全微分的性质和在实际问题中的应用。
3 计算方法
熟练掌握全微分的计算方法。
全微分的定义
全微分是多元函数的微分算子在某一点上的线性逼近。
微分算子
微分算子描述函数变化的矩阵运算。
第05节 全微分方程
五、积分因子
∂P ∂Q ≠ 对于方程 Pdx＋Qdy = 0, 如果 ∂y ∂x
则它不是全 微分方程，但可能存在 µ ( x, y ) 微分方程， 使
µ Pdx + µQdy = 0
（6） ） 为积分因子。 积分因子。
成为全微分方程， 成为全微分方程，则称 全微分方程
µ
一般，积分因子是不容易求得的。 一般，积分因子是不容易求得的。 熟记下列常见的全微分式子将有助于求得积 分因子： 分因子：
1 2 1 2 其通解为： 其通解为： x + y = c 2 2
二、全微分方程的判定
怎样判断方程（ 是否为全微分方程？ 怎样判断方程（1）是否为全微分方程？ 定理： 定理：若 P ( x, y )、Q ( x, y ) 在单连通区域 内具 在单连通区域G内具 有一阶连续偏导数，则方程（1）为全微分方程 有一阶连续偏导数，则方程（ ） 的充要条件是：在区域 内 的充要条件是：在区域G内，有
∂P ∂Q = ∂y ∂x
（4） ）
恒成立， 恒成立， 且当条件（ ）满足时， 且当条件（4）满足时，有：
P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy 的一个原函数是： 的一个原函数是：
u ( x, y ) =
∫(
( x, y )
x ,y )
0 0
P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy
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