【K12教育学习资料】[学习]2018年秋九年级数学上册第4章相似三角形专题分类突破四相似三

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九年级相似三角形知识点总结

九年级相似三角形知识点总结相似三角形作为九年级数学中的重要内容，涉及到比例、角度、边长等概念。

在本文中，我们将对九年级相似三角形的相关知识点进行总结。

以下是该知识点的详细内容：一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。

在两个相似三角形中，对应角度相等，对应边长成比例。

1. 对应角相等性质：若两个三角形的内角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。

2. 对应边成比例性质：若两个三角形的三条边之间成比例，那么这两个三角形是相似的。

3. 相似三角形的比例关系：设两个相似三角形A和B，它们的对应边长分别为a、b和c、d。

则有以下比例关系成立：a/b = c/d = k （k为比例系数）二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，常用以下方法：1. AA相似判定法：若两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。

2. AAA相似判定法：若两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。

3. SSS相似判定法：若两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形一定相似。

三、相似三角形的性质应用相似三角形的性质在解决实际问题中有广泛的应用。

以下是相似三角形的性质在实际问题中的应用：1. 测量不可达长度：在实际测量中，有时由于某些原因，无法直接测量出几何图形中的某些边长。

利用相似三角形的比例关系，可以间接计算出这些不可达长度。

2. 高度与距离计算：利用相似三角形的性质，可以求解建筑物高度、山上塔楼高度等实际问题中需要计算的高度和距离。

3. 相似三角形的构造：利用相似三角形的特点，可以进行各种构造问题的求解，如分割线段、求解垂足等问题。

四、相似三角形与比例运算相似三角形的性质与比例运算密切相关。

以下是相似三角形与比例运算的相关内容：1. 比例关系的运用：相似三角形的性质中涉及到边长的比例关系，通过运用比例关系，可以计算出未知边长的具体值。

2. 比例运算的应用：在解决相似三角形实际问题中，我们可以借助比例运算的方法，确定未知量的数值。

九年级数学上册第四章图形的相似 5 相似三角形判定定理的证明拓展资源相似三角形的古老应用素材

相似三角形的古老应用
“图形的相似”是初中数学内容之一，其中相似三角形的判定、性质和应用是其中最重要的内容。

从历史上看，相似三角形很早就已经被人们所认识。

在巴比伦泥版文献中已经出现相似三角形的应用问题；公元前6世纪，古希腊萨莫斯岛上的工程师欧帕里诺斯（Eupalinos）在负责隧道开掘时已经运用了相似三角形的性质；泰勒斯已经会运用相似三角形来进行测量。

欧几里得、海伦的有关著作中都有利用相似三角形性质进行测量的问题。

我国汉代的远距离测量技术也正是建立在相似三角形性质之上的。

1。

北师大九年级数学上第四章相似三角形的性质及判定讲义

教学过程前课回顾1. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 2. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方错题重现1．若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。

2．若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c 的第四比例项d=_______。

3.若线段a=4, b=6, 则a, b 的比例中项为________。

4.已知：===, 则=______，=_________。

5.已知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b -c=4, 则4a+2b-3c=________。

知识详解知识点二：相似三角形的判定相似三角形的几种基本图形：A C E DB①E DCB A ②A③C BDE D BCA⑥A CB④D A CDBP⑤图①为“A ”型图，条件是DE ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ；图②为“X ”型图，条件是ED ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ；图③，图④是图①的变式；图⑤是图②的变式；图⑥是“母子”型图，条件是CD 为斜边上的高，基本结论是△ACD ∽△ABC ∽△CBD 。

典型例题作辅助线构造“A ”“X ”型例1、如图，1==DEAECD BD ，求BF AF 。

（试用多种方法解）方法一：方法二：方法三：例2、如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，且AE=31AD ，CE 交AB 于点F ，若AF=1.2cm ，求AB 的长。

9年级上册数学第四章《相似三角形2》讲义

【第四章相似三角形2】【五、三角形相似的判定方法】1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．【六、几种基本图形的具体应用】（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC（2）射影定理若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB ，CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·AB ；E A DCBEAD CBAD CB（3）满足1、AC 2=AD ·AB ， 2、∠ACD=∠B ， 3、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ．（4）当AD AE AC AB 或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE ∽△ACB ．A DCBEA DCB【六、相似三角形的性质】1、相似三角形对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．3、相似三角形周长的比等于相似比．4、相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．【七、相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法】1、证明四条线段成比例的常用方法：(1) 线段成比例的定义 (2) 三角形相似的预备定理(3) 利用相似三角形的性质 (4) 利用中间比等量代换 (5) 利用面积关系 2、证明题常用方法归纳：(1) 总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”(2) 找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3) 找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。

九年级数学相似三角形的判定及证明技巧讲义

相似三角形是中学数学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握相似三角形的判定及证明技巧是必不可少的。

本文将详细讲解相似三角形的判定及证明技巧，帮助学生更好地理解和运用这一知识点。

一、相似三角形的判定：1.AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。

例如，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形相似。

2.AA相似判定法：如果两个三角形的一个角对等于另一个角，且两个角的对边成比例，则这两个三角形是相似的。

例如，在△ABC和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形相似。

3.SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。

例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形相似。

4.平行线判定法：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。

例如，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，那么这两个三角形相似。

二、相似三角形的证明技巧：1.用平行线证明相似：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。

证明时，可以使用平行线的性质，如同位角相等、内错角互补等。

2.用角度证明相似：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。

证明时，可以根据已知信息，使用角度的性质进行推导。

3.用边长比证明相似：如果两个三角形的对应边长比相等，则这两个三角形是相似的。

证明时，可以根据已知的边长比，通过等式推导得出结论。

4.用等腰三角形证明相似：如果两个三角形分别为等腰三角形，且对应的顶角相等，则这两个三角形是相似的。

以上是常用的相似三角形的判定及证明技巧，希望对九年级的数学学习有所帮助。

在学习过程中，要多加练习，掌握不同方法的应用，提高解题能力。

同时，要注重理论与实践相结合，灵活运用知识，培养自己的思维能力和推理能力。

祝每位同学在数学学习中取得优异成绩！。

9年级上册数学第四章《相似三角形3》讲义

【第四章相似三角形3】一、相似三角形的定义：三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．二、相似三角形性质：1、相似三角形的对应边_________，对应角________． 2、相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3、相似三角形的对应角角平分线，对应边的________，对应边上的 •的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．三、相似三角形的判定方法：判定方法1平行∵___________ ∴△ABC ∽△ADE判定方法2AA ∵___________，__________ ∴△ABC ∽△A ，B ，C ，判定方法3SAS ∵_____________，∠B=∠B∴△ABC ∽△A ，B ，C ，判定方法4SSS∵________________ ∴△ABC ∽△A ，B ，C ，四、寻找三角形相似的条件: 利用三角形相似，证明线段成比例（或等积式）∵_________ , __________∴△APC ∽△DPB, ∴_____________即PA •PB=PC •PD∵__________ , __________∴△APD ∽△CPB, ∴_____________即PA •PB=PC •PD∵__________ , __________∴△ABC ∽△DEC, ∴____________五、比例的性质 1、比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 此性质非常重要,要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法. 2、合、分比性质:ddc b b ad c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.如: 已知d c c b a a d c b a +=+=:,求证证明:∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴d c cb a a +=+ 3、等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b nmf e d c b a 则b a n f d b m e c a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++.4、比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. 六、平行线分线段成比例定理1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l 1∥l 2∥l 3, 可得EFBCDE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. 2、推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. 3、推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4、定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. 说明: ① 此定理和平行线分线段成比例定理的异同相同点:都是平行线不同点:平行线分线段成比例定理的推论是两条平行线截其它两边所成的对应线段成比例,即AD 与AE,DB 与EC, AB 与AC 这六条线段,而此定理是三角形的三边对应成比例.即ACAEAB AD BC DE AC AE BC DE AB AD ===或或，只要有图形中的BCDE,它一定是△ADE 的三边与△ABC 的三边对应成比例. ② 注意:条件(平行线的应用)在作图中,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.如: 如图（1），已知BD:CD = 2:3， AE:ED = 3:4 ，求:AF:FC辅助线当然是添加平行线。

九年级数学上册“第4章相似三角形”教材分析

相似形是指两个在形状、大小方面具有某种特殊关系的图形，在本套教科书中，它以全等三角形和相似变换为基础，是全等三角形在边上的推广，是相似变换的延续和深化.相似多边形、图形的位似则是相似三角形的推广和应用.相似三角形的知识又为进一步学习直线与圆、圆与圆的位置关系做准备，它是空间与图形领域中的重要内容，对前后各部分知识起到纽带的作用.本章内容主要包括比例线段，相似三角形，相似三角形的条件、性质及其应用，相似多边形，图形的位似，精彩的分形等.这些内容是以比例线段为基础，以相似三角形为中心展开并进行学习和讨论的.本章内容重视对知识的探究和运用，重视与实际问题的联系及运用相似知识解决实际问题能力的培养.一、教科书内容和课程教学目标1、本章的教学要求(1)了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.(2)通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方.(3)了解两个相似三角形的概念，探索两个三角形相似的条件.(4)了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小.(5)通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题.2、本章教材分析4.1 比例线段本节安排3个课时：比例的基本性质、比例线段、黄金分割.研究相似三角形离不开研究比例线段，比例线段又是以比例的基本性质为依托，因此课本首先介绍比例的基本性质，利用比例的基本性质进行一些简单的变形.这里主要要求学生理解并初步掌握两种基本方法(或技能)：一是利用比例的基本性质进行变形或求值;二是用设比值的方法进行变形或求值.课本安排两个例题的目的是让学生理解这两种方法(或技能).成比例线段与线段的积之间有着内在的联系，利用线段的积相等来找成比例线段是一条很好的途径;计算线段的比以及根据比例尺进行计算，是比例线段的具体应用，课本通过计算图形的面积、计算线段的长度、计算比例尺等问题来介绍和运用比例线段，为后面进一步学习相似三角形做准备.黄金分割在建筑、艺术等方面有较多的运用，与自然界也有着密切的联系，课本从比例中项出发，通过一些具体的例子让学生感受黄金分割的作用，并通过作图让学生感受到黄金分割点的存在.本节课本所选取的问题是黄金分割应用的部分例子，从中说明其应用的广泛性.4.2 相似三角形从相似变换引入相似三角形，反映了知识间的一种联系，同时也揭示相似三角形所要研究的本质就是两个三角形边角之间的关系.通过与全等三角形的比较，突出全等与相似的相互关系：既有相同之处，更有不同之处.本节的学习应突出一种对应关系，即找两个相似三角形的对应边和对应角，关键是先找到其对应顶点，课本通过做一做课内练习作业题等来加深学生对对应的理解.安排的两个例题是对定义所包含的性质和判定两方面运用，这也是本节的另一个重点.4.3 两个三角形相似的判定课本把探索两个三角形相似的条件通过两节课来学习.对每一种情形，都让学生经历画图猜想验证(量一量、算一算)归纳等过程，使学生从直觉上接受具备这些条件的两个三角形是相似的.教材安排的三个例题是从运用这些条件的角度出发的，但有区别.例1是通过相似来解决实际问题;例2是第二个条件的直接运用;例3通过计算来判断这两个三角形是否具备第三个条件.这样既体现了几个相似三角形条件的运用，又体现了选题的多样性，以及教学中的多种功能.4.4 相似三角形的性质及其应用相似三角形的性质主要指周长比和面积比.课本首先让学生选择合适的方法进行探索和归纳，然后运用相似三角形的性质、通过计算给出证明.例题1是相似三角形性质的一个简单应用;例题2是运用相似三角形的性质解决实际问题;例3是一个集方案设计、问题解决于一体的情境问题，能较好地培养学生分析问题、解决问题的能力及思维的发散性和灵活性.本节的练习题中会涉及到相似三角形的对应高的比等于形似比的性质，关于这个性质在证明面积比等于相似比的平方时已经可以得到，课本作了总结，但不作为黑体字出现.并在下面的做一做具体体现，学生应能够理解.4.5 相似多边形相似多边形是相似三角形的延伸和扩展，它与相似三角形有着必然的联系.其判定方法课本没有单独给出，只要求学生能依据定义作出判断即可，其性质与相似三角形类似，课本通过做一做，把四边形的问题转化为三角形来处理，这也是研究多边形问题的一种常用方法.4.6 图形的位似位似的两个图形具有一种特殊的位置关系，这种关系是通过位似中心来联系的，位似中心的位置决定了两个位似图形的位置，其关键是抓住对应点的连线都经过位似中心;而相似图形只研究它们的形状和大小，与这两个图形的位置无关.本节的位似只要求学生理解位似图形、利用位似将一个图形放大或缩小.课题学习精彩的分形本课题从雪花的形状出发，通过雪花曲线的形成过程，提出在自然界中广泛存在着这种分形的情形，让学生欣赏分形的美感，引导学生探究数学上分形，借助计算机等工具尝试进行分形，既开阔学生的视野，又丰富数学与生活的联系，同时培养学生的探究欲望和探究能力.二、本章编写特点1、既重视了数学知识的系统学习，又体现了数学的应用价值.相似三角形是空间与图形领域中的一块重要内容，在七年级下册安排相似变换的基础上，比较系统地介绍了比例线段、相似三角形的识别、性质及其应用、相似多边形、图形的位似等知识，使学生能从中体验到知识间的前后联系、前因后果，也反应了数学知识的一种递进和发展.另一方面，在知识的产生和发展过程中，时时离不开实际问题.由解决实际问题的需要引发出新的知识，用新的知识去解决遇到的实际问题.比如根据比例尺求两地的实际距离，测河宽、测楼房的高度、测树高，黄金分割的作用，为墙报镶边设计纸条的宽度等等.2、为学生创设动手实践的情境，体现探索与开放.情境的创设是课堂教学的需要，也是教材编写的一种追求目标.无论是概念的引入(如比例线段、相似多边形、位似等概念)，还是相似三角形条件的探索，相似三角形性质的得出等都离不开问题情境的创设和学生的主动参与.无论是以合作学习的栏目出现，还是简单的几句话，都意在引起学生的思考.画一画，量一量，想一想，都需要学生的实践和探索.另外，在例题的选编、习题的编排、问题的设计等方面，课本都能体现一种探索和开放.如添加条件使两个三角形相似，根据条件找出相似三角形，根据提供的方案再设计不同的方案测量树的高度等等.3、体现知识的横向联系，重视思想方法的渗透.相似三角形安排在九年级学习，学生已经具备了一定的综合分析能力，已初步形成了数学的思想和方法，教科书的编排也充分考虑到了学生这些特点.由相似三角形的概念和性质通过类比得出相似多边形的概念和性质，运用比例的基本性质和设比值的方法来求比值，利用图形的面积求比例线段，与圆、函数、方程、相似变换等建立横向联系，通过黄金分割、精彩的分形、位似、相似多边形及其应用、古代数学问题等知识，把数学与自然、科学、建筑、艺术等有机地结合起来.所有这些都体现了一种联系，学习也应是在某种联系的状态下进行的，这样才能有效地构建知识.4、继续借助方格纸，提高学习的有效性.方格纸似乎是一种简单的辅助图纸，但恰恰是这种图纸在学生的学习过程中能发挥积极的作用.在方格纸中，学生能比较方便地探索图形的性质、发现点的坐标、画出符合要求的图形.比如本章中探索相似三角形的条件、探索相似图形的性质、画相似图形、画位似图形、探索位似的性质等，都少不了这种工具.它为学生的学习架设了一座桥梁.三、教学建议1、抓住对应关系.与全等三角形相比，相似三角形更体现了边的变化，这种变化由原先的相等到现在的成比例，这就给学生的直观判断带来了难度.要突破这一难点，一种有效的方法就是抓住对应关系，特别是抓住对应角，由对应角去找对应边，养成学生良好的书写习惯和看图习惯.2、重视推理能力的培养.本套教科书从八年级下册开始学习证明，有效地促进学生形成良好的思维习惯和思维品质.在九年级的相似三角形和圆两章中，学生证明方面的要求略有降低，但这并不意味着不出现证明，仍采用证明、说理相结合的方式处理，教学时应认真领会这些编写意图.。

精品-2018年秋九年级数学上册第四章图形的相似4.7相似三角形的性质第2课时相似三角形中周长和面积之比备课

第四章图形的相似7相似三角形的性质第2课时相似三角形中的周长和面积之比素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入如图4－7－29，在比例尺为1∶500的地图上，测得一个三角形地块的周长为12 cm ，面积为6 cm 2，求这个地块的实际周长及面积．图4－7－29问题1 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1∶500表示什么含义？问题2 要解决这个问题，需要什么知识？问题3 你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？问题4 如何说明你的猜想是否正确呢？ [说明与建议] 说明：学生们在一个开放的环境中思考生活中遇到的实际问题，亲身经历和感受数学知识来源于生活中的过程．建议：小组交流、总结，学生可能会得到周长之比等于比例尺，面积之比等于比例尺的平方的猜想，通过小组合作，初步验证猜想，引出新知．复习导入复习比例线段的性质(基本性质、合比性质、等比性质)：①如果a b ＝43，那么a ＋b b ＝__73__，a －b b ＝__13__；②如果a b ＝c d ＝e f ＝57，那么a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝__57__；③在四边形ABCD 和四边形EFGH 中，已知AB EF ＝BC FG ＝CD GH ＝DA HE ＝23，四边形ABCD 的周长是60cm ，求四边形EFGH 的周长．[说明与建议] 说明：通过复习比例的性质，尤其是等比性质，让学生感受多边形的周长比与相似比的关系．引导学生思考问题，自然地过渡到新课的学习上来．建议：重点是让学生动手、动脑，探究相似形周长之比与相似比之间的关系．悬念激趣某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题：马路旁边原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿化地被削去了一个角，变成了一个梯形，如图4－7－30，原绿化地一边AB 的长由原来的20米缩短成12米．则被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？图4－7－30[说明与建议] 说明：联系生活实际，提出问题，引发学生探究的积极性，设置悬念，从而激发学生的求知欲．通过思考，让学生带着问题学习新课，同时教师引出新课．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．素材二教材母题挖掘110页例2如图4－7－31，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半．已知BC＝2，求△ABC平移的距离．图4－7－31【模型建立】根据相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可以解决图形中的周长与面积问题，简化计算与证明过程．对学生的要求是能准确找出相似的两个三角形，再利用性质求解．【变式变形】1．如图4－7－32，△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长．图4－7－32[答案：BC＝20 cm，AC＝25 cm，A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm]2．如图4－7－33，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．图4－7－33[答案：△DEF的周长为12，面积为12]3．如图4－7－34所示，在ABCD中，AE∶EB＝1∶2，且S△AEF＝6 cm2.(1)求△AEF与△CDF的周长比；(2)求△CDF 的面积．图4－7－34[答案：(1)1∶3 (2)54 cm 2]4．如图4－7－35，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E.若AB ＝10，BC ＝6，DE ＝2，求四边形DEBC 的面积．图4－7－35[答案：643]素材三考情考向分析[命题角度1] 利用相似三角形的性质求周长比相似三角形的周长比等于相似比，有了边长的关系，就可以求出周长比．例 [湘西中考] 如图4－7－36，在ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F ，则△EDF 与△BCF 的周长比是(A )图4－7－36A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5[命题角度2] 利用相似三角形的性质求面积比灵活运用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解题．例 [南京中考] 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为(C )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶1[命题角度3] 利用相似三角形的性质求相似比相似三角形的面积之比等于相似比的平方．反过来，当已知两个相似三角形面积之间的关系时，也可以求出相似比．例 [滨州中考] 如图4－7－37，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则ADAB的值是多少？图4－7－37[答案：22]素材四教材习题答案P110随堂练习判断正误：(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；( )(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍．( )[答案] (1)√(2)×P110习题4.121．如图，在方格纸上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？如果相似，△A1B1C1与△A2B2C2的周长比和面积比分别是多少？解：相似，周长比为2∶1 ；面积比为4∶1.2．如图，在△ABC和△DEF中，G，H分别是边BC和EF的中点，已知AB＝2DE，AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.(1)中线AG与DH的比是多少？(2)△ABC与△DEF的面积比是多少？解：(1)2∶1 (2)4∶1.3．如图，Rt△ABC∽Rt△EFG，EF＝2AB，BD和FH分别是它们的中线，△BDC与△FHG是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比．解：相似；周长比为1∶2，面积比为1∶4.4．一块三角形土地的一边长为120 m，在地图上量得它的对应边长为0.06 m，这边上的高为0.04 m，求这块地的实际面积．解：4800 m2.5．小明同学把一幅矩形图放大欣赏，经测量其中一条边由10 cm变成了40 cm，那么这次放大的比例是多少？这幅画的面积发生了怎样的变化？解：放大的比例是1∶4，这幅画的面积变为原来的16倍．6．一个小风筝与一个大风筝形状相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC ⊥BD .已知它们的对应边之比为1∶3，小风筝两条对角线的长分别为12 cm 和14 cm.(1)小风筝的面积是多少？(2)如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需要多长的材料？(不计损耗)(3)大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸(如图中虚线所示)裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？解：(1) 设AC 和BD 的交点是O ，风筝面积＝△ABD 的面积＋△BCD 的面积＝12×BD ×AO ＋ 12×BD ×CO ＝12×BD ×(AO ＋CO )＝ 12×BD ×AC ＝12×12×14＝84(cm 2)．(2) 3× (AC ＋BD )＝3×(12＋14)＝78(cm)．(3) 彩纸面积＝12×14×3×3，容易看出裁下的面积是彩纸的一半，故废弃部分面积＝3×3×12×14×12＝756(cm 2)．7．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB 和AC 上，且DE ∥BC . (1)若AD ∶DB ＝1∶1，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 等于多少？(2)若S △ADE ＝S 四边形DBCE ，则DE ∶BC ，AD ∶DB 各等于多少？解：(1)1∶3.(2)DE ∶BC ＝1∶2，AD ∶DB ＝1∶(2－1)．素材五图书增值练习专题一相似三角形性质的综合运用1．已知两个相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm ，求它们的周长．2．如图，Rt△ABC到Rt△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2．（1）DE与AB的长度之比是多少？（2）已知Rt△ABC的周长是12cm，面积是6cm2，求Rt△DEF的周长与面积．3．如图所示，已知平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，BE∶AB＝2∶3，S△BEF＝4，求S△CDF．专题二相似多边形的性质4．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD 沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么AB∶AD等于．5．已知两个相似多边形的周长比为1∶2，它们的面积和为25，则较大多边形的面积是．6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD＝4，BC＝9，求AE∶EB．【知识要点】1．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比，都等于相似比．2．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3．相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【温馨提示】1．应用性质时，抓住关键词“对应”，找准对应边．2．不要误认为相似三角形面积的比等于相似比．3．由线段的比求面积的比，或由面积的比求线段的比时，应分两种情况：（1）两个图形是否相似，若是相似图形，则面积比等于相似比的平方；（2）两个图形不相似时，常会出现底在同一条直线上，有同一条高，那么两个三角形面积比等于对应底的比．【方法技巧】1．利用相似三角形性质是求线段长度，角的度数，周长，面积及线段的比等问题的依据．2．等底等高的两三角形面积相等，这个规律在求三角形面积中经常用到．3．应用相似三角形（多边形）的性质，常与三角形（多边形）相似的判定相结合．4．相似多边形的定义是判定多边形相似的主要依据，也是多边形相似的重要性质．参考答案：1．解：设一个三角形周长为C cm，则另一个三角形周长为（C＋560）cm，则C∶（C＋560）＝3∶10，∴C＝240，C＋560＝800，即它们的周长分别为240cm，800cm．2．解：（1）由相似变换可得：DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3；（2）∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周长∶△ABC的周长＝2∶3，S△DEF：S△ABC＝4∶9．∵直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，∴△DEF的周长为8cm，S△DEF＝cm2．3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，∴△BEF∽△CDF．∵AB＝DC，BE∶AB＝2∶3，∴BE∶DC＝2∶3，∴S△DCF＝（）2•S△BEF＝×4＝9．4．[解析]∵矩形ABCD∽矩形BFEA，∴AB∶BF＝AD∶AB，∴AD•BF＝AB•AB．又∵BF＝AD，∴AD2＝AB2，则＝＝．5．20 [解析]根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可求得面积的比值，依据面积和为25，就可求得两个多边形的面积．设两个多边形中较小的多边形的面积是x，则较大的面积是4x．根据题意得：x＋4x＝25，解得x＝5．因而较大多边形的面积20．6．解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，∴＝＝．又∵AD＝4，BC＝9，∴EF2＝AD•BC＝4×9＝36．∵EF＞0，∴EF＝6，∴＝＝，即＝．【知识要点】1.几种特殊四边形的性质和判定：（1）特殊平行四边形具有一般平行四边形的一切性质，需要注重各自图形的特殊性质.（2）判别菱形：①说明是平行四边形+邻边相等; ②说明是平行四边形+对角线垂直；③四条边相等。

2018年秋九年级数学上册第四章相似三角形 4.4 两个三角形相似的判定讲义2 (新版)浙教版

∴AD2＝5＋1－4 2 5＝3－2 5，AC·CD＝1×3－2 5＝3－2 5.∴AD2＝AC·CD.
(2)∵AD＝BC，AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即BACC＝CBDC.
AB BD 又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB.∴AC＝CB＝1，∠DBC＝∠A.
∴DB＝CB＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC.设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝ ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°.解得 x＝36°.∴∠ABD＝
解：设经过 x(s)，两三角形相似，则 CP＝AC－AP＝8－x，CQ＝2x，
CP CQ 8－x 2x ① 当 CP 与 CA 是对应边时，AC＝BC，即 8 ＝16，解得 x＝4；
CP CQ 8－x 2x
8
8
② 当 CP 与 BC 是对应边时，BC＝AC，即 16 ＝ 8 ，解得 x＝5.故经过 4 s 或5 s，△P
精彩练习九年级数学
章相似三角形
4.4两个三角形相似的判定（2） A 练就好基础 B 更上一层楼 C 开拓新思路
A
练就好基础
1 6
B A
B
15
2.
两个三角形相似的判定（2）
8．2017·铜仁中考如图所示，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝1 求证：△ABC∽△AED.
9．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D为CB的延长线上的一点，E为BC的延长线的一点，且满足AB2＝DB·CE. 求证：△ADB∽△EAC.
两个三角形相似的判定（2）
12．福州中考如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝1，BC＝ 52－1，在 AC 边上截取 A
(1)通过计算，说明 AD2 与 AC·CD 的大小关系；

九年级数学上册第四章图形的相似 4 探索三角形相似的条件相约“相似三角形”和探索“相似的条件”

相约“相似三角形”和探索“相似的条件”我们已经认识了形状相同的图形，结识了相似多边形，下面让我们一起来研究最简单的相似图形――相似三角形，来探索两个三角形相似的条件吧。

一．相似三角形的概念三角对应相等，三边对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

温馨提示：全等三角形是相似三角形的特例，两者之间有如下关系：（1）全等三角形是相似比为1的相似三角形；相似三角形不一定全等；（2）全等三角形要求对应边相等；相似三角形要求对应边成比例。

因此，我们可以通过将全等三角形与相似三角形进行类比，来学习和掌握相似三角形的相关知识。

现将三角形全等的判别方法与三角形相似的条件列表比较如下：二．探索“三角形相似的条件”1．条件比拼判定两个三角形相似，除了运用相似三角形的定义外，常用的方法还有以下三种：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）三边对应成比例的两个三角形相似．（3）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．2．指点迷津在利用相似三角形解决问题时，常用到以下几个基本图形：（1）平行型：条件中若有平行线，可直接得两三角型相似，如没有平行线，可添加平行线，构造平行型相似三角形．如：如图1，DE//BC，则△ABC∽△ADE。

（2）斜交型：条件中若有一对角相等，可考虑在找一对角相等，应用相似三角形方法1（两角对应相等的两个三角形相似），或找等角的夹边对应成比例，应用相似三角形的方法3（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．如：如图2，若∠1=∠B或∠2=∠ACB，则△ABC∽△ACD（或△ABC∽△ADE）。

（3）垂直型：若有一对直角出现在条件中，可考虑再找一对等角，使用方法1；或者证明斜边、直角边对应成比例．如：如图3（1），AB⊥AC，AD⊥BC，则△ABD∽△CBA∽△CAD；如图3（2），AB⊥AC，ED⊥BC，则△ABC∽△DEC。

温馨提示：在解与相似三角形有关的问题时，可以通过寻找基本图形来确定相似三角形，也可以通过添加辅助线构造基本图形得到相似三角形，从而使问题得到解决。

2018年秋九年级数学上册第四章相似三角形4.5相似三角形的性质及其应用②课件(新版)浙教版

AP 1 AB 3
谢谢大家
2 答：若△ ADE与四边形 DBCE的面积相等，Байду номын сангаас AD与AB的比为 . 2
• 1.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，则它们的周长之比是 ______ 2 ，面积之比是 ______ 4 . • 2.请解答本节节前语中的问题. 边长和周长被放大了10倍. • 3.如图，AB，CD相交于点O，AC∥BD，AO：BO＝3 ：2， △ACO 的周长为18 cm.求△BDO的周长. 12cm • 4.求三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积之比 • 1:4
第3题
6.如图，在△ABC中，点 D ， E ， F 分别在边 AB ， AC ， BC 上， AD 2 ，△ABC的面积为a.求 DFCE DE∥BC，DF∥AC.已知 BD 3 的面积.
4 △ ADE 的面积为 a. 25
9 △BDF 的面积为 a. 25

12 DFCE 的面积为 a. 25
4.5 相似三角形的性质及其应用②
教学目标： 1.经历相似三角形性质“相似三角形的周长之比等于相似比”“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程. 2.掌握“相似三角形的周长之比等相似比”“相似三角形的面积之比等于相似比平方”的两个性质. 3.会运用上述两个性质解决简单的几何问题. 重难点： ●本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质. ●“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一性质的证明，需要先证明对应高的比等于相似比，过程比较复杂，是本节教学的难点.
7.如图，已知△ABC.作一条与BC平行的直线，把△ABC划分成两部分，
使划分成的三角形和四边形的面积之比为1：2，可怎样作？如果要使划分成的两部分的面积之比为1：n呢？

九年级上册数学第四章：相似三角形知识总结与练习

图形的相似复习与练习知识点1：比例线段的有关概念四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即____________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例项．知识点2：比例性质 ①比例式转化为乘积式⇔=dc b a ____________ ②乘积式转化为比例式：若ad=bc ⇔____________；____________；____________；③等比性质⇒≠++===)0( n d b k n m d c b a ____________ ，成立的前提条件是 ____________ 若没有告诉0≠++ n d b 应分____________和____________的情况讨论知识点3：平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段____________，字母表示：如图：l 1∥l 2∥l 3．则 ____________；____________；____________②推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的_________字母表示：知识点4：相似多边形①相似多边形的性质：相似多边形的对应角________对应边的比_________几何语言：②相似多边形的判定：如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形相似几何语言：知识点5：黄金分割（一）黄金分割的定义：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果_________，那么称线段被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的_________，_________、_________叫黄金比，比值约等于_________. 一条线段有_______个黄金分割点，较长线段长等于_________AB ，较短线段长等于_________AB ，知识点6：相似三角形相似三角形的判定①________对应相等的两个三角形相似.简记为“________”；②______________的两三角形相似. 简记为“________”；③______________的两三角形相似. 简记为“________”．相似三角形的性质①相似三角形的________相等, ________成比例；②相似三角形对应高的比、对应________的比和对应___________的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于____________；面积的比等于____________．知道相似比求面积比，相等于把相似比_______，知道面积比求相似比，相等于把面积比_______，常见相似基本模型：________～________ ________～________ ________～________比例：______=______=______ 比例：______=______=______ 比例：______=______=_____________～________比例：______=______=______连接AE ，当点C 满足__________时，由__________可证△ABC ～ △ACE ～ △CDE射影定理由______～_____得_比例式________，乘积式为____________；由______～_____得_比例式________，乘积式为____________；由______～_____得_比例式________，乘积式为____________．知识点7：图形的位似（1）定义：如果两个多边形相似，而且_____的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_____，这时的相似比又称为_____。

九年级数学上册第4章相似三角形4.5相似三角形的性质及其应用

∴ △ASR∽△ABC.
Q
C (两角分别相等的两个三角形相似)
（2）∵ △ASR∽△ABC.
∴
A
AE SR AD BC
S 40cm E
R
x
B
PD
Q
60cm
(相似三角形对应高的比等于相似比)
设正方形PQRS的边长为xcm,
C
则AE=(40-x)cm,
40 x
x .
40
60
解得,x=24.
C' D'
明。
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比.
相似三角形的性质：
定理：相似三角形对应高的比, 对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比.
议一议
如图,已知△ABC∽△A’B’C’，△ABC与△A’B’C’ 相似比为k.点E在BC上，点D’,E’在B’C’边上.
1
1
(1)若AD∠BAD=3 ∠BAC, ∠B’A’D3’=
则A' D ' 等于多少？
A
∠B’A’C’,
A’
B
D
B’
D’
C’
C
新课学习
(2）若BE= 1BC，B’E’= 1 B’C’,则 AE等于多少?
3
3
A'E '
A
A’
B
E
C
B’
E’
C’
（3）若∠BAD= 1 ∠BAC, ∠B’A’D’= 1 ∠B’A’C’呢？
n
n
（4）若BE=
1 n
BC，B’E’=
1 n
如图, AD是△ABC的高, 点P,Q在BC边上，点S、R分别在AB、AC上. BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形

2018年秋九年级数学上册第4章相似三角形4.5相似三角形的性质及其应用第3课时相似三角形的性质的应

第4章相似三角形
4．5 相似三角形的性质及其应用
第4章相似三角形
第3课时相似三角形的性质的应用
学知识筑方法勤反思
4．5 相似三角形的性质及其应用
学知识
知识点相似三角形的性质的实际应用
利用相似求线段长度的一般步骤：找相似，列方程，得结论． 1．如图4－5－4，铁路道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短
图4－5－6
4．5 相似三角形的性质及其应用
【归纳总结】测量物体高度的方法 (1)利用影长：在同一时刻、同一地点，物体的实际高度和影长成正物高物高比，据此列方程即可解答，即＝ . 影长影长 (2)利用标杆或三角板，利用标杆时一般需要测量的数据有：①标杆的高度；②测量点距标杆的距离；③测量点距被测物体的距离．
图4－5－7
4．5 相似三角形的性质及其应用
【归纳总结】构造相似三角形测宽度的“三点注意”
(1)在构造的三角形中，被测对象必是其中一个三角形的一边；
(2)注意把握“所构造的三角形中除被测对象外其余的对应边易
测量”的原则；
(3)构造的方法较多，一般构造包括被测对象在内的两个直角
三角形相似．
4．5 相似三角形的性质及其应用
自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他
们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边 DE与旗杆顶点A在同一直线上．已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝ 20米，求旗杆的高度．
4．5 相似三角形的性质及其应用
解：由题意可得△DEF∽△DCA， DE EF 则＝ . DC AC ∵DE＝0.5 米，EF＝0.25 米，DC＝20 米， 0.5 0.25 ∴ ＝，解得 AC＝10(米)， 20 AC 故 AB＝AC＋BC＝10＋1.5＝11.5(米)．答：旗杆的高度为 11.5 米．

[推荐学习]九年级数学上册第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第1课时相似三角形的定义及其判定

[推荐学习]九年级数学上册第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第1课时相似三角形的定义及其判定4 第1课时相似三角形的定义及其判定1知识点 1 对相似三角形定义的理解1．下列说法中错误的是( )A．两个全等三角形一定相似B．两个直角三角形一定相似C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D．相似的两个三角形不一定全等2．已知△ABC∽△A′B′C′，且BC∶B′C′＝AC∶A′C′，若AC＝3，A′C′＝4.5，则△A′B′C′与△ABC的相似比为( ) A．1∶3 B．3∶2 C．3∶5 D．2∶3求：(1)∠ADE的度数；(2)∠AED的度数；(3)DE的长．图4－4－2知识点 2 利用两角分别相等判定三角形相似7．如图4－4－3所示的三个三角形，相似的是( )图4－4－3A．(1)和(2) B．(2)和(3)C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)8．教材习题4.5第3题变式题如图4－4－4，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形有( )A．0对 B．1对 C．2对 D．3对4－4－44－4－59．如图4－4－5，添加一个条件：__________(写出一个即可)，使△ADE∽△ACB.10．将两块大小一样的含30°角的直角三角板叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合(如图4－4－6)，AC与BD相交于点E.连接CD，请写出图中的一对相似三角形，并加以证明．图4－4－611．如图4－4－7，在▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是图4－4－7( )A．△ABE∽△DGEB．△CGB∽△DGEC．△BCF∽△EAFD．△ACD∽△GCF12．2016·贵阳期末如图4－4－8，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是( )A．1 B．2 C．3 D．44－4－84－4－913．如图4－4－9，已知P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC 相似，则点D的位置最多有________处．14．如图4－4－10，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.图4－4－1015．如图4－4－11，△PMN是等边三角形，∠APB＝120°，求证：AM·PB＝PN·AP.图4－4－1116．如图4－4－12，点D在等边三角形ABC 的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC相交于点F.(1)求证：△ABD∽△DCF；(2)除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．图4－4－1217．如图4－4－13，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)，点B(8，0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒．(1)求直线AB的函数表达式；(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标．图4－4－13详解1．B 2.B3．B [解析] 设与它相似的三角形的最短边的长为x，∵一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，∴x3＝217，解得x＝9.故选B.4．B [解析] 根据相似三角形的定义可知，△ADE∽△ACB，且∠ADE和∠C是对应角，因此AD，AC与DE，CB对应成比例．5．A [解析] ∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA′B′＝BCB′C′，即21＝3B′C′，解得B′C′＝1.5.故选A. 6．解：(1)∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠B＝50°.(2)在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，∴∠AED＝180°－70°－50°＝60°.(3)∵△ADE∽△ABC，∴ADAB＝DEBC，即66＋3＝DE9.9，∴DE＝6.6(cm)．7．A8．D [解析] ∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∵∠CAD＝∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC.∵∠DBC＝∠CBA，∴Rt△ABC∽Rt△CBD，∴Rt△CBD∽Rt△ACD.共有3对．故选D.9．∠ADE＝∠C(答案不唯一)10．解：答案不唯一，如△ADE∽△BDA.证明：∵∠CAB＝30°，∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°＝∠DBA.又∵∠ADE＝∠BDA＝90°，∴△ADE∽△BDA.11．D [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDG＝∠EAB.又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△DGE；∵AE∥BC，∴∠EDG＝∠BCG，∠E＝∠CBG，∴△CGB∽△DGE；∵AE∥BC，∴∠E＝∠FBC，∠EAF＝∠BCF，∴△BCF∽△EAF.第四个无法证得．故选D.12．C [解析] ∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠ABC＝∠ADE，∠AED＝∠ACB，∠CEF＝∠CAB，∠CFE＝∠CBA，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC.∴图中相似三角形的对数是：3.故选C.13．3 [解析] ∵截得的小三角形与△ABC 相似，∴过点P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形均满足题意，则点D 的位置最多有3处．14．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.15．证明：∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°，PN＝MP，∴∠AMP＝180°－∠PMN＝120°＝∠APB. 又∵∠A＝∠A，∴△AMP∽△APB，∴AMAP＝MPPB，∴AM·PB＝MP·AP，∴AM·PB＝PN·AP.16．解：(1)证明：∵△ABC，△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠FDC＝∠DFC＋∠FDC，∴∠ADB＝∠DFC.∴△ABD∽△DCF.(2)∵∠C＝∠E，∠AFE＝∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF.∵△ABC与△ADE均为等边三角形，∴△ABC∽△ADE.∵∠ADC＝∠ADF＋∠CDF＝∠C＋∠CDF＝∠AFD，又∠DAF＝∠CAD,∴△ADF∽△ACD.故除了△ABD∽△DCF外，图中的相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC ∽△ADE，△ADF∽△ACD.17．解：(1)直线AB的函数表达式为y＝－3x＋6.4(2)在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝10.由题意，知AP＝t，AQ＝10－2t.可分两种情况讨论：①当∠APQ ＝∠AOB 时，有△APQ ∽△AOB ，得AP AO ＝AQ AB ，解得t ＝3011，此时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3611，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4011，3611. ②当∠AQP ＝∠AOB 时，有△APQ ∽△ABO ，得AP AB ＝AQ AO ，解得t ＝5013，此时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2813，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2413，6013.。

9年级-上册-数学-第4章《相似三角形》4.1-4.2综合讲解-分节好题挑选

浙教版-9 年级-上册-数学-第 4 章《相似三角形》
4.1--4.2 综合讲解--每日好题挑选
4、1 比例线段：（1）比例线段的相关概念：
1、在四条线段
中如果
的比等于
的比，那么这四条线段
叫做成比例线段简称比例
线段。注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．
（2）比例的性质：1、基本性质：（1）
（3）设
，试求 k 的值；
（4）如图 2，在△A1B1C1 中，已知 A1B1＝A1C1，∠A1＝108°，且 A1B1＝AB，请直接写出
的值。
【练 1-10】如图 1，点 B 在线段 AC 上的黄金分割点，且 AB＞BC。
（1）设 AC＝2，① 求 AB 的长；填空：设 AB＝x，则 BC＝2﹣x，∵点 B 在线段 AC 上的黄金分割点，且 AB＞BC，
。
y＋2x
【练 1-3】（1）若
，求
的值；（2）若
，且 2a﹣b+3c＝21，求 a：b：c。
-1-
【练 1-4】已知线段 a、b、c 满足 a：b：c＝3：2：6，且 a+2b+c＝26。（1）求 a、b、c 的值；（2）若线段 x 是线段 a、b 的比例中项，求 x 的值。
【练 1-5】我们知道：若，且 b+d≠0，那么
黄金矩形：宽与长的比等于黄金比的矩形。
AP ② 求黄金比的数值：如图 4－1－4,设＝x，则 PB＝AB－A＝
AB－AB•x ，得
AB•x ＝
1－x ，即
x ＝
；化简，得 x2＋x－1＝0。
AP AB
AB•x
AB
x1
－1＋ 5

2018秋北师大版九年级数学上册第4章教学课件：4.5相似三角形判定定理的证明(共14张PPT)

思考
对 A 于 B 和 C A 'B 'C '，如果
AB AC , A'B' A'C'
BB'，这两个三角形一定会相似吗？
不会
应用ห้องสมุดไป่ตู้
解：（1）AB 7, AC 14 7,
A'B' 3A'C' 6 3
AB AC . A' B' A'C'
两个三角形的相似比是多少？
又AA'，
AD= 2 5 . 4
画一画
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论.
已知 A： B 和 C A 在 'B 'C '中A， B BC AC.
O
同理: ∠C=∠B.
∴△PAC∽△PDB.
C
PA PC . PD PB
即PA·PB=PC·PD.
D
P B
小结
一、相似三角形判定定理的证明 1.两角对应相等，两三角形相似. 2.三边对应成比例,两三角形相似. 3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 二、相似三角形判定定理的应用
求证: △ ABC ∽△ A'B'C'.A'B'
证明：在线段A'B（ ' 或它的延长线
A
B'C'
A'C'
A'
上）截取A'DAB，过点D再作
DE∥B'C'交 A'C'交于 E，点可 B 得 C D

9年级-上册-数学-第4章《相似三角形》专题讲解-相似三角形的基本图形-分节好题挑选

浙教版-9 年级-上册-数学-第 4 章《相似三角形》
专题讲解-相似三角形的基本图形--每日好题挑选
类型一 “A”字形【例 1】如图，△ABC 中，DE∥BC，则下列比例式不成立的是（）
AD AE A. ＝
AB AC
AD DE B. ＝
AB BC
AD DE C. ＝
DB BC
AD AE D. ＝
）
AB AC A. ＝
AD AE
AB BC B. ＝
AD DE
C．∠B＝∠D
D．∠C＝∠AED
【例 14】如图，在△ABC 中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE 绕点 B 顺时针旋转得到△BD′E′，点 D 的对应点落在
边 BC 上，已知 BE′＝5，D′C＝4，则 BC 的长为
。
【例 15】将两块直角三角板 AOB 和 COD 如图 5－ZT－15 放置，O 为三角板的顶点，连结 AC，BD。（1）如图①，若△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，求证：AC＝BD；（2）如图②，若∠OAB＝∠OCD＝30°，求证：BD⊥AC。
A．2 B．3
C．4 D．6
类型三母子型
【例 7】如图，D 为△ABC 中 BC 边上的一点，∠CAD＝∠B.若 AD＝6，AB＝8，BD＝7，则 DC＝
。
【例 8】如图所示，在△ABC 中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点 P 从点 A 出发沿 AB 边向点 B 以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 4 cm/s 的速度移动．如果点 P，Q 同时出发，经过几秒后△PBQ 和△ABC 相似？
（1）如图①，已知等腰直角三角形纸片 ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，同学们通过构造直角三角形的办法

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专题分类突破四相似三角形的基本图形(见B 本41页)
, 类型 1 “A ”字型)
【例1】如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，四边形DEFB
是菱形，AB ＝6，BC ＝4，那么AD ＝__185
__．
例1图
变式扬州中考如图所示，已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且a<b<c ，平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①，②，③的面积分别为S 1，S 2，S 3则S 1，S 2，S 3的大小关系是__S 1<S 3<S 2__．
变式图
, 类型 2 “X ”字型)
例2图
【例2】如图所示，已知△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，过点C 作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F.若AD ∶BD ＝3∶2，BC ＝15，则EF 的长为__6__．
变式株洲中考如图所示，已知AB ，CD ，EF 都与BD 垂直，垂足分别是B ，D ，F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( C )
变式图
A.13
B.23
C.34
D.45
, 类型 3 “K ”字型)
【例3】如图所示，在边长为12的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上．若BF ＝3，则小正方形的边长为( A )
例3图
A.154 B ．2 3 C ．5 D ．6
变式图
变式如图所示，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则AF 等于( C )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
, 类型 4 交叉型与旋转型)
【例4】如图所示，正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M ，交AB 于点N ，
交CB 的延长线于P ，若MN ＝1，PN ＝4，则DM 的长为．
4图
变式 2017·深圳中考如图所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝__3__．
变式图
1．如图所示，在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若S △CAD ＝3S △ABD ，则AB ∶AC 等于( C )
A ．1∶3
B ．1∶4
C ．1∶3
D ．1∶2
1题图
2题图
2．如图所示，已知△ABC 的面积是12，BC ＝6，点E ，I 分别在边AB ，AC 上，在BC 边上依次做了n 个全等的小正方形DEFG ，GFMN ，…，KHIJ ，则每个小正方形边长为( D )
A.1211
B.122n －3
C.125
D.122n ＋3
3．如图所示，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于点
H ，AD ＝3，DC ＝4，DE ＝52
，∠EDF ＝90°，则DF 的长是( C ) A.158 B.113 C.103 D.165
3题图
4题图
4．如图所示，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为__16∶9__．
5．2017·东营中考如图所示，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，D 为半圆上一点，AC ∥OD ，AD 与OC 交于点E ，连结CD ，BD ，给出以下三个结论：①OD 平分∠COB ；②BD ＝CD ；③CD 2＝CE·CO ，其中正确结论的序号是__①②③__．
第5题图
6题图
6．2017·六盘水中考如图所示，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的
延长线上取一点E ，连结OE 交AD 于点F.若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝__169
__．
第7题图
7．岳阳中考如图所示，在正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N.
(1)求证：△ABM ∽△EFA.
(2)若AB ＝12，BM ＝5，求DE 的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝90°，
∵AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠EAF ，
又∵EF ⊥AM ，∴∠AFE ＝90°，
∴∠B ＝∠AFE ，∴△ABM ∽△EFA.
(2)∵∠B ＝90°，AB ＝12，BM ＝5，
∴AM ＝122＋52＝13，AD ＝12，
∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12
AM ＝6.5， ∵△ABM ∽△EFA ，∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE
， ∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.
第8题图
8．2017·株洲中考如图所示，若△ABC 内一点P 满足∠PAC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF ＝90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ ＝1，求EQ ＋FQ 的值．
第8题答图
解：如图，在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF ＝90°，DE ＝DF ，∠1＝∠2＝∠3， ∵∠1＋∠QEF ＝∠3＋∠DFQ ＝45°，
∴∠QEF ＝∠DFQ ，∵∠2＝∠3，
∴△DQF ∽△FQE ，∴DQ FQ ＝FQ QE ＝DF EF ＝12
， ∵DQ ＝1，∴FQ ＝2，EQ ＝2，∴EQ ＋FQ ＝2＋ 2.。