2020年日本数学奥林匹克试题
2020年马其顿数学奥林匹克竞赛试题(无答案)
2020年马其顿数学奥林匹克 高中组：1.已知a,b 为正整数p,q 为素数,且p 不能整除q-1,|.p p q a b -求证:q|a-b.2.设实数[]()12,,,1,22n x x x n ⋅⋅⋅∈≥.证明:()121123n n x x x x x x -+⋅⋅⋅+-≤+⋅⋅⋅+. 并证明,当前仅当()()12,,,1,2,,1,2n x x x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅或(2,1,…,2,1)时,上式取等号.3.△ABC 中,三条内角平分线分别与对边BC,CA,AB 交于点A 1,B 1,C 1.过A 1,B 1,C 1三点的圆Ω恰与BC 切于点A 1,与AC 和AB 分别再次相交于点B 2,C 2.证明:|AB|=|AC|或|AC 1|=|AB 2|.4.设S 为一个非空的有限集合,F 为S 的一些子集的集合,且满足:(i)F\{S}=∅; (ii)若F 1,F 2∈F,则F 1∩F 2∈F ，F 1∪F 2∈F.证明:存在a ∈S,且它最多属于F 中的一半元素.初中组:1.设S为所有满足n+1,n+3,n+4,n+5,n+6,n+8均为合数的正整数n组成的集合.求最大的正整数k,使得对任意n∈S,集合{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5,n+6,n+7,n+8,n+9}中一定存在k 个连续的合数.2.正实数x,y,z满足xy+yz+zx=27.证明x+y+z≥3xyz并求取等条件.x+=⋅.3.在整数范围内解方程523101y4.等腰△ABC中,AB＝BC.在AC和BC上分别取点D,E,使得CD＝DE.设H,J,K分别为DE,AE,BD 中点,过D,H,K的圆与AD交于F,过E,H,J的圆与BE交于G.过K作AC平行线与AB交于点I.证明IH,GF,JK共点.5.设三角形T的所有顶点坐标均为整数,且它的三条边上恰好各有m个整点.若T的面积小于2020,求m可能的最大值.。
2020四套数学奥林匹克高中训练题及答案
数学奥林匹克高中训练题（一）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题22)集合111{|log 2,}23nn n N -<<-∈的真子集的个数是(A)． (A) 7 (B)8 (C)31 (D)322．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．(A){1,2,3,4,5,6} (B) {0,1,2,3,4,5,6} (C) {0,1,3,4,5,6} (D) {0,1,2,3,5,6}4．(训练题22) 函数(),()y f x y g x ==的定义域及值域都是R ，且都存在反函数，则11((()))y f g f x --=的反函数是(B)．(A)1((()))y f g f x -= (B) 1((()))y f g f x -= (C) 11((()))y f g f x --= (D) 11((()))y f g f x --=5．(训练题22) 若cos 40sin 40o o ω=+,则1239239ωωωω-++++等于(D)． (A)1cos 2018o (B) 1sin 409o (C) 1cos 409o (D) 2sin 209o 6．(训练题22) 当01x <<时，222sin sin sin ,(),x x x x x x的大小关系是(B)． (A) 222sin sin sin ()x x x x x x << (B) 222sin sin sin ()x x x x x x << (C) 222sin sin sin ()x x x x x x << (D) 222sin sin sin ()x x x x x x<< 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题22) 已知211(),()5,()2f x x g x x g x -==-+表示)(x g 的反函数，设11()(())(())F x f g x g f x --=-．则()F x 的最小值是 703． 2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有 840 个．3．(训练题22) 四面体P ABC -中，,8,6,9,120o PC ABC AB BC PC ABC ⊥===∠=面，则二面角B AP C --的余弦值是 ． 4．(训练题22) 设{}P =不少于3的自然数，在P 上定义函数f 如下：若,()n P f n ∈表示不是n 的约数的最小自然数，则(360360)f = 16 ．5．(训练题22)n 为不超过1996的正整数，如果有一个θ，使(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+成立，则满足上述条件的n 值共有 498 个．6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则红色子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ． 第二试一、(训练题22)(本题满分25分) 点M 是正三角形内一点，证明：由线段,MA MB 和MC 为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的13． 二、(训练题22)(本题满分25分) 若21x y +≥，试求函数2224u y y x x =-++的最小值．95- 三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数x 和y ，使得如下不等式成立0212x y x y xy-≤<+++． 四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边．数学奥林匹克高中训练题（二）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题23)119963+除以19971996⨯所得的余数是(D)．(A) 1 (B) 1995 (C) 1996 (D) 19972．(训练题23)若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A)． (A)a 21 (B)a1 (C)a (D)a2 3．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线段），则正确的命题是(B)．(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．(B)任何三条线段都可组成一个三角形，其中每个内角都是锐角．(C)任何三条线段都可组成一个三角形，其中必有一个是钝角三角形．(D)任何三条线段都可组成一个三角形，其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”，随长方体的长，宽，高而变化，不能确定．4．(训练题23)若20π<<x ，则11tan cot sin cos x x x x++-的取值范围是(D)． (A)()+∞∞-, (B)()+∞,0 (C)),21(+∞ (D)()+∞,1 5．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻，则其可能的排法个数是(A)． (A)!5!7!8⋅ (B)!4!6!7⋅ (C) !7!3!10⋅ (D) !3!7!10⋅ 6．(训练题23)使得11cos 51sin +>n 成立的最小正整数n 是(B)．(A)4 (B)5 (C)6 (D)7二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题23)设R a ∈，若函数310),(+==xy x f y 关于直线x y =对称，且)(x f y =与)lg(2a x x y +-=有公共点，则a 的取值范围是 6a <- ．2．(训练题23)设1,,2-=∈+i R b a 且存在C z ∈，适合⎪⎩⎪⎨⎧≤+=+1z bi a z z z 则ab 的最大值等于 18 ． 3．(训练题23)设 900<<α，若ααsin 1)60tan(31=-+ ，则α等于 3050o o 或 ． 4．(训练题23)设''''D C B A ABCD -是棱长为1的正方体，则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点'''',,,D C B A 的圆上的点Q 之间的最小距离=d2 ． 5．(训练题23)如图，在直角坐标系xOy 中，有一条周期性折线（函数）).(:1x f y l =现把该曲线绕原点O 按逆时针方向旋转45得到另一条曲线2l ，则这两条曲线与y 轴及直线()N n n x ∈=围成的图形的面积等于(12n +-- ．6．(训练题23)设b a ,都是正整数，且100)21(2+=+b a 则b a ⋅的个位数等于 4 ．第二试一、(训练题23)(本题满分25分) 求证：在复平面上，点集}01:{3=++∈=z z C z S 中，除去某一个点外的所有的点都在圆环45313<<z 中． 二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线),0(22>=p px y 其焦点为F .试问：是否存在过F 点的弦AB （B A ,均在抛物线上，且A 在第一象限内），以及y ）轴正半轴上的一点P ，使得B A P ,,三点构成一个以P 为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的，请求出直线AB 的方程．)2p y x =- 三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定321A A A ∆及点0P ，构造点列0P ，1P ， 2P ，使得13+k P 为点k P 3绕中心1A 顺时针旋转150时所到达的位置，而23+k P 和33+k P 为点13+k P 和23+k P 分别绕中心2A 和3A 顺时针旋转 105时所到达的位置， ,3,2,1,0=k .若对某个N n ∈，有03P P n =，试求321A A A ∆的各个内角的度数及三个顶点321,,A A A 的排列方向．四、(训练题23)(本题满分35分)设n ααα≤≤≤< 210，n b b b ≤≤≤< 210，且∑∑==≥n i i n i i b a 11又存在)1(n k k ≤≤使得当k i ≤时有i i a b ≤，当k i >时，有i i a b >.求证：∏∏==≥n i i n i ib a 11． 1。
2018年日本初中数学奥林匹克决赛试题
2018年日本初中数学奥林匹克决赛1.k 是大于等于3的整数，使用一个正k 边形，A 和B 两个人玩如下的游戏，重复k 回：A 说一个大于等于1且小于等于100的整数，B 把该整数写在正k 边形的某个尚未写上数字的顶点上如果正k 边形上有写着相同数字的三个顶点，且这三个顶点构成等腰三角形，那么B 获胜，否则A 获胜。
此时，试求出所有的k ，使得不管A 怎么做B 都有办法获胜。
2.有5个人，计算出每两个人的年龄差，发现是两两互异的正整数，试求岁数最大的和岁数最小的人的年龄差可能取到的最小值。
3.设△ABC 的外接圆为ω,AB =AC ,过B,C 两点的圆分别交边AB,AC 于D,E 两点,直线DE 和直线BC 交于点F .直线AF 交ω于A,G 两点.H 为DE 上一点,射线AH 交ω于点I .试证：F,G,H,I 四点共圆.AB C DE FGHI4.k 是大于或等于2的整数，A =2k −1。
L 是小于或等于A 2的正奇数，首先将其写在黑板上，如下操作重复k −1次：记前面刚写在黑板上的整数为n ，在黑板上写上能整除A −n 的最大正奇数。
此时，试证：包括最初写在黑板上的L ，黑板上的L 出现了至少两次。
5.三角形ABC 的内切圆为ω,边BC CA AB 的中点分别记作A ′,B ′,C ′。
存在六个点B a ,C a ,C b ,A b ,A c ,B c ，线段B a C a ,C b A b ,A c B c 均是圆ω的直径，且分别平行于BC,CA,AB ，直线B ′C a 与直线C ′B a 交于点X,直线C ′A b 与直线A ′C b 交于点Y ，直线A ′B c 与直线B ′A c 交于点Z ，试证：直线AX,BY,CZ 三线交于一点。
AB CA ′B ′C ′A b A c C b B c B a C aXYZ（中山大学:詹秋明汉化）。
2020墨西哥高中数学奥林匹克试题(word版,无答案)
6.设n≥2为正整数.非零实数 满足如下等式:
3.设n≥3为整数.A,B两人用一个正n边形玩游戏.首先,A给这个n边形上每ห้องสมุดไป่ตู้顶点编上1－n的序号,并保证每个顶点的编号互不相同.随后,B在每个顶点处放上一只训练有素的火鸡.接下来的每个回合中,火鸡们按照B的指令前往和当前所在顶点相邻的顶点.若B吹哨,每只火鸡前往两个相邻顶点中编号较小的那个.若B拍手,每只火鸡前往两个相邻顶点中编号较大的那个.若经过若干个回合后,所有的火鸡都在同一个顶点处,则B获胜.若B无论如何也无法实现这一目标,则A获胜.对所有n≥3,问哪方有必胜策略.
2020墨西哥数学奥林匹克
1.对一个由五个正整数构成的集合,若其中任意三个数的最大公约数大于1,其中任意四个数的最大公约数等于1,就称这个集合是“虚拟”的.求证:对任意一个虚拟的集合,其所有元素的乘积至少有2020个互异的正因数.
2.如图,△ABC内心为I.直线BI交AC于D.在CI上取一点P,使得PD＝DI.过A,B,D的圆与BC再次相交于点E.直线EP与过A,E,C的圆再次相交于点Q.求证:PD⊥DQ.
求 所有可能的值.
4.设n≥3为正整数.将n个盒子排成一圈,并在每个盒子中摆上一个物件,这个物件可以是剪刀,石头,布之一.任意两个相邻盒子中的物件不同,且任意一种物件都至少在一个盒子中.跟中国规则相同,剪刀胜布,布胜石头,石头胜剪刀.在每个回合中,操作者任选两个相邻的盒子,从中各取出一个物件进行比试,并将失败的物件移至胜利的盒子中.例如,从A盒中取出剪刀,B盒中取出石头,则B盒胜,剪刀被移至B盒中.求证:一定可以通过若干次操作,将所有物件移至同一个盒子中.
日本高中数学奥林匹克试题及解答2010—2014
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这里" 对" 进行考察" 因为当" )""!"$"*"-时分别得到的数 # 的个数是相同的!所以"在全部优良整数中" " 的平均值为 & "( + + 同样地 " " 在全部优良整 ' " " " !($(+('(%()(,() ! +" 数中的平均值也为+ 于是得 # # # ! $ +
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有! 从每个飞机场已有几个直飞到其他飞机场的航 " # "个飞机场 当符合下面两个条件时 班 对于任意两个飞机场 , 和- 从 , 出发可以通过几种不同的换 # 乘方式到达- 对于已开通的直飞航班 如果发生了关闭航班的状况 那么条件 ! 就不满足! # 某一天 在已开通的直飞航班中有一个航班关闭了 准备开设一个 可以是已关闭的直飞航班 并且满足条件 新的直飞航班 # ! 研究最多有多少种直飞航班的开设方式! 其中 从飞机场 6 到7 已 再开设从7 出发到达6 的直飞航班可以不受限制! 有直飞航班时
) $
已知由正整数组成的无穷数列" " 对于任意的正整 " "*" " "*" 数*满足如下两个条件) & ' # " 是* 的倍数(
2020年塞尔维亚数学奥林匹克(pdf可编辑版,无答案)
2020塞尔维亚数学奥林匹克1. 求所有首一的多项式P x (), 使得-P x ()12可以被+P x (1)整除.2. 给定一个至少有5个顶点的多面体, 且每个顶点恰与3条边相连. 证明, 可以在每个顶点上标记一个有理数, 且满足如下两个条件:(i)至少有一个顶点上标记的数为2020.(ii)对每个面, 这个面上所有顶点上所标记数字的乘积为1.3. 给定△ABC, 在射线BA 上取点D, 射线AB 上取点E, 使得AD ＝AC, BE ＝BC. △DBC 和△EAC 的外接圆再次相交于点X, △DEC 和△ABC 外接圆再次相交于点Y. 若DY ＋EY ＝2XY, 求∠ACB 大小.第一天第二天4. 如图, 梯形ABCD中, 每个角都不为直角. 对角线AC和BD交于E. 作AP⊥BC于P, BQ⊥AD于Q. 过C,E,Q的圆与过D,E,P的圆交于点F.求证: AP, BQ, EF要么互相平行,要么交于一点.5. 对自然数n, 设2()v n 表示满足0,2|k k n ≥的最大自然数k. 若函数**:f →满足如下两个条件: (1)对任意*,()3x f x x ∈≤. (2)对*22,,(()())()x y v f x f y v x y ∀∈+=+. 证明: 对*a ∀∈, 有且仅有一个正整数x, 使得()3f x a =.6. 给定一个正整数k, 将n 个硬币分成若干堆, 并将这些硬币堆从左往右排成一列.(每堆可以有多个硬币)接下来, 在如下两种操作方式中任选一种进行操作:(i) 找到两个非空的硬币堆, 将其中一堆的所有硬币移至另一堆.(ii)找到一个至少有2个硬币的硬币堆, 从中选出两枚硬币,将其中一枚移至其左侧第k 堆, 再将另一枚移至其右侧第k 堆.(空堆也算)这样我们就完成了一步. 随后我们继续从以上两种操作中任选一种进行下去,直到无法进行操作为止.(1)若n ≤k ＋1, 证明我们只能进行有限步操作.(2) 当k 为何值时, 我们可以找到正整数n, 并以某种方式将这n 枚硬币分堆, 使得我们可以进行无限次操作?。
2020国际奥林匹克数学竞赛压轴题
2020国际奥林匹克数学竞赛压轴题
摘要：
1.2020 国际奥林匹克数学竞赛概述
2.压轴题的背景和意义
3.压轴题的解答思路
4.对中国选手在比赛中的表现分析
5.总结
正文：
【2020 国际奥林匹克数学竞赛概述】
2020 国际奥林匹克数学竞赛（IMO）是全球范围内最高水平的青少年数学竞赛，吸引了来自世界各地的优秀选手参加。
该比赛每年举办一次，旨在发现和培养青少年数学人才，推动数学教育的发展。
【压轴题的背景和意义】
在2020 年的IMO 竞赛中，最后一道题目，也就是压轴题，是一道涉及复数分析和解析几何的综合性问题。
这道题目难度较大，对选手的数学基础和解题能力有很高的要求。
压轴题的背景和意义在于，它不仅考查选手的基本运算能力，还需要选手具备良好的逻辑思维和创新能力。
【压轴题的解答思路】
这道压轴题的解答思路主要包括以下几个步骤：
第一步，根据题目给出的条件，建立数学模型。
第二步，利用复数分析的相关知识，对模型进行化简和分析。
第三步，运用解析几何的方法，求解模型中的未知量。
第四步，将求得的结果进行验证，得出最终的结论。
【对中国选手在比赛中的表现分析】
在这次比赛中，中国选手表现出色，共有6 名选手获得金牌。
其中，压轴题的解答环节，中国选手们也展现出了很高的水平。
这说明我国在数学教育方面，尤其是对优秀学生的培养上，取得了显著的成果。
【总结】
2020 年国际奥林匹克数学竞赛的压轴题，既展示了数学的美妙与挑战，也展现了各国选手的才华与潜力。
对于中国选手而言，这次比赛的优异成绩是对我国数学教育成果的肯定，更是一种激励。
2020年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题
四川·成都 考试时间：2020 年 8 月 24 日 8:00-9:00
一、填空题(本大题共 8 道小题, 每小题 8 分)
1. 已知方程 4x x ax 1 0 恰有三个解, 则 a 的取值范围是
.
2.
函数
y
1 3
cos
2
x
sin
x
cos
x
在
π 2
,
π 2
的最大值为
.
3. 在梯形 ABCD中, BC//AD, AB AD, ABC 2π , BCD π , 将△ ABD 沿 BD 翻折,
3
2
A 在面 BCD 上的投影为点 P, 已知 AB 与 CD 所成角的余弦值为 3 , 则 BP 与 CD 所成角的 6
余弦值为
.
4. 设 H 为△ ABC 的垂心, O 为△ ABC 的外心, 若 HA HB HC 2, 则 OA OB OC
S2019 2018, 则 S2020
.
7.
已知双曲线
x2 9
y2 16
1 的左右焦点为
F1、F2 ,
过 F1 的直线与左支交于 A、B 两点, 且
AF1 AF2
1, 2
则△ AF1F2 与△ ABF2 的内切圆面积比为
.
8. 如图, 甲乙两人同时出发, 甲从 A 到 B, 乙从 C 到 D, 且两人每次都只能向上或者向右走
段 AB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C, 则△ ABC 面积最大值为
.
n
8. 设方程 xyz 900 的全部正整数解为 xi , yi , zi 1 i n, 则 xk yk zk
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2020年日本数学奥林匹克决赛试题
一、求所有正整数对（m,n），使得422112mmnn和都是整数。
二、在△ABC中，BC＜AC。点D、E分别位于线段AB、AC上。满
足BD=CE=BC。直线BE与CD交于点P。△ABE的外接圆和△ACD
的外接圆再次交于点Q。求证：PQ⊥BC。
三、求所有的函数
ZZf:
，使得对所有的正整数m,n均有
22222
nmfnfmnfm
四、设整数n≥2.在圆周上有3n个不同的点,井上和松下对它们进行
如下操作:首先,井上任选两个未连接过的点,将它们用一条线段连起
来。随后,松下任选一个没有放置过棋子的点,在上面放一个棋子.以上
记为一个回合。
请证明;无论松下怎么操作,井上可以保证，在n回合之后,恰有一端有
棋子的线段的个数不小小于61n。
五、求所有正整数构成的满足以下条件的无穷数列
1na
n
：
存在满足条件的常数C＞0，使得gcd(am+n,an+m)＞c(m+n).