上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(PDF版,含难题解析)

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上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

复旦附中高二期中数学卷

一、填空题

1.已知向量(,1)a k =与(2,1)b k =+垂直，则实数k =________. 【答案】13

- 【解析】【分析】

根据向量垂直，得到数量积为0，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为向量(,1)a k =与(2,1)b k =+垂直，所以21310⋅=++=+=a b k k k ，解得13

k =-. 故答案为：13

【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型.

2.若矩阵()20210A x =， 10B y ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则AB =________.

【答案】()2021 【解析】【分析】

根据矩阵乘积的概念，可直接得出结果.

【详解】因为()20210A x =， 10B y ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，

所以()()20211002021=⨯+⨯+⨯=AB x y . 故答案为：()2021

【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，熟记概念与运算法则即可，属于基础题型.

3.行列式4

4112

---的元素3-的代数余子式的值为10，则(,8)a k =的模为________.

【答案】10

【分析】

先由题意，结合代数余子式的概念，得到21

2(1)2(2)11012

+-=-⨯-+⨯=-k

k ，求出6k =，

再由向量模的计算公式，即可得出结果.

【详解】因为行列式4

112

k ---的

元素3-的代数余子式的值为10，

所以21

2(1)

2(2)141012

+-=-⨯-+⨯=+=-k

k k ，解得6k =，

上海市周浦中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(学生版)

周浦中学高二期末数学试卷

一、填空题

1. 直线l 经过点(3,5)P -，且(1,2)n =是直线l 的一个法向量，则直线l 的一般式方程是________.

2. 若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____.

3. 直线32

y x =+被曲线212y x =截得的线段长为________. 4.

10y --=与-0

x ay =的夹角是6π，则实数a 的值为______． 5. 椭圆22

143

x y +=的右焦点到直线y =的距离为_____. 6. 已知P 是双曲线22

21(0)9

x y a a -=>右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=，设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点.若2||3=PF ，则1||PF =_____.

7. 设12F F 、是双曲线2244x y -=的两个焦点，P 在双曲线上，且120

PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=______ 8. 若直线l ：y x b =+与曲线C ：y =b 的取值范围是________ 9. 已知点()3,1，()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是________. 10. 已知P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为

．

11. 设n *∈N ，圆12222141:21041

n n n C x y x y n n +-+--++-=+面积为n S ，则lim n n S →∞=______ 12. 已知点P 在双曲线22

上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析

交大附中高二期中数学卷

一. 填空题

1.若(2,1)n =-r

是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）【答案】arctan 2 【解析】【分析】

根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tan k α=，即可求解直线的倾斜角。

【详解】由(2,1)n =-r

是直线l 的一个法向量，

所以可知直线l 的一个方向向量为(1,2)，直线l 的倾斜角为α，可得tan 2k α==，所以直线的

倾斜角为tan 2arc α=。故答案为：tan 2arc 。

【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的斜率与倾斜角的应用，其中解答中根据直线的方向向量求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题。 2.直角坐标平面xOy 中，若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ⋅=u u u r u u u r

，则点P 的轨迹方程是________

【答案】24x y += 【解析】【分析】

设点(,)P x y ，则(,)OP x y =u u u r ，由(1,2)A ，所以(1,2)OA =u u u r ，代入4OP OA ⋅=u u u r u u u r

，即可求解。【详解】设点(,)P x y ，则(,)OP x y =u u u r

，可得(1,2)OA =u u u r ，

因为4OP OA ⋅=u u u r u u u r

，所以(,)(1,2)24x y OP OA x y ⋅=⋅=+=u u u r u u u r ，即24x y +=，

上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)

选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．
选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C不能．
选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．
二.选择题
13.“ 且 ”是“圆与x轴相切” （）条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
分析】
将原方程化成标准方程，即可得到两条件之间的关系.
【详解】圆方程化为：
若且，则圆与x轴相切；
反之，圆与x轴相切，则且，为充要条件.
故选：C
【点睛】本题考查了充要条件，圆的一般方程，直线与圆的位置关系等知识点，考查了学生转化与划归，逻辑推理能力，属于中档题.
【详解】根据题意的圆心为：，
若直线与圆相切于，则有
故答案为：3
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
8.如图，中D在边BC上，且，E为AD的中点，记，，则 _________（用，线性组合表示）
【答案】
【解析】

上海市复兴高级中学2019年上学期高二数学12月考试卷附答案解析

10．若双曲线的渐近线方程为 y 3x ，它的一个焦点与抛物线 y2 4 10x 的焦点重合，则双曲线的
标准方程为
．
11．点 M 10, 0 到抛物线 y2 10x 上的点的距离的最小值为________
1
12．双曲线 x2 9
y2 16
1的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在双曲线上，且
3
y 2 3t y 2 3t
3t
3x y 2
被椭圆 E 截得的弦长相等.
对 C, kx y 1 0 与 y kx 1关于 y 轴对称,故被椭圆 E 截得的弦长相等.
对 D, kx y 1 0 与 y kx 1关于原点对称,故被椭圆 E 截得的弦长相等.
故选：A 【点睛】
本题主要考查直线关于原点或坐标轴对称的关系与椭圆的对称性,属于基础题型.
平分线恒过点 A0, 1 ，求实数 m 的取值范围．
3
21．已知抛物线： y2 2 px 上一点 M 3, m 到焦点的距离为 4，动直线 y kx k 0 交抛物线于
坐标原点 O 和点 A，交抛物线的准线于点 B，若动点 P 满足 OP BA ，动点 P 的轨迹 C 的方程为
焦点的距离转பைடு நூலகம்为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将 p 到

上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(学生版)

上海中学高二上期末数学试卷

一、填空题

1.若复数()1231i z i +=-，则z =______.

2.抛物线2y x =的准线方程为________．

3.椭圆2236x y +=的焦距是______.

4.已知复数a ，b 满足集合{}{}2

,,1a b a b -=+，则ab =______. 5.计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.

6.已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______.

7.已知P 为双曲线22

1x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.

8.平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．

过点)

M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______. 9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为______．

10.已知一族双曲线22:2019

n n E x y -=（*n N ∈，且2019n ≤），设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，点n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别为n B ，n C .记n n n A B C ∆的面积为n a ，则

2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第2章圆锥曲线(新文化与压轴30题专练)解析

第2章圆锥曲线（新文化与压轴30题专练）

一、单选题

1．（2021·上海·高二专题练习）开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与

恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处.从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T .根据开普勒第二定律，从P 开始经过4

时间，行星的位置可能在（）

A ．A 点处

B ．B 点处

C ．C 点处

D ．D 点处

【答案】A 【解析】

根据开普勒第二定律即可得【详解】

因为在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等，P 点到F 的距离较远，经过4

时间，1

4BPF

S S

椭圆，所以4

T 时间后未到B 点，可能在A 处

故选：A.

本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.

2．（2020·上海市进才中学高二期末）若直线y=x+b 与曲线3y =b 的取值范围是

A ．1,1⎡-+⎣

B ．1⎡-+⎣

C ．1⎡⎤-⎣⎦

D ．1⎡⎤⎣⎦

【答案】C 【详解】

试题分析：如图所示：曲线3y = （x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），表示以A （2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，

直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b 的距离等于半径2，

当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1

结合图象可得1- 故答案为C

3．（2020·上海·华东师范大学附属周浦中学高二期末）设点M 、N 均在双曲线

:143

x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（）

2021年沪教版必修二数学期末复习-上海期末真题精选50题(大题基础版)教师版

上海期末真题精选50题（大题基础版）

一、解答题

1．（2019·上海市杨浦高级中学高一期末）已知函数(cos sin )sin 2()cos x x x

f x x

（1）求函数()f x 的定义域：（2）求函数()f x 的单调递减区间：（3）求函数了()f x 在区间11,2424ππ⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

上的最大值和最小值. 【答案】（1）|k ,R,k 2x x x Z ππ⎧⎫

≠+∈∈⎨

⎬⎩⎭

. （2）5,,8

228k k k k π

πππππππ⎡

⎫⎛

⎤+

++⎪ ⎢⎥⎣

⎭⎝⎦

,Z k ∈.

（3）max ()()18

f x f π

==,min 11()(

)124f x f π==. 【分析】（1）根据分母不等于0求出函数的定义域.

（2）化简函数的表达式,利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可. （3）通过x 满足11,2424ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

求出相位的范围,利用正弦函数的值域,求解函数的最大值和最小值.

【详解】解：（1）函数(cos sin )sin 2()cos x x x

f x x

的定义域为：

cos 0x ≠,即|k ,R,k 2x x x Z ππ⎧⎫

≠+∈∈⎨⎬⎩⎭

（2）(cos sin )sin 2()cos x x x

f x x

2(cos sin )sin cos cos x x x x

22sin cos 2sin x x x =-

sin 2cos 21x x =+-

214x π⎛

⎫=+- ⎪⎝

⎭,

令32222

42k x k π

πππ+

≤+

上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

【答案】[0, )
【解析】
【分析】
根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案.
(1)x 0
(1)x 1 1
【详解】因为 2
，所以 2
，
(1)x 1 0
y
根据根式有意义，有 2
，所以
(1)x 2
1
的值域为 [0,
)
，
故答案为：[0, ) .
【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目.
3.若幂函数图像过点 (8, 4) ，则此函数的解析式是 y ________.
2
【答案】 x 3
【解析】
【分析】
先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项.
【详解】设幂函数的解析式为 y x ，
由于函数图象过点 (8, 4)
，故有
4
8
，解得
2 3
，
2
所以该函数的解析式是 y x 3 ，
意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.
12.已知函数 f (x) || x 1| | x 3 | 1| ，若 f 4a2 6a f (4a) ，则实数 a 的取值范围
为_______.
3
【答案】
4
13 , 3 4

上海市上海大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(教师版)

上大附中高二期末数学试卷

一．填空题

1. 抛物线2

4y x =的准线方程为_____．【答案】1x =- 【解析】

【分析】本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程．【详解】由抛物线方程可知，抛物线24y x =的准线方程为：1x =-．故答案为1x =-．

【点睛】本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题．

2. 已知3a =，2b =，若3a b ⋅=-，则a 与b 夹角的大小为_________．【答案】120° 【解析】

【分析】直接使用平面向量夹角公式计算即可. 【详解】设a 与b 夹角为θ 所以31

cos 322

a b a b

θ⋅-=

=-⨯ 由[]0,θπ∈，所以23

θ=，即120θ= 故答案为：120

3. 设32i

z i

，期中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为__________________. 【答案】-3 【解析】

【详解】试题分析：

32i

23,i

z i +=

=-复数z 的虚部为3-。考点：1.复数的运算；2.复数的概念.

4. 直线l 在y 轴的截距是2，其方向方向为()1,3d =-，则直线l 的一个点方向式方程为__________．

【答案】02

x y --=- 【解析】

【分析】设直线l 上的任一点P (x ,y ), 由已知得直线l 经过A (0,2)，结合其方向向量，利用平面向量平行的坐标表示即可写出直线的点向式方程.

【详解】设直线l 上的任一点P (x ,y ),由于直线在y 轴上的截距为2，所直线l 经过A (0,2)，由于直线l 的方向向量为()1,3d =-，向量()()0,21,3AP x y =---,

2019-2020学年上海市嘉定区安亭高级中学高二(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)

2019-2020学年上海市嘉定区安亭高级中学高二（上）第

一次月考数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）

1. a ⃗ =(x 1,y 1)，b ⃗ =(x 2,y 2)且x 2y 2≠0，则x 1x 2=y

y 2是a ⃗ 与b ⃗ 同向的( )

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分又非必要条件

2. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )

A. 3

4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −1

AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3

AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1

AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3

AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 设a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，则“|a ⃗ −3b ⃗ |=|3a ⃗ +b ⃗ |”是“a ⃗ ⊥b ⃗ ”的( )

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

4. 在用数学归纳法证明等式1+2+3+⋯+2n =2n 2+n(n ∈N ∗)的第(ii)步中，假

设n =k 时原等式成立，那么在n =k +1时需要证明的等式为( )

A. 1+2+3+⋯+2k +2(k +1)=2k 2+k +2(k +1)2+(k +1)

B. 1+2+3+⋯+2k +2(k +1)=2(k +1)2+(k +1)

C. 1+2+3+⋯+2k +2k +1+2(k +1)=2k 2+k +2(k +1)2+(k +1)

上海市上海中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

上海市上海中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

4．某高中二年级共有学生425

二、单选题

三、解答题

17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知2101140a S ==，.(1)求数列{}n a 的通项公式；

(3)对于具有性质P 的数表2n A ，当n 为偶数时，求11121n a a a ++⋅⋅⋅+的最大值.

上海市东昌中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

uur
uuur
【详解】解：∵ OA (5, 1) ， OB (3,2) ，
uur uuur
uuur
∴ OA OB 5 3 1 2 13， OB
9 4 13 ，
uuur uuru
uur
uur uuur
∴ OA 在 OB 上的投影 OA cos OA,OB
uur uuur
OA OB uuur OB
13 ，
故答案为： 10 ．【点睛】本题主要考查行列式的代数余子式的计算，属于基础题．
5.设椭圆的一个焦点为 ( 3,0) ，且 a 2b ，则椭圆的标准方程为 ________
【答案】 x2 y2 1 4
【解析】【分析】直接根据椭圆的几何性质求解即可．
【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1a b 0，
1i 1i
∴|z| 1 1 2 ，
故答案为： 2 ．
【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题．
uur
Fra Baidu bibliotek
uuur
uuur uuru
3.已知 OA (5, 1) ， OB (3,2) ，则 OA 在 OB 上的投影是 ________
【答案】 13
【解析】【分析】
先求出向量的数量积，再直接根据投影的定义计算即可．

2021届高二新题数学人教A版2019专题01空间向量与立体几何(选择题、填

2021届高二新题数学人教A版2019专题01,空间向量与立体几何（选择题、填空题）（9月解析版）

题专题01空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单选题1．（江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，11AA，则直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为A．63B．102C．155D．105【答案】D【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解析】以D点为坐标原点，以1,,DADCDD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则

1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),ABCC(0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BCACA C为平面11BBDD的一个法向

量．1410cos,558BCAC．

直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为105.故选D．【点睛】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．2．（广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，在平行六面体ABCDABCD中，AC 与BD的交点为O，点M在BC上，且2BMMC，则下列向量中与OM相等的向量是

A．172263ABADAA B．151263ABADAA C．112263ABAD

AA D．111263ABADAA【答案】C【分析】在平行六面体ABCDABCD中，根据空间向量加法合成法则，对向量OM进行线性表示即可【解析】因为2BMMC，所以23BMBC，在平行六面体ABCDABCD中，

上海市松江区2019-2020学年第二学期高二期末统考数学试卷含答案

P
(,
0,1)
，
N
1 2
,
1 2
,
0
，
M
0,1,
1 2
，
PN
=
1 2
−
,
1 2
,
−1
，
AM
=
0,1,
1 2
，
5
PN
AM
=
1 2
−
0 +
1 2
1−1
1 2
=
0，
PN ⊥ AM .
（2）平面 ABC 的一个法向量 n = (0, 0,1) ，
PN n
sin = cos =
=
PN n
8.
二项式
x
+
3 x
n
的展开式中，各项的系数之和为
A，各项的二项式系数之和为
B，且
A
+
B
=
72
，则
n
=
____________. 9. 从分别标有数字 1，2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片
上数字的奇偶性不同的概率是____________.
a 的 n 个坐标中含 3 个 0，其余坐标为 1 或-1，
共有 Cn3 2n−3 个，每个 a 的范数为 n − 3 ；

上海市东昌中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

东昌中学高二期末数学试卷

一.填空题

1.关于x 、y 的方程组2130

x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为________ 【答案】211130-⎛⎫ ⎪⎝⎭

【解析】

【分析】

直接利用方程组的应用和矩阵的应用求出结果．

【详解】解：∵方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩

， ∴它的增广矩阵为211130-⎛⎫ ⎪⎝⎭

，故答案为：211130-⎛⎫ ⎪⎝⎭

．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的增广矩阵，属于基础题．

2.若(1)2z i i +=（i 是虚数单位）

，则||z =________．

【解析】

【分析】

根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可．

【详解】解：∵(1)2z i i +=， ∴21i z i ==+()(

)()21111i i i i i -=++-，

∴||z ==

．

【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题．

3.已知(5,1)OA =-uu r ，(3,2)OB =uu u r ，则OA u u u r 在OB uuu r 上的投影是________

【解析】

【分析】

先求出向量的数量积，再直接根据投影的定义计算即可．

【详解】解：∵(5,1)OA =-uu r ，(3,2)OB =uu u r ，

∴531213OA OB ⋅=⨯-⨯=uu r uu u r ，OB ==uu u r

∴OA u u u r 在OB uuu r 上的投影cos ,OA OA OB uu r uu r uu u r OA OB OB

⋅==uu r uu u r uu u r ，

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