哈尔滨工程大学复变函数考试大纲

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2016.11.13复变函数与积分变换

第3页共6页第4页共 6页(C) Re(())f z 在D 为常数 (D) Im(())0f z >5. z 平面的区域:{|Im 0}D z z π-<<在映射e z w =下的像为w 平面的( ). (A) 上半平面(B) 下半平面(C) 左半平面(D) 右半平面6. 设sin ()d C f z z ξξξ=-⎰Ñ, 其中C 为正向圆周||4ξ=, 且||4z ≠, 则=')2(πf ( ). (A) 0 (B) 1 (C) 1- (D) i π27. 设()f z 在单连通区域D 内处处解析, C 为D 内任意一条正向简单闭曲线, 则积分()2()3()d ()Cf z f z f z z f z '''++=⎰( ).(A) 0(B) 2i π (C) 2i π- (D) 不能确定8. 若幂级数0n n n c z +∞=∑的收敛半径2R =, 那么该级数( ).(A) 在2z =-点条件收敛 (B) 在2z i =点绝对收敛 (C) 在||2z =上必存在某点z 发散(D) 以上皆有可能9. 若3(1),0,1,2,...4,1,2,...n n n n n c n ⎧+-=⎪=⎨=--⎪⎩, 则洛朗级数n n n c z +∞=-∞∑的收敛域为( ).(A) 11||43z << (B) 3||4z << (C)1||14z << (D) 不存在10. 设[()]()f t F ω=F , 且0)(lim =∞→t f t , )(t f '在),(+∞-∞内存在, 且在任意有限区间上除有限个第一类间断点外连续, 则[()]f t '=F ( ). (A) ()i F ωω- (B) 1()F i ωω-(C) ()i F ωω(D)1()F i ωω三、计算题（每小题5分, 共20分）1. 计算积分ln d Cz z ⎰, 其中C 为连接1到i 的上半圆周.2. 设函数(,R )u ax by a b =+∈, 求以u 为实部的解析函数()f z , 并满足条件(0)f i =.第5页共6页第6页共6页3. 求函数1w z =将z 平面上的曲线1(0)y x x =>映射到w 平面上的曲线方程.4. 利用拉氏变换求方程0()2()()d tx t x t x t ττ'-+=⎰满足初值条件(0)0x =的解.四、应用题（每小题5分, 共10分） 1. 将函数1()(1)(3)f z z z =--在区域1||3z <<内展开为洛朗级数.2. 利用留数计算实积分201d sin x a xπ+⎰(1)a >.。

复变函数与积分变换期末考试题

哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2010-2011 年第一学期）2011-01-04得分评卷人选择题（每小题2分，共10分）一、1、00Im Im limz z z z z z →-=- （）.Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．0 Ｄ．不存在2、若0(1)n n n a z ∞=-∑在3z =发散，则它在（）.A . 1z =-收敛Ｂ．2z =收敛 C . 2z i =发散 D . 均不正确3、已知函数212()1cos f z z z=--，则0z =，z =∞分别是()f z 的（）.Ａ．二阶极点、孤立奇点Ｂ．二阶极点、非孤立奇点Ｃ．可去奇点、孤立奇点Ｄ．可去奇点、非孤立奇点4、映射3z iw z i-=+在02z i =处的旋转角为（）. Ａ．/2π- Ｂ．0 C ./2π D . π5、下列命题或论断中，正确的个数是（）.I ：Ln z Ln z =Ⅱ：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，则u -是v 的共轭调和函数III ：()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导数()f z '存在的充要条件是,u v 的偏导数分别存在Ⅳ：()tan(1/)f z z =在任意圆环域0z R <<不能展开为洛朗级数Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3得分评卷人填空题（每小题2分，共10分）二、6、设z i e i =，则Re z = .7、若函数32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a .8、设函数cos ze z 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，则它的收敛半径为 .9、设信号()(1)f t t δ=-，则通过Fourier 变换得到的频谱函数()F ω= .10、设1()(1)F s s s =-，则通过Laplace 逆变换得到()f t = . 得分评卷人计算题Ⅰ（每小题5分，共25分）三、11、函数33()23f z x i y =+在何处可导？何处解析？12、设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，且22()(4)u v x y x xy y -=-++，求()f z .13、计算积分()n Cz z dz +⎰，其中:1C z =为负向，n 为整数.14、计算积分(21)(2)C zdzz z +-⎰，其中:3C z =为正向.15、利用留数定理计算定积分201cos d πθθ+⎰.得分评卷人计算题Ⅱ（每小题6分，共18分）四、16、求函数23()32z f z z z -=-+在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开：(1) 圆1z <内；(2) 环12z <<内；(3) 环11z <-<∞内.17、设2321sin (),:32C e f z d C z iz ξξξξπξξ=-=-⎰正向，试求：(1) ()f z 在复平面上除去3z =的点处的函数表达式； (2) ()f i '及()f i π.18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.(1) Z 平面阴影部分是角形区域/6arg /6z ππ-<<，如下图所示。

哈尔滨工程大学考试科目

②201英语 ②自动控制一、202俄元件语、203 日语任选其一 ③301数学一 ④810自动 ②电路基础控制原理 ①微型计算 ①工程数学 ①101思想机原理与接 (含线性代数政治理论口技术、复变函数) ②201英语一、202俄语、203 日语任选其一 ③301数学一 ②自动控制元件
080800 电气工程 21（2）
01电力系统及其自动化 02电力电子与电力传动 083100生物医学工程
5（1）
01人体信息检测技术 02医学图像 5（1）处理与分析 03生物信息学 04生理系统建模与仿真
②201英语 ②自动控制一、202俄元件语、203 日语任选其一 ③301数学一 ④811生物医学工程原 ②电路基础理 ①101思想政治理论 ①微型计算 ①工程数学机原理与接 (含线性代数口技术、复变函数)
071100 系统科学 5（1）
01系统分析与集成
085210控制工程（专业学位） 01水下导航系统理论与技术 02船舶航行与作业控制理论与工程 03现代控制理论及应用 04船舶先进减摇控制技术 63（33） 05机器感知与智能控制 06现代舰船综合导航理论与系统技术 07新型惯性器件与高精度导航系统 08模式识别与智能机器人
④810 自动控制原理
②ห้องสมุดไป่ตู้路基础
01精密仪器及机械 02测试计量技术及仪器
②201英语 ②自动控制一、202俄元件语、203 日语任选其一 ③301数学一 ④ 810自动 ②电路基础控制原理 ①微型计算 ①工程数学 ①101思想机原理与接 (含线性代数政治理论口技术、复变函数) ②201英语 ②自动控制一、202俄元件语、203 日语任选其一 ③301数学一 ④810自动 ②电路基础控制原理 ①微型计算 ①工程数学 ①101思想机原理与接 (含线性代数政治理论口技术、复变函数)

复变函数--哈尔滨工程大学

易见， z x iy 一对实数 ( x , y ),
在平面上取定直角坐标系，点 P 一对实数 (x, y)
复变函数与积分变换
z x iy 平面上的点 P ( x , y )
所以复数 z x iy 可用平面上坐标为 ( x， y ) 的点 P表示 .
非零复数 z的指数表示式 :
z re
i
r

o
x
例1
哈尔滨工程大学
求下列复数的模 ,辐角及辐角主值 . 1) 1 i 2) 2i i1
例2
将下列复数化为三角表示式和指数表示式 1 )z 12 2i 2 ) z s in
课程基本介绍
研究对象复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务
研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
主要内容
复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、
保形映射，积分变换等。
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。
z1 z2
,(
z1 z2
)
例2 求
复变函数与积分变换
1 i 1 i
4
例3
已知 x iy ( 2 x 1 ) y i , 求 z x iy .
2
§2 复数的几何表示
哈尔滨工程大学
1. 点的表示 z x iy 复平面上的点P ( x，y )

哈工程复变函数与积分变换期末试题及答案

哈尔滨工程大学复变（
1、下列函数中在原点不连续的为
Re z Ａ． f ( z ) 1 z (Re z ) 2 Ｂ． f ( z ) z
2011-2012 ）
分（ . ）
2
C
f ( z) dz z n 1
n 1
（
Ｂ． ( 1)
n 1
）
2a n
Ａ． ( 1)
4ia n
f (t )
III：对任意不通过原点的简单闭曲线 C ， Ⅳ： z n
n0
.
1 1 （ 0 a 1 ）的收敛半径为； zn ， n a n0 1 a sin z 的二阶极点。 z2
Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
2s 3 ， f (t ) 为 F ( s ) 拉普拉斯逆变换得到的象原函数，则 s2 9
三、计算题 1 1、解：方程变形得两边同时取对数
4、 0
z 1 i w z 1 i ……………………………………………….1 分即映射为 1
又该映射将 1 2i 映射为
5 代入上式得
1 5

1 2i 1 i 1 2i 1 i
e 1 i
z
9．设 u (t ) 为单位阶跃函数，则傅立叶变换 F [e 10．在映射 w z iz 下， z i 处的旋转角为
2 i t
装
u (t)]
，伸缩率为
．．
学号：
(2)
2 z i 内；
1．若
zn
n2 1 i (1 ) n lim z 1 n n ，则 n n (
零，则 f ( z ) 在 z 0 处解析

《复变函数与积分变换》课程教学大纲(48学时)

《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：0911009课程中文名称：复变函数与积分变换课程英文名称：Complex Function and Integral Transformation课程性质：公共基础理论必修课考核方式：考试开课专业：全校理工科各专业开课学期：3总学时：48学时(全部为理论学时)总学分：3学分二、课程目的复变函数与积分变换是工科类及应用理科类有关专业的基础课。

通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，掌握保形映射的理论和方法，傅里叶变换与拉普拉斯变换的特性与应用，为学习相关专业课程及以后实际应用提供必要的数学基础。

三、教学基本要求1．熟练掌握复数的各种表示方法及其运算；了解点集、区域的概念；理解复变函数的概念，了解复变函数的极限和连续性的概念。

2．理解复变函数的导数概念及求法，理解解析函数的概念，掌握柯西—黎曼条件判断解析性，了解某些初等解析函数的基本性质；了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实部）的方法。

3．理解积分的定义与性质，会求复变函数的积分；掌握柯西定理，会用柯西定理和复合闭路定理计算定积分；掌握柯西积分公式和高阶导数公式计算积分。

4．理解复数项级数、幂级数（绝对收敛、条件收敛）的概念，了解幂级数的基本性质；了解收敛圆概念、会求收敛半径；了解泰勒定理及其初等函数的马克劳林展式，并利用它们将一些简单解析函数展开为幂级数；理解洛朗级数，掌握简单函数在不同圆环域内展开为洛朗级数的间接方法。

5．理解孤立奇点及其分类及函数在各类奇点邻域内的性质；留数的概念及留数定理；掌握极点处留数的求法及用留数求闭路积分和某些实积分的方法。

6．了解导数的几何意义及保角映射的概念；掌握分式线性映射的保圆性、保对称性等映射性质及幂函数、指数函数的映射特点；会求一些简单区域（如半平面、角形域、圆域、带形域等）之间的保形映射。

7．理解Fourier变换的概念,会求函数的Fourier变换，了解δ函数及其性质；掌握Fourier 变换性质和卷积定理。

《复变函数与积分变换》第二章__哈工大包革军版

方程：
第2章解析函数 22
称为柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。实际上，这个条件也是充分的。且也有下面的定理
第2章解析函数 23
定理2.2.1 设函数 f (z)= u (x, y)+ i v (x, y)定义在区域D内,
则 f (z)在D内一点 z=x + iy可导的充分必要条件是: u (x, y)与v (x, y)在点(x, y)可微, 并且在该点满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。
由定理一可得函数 f (z) = u (x, y)+ iv (x, y) 在点
第2章解析函数 27
z = x + i据函数在区域内解析的定义及定理一，就可得到判断函数在区域D内解析的一个充要条件。
定理2.2.2 函数 f (z)= u(x,y) + i v(x,y)在其定义域D内
时, 此函数在复平面
备例设函数
问常数a, b, c 取何值时, f (z)在复平面内处处解析?
[解] 先求
从而要使只需
所以，有
，因此,
第2章解析函数 33
33
例 2.2.4
解:
设解析函数，那么求 f (z)。
由于
又函数解析，则有
即
对积分得
求v关于y的偏导数，得
则
即
所以有
第2章解析函数 34
设函数 f (z) =u (x, y)+iv (x, y) 定义在区域D内,
且在D内一点 z=x + iy可导。
(2.2.1)
f (z z) f (z)
u u(x x, y y) u(x, y)

《复变函数与积分变换》考试大纲

《复变函数与积分变换》课程考试大纲课程性质/学时:自然基础/48 适用专业:电子信息及自动化一、考试的目的和性质本课程是高等学校工科本科特别是自动控制、自动化、信号处理等专业的基础课。

通过本课程的学习,使初步学生掌握复变函数与积分变换的理论和方法，为学习有关后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。

本课程的考试既是对学生学习成果的认定,也是对教学质量的一项检查.本考试大纲是根据相应教学大纲制定的.二、考试的内容和范围考试内容: 复数与复变函数、解析函数、复积分、复变函数的级数理论、留数、共形映射、富里叶变换、拉普拉斯变换考试范围:第一章复数与复变函数考核知识点:复数的概念，复数的四则运算及共轭运算；复平面、模与辐角的概念，复数的各种表示法。

乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。

区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念；复变函数的极限与连续的概念、性质。

考核要求:熟悉复数的概念，掌握复数的四则运算及共轭运算；熟悉复平面、模与辐角的概念，熟练掌握复数的各种表示法；了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念。

熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。

理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念；理解复变函数以及映射的概念，了解复变函数与而二元实函数的关系；了解复变函数的极限与连续的概念、性质，熟悉复变函数数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区别与联系。

第二章解析函数考核知识点:复变函数的导数以及解析函数的概念，连续、可导、解析之间的关系及求导方法。

函数可导与解析的判别法，灵活应用柯西-黎曼方程；熟悉复变初等函数及它们的主要性质。

考核要求:理解复变函数的导数以及解析函数的概念，掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法。

熟练掌握函数可导与解析的判别法，掌握并能灵活应用柯西-黎曼方程；熟悉复变初等函数，了解它们的主要性质。

第三章复积分考核知识点:复积分计算的一般方法；柯西-古萨定理，变上限函数的性质，复不定积分与原函数的概念，牛顿莱不尼茨公式。

哈尔滨工程大学电子电路(数字电路部分)考试大纲

电子电路（数字电路部分）考试大纲格式考试科目名称: 电子电路（数字电路部分）考查要点:一、逻辑代数基础1．熟练掌握数制和码制的基本概念及相互转换，特别是几种常用的有权码、无权码、奇偶校验码和机器码；2．熟练掌握逻辑代数的基本公式和定理，能熟练运用这些公式和定理进行逻辑变换和推演；3．熟练掌握逻辑代数4种表示方法，即真值表、逻辑函数式（包括标准与或和标准或与表达式）、逻辑图和卡诺图，能熟练成相互的转换；4．熟练掌握逻辑函数的公式化简法和卡诺图化简法，并能运用基本公式和定理进行逻辑变换。

二、门电路1．熟练掌握常用门电路输入与输出间的逻辑关系，即逻辑功能；2．了解常用门电路的电气特性，包括电压传输特性、输入特性、输出特性和动态特性等。

根据这些特性能正确使用门电路；3．正确理解特殊门电路，包括OC门、三态门、传输门的结构，并能正确使用三、组合逻辑电路1．熟练掌握组合逻辑电路的分析方法和设计方法；2．熟练掌握编码器、译码器、数据选择器、加法器、数值比较器逻辑功能和外部管脚的电气特性，并能运用这些器件实现扩展、逻辑函数等常用功能；3．会分析由常用组合逻辑电路，如：译码器、数据选择器、加法器、数值比较器构成的逻辑电路，并确定其功能。

四、触发器1．熟练掌握四咱触发器，包括JK-FF、RS-FF、D-FF、T-FF的逻辑功能及逻辑功能的描述方法；2．了解基本RS触发器、同步触发器、主从触发器、边沿触发器的结构与动作特点，能根据给定的波形，画出触发器各点输出波形。

五、时序逻辑电路1．熟练掌握时序逻辑电路的分析方法，能正确运用状态图、时序波形图、状态方程、状态转换表描述分析时序逻辑电路功能；2．了解常用时序逻辑电路功能特点，能正确运用状态图、时序波形图等描述方法分析由常用时序和组合逻辑器件构成的逻辑电路功能。

六、脉冲电路、D/A和A/D转换器1．熟练掌握集成单稳态电路、施密特电路、555定时器的应用，会分析，并能画出各点工作波形，估算相关技术参数。

《复变函数与积分变换》第三章__哈工大包革军版

因为
积分值可能与积分路径有关, 所以记

C
f ( z )dz .
第3章复变函数积分
16
例 3.1.3 计算 zdz, zdz的值, 其中
C1 C2
C1是单位圆 z 1的上半圆周, 顺时针方向; C2是单位圆 z 1的下半圆周，逆时针方向.
解:
(1) C1 : z e , , 0
第3章复变函数积分
22
Y

3i 0
z 2 dz [(3 i)t ]2 (3 i)dt
0
1
1
3i
(3 i) t dt
3 2 0
1
X
3
1 1 26 3 3 1 3 (3 i ) t |0 (3 i ) 6 i 3 3 3
第3章复变函数积分
20
例 3.1.3 计算 zdz, zdz的值, 其中
k 1
i [v ( k , k )xk u( k , k )yk ]
k 1
n
C f ( z )dz C udx vdy i
C
vdx udy .
第3章复变函数积分
10
C f ( z )dz C udx vdy i C vdx udy
(4) 设C1的终点是C2的起点, C=C1+C2, 则

C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz;
C1 C2
第3章复变函数积分
8
(5) 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足则
f (z) M ,

n
C
f ( z )dz f ( z ) ds ML.

黑龙江自考“工程数学(线性代数、复变函数)”考试大纲

黑龙江省高等教育自学考试采矿工程（独立本科段）B080109专业工程数学考试大纲(课程代码 10053)黑龙江省高等教育自学考试委员会办公室二○一○年五月工程数学自学考试大纲课程中文名称：工程数学课程英文名称：Engineering Mathematics学时数：100学时一、课程性质与设置目的《工程数学》课程是黑龙江省高等教案自学考试工科各专业开设的公共必修课，主要讲授线性代数、概率论、复变函数、傅里叶变换和拉普拉斯变换等内容。

学习本门课程的目的是使学生掌握工程数学的基本理论、思想和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力。

《工程数学》是一门公共基础课，通过学习本门课程，要使学生具备良好的数学基础，为学生后续的学习、实践及今后的工作与发展打下良好基础。

二、课程内容与考核目标第一章行列式（一）学习目的和要求通过本章的学习，要掌握行列式及其相关概念，会计算低阶行列式。

（二）课程内容第一节行列式的概念本节主要介绍行列式的概念，二阶、三阶行列式以及n阶行列式。

第二节行列式的性质本节主要介绍行列式的性质。

第三节行列式的计算本节主要介绍如何利用行列式的性质计算行列式。

第四节克拉默法则本节主要介绍解线性方程组的克拉默法则。

（三）考核知识点1．行列式的概念；2．行列式的性质；3．利用行列式的性质计算行列式；4．克莱默法则及其推论。

（四）考核要求1. 了解行列式的定义，了解余子式、代数余子式的概念，会求余子式和代数余子式；2. 掌握利用行列式的性质计算二、三阶字母行列式的计算方法及三阶、四阶数字行列式的计算方法；3. 了解克莱默法则的条件、结论，掌握克莱默法则关于齐次线性方程组的推论。

第二章矩阵（一）学习目的和要求通过本章的学习，要掌握矩阵及相关概念，会求矩阵的秩及逆矩阵。

（二）课程内容第一节矩阵的概念本节主要介绍矩阵以及相关的概念。

第二节矩阵的运算及其性质本节阐述的内容有：矩阵的加法与数乘、矩阵的乘法、矩阵的转置以及方阵的行列式。

《复变函数与积分变换》第一章__哈工大包革军版

平面上的点P(x,y), 存在惟一的复数z=x+yi与它 o 对应.
zxiy
(x,y)
x
x
建立起了平面上全部点与全体复数间一一对应关系，因此可以用XOY平面上的点表示复数z.
这时把XOY平面平面称为复平面. 有时简称为z平面. 或用拉丁字母С表示 (complex number,复数）
第1章复数与复变函数
就是z的辐角的一般表达式.
q
o
x
x
第1章复数与复变函数
22
q 满足的复数z的
辐角
使用函数命令angle()可以求出复数的辐角, 但是只能对数值量进行运算, 并且计算出的是辐角主值, 单位是弧度. >> x=sym('x','real');y=sym('y','real'); >> x=3;y=4;z=x+y*i; >> theta=angle(z) theta =
z1 z2
与
z1 z2
.
z1 3 4 i (34i)(1i) z2 1 i (1i)(1i)
(34)(43)i 7 1 i .
2
22
z 1 7 1 i . z2 2 2
例 1.2
解:
求 ik i1 i,
i 2 1,
i3ii2i, i4i2i21,
……
i4n 1,
(3) 复数的商
z1 ( x1 +y1i) = (x1+y1i)(x2-y2i) z2 ( x2 y2i) (x2 y2i)(x2-y2i)
= (z1x1 xz 22+y1yx2 22 ) iy(2x22y1-x1y2) z2 z2

复变函数课程考核大纲

复变函数课程考核大纲一、适应对象修读完复变函数课程规定内容的数学与应用数学专业的本科学生。

二、考核目的考核学生对复变函数的基本概念、基本计算、基本理论的掌握情况，考核学生运用复变函数理论和方法处理实际问题的能力。

三、考核形式与方法考核形式分为平时考查与期末考试，平时考查主要针对学生完成作业与考勤，作业评阅分A、B、C三等，考勤主要针对无故旷课；期末考试为闭卷，考试时间为100分钟。

四、课程考核成绩构成期评成绩=平时考查成绩（30%）+ 期末闭卷考试（70%）。

平时考查成绩采用扣分制，考勤与作业各占平时成绩的60%和40%；满勤及每次作业在B 等以上可评定为满分100分；缺勤1课时扣3分，缺勤累计最多扣60分，缺交作业一次扣5分，缺交作业累计最多扣40分。

五、考核内容与要求第一章复数与复变函数考核内容1.1复数复数域,复数的乘幂与方根.1.2复平面上的点集区域,集与集之间的距离，区域的连通性,约当曲线.1.3复变函数复变函数的定义,复变函数的极限、连续性.1.4复球面与无穷远点考核要求掌握复数的几何表示及运算性质，了解复平面上的简单拓扑。

掌握复变函数的概念及有关性质，了解复球面与无穷远点概念。

第二章解析函数考核内容2.1解析函数的概念与柯西-黎曼方程复变函数的导数与微分,解析函数的概念，函数解析的充要条件: 柯西-黎曼条件.2.2初等解析函数指数函数，三角函数，双曲函数。

2.3初等多值函数根式函数，对数函数，一般幂函数，一般指数函数。

考核要求重点掌握解析函数的概念及柯西-黎曼条件；熟悉一些初等复变函数的基本特征。

第三章复变函数的积分考核内容3.1复积分的概念及其简单性质复变函数积分的定义，复积分的变量代换公式，积分估值。

3.2柯西积分定理柯西积分定理及其推论，不定积分，柯西积分定理的推广，复围线。

3.3柯西积分公式及其推论柯西积分公式，柯西积分的定义，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，Liouville定理，Morera 定理。

《复变函数》考试大纲

《复变函数》考试大纲课程名称：复变函数一、考试的总体要求本门课程主要要求：掌握该课程的基本概念及其性质，掌握复变函数的微积分理论、级数理论、留数、共形映射等方面的基础知识和基本方法，要求能用这些理论和方法解决有关问题的能力。

二、考试的内容及比例1、复数与复变函数（5%～10％）：(1) 掌握复数、复平面上的点集、复数的四则运算、乘方与开方、复数的三角表示。

(2) 掌握复变函数、极限、连续性。

(3) 了解约当曲线定理、复球面与无穷远点。

2、解析函数（10%～20％）：(1) 掌握解析函数的概念与柯西-黎曼条件、求导法则、可微的必要条件和充分条件、奇点。

(2) 多值解析函数的支点、割线、解析分支。

(3) 掌握初等解析函数（正整数次幂函数、指数函数、三角函数、双曲函数）。

(4) 了解初等多值函数（根式函数、对数函数）、初等多值函数（反三角函数、一般指数函数、一般幂函数）。

3、复变函数的积分（15%～25％）：(1) 掌握复积分的概念及基本性质。

(2) 掌握柯西积分定理（单连通与复连通域）、定积分与原函数。

(3) 掌握柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、刘维尔定理、莫勒拉定理。

(4) 理解调和函数与共轭调和函数的概念。

4、解析函数的幂级数表示法（10～15％）：(1) 了解复级数的基本性质、收敛与一致收敛性。

(2) 掌握幂级数、收敛半径、和函数性质、解析函数的泰勒展式、初等函数的泰勒展开。

(3) 掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理、最大模原理。

5、解析函数的罗朗展式与孤立奇点（10%～15％）：(1) 掌握解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点。

(2) 掌握解析函数在无穷远点的性质。

(3) 了解整函数与亚纯函数的概念及性质。

6、留数理论及基应用（10%～15％）：(1) 掌握留数的概念和求法、利用留数计算周线积分。

(2) 会利用留数定理计算一些实积分（前三种类型）。

(3) 掌握幅角原理、儒歇定理及应用。

哈工程考研四系考试大纲

附件7：2014年考试内容范围说明自动控制原理知识要点与习题解析P32 (自动控制原理p23)2-17 知控制系统的方框图如题2-17图所示，试用方框图简化方法求取系统的传递函数。

P33解：方框图简化要点，将回路中的求和点等效移出回路，避免求和点与分支点交换位置。

(d) 31313322113211)(H H G G H G H G H G G G G s ++++=Φ；P37 (p73)2-21 试绘制与题2-21图中系统方框图对应的信号流图，并用梅森增益公式求传递函数C (s )/R (s ) 和误差传递函数E (s )/R (s )注：P21(2) 依据系统方框图绘制信号流图首先确定信号流图中应画出的信号节点，再根据方框图表明的信号流向，用支路及响应的传输连接信号节点。

步骤如下，(a)系统的输入为源点，输出为阱点；(b)在方框图的主前向通路上选取信号节点，即相加点后的信号和有分支点的信号点后的信号，两信号是同一个信号时只作为一个节点；(c)其它通路上，仅反馈结构求和点后的信号选作节点； (d)最后，依据信号关系，用支路连接这些节点。

解：图(a)信号流图如题2-21解图(a)所示。

计算C (s )/R (s )和E (s )/R (s )过程中，关于回路和特征式的计算是完全相同，可统一计算。

回路111H G L -=，232H G L -=，213213H H G G G L -=；特征式 21312132123111H H G G H H G G G H G H G ++++=∆。

计算C (s )/R (s )：题2-1 7图控制系统方框图题2-21图系统方框图题2-21解图系统信号流图前向通路 3211G G G P =，342G G P =；特征子式11=∆，1121H G +=∆； 2131223111134321)1(1)1()()(H H G G G H G H G H G G G G G G s R s C ++++++=；计算E (s )/R (s )：前向通路 11=P ；21342H H G G P -=；特征子式2311H G +=∆，12=∆； 213122311213423)1(11)()(H H G G G H G H G H H G G H G s R s E ++++-+=；P62 (p136)3-16 知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求静态位置误差系数p K ，静态速度误差系数v K ，静态加速度误差系数a K(1) )12)(11.0(50)(++=s s s G ；｛ )(lim 0s G K s p →= ｝(2) )2004()(2++=s s s Ks G ；｛ )(lim 0s G s K s v →= ｝(3) )102()14)(12(10)(22++++=s s s s s s G 。

《复变函数与积分变换》考试大纲

《复变函数与积分变换》考试大纲适用专业：信息与计算科学电子科学与技术电气自动化学时：48（理论40实验8）考试时长：120分钟一、本课程的地位和作用复变函数与积分变换是数学分析(或高等数学)的后继课。

它的许多概念、理论和方法与数学分析有许多相似之处，但它又有许多独特的理论和方法，并不是数学分析理论在复数域中的简单平移。

它是本科院校理工科专业的重要专业课。

它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，在流体力学、电磁学、热学、工程力学等领域中，都会遇到平面向量场的问题，对于这类场，复变函数是解决这类问题的有力工具，借助复变函数的理论和方法，可以较简捷、深刻、完美地研究这类具体问题。

积分变换的理论和方法不仅在某些数学分支中，而且在其它自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。

如在数学上用积分变换可以很容易的解答一些微分方程和积分方程，还可以研究广义积分等难以解决的问题；在无线电技术中，当我们需要设计一个符合要求的放大器时，往往要利用傅里叶变换对信号进行频谱分析；在控制理论中，当我们需要进行系统分析时，可以通过拉普拉斯变换来分析系统的传递特性等。

因此，积分变换已成为现代科学技术领域中不可缺少的运算工具。

二、本课程的考试目的、目标（1）考试试卷要求尽可能科学、合理、规范（2）考试尽可能客观地反映学生的学习水平和教师的教学水平（3）促进学生与学生之间、教师与学生之间相互交流，提高学生学习的积极性及教师的教学水平（4）提高学生的实践操作能力，会在电脑上应用数学软件解决一些实际问题。

三、考试试卷涉及内容和基本要求第一章复数与复变函数1．考试涉及内容（1）复数及其四则运算（2）复数的模与辐角，复数的三角表示法及乘除运算（3）复数的乘幂与方根（4）复数在几何中的应用（5）复平面上点集的有关概念。

区域、曲线的有关概念，约当定理（6）复数方程表示曲线以及不等式表示区域（7）无远点，扩充复平面与球面，扩充复平面上的四则运算（8）复变函数与映射（或变换）的概念（9）复变函数的极限的概念及性质（10）复变函数连续性的概念、运算法则及性质2．考试基本要求（1）了解引进复数的过程以及复数在整个数学发展过程中所起的重要作用（2）熟练掌握复数的三种形式的表示法，复数的运算（3）掌握用复数解决几何问题的思想和方法（4）了解复平面上点集的一般概念（5）了解引进扩充复平面的思想和方法（6）能精确叙述复变函数的极限与连续的概念（7）掌握利用MATLAB计算极限第二章解析函数1．考试涉及内容（1）复变函数的导数与微分（2）解析函数的概念与基本性质（3）Cauchy-Riemann方程（4）解析函数的求导公式与求导法则（5）复变函数的可微性与解析性的等价刻画、充分条件与必要条件（6）初等解析函数：指数函数，三角函数，双曲函数（7）初等多值函数：根式函数，对数函数，一般幂函数，反三角函数，反双曲函数（8）调和函数的概念（9）解析函数与调和函数的关系2．考试基本要求（1）深刻理解解析函数的概念以及可导的定义，弄清这两个概念之间的联系与区别（2）牢固掌握Caucly-Riemann方程与复值函数可微、解析的等价刻画（3）熟练掌握和运用解析函数的求导法则和求导公式（4）掌握三类初等解析函数（即指数函数、三角函数和双曲函数）（5）了解初等多值函数（6）掌握调和函数的概念以及解析函数与调和函数的关系（7）掌握利用MATLAB计算微分第三章复变函数的积分1．考试涉及内容（1）复变函数积分的定义及其基本性质与计算（2）Cauchy积分定理及其推广（3）Cauchy积分公式，最大模原理（4）解析函数的高阶导数公式（5）Cauchy不等式、Liourille定理、Morera定理2．考试基本要求（1）掌握沿有向曲线上复变函数积分的概念与基本性质（2）熟练掌握和运用Cauchy积分定理（3）掌握柯西积分公式和高阶导数分式（4）了解Cauchy不等式、Liourille定理、Morera定理（5）掌握利用MATLAB计算复积分第四章解析函数的级数表示1．考试涉及内容（1）复数项级数的基本概念及其收敛性判别准则（2）复变函数项级数的概念（3）幂级数的收敛状况，特别地在收敛圆周上的收敛状况（4）幂级数的收敛圆、收敛半径、和函数的求法（5）解析函数在一点邻域内的泰勒展式（6）常用初等解析函数的泰勒展式（7）双边幂级数的概念（8）解析函数的Laurent展式（9）掌握利用MATLAB求解析函数的泰勒展开式2．考试基本要求（1）理解复函数项级数的概念（2）掌握幂级数的基本性质，会利用公式求幂级数的收敛半径、和函数（3）理解解析函数的幂级数定义（4）牢记常用初等解析函数的幂级数展开式，并能熟练运用（5）掌握解析函数的零点孤立性定理，解析函数的唯一性定理（6）会求解析函数的泰勒展式、Laurent展式第五章留数及其应用1．考试涉及内容（1）解析函数的三种类型（可去奇点、极点、本性奇点）的孤立奇点的定义，判别方法及其特征性质（2）解析函数在无穷远点的性质（3）留数的定义。