九年级数学上册小专题二特殊平行四边形的性质与判定新版北师大版含答案

合集下载

北师大版九年级数学上【纠错必备】特殊平行四边形 (含答案)

【纠错必备】特殊平行四边形矩形、菱形、正方形是三类特殊的平行四边形，有关性质与判定是其重要内容，初学时，不少同学会出现错误．本文将分类对常见判定误区进行剖析，供同学们学习时参考．一、有关矩形判定的误区例1判断下列说法是否正确：（1）有三个角相等的四边形是矩形；（2）对角线相等的四边形是矩形．错解：（1）正确；（2）正确．剖析：（1）是把矩形的判定方法记错了，应是“有三个角是直角的四边形是矩形”，其中的条件是“三个角是直角”而不是“三个角相等”；（2）中错误地认为“对角线相等的四边形是矩形”，对矩形的判定方法理解不透彻．我们知道只有在平行四边形中加上“对角线相等”的条件，得到的才是矩形．正解：（1）错误；（2）错误．跟踪训练1下列说法中，错误的是【】A．矩形的四个角都是直角B．矩形的对角线相等C．对角线垂直平分的四边形是矩形D．四个角都是直角的四边形是矩形二、有关菱形判定的误区例2已知线段AB，试求作两点C、D，使四边形ADBC是菱形．错解：在线段AB的垂直平分线EF上取两点C、D，并且使C、D在线段AB的两侧，连接CA、CB、DA、DB，则四边形ADBC是菱形．剖析：错解错在对菱形的判定方法理解不透．在对角线垂直的条件下，必须说明四边形ADBC是平行四边形，才能保证四边形ADCB为菱形．作图过程只反映出CD平分AB，但AB是否平分CD就不一定了，故四边形ADBC不一定为平行四边形，也就不一定为菱形了．正解：在线段AB的垂直平分线EF上取两点C、D，并且使AB平分CD，连接CA、CB、DA、DB，则四边形ADBC为菱形．跟踪训练2如图，已知在平行四边形ABCD中，∠A的平分线与BC交于点E，∠B的平分线与AD交于点F，AE与BF交于点O．试说明四边形ABEF是菱形．三、有关正方形判定的误区例3判断下列说法是否正确：（1）四条边相等的四边形是正方形；（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形．错解：（1）正确；（2）正确；（3）正确．剖析：（1）虽有四条边相等，但只能判定它是菱形，要判定它是正方形，还缺少一个条件，这个条件是一角是直角，或其他判定既是菱形又是矩形的条件；（2）此题的错误是对正方形的判定方法不清楚造成的，对角线相等且互相垂直，但对角线不一定互相平分，故不能判定它是正方形；（3）片面应用了正方形的性质，虽然正方形的每一条对角线都平分每一组对角，但反过来就不成立了，它只能判定是菱形，还缺少一个再判断它是矩形的条件．正解：（1）错误；（2）错误；（3）错误．跟踪训练3下列四边形一定是正方形的是【】A．有一个角是直角的菱形B．有一个角是直角的平行四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相垂直的平行四边形答案1.C2．理由：先得到AE⊥BF，再得到四边形ABEF是平行四边形，即可得四边形ABEF是菱形．3．A。

北师大版数学九年级上册《特殊平行四边形》各节含答案

北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定菱形的性质和判定的应用同步课堂练习1．菱形的两条对角线的长为a 和b ，且a ，b 满足(a －1)2＋b －4＝0，那么菱形的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．82．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD＝120°，已知△ABC 的周长是15，则菱形ABCD 的周长是( )A ．25B ．20C ．15D ．103．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是( )A ．3B ．4C ．8D ．64. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC ＝6，若过点A 作AE⊥BC，垂足为点E ，则AE 的长为( )A ．4 B.125 C.245D ．5 5．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A．15°或30° B．30°或45°C．45°或60° D．30°或60°6.如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF.其中结论正确的个数是( )A．3 B．4 C．1 D．27．在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，则它的面积是________．8．在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为点E，AB＝4，那么菱形ABCD的面积是__________，对角线BD的长是________．9．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为________．10. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为________．11．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则村庄C到公路l2的距离是________km.12．如图，菱形ABCD的周长为8 cm，高AE长为3cm，则对角线AC和BD的长之比为________．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D 作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为________．14．已知菱形ABCD的周长为16 cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．15．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O是对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为点E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长；(3)求菱形ABCD的面积．1.1答案;1---6 BBCCD A7. 968. 8 3 4 39. 1210. 2411. 412. 1∶ 313. 2414. 设AC与BD交于点O(图略)，由已知得AB＝4 cm，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形．∴BD＝4 cm ，∴AO＝2 3 cm ，AC ＝4 3 cm ，∴S 菱形＝12AC·BD＝83(cm 2)．15. (1)∵四边形ABCD 是菱形，∠A＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD＝60°.1.2矩形的判定一．【基础题】1．下列命题中，真命题是（）A ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分3．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的边长BC 的长是（）A ．2B ．4C ．2D ．44．若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形5．下列条件之一能使平行四边形ABCD是矩形的为（）①AC⊥BD ②∠BAD=90°③AB=BC ④AC=BD．A．①③B．②④C．③④D．①②③6在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD7．下列判断正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线互相平分的四边形是矩形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．两条对角线互相垂直的四边形是矩形8．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．9．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．10．如图，在矩形ABCD中，AB=3，点P是直线AD上一点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AD的长为．二．11．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，给出以下结论：①∠AFC=120°；②△AEF是等边三角形；③AC=3OG；④S△AOG=S△ABC其中正确的是．（把所有正确结论的序号都选上）12．（2017•奉化市模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O 作OE⊥AC交AB于E．若BC=4，△AOE的面积为5，则BE= ．13．（2017•盐城）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．14．（2017•蓝田县二模）如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．15．（2017•沈阳二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN 是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．16．（2017•启东市一模）如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°．求证：四边形AECF为矩形．17．（2017•蒙阴县二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．（1）求证：AD=CE；（2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．18．（2017•崇安区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．求证：四边形ADCE为矩形．1.2矩形的判定答案1．A．2．C．3．C．4．B．5．B．6．C．7．C．8．．9．．10．3或2 ．11．①②④．12．3．13．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC、AD∥BC，∴∠ABD=∠CDB，∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC，∴∠EBD=∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．14．【解答】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．15．【解答】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．16．【解答】证明：连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，OE=OF．∵OA=OC，∴AECF是平行四边形；∵∠AEC=90°，∴四边形AECF为矩形．17．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，又∵▱ABDE中，AB=DE，AB∥DE，∴∠B=∠EDC=∠ACB，AC=DE，在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）．（2）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，AE∥BC，∵D为边长BC的中点，∴BD=CD，∴AE=CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵△ADC≌△ECD，∴AC=DE，∴四边形ADCE是矩形．18．【解答】证明：∵AE∥BC，∴AE∥BD．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD．∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴AE=DC；∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，∴平行四边形ADCE为矩形．第一章检测卷时间：120分钟满分：150分班级：__________姓名：__________得分：__________一、选择题(每小题3分，共45分)1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（）A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形D．菱形、正方形2．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．AC⊥BD B．AB∥CD C．∠A＝90°D．∠A＝∠C3．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20°B．40°C．80°D．100°4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC第4题图第5题图第6题图5．如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，且PE＝2.连接PC，若菱形的周长为24.则△BCP的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．126．如图，在△ABC中，BC＝12，AC＝5，AB＝13，点D是AB的中点，则CD的长为（）A．6.5 B．6 C．2.5 D．不能确定7．如图，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任意作一条直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分的面积是（）A．1 B．0.5 C．0.25 D．无法确定第7题图第8题图第9题图8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为（）A．4 B．3 C．2 D．19．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，点A 的坐标为(2，0)，则点B的坐标为（）A．(2，1) B．(1，2) C．(1，2＋1) D．(2＋1，1)10．如图，四边形ABCD是正方形，点E在对角线BD上，且BE＝BC，则∠ACE的度数等于（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°第10题图第11题图第12题图11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，作OE∥AB，交BC于点E，则OE的长一定等于（）A．BE B．AO C．AD D．OB12．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE＝2.5dm，DF ＝4dm，那么EF的长为（）A．6.5dm B．6dm C．5.5dm D．4dm13．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是（）A．矩形B．平行四边形C．菱形D．任意四边形14．如图，将边长为2cm的菱形ABCD沿边AB所在的直线l翻折得到四边形ABEF，若∠DAB＝30°，则四边形CDFE的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．6cm2第14题图第15题图15．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于（）A．4 3 B．3 3 C．4 2 D．8二、填空题(每小题5分，共25分)16．Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4cm，那么斜边AB＝cm.17．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为度时，两条对角线长度相等．第17题图18．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为1cm，则其对角线长为cm，矩形的面积为cm2.19．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是.第19题图第20题图20．如图，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B ＝60°，则菱形ABCD的面积为.三、解答题(共80分)21．(8分)如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：OE＝BC.22．(8分)如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.求证：△BCE≌△DCF.23.(10分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD 于点E，BE∶ED＝1∶3，AD＝6cm，求AE的长．24. (12分)如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.(1)求证：四边形EBFC是菱形；(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.25．(12分)如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A，C重合，点D落在点G处，AC与EF交于点H.(1)求证：△ABE≌△AGF；(2)若AB＝6，BC＝8，求△ABE的面积．26．(14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如图所示)．(1)在下图中，用尺规作∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形；(2)若∠ABC＝60°，EC＝2BE.求证：ED⊥DC.27．(16分)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形；(3)若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？上册第一章检测卷1．D 2.C 3.C 4.C 5.B 6.A7.C8.A9．D10.B11.A12.A13.C14.C15．A解析：∵纸片ABCD为矩形，∴AB＝CD＝6.∵矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，∴AE＝AB＝6，∠EAF＝∠F AB.∵E为DC的中点，∴DE＝3.在Rt△ADE中，∵AE＝6，DE＝3，∴∠DAE ＝30°，∴∠EAF＝∠F AB＝30°.在Rt△ABF中，∵∠BAF＝30°，AB＝6，∴由勾股定理得(2BF)2＝BF2＋62，∴BF＝23，∴AF＝2BF＝4 3.16．817.9018.2319.45°20．83 解析：∵菱形ABCD 的边长为4，∴AB ＝BC ＝4.∵AE ⊥BC ，∠B ＝60°，∴∠BAE ＝30°，∴BE ＝12AB ＝2，∴由勾股定理可得AE ＝23，∴S菱形ABCD ＝4×23＝8 3.21．证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形．(2分)∵四边形ABCD 是菱形，∴∠COD ＝90°，CD ＝BC .(4分)∴四边形OCED 是矩形，∴OE ＝CD .(6分)又∵CD ＝BC ，∴OE ＝BC .(8分)22．证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ＝DC ，∠BCD ＝90°，∴∠BCE＝∠DCF ＝90°.(3分)在△BCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ，CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF .(8分)23．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，OB ＝OD ＝12BD ＝AO .∵BE ∶ED ＝1∶3，∴BE ＝OE .(4分)∵AE ⊥BD ，∴AB ＝AO ，∠AED ＝90°，∴AB ＝AO ＝OB ，(6分)∴∠ABO ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴AE ＝12AD ＝3cm.(10分)24．证明：(1)∵AB ＝AC ，AH ⊥CB ，∴BH ＝HC .(2分)∵FH ＝EH ，∴四边形EBFC 是平行四边形．(4分)又∵AH ⊥CB ，∴四边形EBFC 是菱形；(6分)(2)如图，∵四边形EBFC 是菱形，∴∠2＝∠3＝12∠ECF .(7分)∵AB ＝AC ，AH ⊥CB ，∴∠4＝12∠BAC .(8分)∵∠BAC ＝∠ECF ，∴∠4＝∠3.(9分)∵AH ⊥CB ，∴∠4＋∠1＋∠2＝90°，∴∠3＋∠1＋∠2＝90°.即AC ⊥CF .(12分)25．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD .(2分)由折叠的性质得AG ＝CD ，∠EAG ＝∠BCD ，∠G ＝∠D ＝90°，∴AB ＝AG ，∠BAD ＝∠EAG ，∴∠BAE ＝∠GAF .(4分)在△ABE 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠GAF ，AB ＝AG ，∠B ＝∠G ，∴△ABE ≌△AGF (ASA)；(7分)(2)解：根据折叠的性质可得AE ＝EC ，设BE ＝x ，则AE ＝EC ＝8－x .在直角△ABE 中，根据勾股定理可得62＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝74，(10分)则S △ABE ＝12AB ·BE ＝12×6×74＝214.(12分)26．(1)解：作图如图所示．(2分)在△ABE 与△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴△ABE ≌△ADE ，∴∠AEB ＝∠AED .(5分)∵AD ∥BE ，∴∠AEB ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠AED ，∴AB ∥DE ，∴四边形ABED 是平行四边形．∵AB ＝AD ，∴四边形ABED 为菱形；(7分)(2)证明：取EC 的中点F ，连接DF .∵四边形ABED 是菱形，∴EC ＝2BE ＝2DE ＝2EF ＝2CF ，∠CED ＝∠ABC ＝60°，∴△DEF 是等边三角形，(10分)∴DF ＝EF ＝CF ，∠DFE ＝60°，∴∠CDF ＋∠C ＝∠DFE ＝60°＝2∠C .即∠C ＝30°，∴∠EDC ＝180°－∠CED －∠C ＝90°，即ED ⊥DC .(14分)27．(1)证明：∵PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED .(3分)在△AED 与△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAD ＝∠FCD ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD ；(6分) (2)证明：由(1)可知△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF .(7分)∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝F A ，(9分)∴EC ＝EA ＝FC ＝F A ，∴四边形AECF 为菱形；(11分)(3)解：∵AD ＝3，AE ＝5，∴根据勾股定理得ED ＝4，(13分)∴EF ＝8，AC ＝6，∴S 菱形AECF ＝8×6÷2＝24.(16分)1.3 第1课时正方形的性质知识点 1 利用正方形的性质求解与线段有关的问题1．如图1－3－1，在正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ＝4，EC ＝2，则AE 的长为________．1－3－11－3－22．如图1－3－2，正方形ABCD 的边长为1，点E 在边DC 上，AE 平分∠DAC ，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．3．2017·广安如图1－3－3，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD 上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图1－3－3知识点2利用正方形的性质求解与角有关的问题4．如图1－3－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为()A．10°B．12.5°C．15°D．20°1－3－41－3－55．如图1－3－5，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，则∠DCE＝________°.6．2017·怀化如图1－3－6，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．图1－3－6知识点3利用正方形的性质求解与面积有关的问题7．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是()A．8 B．4 2 C．8 2 D．16图1－3－78．如图1－3－7，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．9．如图1－3－8，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．图1－3－8知识点4正方形对称性的应用10．如图1－3－9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是()A．(1，1) B．(－1，－1)C．(1，－1) D．(－1，1)1－3－91－3－1011.如图1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．12．如图1－3－11，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE 相交于点F，则∠BFC的度数为()A．45°B．55°C．60°D．75°1－3－111－3－1213.如图1－3－12，正方形ABCD的边长为2，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，F A⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．14．如图1－3－13，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC 边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．1－3－131－3－14 15．如图1－3－14，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．16．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.图1－3－1517．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图1－3－16①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图1－3－16②)，求证：EF2＝ME2＋NF2.图1－3－161．2132.2－13．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．22.56．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABE＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中，AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，∴△ABE≌△DCE(SAS)．(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝12×(180°－30°)＝75°.∵∠BAD ＝90°，∴∠EAD ＝90°－75°＝15°，同理可得∠ADE ＝15°，∴∠AED ＝180°－15°－15°＝150°. 7．A 8．29．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD ＝AB ，∠D ＝∠B ＝90°，BC ＝DC . ∵E ，F 分别为DC ，BC 的中点， ∴DE ＝12DC ，BF ＝12BC ， ∴DE ＝BF .在△ADE 和△ABF 中，AD ＝AB ，∠D ＝∠B ，DE ＝BF ， ∴△ADE ≌△ABF (SAS)．(2)由题知△ABF ，△ADE ，△CEF 均为直角三角形，且AB ＝AD ＝4，DE ＝BF ＝12×4＝2，CE ＝CF ＝12×4＝2，∴S △AEF ＝S 正方形ABCD －S △ADE －S △ABF －S △CEF ＝ 4×4－12×4×2－12×4×2－12×2×2＝6. 10．C11．10 12.C 13．4 14．3 cm15．(0，21009)16．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OD ＝OC . 又∵DE ＝CF ，∴OD －DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF .在△AOE 和△DOF 中，AO ＝DO ，∠AOE ＝∠DOF ，OE ＝OF ， ∴△AOE ≌△DOF (SAS)， ∴∠OAE ＝∠ODF .∵∠OAE ＋∠AEO ＝90°，∠AEO ＝∠DEM ， ∴∠ODF ＋∠DEM ＝90°，即AM ⊥DF .17．证明：(1)∵△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ， ∴AG ＝AF ，∠GAF ＝90°. ∵∠EAF ＝45°，∴∠GAE ＝∠GAF －∠EAF ＝90°－45°＝45°，即∠GAE ＝∠EAF .在△AEG 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AF ，∠GAE ＝∠EAF ，AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF (SAS)．(2)把△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，如图，连接GM ，则△ADF ≌△ABG ，∴DF ＝BG .由(1)知△AEG≌△AEF，∴EG＝EF.∵∠CEF＝45°，∴△BME，△DNF，△CEF均为等腰直角三角形，∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝2DF，∴BE＝DF，∴BE＝BM＝DF＝BG，∴∠BMG＝45°，∴∠GME＝45°＋45°＝90°，∴EG2＝ME2＋MG2.又∵EG＝EF，MG＝2BM＝2DF＝NF，∴EF2＝ME2＋NF2.1.2正方形的判定1．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明()A．AB＝BD且AC⊥BDB．∠A＝90°且AB＝ADC．∠A＝90°且AC＝BDD．AC和BD互相垂直平分2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________________．知识点2利用菱形判定四边形是正方形3．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD 是正方形的是()A．OA＝OC，OB＝ODB．OA＝OB＝OC＝ODC．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BDD．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD图1－3－174．如图1－3－17，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成()A．22.5°角B．30°角C．45°角D．60°角5．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－18，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．请判断四边形PQEF的形状．图1－3－186．2017·齐齐哈尔矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：________，使其成为正方形．(只填一个即可)图1－3－197．如图1－3－19所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定的方法是__________________________．8．2017·邵阳如图1－3－20所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD 相交于点O，∠OBC＝∠OCB.(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．图1－3－209．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是()A．矩形B．对角线互相垂直的四边形C．菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形图1－3－2110．如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB 为正方形的是()A．BC＝AC B．CF⊥BFC．BD＝DF D．AC＝BF图1－3－2211．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－22，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是() A．30 B．34 C．36 D．4012．2017·贵阳期末如图1－3－23，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．图1－3－2313．如图1－3－24，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为N.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？并给出证明．图1－3－2414．观察如图1－3－25所示图形的变化过程，解答以下问题：图1－3－25如图1－3－26，在△ABC中，D为BC边上的一动点(点D不与B，C两点重合)，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.(1)试探索当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；(2)在(1)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？为什么？图1－3－2615．如图1－3－27，在四边形ABCD中，E，G分别是AD，BC的中点，F，H分别是BD，AC的中点．(1)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？并证明你的结论；(2)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；(3)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并证明你的结论．图1－3－271．B 2.AB＝BC(答案不唯一)3．D4．C.5．解：在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，∴AF＝BP＝CQ＝DE.又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，∴FP＝PQ＝QE＝EF，∴四边形PQEF是菱形．∵△AFP≌△BPQ，∴∠APF＝∠BQP.∵∠BPQ＋∠BQP＝90°＝∠BPQ＋∠APF，∴∠FPQ＝90°，∴四边形PQEF为正方形．6．AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一)7．有一组邻边相等的矩形是正方形8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．(2)AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．9．D10.D11．B12．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO平分∠AEC，∴∠AED＝12∠AEC＝12×60°＝30°.又∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝15°＋30°＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，∴四边形ABCD是正方形．13．解：(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC.∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝12×180°＝90°. 又∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴∠ADC ＝∠CEA ＝90°， ∴四边形ADCE 为矩形．(2)当△ABC 满足∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 为正方形．证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ACB ＝∠B ＝45°.∵AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠ACD ＝45°， ∴DC ＝AD .又∵四边形ADCE 是矩形， ∴矩形ADCE 是正方形．∴当∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 是正方形．14．解：(1)当AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 为菱形．理由：∵AE ∥DF ，DE ∥AF ， ∴四边形AEDF 为平行四边形． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠EAD ＝∠F AD . 又∵DE ∥AF ， ∴∠F AD ＝∠ADE ， ∴∠EAD ＝∠ADE ， ∴AE ＝DE ，∴平行四边形AEDF 为菱形．(2)当∠BAC ＝90°时，菱形AEDF 是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方形．15．解：(1)当AB ⊥CD 时，四边形EFGH 是矩形．证明：∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，G ，H 分别是BC ，AC 的中点， ∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ， GH ∥AB ，GH ＝12AB ， FG ∥CD .∴EF ∥GH ，EF ＝GH ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． ∵AB ⊥CD ，∴EF ⊥FG ，即∠EFG ＝90°， ∴四边形EFGH 是矩形．(2)当AB ＝CD 时，四边形EFGH 是菱形．证明：∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，H ，G 分别是AC ，BC 的中点， ∴EF ＝12AB ，GH ＝12AB ，FG ＝12CD ，EH ＝12CD . 又∵AB ＝CD ， ∴EF ＝FG ＝GH ＝EH ， ∴四边形EFGH 是菱形．(3)当AB ＝CD 且AB ⊥CD 时，四边形EFGH 是正方形．证明：∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点， ∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ，同理，EH ∥CD ，EH ＝12CD ，FG ＝12CD ，GH＝12AB.∵AB＝CD，∴EF＝EH＝GH＝FG，∴四边形EFGH是菱形．∵AB⊥CD，∴EF⊥EH，即∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．第一章特殊平行四边形一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．下列说法中错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线相等D．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形2．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则该菱形两邻角的度数比为() A．3∶1B．4∶1C．5∶1D．6∶13．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足()A．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线互相垂直D ．对角线相等且互相平分4．如图1－Z －1，P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点，矩形的两条边AB ，BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是( )图1－Z －1A.125B.65C.245 D ．不能确定5．如图1－Z －2，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是( )图1－Z －2A ．2.5 B. 5 C.32 2 D ．26．如图1－Z －3，过矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC ，交BC 边于点E ，交AD 边于点F ，分别连接AE ，CF .若AB ＝3，∠DCF ＝30°，则EF 的长为( )图1－Z －3A．2 B．3 C.32 D. 3二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)7．如图1－Z－4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数为________．图1－Z－48．如图1－Z－5，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC 上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．图1－Z－59．如图1－Z－6，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．图1－Z－610．如图1－Z－7所示，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为________ .图1－Z－711．如图1－Z－8，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠F AC＝60°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE＝60°……按此规律所作的第2018个菱形的边长是________．图1－Z－8三、解答题(本大题共4小题，共45分)12．(10分)如图1－Z－9，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF,连接AF，CE交于点G.求证：AG＝CG.图1－Z－913．(10分)如图1－Z－10，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，菱形ABCD的周长是20，BD＝6.(1)求AC的长；(2)求菱形ABCD的高DE的长．图1－Z－1014．(10分)如图1－Z－11，已知矩形ABCD，把矩形ABCD按图中所示方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF.(1)连接BE，求证：四边形BFDE是菱形；(2)若AB＝8 cm，BC＝16 cm，求线段DF和EF的长．图1－Z－1115．(15分)已知：如图1－Z－12，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC 的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；。

新北师大版九年级数学上册特殊的平行四边形(含中考真题解析)

特殊的平行四边形知识点名师点晴矩形1．矩形的性质会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题．2．矩形的判定会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形菱形1．菱形性质能应用这些性质计算线段的长度2．菱形的判别能利用定理解决一些简单的问题正方形1．正方形的性质了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题2．正方形判定掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明☞2年中考【2015年题组】1．（2015崇左）下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定． 2．（2015连云港）已知四边形ABCD ，下列说法正确的是（） A ．当AD=BC ，AB ∥DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 B ．当AD=BC ，AB=DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 C ．当AC=BD ，AC 平分BD 时，四边形ABCD 是矩形 D ．当AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形【答案】B ．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A 不正确； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B 正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C 不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D 不正确；故选B ．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定． 3．（2015徐州）如图，菱形中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于（）A ．3.5B ．4C ．7D ．14 【答案】A ．【解析】试题分析：∵菱形ABCD 的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD ，∵E 为AD 边中点，∴OE是△ABD 的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A ．考点：菱形的性质． 4．（2015柳州）如图，G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的点，且AG=CE ，AE ⊥EF ，AE=EF ，现有如下结论：①BE=12GE ；②△AGE ≌△ECF ；③∠FCD=45°；④△GBE ∽△ECH其中，正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（2015内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．3B．23C．26D．6【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（2015南充）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为3cm ，则对角线AC 长和BD 长之比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：2D ．1：3【答案】D ．【解析】试题分析：如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为3cm ，∴BE=22AB AE -=1（cm ），∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴OB=22AB OA -=3（cm ），∴BD=2OB=23cm ，∴AC ：BD=1：3．故选D ．考点：菱形的性质．7．（2015安徽省）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（） A ．25 B ．35 C ．5 D ．6【答案】C ．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．8．（2015十堰）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF 的长为（）A ．102B ．53C 5103D 1053【答案】A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题． 9．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A ．201421）（B ．201521）（ C ．201533）（ D ．201433）（【答案】D ．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题． 10．（2015广安）如图，已知E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB=6cm ，∠ABC=60°，则四边形EFGH 的面积为 cm2．【答案】93．【解析】试题分析：连接AC ，BD ，相交于点O ，如图所示，∵E 、F 、G 、H 分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG ，EH ∥BD ∥FG ，EF=12AC=HG ，∴四边形EHGF 是平行四边形，∵菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：OB=22AB OA =33，∴BD=63，∵EH=12BD ，EF=12AC ，∴EH=33，EF=3，∴矩形EFGH 的面积=EF•FG=93cm2．故答案为：93．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质． 11．（2015凉山州）菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为．【答案】（233-，23-）．的交点，∴点P 的坐标为方程组3(13)1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：3323x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P 的坐标为（33，23-），故答案为：（233-，23）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题． 12．（2015潜江）菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（03，动点P 从点A 出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P 的坐标为．【答案】（0.5，32．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（2015北海）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在DC 边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 与BD 相交于点O ，∴∠BAC=45°，AB ∥DC ，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC ﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt △ADE 中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质． 14．（2015南宁）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（2015玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】9 2．【解析】试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴'''BP BEAA AE=，即164BP=，BP=32，CP=BC﹣BP=332-=32，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ﹣12CQ•CP﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（2015达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…nS ，则nS 的值为（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】232n -．故答案为：232n ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题． 17．（2015齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB 与直线l 的夹角为30°，延长CB1交直线l 于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l 于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l 于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】20142(3)．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（2015梧州）如图，在正方形ABCD 中，点P 在AD 上，且不与A 、D 重合，BP 的垂直平分线分别交CD 、AB 于E 、F 两点，垂足为Q ，过E 作EH ⊥AB 于H ．（1）求证：HF=AP ；（2）若正方形ABCD 的边长为12，AP=4，求线段EQ 的长．【答案】（1）证明见试题解析；（21010．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题． 19．（2015恩施州）如图，四边形ABCD 、BEFG 均为正方形，连接AG 、CE ．（1）求证：AG=CE ；（2）求证：AG ⊥CE ．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD 、BEFG 均为正方形，得出AB=CB ，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE ，得出∠ABG=∠CBE ，从而得到△ABG ≌△CBE ，即可得到结论；（2）由△ABG ≌△CBE ，得出∠BAG=∠BCE ，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN ，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD 、BEFG 均为正方形，∴AB=CB ，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE ，∴∠ABG=∠CBE ，在△ABG 和△CBE 中，∵AB=CB ，∠ABG=∠CBE ，BG=BE ，∴△ABG ≌△CBE （SAS ），∴AG=CE ；（2）如图所示：∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG=∠BCE ，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN ，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG ⊥CE ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质． 20．（2015武汉）已知锐角△ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8．（1）如图，矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E 、F 分别在AB 、AC 边上，EF 交AD 于点K ．①求EFAK 的值；②设EH=x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值；（2）若AB=AC ，正方形PQMN 的两个顶点在△ABC 一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN 的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x =-， S 的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF ∥BC ，∴AK EF AD BC =，∴EF BC AK AD ==128=32，即EF AK 的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题． 21．（2015荆州）如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE ，PE 交CD 于F ．（1）PC=PE ；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE ．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP ≌△CBP ，得到PA=PC ，由PA=PE ，得到PC=PE ；（2）由△ABP ≌△CBP ，得到∠BAP=∠BCP ，进而得到∠DAP=∠DCP ，由PA=PC ，得到∠DAP=∠E ，∠DCP=∠E ，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．【2014年题组】 1．（2014·宜宾）如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（）A ．nB ．n ﹣1C ．（14）n ﹣1D ．14n【答案】B ．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n ﹣1）=n ﹣1．故选B ．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质． 2．（2014·山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD 中，点E 是AD 的中点，且AE=1，BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ．则矩形的一边AB 的长度为（）A ． 1B ．2C ．3D ． 2【答案】C ．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质． 3．（2014山东省聊城市）如图，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连接BE ，DF ，EF ，BD ．若四边形BEDF 是菱形，且EF=AE+FC ，则边BC 的长为（）A ．3B ． 33 C ．3 D 93【答案】B ．【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，即BA ⊥BF ，∵四边形BEDF 是菱形，∴EF ⊥BD ，∠EBO=∠DBF ，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO ，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=23cos30BO=︒，∴BF=BE=23，∵EF=AE+FC ，AE=CF ，EO=FO∴CF=AE=3，∴BC=BF+CF=33，故选B ．考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．4．（2014·广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形【答案】B ．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质． 5．（2014·贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE ⊥AF ，垂足为点M ，BE=3，AE=26，则MF 的长是（）A 15B 15C ．1D ． 15【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（2014·襄阳）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE=13AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF=2BE ；②PF=2PE ；③FQ=4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④ 【答案】D ．【解析】试题分析：∵AE=13AB ，∴BE=2AE ．由翻折的性质得，PE=BE ，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP ）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE ．故①正确． ∵BE=PE ，∴EF=2PE ．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（2014·宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（2014·山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF 交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（2014·梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例3】如图，ABCD 是正方形场地，点E 在DC 的延长线上，AE 与BC 相交于点F ．有甲、乙、丙三名同学同时从点A 出发，甲沿着A ﹣B ﹣F ﹣C 的路径行走至C ，乙沿着A ﹣F ﹣E ﹣C ﹣D 的路径行走至D ，丙沿着A ﹣F ﹣C ﹣D 的路径行走至D ．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A ．甲乙丙B ．甲丙乙C ．乙丙甲D ．丙甲乙【答案】B ．考点：正方形的性质． ☞1年模拟 1．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（） A ．平行四边形的对角线互相平分B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．菱形的对角线互相垂直D ．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D ．【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A 、B 、C 选项均正确，而D 不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D ．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质． 2．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠ACB=30°，则∠AOB 的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B．考点：矩形的性质．3．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE 为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（）A．0.7 B．0.9 C．2−2 D2【答案】C．【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE⊥BC，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：2，由题意得：△ABE≌△AB1E，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，2，∴2，2-2，∵四边形ABCD为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F，∵CF∥AB，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B CCFAB BB=，解得：2，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：12212=，21(22)3222⨯=-，∴△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积=1(322)222--=．故选C．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）．4．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．（-2，2）B．（2，-2）C．（2，-2）D．（3，-3）【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（2015届山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④ 【答案】B ．考点：正方形的判定．7．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是．34π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算． 8．（2015届河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O 与边BC ，CD 相切，现有一条过点B 的直线与⊙O 相切于点E ，连接BE ，△ABE 恰为等边三角形，则⊙O 的半径为．【答案】3【解析】试题分析：过O 点作GH ⊥BC 于G ，交BE 于H ，连接OB 、OE ，∴G 是BC 的切点，OE ⊥BH ，∴BG=BE ，∵△ABE 为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴3，BH=23，设OG=OE=x ，则3-3，3-x ，在RT △OEH 中，EH2+OE2=OH2，即（3-3）2+x2=3-x ）2，解得3，∴⊙O 的半径为3．故答案为：3考点：1．切线的性质；2．矩形的性质． 9．（2015届山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．【答案】14．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形． 10．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1，CE=3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是．5考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型． 12．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，已知点E ，F 分别是□ABCD 的边BC ，AD 上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF 面积．【答案】（1）见解析（22532【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF 是菱形；（2）连接EF 交于点O ，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC 与EF 的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF 的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ．在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点E 是BC 边的中点，∴AE=CE=12BC ．同理，AF=CF=12AD ．∴AF=CE ．∴四边形AECF 是平行四边形． ∴平行四边形AECF 是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形． 13．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD 在平面直角坐标系中，AD=6，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA ＞OB ．（1）求sin ∠ABC 的值；（2）若E 为x 轴上的点，且S △AOE=163，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO 是否相似？（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE ∽△DAO ．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA 、OB 长度，根据勾股定理求得AB 长，那么就能求得sin ∠ABC 的值；（2）易得到点D 的坐标为（6，4），还需求得点E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点E 的坐标可能在点O 的左边，也有可能在点O 的右边．根据所给的面积可求得点E 的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=225OA OB+=，∴sin∠ABC=54OAAB=；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3，0）；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F （3，8）；③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-43x+4，直线L过（32，2），且k值为34（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），L解析式为y=34x+78，联立直线L 与直线AB求交点，∴F（4751-，722-）；④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A关于N的对称点即为F，AF=145，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=145×35=4225，∴F（-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型． 14．（2015届河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，连接BF 、EF ，恰有BF=EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG ，过点B 作EF 的垂线，交EF 于点M ，交DA 的延长线于点N ，连接NG ．（1）求证：BE=2CF ；（2）试猜想四边形BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN 为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．15．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为¼CC'，则图中阴影部分的面积为．【答案】33 42π+．【解析】试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A、D′、C及A、B、C′分别共线∴AC=3，∴扇形ACC′230(3)3604ππ⨯⨯=．∵AC=AC′，AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中，CD BCACO AC DCOD C OB''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B （AAS），∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD′=3-1，OB+C′O=1，∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=（3-1）2，解得BO=3122-，3322C O'=-，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。

新北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》试卷(附答案)

新北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》试卷(附答案)特殊平行四边形》试卷一、填空题1、如图，将△ABC绕AC的中点O按顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件使四边形ABCD为矩形．条件：AB=CD2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．四边形EFGH的面积为24.3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________．DQ+PQ的最小值为√10.二、选择题4、矩形具有而菱形不具有的性质是() A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等答案：D5、如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC ＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是()。

A．24B．16C．413D．213答案：B6、如图，将△XXX沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是() A．AB ＝XXX．∠B＝60°D．∠ACB＝60°答案：C7、如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S 四边形ABDC与S四边形ECDF的大小关系是() A．S四边形ABDC＝S四边形ECDFB．S四边形ABDC<S四边形ECDFC．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋1D．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋2答案：A8、如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF的周长为() A．14B．15C．16D．17答案：C9、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD 边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD 的面积是() A．12B．24C．123D．163答案：B三、XXX10、如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F。

北师大版九年级上册第一章单元练习题：《特殊的平行四边形》(含答案)

单元练习题：《特殊的平行四边形》一．选择题1．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．菱形的对角线平分一组对角C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．矩形的对角线互相平分2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形3．如图，菱形ABCD对角线AO＝4cm，BO＝3cm，则菱形高DE长为（）A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（）A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km5．已知平行四边形ABCD，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD6．如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（）A．BE＝EO B．EO＝AC C．AC⊥BE D．AE＝AF7．已知矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．50 B．48 C．24 D．128．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD＝60°，则AB的长为（）A．3 B．2C．3D．69．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（）A．100°B．120°C．135°D．150°10．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝（）A．20.5°B．30.5°C．21.5°D．22.5°11．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（）A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.512．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．2二．填空题13．如果菱形的边长为17，一条对角线长为30，那么另一条对角线长为．14．如图，正方形ABCD的边长为5，点E在CD上，DE＝2，∠BAE的平分线交BC于点F，则CF的长为．15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P为AD边上的一点，过点P 分别作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F．若PE+PF＝5，则正方形ABCD的面积为．16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD 于点E，则BE的长为．17．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．三．解答题18．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．20．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．21．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH．在EF上取一点G，使∠ECG＝∠DAH．（1）若点F在边CD上，如图1，①求证：CH⊥CG．②求证：△GFC是等腰三角形．（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝3，正方形边长为4，则BE＝．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边的中点，连接DC过D作DE ⊥DC交AC于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）如图2，F为BC边上一点，连接DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF 与EG的数量关系，并说明理由．23．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．参考答案一．选择题1．解：A．平行四边形的对边相等，正确，不符合题意；B．菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；C．对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，符合题意；D．矩形的对角线互相平分，正确，不符合题意．故选：C．2．解：A、错误，有一个角为90°的平行四边形是矩形B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形；D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形；故选：C．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2OA＝2×4cm＝8cm，BD＝2BO＝2×3cm＝6cm，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5（cm），菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AB•DE，即×8×6＝5DE，解得：DE＝4.8（cm），故选：C．4．解：在Rt△ACB中，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝×2.6＝1.3（km），故选：C．5．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD1矩形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；B、EO＝AC时，EF＝AC，∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；故选：B．7．解：∵矩形的两邻边之比为3：4，∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，∵对角线长为10，∴（3x）2+（4x）2＝102，解得：x＝2，∴矩形的两邻边长分别为：6，8；∴矩形的面积为：6×8＝48．故选：B．8．解：∵四边形AABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，OA＝OD＝OB，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝OD＝AD＝3，∴BD＝2OD＝6，∴AB＝＝3．故选：C．9．解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴BC＝AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°；即菱形ABCD的较大内角度数为120°；故选：B．10．解：设AC与BD交于点O，在四边形ABCD中，∠EOC＝90°，∠1＝∠2＝45°．∵BE＝BC，∴∠3＝∠ECB＝67.5°．∴∠ACE＝OCE＝90°﹣∠3＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：D．11．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠1＝∠E．又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠E．∴BE＝BD．∵AE＝10，∴BD＝BE＝10﹣AB．在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．∴AB＝4.2．故选：A．12．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P 1P 2∥CE 且P 1P 2＝CE ．当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP ＝FP ．由中位线定理可知：P 1P ∥CE 且P 1P ＝CF ．∴点P 的运动轨迹是线段P 1P 2，∴当BP ⊥P 1P 2时，PB 取得最小值．∵矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为AB 的中点，∴△CBE 、△ADE 、△BCP 1为等腰直角三角形，CP 1＝1．∴∠ADE ＝∠CDE ＝∠CP 1B ＝45°，∠DEC ＝90°．∴∠DP 2P 1＝90°．∴∠DP 1P 2＝45°．∴∠P 2P 1B ＝90°，即BP 1⊥P 1P 2，∴BP 的最小值为BP 1的长．在等腰直角BCP 1中，CP 1＝BC ＝1．∴BP 1＝．∴PB 的最小值是．故选：C ．二．填空题（共5小题）13．解：在菱形ABCD 中，AB ＝17，BD ＝30，∵对角线互相垂直平分，∴∠AOB ＝90°，BO ＝15，在Rt △AOB 中，AO ＝＝＝8，∴AC ＝2AO ＝16．即另一条对角线长为16，故答案为：16．14．解：延长CD 到N ，使DN ＝BF ，连接AN ，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABF＝∠ADN＝90°，在△ABF和△ADN中，，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴∠BAF＝∠DAN，∴∠NAF＝90°，∴∠EAN＝90°﹣∠FAE，∠N＝90°﹣∠DAN＝90°﹣∠BAF，∵∠BAF＝∠FAE，∴∠EAN＝∠N，∴AE＝EN，∵，∴，∴，∴，故答案为：7﹣．15．解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO，∠EAP＝45°，∵PE⊥AC，∴△AEP是等腰直角三角形，∴PE＝AE，∵PF⊥BD，∴四边形OEPF是矩形，∴PF＝OE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA＝5，＝，∴S△AOD＝4×＝50．∴S正方形ABCD故答案为：50．16．解：如图，过点E作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，BD＝AC＝2，OD＝OB＝，∵EA平分∠BAO，EH⊥AB，EO⊥AC，∴EH＝EO，设EH＝EO＝a，则BE＝a，∴a+a＝，解得a＝2﹣，∴BE＝a＝2﹣2．故答案为：2﹣2．17．解：如图，连接DH，HM．由题可得，AM＝BE，∴AB＝EM＝AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，∴EH＝AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM＝2HM，故②正确；当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，∴Rt△ADM中，DM＝2AM，即DM＝2BE，故①正确；∵CD∥EM，EC∥DM，∴四边形CEMD是平行四边形，∵DM＞AD，AD＝CD，∴DM＞CD，∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC＝45°，∴∠CHM＞135°，故④正确；由上可得正确结论的序号为①②④．故答案为①②④．三．解答题（共6小题）18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，即AF∥EC，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：如图所示：∵四边形ABCD为菱形，四边形AECF为矩形，且BE＝3，AD＝5 ∴OA＝OC，AB＝BC＝AD＝5 DF＝EB＝3，∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝4，CE＝BC+BE＝8，∴AC＝＝＝4，∵OA＝OC，∠AEC＝90°，∴OE＝OC＝AC＝×4＝2．20．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE；（2）连接BE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°．∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE．∵CG＝CE，BC＝BC，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE．∵由（1）可知BG＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°．21．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，，∴△DAH≌△DCH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH．∵∠ECG＝∠DAH，∴∠ECG＝∠DCH．∵∠ECG+∠FCG＝∠FCE＝90°，∴∠DCH+∠FCG＝90°，∴CH⊥CG；②∵在Rt△ADF中，∠DFA+∠DAF＝90°，由①得∠DCH+∠FCG＝90°，∠DAH＝∠DCH；∴∠DFA＝∠FCG，又∵∠DFA＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形；（2））①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝4+2．②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．综上所述，BE的长为 4+或4﹣．22．（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵D为AB边的中点，∴CD＝BD＝AD，∴△BCD是等边三角形，∠ACD＝∠A＝30°，∵∠CDE＝90°，∴∠CED＝60°，∴∠EDA＝30°；（2）解：如图2，在Rt△CDE中，∠ACD＝30°，∴tan30°＝，∴＝，∵∠FDG＝∠CDE＝90°，∴∠FDC＝∠GDE，∴∠FCD＝∠GED＝60°，∴△FCD∽GED，∴＝，∴FC＝GE．23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能在CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在DE上，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝．。

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解(含例题及答案)

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6，又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案．【答案与解析】探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于．【答案】 65°。

北师大九年级上册第一章特殊的平行四边形复习及对应练习(含答案)

第一章特殊平行四边形的复习1.特殊平行四边形的性质及评定汇总表格例1：若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为解：由已知条件，得∠DOC=60°,OC=0D,AC=8cm. ∵△ODC 中，∠DOC=60°,OC=0D ； ∴△ODC 是等边三角形； ∴DC=OC=4cm 根据勾股定理，得 AD=∴S =AD ×DC=例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A ．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补答案：B例1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD=∠CBE ．解：∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC=DC,∠BCE=∠DCE,AB ∥CD 在△BCE 和△DCE 中， ∵BC=DC,∠BCE=∠DCE,CE=CE ∴△BCE ≌△DCE ∴∠CBE=∠CDE 又∵AB ∥CD ∴∠CDE=∠AFD ∴∠CBE=∠AFD要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．证明：∵正方形ABCD∴∠ODA=∠OAB=45°，∠DAB=90°，OD=OA,AC⊥BD∵DG⊥AE∴∠ADG+∠DAG=90°又∵∠BAE+∠DAG=90°∴∠ADG=∠BAE∵∠ODF=∠ODA-∠ADG, ∠OAE=∠OAB-∠BAE又∵∠ODA=∠OAB=45°∴∠ODF=∠OAE∵OD=OA, ∠AOD=∠EOA=90°∴△DOF≌△AOE∴OE=OF特殊的平行四边形练习题一、选择题1、平行四边形ABCD中，∠A=50°，则∠D=（）A. 40°B. 50°C. 130°D. 不能确定2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积( )A．2 B．4 C．4 D．83、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )A．2 B. C．6 D．84、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )A．2 B．3 C. D．25、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( ) A．5 B．4 C．3.5 D．36、如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣27、如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A. 2B. 3C. 4D. 58、如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A. 5B. 4C.D.9、如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则P A+PE的最小值是（）A. B. C. D.10.当矩形的对角线互相垂直时, 矩形变成( )A. 菱形B. 等腰梯形C. 正方形D. 无法确定.二、填空题11、如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______．12、如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．13、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，，= .14、如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC 上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是______ ．15、如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB=OB=6，则矩形的面积为______ ．三、简答题16、平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．17、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．18、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是AB和AD上的点。

2019年秋季数学北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形单元练习包含答案和部分解析

2019年秋季初三数学北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形单元练习1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．邻边相等 2. 一张矩形纸片ABCD ，已知AB ＝3，AD ＝2，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则线段DG 的长为( )A ． 2B ．2 2C ．1D ．23．如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，连结BE ，FE ，则∠EBF 的度数是( )A ．45°B ．50°C ．60°D ．不确定4. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于( )A ．35B ．53C ．73D ．545. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( )A ． 5B ．136C ．1D ．566. 如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点(不含边界)，设∠PAD＝θ1，∠PBA ＝θ2，∠PCB ＝θ3，∠PDC ＝θ4.若∠APB＝80°，∠CPD ＝50°，则( )A ．(θ1＋θ4)－(θ2＋θ3)＝30°B ．(θ2＋θ4)－(θ1＋θ3)＝40°C ．(θ1＋θ2)－(θ3＋θ4)＝70°D ．(θ1＋θ2)＋(θ3＋θ4)＝180° 7. 如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O .若tan ∠BAC ＝13，AC ＝6，则BD 的长是．8. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠B 是锐角，AE ⊥BC 于点E ，M 是AB 边的中点，连结MD ，ME.若∠EMD＝90°，则cos B 的值为．9. 如图②，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E ，F 分别在边AB ，BC 上，三角形①的边GD 在边AD 上，则ABBC的值是．10. 如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，已知∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，则ABAE＝．11. 如图为某城市的部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，AD ＝1 500 m ，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D →E →F.若小敏行走的路程为3 100 m ，则小聪行走的路程为 m.12. 如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，且BE＝DF.(1)求证：▱ABCD 是菱形；(2)若AB ＝5，AC ＝6，求▱ABCD 的面积．13. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，AE ＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为F.(1)求证：DF＝AB；(2)若∠FDC＝30°，AB＝4，求AD的值．14. 已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.(1)如图①，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OE＝OG.(2)如图②，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE 于点F，交OC于点G.若OE＝OG.①求证：∠ODG＝∠OCE；②当AB＝1时，求HC的长．15. 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连结AC，DF.(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．16. 如图，在▱ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连结DF并延长，交CB的延长线于点E，连结AE.(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC＝10，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．答案和解析： 1. B 2. A3. A 解析:如图，过点E 作HI∥BC，分别交AB ，CD 于点H ，I ，则∠BHE＝∠EIF ＝90°.∵E 是BF 的垂直平分线EM 上的点，∴EF ＝EB ．∵E 是∠BCD 平分线上一点，∴E 到BC 和CD 的距离相等，即BH ＝⎩⎪⎨⎪⎧EB ＝EF ，BH ＝EI ，∴Rt △BHE ≌Rt △EI.在Rt △BHE 和Rt △EIF 中，EIF ，∴∠HBE＝∠IEF.∵∠HBE ＋∠HEB＝90°，∴∠IEF ＋∠HEB＝90°， ∴∠BEF ＝90°.∵BE ＝EF ，∴∠EBF ＝∠EFB＝45°.故选A ．4. B 解析:由折叠的性质，可得AE ＝AB ，∠E ＝∠B ＝90°.又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，∴AE ＝DC ．在△AEF 与△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE＝∠CFD，∠E ＝∠D，AE ＝CD ，∴△AEF≌△CDF ，∴EF ＝DF.∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝6，CD ＝AB ＝4. ∵Rt △AEF ≌Rt △CDF ，∴FC ＝FA ．设FA ＝x ，则FC ＝x ，FD ＝6－x ，在Rt △CDF 中，CF 2＝CD 2＋DF 2，即x 2＝42＋(6－x)2，解得x ＝133，则FD ＝6－x ＝53.故选B ．5. D 解析:如图，过点F 作FH⊥AE，垂足为H.∵AE，CF 是平行线段，∴FH ＝2＝AD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ．又∵AE∥CF，∴四边形AECF 为平行四边形，∴AF ＝CE ，∴设DE＝BF ＝x ，即FA ＝3－x.在矩形ABCD 中，∵∠BAD ＝∠D＝∠AHF＝90°，∴∠DAE ＝∠AFH.又∵FH＝AD ，∴△ADE ≌△FHA ，∴AE ＝FA ＝3－x.∴在Rt △ADE 中，由勾股定理，得22＋x 2＝(3－x)2，解得x ＝56，即DE ＝56.故选D ．6. A 解析:∵AD∥BC，∴∠CBP ＋∠DAP＝∠AP B ．∵∠APB ＝80°，∴∠CBP ＝∠APB－∠DAP＝80°－θ1， ∴∠ABC ＝θ2＋80°－θ1. ∵∠DCP ＋∠CPD ＋∠CDP＝180°，∴∠DCP ＝180°－∠CPD－∠CDP＝130°－θ4， ∴∠BCD ＝θ3＋130°－θ4. ∵∠ABC ＋∠BCD＝180°，∴θ2＋80°－θ1＋θ3＋130°－θ4＝180°， ∴(θ1＋θ4)－(θ2＋θ3)＝30°.故选A ． 7. 2 8.3－12解析: 如图，连结DE ，延长DM 交CB 的延长线于点H.∵四边形ABCD是菱形，∴AB ＝BC ＝AD ＝2，AD ∥CH ，∴∠ADM ＝∠H.又∵AM＝BM ，∠AMD ＝∠HMB，∴△ADM ≌△BHM ，∴AD ＝HB ＝2，HM ＝DM.∵EM⊥DH ，HM ＝DM ，∴EH ＝ED ．∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD，∴∠AEB ＝∠EAD＝90°.设BE ＝x ，∵AE 2＝AB 2－BE 2＝DE 2－AD 2，∴22－x 2＝(2＋x)2－22，∴x ＝3－1或－3－1(舍去)．∴cos ∠ABC ＝BE AB ＝3－12.9.2＋14 解析: 设七巧板的边长为1，则AB ＝12＋22，BC ＝12＋1＋12＝2，∴AB BC ＝12＋222＝2＋14. 10.6＋22解析: 如图，连结AC ，过点E 作EN⊥AB 于点N.∵四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°， ∴∠ABD ＝30°，∠EAC ＝15°，则∠BAE AE ＝2x ，BN ＝NEtan 30°＝3＝45°.∴设AN ＝x ，则NE ＝x ，x ，∴AB AE ＝x ＋3x 2x ＝6＋22.11. 4600 解析:小敏行走的路程为AB ＋AG ＋GE ＝1500＋(AG ＋GE)＝3100(m)，则AG ＋GE ＝1600 m ．小聪行走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(DE ＋EF)．如图，连结CG，在正方形ABCD中，∵点A和点C关于对称轴BD对称，∴AG＝CG.又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形GECF是矩形，∴CG＝EF.又∵∠CDG ＝45°，∴DE＝GE，∴小聪行走的路程为BA＋AD＋DE＋EF＝3000＋(GE＋AG)＝3 000＋1 600＝4600(m)．12. (1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D．∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.又∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形．(2) 解：如图，连结BD交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝12AC＝12×6＝3.∵AB＝5，AO＝3，∴BO＝AB2－AO2＝52－32＝4，∴BD＝2BO＝8，∴S▱ABCD＝12·AC·BD＝24.13. （1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF.又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B．又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB．（2）解：∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF.∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.14. (1) 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠DOG＝∠COE ＝90°，∴∠OEC＋∠OCE＝90°.∵DF⊥CE，∴∠OEC＋∠ODG＝90°，∴∠OCE＝∠ODG，∴△COE≌△DOG，∴OE＝OG.(2) ①证明：∵OG＝OE，∠DOG＝∠COE＝90°，OD＝OC，∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG＝∠OCE.②解：设CH＝x.∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴BH＝1－x，∠DBC＝∠BDC ＝∠ACB＝45°.∵EH⊥BC，∴∠BEH＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH＝1－x.∵∠ODG ＝∠OCE，∴∠BDC－∠ODG＝∠ACB－∠OCE，∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC＝∠HCD＝90°，∴△CHE∽△DCH，∴EHHC＝HCCD，∴HC2＝EH·CD，∴x2＝(1－x)·1，解得x＝5－12或－5－12(舍去)，∴HC＝5－12.15. (1) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD＝FA．又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．(2) 解：BC＝2CD．理由如下：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°.∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE.∵E是AD的中点，∴AD ＝2CD．∵AD＝BC，∴BC＝2CD．16. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE，∴∠DAF＝∠EBF.∵AF＝BF，∠AFD＝∠BFE，2019年秋季数学北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形单元练习包含答案和部分解析 11 / 11 ∴△AFD ≌△BFE ，∴AD ＝BE.∵AD∥BE，∴四边形AEBD 是平行四边形．又∵BD＝AD ，∴四边形AEBD 是菱形．（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ＝10，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠DCB，∴tan ∠ABE ＝tan ∠DCB ＝3.∵四边形AEBD 是菱形，∴AB ⊥DE ，AF ＝FB ，EF ＝DF ，∴tan ∠ABE ＝EF BF＝3. ∵BF ＝102，∴EF ＝3102， ∴DE ＝310，∴S 菱形AEBD ＝12·AB·DE＝12×10×310＝15.。

初中数学北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形单元测试(含答案)

第一章特殊平行四边形一、单选题1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的一个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．∠ABC=90°D．AC与BD互相平分2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠BOC=120°，AC=8，则AB的长为（）A．6B．4C．43D．423．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，点D是AB的中点，则CD的长度是（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cmCD的长为半径4．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，分别以C，D为圆心，以大于12作弧，两弧分别交于G，H两点，作直线GH交CD于点E，连接AE，点D关于AE的对称点为点M，作射线AM交BC于点N，则CN的长为（）A ．253B ．4C ．256D ．55．如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为（）A ．158B ．154C ．152D ．156．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 是AD 的中点，连接OE ，△ABD 的周长为12cm ，则下列结论错误的是（）A ．OE ∥ABB ．四边形ABCD 是中心对称图形C ．△EOD 的周长等于3cmD ．若∠ABC =90°，则四边形ABCD 是轴对称图形7．如图，在△ABC 中，AB =5，AC =12，BC =13，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（）A．6013B．3013C．2413D．12138．如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE+PD 的最小值为（）A．35B．32C．6D．5二、填空题9．菱形的周长为12cm，它的一个内角为60°，则菱形的面积为．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC＝3，BD＝4，则线段OH的长为．11．如图，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：；②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：．12．已知，如图，四边形ABCD是正方形，BE=AC，则∠BED=度．13．如图，矩形ABCD内有一点P，连接AP，DP，CP，延长CP交AB于点E，若∠APD=90°,AD=8,CP=CD=6，则AE的长是．OA，把矩形OABC沿OB折叠，14．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8,0)，AB=12点C落在点D处，BD交OA于点E，则点E的坐标为．15．如图，已知点E在菱形ABCD的边AB上，以BE为边向菱形ABCD外部作菱形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN．若AB=5，BE=2，∠ABC=120°，则MN=．16．如图，在边长为10的正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作AE的垂线，交AE于点G，交CD于点H，F是BH上一点，连接EF，若BE=FE，则FH的长为．17．如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =24，点P 在BC 边上，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，则PE +PF = ．18．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，BP ＝5．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2；③S △APD +S △APB ＝12+62；④S 正方形ABCD ＝4+6．其中正确结论的序号是．三、解答题19．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO =CO ，BO =DO ，且∠ABC=90°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB 的度数；②四边形ABCD 的面积．20．如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，AB=4，O是对角线BD的中点，过O点作OE丄AB，垂足为E．(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长；(3)求菱形ABCD的面积．21．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．22．十一国庆节，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（1）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．武玥同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC=20cm，宽AB=16cm的长方形纸片ABCD；②如图，将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处．请你根据①②步骤计算EC，FC的长．23．综合与实践：【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版数学教材第64页的数学活动1．其内容如下：如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）；（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．同时，得到了线段BN．【知识运用】请根据上述过程完成下列问题：（1）已知矩形纸片ABCD，AB=43，AM=4，求线段BM的长；（2）通过观察猜测∠NBC的度数是多少？并进行证明；【综合提升】（3）乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图2），将MN延长交BC于点G．将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．请判断四边形BGHM的形状，并说明理由．参考答案：1．A2．B3．C4．C5．B6．C7．B8．Acm29．93210．5411．∠BAC=90∘AD平分∠BAC 12．22.513．8314．(5,0)15．67216．517．1201318．①③④19．解：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1∴∠BAC=60°，AC=2，BC=3又∵矩形ABCD中，OA=OB∴∠AOB=180°-2∠BAC=60°S□ABCD=1×3=320．解：（1）在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠A=60∘，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60∘；（2）∵O是对角线BD的中点，BD=2，∴OB=12∵∠ABD=60∘，=1；∴BE=OBcos60∘=2×12（3）过D作DF⊥AB于点F，由(2)可得：OE=OBsin60∘=3，∵OE⊥AB，点O为BD中点，∴DF=2OE=23，则S菱形ABCD=AB⋅DF=4×23=83．21．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠FAC=∠ACE，∠AFE=∠CEF，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴四边形AECF为平行四边形，∵EF经过O且垂直于AC，∴EF是对角线AC的垂直平分线，∴AF=CF，∴四边形AECF为菱形；（2）解：过C作CH⊥AD于H，则∠CHD=∠CHF=90°，∵∠ADC=60°，∴∠HCD=30°，∴HD=12CD=1，∴CH=CD2−HD2=3，∵AD=3，∴AH=2，∵四边形AECF是菱形，∴AF=CF，设AF=CF=x，则FH=2−x，在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2=FH2+CH2，即x2=(2−x)2+(3)2，解得：x=74，∴AF=CF=74，∴菱形AECF的面积为：AF×CH=74×3=734．22．解：∵△ADE由△AFE关于AE对称，∴△ADE≌△AFE，∴DE=FE，AD=AF，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=AF=20cm，AB=CD=16cm，在Rt△ABF中，由勾股定理：BF=AF2−AB2=202−162=12cm，∴CF=BC-BF=20-12=8cm．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°．设CE=x，则DE=EF=16-x，在Rt△CEF中，由勾股定理：EF2=CE2+CF2，代入数据：(16-x)2=x2+64，解得：x=6．∴EC=6cm．综上所述，线段EC=6cm，CF=8cm．23．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90°，∵AB=43，AM=4，∴BM=AB2+AM2=8；（2）猜测：∠NBC=30°，证明：连接AN：∵EF为折痕，∴EF垂直平分AB，∴AN=BN，∵△BMN由△BMA折叠所得，∴AB=BN，∴AN=BN=AB，∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°，∴∠NBC=90°−60°=30°；（3）四边形BGHM为菱形，理由：∵△BMN由△BMA折叠所得，∴∠ABM=∠NBM，∠BAM=∠MNB=90°，∵∠ABN=∠ABM+∠NBM=60°，∴∠ABM=∠NBM=30°，∵∠NBC=30°，∴∠NBM=∠NBC=30°，∴∠MBG=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM=BG，∵将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，∴△BMG≌△HGM，BH⊥MG，∴MH=BM，∴MH=BM=BG，∵MH∥BG，∴四边形BGHM是平行四边形，∵BM=BG，∴四边形BGHM是菱形．。

北师大版初三上课后习题及答案第一章特殊平行四边形

北师大版初三上课后习题及答案第一章特殊平行四边形习题1-11.已知:如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.求证:△ABC是等边三角形.2.如图，在菱形ABCD中, BD=6, AC=8,求菱形ABCD的周长.3.已知:如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点o.求证: AC 平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ABC和4 ADC4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,团中有多少个等接三角形和直角三角形?答案：1.证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴BC=AB,BC//AD, ∴∠B+ ∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠BAD=2 ∠B, ∴∠B+2 ∠B=180°，∴∠B=60°. ∵BC=AB ，∴△ABC 是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形）.2.解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AD=DC=CB=BA, ∴AC±BD,AO=1/2 AC= 1/2×8=4 ，DO= 1/2 BD= 1/2×6=3. 在Rt △AOD 中，由勾股定理，得AD=√(AO²+DO²)=√(4²+3²)=5. ∴菱形ABCD 的周长为4AD=4×5=20.3. 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AD=AB,AC±BD ，DO=BO, ∴△ABD 是等腰三角形，∴AO 是等腰△ABD 低边BD 上的高，中线，也是∠DAB 的平分线，∴AC 平分∠BAD.同理可证 AC 平分∠BCD,BD 平分∠ABC 和∠ADC.4. 解：有 4 个等腰三角形和 4 个直角三角形.习题1-21.已知:如图.在平行四边形ABCD中.对角线AC的垂直平分线分別与AD. AC. BC相交于点E, O, F.求証:四迫形AFCE是菱形.2.已知:如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD和交于点O，点E，F,G,H分別是OA, OB, OC, CD的中点，求证:四辺形EFGH是菱形。

九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元清新版北师大版(含答案)

九年级数学上册新版北师大版：检测内容：第一章特殊平行四边形得分________卷后分________评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．平行四边形、矩形、菱形都具有的性质是( B )A．对角线相等B．对角线互相平分C．都是轴对称图形D．对角线互相垂直2．下列条件中，不能判断一个四边形是矩形的是( D )A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角B．有3个角是直角C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形D．一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等3．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD 的长为( D )A．5 B．13C．10D．7第3题图第4题图第5题图第6题图4．如图，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( B ) A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形5．如图，在正方形ABCD中，A，B，C三点的坐标分别是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)，将正方形向右平移3个单位长度，则平移后点D的坐标是( B )A．(－6，2) B．(0，2) C．(2，0) D．(2，2)6．(宁夏中考)如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长为( B ) A．13 B．10 C．12 D．57．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则AE的长为( C )A．0.5 B．1 C．2 D．3第7题图第8题图第9题图第10题图8．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，OE ⊥OF 交AB 边于点F ，点G ，H 分别是点E ，F 关于直线AC 的对称点，点E 从点C 运动到点B 时，图中阴影部分的面积大小变化情况是( C )A ．先增大后减小B ．先减小后增大C ．一直不变D ．不确定9．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED ＝2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE ＝1，AG ＝4，则AB 的长为( D )A ．3B ．4C ．17D ．1510．如图，在平面直角在坐标系中放置一菱形OABC ，已知∠ABC ＝60°，点B 在y 轴上，OA ＝1，将菱形OABC 沿x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2 022次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2 022的坐标为( A ) A ．(1 348，3 ) B ．(1 348.5，32 ) C ．(1 349，0) D ．(1 349.5，32) 二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图，直线l 是四边形ABCD 的对称轴，请再添加一个条件：__BC ＝CD (答案不唯一)__，使四边形ABCD 成为菱形．第11题图第12题图第13题图第14题图第15题图12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE ＝3，则AB 的长为__6__．13．如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为72 cm 2，则菱形的边长为__234 _cm__.ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF ，且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G .若DG GA ＝17 ，则AD AB＝__2 ． 15．如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为__342__.三、解答题(共75分)16．(6分)如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点D，E，F分别是BC，AB，AC 的中点．求证：四边形AEDF是菱形．证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．又∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AB＝AC，∴AE＝AF，∴平行四边形AEDF 是菱形17．(8分)(鹿邑县期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，求AD的长．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB.∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝BD2－AB2＝36－9＝3318．(8分)如图，在平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝45°时，求证：四边形ACED是正方形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD.∴∠ADC＝∠OCE，∠DAO＝∠CEO.∵O是CD的中点，∴OC＝OD，∴△AOD≌△EOC，∴OA＝OE，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.∵AB∥CD，∴∠COE＝∠BAE＝90°，∴▱ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE ＝CD，∴菱形ACED是正方形19．(10分)如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AD ∥BC .又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．又∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，CE ＝12 BC ，∴∠AEC ＝90°.同理可得AF ＝12AD ，∴AF ＝CE .又∵AD ∥BC ，∴AF 綊EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵∠AEC ＝90°，∴四边形AECF 是矩形(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝AB 2－BE 2 ＝82－42 ＝43 ，∴S 菱形ABCD ＝8×43 ＝32320．(10分)(舞钢市期中)如图，E 和F 分别是菱形ABCD 的边AB 和AD 的中点，且AB ＝5，AC ＝6.(1)判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求线段EF 的长．解：(1)△OEF 是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，OB ＝OD .∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴OE ，OF 是△ABD 的中位线，∴OE ＝12 AD ，OF ＝12AB ，∴OE ＝OF ，∴△OEF 是等腰三角形(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ＝12AC ＝3，AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝90°，∴OB ＝AB 2－OA 2 ＝52－32 ＝4，∴BD ＝2OB ＝8.∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ＝12BD ＝421．(10分)如图，四边形ABCD 和四边形AECF 都是矩形，AE 与BC 相交于点M ，CF 与AD 相交于点N .(1)求证：△ABM ≌△CDN ；(2)矩形ABCD 和矩形AECF 满足何种关系时，四边形AMCN 是菱形？证明你的结论．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝CD ，AD ∥BC .∵四边形AECF 是矩形，∴AE ∥CF ，∴四边形AMCN 是平行四边形，∴AM ＝CN ，∴Rt △ABM ≌Rt △CDN (HL)(2)当AB ＝AF 时，四边形AMCN 是菱形，证明：∵四边形ABCD ，AECF 是矩形，∴∠B ＝∠BAD ＝∠EAF ＝∠F ＝90°，∴∠BAD －∠NAM ＝∠EAF －∠NAM ，即∠BAM ＝∠F AN .又∵AB ＝AF ，∴△ABM ≌△AFN (ASA)，∴AM ＝AN .由(1)知四边形AMCN 是平行四边形，∴平行四边形AMCN 是菱形22．(10分)(1)如图①，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边AB ，BC 上，∠EDF ＝45°，连接EF，求证：EF＝AE＋FC；(2)如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF，AE，FC的数量关系，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°.延长BA到点M，使AM＝CF，连接MD，则△AMD≌△CFD(SAS)，∴∠MDA ＝∠CDF，MD＝DF.∵∠EDF＝45°，∴∠ADE＋∠FDC＝45°，∴∠ADM＋∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠EDF.又∵DE＝DE，∴△EDF≌△EDM(SAS)，∴EF＝EM.∵EM ＝AE＋AM＝AE＋CF，∴EF＝AE＋CF(2)EF2＝AE2＋CF2，理由如下：如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，∴∠CAN ＝∠CAD＋∠DAN＝90°，∴EN2＝AE2＋AN2.∵∠EDF＝45°，∴∠CDF＋∠ADE＝45°，∴∠ADE＋∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF.又∵DE＝DE，∴△EDF≌△EDN(SAS)，∴EF ＝EN，∴EF2＝AE2＋CF223．(13分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O，点P为直线BD上的动点(不与点B重合)，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接CE，BE.(1)问题发现：如图①，当点E在直线BD上时，线段BP与CE的数量关系为__BP＝CE__；∠ECB＝__90°__；(2)拓展探究：如图②，当点P在线段BO的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)问题解决：当∠BEC＝30°时，请直接写出线段AP的长度．图①图②备用图解：(2)结论成立，理由如下：连接AE，易知△AEP，△ABC都是等边三角形，∴AE＝AP，AB＝AC，∠EAP＝∠BAC＝60°，∴∠EAC＝∠BAP，∴△AEC≌△APB(SAS)，∴CE ＝BP，∠ABP＝∠ACE＝30°，∴∠ECB＝∠ACE＋∠ACB＝90°，∴结论仍然成立(3)如图③，当点E在AC左侧时，∵∠BEC＝30°，∠ECB＝90°，∴∠EBC＝60°.∵∠ABC＝60°，∴BE与AB重合．∵AB＝BC＝4，∴BE＝2BC＝8，∴AE＝BE－AB＝4.又∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE＝4(此时点P与点D重合)；如图④，当点E在AC右侧时，∵∠BEC＝30°，∠ECB＝90°，∴∠EBC＝60°.∵∠DBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC＋∠EBC＝90°.∵BC＝AB＝4，∴BE＝2BC＝8，∴CE＝43.∵BP＝CE，∴BP＝43，∴EP＝BP2＋BE2＝47.又∵△APE是等边三角形，∴AP＝PE＝47.综上所述，AP的长为4或47。

2021-2022学年北师大版九年级上册数学《特殊的平行四边形》单元测试卷含答案

2021-2022学年北师大新版九年级上册数学《特殊的平行四边形》一．选择题1．若O 是四边形ABCD 对角线的交点且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，则四边形ABCD 是（）A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．菱形2．一个正方形的面积为16cm 2，则它的对角线长为（）A ．4 cmB ．4cmC ．8 cmD ．6cm3．下列说法中错误的是（）A ．四个角相等的四边形是矩形B ．四条边相等的四边形是正方形C ．对角线相等的菱形是正方形D ．对角线垂直的矩形是正方形4．下列说法中正确的是（）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D ．两条对角线相等的菱形是正方形5．如图，菱形ABCD 中，∠D ＝135°，BE ⊥CD 于E ，交AC 于F ，FG ⊥BC 于G ．若△BFG 的周长为4，则菱形ABCD 的面积为（）A ．4B ．8C ．16D ．166．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF 过O 点且EF ⊥AC 分别交DC 于F ，交AB于E ，点G 是AE 中点且∠AOG ＝30°，则下列结论正确的个数为（）（1）DC ＝3OG ；（2）OG ＝BC ；（3）△OGE 是等边三角形；（4）S △AOE ＝S 矩形ABCD ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，三角形DEF 的周长是7，AF ⊥BC 于F ，BE ⊥AC 于E ，且点D 是AB 的中点，则AF ＝（）A ．B ．C ．D ．78．如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AC 、BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD ＝DE ，连接BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连接OG 、AE ．则下列结论：①OG ＝AB ； ②四边形ABDE 是菱形；③S 四边形ODGF ＝S △ABF ；其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③9．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，动点P 从点B 出发，沿着BC 匀速向终点C 运动，则线段EF 的值大小变化情况是（）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减少10．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（）①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．A．③⑤B．①②④C．①②③④D．①②③④⑤二．填空题11．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长是，面积是．12．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是．13．一组对边平行，且有两个直角的四边形是矩形．（判断对错）14．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝5时，线段BC的长为．15．矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12cm，则对角线长为cm．16．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是线段AD、BC的中点，G、H分别是线段BD、AC的中点，当四边形ABCD的边满足时，四边形EGFH是菱形．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，D是AB的中点，则∠ADC＝．18．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC ＝40cm，则图1中对角线AC的长为cm．19．如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是．20．小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积是．三．解答题21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．22．如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．（1）求证：BD＝2AC；（2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？23．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．24．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F 分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．27．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵OA＝OB＝OC＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．故选：B．2．解：设对角线长是xcm．则有x2＝16，即x＝±4（负数舍去）．故选：B．3．解：A、四个角相等的四边形则每个角为90°，所以是矩形，该说法正确，不符合题意；B、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，该说法错误，符合题意；C、对角线相等的菱形是正方形，该说法正确，不符合题意；D、对角线垂直的矩形是正方形，该说法正确，不符合题意．故选：B．4．解：A．有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项错误；B．两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；D．两条对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．故选：D．5．解：∵菱形ABCD中，∠D＝135°，∴∠BCD＝45°，∵BE⊥CD于E，FG⊥BC于G，∴△BFG与△BEC是等腰直角三角形，∵∠GCF＝∠ECF，∠CGF＝∠CEF＝90°，CF＝CF，∴△CGF≌△CEF（AAS），∴FG＝FE，CG＝CE，设BG＝FG＝EF＝x，∴BF＝x，∵△BFG的周长为4，∴x+x+x＝4，∴x＝4﹣2，∴BE＝2，∴BC＝BE＝4，∴菱形ABCD的面积＝4×2＝8，故选：B．6．解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG＝AG＝GE＝AE，∵∠AOG＝30°，∴∠OAG＝∠AOG＝30°，∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；设AE＝2a，则OE＝OG＝a，由勾股定理得，AO＝＝＝a，∵O为AC中点，∴AC＝2AO＝2a，∴BC＝AC＝×2a＝a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3a，∴DC＝3OG，故（1）正确；∵OG＝a，BC＝a，∴OG≠BC，故（2）错误；＝a•a＝a2，∵S△AOES ABCD＝3a•a＝3a2，＝S ABCD，故（4）正确；∴S△AOE综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个．故选：C．7．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，∴AB＝4，由勾股定理知AF＝＝，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴AG ＝DG ，∴OG 是△ABD 的中位线，∴OG ＝AB ，①正确；∵△ABG ≌△DEG ，∴AB ＝DE ，∵AB ∥CE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∵∠BCD ＝∠BAD ＝60°，∴△ABD 、△BCD 是等边三角形，∴AB ＝BD ＝AD ，∴四边形ABDE 是菱形，②正确；∵OB ＝OD ，AG ＝DG ，∴OG 是△ABD 的中位线，∴OG ∥AB ，OG ＝AB ，∴△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ，∴△GOD 的面积＝△ABD 的面积，△ABF 的面积＝△OGF 的面积的4倍，AF ：OF ＝2：1，∴△AFG 的面积＝△OGF 的面积的2倍，又∵△GOD 的面积＝△AOG 的面积＝△BOG 的面积，∴S 四边形ODGF ＝S △ABF ；③正确；正确的是①②③．故选：D ．9．解：如图，连接AP ．∵∠A ＝90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．故选：C．10．解：设GF和AC的交点为点P，如图：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF＝CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠FEG＝∠BGE，∵点G为AB的中点，∴BG＝AB＝CD＝FE，在△EFG和△GBE中，，∴△EFG≌△GBE（SAS），即②正确，∴∠EGF＝∠GEB，GF＝BE，∴GF∥BE，∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点，∴BO＝BD＝BC，∵E为OC中点，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG＝∠EPG＝90°∵GP∥BE，G为AB中点，∴P为AE中点，即AP＝PE，且GP＝BE，在△APG和△EGP中，，∴△APG≌△EPG（SAS），∴AG＝EG＝AB，∴EG＝EF，即①正确，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形，∴GF＝BE，∵GP＝BE＝GF，∴GP＝FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE＝∠FPE＝90°在△GPE和△FPE中，，∴△GPE≌△FPE（SAS），∴∠GEP＝∠FEP，∴EA平分∠GEF，即④正确．∵BG＝FE，GF＝BE，∴四边形BEFG是平行四边形，没有条件得出BEFG是菱形，⑤③不正确；故选：B．二．填空题11．解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，∴两对角线的一半分别为3、4，由勾股定理得，菱形的边长＝＝5，所以，菱形的周长＝4×5＝20；面积＝×6×8＝24．故答案为：20；24．12．解：如图，连接CP．∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF＝CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S＝BC•AC＝AB•CP，△ABC即×4×3＝×5•CP，解得CP＝2.4．故答案为：2.4．13．解：错误，直角梯形也满足此条件，但不是矩形；故答案为：错误．14．解：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5．故答案为：5．15．解：如图：AB＝12cm，∠AOB＝60°．∵四边形是矩形，AC，BD是对角线．∴OA＝OB＝OD＝OC＝BD＝AC．在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°．∴OA＝OB＝AB＝12cm，BD＝2OB＝2×12＝24cm．故答案为：24．16．解：当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．∵点E，G分别是AD，BD的中点，∴EG∥AB，同理HF∥AB，∴EG∥HF，EG＝HF＝AB，∴四边形EGFH是平行四边形．∵EG＝AB，又可同理证得EH＝CD，∵AB＝CD，∴EG＝EH，∴四边形EGFH是菱形．故答案为AB＝CD．17．解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B，∵∠B＝25°，∴∠DCB＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°，故答案为：50°．18．解：如图1，2中，连接AC．在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝40，∴AB＝BC＝20，在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝20，故答案为：20，19．解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，∴HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．20．解：过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，∵在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，∴AB＝BC＝CD＝AD＝BE＝EC＝2，∠ECB＝60°，∠ODC＝45°，∴S△BEC ＝×2×＝，S正方形＝AB2＝4，设GN＝x，∵∠NDG＝∠NGD＝45°，∠NCG＝30°，∴DN＝NG＝x，CN＝NG＝x，∴x+x＝2，解得：x＝﹣1，∴S△CGD＝CD•GN＝×2×（﹣1）＝﹣1，同理：S△ABF＝﹣1，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG＝4﹣（﹣1）﹣﹣（﹣1）＝6﹣3．故答案为：6﹣3．三．解答题21．证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形．22．（1）证明：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，又点E是BD的中点，∴EA＝BD＝EB，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠AEC＝2∠B，又∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，∴AE＝AC，∴BD＝2AC；（2）解：∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，∴BD＝2AE＝13，EA＝EB＝6.5，由勾股定理得，AB＝＝＝12，∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝12+6.5+6.5＝25．23．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB，DC＝AB∵CF＝AE∴DF＝BE且DC∥AB∴四边形DFBE是平行四边形又∵DE⊥AB∴四边形DFBE是矩形；（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB∴AE＝，DE＝AE＝∵四边形DFBE是矩形∴BF＝DE＝∵AF平分∠DAB∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB∴AB＝BF＝∴CD＝24．解：（1）如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE ＝CF ；（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的周长发生变化．理由如下：由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC +S △ACF ＝S △AEC +S △ABE ＝S △ABC ，是定值，作AH ⊥BC 于H 点，则BH ＝2，S 四边形AECF ＝S △ABC ＝．△CEF 的周长＝CE +CF +EF ＝CE +BE +EF ＝BC +EF ＝BC +AE由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故△AEF 的周长会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，△CEF 的周长会最小＝4+．25．（1）证明：∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE ，在△AEF 和△DEB 中， ∵，∴△AEF ≌△DEB （AAS ），∴AF ＝DB ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴AD ＝CD ＝BC ，∴四边形ADCF 是菱形；（2）解：设AF 到CD 的距离为h ，∵AF ∥BC ，AF ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝90°，∴S 菱形ADCF ＝CD •h ＝BC •h ＝S △ABC ＝AB •AC ＝×12×16＝96．26．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．27．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OC＝OD，21 ∴▱OCE D 是菱形；（2）方法一：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4， ∴BC ＝2，AB ＝2，∵S △COD ＝S 矩形ABCD ＝S 菱形OCED ，∴S 菱形OCED ＝×2×2＝2．方法二：解：在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4， ∴BC ＝2，∴AB ＝DC ＝2，如图，连接OE ，交CD 于点F ，∵四边形OCED 为菱形，∴F 为CD 中点，∵O 为BD 中点，∴OF ＝BC ＝1，∴OE ＝2OF ＝2，∴S 菱形OCED ＝×OE ×CD ＝×2×2＝2．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

特殊平行四边形的性质与判定
【例】(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
【思路点拨】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用勾股定理可求出AE、BE，进而求出AE、DE，即可求出菱形BFDE 的面积．
【方法归纳】证明平行四边形及特殊平行四边形时，通常要先看题中已知条件的特点，然后根据条件选择合适的判定方法加以证明．
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连接BE.求四边形AEBD的面积．
2．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若∠DAB＝60°，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O.
(1)连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；
(2)求菱形AFCE的边长．
4．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G.求证：
(1)四边形CFEG是矩形；
(2)AE＝FG.
5．(牡丹江中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．
【例】．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD. 由翻折得BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB，∠C ＝∠DNF，
∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF＝90°.
∴BN＝DM ，∠EMD ＝∠FNB＝90°.
∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN.
∴△EDM≌△FBN(ASA)．
∴ED＝BF.
又∵DE∥BF，
∴四边形BFDE 是平行四边形．
（2）∵四边形BFDE 是菱形，
∴∠EBD ＝∠FBD.
∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC ＝90°，
∴∠ABE ＝13×90°＝30°.
∴AE ＝12BE.
由勾股定理得AB ＝3AE.
在Rt △ABE 中，AB ＝2，
∴AE ＝233，BE ＝4
3 3.
∴ED ＝4
3 3. ∴AD ＝2 3.
∴S △ABE ＝1
2AB ·AE ＝2
33，S 矩形ABCD ＝AB·AD＝4 3.
∴S 菱形BFDE ＝43－2×233＝83 3.
针对训练
1.∵AE ∥BC ，DE ∥AC ，
∴四边形AEDC 是平行四边形．∴AE＝CD.
在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，
∴∠ADB ＝90°，BD ＝CD.
∴BD＝AE.
∴四边形AEBD 是矩形．
在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，AC ＝5，CD ＝1
2BC ＝3，
∴AD ＝52－32＝4.
∴四边形AEBD 的面积为BD·AD＝CD·AD＝3×4＝12.
2.(1)证明：连接BD ，交AC 于O.
∵四边形ABCD 是菱形，
∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD.
∵AE＝CF ，
∴OE ＝OF.
∴四边形BEDF 是平行四边形．
∵EF⊥BD，
∴OD ＝12AD ＝3.
∵AE＝DE ，
∴∠DAE ＝∠ADE，∠ADE ＝∠EDO＝30°.
在Rt △DEO 中，由勾股定理可得DE ＝23，
∴菱形BEDF 的周长为4DE ＝8 3.
3.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.
∵EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC. 在△A OE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧
∠EAO＝∠FCO，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF，
∴△AOE ≌△COF(ASA)．
∴OE＝OF.
∵OA＝OC ，
∴四边形AFCE 是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE 是菱形．
（2）∵四边形AFCE 是菱形，∴AF ＝FC.
设AF ＝x cm ，则CF ＝x cm ，BF ＝(8－x)cm ，
∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°.
∴在Rt △ABF 中，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5，即AF ＝5 cm.
4.证明：(1)连接EC.∵四边形ABCD 是正方形，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，
∴∠GCF ＝∠CFE＝∠CGE＝90°.∴四边形EFCG 为矩形．
（2）∵四边形EFCG 为矩形，∴FG ＝CE.
又∵BD 为正方形ABCD 的对角线，∴∠ABE ＝∠CBE.
在△ABE 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE
＝BE ，∠ABE ＝∠CBE ，AB ＝BC ，
∴△ABE ≌△CBE(SAS)．
∴AE＝EC.
∴AE＝FG.
5.(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB ＝90°.
∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACB ＝∠DFB.
∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC 是平行四边形．
∴CE＝AD.
（2）四边形BECD 是菱形，
理由：∵D 为AB 中点，∴AD ＝BD.
∵CE＝AD ，∴BD ＝CE.
∵BD∥CE，∴四边形CDBE 是平行四边形．
∵D为AB中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°. ∵四边形CDBE是菱形，
∴四边形CDBE是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．。

九年级数学上册小专题二特殊平行四边形的性质与判定新版北师大版含答案

北师大版九年级数学上【纠错必备】特殊平行四边形 (含答案)

北师大版数学九年级上册 《特殊平行四边形》 各节含答案

新北师大版九年级数学上册 特殊的平行四边形(含中考真题解析)

新北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》试卷(附答案)

北师大版九年级上册 第一章 单元练习题：《特殊的平行四边形》(含答案)