2015届高考数学二轮复习专题训练试题：三角函数(4).pptx
2015届高考数学(文)二轮专题课件：2.1三角函数的图象与性质
知识复习专题
专题二
三角函数、三角变换、解三角形、 平面向量
三角函数的图象与性质
第一讲
1．高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面：一是用 五点法作图，二是图象变换，三是已知图象求解析式或求 解析式中的参数的值，常以选择题或填空题的形式考查． 2．高考对三角函数性质的考查是重点，以解答题为主，考
栏 目 链 接
主干考 点梳理
kπ π ，0 ，k∈Z kπ ＋ 2 ，0，k∈Z 2
对称中
心坐标 对称轴 方程
________ ( kπ ， 0)，k∈Z
π x＝kπ ＋ ，k∈Z 2
________
________
栏 目 链 接
________
x＝ kπ，k∈Z ________
R ________
主干考 点梳理
周期性
奇偶性
最小正周期为 2π ____ ____函数 奇
π π － ＋2kπ ， ＋2kπ 2 _____________ 2 在
最小正周期为 2π ____ ____ 偶 函数
最小正周期为 π ____ ____函数 奇
[2k π－ π， 在__ ______ 在____ ______ 2kπ](k∈Z) (k∈ Z) π π _____上增，在 ______ ____上 － ＋ k π ， ＋ k π ______ 2 2 ______ 单调性 π___ ______ 增，在 3π __ 上都是增函 ＋2kπ ， ＋2kπ ( ( k ∈ Z) 2 2______ ______ ____________ [2kπ，2kπ＋ 数 k∈ Z) ___上减 ____ 上减 π](k∈ Z)
2015届高考数学(理科)二轮配套ppt课件：三角函数、解三角形、平面向量
(3) 书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起 . 如 π [0,90°]应写为 0， . 2
[ 问 题 3] 函 数 π 5 k π － ， k π ＋ π (k∈ Z) ________________________. 12 12
π y ＝ sin －2x＋ 的 递 减 区 间 是 3
已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α 1 － ＋cos α的值为________. 5 [问题1]
2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. sin α (2)商数关系：tan α＝ . cos α (3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限
－α sin －sin α cos π－ α sin α π＋ α －sin α 2π－α －sin α cos α
π －α 2
cos α sin α
cos α －cos α －cos α
[ 问 题 2]
2 3 － 2 3 ________.
9π 7π cos ＋ tan － ＋ sin 21π 的 值 为 4 6
4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
令α＝β sin(α± β)＝sin αcos β± cos αsin β———→sin 2α＝2sin αcos α. 令α＝β cos(α± β)＝cos αcos β∓ sin αsin β ———→cos 2α＝ cos2α－ sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
[问题6]
下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；
②若 |a| ＝ |b| ，则 a ＝ b 或 a ＝－ b ；③若 a∥b ，则
|a|＝ |b|；④若 a＝ 0，则－a＝ 0.其中正确命题是 ④ ________.
2015年高考数学真题分类汇编：专题(04)三角函数与解三角形(文科)及答案
2015年高考数学真题分类汇编 专题04 三角函数与解三角形 文1.【2015高考福建，文6】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα= 512=-，故选D ． 【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin α、cos α、tan α三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．2.【2015高考重庆，文6】若11tan ,tan()32a ab =+=,则tan =b （ ） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A.【考点定位】正切差角公式及角的变换.【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角β用已知角α和αβ+表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性. 3.【2015高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B .【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，这取决于x 加或减的数据.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混.4.【2015高考陕西，文6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要【答案】A【解析】22cos 20cos sin 0(cos sin )(cos sin )0ααααααα=⇒-=⇒-+=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，故答案选A . 【考点定位】1.恒等变换；2.命题的充分必要性.【名师点睛】1.本题考查三角恒等变换和命题的充分必要性，采用二倍角公式展开cos 20α=，求出sin cos αα=或sin cos αα=-.2.本题属于基础题，高考常考题型.【2015高考上海，文17】已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C.211 D. 213 【答案】D【解析】设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则直线OB 的倾斜角为απ+3，因为)1,34(A ，所以341tan =α，m n =+)3tan(απ，3313341313413=⋅-+=m n ，即2216927n m =， 因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去）， 所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.【名师点睛】设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则αtan =OA k ，)3tan(απ+=OB k ，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于m 、n 的等式求解结论.数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.5.【2015高考广东，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b =（ ） A． B ．2 C．D ．3 【答案】B【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 【考点定位】余弦定理．【名师点晴】本题主要考查的是余弦定理，属于容易题．解题时要抓住关键条件“b c <”， 否则很容易出现错误．本题也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是余弦定理，即2222cos a b c bc =+-A ． 6.【2015高考浙江，文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．【答案】π【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =-. 【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用.7.【2015高考福建，文14】若ABC ∆中，AC =045A =，075C =，则BC =_______．【解析】由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，则sin sin AC ABC B=，所以BC ==．【考点定位】正弦定理．【名师点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．关键是计算准确细心，属于基础题．8.【2015高考重庆，文13】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =,则c=________. 【答案】4【解析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =，由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;故填：4.【考点定位】正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将3sin 2sin A B =转化为3a=2b 结合已知即可求得b 的值，再用余弦定理即可求解.本题属于基础题，注意运算的准确性及最后结果还需开方.9.【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.【答案】8【解析】由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.【考点定位】三角函数的图像和性质.【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题sin()16x π+Φ=-时，y 取得最小值，继而求得k 的值，当sin()16x π+Φ=时，y 取得最大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.【2015高考上海，文1】函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 【答案】π【解析】因为x x 2cos 1sin 22-=，所以x x x f 2cos 2321)2cos 1(231)(+-=--=，所以函数)(x f 的最小正周期为ππ=22. 【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式.【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为x x f 2cos 2321)(+-=，再根据ωπ2=T 求周期. 二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用.10.【2015高考湖南，文15】已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω =_____. 【答案】2πω=【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（）， .【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解.11.【2015高考天津，文14】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【解析】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒= 【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.12.【2015高考四川，文13】已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______________. 【答案】－1【解析】由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－22sin αcos α－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin 2α＋cos 2α＝1，解出sin α与cos α的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tan α的值，对所求式除以sin 2α＋cos 2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tan α的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.13.【2015高考安徽，文12】在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC .【答案】2【解析】由正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC【考点定位】本题主要考查正弦定理的应用.【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决本题的关键，本题考查了考生的运算能力. 14.【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m. 1006030，000753045ACB ∠=-=，根据正弦定理知，sin sin BC ABBAC ACB=∠∠， AB即1sinsin2ABBC BACACB=⨯∠==∠，所以t a n36C D B C D B C=⨯∠==故应填.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.【2015高考上海，文14】已知函数xxf sin)(=.若存在1x，2x，⋅⋅⋅，mx满足π621≤<⋅⋅⋅<<≤mxxx，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--mmxfxfxfxfxfxf),2(*∈≥Nmm，则m的最小值为 .【答案】8【解析】因为函数xxf sin)(=对任意ix，jx),,3,2,1,(mji⋅⋅⋅=，2)()(|)()(|minmax=-≤-xfxfxfxfji，欲使m取得最小值，尽可能多的让),,3,2,1(mixi⋅⋅⋅=取得最高点，考虑π621≤<⋅⋅⋅<<≤mxxx，12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--mmxfxfxfxfxfxf),2(*∈≥Nmm按下图取值满足条件，所以m的最小值为8.【考点定位】正弦函数的性质，最值.【名师点睛】本题重点考查分析能力，转化能力，理解函数x y sin =对任意i x ，j x ),,3,2,1,(m j i ⋅⋅⋅=，2)()(|)()(|min max =-≤-x f x f x f x f j i 是关键.15.【2015高考北京，文11】在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B = ． 【答案】4π【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B ==sin B =4B π∠=. 【考点定位】正弦定理.【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理，属于容易题．解题时一定要注意检验有两解的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是正弦定理，即sin sin a b=A B．16.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数()2sin 2xf x x =-．（I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（I ）2π；（II ）.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=. 考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.【名师点晴】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题．解题时要注意重要条件“20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即211sin cos 222αα=-+，()sin cos a x b x x ϕ+=+，函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>）的最小正周期是2πωT =．17.【2015高考安徽，文16】已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为10 【解析】 （Ⅰ）因为x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=1)42sin(2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0.综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.【考点定位】本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、三角函数B x A y ++=)sin(ϕω的性质，以及正弦函数的性质.【名师点睛】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数B x A y ++=)sin(ϕω的性质是解决本题的关键，考查了考生的基本运算能力.18.【2015高考福建，文21】已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析．【解析】（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >．因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【考点定位】1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．【名师点睛】三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解析式变形为()sin()f x A x ωφ=+进行；若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移，都是相对于()f x 而言，即()()f x Af x →和()()f x f x k →+，若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移，都是相对于自变量x 而言，即()()f x f x ω→和()()f x f x a →+；本题第（ⅱ）问是解三角不等式问题，由函数周期性的性质，先在一个周期内求解，然后再加周期，将存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，转化为解集长度大于1，是本题的核心． 19.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+-，再分子、分母都除以2cos α可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2αααααααα=+--+-，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- ()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+---222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+- 222222⨯=+-1=考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.【名师点晴】本题主要考查的是两角和的正切公式、特殊角的三角函数值、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题．解本题需要掌握的知识点是两角和的正切公式、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=-，sin tan cos ααα=． 20.【2015高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力.21.【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（I ）证明：sin cos B A =；(II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C === 【解析】试题分析：（I ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A AA B=，所以sin cos B A = ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得23sin 4B =，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.【考点定位】正弦定理及其运用【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．22.【2015高考山东，文17】 ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B =因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C为锐角，cos C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=+=由,sin sin a cA C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. 【考点定位】1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.【名师点睛】本题考查了两角和差的三角函数、正弦定理及函数方程思想，在正确理解题意的情况下，准确计算是关键.解答本题的一个易错点是忽视对角的范围的讨论，使解答陷入误区.本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两角和差的三角函数、解三角形等基础知识，同时考查考生的计算能力、思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力. 23.【2015高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行.(I)求A ； (II)若2a b ==求ABC ∆的面积.【答案】(I) 3A π=；【解析】试题分析： (I)因为//m n，所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =0A π<<，所以3A π=；(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，代入数值求得3c =，由面积公式得ABC ∆面积为1sin 2bc A =.解法二：由正弦定理，得2sin B =，从而sin B =，又由a b >知A B >，所以cos B =，由sin sin()sin()3C A B B π=+=+，计算得sin C =，所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =.试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =【考点定位】1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.【名师点睛】1.本题考查解三角形和三角形的面积，利用正弦定理进行边角互化，继而求出A的值；可利用余弦定理求出c 的值，代入到三角形面积公式求解计算.2.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是 “变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.24.【2015高考四川，文19】已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2－p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (Ⅰ)求C 的大小(Ⅱ)若AB ＝1，AC ，求p 的值【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2px －p ＋1＝0的判别式△＝p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanB p ，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tanA ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝0000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==-所以ptanA ＋tanB )(21)＝－1【考点定位】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题利用一元二次方程的韦达定理，给出三角形两个内角正切值的关系式，求解过程中要注意对判别式的判定，表面上看，判别式对结论没有什么影响，但这对考查学生思维习惯及其严谨性是很有必要的.第(Ⅰ)问得到C ＝60°后，第(Ⅱ)问中要注意舍去B ＝135°，否则造成失误.属于中档题.25.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC的面积为,12,cos ,4b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值; （II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（I ）a=8,sin C =（II. 【解析】（I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值. 试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A =由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =（II）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.26.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1 【解析】试题分析：（I ）先由正弦定理将2sin 2sin sin B A C =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 的余弦值；（II ）由（I ）知22b ac =，根据勾股定理和即可求出c ，从而求出ABC ∆的面积. 试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==. （II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222a c ac +=，得c a ==.所以D ABC 的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题.27.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos A A A+的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【答案】(1)25；(2)9 【解析】 (1)利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；(2)利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =， 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 【考点定位】1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.【名师点睛】本题主要考查三角函数的基本计算以及解三角形应用.根据两角和的正切公式，计算角A 的正切值，利用同角三角函数基本关系式计算得到第一题的结论；根据角A 的正切值计算得到其正弦值，利用正弦定理计算得到边b 的值，根据三角形内角和为180及两角和的正弦公式计算得到角C 的正弦值，有两边一夹角的面积公式计算得到面积.本题属于中等题，主要考查学生三角函数有关公式的正确应用以及正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用，考查学生基本的计算能力.28.【2015高考重庆，文18】已知函数f(x)=122cos x . (Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求g(x)的值域.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为p ，最小值为-，（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先用降幂公式将函数21()sin 22f x x x =-的解析式化为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式，从而就可求出()f x 的最小周期和最小值，（Ⅱ）由题目所给变换及（Ⅰ）的化简结果求出函数()g x 的表达式，再由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦并结合正弦函数的图象即可求出其值域．试题解析： (1) 211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)23x x x p =--=--,因此()f x 的最小正周期为p ，最小值为-(2)由条件可知：g()sin()3x x p =--. 当[,]2x p p Î时，有2[,]363x p p p -?， 从而sin()3x p -的值域为1[,1]2，那么sin()3x p --的值域为.故g()x 在区间[,]2p p 上的值域是. 【考点定位】1. 三角恒等变换，2.正弦函数的图象及性质，3.三角函数图象变换.【名师点睛】本题考查三角恒等变形公式及正弦函数的图象及性质，第一问采用先降幂再用辅助角公式将已知函数化为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式求解，第二小问在第一问的基础上应用三角函数图象变换知识首先求出函数()g x 的解析式，再结合正弦函数的图象求其值域.本题属于中档题，注意公式的准确性及变换时的符号.28.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值;（II ）求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（I ）a =8,sin C =（II . 【解析】（I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值.试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a c A C = ,得sin C =（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.。
2015年全国高考真题_三角函数(详细答案)
又∵，，∴，故. 23.【2015高考山东，理16】设. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值. 【答案】（I）单调递增区间是； 单调递减区间是 （II） 面积的最大值为 【解析】 （I）由题意知 由 可得 由 可得 所以函数 的单调递增区间是 ； 单调递减区间是
(Ⅱ)若，，求和的长． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)． 【解析】(Ⅰ)，，因为，，所以．由正弦定理可得． (Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得 ，． ．由(Ⅰ)知，所以． 20.【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）
在中，已知. （1）求的长；
（2）求的值. 【答案】（1）；（2）
21.【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变 换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不 变），再将所得到的图像向右平移个单位长度. (Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；
∴ ，又， ∴ ，∴ 即，∴ ； （2）由（1）依题知 ， ∴ 又， ∴ 即． 32.【2015高考湖南，理17】设的内角，，的对边分别为，，，，且为 钝角. （1）证明：； （2）求的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2）.
，∴，于是 ，∵，∴，因此，由此可知的取值范围是.
2015高考数学二轮专题复习_专题4_三角函数
2013高考数学二轮专题复习专题4三角函数【高考考纲解读与考点链接】1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos xx x=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-2π,2π)内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【考点预测】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.【要点梳理】1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.(6)构造辅助角(以特殊角为主):sin cos )(tan )ba b aαααϕϕ+=+=.3.函数sin()y A x ωϕ=+的问题: (1)“五点法”画图:分别令0x ωϕ+=、2π、π、32π、2π，求出五个特殊点；(2)给出sin()y A x ωϕ=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是ϕ,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破; (3)求对称轴方程:令x ωϕ+=2k ππ+()k Z ∈,求对称中心: 令x ωϕ+=k π()k Z ∈; (4)求单调区间:分别令22k x ππωϕ-≤+≤22k ππ+()k Z ∈;22k x ππωϕ+≤+≤322k ππ+()k Z ∈,同时注意A 、ω符号. 4.解三角形:(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式； (2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线】考点1 三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值的问题.⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识.例1.已知函数f (x )=)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域； （Ⅱ）若角a 在第一象限且3cos ,5a f a =求（）.练习1: （2011年高考福建卷文科9)若α∈（0，2π），且2sin α+1cos 24α=，则tan α的值等于( )A.2B.C.D.考点2 考查sin()y A x ωϕ=+的图象与性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想来解题. 例 2.(2011年高考天津卷文科7)已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则( )A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数练习2.(2011年高考江苏卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f考点3 三角函数与向量等知识的综合三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 例3.（2009年高考江苏卷第15题）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .练习3.（天津市十二区县重点中学2011年高三联考二理）（本小题满分13分） 已知向量2(3sin,1),(cos ,cos )444x x xm n ==， ()f x m n =⋅． （I ）若()1f x =,求cos()3x π+值；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=， 求函数()f A 的取值范围.考点4. 解三角形解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. 例4. (2011年高考安徽卷文科16) 在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.练习4. （2011年高考山东卷文科17)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.（I ） 求sin sin CA的值；（II ） 若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【易错专区】1. (2011年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为( )（A ）2. (2011年高考山东卷理科6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=( )（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）233.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数()s i n (2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是( )（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 4.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos 2则ba=（ ）(A) (B) (C) 5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)796.(2011年高考浙江卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+=（ ）（A （B ）（C （D ）7. (2011年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （ ） A 54-B 53-C 32D 43 8. (2011年高考全国新课标卷理科11)设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） （A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 9. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ==，则sin C 的值为（ ）A BC D10．(2011年高考湖北卷理科3)已知函数()cos ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为( )A.{|,}3x k x k k z ππππ+≤≤+∈ B.{|22,}3x k k k z ππππ+≤+∈C.5{|,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈11．(2011年高考陕西卷理科6)函数()cos f x x =在[0,)+∞内( )（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两一个零点（D ）有无穷个零点12.(2011年高考重庆卷理科6)若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则ab 的值为( )（A ）43(B) 8- (C)1 (D) 2313. (2011年高考四川卷理科6)在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是( ) (A)(0，6π] (B)[6π，π) (c)(0，3π] (D) [3π，π)14.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f （x ）=tan （ωx+ϕ）（ω＞0，2π＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （24π）=____________.15.(2011年高考安徽卷理科14)已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________16. (2011年高考全国新课标卷理科16)在ABC ∆中，60,B AC ==2AB BC+的最大值为 。
2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题4(三角函数与三角形)
阶段性测试题四(三角函数与三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·威海期中)角α的终边经过点P (sin10°，－cos10°)，则α的可能取值为( ) A ．10° B ．80° C ．－10° D ．－80°[答案] D[解析] 由条件知tan α＝－cos10°sin10°＝－tan80°＝tan(－80°)，故选D.2．(文)(2014·北京海淀期中)在△ABC 中，若tan A ＝－2，则cos A ＝( ) A.55B ．－55 C.255 D ．－255[答案] B[解析] 在△ABC 中，若tan A ＝－2，则A ∈(π2，π)，cos A ＝－11＋tan 2A＝－15＝－55，故选B.(理)(2014·三亚市一中月考)若tan α＝2，则cos2α＋sin2α的值为( ) A ．0 B.15 C ．1 D.54[答案] B[解析] ∵tan α＝2，∴cos2α＋sin2α＝cos 2α－sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝15.3．(文)(2014·江西临川十中期中)已知sin(θ＋π2)＝35，则cos2θ等于( )A.1225B ．－1225C ．－725D.725[答案] C[解析] ∵sin(θ＋π2)＝cos θ＝35，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.(理)(2014·枣庄市期中)化简cos (π＋α)cos (π2＋α)cos (11π2－α)cos (π－α)sin (－π－α)sin (9π2＋α)的结果是( ) A ．－1 B ．1 C ．tan α D ．－tan α[答案] C[解析] 原式＝－cos α·(－sin α)·(－sin α)－cos α·sin α·cos α＝tan α，故选C.4．(2014·山东省菏泽市期中)要得到y ＝sin(2x －2π3)的图象，只要将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移( )个单位即可( )A.π3 B ．π C.2π3 D.π2 [答案] D[解析] ∵sin[2(x －π2)＋π3]＝sin(2x －2π3)，∴只需将y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位可得到y ＝sin(2x －2π3)的图象．5．(2014·九江市七校联考)在△ABC 中，AC ＝7，∠B ＝2π3，△ABC 的面积S ＝1534，则AB ＝( )A ．5或3B ．5C ．3D ．5或6 [答案] A[解析] 设AB ＝x ，BC ＝y ，则x >0，y >0，由条件得，⎩⎨⎧72＝x 2＋y 2－2xy cos 2π3，12xy sin 2π3＝1534，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋xy ＝49，xy ＝15， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴AB ＝3或5. 6．(2014·山东省菏泽市期中)已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sin1C ．2sin －11D ．sin2[答案] C[解析] 设圆半径为R ，由条件知sin1＝1R ，∴R ＝1sin1，∴l ＝2R ＝2sin1，故选C.7．(文)(2014·辽宁师大附中期中)在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] C[解析] ∵cos A ＝sin(π2－A )>sin B,0<π2－A <π2，0<B <π2，∴π2－A >B ，∴A ＋B <π2，∴C >π2，故选C.(理)(2014·安徽程集中学期中)在△ABC 中，“sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1”是“△ABC 是直角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由条件式得sin A ≥1，∴sin A ＝1，∴A 为直角，但△ABC 为直角三角形时，不一定A 为直角，故选A.8．(2014·浙江省五校联考)函数y ＝2sin(π4－x 2)sin(π4＋x2)的图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2[答案] C[解析] y ＝2sin(π4－x 2)sin(π4＋x 2)＝2sin(π4－x 2)cos(π4－x 2)＝sin(π2－x )＝cos x ，其对称轴方程为x ＝k π，k ∈Z .9．(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A ．[0，π2]B ．[π4，3π4]C ．[－π4，π4]D ．[π2，π][答案] A[解析] 由2k π≤2x ≤2k π＋π得k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，令k ＝0知选A.(理)(2014·福州市八县联考)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2] [答案] A[解析] 由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2及ω>0得，2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω，k ∈Z . ∵f (x )在(π2，π)上单调递减，∴(π2，π)⊆[2k πω＋π4ω，2k πω＋5π4ω]， ∴k ＝0，⎩⎨⎧π4ω≤π2，5π4ω≥π.∴12≤ω≤54，故选A. 10．(2014·营口三中期中)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32D ．1[答案] C[解析] ∵x 1，x 2∈(－π6，π3)时，f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f (π6)，由图象知，T 2＝π3－(－π6)＝π2，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，由于f (x )的图象过点(π12，1)，∴sin(π6＋φ)＝1，∴φ＝π3，∴f (π6)＝sin(2×π6＋π3)＝sin 2π3＝32，故选C.11．(2014·哈六中期中)2sin 225°－1sin20°cos20°的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[答案] B[解析] 原式＝－cos50°12sin40°＝－2.12．(文)(2014·威海期中)函数f (x )＝sin x ＋cos2x 的图象为( )[答案] B[解析] f (0)＝sin0＋cos0＝1，排除A 、D ；f (－π)＝sin(－π)＋cos(－2π)＝1，排除C ，故选B. (理)(2014·山东省菏泽市期中)函数f (x )＝2x －tan x 在(－π2，π2)上的图象大致为( )[答案] C[解析] ∵f (－x )＝－2x －tan(－x )＝－(2x －tan x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A 、B ； f ′(x )＝(2x －sin x cos x )′＝2－1cos 2x ，令f ′(x )≥0得，cos 2x ≥12，∴cos x ≥22或cos x ≤－22， ∵x ∈(－π2，π2)，∴－π4≤x ≤π4，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，则角C 的大小为________．[答案] 135°[解析] ∵a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，∵0°<C <180°，∴C ＝135°.14．(文)(2014·甘肃临夏中学期中)函数f (x )＝3sin(2x －π3)的图象为C ，则如下结论中正确的序号是________．①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②图象C 关于点(2π3，0)对称；③函数f (x )在区间(－π12，5π12)内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .[答案] ①②③[解析] ①当x ＝11π12时，f (11π12)＝3sin 3π2＝－3，∴正确；②当x ＝2π3时，f (2π3)＝0，∴正确；③由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12](k∈Z )，∴正确；④y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得到y ＝3sin2(x －π3)，∴④错误．(理)(2014·威海期中)将函数y ＝sin(x －π3)，x ∈[0,2π]的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的单调递增区间为____________．[答案] [－π6，3π2]，[7π2，23π6][解析]由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2得，4k π－π2≤x ≤4k π＋3π2，k ∈Z ，由已知函数中x ∈[0,2π]得所求函数的定义域为[－π6，23π6]，令k ＝0得，－π2≤x ≤3π2，令k ＝1得，7π2≤x ≤11π2，故所求函数的单调增区间为[－π6，3π2]和[7π2，23π6]．15．(文)(2014·吉林省实验中学一模)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π3)＝________.[答案]2425[解析] ∵α为锐角，∴0<α＋π6<π，∵cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)·cos(α＋π6)＝2×35×45＝2425.(理)(2014·吉林延边州质检)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则sin A1－cos A＝________.[答案] 4[解析] ∵S ＝12bc sin A ，a 2－(b －c )2＝2bc －(b 2＋c 2－a 2)＝2bc －2bc cos A ，S ＝a 2－(b －c )2，∴12bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，∴sin A 1－cos A＝4. 16．(2014·浙江省五校联考)已知O (0,0)，A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，C (cos γ，sin γ)，若kOA →＋(2－k )OB →＋OC →＝0(0<k <2)，则cos(α－β)的最大值是________．[答案] －12[解析] ∵kOA →＋(2－k )OB →＋OC →＝0，OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)，OC →＝(cos γ，sin γ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k cos α＋(2－k )cos β＋cos γ＝0，k sin α＋(2－k )sin β＋sin γ＝0， ∵cos 2γ＋sin 2γ＝1，∴k 2＋(2－k )2＋2k (2－k )cos αcos β＋2k ·(2－k )sin αsin β＝1， ∴cos(α－β)＝－2k 2＋4k －3－2k 2＋4k ＝1＋32k 2－4k ， ∵0<k <2，∴－2≤2k 2－4k <0，∴cos(α－β)≤－12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )． (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求f (x )的最大值．[解析] f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos2x ＋sin2x＝2(22sin2x －22cos2x )＋1 ＝2sin(2x －π4)＋1，(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f (x )取得最大值，且最大值为f (3π8)＝2sin π2＋1＝2＋1.(理)(2014·北京东城区联考)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及相应的x 的值．[解析] (1)因为f (x )＝32sin2x －12cos2x －12＝sin(2x －π6)－12，所以T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值12.18．(本小题满分12分)(文)(2014·辽宁师大附中期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． [解析] (1)∵cos B ＝45，∴sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin30°＝103.∴a ＝53.(2)∵△ABC 的面积S ＝12ac sin B ，sin B ＝35，S ＝3，∴ac ＝10.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得， 4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.∴(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40，∴a ＋c ＝210.(理)(2014·威海期中)△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋b sin B －c sin C ＝a sin B .(1)求角C ；(2)若a ＋b ＝5，S △ABC ＝323，求c 的值．[解析] (1)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，原等式可转化为：a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab ·32＝332，∴ab ＝6，c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－18＝7， ∴c ＝7.19．(本小题满分12分)(2014·江西白鹭洲中学期中)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B＝－3，c ＝7，三角形面积为332.(1)求∠C 的大小； (2)求a ＋b 的值．[解析] (1)∵tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，且tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )， ∴tan C ＝3，又∵0<C <π，∴∠C ＝π3.(2)由题意可知：S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ＝332，∴ab ＝6.由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴(a ＋b )2＝3ab ＋c 2＝3×6＋(7)2＝25， 又a >0，b >0，∴a ＋b ＝5.20．(本小题满分12分)(文)(2014·马鞍山二中期中)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值． [解析] (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴AC →2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α，BC →2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，由|AC →|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π4. (2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23.① 又2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α. 由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49， ∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝－59. (理)(2014·辽宁师大附中期中)已知向量a ＝(2sin x ，sin x －cos x )，b ＝(cos x ，3(cos x ＋sin x ))，函数f (x )＝a ·b ＋1.(1)当x ∈[π4，π2]时，求f (x )的最大值和最小值； (2)求f (x )的单调区间．[解析] (1)f (x )＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1. ∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π3)≤2， 于是2≤2sin(2x －π3)＋1≤3， ∴f (x )的最大值是3，最小值是2.(2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ， ∴k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ， 同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z 得，f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z . 21．(本小题满分12分)(2014·马鞍山二中期中)如图A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？[解析] 由题意知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理得，DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°·cos60°＋sin60°·cos45°＝53(3＋1)3＋12＝103(n mile)． 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(n mile)，在△DBC 中，由余弦定理得，CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900， ∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝3030＝1(h)． 答：救援船到达D 点需要1h.22．(本小题满分14分)(文)(2014·安徽程集中学期中)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0，12)，最小正周期为2π3，且最小值为－1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若x ∈[π6，m ]，f (x )的值域是[－1，－32]，求m 的取值范围． [解析] (1)由函数的最小值为－1，可得A ＝1，因为最小正周期为2π3，所以ω＝3.可得f (x )＝cos(3x ＋φ)，又因为函数的图象过点(0，12)，所以cos φ＝12，而0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝cos(3x ＋π3)． (2)由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32，且cosπ＝－1，cos 7π6＝－32， 由余弦曲线的性质知，π≤3m ＋π3≤7π6，得2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]． (理)(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12，其中ω>0，f (x )的最小正周期为4π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．[解析] f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin(2ωx ＋π6)． (1)∵2π2ω＝4π，∴ω＝14，f (x )＝sin(x 2＋π6)． 由2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得： 4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3. ∴f (x )的单调递增区间是[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )． (2)由正弦定理得，(2sin A －sin C )cos B ＝sin B ·cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，∵sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A >0，∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3， ∴0<A <2π3，π6<A 2＋π6<π2，∴f (A )∈(12，1)．。
2015届高考数学二轮复习专题讲解课件：专题2 第1讲 三角函数的图象与性质(选择、填空题型)
时，选项 B 满足条件，故选 B.
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3．(2014· 天津高考)已知函数 f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx(ω>0)， x∈R.在曲线 y＝f(x)与直线 y＝1 的交点中， 若相邻交点距离的最 π 小值为 ，则 f(x)的最小正周期为( ) 3 π 2π A. B. 2 3 C． π D．2π
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解析： 选B
2π 3sin 2x－ 3 ，令 π π 由题可得平移后的函数为 y＝3sin 2 x－2＋3＝
π 2π π π 2kπ－2≤2x－ 3 ≤2kπ＋2，解得 kπ＋12≤x≤kπ
π 7π 7π ＋12，故该函数在kπ＋12，kπ＋12(k∈Z)上单调递增，当 k＝0
π f(x)＝sinx＋2＝cos
＝cos x 的周期为 2π，排除 B；因为
f(x)＝cos x
π 不关于直线 x＝2对称，排除 C；故选 D.
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π y＝3sin2x＋3
2．(2014· 辽宁高考)将函数
π 的图象向右平移 个 2
1 2 π ＝2x sin x＋xcos x 为奇函数，图象关于原点对称，排除 C，D，又当 0<x<2 时，f(x)>0，所以选 A. 2．由图可知 M＝2.因为 A，B 两点分别是函数图象上相邻的最高点和 最低点，设 A(x1,2)，B(x2，－2)，因为|AB|＝5，所以 x2－x12＋－2－22 ＝5，
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热点一
2015届高考数学总复习配套题型精练：中档题目强化练——三角函数、解三角形(共31张PPT)
当 x＝1π2时，得 fπ2＝－f23π＝－f(0)， 故得 f(0)＝23.
第十三页，编辑于星期五：十点 十七分。
A组 专项基础训练
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9．(2013·重庆)在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、
c，且 a2＝b2＋c2＋ 3bc.
(1)求 A；
(2)设 a＝ 3，S 为△ABC 的面积，求 S＋3cos Bcos C 的最
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2．函数 y＝3cos(x＋φ)＋2 的图象关于直线 x＝π4对称，则
φ 的可能取值是
( A)
3π A. 4
B．－34π
π C.4
π D.2
解析 ∵y＝cos x＋2 的对称轴为 x＝kπ(k∈Z)， ∴x＋φ＝kπ(k∈Z)，即 x＝kπ－φ(k∈Z)，令π4＝kπ－ φ(k∈Z)得 φ＝kπ－π4(k∈Z)，在四个选项中，只有34π
c，且 a2＝b2＋c2＋ 3bc.
(1)求 A；
(2)设 a＝ 3，S 为△ABC 的面积，求 S＋3cos Bcos C 的最
大值，并指出此时 B 的值．
(2)由(1)得 sin A＝21， 又由正弦定理及 a＝ 3得 S＝12absin C＝12·assiinnAB·asin C＝3sin Bsin C，
第十五页，编辑于星期五：十点 十七分。
A组 专项基础训练
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9．(2013·重庆)在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、
2015届高考数学总复习配套专题精讲：专题二 高考中的三角函数综合问题(共47张PPT)
x4，cos2x4.
(1)由向量数量积的运算转化
(1)若 m·n＝1，求 cos23π－x的值； 成三角函数式，化简求值．
(2)记 f(x)＝m·n，在△ABC 中，角 A， (2)在△ABC 中，求出∠A 的
B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 范围，再求 f(A)的取值范围．
(2a－c)cos B＝bcos C，求函数 f(A)
题型一
三角函数的图象和性质
【例 1】 已知函数 f(x)＝sin(ωx
＋
π 6
)
＋
sin(ωx－
π 6
)
－
2cos2
ωx 2
，
x∈R(其中 ω>0)．
(1)求函数 f(x)的值域；
(2)若函数 y＝f(x)的图象与直线
y＝－1 的两个相邻交点间的距
离为π2，求函数 y＝f(x)的单调增
区间．
思维启迪
的值．
思维启迪
解析
思维升华
tan2αsin Asin B－tan αsin(A ＋B)＋cos Acos B＝ 52.①
因为 C＝34π，所以 A＋B＝π4， 所以 sin(A＋B)＝ 22，
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－
sin Asin B，
即352－sin Asin B＝ 22，
考点自测
高考题型突破
练出高分 第十三页，编辑于星期五：十点 十分。
高考题型突破
题型二
三角函数和解三角形
【例 2】 (2013·重庆)在△ABC 中，
内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，
c，且 a2＋b2＋ 2ab＝c2.
(1)求 C；
(2) 设
2015届高考数学(新课标)二轮复习课件 专题二第4讲 三角恒等变换
∴12－ 3<fx≤52，
即 fx的值域为12－ 3，52.
第二十五页，编辑于星期五：十点 二十三分。
(2)由 fA2 ＝52，得 sinA＋π6 ＝1， π
又 A 为△ABC 的内角，所以 A＝ 3 ， 又因为在△ABC 中，cosA＋C＝－5143， 所以 sinA＋C＝1114， 所以 cos C＝cosA＋C－π3 ＝12cosA＋C＋ 23sinA＋C＝3143. 【点评】本小题考查二倍角公式，配角公式，两 角差的余弦公式的综合运用能力．
α，β，α±β≠kπ＋π2 ，k∈Z；
第十一页，编辑于星期五：十点 二十三分。
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝12－tatnanα2α；
asin α ＋ bcos α ＝ a2＋b2 sin(α ＋
φ)其中tan
α)，
即 sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α
＋cos α)．
当 sin α＋cos α＝0 时，由 α 是第二象限角知
α＝3π 4 ＋2kπ，k∈Z.此时，cos α－sin α＝－ 2.
第九页，编辑于星期五：十点 二十三分。
当 sin α＋cos α≠0 时，有(cos α－sin α)2＝54. 由 α 是第二象限角知 cos α－sin α＜0，
α＝sin
cos
α α.
2．诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可实
现角的形式的转化．
诱导公式的口诀：奇变偶不变，符号看象限．
和、差、倍角公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
2015届高考数学二轮复习专题讲解 课件 第四讲 高考中的三角函数(解答题型)
第十七页，编辑于星期五：十点 三分。
创新方案系列丛书
2．已知函数 f(x)＝ 3sin xcos x＋cos2x＋a. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)若 f(x)在区间－π6，π3上的最大值与最小值的和为32，求 a 的值．
解：(1)因为
f(x)＝
3 2 sin
①求函数 f(x)的单调递增区间； ②在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 fA2＝1，
a＝ 26c，求 sin B.
[师生共研] (1)①f(x)＝sinx＋π4＋ 2cosx＋π2＝ 22sin x＋cos x－ 2
sin
x＝
2 2 cos
x－
2 2 sin
x＝sinπ4－x，
x＋
23cos
x－
3cos2x＋
3 4
＝12sin
x·cos
x－
23cos2x＋
3 4
＝14sin
2x－
43(1＋cos
2x)＋
3 4
＝14sin 2x－ 43cos 2x
＝12sin2x－3π.
高考专题辅导与测试·数学
第十六页，编辑于星期五：十点 三分。
创新方案系列丛书
所以，f(x)的最小正周期 T＝22π＝π. (2)因为 f(x)在区间－π4，－1π2上是减函数，在区间－1π2，π4上是 增函数． f－π4＝－14，f－1π2＝－12，fπ4＝14. 所以，函数 f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.
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热点一
三角变换与求值
《2015年高考真题分类》专题4：三角函数与三角形(文)
《2015年高考真题分类汇编》—>专题4：三角函数与三角形（文）一、选择题1．【2015高考福建，文6】若5sin 13，且 为第四象限角，则tan 的值等于（ ） A．125 B．125 C．512 D．5122．【2015高考重庆，文6】若11tan ,tan()32a ab =+=,则tan =b （ ）（A）17 （B）16 （C）57 （D）563．【2015高考山东，文4】要得到函数4y sin x（3）的图象，只需要将函数4y sin x 的图象（ ）（A）向左平移12个单位（B）向右平移12个单位（C）向左平移3个单位（D）向右平移3个单位4．【2015高考陕西，文6】“sin cos ”是“cos 20 ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要5．【2015高考上海，文17】已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）．A．233 B．235 C．211 D．2136．【2015高考广东，文5】设C 的内角 ， ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a ，c ，cosb c ，则b （ ）B．2 C． D．3二、填空题7．【2015高考浙江，文11】函数 2sin sin cos 1f x x x x 的最小正周期是 ，最小值是 ．8．【2015高考福建，文14】若ABC 中，3AC ，045A ，075C ，则BC _______． 9．【2015高考重庆，文13】设ABC 的内角A，B，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =,则c=________． 10．【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin（6x＋Φ）＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为____________．11．【2015高考上海，文1】函数x x f 2sin 31)( 的最小正周期为 ． 12．【2015高考湖南，文15】已知 >0,在函数y=2sin x 与y=2cos x 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则 =_____．13．【2015高考天津，文14】已知函数 sin cos 0f x x x ,x R ,若函数 f x 在区间 , 内单调递增,且函数 f x 的图像关于直线x 对称,则 的值为 ．14．【2015高考四川，文13】已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos 2α的值是______________．15．【2015高考安徽，文12】在ABC 中，6AB ， 75 A ， 45 B ，则AC ．16．【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD _________m．17．【2015高考上海，文14】已知函数x x f sin )( ．若存在1x ，2x ， ，m x 满足6021 m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221 m m x f x f x f x f x f x f ),2( N m m ，则m 的最小值为 ．18．【2015高考北京，文11】在C 中，3a ，b，23，则 ．三、解答题19．【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数 2sin 2xf x x ． （Ⅰ）求 f x 的最小正周期； （Ⅱ）求 f x 在区间20,3上的最小值．20．【2015高考福建，文21】已知函数 2cos 10cos 222x x xf x ． （Ⅰ）求函数 f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数 f x 的图象向右平移6个单位长度，再向下平移a （0a ）个单位长度后得到函数 g x 的图象，且函数 g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数 g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得 00g x ．21．【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2 ． （1）求tan 4的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21的值．22．【2015高考安徽，文16】已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2上的最大值和最小值．23．【2015高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x 图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x 图象，求()y g x 的图象离原点O 最近的对称中心．24．【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A ． （Ⅰ）证明：sin cos B A ； （Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B ，且B 为钝角，求,,A B C ．25．【2015高考山东，文17】 ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ．已知cos ()B A B acsin A 和c 的值．26．【2015高考陕西，文17】ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a 与(cos ,sin )n A B平行．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a b 求ABC 的面积．27．【2015高考四川，文19】已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2px－p＋1＝0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若，求p的值28．【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,12,cos,4 b c A（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求πcos26A的值．29．【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC 内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C ．（Ⅰ）若a b ，求cos ;B（Ⅱ）若90B ，且a求ABC 的面积．30．【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为,,a b c ．已知tan(A)24．（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值； （2）若B ,34a，求ABC 的面积．31．【2015高考重庆，文18】已知函数f（x）=12sin2x-2cos x ． （Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值，（Ⅱ）将函数f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像．当x ,2时，求g（x）的值域．32．【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为,12,cos ,4b c A （Ⅰ）求a 和sinC 的值； （Ⅱ）求πcos 26A的值．参考答案1．D【解析】由5sin 13，且 为第四象限角，则12cos 13，则sin tan cos512，故选D． 【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin 、cos 、tan 三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角 的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题． 2．A【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123，故选A．【考点定位】正切差角公式及角的变换．【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角 用已知角 和 表示出来，再用正切的差角公式求解．本题属于基础题，注意运算的准确性． 3．B【解析】因为sin(4)sin 4(312y x x，所以，只需要将函数4y sin x 的图象向右平移12个单位，故选B ．【考点定位】三角函数图象的变换． 【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，这取决于x 加或减的数据．本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混． 【答案】A【解析】22cos 20cos sin 0(cos sin )(cos sin )0 ， 所以sin cos 或sin cos ，故答案选A ． 【考点定位】1．恒等变换；2．命题的充分必要性．【名师点睛】1．本题考查三角恒等变换和命题的充分必要性，采用二倍角公式展开cos 20 ，求出sin cos 或sin cos ．2．本题属于基础题，高考常考题型． 5．D【解析】设直线OA 的倾斜角为 ，)0,0)(,( n m n m B ，则直线OB 的倾斜角为3，因为)1,34(A ，所以341tan，m n)3tan(，3313341313413m n ，即2216927n m ， 因为491)34(2222 n m ，所以491692722 n n ，所以213 n 或213n （舍去）， 所以点B 的纵坐标为213． 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式．【名师点睛】设直线OA 的倾斜角为 ，)0,0)(,( n m n m B ，则 tan OA k ，)3tan(OB k ，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于m 、n 的等式求解结论．数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错． 6．B 【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc，所以22222b b ，即2680b b ，解得：2b 或4b ，因为b c ，所以2b ，故选B． 【考点定位】余弦定理．【名师点晴】本题主要考查的是余弦定理，属于容易题．解题时要抓住关键条件“b c ”， 否则很容易出现错误．本题也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是余弦定理，即2222cos a b c bc ．7．3,2【解析】 211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x3sin(2)242x，所以22T；min 3()22f x ． 【考点定位】1．三角函数的图象与性质；2．三角恒等变换．【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换．主要考查学生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力．本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用．【解析】由题意得0018060B A C ．由正弦定理得sin sin AC BCB A，则sin sin AC ABC B，所以2BC．【考点定位】正弦定理．【名师点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．关键是计算准确细心，属于基础题． 9．4【解析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b ,又因为2a ,所以2b ， 由余弦定理得：22212cos 49223(164c a b ab C ，所以4c ；故填：4．【考点定位】正弦定理与余弦定理．【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将3sin 2sin A B =转化为3a=2b 结合已知即可求得b 的值，再用余弦定理即可求解．本题属于基础题，注意运算的准确性及最后结果还需开方． 10．8【解析】由图像得，当sin()16x时min 2y ，求得5k ，当sin()16x时，max 3158y ，故答案为8．【考点定位】三角函数的图像和性质．【名师点睛】1．本题考查三角函数的图像和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题sin()16x时，y 取得最小值，继而求得k 的值，当sin()16x时，y 取得最大值．2．本题属于中档题，注意运算的准确性．11．【解析】因为x x 2cos 1sin 22，所以x x x f 2cos 2321)2cos 1(231)( ，所以函数)(x f 的最小正周期为22． 【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式．【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为x x f 2cos 2321)(，再根据2T 求周期．二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用．12．2【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z （（），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内， 22221522442（）（）， ．【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形．应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解．【解析】由 f x 在区间 , 内单调递增,且 f x 的图像关于直线x 对称,可得π2,且222πsin cos sin 14f,所以2ππ42【考点定位】本题主要考查三角函数的性质． 【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题．注意本题解法中用到的两个结论：① sin 0,0f x A x A 的单调区间长度是半个周期；②若 sin 0,0f x A x A 的图像关于直线0x x 对称,则 0f x A 或 0f x A ．14．－1【解析】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－22sinαcosα－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力．【名师点睛】同角三角函数（特别是正余弦函数）求值问题的通常解法是：结合sin 2α＋cos 2α＝1，解出sinα与cosα的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论．利用整体代换思想，先求出tanα的值，对所求式除以sin 2α＋cos 2α（＝1）是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tanα的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算．属于中档题． 15．2 【解析】由正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[ACAB245sin 60sin 6AC AC【考点定位】本题主要考查正弦定理的应用． 【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决本题的关键，本题考查了考生的运算能力． 16．1006．【解析】在ABC 中，030CAB ，000753045ACB ，根据正弦定理知，sin sin BC ABBAC ACB， 即1sin 3002sin 22AB BC BAC ACB，所以3tan 30021006CD BC DBC ，故应填 1006．【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题．【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力． 17．8【解析】因为函数x x f sin )( 对任意i x ，j x ),,3,2,1,(m j i ，2)()(|)()(|min max x f x f x f x f j i ，欲使m 取得最小值，尽可能多的让),,3,2,1(m i x i 取得最高点，考虑6021 m x x x ，12|)()(||)()(||)()(|13221 m m x f x f x f x f x f x f ),2( N m m 按下图取值满足条件，所以m 的最小值为8．【考点定位】正弦函数的性质，最值．【名师点睛】本题重点考查分析能力，转化能力，理解函数x y sin 对任意i x ，jx),,3,2,1,(m j i ，2)()(|)()(|min max x f x f x f x f j i 是关键．18．4【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B，2所以sin B 所以4B ． 【考点定位】正弦定理．【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理，属于容易题．解题时一定要注意检验有两解的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是正弦定理，即sin sin a b．19．（Ⅰ）2 ；（Ⅱ）【解析】试题分析：本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．（Ⅰ）先利用倍角公式将2sin 2x降幂，再利用两角和的正弦公式将 f x 化简，使之化简成()sin()f x A x B 的形式，最后利用2T计算函数的最小正周期；（Ⅱ）将x 的取值范围代入，先求出3x的范围，再数形结合得到三角函数的最小值．试题解析：（Ⅰ）∵()sin 2sin()3f x x x x，∴()f x 的最小正周期为2 ．（Ⅱ）∵203x，∴33x． 当3x ，即23x 时，()f x 取得最小值．∴()f x 在区间2[0,3 上的最小值为2()3f．考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值．【名师点晴】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题．解题时要注意重要条件“20,3”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即211sin cos 222，sin cos a x b x x ，函数sin f x x （0 ，0 ）的最小正周期是2．20．（Ⅰ）2 ；（Ⅱ）（ⅰ） 10sin 8g x x ；（ⅱ）详见解析．【解析】（Ⅰ）因为 2cos 10cos 222x x xf x5cos 5x x10sin 56x．所以函数 f x 的最小正周期2 ． （Ⅱ）（ⅰ）将 f x 的图象向右平移6个单位长度后得到10sin 5y x 的图象，再向下平移a （0a ）个单位长度后得到 10sin 5g x x a 的图象． 又已知函数 g x 的最大值为2，所以1052a ，解得13a ． 所以 10sin 8g x x ．（ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得 00g x ，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ，即04sin 5x．由45知，存在003 ，使得04sin 5 ． 由正弦函数的性质可知，当 00,x 时，均有4sin 5x ． 因为sin y x 的周期为2 ，所以当 002,2x k k （k ）时，均有4sin 5x ． 因为对任意的整数k ， 00022213k k，所以对任意的正整数k ，都存在正整数 002,2k x k k ，使得4sin 5k x ． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得 00g x ．【考点定位】1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．【名师点睛】三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解析式变形为()sin()f x A x 进行；若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移，都是相对于()f x 而言，即()()f x Af x 和()()f x f x k ，若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移，都是相对于自变量x 而言，即()()f x f x 和()()f x f x a ；本题第（ⅱ）问是解三角不等式问题，由函数周期性的性质，先在一个周期内求解，然后再加周期，将存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得 00g x ，转化为解集长度大于1，是本题的核心． 21．（1）3 ；（2）1． 【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos，再分子、分母都除以2cos 可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21的值．试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4（2）2sin 2sin sin cos cos 21222sin cos sin sin cos 2cos 11222sin cos sin sin cos 2cos22tan tan tan 2222222 1考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系．【名师点晴】本题主要考查的是两角和的正切公式、特殊角的三角函数值、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题．解本题需要掌握的知识点是两角和的正切公式、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，即 tan tan tan 1tan tan，sin 22sin cos ，2cos 22cos 1 ，sin tan cos． 22．（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值为1 ，最小值为0 【解析】（Ⅰ）因为xx x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(221)42sin(2x所以函数)(x f 的最小正周期为＝＝22T ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(x x f当2,0[x 时，]45,4[42x由正弦函数x y sin 在45,4[上的图象知，当242x ，即8x 时，)(x f 取最大值12 ；当4542 x ，即4 x 时，)(x f 取最小值0．综上，)(x f 在[0,2上的最大值为12 ，最小值为0．【考点定位】本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、三角函数B x A y )sin( 的性质，以及正弦函数的性质．【名师点睛】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数B x A y )sin( 的性质是解决本题的关键，考查了考生的基本运算能力．23．（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ．数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x ；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A ，32，5362，解得π2, ．数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(26f x x ，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2666g x x x ．因为sin y x 的对称中心为(π,0)k ，k Z ．令π2π6x k ，解得ππ212k x ，k Z ．即()y g x 图象的对称中心为ππ0212k （，），k Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12． 【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题．【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力．24．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）30,120,30.A B C【解析】试题分析：（Ⅰ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A AA B，所以sin cos B A ；（Ⅱ）根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B ，可得23sin 4B ，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C． 试题解析：（Ⅰ）由tan a b A 及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B，所以sin cos B A 。
2015专题三：三角函数(含11-14高考题)资料
2015三角函数复习专题一、考纲解读1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos xx x=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-2π,2π)内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).二、考点分析从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.三、核心知识点归纳： 1.三角函数公式⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r 则l r α=，，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()221sincos 1αα+=；αα22sec tan 1=+;()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．(3)1cot tan =∙αα;1sec cos =∙αα;1csc sin =∙αα 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭口诀：奇变偶不变，符号看象限．诱导公式中常如此变形。
2015高考大题之三角函数
2015高考大题之三角函数1.已知(3,cos())a x ω=-，(sin(b x ω=，其中0ω>，函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且()2Af =a ，求角A 、B 、C 的大小．2．（本题满分12分）已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点A 11(,)x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转23π后与单位圆O 交于点B 22(,)x y ，12()f x x α=-；（Ⅰ）若角α为锐角，求()f α的取值范围；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若3(),32f A c ==，ABC ∆的面积为a 的值。
3.△ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ，且3cos cos cos )a A b C c B =+。
(1) 求tan 2A 的值；(2) 若1sin()23B π+=，c =，求△ABC 的面积。
4、已知向量(3sin 22,cos )m x x =+，(1,2cos )n x =，设函数n m x f ⋅=)(，x ∈R .（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期与最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中， c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为23，求a 的值. 5．在ABC ∆中，角,A B C ,所对的边分别为,,a b c ，且(cos cos )cos2cos a B b A C c C +=⋅．（1）求角C ；（2）若2b a =，ABC ∆的面积sin S A B =⋅，求sin A 及边c 的值． 6．在△ABC 中，已知6π=C ，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n ．（1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =，AD =△ABC 的面积． 7. （本小题满分12分）在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足sin 2A A =. (1)求A 的大小；(2)现给出三个条件：①2a =； ②45B =︒；③c =.试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC ∆的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) .8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且222823ABC b c a S ∆+-=（其中ABC S ∆为△ABC 的面积）．（Ⅰ）求2sincos 22B C A ++； （Ⅱ）若2b =，△ABC 的面积为3，求a ．9.某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
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32、已知函数
(1)求函数
的最小正周期和图象的对称轴方程
学海无涯
(2)求函数
在区间
上的值域
33、已知函数
，
(Ⅰ)求函数
的最小正周期；
(Ⅱ)若
，求
的值域.Байду номын сангаас
34、在
中，
分别为内角 A、B、C 的对边，且
（1）求角 A 的大小；
（2）若
中三边长构成公差为 4 的等差数列，求
的面积
35、已知 （1）求 ；
时，求 的值。
是 的中点，当
，
19、已知点
在函数
是
图象的任意两条对称轴，且
的图象上，直线
、
的最小值为 .
（1）求函数
的单递增区间和其图象的对称中心坐标；
（2）设
，
20 、 已 知 函 数
（Ⅰ）求
的最小正周期；
，若
，求实数 的取值范围.
.
（Ⅱ）若函数
的图象是由
时，求
的最大值和最小值.
的图象向右平移 个单位长度得到的，当 [ , ]
点评： 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，由函数 y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦 函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．
32、（1）
学海无涯
由
函数图象的对称轴方程为
（2）
因为
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以 当
时，
取最大值 1
又
，当
时，
取最小值
所以 函数
姓名：
学海无涯
班级：
考号：
题号 得分
一、填空 二、简答
题
题
总分
评卷人
得分
一、填空题 （每空？ 分，共？ 分）
1、给出下列命题：①存在实数α，使 sinαcosα=1 成立； ②存在实数α，使 sin
α+cosα= 成立； ③函数
是偶函数； ④方程
是函数
的图象的一条对称轴方程；⑤若α．β是第一象限角，且α>β，则 tgα>tgβ。 其中正确命题的序号是
2、设函数 对称， 则在下面四个结论：
的最小正周期为 ，且其图象关于直线
①图象关于点
对称； ②图象关于点
对称；
③在
上是增函数； ④在
所有正确结论的编号为
上是增函数中，
3、函数
有最大值 ，最小值 ，则实数
的值为
学海无涯
4、若
，则
5、下列命题中：
的最大值为
．
（1）
（2）函数
（3）
中，若
的充分不必要条件；
．………………………………6 分 ．
∵
∴
，
(R 为△ABC 的外接圆半径)，
∴ sinA= ，sinB= ．
∴
，即
．①
由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC， 即 9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab． ②
学海无涯
联立①②可得：2(ab)2-3ab-9=0，解得：ab=3 或 ab= (舍去)，
上的函数
的图象关于直线
对称，当
时函数
图象如图所示.
（Ⅰ）求函数
在
的表达式；（Ⅱ）求方程
的解；
（Ⅲ）是否存在常数 的值，使得 取值范围；若不存在，请说明理由.
18、已知函数 且该函数的最小正周期为 ．
（1） 求 和
的值；
在
上恒成立；若存在，求出 的
的图象与 轴相交于点 M
，
学海无涯
（2）已知点
，点 是该函数图象上一点，点
故△ABC 的面积 S△ABC=
．…………………………………13 分
29、解:(1)依题意化简得 得
,平移 g(x)
a＝1,b＝0 (2) (x)＝g(x)－ f(x)＝ sin(2x＋ )－ cos(2x＋ )－ ＝sin(2x＋ )－
∴ (x)的单调增区间为
， 值域为
.
30、解：
(Ⅰ)
…………2 分 ………5 分.
函数 f(x)在区间
单调递增，在区间
单调递减，kÎZ．
26、 解法一：
解法二：
学海无涯
学海无涯
27、 所以 f(x)的最小正周期为 T=2 ，值域为[-1,3] ……6 分
28、解：（Ⅰ）由图知：
学海无涯 ，解得ω=2．
再由
，
得
，即
．
由
，得
．
∴
．
∴
，
即函数 y=g(x)的解析式为 g(x)=
（Ⅱ）由已知化简得：
学海无涯
上有意义，且在
上单调递减，
。又
。若集合
（1）x 取何值时，f(x)<0; （2）
27、已知函数
．
（1）求函数
的最小正周期和值域；
（2）若 为第二象限角，且
，求
的值．
28、函数
单位后得到函数 y=g(x)的图象.
(I )求函数 y=g(x)的解析式；
的部分图象如图示，将 y=f(x)的图象向右平移 个
…………6 分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知：
学海无涯
………8 分
………10 分
………12 分 31、考点： 正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析：
（Ⅰ）由题意可得 A=3，根据周期 T=2（
）=
，求得ω=2．由 2× +φ=2kπ+ ，
②函数 f（x）的图像可由函数 y= sin2x 的图像向左平移 个单位而得到；
③在区间[ ， ]上是减函数；④若
，则
是 的整数倍；
8、设函数 是．
9、已知
学海无涯
，若
是奇函数，则 的一个可能值
，
，则
等于 ▲ .
10、设函数 为
，其中
，将
的最小值记
的单调递增区间为 ▲ .
11、设
的内角
所对的边长分别为
,
22、解：（Ⅰ）由
得
.
因为,
，
因为在
中，
，
所以
，
所以 ,
学海无涯 所以
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
,
所以
的最小正周期
.
因为函数
的对称轴为
,
又由
,得
,
所以
的对称轴的方程为
.
23 、 (1)
,
又 （2）由（1）得，
又由
，得
，
，
学海无涯
其中当
单调递增，即
因此
的单调增区间为
又因为当
单调递减，即
因此
的单调减区间为
(II)已知ΔABC 中三个内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，且满足
+
＝
2 sinAsinB,且 C= ，c=3，求ΔABC 的面积.
29、已知函数
单位，得到函数
(1)求实数
的值；
学海无涯 ，将其图象向左移 个单位，并向上移 个 的图象.
(2)设函数
，求函数
的单调递增区间和最值.
30、已知向量 （Ⅰ）求 f（x）的最小正周期 T； （2）已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边，A 为锐角，
．因为
是函数
(
)．所以
图象的一条对称轴，所以 =．
，
9、 ；
10、
（ 处闭为错， 处闭也对）
11、4 二、简答题
12、解：（1）由题意可得
学海无涯
即
，
，
由
且
，得
函数
（2）由于
且 为锐角，所以
13、解：（Ⅰ）
=
(Ⅱ)由（Ⅰ）知
＝
当
时，
14 、 (1)
学海无涯
∴ 函数
的最小正周期
(2) 当
时，
∴当
，即
，且
，则
评卷人
得分
二、简答题 （每空？ 分，共？ 分）
12、 已知函数
（
,
,
）的图像与 轴的交点
为
，它在 轴右侧的第一个最高点和
第一个最低点的坐标分别为
和
（1）求函数
的解析式；
（2）若锐角 满足
学海无涯
，求
的值．
13、设函数
是。
（Ⅰ）求
的解析式；
，它的一个最高点为
以及相邻的一个零点
（Ⅱ）求
的值域
14、已知函数
, …………6 分
所以函数
的最小正周期为
. …………8分
（Ⅱ）依题意,
[
]
学海无涯
. …………10 分
因为
，所以
. …………11 分
当
，即
时，
取最大值 ；
当
，即
. …………13 分
时，
取最小值
21、解： 依题意
（Ⅰ） 函数
的值域是
；
令
，解得
所以函数
的单调增区间为
（Ⅱ）由
得
. ,
因为
所以
学海无涯
得
24、（1）
时，
。 时， 。 。
（2）
最小值-1，最大值
…
25、解析：(1) xÎ(-2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数 a、b，有
，
，