7.3.1 多边形-
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7.3 多边形及其内角和
从容说课
我们学过三角形.类似地,在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、……三角形是最简单的多边形.在现实生活中,有关多边形的例子举不胜举.如螺母底面的边缘可以设计为六边形,也可以设计为八边形;钟表的边框有四边形、六边形,还有八边形;铺地的地板砖有正方形、正六边形等.可见,多边形在现实生活中的应用非常广泛.
多边形的有关内容是在三角形的基础上扩展的.所以要把多边形分割为若干个三角形来研究,也就是要运用数学中的重要思想,即转化思想,还有观察图形和运用代数方法计算的数形结合思想等.因此,数学教学不仅仅是单纯的知识传授,更应注意对其中所蕴含的数学思想方法的提炼和总结,使之逐步被学生掌握并对他们发挥指导作用,使他们具备某些数学方面的能力,在日后的工作和学习中能做到灵活运用,能自如地解决一些问题.在教学中,力求做到观察──思考──探究──讨论──归纳.即先让学生观察,自己思考,然后互相交流,最后归纳出结论.让学生更多地互相交流,进行数学活动,在主动学习、探究学习的过程中获得知识,培养能力,体会数学思想方法.
7.3.1 多边形
(第5课时)
三维目标
一、知识与技能
1.掌握多边形的定义,多边形的内、外角及凸多边形的有关概念.
2.理解多边形的对角线的概念,探索一个多边形能画几条对角线.
二、过程与方法
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
三、情感态度与价值观
能积极、主动地参加数学活动,和同学互相配合,互相交流,学会与人合作.
教学重点
理解有关多边形的概念;探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系及转化思想的渗透.
教学难点探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系.
教具准备投影片两张
第一张(记作7.3.1A);第二张(记作7.3.1B).
教学过程
一、创设问题情境,导入新课
前面我们已经研究过三角形的有关概念、性质,那么边数大于三的图形的概念和性质是什么呢?它们和三角形的有关概念和性质是否有相似之处呢?让我们一起来探究一下.
二、动手试一试,你会有收获
活动1
问题:
由三角形的有关概念类推有关多边形的概念.
设计意图:
在三角形的基础上,学习多边形或把多边形的有关问题转化为三角形.
师生活动:
1.多边形的定义
师:大家还记得三角形的定义吗?
生:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
师:大家能否据此猜想一下多边形的定义呢?
生:可以.由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形.师:它们之间一点区别也没有吗?请大家认真讨论后作答.
生:有区别,三角形中有三条线段,多边形中不止有三条线段.
师:大家看课本上的定义,和猜想得到的定义有何区别?
生:加了一个条件:在平面内.
师:是的.三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内.而四点、五点甚至更多的点就有可能在同一平面内,也有可能不在同一个平面内,而我们在初中阶段主要探讨的是平面几何,所以应在前面加上条件:在平面内.
在定义中应抓住几点:①在同一平面内;②若干条线段;③首尾顺次相接.
具体来讲四边形、n边形的定义,你可以吗?
生:在平面内,由四条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做四边形.
在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……若一个多边形由几条线段组成,那么这个多边形就叫做n边形.
师:总结得非常好.请看屏幕上出现的图形中有哪些多边形呢?(出示投影片7.3.1A 如图7.3-1所示)
生:有六边形和八边形.
2.多边形的内角和外角
师:先回忆三角形的内角和外角.
生:三角形中相邻两边所组成的角叫做三角形的内角.三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角.
师:能类推多边形的内角和外角的定义吗?
生:多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角;多边形的边与它的邻边的延长线组成的角,叫做多边形的外角.
尝试反馈巩固练习
(出示投影片7.3.1B,如图7.3-2所示)
问题:
指出图中的内角和外角,相邻的内角与外角之间的关系如何.
设计意图:
检验对内角和外角的定义是否掌握.
师生活动:
师:大家先思考,然后互相交流.
生:如图7.3-2是一个五边形,∠BAE,∠ABC,∠C,∠D,∠CDE是它的内角,∠1,•∠2,∠3是它的外角.因为∠1+∠BAE=∠2+∠AED=∠3+∠ABC=180°.所以可知:相邻的内角与外角之间的关系是互补并且相邻,所以是邻补角.
3.凸多边形的定义
师:在图7.3-3中,你能发现有什么不同吗?请大家细心观察,认真思考,•互相讨论,然后归纳出结论.
生:在图7.3-3①中,把线段CD向两边延长,•发现整个四边形都在这条直线CD的同一侧;图7.3-3②中,把线段CD向两方延长后,•整个四边形不都在这条直线的同一侧.
师:很好.
在多边形中,画出多边形的任何一条边所在直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,那么这个多边形就是凸多边形,否则叫凹多边形.本节我们只讨论凸多边形.4.正多边形的定义
师:大家能从字面意思来作出解释吗?
生:所谓正,就是不歪,如果歪的话,可能是边长不等,或者角度不等造成的,而不歪就是边长相等,角度相等的多边形.
师:非常棒,确实是这样的.
正多边形的定义即为各个角都相等,各条边都相等的多边形.如图7.3-4•就是正多边形.
活动2
问题:
掌握多边形的对角线的定义,并探究多边形的对角线和边数之间的关系.
设计意图:
一方面是训练学生的探究能力,另一方面为下一节求多边形的内角和作准备.
师生活动:
大家能猜想一下对角线这个名词的意思吗?
生:对角线就是相对的角之间的连线.
师:有道理.但也还有点问题,如果是四边形,每一个角都有一个相对的角,如果是五边形,那么每个角是否有相对角?有几个呢?
生:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
师:知道多边形的对角线的定义后,下面我们亲自来画一些多边形的对角线,画出三角形、四边形、五边形、六边形所有的对角线,并观察过每一个顶点可画出几条对角线.生:三角形没有对角线,因为没有不相邻的两个顶点;
四边形中,过一个顶点可画一条对角线,共可画两条对角线;
五边形中,过一个顶点可画两条对角线,共可画出五条对角线;
六边形中,过一个顶点可画三条对角线,共可画出九条对角线.