成才之路春高中数学北师大必修5同步练习：第1章 §3 第2课时 含解析
《成才之路》2019高中数学北师大版必修5同步课件：第1
第一章
§2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
4．方程x2－6x＋1＝0的两根的等差中项为(
A．1 C．3 [答案] C
[ 解析]
)
B．2 D．4
设方程 x2－6x＋1＝0 的两根为 x1、x2，
则 x1＋x2＝6. x1＋x2 ∴其等差中项为 2 ＝3.
第一章
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3．已知等差数列{an} 的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项 公式an＝( ) B．2n－4 D．2n－6 A．4－2n C．6－2n [答案] C [解析] an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6.
第一章 §2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
1.等差数列
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的 差 是_______________ ______ 同一个常数 ，我们称这样的数列为等差数列．
2．等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那 a与b的等差中项 ． 么A叫做___________________
1
课前自主预习
2
课堂典例讲练
4
本节思维导图
3
易混易错点睛
5
课 时 作 业
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课前自主预习
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成才之路春高中数学北师大必修5同步练习：第1章 §3 第1课时 含解析
10．已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项，求an.
[解析]设等比数列{an}的公比为q.
依题意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，
∴a3＝8，a2＋a4＝20，
∴ ＋8q＝20，解得q＝2或q＝ (舍去)．
解得a2＝－ .
(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ (an＋1)－ (an－1＋1)＝ (an－an－1)，
得 an＝－ an－1，
即 ＝－ ，所以{an}是以 为首项，公比为－ 的等比数列．
2．在等比数列{an}中，a5·a6·a7＝3，a6·a7·a8＝24，则a7·a8·a9的值等于()
A．48B．72
C．144D．192
[答案]D
[解析]设公比为q，则a6·a7·a8＝a5·a6·a7·q3，
∴q3＝ ＝8.
又a7·a8·a9＝a6·a7·a8·q3＝24×8＝192.
3．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为()
又a1＝ ＝2，∴an＝2n.
一、选择题
1．已知a，b，c成等比数列，则方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况为()
A．有两个不等实根B．有两个相等实根
C．只有一个实根D．无实根
[答案]D
[解析]∵a，b，c成等比，∴b2＝ac，且b≠0.
∴Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2<0，
故方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
A．依次成等差数列
B．依次成等比数列
C．各项的倒数依次成等差数列
【成才之路】高中数学(人教版B版_必修5)配套练习：第1章基本知能检测
C． tanA>tanB
D ． sinA<sin B
[答案 ] B
[解析 ] ∵ A>B，∴ a>b， 由正弦定理，得 sinA>sinB，故选 B ．
2
b
3．△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，asinAsinB＋ bcos A＝ 2a，则 a
＝( )
A．2 3
B．2 2
α＋
B
＝
52，求
tan α的值．
[解析 ] (1) 因为 a2＋ b2＋ 2ab＝ c2，
由余弦定理有
cosC
＝
a2＋
b2－
c2 ＝
－
2ab ＝－
2，
2ab
2ab
2
故
C
＝
3π 4.
(2)由题意得
sinαsinA－ cosαcosA sinαsinB－cosαcosB cos2α
＝
52，
因此 (tanαsinA－ cosA)(tanαsinB－ cosB)＝ 52，
A．2 6
B．3 6
C． 2 2
D．3 2
[答案 ] C
[解析 ] 设所求边长为 x，由正弦定理得，
x sin30
＝°sin445
，°∴ x＝ 2
2，故选
C．
2．在△ ABC 中，角 A、 B、C 所对的边分别为 a、 b、c，且 A>B，则一定有 ( )
A ． cosA>cosB
B ． sinA>sinB
A ．无解
B ．有一解
C．有两解
D ．不能确定
[答案 ] A
[解析 ] 4× sin60 ＝°2 3＝ 12，
成才之路高中数学北师大·必修5配套练习：33基本不等式 第1课时
第三章 §3 第1课时一、选择题1．下列函数中，最小值为2的是( ) A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x ＋1x[答案] D[解析] A 中，不满足正数这一条件；B 中，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin x ∈(0,1)，∴等号不成立； C 中，y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2，当x 2＋2＝1x 2＋2时，x 2＋2＝1，x 2＝－1(不成立)； D 中x >0，y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x， 即x ＝1时，取最小值2.故选D ．2．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14[答案] B[解析] 由已知，得3a ·3b ＝3，∴3a ＋b ＝3， ∴a ＋b ＝1.∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．3．若x >4，则函数y ＝x ＋1x －4( )A ．有最大值－6B ．有最小值6C ．有最大值－2D ．有最小值2[答案] B[解析] ∵x >4，∴x －4>0， ∴y ＝x －4＋1x －4＋4≥2(x －4)·1x －4＋4＝6.当且仅当x －4＝1x －4，即x －4＝1，x ＝5时，取等号．4．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( ) A ．R <P <Q B ．P <Q <R C ．Q <P <R D ．P <R <Q[答案] B[解析] 由a ＞b ＞1，得lg a ＞lg b ＞0， Q ＝12(lg a ＋lg b )＞lg a ·lg b ＝P ，R ＝lg(a ＋b 2)＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，∴R ＞Q ＞P .5．设正数x ，y 满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．2[答案] D[解析] ∵x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ， ∴xy ≤x ＋4y 4＝404＝10，当且仅当x ＝4y 即x ＝20，y ＝5时取“＝”， ∴xy ≤100，即(xy )max ＝100，∴lg x ＋lg y ＝lg(xy )的最大值为lg100＝2.故选D ．6．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x ， ∴A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )，∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，由题设a ＞0，b ＞0. ∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤(1＋a )＋(1＋b )2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b 2.等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立． 二、填空题7．若x <0，则y ＝2＋2x ＋4x 的最大值是________．[答案] －3 2[解析] y ＝2－(－2x －4x )≤2－2(－2x )·(－4x)＝2－28＝2－42＝－3 2.当且仅当－2x ＝－4x，即x ＝－2时取等号．8．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．[答案] 3[解析] ∵x >0，y >0，且1＝x 3＋y4≥2xy 12， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时，等号成立．三、解答题9．(1)若x >0，y >0，且lg x ＋lg y ＝2，求5x ＋2y 的最小值； (2)已知x >1，y >1，且lg x ＋lg y ＝2，求lg x ·lg y 的最大值； (3)已知x >1，求y ＝x 2x －1的最小值．[解析] (1)∵lg x ＋lg y ＝2，∴lg xy ＝2，∴xy ＝100， 又∵5x ＋2y ≥210xy ＝21000＝2010，当且仅当5x ＝2y ，即x ＝210，y ＝510时，5x ＋2y 取得最小值2010. (2)∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，∴lg x ·lg y ≤(lg x ＋lg y2)2，∴lg x ·lg y ≤1，即lg x ·lg y 的最大值为1.当且仅当lg x ＝lg y ，即x ＝y ＝10时，等号成立． (3)y ＝x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2＋2＝4，当且仅当1x －1＝x －1，即(x －1)2＝1时，等式成立，∵x >1，∴当x ＝2时，y min ＝4. 10．(1)求函数y ＝1x －3＋x (x >3)的最小值． (2)设x >0，求y ＝2－x －4x 的最大值．[解析] y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3，∵x >3，∴x －3>0， ∴1x －3＋(x －3)≥21x －3(x －3)＝2， 当且仅当1x －3＝x －3，即x －3＝1，x ＝4时，等号成立．∴当x ＝4时，函数y ＝1x －3＋x (x >3)取最小值2＋3＝5.(2)∵x >0，∴x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，∴y ＝2－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤2－4＝－2.当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立，y 取最大值－2.一、选择题1．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，b,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A ．12B ．aC ．2abD ．a 2＋b 2[答案] D[解析] 解法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ， ∴a <12，又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14，∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大．2．设x ＋3y ＝2，则函数z ＝3x ＋27y 的最小值是( ) A ．23B ．2 2C ．3D ．6[答案] D[解析] z ＝3x ＋27y ≥23x ·33y ＝23x ＋3y ＝6，当且仅当x ＝2y ＝1，即x ＝1，y ＝13时，z ＝3x ＋27y 取最小值6.3．设a ，b 为正数，若5是5a 与5b 的等比中项，则3a ＋2b 的最小值为( )A ．5B ．2C ．5＋26D ．3＋2 5[答案] C[解析] 5a ·5b ＝5，∴a ＋b ＝1，(3a ＋2b )(a ＋b )＝3＋2＋3b a ＋2ab ≥5＋2 6.故选C ．4．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b的最小值等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4[答案] C[解析] 1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 二、填空题5．周长为l 的矩形对角线长的最小值为________． [答案]24l [解析] 设矩形长为a ，宽为b ，则a ＋b ＝l2，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2a 2＋2b 2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22，∴对角线长a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝24l . 当且仅当a ＝b 时，取“＝”．6．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是__________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1； ②a ＋b ≤2； ③a 2＋b 2≥2； ④a 3＋b 3≥3； ⑤1a ＋1b ≥2.[答案] ①③⑤[解析] ①ab ≤(a ＋b 2)2＝(22)2＝1，成立．②欲证a ＋b ≤2，即证a ＋b ＋2ab ≤2， 即2ab ≤0，显然不成立． ③欲证a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥2， 即证4－2ab ≥2，即ab ≤1，由①知成立．④a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)≥3⇔a 2－ab ＋b 2≥32⇔(a ＋b )2－3ab ≥32⇔4－32≥3ab ⇔ab ≤56，由①知，ab ≤56不恒成立．⑤欲证1a ＋1b ≥2，即证a ＋b ab ≥2，即证ab ≤1，由①知成立． 三、解答题7．已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求2x ＋5y 的最小值．[解析] 方法一：由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得： x >0，y >0，且xy ＝10.则 2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2， 所以⎝⎛⎭⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝5x xy ＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5时等号成立． 方法二：由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得： x >0，y >0，且xy ＝10，2x ＋5y ≥22x ·5y＝21010＝2(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5yxy ＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5时取等号)．所以(2x ＋5y)min ＝2.8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x 台(x 是正整数)，且每批均需运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析] 设全年需用去的运费和保管费的总费用为y 元，题中比例系数为k ，每批购入x 台，则共需分3 600x批，每批费用为2 000x 元．由题意得y ＝3 600x ×400＋k ·2 000x .由x ＝400时，有y ＝43 600得k ＝5100＝120，所以y ＝3 600x×400＋100x ≥2 3 600x×400×100x ＝24 000(元)．当且仅当3 600x×400＝100x，即x＝120时，等号成立．故只需每批购入120台，可以使资金够用．。
成才之路春高中数学北师大必修5同步练习：第1章 §2 第3课时 含解析
第一章 §2 第3课时一、选择题1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10＝( )A ．138B ．135C ．95D ．23[答案] C[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＝4 ①a 3＋a 5＝10 ②， ②－①得2d ＝6，∴d ＝3.a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×3＝4，∴a 1＝－4，S 10＝10×(－4)＋10×92×3＝－40＋135＝95. 故选C.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7 [答案] B [解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，∴d ＝3. 3．若等差数列{a n }的前三项和S 3＝9，且a 1＝1，则a 2等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] A[解析] S 3＝3a 1＋3×22d ＝9，且a 1＝1， ∴d ＝2，∴a 2＝a 1＋d ＝3.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －1[答案] D[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，∵a 1＝1也适合a n ，∴a n ＝2n －1，选D.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59， 则S 9S 5＝( ) A ．1B ．－1C ．2D.12[答案] A[解析] S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1，故选A. 6．数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220[答案] B[解析] ∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，又a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，∴a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18＝54.∴3(a 1＋a 20)＝54，∴a 1＋a 20＝18.∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝180. 二、填空题7．(2015·安徽高考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．[答案] 27[解析] ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，a 2＝a 1＋12， ∴{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列． ∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27. 8．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.[答案] 10[解析] 本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式以及基本运算能力．设等差数列公差为d ，则a n ＝1＋(n －1)d ，∵S 4＝S 9，∴a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，∴a 7＝0，∴1＋6d ＝0，d ＝－16. 又a 4＝1＋3×(－16)＝12，a k ＝1＋(k －1)d ， ∴12＋1＋(k －1)d ＝0，d ＝－16代入，得k ＝10. 三、解答题9．设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝2n ＋10. (2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242，得方程12n ＋n ·(n －1)2×2＝242， 解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．∴n ＝11.10．等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，则该数列前多少项的和最小？[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得9a 1＋12×9×8×d ＝12a 1＋12×12×11×d 即3a 1＝－30d ，∴a 1＝－10d ，∵a 1<0，∴d >0， ∴S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12dn 2－212dn ＝d 2⎝⎛⎭⎫n －2122－2182d . ∵d >0，∴S n 有最小值．又∵n ∈N ＋，∴n ＝10或n ＝11时，S n 取最小值．解法二：同解法一，由S 9＝S 12，得d a 1＝－110. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，得⎩⎨⎧ 1－110(n －1)≥01－110n ≤0.解得10≤n ≤11. ∴n 取10或11时，S n 取最小值．解法三：∵S 9＝S 12，∴a 10＋a 11＋a 12＝0，∴3a 11＝0，∴a 11＝0.∵a 1<0，∴前10项或前11项和最小.一、选择题1．(2016·长沙一中)在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A ．66B ．99C ．144D ．297 [答案] B[解析] 由a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 4＝39,3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝99. 2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15[答案] C[解析] ∵a 2＋a 4＋a 15＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7为常数，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7为常数．3．已知一个等差数列共n 项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( )A ．24B ．26C ．25D ．28[答案] B[解析] 设该等差数列为{a n }，由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝21＋67＝88，∴a 1＋a n ＝22.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝11n ＝286，∴n ＝26. 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( )A ．38B ．20C ．10D ．9 [答案] C[解析] 由等差数列的性质，得a m －1＋a m ＋1＝2a m ，∴2a m ＝a 2m ，由题意，得a m ≠0，∴a m ＝2.又S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝2a m (2m －1)2＝2(2m －1)＝38，∴m ＝10.二、填空题5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝________.[答案] 100[解析] ∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线，∴a 1＋a 200＝1，∴S 200＝200×(a 1＋a 200)2＝100. 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________.[答案] 24[解析] ∵S 9＝9·(a 1＋a 9)2＝72， ∴a 1＋a 9＝16，即a 1＋a 1＋8d ＝16，∴a 1＋4d ＝8， 又a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋8d＝3(a 1＋4d )＝3×8＝24.三、解答题7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知S 6＝36，S n ＝324，若S n －6＝144(n >6)，求数列的项数n .[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋…＋a n －5＝324－144，②由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝216，∴6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝18n ＝324，∴n ＝18. 8．正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，则b n ＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)． T n ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝12(1－1n ＋1)＝n 2(n ＋1).。
【成才之路】高中数学(北师大版_必修5)配套练习：3.2一元二次不等式第2课时
(1)求 a， b 的值；
x2－1
(2)解不等式
>0.
ax－ b
[解析 ] (1) 由已知得： 1，b 是方程 ax2－ 3x＋ 6＝4 的两根，
∴a－ 3＋ 6＝4，∴ a＝1，
∴方程 x2－ 3x＋ 2＝ 0 其两根为 x1＝ 1， x2＝ 2，
∴b＝ 2.
x2－ 1
x2－ 1
(2)将 a＝ 1， b＝ 2 代入不等式
[答案 ] { x|x<－ 2}
[解析 ]
原不等式可化为
x－1－ x＋2
1>0，即
－3 x＋ 2>0，
∴x＋2<0 ，∴ x<－ 2.
三、解答题
3x－ 5 9．解不等式： x2＋ 2x－ 3≤2.
3x－ 5 [解析 ] 原不等式等价变形为 x2＋2x－ 3－ 2≤ 0，
－ 2x2－ x＋ 1 即 x2＋2x－ 3 ≤ 0，
∴
a－
1<0
，∴
(x＋
1 a－
1)(x－
1)>0.
∴－
1 ＝2，∴ a－ 1
a＝
1 2.
6．若函数 f(x)＝ 2x2－ 2ax－ a－ 1的定义域为 R ，则 a 的取值范围为 ________．
[答案 ] [ －1,0] [解析 ] 已知函数的定义域为 R，即 2x2－ 2ax－ a－1≥ 0 在 R 上恒成立， 也即 x2－2ax－ a≥0 恒成立，所以有 Δ＝(－2a)2－ 4(－ a)≤ 0，解得－ 1≤ a≤ 0.
(2)原不等式可化为 (x＋1)( x－ 1)( x＋ 2)>0. 将方程 (x＋ 1)(x－ 1)( x＋ 2)＝ 0 的各个根－ 2，－ 1,1 标在数轴上，并用穿针引线法依次通过 每一个根．如图所示．
成才之路高中数学北师大·必修5配套练习：等比数列 第2课时
第一章 §3 第2课时一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 4＝6，a 8＝18，则a 12＝( )A ．24B ．30C ．54D ．108 [答案] C[解析] ∵a 8＝a 4q 4，∴q 4＝a 8a 4＝186＝3， ∴a 12＝a 8·q 4＝54.2．在等比数列{a n }中，a 3＝2－a 2，a 5＝16－a 4，则a 6＋a 7的值为( )A ．124B ．128C ．130D ．132 [答案] B[解析] ∵a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＝16，又a 4＋a 5＝(a 2＋a 3)q 2，∴q 2＝8.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝16×8＝128.3．已知{a n }为等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20[答案] A[解析] ∵a 23＝a 2a 4，a 25＝a 4a 6，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， ∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.4．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )A ．16B ．32C ．64D ．256[答案] C[解析] 由已知，得a 1a 19＝16，又∵a 1·a 19＝a 8·a 12＝a 210，∴a 8·a 12＝a 210＝16，又a n >0，∴a 10＝4，∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.5．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A ．12B ．22 C ．2 D ．2[答案] B[解析] ∵a 3·a 9＝a 26，又∵a 3a 9＝2a 25，∴a 26＝2a 25，∴⎝⎛⎭⎫a 6a 52＝2，∴q 2＝2，∵q >0，∴q ＝ 2.又a 2＝1，∴a 1＝a 2q ＝12＝22.6．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于() A ．32 B ．23C ．16 D ．6[答案] A[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 7·a 11＝a 4·a 14＝6a 4＋a 14＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝3a 14＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2a 14＝3.又∵a n >a n ＋1，∴a 4＝3，a 14＝2.∴a 6a 16＝a 4a 14＝32.二、填空题7．已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于________． [答案] －3[解析] a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q ＝1q＝－3.8．等比数列{a n }中，a n >0，且a 5·a 6＝9，则log 3a 2＋log 3a 9＝________.[答案] 2[解析] ∵a n >0，∴log 3a 2＋log 3a 9＝log 3a 2a 9＝log 3a 5a 6＝log 39＝log 332＝2.三、解答题9．已知{a n }为等比数列，且a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，求a 11.[解析] ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64，又a 3＋a 7＝20，∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根．∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4，当a 3＝4时，a 3＋a 7＝a 3＋a 3q 4＝20，∴1＋q 4＝5，∴q 4＝4.当a 3＝16时，a 3＋a 7＝a 3(1＋q 4)＝20，∴1＋q 4＝54，∴q 4＝14. ∴a 11＝a 1q 10＝a 3q 8＝64或1.10．三数成等比数列，其积为27，其平方和为91，求这三个数．[解析] 设三数分别为a q，a ，aq ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝27，①(a q )2＋a 2＋(aq )2＝91，②由①，得a ＝3.将a ＝3代入②得q ＝±13，或q ＝±3. ∴所求三数为－9,3，－1或9,3,1或1,3,9或－1,3，－9.一、选择题1．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] C[解析] ∵a 3a 11＝a 27＝4a 7，∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝4，∵{b n }为等差数列，∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.2．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋2B ．1－ 2C ．3＋22D ．3－2 2[答案] C[解析] 设数列{a n }的公比为q ，由已知可得a 3＝a 1＋2a 2⇒q 2－2q －1＝0，q ＝1＋2或1－2(舍)，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 3．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215 [答案] B[解析] 设A ＝a 1a 4a 7…a 28，B ＝a 2a 5a 8…a 29，C ＝a 3a 6a 9…a 30，则A 、B 、C 成等比数列，公比为q 10＝210，由条件得A ·B ·C ＝230，∴B ＝210，∴C ＝B ·210＝220.4．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n －1，则a 12等于( )A ．32B ．34C ．66D ．64[答案] C[解析] 依题意，a 1，a 3，a 5，a 7，a 9，a 11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a 11＝a 1×25＝64，a 12＝a 11＋2＝66.故选C ．二、填空题5．(2014·安徽理，12)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.[答案] 1[解析] 本题考查等差数列，等比数列．设等差数列的首项为a ，公差为d ，(a 3＋3)2＝(a 1＋1)(a 5＋5)，即(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，化简得(d ＋1)2＝0，∴d ＝－1，∴q ＝a 1＋2d ＋3a 1＋1＝1. 直接进行计算，有时会有比较好的效果．6．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.[答案] 2[解析] 本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解得． 解析：a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝4，因为a 2＝2，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝－1，或q ＝2.因为a n 为递增数列，所以q ＝2.三、解答题7．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .[解析] 由b 1＋b 2＋b 3＝3，得log 2(a 1· a 2·a 3)＝3，∴a 1·a 2·a 3＝23＝8，∵a 22＝a 1·a 3，∴a 2＝2，又b 1·b 2·b 3＝－3， 设等比数列{a n }的公比为q ，得log 2(2q)·log 2(2q )＝－3. 解得q ＝4或14， ∴所求等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2·q n －2＝22n －3或a n ＝25－2n .8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n}的通项公式．[解析]设{a n}的公差为D．由S3＝a22得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时S n＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{a n}的通项公式为a n＝3或a n＝2n－1.。
【成才之路】高中数学(北师大版_必修5)配套练习：1.4数列在日常经济生活中的应用
a＝
Mm·1＋m 1＋ m 10－1
.
2．某工厂去年产值为 a，计划今后 5 年内每年比上年产值增加 年，这个厂的总产值为 ( )
10%，则从今年起到第 5
4
A ． 1.1 a C． 11× (1.15－ 1)a
5
B． 1.1 a D． 10(1.1 6－ 1)a
[答案 ] C [解析 ] S＝ a(1＋ 10%)＋ a(1＋ 10%)2＋ …＋ a(1＋ 10%)5＝ 11× (1.15－ 1)A． 二、填空题
第一章 §4
一、选择题
1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的
n 个月内累积的需求量 Sn(万件 )
近似地满足
Sn＝
n 90·(21n
－
n
2－
5)(
n＝
1,2
，…，
12) ．按此预测，在本年度内，需求量超过
1.5
万件的月份是 ( )
A ． 5 月、 6 月
B． 6 月、 7 月
C． 7 月、 8 月
a
n＝
(330
－
5 4x)(4
n
)
－1
＋
4x.
∴
a
21
＝
(330－
4
x)(
5 4)
20＋
4x.
令
a21≥ 4a1 ，即
(330
－
4
x)(
5 4)
20
＋
4x≥
4
×
330.
由
lg 2 ≈0.3，可求得
(
5 4)
20
＝
100，代入上式整理得
396x≤ 31 680，
解得 x≤ 80(万立方米 )．
《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套课件1.1正弦定理和余弦定理第2课时
• c2＝__________________.
• (3)公式变形
b2＋c2－a2
• cosA＝_______2b_c__________；
a2＋c2－b2 2ac
• cosB＝____a_2＋__b_2－__c2________；
2ab
• cosC＝__________________.
• 2．余弦定理夹及角其变形的应用
三边
• 应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形 的问题，一类是已知两边及其________解三
• 1.在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则 △ABC为( )
• A．直角三角形
B．锐角三角形
• C．钝角三角形
D．不存在
• [答案] B
• [解析] ∵c2<a2＋b2，∴∠C为锐角．
号目标飞行器对接，这标志着中国成为世界
上第三个完整掌握空间交会对接技术的国 家．这一操作是由在地面进行了1 500多次模 拟训练的43岁航天员刘旺实施的．在距地球 343km处实施这个类似“倒车入库”的动作， 相当于“太空穿针”，要求航天员具备极好
的眼手协调性、操作精细性和心理稳定
性．这一操作的成功，离不开地面的完美测 控．这个测控的过程应用什么测量的定理？
[点评] (1)求sinC也可用下面方法求解： cosC＝a2＋2ba2b－c2＝722＋×372×－352＝1114， ∴C为锐角．
sinC＝ 1－cos2C＝ 1－11142＝5143. (2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定 理．
已知△ABC中，a b c＝2 6 ( 3 ＋1)，求△ABC的
【成才之路】高中数学(北师大版_必修5)配套练习：2.1正弦定理与余弦定理第1课时
＝ 22× 23＋ 22×12＝
6＋ 4
2 ，
2
∴c＝2×sins7in545°＝°
2× 2 6＋
＝2 2
3－ 2.
4
三、解答题
9．在△ ABC 中， a、b、c 分别是三个内角
6．在 Δ ABC中， a＝ 15， b＝ 10， A＝ 60°，则 cosB＝ ( )
22 A ．－ 3
B．2 32
6 C．－ 3
D． 6 3
[答案 ] D
[解析 ]
由正弦定理，得
15 sin60
＝°s1in0B，
3
∴
sin
B＝10
·sin60 15
＝°10×15 2
＝
3 3.
∵a>b， A＝60°，∴ B 为锐角．
C． 2<x<2 2
D． 2< x<2 3
[答案 ] C
x>2
[解析 ] 由题设条件可知
，
xsin45 <°2
∴2<x<2 2.
1 3．在△ ABC 中，内角 A、B、 C 的对边分别为 a、 b、c，若 asinBcosC＋ csin BcosA＝ 2b，
且 a>b，则∠ B＝ ( )
π A．6
第二章 § 1 第 1 课时
一、选择题
1．在△ ABC 中，下列关系中一定成立的是 ( )
A ． a>bsinA
B． a＝ bsinA
C． a<bsinA
D． a≥ bsinA
【成才之路】高中数学 3.3 基本不等式(第2课时)练习 北师大版必修5
第三章 §3 第2课时一、选择题1．已知a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab≤12B ．ab≥12C ．a2＋b2≥2D ．a2＋b2≤2[答案] C [解析] 由a ＋b ＝2，得ab≤(a ＋b 2)2＝1，排除A 、B ；又a2＋b22≥(a ＋b 2)2，∴a2＋b2≥2.故选C ．2．设函数f(x)＝2x ＋1x －1(x<0)，则f(x)( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数[答案] A [解析] 令2x ＝1x ，由x<0得x ＝－22，∴在x ＝－22两侧，函数f(x)的单调性不同，排除C 、D ．f(x)＝2x ＋1x －1＝－⎝⎛⎭⎫－2x －1x －1 ≤－2－⎝⎛⎭⎫－1x －1＝－22－1， 等号在x ＝－22时成立，排除B ．3．设x>0，y>0，且xy －(x ＋y)＝1，则( )A ．x ＋y≥2(2＋1)B ．xy≤2＋1C ．x ＋y≤(2＋1)2D ．xy≥2(2＋1)[答案] A [解析] ∵x>0，y>0，∴xy ＝x ＋y ＋1≤(x ＋y 2)2，∴(x ＋y)2－4(x ＋y)－4≥0，当且仅当x ＝y ＝2＋1时等号成立．∴x ＋y≥2＋2 2.故选A ．4．若x ∈R ，则下列不等式成立的是( ) A ．lg(x2＋1)≥lg2x B ．x2＋1>2xC ．1x2＋1<1D ．2x≤＋2 2[答案] D[解析] A 中，x≤0时，不等式不成立；B 中x ＝1时，不等式不成立；C 中x ＝0时，不等式不成立，故选D ．5．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3米B ．4米C ．6米D ．12米[答案] A [解析] 解法一：设隔墙的长度为xm ，则矩形的宽为xm ，长为24－4x 2＝(12－2x)m ，矩形的面积为S ＝(12－2x)x ＝－2x2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S 取最大值，故选A ．解法二：(接解法一)S ＝(12－2x)·x ＝2(6－x)·x≤2·⎝⎛⎭⎫6－x ＋x 22＝18 当且仅当6－x ＝x 即x ＝3时取“＝”．故选A ． 6．已知x>0，y>0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则＋cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D[解析] 因为x ，a ，b ，y 成等差数列，所以a ＋b ＝x ＋y.因为x ，c ，d ，y 成等比数列，所以cd ＝xy ，所以＋cd ＝＋xy ＝x2＋y2＋2xy xy ＝x2＋y2xy ＋2.因为x>0，y>0，所以x2＋y2xy ＋2≥2xy xy ＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立．二、填空题7．已知log2a ＋log2b≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．[答案] 18[解析] 本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，构造定值．∵log2a ＋log2b≥1∴log2ab≥1，ab≥2.∴a·2b≥4，∴a ＋2b≥2a·2b ≥4(当且仅当a ＝2b ＝2时取“＝”)3a ＋9b ＝3a ＋32b≥23a·32b ＝23a ＋2b ≥234＝18.(当且仅当a ＝2b ＝2时取“＝”)8．函数y ＝loga(x ＋3)－1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn>0，则1m ＋2n 的最小值为________．[答案] 8[解析] 函数y ＝loga(x ＋3)－1(a>0，a≠1)的图像恒过点A(－2，－1)，则有2m ＋n －1＝0，即2m ＋n ＝1.又∵mn>0，∴1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ·(2m ＋n)＝4＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥4＋4＝8，当且仅当2m ＝n 时等号成立．三、解答题9．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.[证明] ∵a ＋b ＋c ＝1，代入不等式的左端，∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c －1)＝(b a ＋c a )(a b ＋c b )(a c ＋b c )＝a c ＋b c ＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋2＝(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(c a ＋a c )＋2.∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)，∴a b ＋b a ≥2，c b ＋b c ≥2，c a ＋a c ≥2，∴(a b ＋b a )＋(c b ＋b c )＋(c a ＋a c )≥6，∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．10．设a≥0，b≥0，a2＋b22＝1，求a 1＋b2的最大值．[解析] ∵a2＋b22＝1，∴a2＋1＋b22＝32，a 1＋b2＝2·a·1＋b22≤2·a2＋1＋b222＝2·322＝324.∴当a2＋b22＝1且a ＝1＋b22，即a ＝22，b ＝63时，a 1＋b2的最大值为324.一、选择题1．已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠b ，且f(a)＝f(b)，则a ＋b 的取值范围是() A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[答案] C[解析] 由条件得|lga|＝|lgb|，∴lga ＝lgb 或lga ＝－lgb ，∵a≠b ，∴lga ＝lgb 不成立．∴只有lga ＝－lgB ．即lga ＋lgb ＝0，∴ab ＝1，b ＝1a .又a>0，∴a ＋b ＝a ＋1a >2，故选C ．2．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2B ．函数y ＝x2＋3x2＋2的最小值为2 C ．函数y ＝2－3x －4x (x>0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x (x>0)的最大值为2－4 3[答案] D[解析] 对于A ，当x<0时，不成立；对于B ，若设x2＋3x2＋2＝2，则无实数解；对于C 、D ，y ＝2－3x －4x ≤2－43(x>0)，当且仅当3x ＝4x 时，等号成立，故选D ．3．若直线2ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．14B ．12C ．2D ．4[答案] D[解析] 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b)＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ×a b ＝4 (等号在a ＝b ＝12时成立)．故所求最小值为4，选D ．4．设a 、b 是两个实数，且a≠b ，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a －b －1)，③a b ＋b a >2.上述三个式子恒成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] B[解析] ①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a －b)2(a ＋b)(a2＋ab ＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a －b －1)＝a2－2a ＋b2＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0恒成立；a b ＋b a >2或a b ＋b a <－2，故选B ．二、填空题5．已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a)2＋(x －b)2的最小值为__________．[答案] 12(a －b)2[解析] 从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x －a)＋(b －x)为定值，则用变形不等式a2＋b22≥(a ＋b 2)2更简捷．y ＝(x －a)2＋(x －b)2≥2[－＋－2]2＝－2.当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b 2时，上式等号成立．∴当x ＝a ＋b 2，ymin ＝－2. 6．若实数x 、y 满足x2＋y2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案] 233 [解析] 本题考查了均值不等式灵活运用该知识的能力．由x2＋y2＋xy ＝1可得，(x ＋y)2＝xy ＋1而由均值不等式得xy≤(x ＋y 2)2∴(x ＋y)2≤(x ＋y 2)2＋1整理得，34(x ＋y)2≤1∴x ＋y ∈[－233，233]∴x ＋y 的最大值为233.三、解答题7．已知a>0，b>0，c>0，d>0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ≥4.[证明] ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ＝a b ＋c d ＋b a ＋d c＝(a b ＋b a )＋(c d ＋d c )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b 且c ＝d 时，取“＝”)．8．某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？[解析] (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋－2×4]＝－2n2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为y n ＝－2⎝⎛⎭⎫n ＋49n －20 ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n·49n －20＝12 当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．。
【成才之路】高中数学 1.3 等比数列(第3课时)练习 北师大版必修5
第一章 §3 第3课时一、选择题1．在等比数列{an}(n ∈N ＋)中，若a1＝1，a4＝18，则该数列的前10项和为( ) A ．2－128 B ．2－129C ．2－1210D ．2－1211 [答案] B[解析] ∵a1＝1，a4＝18，∴q3＝a4a1＝18，∴q ＝12.∴S10＝1[1－⎝⎛⎭⎫1210]1－12＝2[1－⎝⎛⎭⎫1210]＝2－129，故选B ．2．等比数列{an}的公比q ＝2，前n 项和为Sn ，则S4a2＝( ) A ．2 B ．4 C ．152 D ．172 [答案] C[解析] 由题意得S4a2＝－1－2a1·2＝152.故选C ．3．等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为( ) A ．－2 B ．1 C ．－2或1 D ．2或－1 [答案] C[解析] 由题意可得，a1＋a1q ＋a1q2＝3a1， ∴q2＋q －2＝0，∴q ＝1或q ＝－2.4．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35 D ．37 [答案] B[解析] 解法一：S5＝－1－q＝－1－2＝1∴a1＝131∴S10＝－1－q＝131－1－2＝33，故选B ．解法二：∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1∴a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)·q5＝1×25＝32 ∴S10＝a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1＋32＝33. 5．已知等比数列{an}中，公比q 是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．514 B ．513 C ．512 D ．510 [答案] D[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a1q3＝18a1q ＋a1q2＝12，解得q ＝2或12.∵q 为整数，∴q ＝2.∴a1＝2.∴S8＝－1－2＝29－2＝510.6．已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，S3＝3，S6＝27，则此等比数列的公比q 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12 [答案] A[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧S3＝－1－q ＝3， ①S6＝－1－q＝27， ②②①得1－q61－q3＝9，解得q3＝8. ∴q ＝2，故选A ． 二、填空题 7．(2013·北京理)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q ＝________，前n 项和Sn ＝________.[答案] 2，Sn ＝2n ＋1－2[解析] 本题考查等比数列的通项公式求和公式及性质的应用问题．a3＋a5＝q(a2＋a4)代入有q ＝2，再根据a2＋a4＝a1q ＋a1q3＝20有a1＝2，所以an ＝2n ，利用求和公式可以得到Sn ＝2n ＋1－2.8．在等比数列{an}中，已知a3＝32，S3＝92则q ＝________.(用数字作答) [答案] 1或12[解析] 若q≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S3＝－1－q ＝92a3＝a1q2＝32解得q ＝1或q ＝－12， ∵q≠1，∴q ＝－12，若q ＝1，则⎩⎨⎧S3＝3a1＝92a3＝a1＝32也合题意，∴q ＝1.综上q 的值为1或－12.三、解答题9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项，公比及前n 项和．[解析] 设该数列的公比为q ，由已知可得 a1q －a1＝2得a1(q －1)＝2.4a1q ＝3a1＋a1q2得q2－4q ＋3＝0解得q ＝3或q ＝1. 由于a1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a1＝1. 所以数列的前n 项和Sn ＝3n －12.10．(2014·福建文，17)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an ；(2)设bn ＝log3an ，求数列{bn}的前n 项和Sn. [解析] (1)设{an}的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a1q ＝3，a1q4＝81， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，q ＝3.因此，an ＝3n －1.(2)因为bn ＝log3an ＝n －1， 所以数列{bn}的前n 项和Sn ＝＋2＝n2－n 2.一、选择题1．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前n 项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( ) A ．152 B ．314 C ．334 D ．172[答案] B[解析] 设公比为q ，则q>0，且a23＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q ＋1＝7， 即6q2－q －1＝0， ∴q ＝12或q ＝－13(舍去)， ∴a1＝1q2＝4.∴S5＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝8⎝⎛⎭⎫1－125＝314. 2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋anan ＋1＝( ) A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C ．323(1－4－n) D ．323(1－2－n) [答案] C[解析] ∵a5a2＝q3＝18，∴q ＝12. ∴an·an ＋1＝4·(12)n －1·4·(12)n ＝25－2n ，故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan ＋1 ＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝－14n1－14＝323(1－4－n)．3．等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或12 [答案] C[解析] 当q ＝1时，满足题意．当q≠1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a1q2＝7－1－q ＝21，解得q ＝－12，故选C ． 4．(2014·全国大纲卷理，10)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3 [答案] C[解析] 本题考查了等比数列和等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和、对数的运算性质．根据条件可知，等比数列的通项公式是an ＝2×(52)n －4，设bn ＝lgan ＝lg2＋(n －4)lg 52，这是一个等差数列，所以它的前8项和是S8＝＋2＝－3lg 52＋lg2＋4lg 522＝4.在等比数列中任意两项的关系时an ＝amqn －m ，一个各项为正的等差数列，取对数后所得到的数列是等差数列． 二、填空题5．在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝4，则公比q ＝________；a1＋a2＋…＋an ＝________. [答案] 2,2n －1－12[解析] 本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n 项和公式可解得． a4a1＝q3＝412＝8，所以q ＝2，所以 a1＋a2＋……＋an ＝12－1－2＝2n －1－12.6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n ∈N*)等于________． [答案] 6[解析] 本题考查等比数列通项公式，前n 项和公式等．记第一天植树a1＝2，则第n 天为an ＝2n ，这n 天总共植树Sn ＝－1－2＝2(2n －1)，令Sn≥100得n≥6，所以最少要6天．本题为填空题，利用列举法更简单． 三、解答题7．设等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an 和Sn.[分析] 设出公比根据条件列出关于a1与q 的方程．求得a1与q 可求得数列的通项公式和前n 项和公式．[解析] 设{an}的公比为q ，由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧ a1q ＝66a1＋a1q2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝3q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝2q ＝3(1)当a1＝3，q ＝2时，an ＝a1·qn －1＝3×2n － 1 Sn ＝－1－q ＝－1－2＝3×(2n －1)(2)当a1＝2，q ＝3时，an ＝a1·qn －1＝2×3n －1 Sn ＝－1－q＝－1－3＝3n －1.综上，an ＝3×2n －1，Sn ＝3×(2n －1)或an ＝2×3n －1，Sn ＝3n －1.8．已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}的前n 项和记为Sn ，证明：Sn<128(n ＝1,2,3，…)． [解析] (1)设等比数列{an}的公比为q(q ∈R 且q≠1)， 由a7＝a1q6＝1，得a1＝q －6，从而a4＝a1q3＝q －3， a5＝a1q4＝q －2，a6＝a1q5＝q －1， 因为a4，a5＋1，a6成等差数列， 所以a4＋a6＝2(a5＋1)即q －3＋q －1＝2(q －2＋1)， q －1(q －2＋1)＝2(q －2＋1)． 所以q ＝12.故an ＝a1qn －1＝q －6·qn －1＝qn －7＝⎝⎛⎭⎫12n －7. (2)证明：Sn ＝－1－q＝64[1－⎝⎛⎭⎫12n]1－12＝128[1－⎝⎛⎭⎫12n]<128.。
【成才之路】高中数学 1.1 数列(第1课时)练习 北师大版必修5
第一章 §1 第1课时一、选择题1．下列有关数列的说法正确的是( )①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关．A ．①②B ．①③C ．②③D ．③[答案] D[解析] ①是错误的，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各项都是3；②是错误的，数列－1,0,1与数列1,0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，故选D ．2．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数． ②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点．③数列的项数是无限的．④数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①②③④[答案] A[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0……的通项可以是an ＝sin nπ2，也可以是an ＝cos ＋2等等．3．已知an ＝n2＋n ，那么( )A ．0是数列中的项B ．20是数列中的项C ．3是数列中的项D ．930不是数列中的项[答案] B[解析] ∵an ＝n(n ＋1)，且n ∈N ＋，∴an 的值为正偶数，故排除A 、C ；令n2＋n ＝20，即n2＋n －20＝0，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)．∴a4＝20，故B 正确； 令n2＋n ＝930，即(n ＋31)(n －30)＝0.∴n ＝30或n ＝－31(舍去)，∴a30＝930，故D 错．4．数列2，5，22，11，…，则25是该数列的( )A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项[答案] B[解析] 数列2，5，22，11，…的一个通项公式为an ＝3n －1(n ∈N ＋)，令25＝3n －1，得n ＝7.故选B ．5．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( )A ．an ＝2n －1B ．an ＝(－1)n(1－2n)C ．an ＝(－1)n(2n －1)D ．an ＝(－1)n(2n ＋1)[答案] B[解析] 当n ＝1时，a1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a2＝－3排除A ，故选B ．6．已知数列12，23，34，45，…，n n ＋1，则0.96是该数列的( ) A ．第22项B ．第24项C ．第26项D ．第28项[答案] B [解析] 因为数列的通项公式为an ＝n n ＋1， 由n n ＋1＝0.96得n ＝24，故选B ． 二、填空题 7．已知数列3，3，15，21，33，…，－，…，则9是这个数列的第________项．[答案] 14[解析] 数列可写为3，3×3，3×5，3×7，3×9，…，－，…，所以an ＝－， 令－＝9.∴n ＝14.8．已知数列{an}的通项公式是an ＝n2＋n ＋1n ＋1，则它的前4项为________． [答案] 32，73，134，215 [解析] 取n ＝1,2,3,4，即可计算出结果．当n ＝1时，a1＝1＋1＋11＋1＝32， 当n ＝2时，a2＝4＋2＋12＋1＝73， 当n ＝3时，a3＝9＋3＋13＋1＝134， 当n ＝4时，a4＝16＋4＋14＋1＝215. 三、解答题 9．根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项．(1)an ＝n2－12n －1；(2)an ＝sin nπ2；(3)an ＝2n ＋1. [解析] (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列{an}的前5项为0,1，85，157，83；(2)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列{an}的前5项为：1,0，－1,0,1；(3)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列{an}的前5项为3,5,9,17,33.10．写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…；(4)3,33,333,3 333, ….[解析] (1)各项是从4开始的偶数，所以an ＝2n ＋2；(2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an ＝2n －12n ；(3)数列中正、负数相间，故每项中必须含有一个(－1)n ＋1这个因式，而后去掉负号，观察可得．将第二项－1写成－55.分母可化为3,5,7,9,11,13，…，为正奇数，而分子可化为12＋1,22＋1,32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，…，故其通项公式可写为an ＝(－1)n ＋1·n2＋12n ＋1； (4)将数列各项写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an ＝13(10n －1).一、选择题1．数列2，－83，4，－325，…的通项公式是( )A ．an ＝2n(n ∈N ＋)B ．an ＝－2n －1(n ∈N ＋)C ．an ＝－＋1n ＋1(n ∈N ＋)D ．an ＝2n 2n －1(n ∈N ＋) [答案] C[解析] 观察数列前n 项的变化规律，即可得出．2．已知数列{an}的通项公式为an ＝n2－14n ＋65，则下列叙述正确的是( )A ．20不是这个数列中的项B ．只有第5项是20C ．只有第9项是20D ．这个数列第5项、第9项都是20[答案] D[解析] 令an ＝20，得n2－14n ＋45＝0，解得n ＝5或n ＝9，故选D ．3．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是( )A ．an ＝n 2[1＋(－1)n]B ．an ＝n ＋12[1＋(－1)n ＋1]C ．an ＝n 2[1＋(－1)n ＋1]D ．an ＝n ＋12[1＋(－1)n][答案] B[解析] 经验证可知B 符合要求．4．已知数列{an}的通项公式是an ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ＋为奇数2n －为偶数，则a2a3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8[答案] C[解析] 由通项公式可得a2＝2，a3＝10，∴a2a3＝20.二、填空题5．在数列{an}中，a1＝2，a2＝1，且an ＋2＝3an ＋1－an ，则a6＋a4－3a5＝________.[答案] 0[解析] 解法一：∵a1＝2，a2＝1，an ＋2＝3an ＋1－an ，∴a3＝3a2－a1＝3×1－2＝1，a4＝3a3－a2＝3×1－1＝2，a5＝3a4－a3＝3×2－1＝5，a6＝3a5－a4＝3×5－2＝13，∴a6＋a4－3a5＝13＋2－3×5＝0.解法二：∵an ＋2＝3an ＋1－an ，令n ＝4，则有a6＝3a5－a4，∴a6＋a4－3a5＝0.6．已知数列{an}的通项公式an ＝n2－4n －12(n ∈N ＋)则(1)这个数列的第4项是________；(2)65是这个数列的第________项；(3)这个数列从第________项起各项为正数．[答案] (1)－12 (2)11 (3)7[解析] (1)由a4＝42－4×4－12＝－12，得第4项是－12；(2)由an ＝n2－4n －12＝65，得n ＝11或n ＝－7(舍去)，∴65是第11项；(3)设从第n 项起各项为正数，由⎩⎪⎨⎪⎧ an>0，an －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n2－4n －12>0，n2－6n －7≤0，解得6<n≤7. 又∵n 是正整数，∴n ＝7，即从第7项起各项为正数．三、解答题7．已知数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n 的一次函数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)88是否是数列{an}中的项？[解析] (1)设an ＝an ＋b ，∴a1＝a ＋b ＝2，①a17＝17a ＋b ＝66，②②－①得16a ＝64，∴a ＝4，b ＝－2，∴an ＝4n －2(n ∈N ＋)．(2)令4n －2＝88，∴4n ＝90，n ＝452∉N ＋(舍去)，∴88不是数列{an}中的项．8．(1)在数列1，5，3，13，17，…中，35是数列的第几项？(2)已知无穷数列：1×2,2×3,3×4，…，n(n ＋1)，…，判断420与421是否为该数列的项？若是，应为第几项？[解析] (1)∵a1＝1＝1，a2＝5＝1＋4，a3＝1＋4×2，a4＝1＋4×3，由此归纳得an ＝1＋－＝4n －3.令an ＝4n －3＝35，∴n ＝12.故35是此数列的第12项．(2)由an ＝n(n ＋1)＝420，解得n ＝20或n ＝－21(舍去)，故420是此数列的第20项．由an ＝n(n ＋1)＝421，得n2＋n －421＝0，此方程无正整数解，故421不是该数列中的项．[方法总结] 数列{an}的通项公式为an ＝f(n)，对于一个数m ，若m 是此数列中的项，则方程f(n)＝m 必有正整数解；反之，若f(n)＝m 无正整数解，则m 肯定不是此数列中的项．。
成才之路春高中数学北师大必修5同步练习：第3章不等式§4第1课时含解析
成才之路春高中数学北师大必修5同步练习：第3章不等式§4第1课时含解析第三章§4 第1课时一、选择题1．不等式x＋3y－1<0表示的平面区域在直线x＋3y－1＝0的() A．右上方B．右下方C．左下方D．左上方[答案] C[解析]画出不等式x＋3y－1<0表示的平面区域如图所示．2．不等式x－y＋1≥0表示的平面区域是()[答案] B[解析]将点(0,0)代入不等式，得1≥0成立，排除C、D，将点(－2,0)代入不等式，得－1≥0，不成立，排除A，故选B.3．当a≠0时，不等式x＋(a－1)y＋3>0表示()A．直线x＋(a－1)y＋3＝0上方的平面区域B．直线x＋(a－1)y＋3＝0下方的平面区域C．当a>1时表示直线x＋(a－1)y＋3＝0上方的平面区域，当a<1时表示直线x＋(a－1)y ＋3＝0下方的平面区域D．当a<1时表示直线x＋(a－1)y＋3＝0上方的平面区域，当a>1时表示直线x＋(a－1)y ＋3＝0下方的平面区域[答案] C[解析]本题考查二元一次不等式与平面区域．可以取特值检验，当a＝2时，x＋y＋3>0表示直线x＋y＋3＝0上方的平面区域，当a＝0时，x－y＋3>0表示直线x－y＋3＝0下方的平面区域，故排除A、B、D，故选C.4．(2016·山东潍坊测试)不等式组(x－y＋1)(x＋y＋1)≥0，－1≤x≤2，表示的平面区域是()A．两个三角形B．一个三角形C．梯形D．等腰梯形[答案] B[解析]如图所示，(x－y＋1)(x＋y＋1)≥0表示如图(1)所示的对角区域，且两直线交于点A(－1,0)．故添加条件－1≤x≤2后表示的区域如图(2)．5．直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个[答案] B[解析]本题考查不等式(组)表示平面区域，考查学生分析问题的能力．不等式(组)表示可行域的画法，“直线定界，特殊点定域”．可行域如图所示．由于－2<－43，且直线2x ＋y －10＝0过(5,0)点，所以交点个数为1个，是(5,0)．6．原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0两侧，则a 的取值范围是( ) A ．a <0或a >2 B ．a ＝2或a ＝0 C ．0<="" ．0≤a=""> <="" ．0≤a="">[答案] C<="" ．0≤a="">[解析] 根据点(0,0)和点(1,1)位于直线x ＋y －a ＝0的两侧可得(－a )(2－a )<0，解得0<=""><="">7．点(1,2)和点(－1,3)在直线2x ＋ay －1＝0的同一侧，则实数a 的取值范围是________． [答案] (－∞，－1<="">2<="">)∪(1，＋∞)<="">[解析] ∵(2a ＋1)(3a －3)＞0，∴a ＜－1<="">2或a ＞1.<="">8.<="">?<="">4x ＋3y <12，x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是________．<="">[答案] 5<="">[解析] x ＝0时0≤y <1，∴可取(0,0) x ＝1时0≤y <2，∴可取(1,0)，(1,1) x ＝2时0≤y <43，<="">可取(2,0)，(2,1)<="">∴有下列整点(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，共5个．<=""><=""><="">三、解答题<="">9．(2016·济南高二检测)在△ABC 中，各顶点坐标分别为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组．<="">[解析] 如图所示．<=""><=""><="">可求得直线AB ，BC ，CA 的方程分别为x ＋2y －1＝0，x －y ＋2＝0,2x ＋y －5＝0.<="">由于△ABC 区域在直线AB 右上方，∴x ＋2y －1≥0；在直线BC 右下方，∴x －y ＋2≥0；在直线AC 左下方，∴2x ＋y －5≤0. ∴△ABC 区域可表示为<="">?<="">x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，<="">2x ＋y －5≤0.<=""><="">10．画出不等式组<="">?<="">x ＋y ≤5x －2y >3，表示的平面区域.<="">x ＋2y ≥0<=""><="">[解析] 不等式x ＋y ≤5表示直线x ＋y ＝<="">5及其左下方的区域，<=""><=""><="">不等式x －2y >3表示直线x －2y ＝3右下方区域，不等式x ＋2y ≥0表示直线x ＋2y ＝0及其右上方区域，<="">故不等式组表示的平面区域如图所示.<=""><=""><="">一、选择题<="">1．如图中阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组来表示的是(<="">)<=""><=""><=""><="">A. x ＋y －1>0，2x ＋3y －6<0，x －y －1≥0，x－2y ＋2≤0<=""><="">B. x ＋y －1<0，2x ＋3y －6≥0，x －y －1≥0，x －2y ＋2<0<="">C.<="">x ＋y －1>0，2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0<="">D.<="">x ＋y －1≥0，2x ＋3y －6<0，x －y －1<0，x －2y ＋2≥0<=""><="">[答案] C<="">[解析] 先求出边界直线方程．然后利用口诀“上则同号，下则异号”得出二元一次不等式．<="">2．在平面直角坐标系中，若点A (－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )<="">A ．(－∞，1)<="">B ．(1，＋∞)<="">C ．(－1，＋∞)<="">D ．(0,1)<="">[答案] B<="">[解析] 在直线方程x －2y ＋4＝0中，令x ＝－2，则y ＝1，则点P (－2,1)在直线x －2y ＋4＝0上，又点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，如图知，t 的取值范围是t >1，故选B.<="">3．不等式组<="">?<="">2x ＋y －6≤0x ＋y －3≥0<="">y ≤2，表示的平面区域的面积为( )<="">A ．4<="">B ．1<="">C ．5<="">D ．无穷大<="">[答案] B<="">[解析] 如图，作出可行域，△ABC 的面积，即为所求，易得A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则S<="">△ABC ＝<="">1<="">2<="">×1×2＝1.<="">4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为23，请木工需付工资每人50元，请瓦工<="">需付工资每人40，现有工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的限制条件是( )<="">A.?<=""><="">2x ＋3y ≤5，<="">x 、y ∈N ＋ B.<="">?<="">50x ＋40y ≤2000，x y ＝23<=""><="">C.<="">5x ＋4y ≤200，<="">x y ＝23，x 、y ∈N<="">＋<=""><="">D.<="">5x ＋6y <100，x y ＝23<=""><="">[答案] C<="">[解析] 排除法：∵x 、y ∈N ＋，排除B 、D . 又∵x 与y 的比为2 3.故排除A. 二、填空题<="">5．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,4)，B (－2,0)，C (2,0)，则△ABC 内任意点(x ，y )所满足的条件为________．<="">[答案]<="">?<="">y >0，2x －y ＋4>0，<="">2x ＋y －4<0<=""><="">[解析] 分别求三边的直线方程，易得y ＝0,2x －y ＋4＝0,2x ＋y －4＝0.在三角形内找一点(0,1)以确定各不等式的不等号的方向．因不包括边界，所求三个不等式分别为：y >0,2x －y ＋4>0,2x ＋y －4<0.<="">6．不等式|x |＋|y |≤2所表示的平面区域的面积为________． [答案] 8<="">[解析] 不等式|x |＋|y |≤2等价于不等式组<="">x ＋y －2≤0(x ≥0，y ≥0)<="">x －y －2≤0(x ≥0，y <0)<="">x －y ＋2≥0(x <0，y ≥0)<="">x ＋y ＋2≥0(x <0，y <0)<="">，<="">画出不等式组表示的平面区域如图所示．<=""><=""><="">由图可知，四边形ABCD为正方形，<="">|AB|＝22，∴S＝(22)2<=""><="">＝8.<="">三、解答题<="">7．某运输公司接受了向抗震救灾地区每天至少送180吨支援物资的任务．已知该公司有8辆载重6吨的A型卡车和4辆载重为10 吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为：A 型卡车4次，B型卡车3次．列出调配车辆的数学关系式，画出平面区域．[解析]设每天派出A型车x辆、B型车y辆，<="">则<="">??<="">?<="">?<="">?x＋y≤10<="">24x＋30y≥180<="">x≤8<="">y≤4<="">x，y∈N＋<="">，即<="">??<="">?<="">?<="">?x＋y≤10<="">4x＋5y≥30<="">x≤8<="">y≤4<="">x，y∈N＋<="">.<="">画出平面区域如图中阴影部分．<="">8．如图所示，在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．<="">[解析] 解法一：由两点式得AB 、BC 、CA 的直线方程并化简． AB ：x ＋2y －1＝0，BC ：x －y ＋2＝0；CA ：2x ＋y －5＝0.<="">∵原点(0,0)不在每条线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组<=""><="">?<="">x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0<="">.<="">解法二：由AB 的方程及三角形区域在AB 右方，得不等式x ＋2y －1≥0. 同理得x －y ＋2≥0.<="">由CA 的方程及三角形区域在CA 左方，得不等式2x ＋y －5≤0.<="">从而可得不等式组<="">?<="">x ＋2y －1≥0<="">x －y ＋2≥0<="">2x ＋y －5≤0<="">.<="">。
【成才之路】高中数学(北师大版·必修5)配套练习：2.2三角形中的几何计算
第二章 §2一、选择题1．在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，S △ABC ＝32，则BC 的长为( )A ．7B ．7C ．3D ．3[答案] C[解析] ∵S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12×2×AC ×32＝32，∴AC ＝1. 则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3∴BC ＝3，故选C ．2．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 [答案] A[解析] 由题意，得S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ＝3， ∴sin A ＝32，又∵A ∈(0，π2)， ∴cos A ＝12.∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝4×1×12＝2.3．在△ABC 中，lg a －lg b ＝lgsin B ＝－lg 2，∠B 为锐角，则∠A 的值是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°[答案] A[解析] 由题意得a b ＝sin B ＝22，又∵∠B 为锐角，∴B ＝45°，又a b ＝sin A sin B ＝22，sin A ＝sin B ×22＝12，∴∠A ＝30°.4．(2013·新课标Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5[答案] D[解析] 由倍角公式得23cos 2A ＋cos2A ＝25 cos 2A －1＝0，cos 2A ＝125，△ABC 为锐角三角形cos A ＝15，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2－125b －13＝0，即5b 2－12b －65＝0，解方程得b ＝5.5．在△ABC 中，周长为7.5 cm ，且sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，下列结论： ①a ∶b ∶c ＝4∶5∶6 ②a ∶b ∶c ＝2∶5∶ 6 ③a ＝2 cm ，b ＝2.5 cm ，c ＝3 cm ④A ∶B ∶C ＝4∶5∶6 其中成立的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 [答案] C[解析] 由正弦定理知a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，故①对，②错，④错；结合a ＋b ＋c ＝7.5，知a ＝2，b ＝2.5，c ＝3，∴③对，∴选C ．6．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则a sin A 为( )A ．8381B ．2393C ．2633D ．27 [答案] B[解析] 由12bc sin A ＝3得c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13， 故a ＝13.所以a sin A ＝1332＝2393，选B ．二、填空题7．(2014·北京文，12)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________.[答案] 2158[解析] 本题考查了余弦定理，同角基本关系式及正弦定理． c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2，∵cos C ＝14，∴sin C ＝154，由正弦定理得1sin A ＝2154，∴sin A ＝158，在△ABC 中，A ∈(0，π)，所以sin A >0恒成立．8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．[答案]2[解析] 在△ABC 中，由余弦定理得： cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝4＋12－42×2×23＝32，∴∠C ＝30°.在△ADC 中由正弦定理，得：AD sin C ＝ACsin ∠ADC ，∴AD 12＝222.故AD ＝ 2. 三、解答题9．(2013·全国大纲)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝aC ．(1)求B ； (2)若sin A sin C ＝3－14，求C ．[解析] (1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－aC ． 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以 cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝12＋2×3－14 ＝32. 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°.10．(2014·北京理，15)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．[解析] (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437，所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.一、选择题1．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a ，则a 的取值范围是( ) A ．(8,10) B ．(22，10) C ．(22，10) D ．(10，8)[答案] B[解析] 若a 是最大边，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3>a12＋32>a 2，∴3≤a <10.若3是最大边，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋a >312＋a 2>32，∴3>a >8，∴22<a <10.2．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－12，0)D ．(12，＋∞)[答案] D[解析] 由正弦定理知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，又因为三角形两边之和大于第三边，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋(k ＋1)>2k (k ＋1)＋2k >k k ＋2k >k ＋1，所以k >12，故选D ．3．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形[答案] B[解析] ∵2sin A cos B ＝sin(A ＋B )，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ．4．在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2B ．x <2C ．2<x <433D ．2<x ≤433[答案] C[解析] 欲使△ABC 有两解，须a sin60°<b <A ． 即32x <2<x ，∴2<x <433. 二、填空题5．(2014·新课标Ⅰ理，16)已知a ，b ，c 分别为 △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．[答案]3[解析] 本题考查正弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式，由正弦定理可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即2a －2b ＋ab ＝b 2＋c 2－bc ，将a ＝2代入可得b 2＋c 2－bc ＝4，所以4≥bC ．当且仅当b ＝c ＝2时等号成立，所以S △ABC ＝12bc sin A ，当角A ＝60°时有最大值为 3.当一个式子中出现正弦函数以及边的关系时，要注意运用正弦定理转化为边的关系或者正弦函数得到形式，达到化简的目的，利用基本不等式，特别要注意等号成立的条件，否则容易出错．6．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．[答案] 15 3[解析] 本题主要考查等差数列的概念，余弦定理的应用与三角形的面积公式． 设三角形的三边依次为a －4，a ，a ＋4，∴a ＋4的边所对的角为120°.由余弦定理得(a ＋4)2＝a 2＋(a －4)2－2a (a －4)cos120°，则a ＝10，所以三边长为6,10,14， S △ABC ＝12×6×10×sin120°＝15 3.三、解答题7．(2014·湖南理，18)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长． [解析] (1)由△DAC 关于∠CAD 的余弦定理可得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－DC 22AD ·AC ＝1＋7－42×1×7＝277，所以cos ∠CAD ＝277.(2)因为∠BAD 为四边形内角，所以sin ∠BAD >0且sin ∠CAD >0，则由正余弦的关系可得 sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝18914且sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217， 再有正弦的和差角公式可得 sin ∠BAC ＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －sin ∠CAD cos ∠BAD ＝18914×277－217×(－714)＝337＋314＝37， 再由△ABC 的正弦定理可得AC sin ∠CBA ＝BC sin ∠BAC ⇒BC ＝7(216)×37＝67.8．在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积． [解析] (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B,0<A <π4.∴cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63. 又由正弦定理，得BC sin A ＝ACsin B ，∴BC ＝AC sin Asin B＝6×3313＝3 2.∵C －A ＝π2，∴C ＝π2＋A ，∴sin C ＝sin(π2＋A )＝cos A ＝63，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×6×32×63＝3 2.。
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第一章 §3 第2课时一、选择题1．等比数列中，a 5a 14＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11＝( )A ．10B ．25C ．50D ．75 [答案] B[解析] a 8·a 11＝a 9·a 10＝a 5·a 14，∴a 8·a 9·a 10·a 11＝(a 5·a 14)2＝25.2．在等比数列{a n }中，a 4＝6，a 8＝18，则a 12＝( )A ．24B ．30C ．54D ．108 [答案] C[解析] ∵a 8＝a 4q 4，∴q 4＝a 8a 4＝186＝3， ∴a 12＝a 8·q 4＝54.3．在等比数列{a n }中，a 3＝2－a 2，a 5＝16－a 4，则a 6＋a 7的值为( )A ．124B ．128C ．130D ．132 [答案] B[解析] ∵a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＝16，又a 4＋a 5＝(a 2＋a 3)q 2，∴q 2＝8.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝16×8＝128.4．已知{a n }为等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20[答案] A[解析] ∵a 23＝a 2a 4，a 25＝a 4a 6， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， ∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.5．(2016·济南高二检测)已知{a n }是等比数列，a 4·a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则公比q 为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12[答案] B[解析] a 4·a 7＝a 3·a 8＝－512，又a 3＋a 8＝124， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝128，a 8＝－4，因为公比为整数， 故⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－4，a 8＝128，q 5＝a 8a 3＝－32，q ＝－2. 6．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于( ) A.32B.23C.16D ．6 [答案] A [解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 7·a 11＝a 4·a 14＝6a 4＋a 14＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝3a 14＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2a 14＝3. 又∵a n >a n ＋1，∴a 4＝3，a 14＝2.∴a 6a 16＝a 4a 14＝32. 二、填空题7．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.[答案] 16[解析] ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.8．等比数列{a n }中，a n >0，且a 5·a 6＝9，则log 3a 2＋log 3a 9＝________.[答案] 2[解析] ∵a n >0，∴log 3a 2＋log 3a 9＝log 3a 2a 9＝log 3a 5a 6＝log 39＝log 332＝2.三、解答题9．已知{a n }为等比数列，且a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，求a 11.[解析] ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64，又a 3＋a 7＝20，∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根．∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4，当a 3＝4时，a 3＋a 7＝a 3＋a 3q 4＝20，∴1＋q 4＝5，∴q 4＝4.当a 3＝16时，a 3＋a 7＝a 3(1＋q 4)＝20，∴1＋q 4＝54，∴q 4＝14. ∴a 11＝a 1q 10＝a 3q 8＝64或1.10．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项公式a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式．[解析] (1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，即a n ＝－2n ＋21；S n ＝19n ＋n (n －1)2×(－2) ＝－n 2＋20n ，即S n ＝－n 2＋20n .(2)因为{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以b n －a n ＝3n －1，即b n ＝3n －1＋a n ＝3n －1－2n ＋21.一、选择题1．(2015·新课标Ⅱ)已知等比数列{}a n 满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2B ．1 C.12D.18[答案] C[解析] 解法一：根据等比数列的性质，结合已知条件求出a 4，q 后求解．∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)， ∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2.∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C. 解法二：直接利用等比数列的通项公式，结合已知条件求出q 后求解．∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2， ∴a 2＝a 1q ＝12，故选C. 2．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋2B ．1－ 2C ．3＋22D ．3－2 2[答案] C[解析] 设数列{a n }的公比为q ，由已知可得a 3＝a 1＋2a 2⇒q 2－2q －1＝0，q ＝1＋2或1－2(舍)，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 3．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215[答案] B[解析] 设A ＝a 1a 4a 7…a 28，B ＝a 2a 5a 8…a 29，C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220.4．在数列{a n}中，a1＝2，当n为奇数时，a n＋1＝a n＋2；当n为偶数时，a n＋1＝2a n－1，则a12等于()A．32B．34C．66D．64[答案] C[解析]依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C.二、填空题5．已知{a n}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.[答案] 2[解析]本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解得．解析：a4－a3＝a2q2－a2q＝4，因为a2＝2，所以q2－q－2＝0，解得q＝－1，或q＝2.因为a n为递增数列，所以q＝2.6．如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推，设BA ＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.[答案]14[解析]由题意知数列{a n}是首项a1＝2，公比q＝22的等比数列，则a7＝a1q6＝2×(22)6＝14.三、解答题7．设{a n}是各项均为正数的等比数列，b n＝log2a n，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .[解析] 由b 1＋b 2＋b 3＝3，得log 2(a 1· a 2·a 3)＝3，∴a 1·a 2·a 3＝23＝8，∵a 22＝a 1·a 3，∴a 2＝2，又b 1·b 2·b 3＝－3， 设等比数列{a n }的公比为q ，得log 2(2q)·log 2(2q )＝－3. 解得q ＝4或14， ∴所求等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2·q n －2＝22n －3或a n ＝25－2n .8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n}的通项公式．[解析] 设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22 得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.。