专题 平行四边形的性质与判定(学生版)
专题 平行四边形模块中档大题过关20题(学生版)
平行四边形模块中档题过关30题（学生版）专题简介：本份资料包含平行四边形、矩形、菱形、正方形这四节的主流中档大题，所选题目源自近四年各名校试题中的有代表性的优质试题，把每一个模块中的高频考题按题型进行分类汇编，立意于让学生们用较短的时间刷考试最喜欢考的题、刷最有利于提分的好题，也适合于培训机构老师给学生进行专题复习时使用。
平行四边形一：平行四边形、矩形、菱形的性质汇总平行四边形矩形菱形⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⇔中点为中点为对角线：互相平分邻角互补对角相等角的方向位置关系大小关系边的方向平行四边形BD O AC O 二：平行四边形的判定：两个条件，五种判定方法⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧OD OB OC OA 分对角线：对角线互相平等角的方向：两组对角相两组对边相等两组对边平行一组对边平行且相等边的方向平行四边形的判定1．（长郡）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ．AC 平分DAE ∠．（1）若50AOE ∠=︒，求ACB ∠的度数；（2）求证：AE CF =．角=90对角线相等邻边相等对角线垂直2．（2021秋•长沙期中）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD 交BD于点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数．3．（2018•吉林模拟）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB＝CF；（2）连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF．4.（明德）在平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，且DF=CF，连接AE，AF，并延长AF交BC 的延长线于点P.(1)求证：△ADF≌△PCF；(2)若AE=2,AF=4,∠EAF=60∘，求PE的长。
(完整版)18.平行四边形的性质及判定(1)(2)
平行四边形的性质（1）课型学习新知课主备人金晓铃鉴定人江远明学生姓名【课程目标】研究并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线相互均分【学习目标】1、理解并掌握平行四边形的看法和平行四边形对边、对角相等的性质．2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．【学法指导】研究、合作、交流【自主学习】1. 由 __ _ 条线段首尾按序连接构成的多边形叫四边形；四边形有_条边， ___个角 , 四边形的内角和等于 _____度；2. 如图 AB与 BC叫 _ __边， AB 与 CD叫__ _边；∠ A 与∠ B 叫 _ __角，∠ D与∠ B 叫_ __角 ;3 多边形中不相邻极点的连线叫对角线，如图四边形ABCD中对角线有 __ _ 条，它们是___自学课本1.有两组对边 __________________ 的四边形叫平形四边形，平行四边形用“ ______表”示，平行四边形 ABCD 记作 __________。
（可以写成□BACD 吗？）2.如图□ABCD 中，对边有 ______组，分别是 ___________________ ，对角有 _____组，分别是 _________________，对角线有 ______条，它们是 ___________________ 。
试一试：1、如图，小明用一根36 m长的绳索围成了一个平行四边形的场所，此中一条边AB 长为 8 m，其余三条边各长多少？2、一个个平行四边形的一个外角是38°，这个平行四边形的各个内角的度数分别是：组长检查等级：组长署名：【合作研究】你能猜想ABCD的边、角各有什么关系吗？并证明你的结论。
边的关系：角的关系：证明：证明：从而获取平行四边形的性质：（ 1）平行四边形的对边且。
几何语言：（ 2）平行四边形的对角，邻角。
几何语言：【当堂检测】（A 层）1、ABCD有一个内角等于40°，则别的三个内角分别为：2、平行四边形的周长为50cm，两邻边之比为2： 3，则两邻边分别为：3、ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是（）A.1 ︰2︰3︰4︰4︰4︰3︰3︰4︰4︰4︰3︰44. 、ABCD 的周长为 40cm，△ ABC的周长为 27cm,AC 的长为（）（ B、 C层）1、如图，在平行四边形 ABCD 中，∠B=110 °，延长 AD 至 F ，延长 CD至 E ，连接 EF ，则∠ E+ ∠F 等于 (）A.30 °B.110 °° D.70 °2、如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，若 AE=4， AF=6，平行四边形 ABCD的周长为 40，则平行四边形 ABCD的面积为多少？3、在ABCD，若一个角的均分线把另一条边分成长是2cm和 3cm 的两条线段，则该平行四边形的周长是4.如图，AD∥ BC，AE∥ CD，BD均分∠ ABC，求证AB=CE.【学后反思】本节课你学会了什么？你还有哪些诱惑？学习等级小组议论教师议论平行四边形的性质（2）课型学习新知课主备人金晓铃鉴定人江远明学生姓名【课程目标】研究并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线相互均分【学习目标】1、理解平行四边形中心对称的特色，掌握平行四边形对角线相互均分的性质．2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题【学法指导】研究、合作、交流。
2023中考数学复习-专题22 四边形(讲通)(学生版)
专题22 四边形1.掌握平行四边形、菱形、矩形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.2.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.3.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°；(2)推论：四边形的外角和是360°.例1.一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8二、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．5．平行四边形的面积：1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．例2．如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE▭BD，BM▭AC、DN▭AC，CF▭BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN▭MF．三、矩形的定义、性质与判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．四、菱形的定义、性质与判定1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质①菱形的四条边都相等;②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.注意：菱形也具有平行四边形的一切性质.3.菱形的判定①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四条边都相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直的平行四边形是菱形④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形4.菱形的面积①对角线乘积的一半(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a²·sinx5.菱形的周长菱形周长=边长×4用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，则C=4a例3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)判断四边形EHFG的形状；(2)在什么情况下，四边形EHFG为菱形？五、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等.5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).六、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：▭n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；▭n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.1．（2022·泉州市东海中学）在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，得到中点四边形EFGH．当AC＝BD时，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2022·黑龙江九年级期末）如图，矩形ABCD中8AB=把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．若254AF=，则AD的长为（）A．4B．5C．6D．7 3．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．四条边相等的四边形是矩形D．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4．（2022·深圳市罗湖区翠园初级中学）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC▭BD时，它是菱形C．当AC＝BD时，它是矩形D．当AC垂直平分BD时，它是正方形5．（2022·沙坪坝·重庆八中九年级月考）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定ABE ADF≌的是（）A．BE DF∠=∠∠=∠C．AE AF=B．BAF DAE=D．AEB AFD 6．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）下列说法不正确的是（）A．平行四边形两组对边分别平行B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的对角互补，邻角相等D．平行四边形的两组对边分别平行且相等7．（2020·浙江杭州市·九年级）若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段．这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别________．8．（2022·沈阳市第四十三中学九年级月考）如图，在▭ABC中，▭A＝50°，AB＝AC，点D 在AC边上，以CB、CD为边作平行四边形BCDE，则▭E的度数为_____．9．（2022·济南市章丘区实验中学九年级月考）已知：如图，平行四边形ABCD中，AC，BD⊥于点F．交于点O，AE BD⊥于点E，CF BD求证：OE OF=．10．（2019·宁波市慈湖中学九年级）如图，在梯形ABCD中，AD▭BC，AB＝DC，若点M为线段AD上任意一点(M与A、D不重合)．问：当点M在什么位置时，MB＝MC，请说明理由．。
初中数学《平行四边形的的性质和判定》单元教学设计以及思维导图
平行四边形的的性质和判定适用年八年级级所需时六课时间主题单元学习概述《初中数学八年级下》第五章平行四边形是人们日常生活和生产实践中应用广泛的一种图形，本单元是在学生已经学习了三角形相关知识、平行四边形的定义的基础上进行学习的，在教学内容中起着承上启下的作用，“承上”：定理的证明是三角形全等知识、平行线知识的再应用；“启下”：平行四边形的性质和判定定理以及探究的模式为进一步学习特殊四边形奠定了基础。
本单元包括两个专题：专题一：平行四边形的性质；专题二：平行四边形的判定。
平行四边形的性质定理和判定定理是两个互逆的定理，定理的证明方法都用到了三角形全等的知识。
通过合作探究，测量、计算、对折剪开、旋转、平移、推理等探索定理证明的不同思路和方法，运用定理解决较简单的问题；归纳、总结解决四边形问题的常用数学方法；进行适当的比较和讨论，渗透化归思想和数学建模思想，从而形成知识体系。
主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：知识与技能：1.通过合作探究，认识平行四边形的性质定理和判定定理。
2.理解平行四边形的性质定理和判定定理，并学会简单运用。
过程与方法：过程与方法：1.通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等学习活动，进一步增强动手能力、合情推理能力。
2.在运用平行四边形的性质和判定方法解决问题的过程中，培养和发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力。
情感态度与价值观：情感态度与价值观：通过对平行四边形性质和判定方法的探究和运用，感受数学思考过程中的合理性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辨证的观点分析事物。
对应课标《初中数学新课程标准》1.有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
2. 教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
第十八章平行四边形的性质与判定复习
E
F
B
C
8. 如图， 在 ABCD中， BE平分 ∠ABC交AD于E， 求证：
⑴AB=AE； ⑵ ED+DC=BC； ⑶ AE=3，ED=2时，求 B
四边形ABCD的周长。
平行四边形的对边相等
A3
E2
D
C
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形.
A
P
D
9.P、Q两人沿四边形ABCD
道路晨练。如图， AD∥BC，
证明：连接AD,EG
∵DE∥AF且DE=AF
∴四边形AEDF是平行四边形
B
∴AE∥DF, AE=DF
又∵DG=DF
∴AE=DG
∴四边形AEFD是平行四边形
∴AG与ED互相平分
H
F
D
C
G
已知：AD为△ABC的角平分线，DE∥AB ，在AB
上截取BF＝AE。
A
求证：EF＝BD
12
证明：∵AD是ΔABC的角平分线 ∴∠1=∠2
则 AC以=下12列, B两D条=2线0段.则长△为A对OB角的线周的长长为, 24
△ 能组AO成B平的行面四积边为形的24是( ,D )
•AB4,CD12的面B积. 为6,
8 96
A
.8
2346
D
C. 8, 26 D. 12, 20 B
114360 O
C
拓展提高
如图,在 ABCD中，Ｅ，Ｆ是ＡD,BC上的点,
延长AD至F，延长CD至E，连结
F
E F，则∠ E ＋∠ F＝（ D）
D
C
A、110°
B、30° E
C、50°
D、70°
第10讲 特殊的平行四边形(学生版)
第10讲特殊的平行四边形【学习目标】1. 理解矩形、菱形、正方形的概念.2. 掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.3. 了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系.【要点梳理】要点一、矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.要点二、矩形、菱形、正方形的性质矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点三、矩形、菱形、正方形的判定矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个内角是直角的菱形是正方形. 要点四、特殊平行四边形之间的关系要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】（基础） 类型一、矩形的性质和判定1、如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝4，则矩形对角线AC 长为________．2、已知：平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连结AF 、CE.cm（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.举一反三：【变式】如图，平行四边形ABCD中P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．类型二、菱形的性质和判定3、如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．举一反三：【变式】菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为________．4、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．类型三、正方形的性质和判定5、如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△B EC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°．求∠AFE的度数．举一反三：【变式】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．6、如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD 的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【典型例题】（提高）类型一、矩形的性质和判定1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点处，点A 落在点处．(1)求证：；(2)设AE ＝，AB ＝，BF ＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明．2、如图1，已知AB ∥CD ，AB=CD ，∠A=∠D ． （1）求证：四边形ABCD 为矩形；（2）E 是AB 边的中点，F 为AD 边上一点，∠DFC=2∠BCE ． ①如图2，若F 为AD 中点，DF=1.6，求CF 的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=________，AF=_________．B 'A'B E BF '=a b c a b c 、、举一反三： 【变式】已知ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，△ABO 是等边三角形，AB ＝4，求这个平行四边形的面积.类型二、菱形的性质和判定3、如图所示，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF 的度数．cm4、矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F两点．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．举一反三：【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）证明：DE=BC；（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（计算结果保留根号）．类型三、正方形的性质和判定5、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．举一反三：【变式】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．6、如图所示，已知矩形ABCD 的各内角平分线AQ 、DF 、BE 、CH 分别交BC 、AD 于点Q 、F 、E 、H ，试证明它们组成的四边形MNPO 是正方形．【巩固练习】 一.选择题1.下列关于矩形的说法中正确的是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（ ）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm 3．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）A ．6cm ，8cm B. 3cm ，4cm C. 12cm ，16cm D. 24cm ，32cm 4.如图，菱形ABCD 中对角线交于点O ，且OE⊥AB，若AC ＝8，BD ＝6，则,OE 的长是（ ） A ．2.5B ．5C ．2.4D ．不确定5.如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ⊥BC 于点Q ，PR⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ）A.B. C. D.6. 如图，四边形ABCD 中，AD ＝DC ，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD 面积为16，则DE 的长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．8二.填空题7．如图四边形ABCD 中，AB=BC=12，∠ABC=45°，∠ADC=90°，AD=CD ，则BD= ．8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连结CE ，则CE 的长______．2312229．如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 中点， 且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为______2cm .10．已知菱形ABCD 的周长为20cm ，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是 ．11.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．12. 如图，平面内4条直线是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线和上，该正方形的面积是 平方单位．三.解答题13．如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形BCDE 是矩形．1234l l l l ，，，1l 4l14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．(1)试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；(2)当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的； (3)若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．【课后作业】【巩固练习】一.选择题1．下列命题中不正确的是( )．A.直角三角形斜边中线等于斜边的一半B.矩形的对角线相等C.矩形的对角线互相垂直D.矩形是轴对称图形2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )．A. 3.6B. 7.2C. 1.8D. 14.43．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )61cm cm cm cm cmA.4B.8C.12D.164.菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．A. B.4 C.1 D.25.如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=FC=5，BE=DF=12，则EF 的长是（ ）A ．7B ．8C ．72D ．736. 如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接BE ，则∠AEB 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．12.5°二.填空题7．矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10，则AB ＝______，BC ＝______．8. 如图，将边长为2的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△，若两个三角形重叠部分的面积是1，则它移动的距离等于____.21cm cm cm cm A B C '''2cm AA 'cm9. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是_______.10.如图，两条等宽的长方形纸条倾斜的重叠着，已知长方形纸条宽度为3cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________cm2．11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.三.解答题13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．（1）证明：四边形ADCE是矩形．（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．。
平行四边形的判定说课稿（通用8篇）
平行四边形的判定说课稿平行四边形的判定说课稿（通用8篇）作为一名老师，通常需要用到说课稿来辅助教学，说课稿有助于顺利而有效地开展教学活动。
快来参考说课稿是怎么写的吧！下面是小编整理的平行四边形的判定说课稿范文，仅供参考，欢迎大家阅读。
平行四边形的判定说课稿篇1一、说教材本节课是平行四边形的判定的第一课时，其探究的主要内容是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，以及“对角线互相平行的四边形是平行四边形”这两种判定方法。
它是在学习了三角形的相关知识、平行四边形的定义、性质的基础上进行学习的，在教学内容上起着承上启下的作用。
二、说学情八年级的学生已经学习了初中阶段包括全等三角形的相关知识、平行四边形的性质在内的绝大多数几何概念及定理。
学生的抽象思维能力、逻辑推理能力有了很大的提高，学生对于新鲜的知识也充满着好奇心和强烈的求知欲望，而平行四边形的判定条件中，又有许多颇有思考价值的问题。
因此，由教师组织教学，让学生自主探索平行四边形的判定定理不仅成为可能，又可以作为初中几何知识综合能力的一次检验、一次再提升！三、教学目标【知识技能目标】1、运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的第三个判定方法。
2、理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用。
【过程与方法目标】1、通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动，进一步培养学生的动手能力、合情推理能力。
2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。
【情感态度与价值观目标】1、使学生学会将平行四边形的问题转化为三角形的问题，渗透化归意识。
2、通过对平行四边形两个判定方法的探究，提高学生解决问题的能力。
3、通过对平行四边形两个判定方法的探究和运用，使学生感受数学思考过程中的合理性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辨证的观点分析事物。
四、教学重点、难点【重点】平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的综合运用。
平行四边形的判定与性质(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解平行四边形的基本概念。平行四边形是四边形的一种，具有两对对边分别平行且相等的性质。它在几何学中具有重要地位，广泛应用于日常生活和各类工程设计。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个实际图形，展示平行四边形判定与性质在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行四边形的判定方法和性质的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平行四边形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-对角线互相平分的四边形是平行四边形；
-对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形。
b.平行四边形的性质：让学生理解并掌握平行四边形的性质，包括以下细节：
-对边平行且相等；
-对角线互相平分；
-对角线互相垂直；
-邻角互补，对角相等；
-对边相等，对角线相等。
2.教学难点
a.判定方法的灵活运用：学生在理解判定方法后，难点在于如何将这些方法灵活运用于解决实际问题。以下是一些具体的难点细节：
其次，关于平行四边形的性质，我发现大部分学生在理论学习上没有问题，但在解决实际问题时，却往往忽略了这些性质的应用。这说明我们在教学中不仅要重视知识的传授，还要关注学生运用知识解决问题的能力。
此外，在实践活动和小组讨论中，我发现学生们参与度很高，但部分学生在讨论过程中过于依赖同伴，缺乏独立思考。因此，我需要在接下来的教学中，引导学生培养独立思考和合作交流的能力。
(学生版)第7讲 平行四边形
第7讲平行四边形知识点1 一般的平行四边形1. 平行四边形的性质与判定定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质：如图，已知▱ABCD.则①AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC;②∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC;③OA=OC,OB=OD.拓展：①平行四边形的邻角互补；②平行四边形具有中心对称性（自身旋转180°后与原图形重合）.平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2. 两条平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图：AB∥CD，EF⊥CD.EF是平行线AB，CD之间的距离.结论：两条平行线之间的距离处处相等.拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等.3. 三角形的中位线图形：D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（DE）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（DE∥BC，且DE=BC）注：三角形的中位线定理可利用平行四边形的性质与判定进行证明.（见课本P48探究）拓展：梯形的中位线（两腰中点的连线）等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）【典例】1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME=∠CNE.（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）2.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G．求证：（1）四边形AECF是平行四边形．（2）EF与GH互相平分．【方法总结】经典模型：如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD 的延长线交于点M，N．若AB=CD，则∠BME=∠CNE.方法：要证明线段（或角）相等、两直线平行等，若这两条线段在一个四边形中，一般先判定这个四边形为平行四边形，然后再利用平行四边形的性质去解决.【随堂练习】1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，S△ACD为（）A. 5B. 10C. 20D. 无法确定2.如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．则△PMN的形状是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 任意三角形3.如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A. B. 2 C. D. 34.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A. 8B. 9C. 10D. 115.如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（）A. 8B. 6C. 4D. 36.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点P在AD 边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（）A. 1 次B. 2次C. 3次D. 4次知识点2 矩形矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图：矩形ABCD.1. 矩形的性质矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：①矩形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）②矩形的对角线相等；（AC=BD）③对称性：矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是对边中点的连线）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（在Rt△ADC中，DO为斜边AC的中线，则DO=AC）拓展：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形.2. 矩形的判定矩形的判定方法：①有一个角时直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③三个角都是直角的四边形是矩形.3. 拓展矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形.【典例】1.如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【方法总结】方法：矩形的两条对角线相等，当求其中一条对角线的长（最小值或取值范围）时，可以转化为求另一条对角线的长（最小值或取值范围）.总结：证明一个四边形是不是矩形，有两条证明思路：①直接证明（证明该四边形有3个直角）；②先证该四边形为平行四边形，再证明它是矩形（有一个角相等或对角线相等）.【随堂练习】1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（）A. 10B. 12C. 14D. 162.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A. ∠ACD=∠BCDB. AD=BDC. CD⊥ABD. CD=AC3.矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH的值为（）A. 1B.C.D.4.如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A. 12B. 6C. 12.5D. 25知识点3 菱形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 如图：菱形ABCD.1. 菱形的性质菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：①菱形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（AC⊥BD，AC是∠DAB 和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA的角平分线）③对称性：菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是它的两条对角线所在的直线（AC，BD））2. 菱形的判定菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边相等的四边形是矩形.3. 拓展①菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形；②菱形的面积等于两对角线乘积的一半.【典例】1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE=CD.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若OE=2，OA=1，求四边形ABCD的面积．【方法总结】方法：判定一个四边形是不是菱形，从2个角度出发：①四边形，直接证明四条边都相等或对角线互相垂直平分；②先证四边形为平行四边形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直. 【随堂练习】1.如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM=AB，则∠C为（）A. 100°B. 105°C. 110°D. 120°2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A. 10B. 12C. 16D. 183.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（）A. AD=BCB. BD⊥DEC. 四边形ACED是菱形D. 四边形ABCD的面积为4知识点4 正方形正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 如图：正方形ABCD.1. 正方形的性质正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下：①正方形的对边平行且相等；（AB∥CD，AB=CD；BC∥AD，BC=AD）②正方形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）③正方形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）④正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA 的角平分线）⑤对称性：正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它的两条对角线所在的直线（AC，BD））2. 正方形的判定正方形的判定方法：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形.判定正方形的思路图：3. 拓展正形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.【典例】1.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【方法总结】正方形的证明思路：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；②先判定四边形是菱形，在判定这个菱形是矩形.【随堂练习】1.平行四边形ABCD的对角线交于点O，有五个条件：①AC=BD，②∠ABC=90°，③AB=AC，④AB=BC，⑤AC⊥BD，则下列哪个组合可判别这个四边形是正方形（）A. ①②B. ①③C. ①④D. ④⑤2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（）A. ②③B. ②④C. ②③④D. ①③④3.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，∠AED=45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为（）A. 4B.C. 2+2D. 2+2知识点4 中点四边形1. 中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH为中点四边形.2. 常见中点四边形①四边形的中点四边形为平行四边形；②矩形的中点四边形为菱形；③菱形的中点四边形为矩形；④正方形的中点四边形为正方形；⑤等腰梯形的中点四边形为菱形；⑥对角线相等的中点四边形为菱形；⑦对角线互相垂直的中点四边形为矩形.【典例】1.观察探究，解决问题．在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，顺次连接E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做中点四边形．（1）如图，求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）请你探究并填空：①当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是_______________；②当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是__________________；③当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是________________；【方法总结】总结：依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系有关.①若两对角线相等，新四边形为菱形；②若两对角线互相垂直，新四边形为矩形；③若两对角线相等且互相垂直，新四边形为正方形.【随堂练习】1.已知E、F、G、H四点分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，若四边形EFGH是菱形，则下列结论：①∠A=90°；②AB=BC；③AC=BD；④AC⊥BD.其中正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④2.某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC的长度为（）A. 20cmB. 15cmC. 10cmD. 5cm3. 如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B. 当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形综合运用1.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是__________.2.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=9，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，EG2+FH2=____________.3.如图，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE的长度．（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）4.如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）求四边形BDEF的周长．5.在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D 作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，求菱形ABCD的面积．7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC. （1）求证：四边形DBEC是菱形；（2）若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积．8.如图，在矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．21。
专题43平行四边形(学生版)
（1）说明△DCE≌△FBE的理由；
（2）若EC=3，求AD的长．
6、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．
A．1组B．2组C．3组D．4组
7、在ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，
则AF：CF=（）
A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5
8、如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连结AO.若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是（）
A．∠ABC=60° B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2D．AB：BC=5：8
10、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是【】
A．DF=BEB．AF=CEC．CF=AED．CF∥AE
11、如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为【】
15、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．
16、如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连别在AD、BC上，且ED＝BF，EF与AC相交于点O.求证：OA＝OC.
（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60°，求FG的长。
经典习题二
一、选择题
1、如图，在 ABCD中，点E为AB的中点，点F
平行四边形的性质与判定复习
平行四边形的性质与判定赤眉一初中：张亚博且 AE=CF ，连结 AF 、EC 、BE 、DF 交于 M 、N ,求证：线段MN 、EF 互相平分.•••四边形ABCD 是 活动二复习课本85页练习2, 3题，然后完成下面问题：（3分钟） 在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 和AD 上的中点 1.根据题中条件，你能画出几种不同的平行四边形？试画一画。
2.若将本题中E 、F 分别是边BC 和AD 上的中点”改为AF = CE ，其它 条件不变，影响上述结论吗？试证明一下。
D H E由中点E 、F 变 成线段上的一般 点，学生从中体 验由特殊到一般 的思维方法。
在实验得出初步 结论的基础上,再运用逻辑推理 （变式1）已知：平行四边形 ABCD 中, E，F 分别在边BC ，DA 上,予以证明。
且 AE // CF 。
求证：AE=CF （变式2）如图，平行四边形 ABCD 中, EF 为边 AD 、BC 上的点, 的图形（由未知 到已知的转化）， 既考查学生的识 图能力，又考查 学生对知识的掌 握。
让学生能从复杂 图形中看到熟悉活动三（巩固课本78页例6）如图，□ ABCD的对角线AC, BD交于点0。
EF过点0且与边AB、CD分别交于点E、F.1. 证明：0E = OF .此题把证明两线段相等的问题转化为证明（）的问题。
2. 如下图将直线EF绕点o旋转任意角度，上题结论仍成立吗?3. 连接EE' FF'所组成的四边形是平行四边形吗？试证明。
4. 完成课本95页14题.课堂检测1.如图，G、H是口ABCD对角线AC上的两点，且AG=CH , E、F分别是AB、CD的中点.求证：四边形EHFG是平行四边形.1..借助课本例题从学生熟悉的图形入手，学生通过动手操作，直观感知所画图形，从而在一定程度上验证猜想，发展合情推理的能力。
2.整合教材，并让学生学会转化的数学思想。
3通过例题，预设问题，以达到复习巩固知识的目的。
平行四边形的性质教学案例（人教版四年级下册）
平行四边形的性质教学案例(人教版四年级下册)《平行四边形及其性质》教学设计一、学习目标1、掌握平行四边形的性质，能利用平行四边形的性质进行简单的推理和计算。
2、经历“实验-猜想-证明”的过程，发展学生的思维水平和良好的思维品质。
3、体验数学与生活的联系，激发学生学习的兴趣。
二、重点、难点1.重点：平行四边形的性质．2.难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、教学方法与手段采用“创设情境—大胆猜想—实验探究—反思评价”的课堂活动模式，努力营造自主、合作、探究的学习氛围，利用多媒体辅助教学，生动、直观地反映问题情境，使学生在学习中获得愉快的数学体验。
四、教学过程（一）课前延伸1、利用故事导入新课出示此图片，让学生的积极性被调动起来，努力试图寻找各种途径来求平行四边形的面积，但找不到合适的解决办法。
教师乘机引出课题，明确学习任务。
此处创设生动有趣的故事情境，力求更好地激发学生的学习兴趣。
（二）课内探究1、课内探究一（探究平行四边形的边角关系）观察与思考：在小学中，我们已经认识了平行四边形及其特征。
思考并回答下列问题：（1）观察下列图形，你看到了哪些平行四边形的形象？你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？（2）平行四边形的对边具有怎样的位置关系？（3）探究平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．让学生根据平行四边形的定义画一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？教师活动及对学生要求：1、要求学生动手画图，教师参与各学习小组进行指导；2、学生在小组中交流结果；3、各小组得出猜想，并证明：平行四边形的对边相等、对角相等．小组选出代表展示2逻辑推理论证（注重说理能力）分析：如何证明线段或角相等？（引导学生将四边形进行转化）作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．小组选出代表展示解题过程：证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又 AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（ASA）．∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．学生总结性质并巩固：平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．知识运用，例题精讲：例1在 ABCD中，∠A=360。
题型专项研究：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质
题型6平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质,备考攻略)1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题．3．平行四边形的存在性问题．4．四边形与二次函数的综合题．1．折叠、轴对称及特殊平行四边形的性质应用出错．2．平行四边形的存在性问题中解有遗漏．3．很难解答四边形与二次函数的综合题，无从下手．1．四边形是几何知识中非常重要的一块内容，因其“变化多端”更是成为中考数学考试的一个热门考点．近几年随着新课改的不断深入，中考题更加考查学生思维能力，如出现一些图形折叠、翻转等问题．这类问题的实践性强，要利用图形变化前后线段、角的对应相等关系，构造一些特殊三角形等知识来求解．2．中考还常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目不仅仅把“数”与“形”联系起来思考，更提高同学们综合运用知识的能力．数形结合题目可以考查学生对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查学生运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力．3．四边形作为特殊的四边形，一直是中考试题中的主角．尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高．此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题：平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用：(1)求角的度数；(2)求线段的长；(3)求周长；(4)求第三边的取值范围．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题：有关矩形纸片折叠的问题，通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形，利用勾股定理来求解．折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)转化与化归思想；(3)归纳与分类的思想；(4)从变寻不变性的思想．3．综合了函数知识后动态研究平行四边形的存在性问题：此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．学生在处理问题的时候，往往不能正确分类，导致漏解．此外，在解题时一般需要添设辅助线，利用平行四边形的性质，转化为全等进行计算，学生顺利完成的难度就更大．如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢？借助平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径．4．四边形与二次函数的综合题是压轴题：综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题．读懂题目、准确作图、熟悉二次函数及其图象是解题的关键．解决压轴题关键是找准切入点，如添辅助线，构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等．压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力．,典题精讲)◆简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题【例1】(成都中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为________．【解析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【答案】3 31．(巴中中考)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝__15__°.2．(2017甘肃中考)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4，AB ∥DC ，OB ＝OD, ∴∠OBE ＝∠ODF.在△BOE 和△DOF 中，⎩⎨⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF(ASA ), ∴EO ＝FO,∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF, 设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝6－x. 在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2, ∴x 2＝42＋(6－x)2, 解得：x ＝133.∵BD ＝AD 2＋AB 2＝213， ∴OB ＝12BD ＝13.∵BD ⊥EF,∴EO ＝BE 2－OB 2＝2133，∴EF ＝2EO ＝4133.◆四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题【例2】(宿迁中考)如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A ．2B . 3C . 2D ．1【解析】根据翻折不变性，AB ＝FB ＝2，BM ＝1，在Rt △BFM 中，可利用勾股定理求出FM 的值．【答案】B3．(咸宁中考)已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( D )A ．(0，0)B .⎝⎛⎭⎫1，12C .⎝⎛⎭⎫65，35D .⎝⎛⎭⎫107，57(第3题图)(第4题图)4．(苏州中考)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )A ．(3，1)B .⎝⎛⎭⎫3，43C .⎝⎛⎭⎫3，53 D ．(3，2)5．(黄冈中考)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a ，将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝.6．(2017甘肃中考)如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD ，BC 上的点，EF ＝6，∠DEF ＝60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC′D′，ED ′交BC 于点G ，则△GEF 的周长为( C )A ．6B ．12C ．18D ．247．(2017广东中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.(1)求证：△BDF 是等腰三角形；(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FG 交BD 于点O. ①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由； ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长．解：(1)如图①，根据折叠，∠DBC ＝∠DBE, 又AD ∥BC,∴∠DBC ＝∠ADB, ∴∠DBE ＝∠ADB, ∴DF ＝BF,∴△BDF 是等腰三角形；(2)①∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC, ∴FD ∥BG.∴四边形BFDG 是平行四边形． ∵DF ＝BF,∴四边形BFDG 是菱形； ②∵AB ＝6，AD ＝8, ∴BD ＝10， ∴OB ＝12BD ＝5.假设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x.∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x)2＝x 2,解得x ＝254，即BF ＝254， ∴FO ＝BF 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫2542－52＝154， ∴FG ＝2FO ＝152. ◆解决平面直角坐标系中平行四边形存在性问题【例3】(2017大理中考模拟)如图，A ，B ，C 是平面上不在同一直线上的三个点． (1) 画出以 A ，B ，C 为顶点的平行四边形；(2)若 A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，5)，(－5，1)，(2，2)，请写出这个平行四边形第四个顶点 D 的坐标．【解析】利用坐标系的知识点解题．【答案】(1)如图所示；(2)第四个顶点D 的坐标为(－2，－2)或(6，6)或(－8，4)．1．(兰州中考)如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A ＝35，则下列结论正确的个数有( C )①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2；④BD ＝210 cm . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．(济南中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是( D )A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.4(第2题图)3．(珠海中考)如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是__4__cm.4．(新疆中考)如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A 的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．解：(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E.∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，∴∠DAD′＝∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE＝AD′.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴CE＝D′B，CE∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；(2)∵AD＝AD′，∴▱DAD′E是菱形．∴D与D′关于AE对称．连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′＋PB的最小值，过D作DG⊥BA于G.∵CD ∥AB ，∴∠DAG ＝∠CDA ＝60°. ∵AD ＝1，∴AG ＝12，DG ＝32，BG ＝52，∴BD ＝DG 2＋BG 2＝7， ∴PD ′＋PB 的最小值为7.5．(资阳中考)如图，在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，双曲线y ＝kx(k ≠0，x ＞0)过点D.(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．解：(1)∵▱ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)， ∴点D 的坐标为(1，2)． ∵点D 在双曲线y ＝kx 上，∴k ＝1×2＝2，∴双曲线的解析式为y ＝2x ；(2)∵直线AC 交y 轴于点E ， ∴点E 的横坐标为0. ∵AD ＝2，∵S △ADC ＝12·(3－1)·AD ＝2，∴S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝1＋2＝3.。
平行四边形的性质和判定基础题(含答案)
平行四边形的性质和判定1．.已知平行四边形的周长是100cm ， AB :BC =4 : 1，则AB 的长是_____．2．平行四边形ABCD 的周长32， 5AB =3BC ，则对角线AC 的取值范围为_______3．已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长是______．4．在平行四边形ABCD 中，AB =3，BC ＝5，∠B 的平分线BE 交AD 于点E ，则DE 的长为 ．5． 平行四边形ABCD 的周长为22，两条对角线相交于O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长大5，则AD 的边长为 ．6．在平行四边形ABCD 中，∠A : ∠B =3:2，则∠C =_____ 度，∠D =___度．7．在平行四边形ABCD 中，∠B -∠A =20°，则∠D 的度数是_______8．由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线，则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的( )A ．周长B ． 一腰的长C ．周长的一半D ． 两腰的和9．以长为5cm ， 4cm ， 7cm 的三条线段中的的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是( )A. 1 B ． 2 C ． 3 D ． 410．如图，平行四边形ABCD 中，AE =CG ， DH =BF ，连结E ，F ，G ，H ，E ，则四边形EFGH 是_____． H G F EDC B A11．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF ，连结B ，F ，D ，E ，B 则四边形BEDF 是___________．GFED C B A12．有公共顶点的两个全等三角形，其中一个三角形绕公共顶点旋转180°后与另一个重合，那么不共点的四个顶点的连线构成__________形．练习题：1. 在平行四边形ABCD 中，∠A +∠C =270°，则∠B =___，∠C =____．2. 平行四边形的周长等于56 cm ，两邻边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为____．3. 平行四边形的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84. 如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则图中的全等三角形共有___对.5. 关于四边形ABCD ：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③有两组角相等④对角线AC 和BD 相等．以上四个条件中，可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有______个平行四边形的性质与判定（四边形性质探索）基础练习试卷简介:全卷共3个选择题，14个填空题，分值100分，测试时间60分钟。
第14讲 平行四边形的判定(学生版)[001]
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第2讲平行四边形的判定1.学会综合应用几种判定方法。
2.熟练选择几种判定方法。
知识点01 平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.【即学即练1】如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE 相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．目标导航知识精讲【即学即练2】已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．【即学即练3】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．试说明：D是BC的中点.【即学即练4】如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F．求证：四边形AECF是平行四边形．【即学即练5】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．能力拓展考法011.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．2.如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系： ________________.（2）请证明你的猜想．考法023.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．考法034.如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．5.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点．求证：(1)BE＝DF；(2)四边形BFDE是平行四边形．6.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连接DF.求证：(1)AC＝EF；(2)四边形ADFE是平行四边形．7.如图①，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．题组A 基础过关练1．如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（）A．（3，-1） B．（-1，-1） C．（1，1） D．（-2，-1）2.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD这四个中任选两个作为条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A．6种 B．5种 C．4种 D．3种4. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是分层提分( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:1 5. 如图，在ABCD 中， 对角线AC 、BD 相交于点O. E 、F 是对角线AC 上的两个不同点，当E 、F 两点满足下列条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形( ).A. AE ＝CFB.DE ＝BFC. D.6. 已知一个凸四边形ABCD 的四条边的长顺次是a 、b 、c 、d ，且a 2+ab-ac-bc=0，b 2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD 是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．梯形7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，①四边形ACED 是平行四边形；②△BCE 是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10+2； ④四边形ACEB 的面积是16．则以上结论正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②④8.如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且AE+EO=4，则ABCD 的周长为（ ）A.20B. 16C. 12D.8CBF ADE ∠=∠CFB AED ∠=∠题组B 能力提升练9. 如图，E 、F 是ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF是平行四边形．10.在▱ABCD中，对角线相交于点O ，给出下列条件：①AB=CD ，AD=BC ，②AD=AB ，AD ∥BC ，③AB ∥CD ，AD ∥BC ，④AO=CO ，BO=DO 其中能够判定ABCD 是平行四边形的有____________.11．如图，四边形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，点E 在AB 边上从A 向B 以1cm/s 的速度移动，同时点F 在CD 边上从C 向D 以2cm/s 的速度移动，若AB=7cm ，CD=9cm ，则 秒时四边形ADFE 是平行四边形．12.如图，已知AB=CD ，AD=CB ，则∠ABC+∠BAD=___________度．13．如图，在△ABC 中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF 都是等边三角形，则四边形AEFD 的面积为 ．EO D AC14．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点．有下列结论：①AD=BC，②△DHG≌△BFE，③BF=HO，④AO=BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是．题组C 培优拔尖练15.如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE.16.如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．17.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.18.如图，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE=DF，∠E=∠F，OB=OC．（1）求证：△ACE≌△DBF；（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，连接BE和CG．求证：四边形BGCE是平行四边形．11/ 11。
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专题 平行四边形的性质与判定
【能力提升】
例1.如图已知△ABC ，分别以△ABC 的三边为边在△ABC 的同侧作三个等边三角形：△ABE ．△BCD ．△ACF ，求证：四边形DEAF 是平行四边形．
例2.（1）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，若AE ＝4，AF ＝6，AD +CD ＝20，则平行四边形ABCD 的面积为 ．
（2）在平面直角坐标系中，以O （0，0），A （1，1），B （3，0），C 为顶点构造平行四边形，请你写出满足条件的点C 坐标为 ．
例3.一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是_______. 例4.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、点E 为边AB 上的点，且AD ＝BE ，点M 、N 分别为边AC 、BC 上的点．已知：AB ＝a ，DE ＝b ，则四边形DMNE 的周长的最小值为 ．
例5.如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，点P 在AD 边上以每秒1cm 的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，当点P 到达点D 时停止（同时点Q 也停止），在运动以后，以P 、D 、Q 、B 四点组成平行四边形的次数有多少次？
例6.理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．
（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM＝；
（2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM＝；
（3）如图3，当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM＝；
拓展推广：如图4，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．
实践应用：如图5是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行于DC、AD，它们相交于点O，其中S四边形AMOP＝300m2，S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD（连接DM、QD、QM，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．
【课后巩固】
1．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ．如果△CDM 的周长为8，那么▱ABCD 的周长是 ．
2.△
D
、G
上，点E 、F
分别在边BC 上，若
BE ＝DE ，CF ＝FG ，则∠A 的大小为 度．
3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为（ ）
A ．28或32
B ．28或36
C ．32或36
D ．28或32或36
4.如图，△ABC 是等边三角形，P 是形内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，若△ABC 的周长为18，则PD +PE +PF ＝（ ）
A ．18
B ．9
C ．6
D ．条件不够，不能确定
5.如图，已知▱ABCD 的顶点A 是直线l 上一定点，过点B 作BM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，AM ＝1，MN ＝3，则对角线AC 长的最小值为 ．。