【高考导航】2018届高三数学理一轮复习第9章第2节排列与组合

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高考导航数学理一轮总复习课件9.2排列与组合

(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 Cm n表示
基础知识梳理
基础知识系统化2
梳理二组合
m A n！ n m (3) 组合数的计算公式： C n ＝ m ＝＝ Am m！n－m！ nn－1n－2…n－m＋1 ，由于 0！＝1，所以 C0 n m！＝1. n－ m m m m－ 1 (4)组合数的性质：①Cm ＝ C __ ；② C ＝ C ＋ C n n n＋ 1 n n .
2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3．能解决简单的实际问题．
基础知识梳理
梳理自测
梳理一排列
1．若从 6 名志愿者中选出 4 名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( B ) A．180 种 B．360 种 C．15 种 D．30 种
2．8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为( A ) 8 2 8 2 A．A8 A9 B．A8 C9 8 2 8 2 C．A8 A7 D．A8 C7
本题是排队问题，以人或以位置分析其特殊性、优先考虑，选取合适的方法：捆绑法、插空法、间接法等．
聚焦考向透析
例题精编
考向一
排列问题
审题视点典例精讲类题通法变式训练
(2014·金华联考)有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻．

2018届高考数学一轮复习9.2

第二节排列组合
第八章
第二节
排列组合
名师考点精讲综合能力提升
主干知识回顾
-2-
考纲概述
考查热点
考查频次
备考指导
排列或组合应用题
★★★★
(1)理解排列、组合的概念; (2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式; (3)能解决简单的实际问题
排列组合综合应用题 ★★★
排列、组合问题是重点,主要考查排列、组合知识在实际问题中的应用,解决方法是熟悉常见排列组合的类型以及对应解法,如相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、定序问题除序法等
第八章
知识清单基础自测
第二节
排列组合
名师考点精讲综合能力提升
主干知识回顾
-6-
1.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人发言,那么不同的选派方法有 ( ) A.30种 B.50种 C.60种 D.120种 1 3 A 【解析】若甲、乙两人中只有一人参加发言,有C2 C5 = 20种方法; 2 2 若甲、乙均参加发言, 有C2 C5 =10种方法.所以共有20+10=30种方法. 2.世界华商大会的某分会场有A,B,C三个展台,将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台,每个展台至少1人,其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为 ( ) A.12 B.1 C.8 D.6 D 【解析】把甲、乙看作一个整体后全排列,故不同的分法共有A3 3 =6种.
m ��n
=
��m n m ��m
=
n(n−1)(n−2)…(n−m+1) n! = m! m!(n−m)!
性质
��n n =n!,0!=1

高考数学一轮专题复习第九章第2讲排列与组合

(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的 10 人中任选 3 名即可，共有 C22C310＝120(种)选法． (3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余 10 人中任选 5 人有 C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为 C512－C510＝540(种)．
＝75(种)．
4．在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2 件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5 件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有 ____2_4___种．(用数字作答)
解析：将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体，同 1 件建筑设计展品全排列，再将 2 件不能相邻的绘画作品插空，故共有 A22A22A23＝24(种)不同的展出方案．
考点一考点二考点三
排列应用题组合应用题排列、组合的综合应用(高频考点)
考点一排列应用题
3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数． (1)选其中 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体站成一排，男、女各站在一起； (4)全体站成一排，男生不能站在一起； (5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．
(3)排列数的性质 ①Ann＝_n_！___；②0！__1____．
2．组合与组合数公式 (1)组合与组合数
从n个不同元素中取出 m（m≤n）个元素
合―成―一→组
组合
所―有―不→同
组合的个数
组合数
(2)组合数公式 Cnm＝AAmmnm＝n（n－1）（n－m2！）…（n－m＋1）＝m！（nn！－m）！. (3)组合数的性质 ①C0n＝___1____；②Cnm＝__C_nn_－_m__；③Cmn ＋Cmn －1＝_C__nm＋_1___．

【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：10.2 排列与组合(专题拔高配套PPT课件)

第考情概览知识梳理核心考点学科素养
-4-
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)��m n =n(n-1)(n-2)…(n-m+1) =
�� (2)C�� ! (�� -�� )!
;
�� !
;
�� -1
�� (2)C�� = C��
�� , C�� +1 = C�� + C��
第十章
知识梳理双击自测
10.2 排列与组合
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-5-
1.(教材改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是( ) A.18 B.24 C.30 D.36
10.2
排列与组合
第十章
10.2 排列与组合
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-2-
年份
2017
2016
2015
排列与 16,4 分组合考查要求考向分析
2014 9,5 分(理) 14,4 分(理)
2013 14,4 分(理)
1.了解排列、组合的概念. 2.会用排列数公式、组合数公式解决简单的实际问题. 排列组合知识考查比较灵活多变,既可单独命题,也可以同概率知识结合起来考查.
2.组合数的性质的应用主要是三个方面,一是简化运算,当 m>2 时,
��
��
第十章
考点一考点二考点三
10.2 排列与组合
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-11-

2018年高考数学理一轮复习文档第九章计数原理、概率

第2讲排列与组合)1．排列与组合的概念2.排列数与组合数的概念3.排列数与组合数公式 (1)排列数公式①A mn ＝n (n －1)·…·(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！；②A nn ＝n ！． (2)组合数公式C m n＝A m n Am m ＝n （n －1）·…·（n －m ＋1）m ！＝n ！m ！（n －m ）！．4．组合数的性质 (1)C mn ＝C n －mn ； (2)C mn ＋C m －1n ＝C mn ＋1．1．辨明两个易误点(1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．(2)计算A mn 时易错算为n (n －1)(n －2)…(n －m )． 2．排列与组合问题的识别方法续表1.教材习题改编从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )A．6 B．8C．12 D．16C 由于lg a－lg b＝lg ab，从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A24＝12种，所以得到不同的值有12个．2．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A．24种B．12种C．10种D．9种B 第一步，为甲校选1名女老师，有C12＝2种选法；第二步，为甲校选2名男教师，有C24＝6种选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种，选B．3．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )A．1 800 B．3 600C．4 320 D．5 040B 两个舞蹈节目不连排，可先安排4个音乐节目和1个曲艺节目，有A55种排法；再将2个舞蹈节目插到6个空中的2个中去，有A26种排法，故由分步乘法计数原理，有A55·A26＝3 600(种)．故选B．4．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．由题意知，从剩余7人中选出4人担任其余4个学科的课代表，共有A47＝840种． 8405．四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C24种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A33种．依分步乘法计数原理，共有N＝C24A33＝36(种)．36排列应用题3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．【解】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A33·A44·A22＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A35种排法，故N＝A44·A35＝1 440(种)．在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端．(1)先排甲有4种，其余有A66种，故共有4·A66＝2 880种排法．(2)先排甲、乙，再排其余5人，共有A22·A55＝240种排法．(1)求解有限制条件排列问题的主要方法(2)解决有限制条件排列问题的策略①根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．②根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的自然数，求：(1)有多少个含有2，3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个数字1，2，3必须由大到小顺序排列的六位数？(1)不考虑0在首位，0，1，4，5先排三个位置，则有A34个，2，3去排四个空当，有A24个，即有A34A24个；而0在首位时，有A23A23个，即有A34A24－A23A23＝252个含有2，3，但它们不相邻的五位数．(2)在六个位置先排0，4，5，不考虑0在首位，则有A36个，去掉0在首位，即有A36－A25个，0，4，5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1，2，3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有A36－A25＝100个六位数．组合应用题要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．【解】(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人有C512种选法，其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有C22C310＝120种选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．含有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24，又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种，因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．排列、组合的综合应用(高频考点)排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为中档题．高考对此问题的考查主要有以下三个命题角度：(1)相邻、相间问题；(2)分组、分配问题；(3)特殊元素(位置)问题．(1)(2016·高考四川卷)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48C．60 D．72(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．【解析】(1)由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A44种方法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72，故选D．(2)将产品A 与B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A 22A 44种方法，将产品A ，B ，C 捆绑在一起，且A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A 22A 33种方法．于是符合题意的排法共有A 22A 44－A 22A 33＝36(种)．【答案】 (1)D (2)36解排列、组合问题要遵循的两个原则(1)按元素(或位置)的性质进行分类；(2)按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．角度一、三相邻、相间及特殊元素(位置)问题1．(2017·湖北黄冈3月质检)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N 1＝A 33×A 24＝72种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N 2＝A 22×A 23＝12种，所以出场顺序的排法种数为N ＝N 1－N 2＝60.60角度二分组、分配问题2．(2017·福建厦门海沧实验中学等联考)将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( )A ．240种B ．180种C ．150种D ．540种C 5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有12C 25C 23A 33＝90种方法，当5名学生分成3，1，1时，共有C 35A 33＝60种方法，根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．——分类讨论思想求解排列、组合问题在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．【解析】把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有C 23A 24种分法，所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.【答案】 60对于有附加条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质分类，二是按事件发生的过程分类．本题是按元素的性质分成两类．1.(2017·云南昆明两区七校模拟)某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有( )A ．900种B ．600种C ．300种D ．150种B 依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有C 25·A 44＝240种；第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有A 46＝360种．因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600种，选B ．2．(2017·郑州检测)从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有( )A ．51个B ．54个C ．12个D ．45个A 分三类：第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有A 33＝6(个)；第二类，只有2或3，需从1，4，5中选两个数字，可组成2C 23A 33＝36(个)；第三类，2，3均有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成12C 13A 33＝9(个)．故这样的三位数共有51个，故选A.1．不等式A x 8＜6×A x －28的解集为( ) A ． B ． C ．(7，12)D ．{8}D 由题意得8！（8－x ）！＜6×8！（10－x ）！，所以x 2－19x ＋84＜0，解得7＜x ＜12.又x ≤8，x －2≥0，所以7＜x ≤8，x ∈N *，即x ＝8.2．从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为( )A ．12B ．18C ．24D ．36C 从1，3，5中取两个数有C 23种方法，从2，4中取一个数有C 12种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为C 23C 12A 12A 22＝3×2×2×2×1＝24.3．(2017·武汉市调研测试)“2016中国杭州G20峰会”于2016年9月4日－9月5日在浙江省杭州市举行，组委会要从小郑、小赵、小李、小汤、小王五名工作人员中选派四人分别从事翻译、保卫、礼仪、司机四项不同的工作，若其中小郑和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )A ．48种B ．36种C ．18种D ．12种B 先安排后两项工作，共有A 23种方案，再安排前两项工作，共有A 23种方案，故不同的选派方案共有A 23×A 23＝36种方案，故选B ．4．(2017·黑龙江哈尔滨第六中学期末)某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为( )A ．484B ．472C ．252D ．232B 若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有C 14C 212＝264种选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C 312－3C 34＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．5．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有( )A．1 260种B．2 025种C．2 520种D．5 040种C 第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C17种选派方法．根据分步乘法计数原理知，选法有C210·C18·C17＝2 520种．6．(2017·福建漳州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( ) A．540 B．480C．360 D．200D 由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C15C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C14＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有C14×C15C15A22＝200(个)．7．在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m＋n ＋1个点，现任取其中3个点为顶点作三角形，可作的三角形的个数为( ) A．C1m＋1C2n＋C1n＋1C2m B．C1m C2n＋C1n C2mC．C1m C2n＋C1n C2m＋C1m C1n D．C1m C2n＋C2m＋1C1mC 作出的三角形可以分成两类，一类是含有O点的，另一类是不含O点的．(1)含有O点的，则在OA，OB上各取1个点，共有C1m C1n个；(2)不含有O点的，则在OA上取一点，OB上取两点，或者在OA上取两点，OB上取一点，共有C1m C2n＋C1n C2m个．所以可作的三角形个数为C1m C2n＋C1n C2m＋C1m C1n，故选C.8．(2017·北京朝阳期末)甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为________．特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有N1＝C11·C12＝2种站法，其余三名学生任意排列有N2＝A33＝6种排法，则不同站法共有N＝N1×N2＝2×6＝12(种)．129．(2017·长春市质量检测(二))小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有________种．由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为C37，为35种，共计37种取法．3710．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．首先排两个奇数1，3，有A22种排法，再在2，4中取一个数放在1，3之间，有C12种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A22种排法，即满足条件的四位数的个数为A22C12A22＝8.811．“雾霾治理”“延迟退休”“里约奥运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“量子卫星”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________．先从“雾霾治理”“延迟退休”“里约奥运”“神舟十一号”这4个热点中选出3个，有C34种不同的选法，在调查时，“量子卫星”安排的顺序有A13种可能情况，其余3个热点安排的顺序有A33种可能情况，故有C34A13A33＝72种．7212．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对，两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C26－3)×2×2＝48对．4813．现有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员．(1)任选3名男运动员，方法数为C36，再选2名女运动员，方法数为C24，共有C36·C24＝120种方法．(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C510－C56＝246(种)．(3)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法，不选女队长时，必选男队长，其他人任意选，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时共有(C48－C45)种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．。

2018年浙江高考一轮第9章第2节排列与组合

第二节排列与组合1．排列与组合的概念(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言()A．1 560条B．780条C．1 600条D．800条A[由题意，得毕业留言共A240＝1 560条．]3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为() A．24 B．48C．60 D．72D[第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．]4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28C[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C17C22种方法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种选法．法二(间接法)：从9人中选3人有C39种方法，其中甲、乙均不入选有C37种方法，∴满足条件的选排方法有C39－C37＝84－35＝49种．]5．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种. 【导学号：51062328】60[5人的全排列，B站在A的右边与A站在B的右边各占一半，∴满足条件的不同排法共12A55＝60种．](1)甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．(1)B(2)36[(1)第一类：甲在左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96种方法，所以共有120＋96＝216种方法．(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有A22A33种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法．][规律方法] 1.第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类．注意特殊元素(位置)优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置．对于分类过多的问题，可利用间接法．2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法．[变式训练1]在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A．34种B．48种C．96种D．144种C[程序A的顺序有A12＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有A22A44＝48种结果，由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．](1)若从数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种(2)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个(1)D(2)C[(1)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴不同的取法共有C45＋C44＋C25C24＝66种．(2)由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.][规律方法] 1.(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．2．第(2)题是“新定义”问题，首先理解“规范01数列”的定义是解题的关键，注意分类讨论时要不重不漏，并重视间接法的应用．[变式训练2]现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．472[第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C14C212＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法C312－3C34＝220－12＝208种．由分类加法计数原理，不同的取法共264＋208＝472种．]☞角度1 简单的排列与组合的综合问题(2017·杭州质检)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个B [当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有C 12A 34＝48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有C 13A 34＝72个，所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120个．]☞角度2 分组分配问题(2017·浙江名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( ) 【导学号：51062329】A ．240种B ．180种C ．150种D ．540种C [5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式．当5名学生分成2,2,1时，共有12C 25C 23A 33＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有C 35A 33＝60种方法．由分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．][规律方法] 1.解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素排列．2．(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．[思想与方法]1．解有附加条件的排列、组合应用题的三种思路：(1)特殊元素、特殊位置优先原则．(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一．(3)解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配．2．求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”[易错与防范]1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．2．计算A m n时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数，是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．4．解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义．5．对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．课时分层训练(五十三)排列与组合A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120C．72D．24D[先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有A34＝24种放法．]2．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为() 【导学号：51062330】A．6 B．18C．20 D．24B[由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.]3．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为()A．10 B．20C．30 D．40B[将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C35C22×2＝20种．] 4．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个B．15个C．12个D．9个B[根据“六合数”的定义可知，当首位为2时，其余三位是数组(0,0,4)，(0,1,3)，(0,2,2)，(1,1,2)的所有排列，即共有3＋A33＋3＋3＝15个．] 5．(2017·浙江五校联考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对C[正方体六个面的对角线共有12条，则有C212＝66对，而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60°，则共有3×C24＝18对，而其余的都符合题意，因此满足条件的对角线共有66－18＝48对．]6．(2017·舟山二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()【导学号：51062331】A．18种B．24种C．36种D．72种C[1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C13C22A33种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C23C22A33种，由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36种．]二、填空题7．方程3A3x＝2A2x＋1＋6A2x的解为________．5[由排列数公式可知3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．∵x≥3，且x∈N*，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝23(舍去)，∴x＝5.]8．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法．20[先排最中间位置有1种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C36种排法，再排剩下右边三个位置，共1种排法，所以排法种数为C36＝20种．] 9．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误种数共有________种．11[把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12种．其中正确的有一种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11种．] 10．(2016·南京模拟)2017年第十三届全国运动会在天津举行，将6名志愿者分成4个组分赴全运会赛场的四个不同场馆服务，其中两个组各2人，另两个组各1人．不同的分配方案有________种(用数字作答). 【导学号：51062332】1 080[将6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，有C26C24A22＝12×15×6＝45种分组方法．将四组分赴四个不同场馆有A44种方法．∴根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有45·A44＝1 080种方法．]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·金华十校联考)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有()A．12种B．24种C．48种D．120种B[甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有A44A22种排法，甲、乙相邻且在两端有C12A33A22种排法，故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有A44A22－C12A33A22＝24(种)．]2．(2017·嘉兴质检)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为() A．60 B．90C．120 D．130D[因为x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以x i中至少两个为0，至多四个为0.(1)x i(i＝1,2,3,4,5)中有4个0,1个－1或1.A有2C15＝10个元素．(2)x i中有3个0,2个－1或1，A有C25×2×2＝40个元素．(3)x i中有2个0,3个－1或1，A有C35×2×2×2＝80个元素．从而，集合A中共有10＋40＋80＝130个元素．]3．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．60[法一(直接法)：若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法．由分类加法计数原理知共A34＋C23A24＝60种方法．法二(间接法)：先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60种．]4．(2017·杭州学军中学联考)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答) 【导学号：51062333】20[先从5位小朋友中选取2位，让他们位置不变，其余3位都改变自己的位置，即3人不在其位，共有方案种数为N＝C25·C12·C11·C11＝20种．]。

【优化方案】高考数学第九章第2课时排列、组合复习课件新人教A版

(3)排列数的性质
n！ 1 ① An ． n＝ ________ ；②0！＝__________
2．组合与组合数公式 (1)组合与组合数从 n个不同元素中取组合成一组所有不同 ― ― ― ― ― ― → ― ― ― ― ― ― → 出 m（ m≤n）个元素合组合的个数组合数
(2)组合数公式 n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） Am n m＝ m Am m！ Cn ＝_____________________________来自_______________
96 张参观券连号，那么不同的分法种数是________ ．
排列数、组合数公式
2 2 5 (1)若 3A3 ＝ 2A ＋ 6A ＋ x x 1 x，则 x＝________ ； 5－ n 9－ n 5或16 ． (2)Cn ＋Cn＋ 1＝________
[课堂笔记]
【解析】 (1)原方程可化为： 3x(x－1)(x－2)＝ 2(x＋ 1)x＋ 6x(x－ 1)， ∵ x≥3，∴ 3(x－ 1)(x－ 2)＝2(x＋1)＋ 6(x－ 1)，整理得 3x2－ 17x＋ 10＝0. 2 解之得 x＝ (舍去 )或 x＝ 5，∴原方程的解为 x＝ 5. 3 0≤5－ n≤n (2)由组合数的定义得， 0≤9－ n≤n＋ 1 解之得 4≤n≤5， ∵ n∈ N*，∴ n＝4 或 n＝5. 5 当 n＝ 4 时，原式＝ C1 ＋ C 4 5＝ 5， 4 当 n＝ 5 时，原式＝ C0 ＋ C 5 6＝ 16.
3．“2 012”含有数字 0，1，2，且有两个数字 2，则含有数字 0， 1， 2，且有两个相同数字的四位数的个数为( B ) A． 18 C． 27 B．24 D． 36
x－7 x 7或9 ． 4．若 C2 ＝ C 20 20，则 x＝________

高三数学第一轮复习第9编 2排列组合课件新人教B版

学案2
排列与组合
考纲解读考向预测填填知学情课内考点突破规律探究

考点1 考点2 考点3 考点4
考纲解读 1.理解排列的概念及排列数公式, 并能利用公式解决一些简单的实际问题. 2.理解组合的概念及组合数公式, 并能利用公式解决一些简单的实际问题.
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【解析】（1）由排列的定义可知不同排列的种数为 A =2 520. （2）首先在中间或两头之一排甲，共有A 1 种方法； 3 其次在所剩的6个位置上对其余6人进行全排列，共有A 6 种 6 方法，依分步乘法计数原理，所有不同的排列数为 A 1 • A 6 3 6 =2 160. （3）仿（2）先排甲、乙共A 2 种排法，其余5人尚 2 5 2 =240种不同排法. 有种排法，故共有A 5 • A A 5 5 2 （4）当乙排在首位时，共有 A 6 种排法;当乙不在首位 6 1 时，先排乙有 A 1 种方法，再排甲也有种方法，最后其 A 5 5 1 1 5 余各元素有 A 5 种方法，故共有种不同排法. A 5 5A5A5 ∴所有不同的排列种数为 A 6 + A 1 A 1 A 5 =3 720.
备注
n,m∈N+且m≤n
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考点1
有关排列、组合的计算
3 2 2 3A = 2A + 6A x x +1 x; (1)解方程:
-n 3n (2)计算：C 38 + C 3n 21+ n .
【分析】利用排列数和组合数公式进行解答.
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【解析】（1）由 3A 3 = 2A 2 + 6A 2 得 x x +1 x 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1), 整理得3x2-17x+10=0. 解得x=5或

高考数学一轮复习 9.2 排列和组合精品课件理新人教A版

2 (舍去). 3
即原方程的解为x=5.
（2）依题意得
{
ห้องสมุดไป่ตู้
38-n≥0
3n≥38-n
n+21≥3n
38-n,3n,21+n∈N*.
解得
19 ≤n≤ 2
21 且n∈N*, 2
∴n=10.
∴ C 38-n + C 3n = C 28 + C 30 = C 2 + C1 = 466 3n 21+ n 30 31 30 31
6 5 5 5
（5）将男生、女生分别各看成一个元素，其排法有 4 3 种，女生的排列有种，又男生的排列有种，由分 A A2 A3 4 2 3 4 步乘法计数原理，所有不同的排列数为 A 2 A A 4 =288. 2 3 3 （6）先排男生有A 3 种排法，此三人中间及两端恰 3 4 =144不有4空供女生排列，有A 4 种排法，从而共有 · A A 3 4 4 同的排列. （7）从7人的全排列中除去男生皆相邻的情况即可， 3 5 故所求不同排列数为 - A7 =4 320. A 3A5 7 （8）只须在7个位置中选4个位置将女生进行排列，再将3名男生按顺序插入，共有A 4 =840种不同排法. 7
【分析】本题包括了有限制条件的排列问题的
几种基本类型，注意在处理这类问题时一般应遵循： “先特殊，后一般”的原则，即先考虑特殊的元素或特殊的位置，再考虑一般的元素和位置，对于“必相邻”元素，常采用“捆绑法”的技巧，对于“不相邻”
元素常采用“插空法”的技巧，此外“正难则反”是
处理排列问题的一个重要策略，还是检查结果是否正确的重要手段.
.
∴左边=右边.
考点二排列问题
有3名男生，4名女生，按下述要求，分别求出其不同排列的种数. （1）选其中5人排成一行；（2）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两头的位置；（3）全体排成一行，其中甲、乙必须在两头；（4）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾；（5）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；（6）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻；（7）全体排成一行，其中男生不能排在一起；（8）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保持不变；（9）全体排成一行，甲、乙两人间恰有3人；（10）全体排成前后两排，前排3人，后排4人.

高考数学一轮复习第九章第2课时排列与组合课时作业理新人教版

第2课时排列与组合考纲索引1. 排列与排列数•2. 组合与组合数.3. 组合数公式的性质. 课标要求1. 理解排列、组合的概念.2. 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3.能利用排列与组合解决简单的实际问题.知识梳理 1. 排列与排列数n 个不同元素中取出 m (m K n )个元素的所有不同排列的个数”，它是所有不同排列的个数，是一个数值. ,右边的第一个因数是n ,后面的每一个因数都比前面一个少1,最后一个是1,共 _________ 个连续正整数相乘当较小时可利用该公式计数排列数公式还可表示成=兀,它主要有两个作用：一是当m n 较大时，可利用计算器计算阶乘数,二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时，写出这种形式更便于发现它们之间的规律. 2. 组合与组合数“一个组合”是指“从 n 个不同元素中取出 mm< n )个元素合成一组”，它是一件事情；“组合数”是指“从 n 个不同元素中取出 m (m< n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数L =」=值.组合数公式的推导要借助于排列数公式，公式_________ ,其分子的组成与排列数’”相同,分母是m 个元素的全排列数.当m n 较小时，可利用该公式计数；组合数公 j 5 式还可以表示成'” = ____________ ,它有两个作用：一是当mn 较大时，可利用计算器计算阶乘数,二是对含字母的组合数式子进行变形和论证 .3. 组合数公式有两个性质“排列”与“排列数”是两个不同的概念“一个排列”是指"从 n 个不同元素中取出 m (m < n )个元素，按照一定的顺序排成一列”,它是一件事情，只有元素与其排列顺序都相同的排列才是同一排列；“排列数”是指“从排列数公式⑴,该公式说明，从n 个不同元素中取出 m 个元素与从n 个不同元素中取出n-m 个元素是一一对应关系，实际上就是“取出的”与“留下的”是一一对应关系，该公式说明,从a i , a 2,…,a n+i 中取出m 个元素的组合数1飞名学牛和2位窓师站成一排合影池位老师不相邻的排法种数为（）・A. A|A^B.C. A|A?D.2. （2013 -四川）从1.3*5,7»9这五个数中*每次取出两个不同的数分別记为 s 爲共可得到lgu-lg6的不同值的个数是（A. 9B. 10 D. 20乳某导演拟从5名演员中选取3名参加5场演出"其中第三场必须2人参加*其余各场只要1人参加+每人参加2场演岀”其中演员甲不能参加第三场"且每位演员不能连续出场参加演;4则导演安排演岀的方法种数为（）.A, 36IX 1444*7名志熄者中安排6人在周六、周H 两犬参加社区公益活动•若每犬安排 3人”则不同的安排方案共有 ___________ 种（用戟字作答h比甲、乙*内3人站到共有7级的台阶上•若毎级台阶最多站2人•同一级台阶匕的人不区分站的位置，则不同的站迭种数是｛用数字作答）+♦排列、组合综合题再利用两个基本计数原理作最后处理♦间接法对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏♦分配问题对于分配问题，解题的关键是搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序；(2)a 可以分成两类:第一类含有元素a i ,共个；第二类不含元素共个.解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素 ,或充分利用元素的性质进行分类、分布避免计数的重复或遗漏考点透析考向一有限制条件的排列问题例1甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数(1)甲不在排头、乙不在排尾；(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；(3)甲一定在乙的右端(可以不相邻).【审题视点】根据题目要求灵活运用直接法和间接法•【方法总结】对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列，同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素，可先排其他元素，然后将这些要求不相邻的元素插入空当，这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法•变式训练1.4个男同学，3个女同学站成一排•(1) 3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2) 任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？⑶其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)考向二组合问题例2某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；⑵两队长当选；(3) 至少有一名队长当选；(4) 至多有两名女生当选；⑸既要有队长,又要有女生当选•【审题视点】根据题目要求，正确的选择排列或组合,有些问题用间接法更方便•【方法总结】1.注意问题有无顺序要求，一般有序问题用排列，无序问题用组合；2. 有些复杂问题用直接法不好解决，往往选用间接法；3. 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序分组要除以均匀组数的阶乘数；还要考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数.变式训练2. (2013 •重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_________ .考向三排列与组合的综合应用例3按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1) 分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2) 甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3) 平均分成三份，每份2本；(4) 平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5) 分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6) 甲、乙、丙三个人中，一人得4本，另外两人每人得1本；⑺甲得1本,乙得1本,丙得4本.【审题视点】综合运用排列与组合的知识解题【方法总结】排列组合的综合题目,一般是先取出符合要求的元素组合（分组）,再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分组标准变式训练 3.（1）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加南京青奥会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作 ,则不同安排方案的种数是 ____________ ；⑵ 给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n W 4时,在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：h-1 ■ 口B B 0由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 ____________ 种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 ________ 种.（结果用数值表示）经典考题典例（2014 •浙江模拟）把座位编号为1,2,3,4,5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为 .（用数字作答）【解题指南】根据题意，先将票分为符合题意要求的4份,用隔板法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，再由分步计数原理，计算可得答案. 【解析】先将票分为符合条件的 4份,由题意,4人分5张票,且每人至少一张，至多两张, 则三人一张,1人2张,且分得的票必须是连号,相当于将1,2,3,4,5 这五个数用3个板子隔开,分为四部分且不存在三连号 .在4个空位插3个板子，共有* 种情况，再对应到4A ：=个人,有 24种情况,则共有4X 24=96种情况.rm一一 ■一■~n FEnrrn= =- Mn故答案为96.【答案】96真题体验1. （2014 •全国大纲）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）.A. 60 种B. 70 种C.75 种D.150 种2. （2014 •北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀” “合格” “不合格” •若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）.A. 2人B. 3人C. 4人D. 5人3. （2014 •辽宁）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）. A. 144 B.120C. 72D. 244. ____________________ （2014 •北京）把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种.5. （2014 •浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_______ 种.（用数字作答）1. A2.C3. A4.1405.336考点透析【例1】I ）解析：（□①直接排•耍分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况*若甲排在排尾共有A ；Ai = 6种排法. 若甲既不在排头也不在丼尾共有AJA1AH8种诽法抽分先汁敎原理知满足条件的排法共冇A ｝朋+厲皿加=14（种）.②也可间接计算:A ：；-2AHA^ = 14（种人（约可考虑直接排法’甲有3种推法暑若甲排在第二位•则乙有3种排法事甲、乙排好后再丙■丁只有一种排法•由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3X3X ] -9（种）.⑶可先排丙.丁有A?种排肚，则甲.乙只有一种排医，由分步计数原理满足条件的排列共有Af • 1-12（种匚或看作定序问题牛=12（种 h【例2J （1）依题意再应选一名女生.四名男生，知识梳理参考答案与解析1- rf (« — 1) (n — 2)— JN +1)齐(刃—1)(卅—2)" * (“ — m -Fl)基础自测故共有G ・C ：=350（种）.（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C ；・C ；i=165（种）.（3）至少有一名队长包含两类：只有一名队长和有两名队长，故共有 C ； -Ch+Cf ・昭=825（种），或采用排除法:C?3-Cf 1=825（种）.（4）至多有两名女生包含三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为Cf ・& + G ・&+& = 966（种）.（5）分两类：第一类女队长当选，有C ；2种；第二类女队长不当选：C ；・Q+Cf ・Q+C ：・C}+C ：|・故选法共有Cj 2+C}・Q+C ：・d + C ；・C}+Cj=79O （种）.【例3] （1）无序不均匀分组问题.先选1本•有C]种迭法，籽从余下的5木中选2木•有住种迭法；最后余下3本全选•有ci 种选法•故共有Q ・G ・ci=60（种）.（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙有不同的三人，在（1）题基础上•还应考虑再分配•共有 ©・&・&・ Ai = 360（种）.（3）无序均匀分组问题.先分三步•则应是（4・u ・&种方法9但是这里出现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D ・E ・F,若第一步取了 AB •第二步取了 CD,第三步取了EF •记该种分法为（AB.CD.EF ）则&・C ： •住种分法中还包括（AB,EF,CD 〉，（CD ・AB,EF>,（CD,EF,AB ）,（EF,fD,AB ）,（EF.A13.CD ），共有A 扌种悄况.而这A 舟种情况仅是AB.CD.EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式冇鱼=15（种）.（4）冇序均匀分组问题.在（3）的基础上再分配给3个人•共有分配方式& ・ C ： •& = 60（种）.（5）无序部分均匀分组问题. 共有心•乍• C；=15（种）.A2(6)有序部分均匀分组问题.在(5)的基础上卉分配给3个人•共有分配方式CJ * CJ • C[ a3冲—_拦----- • Al = 90(种).(7＞直接分配问题.甲选1本•有C；种方法；乙从余下的5本中选I本•有G种方法;余下4本留给丙”有C种方法•共有分配方式C] ■ C| • CJ = 30(种).变式训练|1.(1)3个女同学是持殊元素•我们先把她们排好，共有A扌种排法卡由于3个女同学必须排在一起•我们可视排好的女同学为一整体*再与男同学排队.辻时是5个元素的全排列•应有Al种排法•由分步计数臣理，有朋朋=720种不同排法.(2)先将男生排好.共有AJ种排法■冉在这4个男生的中河及两头的5个空当中插入3个女生有A殳种方案，故符合条件的排法共有A：；A? =1 440种不同排法.(3)甲*乙两人先排好，冇A|种排法.再从余下5人中选3人拮在甲、乙两人中间，有/种排法，这时把已排好的5人视为一整体*与最后剩下的两人再排•又冇A|种排法•这样总共冇A；&虫= 720种不同排法.(4)先排甲、乙和丙3人以外的苴他4人•有AJ种排法*由干甲、乙冬相邻•故再把甲，乙排好•冇XI种排法；垠膚把甲、乙排好的这个驚体与内分别f甫人原先井好的4人的空半屮有Af种排法•这样•总共有A{A^Af=960种不同排法.⑸从7个侍詈中选出4个低曽把男生排好•则有思种排法-然后阳在余卜.的3个空位當中排女生”由于女生啖按身体离域排列•故仅有一种排法•这样总共有朋= 840种不同排法.2.5903.(1)126 (2)21 431.C 解析：由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C|C| =75（种）.2.B 解析：假设满足条件的学生有4位及4位以上.设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人.当有3位学生时•用A.B.C表示“优乔”“合格”“不合格”•则满足题意的有AC.CA.BB.所以最多有3人.3.D 解析：剩余的3个座位共有4人空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为£=4X3X2 = 24・4.36解析：将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AjA：种方法，将产品A.B.C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A；A；种方法•于是符合题童的排法共W AlAj-AfAi = 36（种）.5.60解析：将8张奖券分4组，再分配给4个人•把8张奖券分4组冇两种分法，一种是分（一等奖，无奖）、（二等奖，无奖）、（三等奖，无奖）、（无奖，无奖）四组，分给4人有A：种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有CJ种分法，再分给4人有&A：种分法•所以不同获奖情况种数为A；+&Af = 24 + 36=6O・。

山东高考数学一轮总复习学案设计-第九章第二讲排列与组合含答案解析

第二讲排列与组合知识梳理·双基自测知识梳理知识点一排列与排列数(1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A m n__表示．(3)排列数公式：A m n＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__.(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝__1__.知识点二组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C m n__表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，这里规定C0n＝__1__.(4)组合数的性质：①C m n＝__C n－mn __；②C m n＋1＝__C m n__＋__C m－1n__.注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意A m n、C m n中的隐含条件m≤n，且m，n∈N＋.重要结论对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论正确的是(BD)A．所有元素完全相同的两个排列为相同排列B．两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同C．若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立D．k C k n＝n C k－1n－1题组二走进教材2．(P27A组T716)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(D) A．144 B．120C．72 D．24[解析]“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.题组三考题再现3．(2019·安庆模拟)某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有(D)A．84种B．98种C．112种D．140种[解析]由题意分析不同的邀请方法有：C12C58＋C68＝112＋28＝140(种)．4．(2019·晋中模拟)高三某班6名任课老师站在一排照相，要求甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的站法有多少种(A)A．144 B．72C．288 D．154[解析]甲与乙相邻，则将甲乙“捆绑”，作为一个整体，并与另外的两个人排列，有A22·A33种方法；丙与丁不相邻，采用插空法，有A24种方法，根据分步计数原理，共有A22·A33·A24＝144种方法．5．(2018·新课标Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__16__种．(用数字填写答案)[解析]解法一：从2位女生，4位男生中选3人，且至少有1位女生入选的情况有以下2种：①2女1男：有C22C14＝4种选法；②1女2男：有C12C24＝12种选法，故至少有1位女生入选的选法有4＋12＝16种．解法二：从2位女生，4位男生中选3人有C36＝20种选法，其中选出的3人都是男生的选法有C34＝4种，所以至少有1位女生入选的选法有20－4＝16种．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一排列问题——自主练透例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：(1)选其中5人排成一排；__2_520__(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__5_040__(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__3_600__(4)全体排成一排，女生必须站在一起；__576__(5)全体排成一排，男生互不相邻；__1_440__(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；__720__(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；__2_520__(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__3_720__[解析](1)从7个人中选5个人来排，是排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A37种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A37·A44＝5 040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)优先法：解法一：(元素分析法)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3 600种．解法二：(位置分析法)排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A26种方法，中间5个位置由余下5人和甲进行全排列，有A55种方法，共有A26×A55＝3 600种．(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576种．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A44×A35＝1 440种．(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有A22种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有A35种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A33种方法．故共有A22·A35·A33＝720种．(7)消序法：A772！＝2 520.(8)间接法：A77－2A67＋A55＝3 720.位置分析法：分甲在右端与不在右端两类．甲在右端的排法有A66(种)排法，甲不在右端的排法有5×5A55(种)排法，∴共有A66＋25A55＝3 720(种)．[引申]本例中7人排一排，(1)甲站中间的站法有__720__种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有__960__种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有__960__种．[解析](1)A36A33＝720；(2)A22A14A55＝960；(3)A22A44A25＝960.名师点拨☞求解排列应用问题的6种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法例2 (1)(2019·广东中山模拟)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(B)A．85 B．49C．56 D．28(2)(2020·福建宁德联考)福建省第十六届运动会于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有(D)A．15种B．18种C．20种D．22种[解析](1)∵丙没有入选，∴可把丙去掉，总人数变为9个．∵甲、乙至少有1人入选，∴可分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法有C12·C27＝42(种)，另一类是甲、乙都入选的选法有C22·C17＝7(种)，根据分类加法计数原理知共有42＋7＝49(种)．(2)先从两个不同的地点选出一地点分配A，B两人，有C12＝2(种)情况，再将剩余4人分入两地有三种情况，4人都去A，B外的另一地点，有1种情况；有3人去A，B外的另一地点，有C34＝4(种)情况；有2人去A，B外的另一地点，有C24＝6(种)情况．综上，共有2×(1＋4＋6)＝22(种)，故选D．[引申]本例(1)中，①甲、乙恰有1人入选的选法有__56__种；②甲、乙都不入选的选法有__56__种．[解析]①C12C27＝56②C38＝56名师点拨☞组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．〔变式训练1〕(1)(2020·海南省联考)楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为(A)A．10 B．15C．20 D．24(2)(2019·辽宁沈阳东北育才学校模拟)某地区高考改革，实行“3＋2＋1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有(C)A．8种B．12种C．16种D．20种[解析](1)问题等价于将这3盏关着的灯插入4盏亮着的灯形成的5个空档中，所以关灯方案共有C35＝10种．(2)若一名学生只选物理和历史中的一门，则有C12C24＝12种组合；若一名学生物理和历史都选，则有C14＝4种组合；因此共有12＋4＝16种组合．故选C．考点三排列、组合的综合应用——多维探究角度1相邻、相间问题例3 (1)(2020·河北省衡水中学调研)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有__120__种．(2)(2019·湖南师范大学附属中学模拟)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是(A)A．16 B．24C．8 D．12[解析](1)①当甲在首位，丙、丁捆绑，自由排列，共有A44×A22＝48种；②当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有3×A33×A22＝36种；③当甲在第三位，前两位分为是丙、丁和不是丙、丁两种情况，共A22×A23＋A23×A22×A22＝36种，因此共48＋36＋36＝120种．(2)根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有A22＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16，故选A．角度2特殊元素(位置)问题例4 (1)(2019·山西大同模拟)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为(C) A．C210A48B．C19A59C．C18A59D．C18A58(2)(2019·重庆模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为(D)A．48 B．72C．90 D．96[解析](1)先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C18种方法，再排剩余的瓶子，有A59种方法，故不同的放法共C18A59种，故选C．(2)由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛．①当甲参加另外3场竞赛时，共有C13·A34＝72(种)选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A44＝24(种)选择方案．综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种)．[引申]本例(2)若增加“且乙不参加数学竞赛”，则不同的参赛方法种数为__78__.[解析]①甲、乙都参赛有C23(A33＋C12C12A22)＝42种方案；②甲参赛乙不参赛或乙参赛甲不参赛均有A33C13＝18种方案；∴共有42＋18＋18＝78种参赛方案．角度3分组、分配问题例5 (1)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对应横线上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；__60__②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；__360__③平均分成三份，每份2本；__15__④平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；__90__； ⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；__15__⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；__90__ ⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．__30__(2)①8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有__35__种．②15个小球完全相同，放入编号依次为1,2,3的三个不同盒子中，若每个盒子内的小球数不少于盒子的编号，则不同放法有__55__种．[解析] (1)①C 16C 25C 33＝60；②C 16C 25C 33A 33＝360；③C 26C 24C 22A 33＝15；④C 26C 24C 22＝90；⑤C 26＝15；⑥C 46A 33＝90； ⑦C 16C 15C 44＝30.(2)①C 47＝35；②C 211＝55.名师点拨 ☞解排列组合综合问题的方法先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需三步即可完成．第一步：选元素，即选出符合条件的元素；第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数．注意：(1)均匀分组时要除以均匀组数的阶乘；(2)相同元素的分配问题常用“隔板法”．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·浙江湖州期末)现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是__25__.(2)(角度2)(2020·陕西汉中质检)将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( B )A ．36种B ．42种C ．48种D ．60种(3)(2019·甘肃兰州模拟)第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国元首的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有( D )A ．96种B ．100种C ．124种D ．150种[解析] (1)由题意，5个不同的小球全排列为A 55＝120，同一色的有2×A 22×A 22×A 23＝48种，同二色的有A 22×A 22×A 23＝24种情况．故同一颜色的小球不相邻的排列总数有120－48－24＝48种．故相同颜色的球都不相邻的概率是48120＝25.(2)根据题意，最左端只能排甲或乙，可分为两种情况讨论： ①甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有A 44＝24种不同的排法；②乙在最左端，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排好在剩余的三个位置上，此时共有3A 33＝18种不同的排法，由分类加法计数原理，可得共有24＋18＝42种不同的排法，故选B ．(3)因为三个区域每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分组的情况：一种是1,1,3，另一种是1,2,2.当按照1,1,3来分时，共有N 1＝C 15C 14C 33A 22·A 33＝60(种)，当按照1,2,2来分时，共有N 2＝C 25C 23C 11A 22·A 33＝90(种)，根据分类加法计数原理知N ＝N 1＋N 2＝150(种)，选D ．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升巧解数字排列问题例6 (2020·浙江绍兴诸暨期末)用0,1,2,3,4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有__36__个．[解析] 特殊位置优先考虑先考虑末尾，有C 12种，再考虑首位非零，C 13，剩下的两个位置有A 23种，则由分步乘法计数原理，得到共有奇数C 12·C 13·A 23＝36个，故填：36. [引申1] 本例条件下，大于3 100的奇数有__16__个；偶数有__60__个．[解析] 千位是3，百位是4的奇数有C 12＝2个；千位是3，百位是2的奇数有C 12＝2个；千位是4的奇数有C 12A 23＝12个，∴大于3 100的四位奇数有16个．个位为0的偶数为A 34＝24个；个位为2或4的偶数有C 13C 12A 23＝36个．∴四位偶数有24＋36＝60个．[引申2] 若将“没有”改成“有”，结果为__164__. [解析] 所有四位奇数有4×5×5×2＝200个， ∴有重复数字的四位奇数有200－36＝164个．名师点拨 ☞本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件：0不能在首位．〔变式训练3〕(2020·四川省成都市诊断)用数字0,2,4,7,8,9组成没有重复数字的六位数，其中大于420 789的正整数个数为(C)A．479 B．480C．455 D．456[解析]根据题意，分3种情况讨论：①首位数字分别为7、8、9时，有3A55＝360个；②首位数字为4，万位分别为7、8、9时有3A44＝72个；③首位数字为4，万位数字为2时有A44－1＝23个，故共有360＋72＋23＝455个符合题意的六位数，故选C．。

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