2021-2022年高中数学课时作业9正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性新人教A版

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高中数学学案正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

第2课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性1.周期函数(1)周期函数.条件①对于函数f(x),存在一个非零常数T②当x取定义域内的每一个值时,都有f(x＋T)＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期.条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期状元随笔关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期,如常数函数f(x)＝C,对于任意非零常数T,都有f(x＋T)＝f(x),即任意常数T都是函数的周期,因此没有最小正周期．(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B,y＝Acos(ωx＋φ)＋B,可以利用公式T＝2π|ω|求最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数状元随笔关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y 轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果存在常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x＋T)＝f(x),那么这个函数的周期为T.( )(2)如果存在非零常数T,使得定义域内存在一个值x,有f(x＋T)＝f(x),那么这个函数的周期为T.( )(3)函数y ＝sin x,x∈(－π,π]是奇函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．下列函数中,周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析：对于A,T ＝2π12＝4π,对于B,T ＝2π2＝π,对于C,T ＝2π14＝8π,对于D,T ＝2π4＝π2.答案：D3．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：由于x∈R ,且f(－x)＝sin x ＝－sin(－x)＝－f(x),所以f(x)为奇函数,故选A. 答案：A4．下列函数中是偶函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝－sin x C ．y ＝sin|x| D ．y ＝sin x ＋1解析：A 、B 是奇函数,D 是非奇非偶函数,C 符合f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x),∴y＝sin|x|是偶函数．答案：C类型一求三角函数的周期例1 (1)下列函数中,不是周期函数的是( ) A.y ＝|cos x| B ．y ＝cos|x| C ．y ＝|sin x|D ．y ＝sin|x|(2)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的周期为________．【解析】 (1)画出y ＝sin|x|的图象,易知y ＝sin|x|不是周期函数．(2)方法一因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6, 即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6.所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.方法二函数的周期T ＝2π|ω|＝2π13＝6π.【答案】 (1)D (2)6π(1)作出函数的图象,根据周期的定义判断．(2)利用周期的定义,需要满足f(x ＋T)＝f(x) ；也可利用公式T ＝2π|ω|计算周期．方法归纳求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义,寻求对任意实数x 都满足f(x ＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝Asin(ωx＋φ)和y ＝Acos(ωx＋φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0),可利用T ＝2π|ω|来求． (3)图象法：可画出函数的图象,借助于图象判断函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．跟踪训练1 求下列函数的周期． (1)y ＝2sin 2x ；(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.解析：(1)方法一因为2sin(2x ＋2π)＝2sin 2x,即2sin 2(x ＋π)＝2sin 2x. 由周期函数的定义,可知原函数的周期为π.方法二 T ＝2π2＝π.(2)方法一因为cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6,即cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.由周期函数的定义,可知原函数的周期为4π. 方法二 T ＝2π12＝4π(1)利用周期的定义求函数周期． (2)利用公式T ＝2π|ω |求函数周期．类型二正、余弦函数的奇偶性问题例2 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2； (2)f(x)＝sin(cos x)．【解析】 (1)函数的定义域为R.且f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x.因为f(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x ＝－f(x),所以函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R.且f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cos x)＝f(x), 所以函数f(x)＝sin(cos x)是偶函数.先用诱导公式化简,再利用定义法判断函数的奇偶性．方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f(x)的定义域不关于原点对称,无论f(－x)与f(x)有何关系,f(x)仍然是非奇非偶函数．跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sin x|＋cos x ；所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＝12 利用周期性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6代入求值．1.4.1-2.2[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( ) A.π3B ．3π C.2π3 D.3π2解析：该函数的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：C2．函数f(x)＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：因为f(x)的定义域是R,且f(－x)＝2sin 2(－x)＝－2sin 2x ＝－f(x), 所以函数f(x)为奇函数．答案：A3．函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＋1 005π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＝－cos 2 010x, f(x)定义域为R,且f(－x)＝－cos(－2 010x)＝－cos 2 010x ＝f(x), 所以函数f(x)为偶函数．答案：B4．函数f(x)＝xsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ( )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：由题,得函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(x)＝xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝xcos x,所以f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcos x ＝－f(x),所以函数f(x)为奇函数．答案：A5．下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x| B ．y ＝|sin x|C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2xD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x解析：y ＝cos|2x|是偶函数；y ＝|sin x|是偶函数； y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数；y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数,且其最小正周期T ＝π.答案：D二、填空题(每小题5分,共15分)6．f(x)＝sin xcos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x∈R 时,f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x ＝－f(x),即f(x)是奇函数．答案：奇 7．函数y ＝cos1－x π2的最小正周期是________．解析：∵y＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2x ＋π2,∴T＝2ππ2＝2π×2π＝4.答案：48．函数f(x)是以2为周期的函数,且f(2)＝3,则f(8)＝________. 解析：∵f(x)的周期为2, ∴f(x＋2)＝f(x),∴f(8)＝f(2＋3×2)＝f(2)＝3. 答案：3三、解答题(每小题10分,共20分) 9．求下列函数的最小正周期： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6；(2)y ＝|sin x 2|. 解析：(1)利用公式T ＝2π|ω|,可得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6的最小正周期为T ＝2π|－2|＝π. (2)易知函数y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝2π12＝4π,而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是由函数y ＝sin x 2的图象将在x 轴下方部分翻折到上方后得到的,此时函数周期减半,即y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为2π. 10．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝3cos 2x ；(2)f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(3)f(x)＝x·cos x. 解析：(1)因为x∈R ,f(－x)＝3cos(－2x)＝3cos 2x ＝f(x), 所以f(x)＝3cos 2x 是偶函数． (2)因为x∈R ,f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4,所以f(－x)＝－cos 3－x 4＝－cos 3x 4＝f(x),所以函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(3)因为x∈R ,f(－x)＝－x·cos(－x)＝－x·cos x＝－f(x), 所以f(x)＝xcos x 是奇函数． [能力提升](20分钟,40分) 11．下列说法中正确的是( )A ．当x ＝π2时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≠sin x ,所以π6不是f(x)＝sin x 的周期B ．当x ＝5π12时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x,所以π6是f(x)＝sin x 的一个周期C ．因为sin(π－x)＝sin x,所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x,所以π2是y ＝cos x 的一个周期解析：若T 是f(x)的周期,则对于f(x)的定义域内任意x 都有f(x ＋T)＝f(x)成立,B,C,D 错误．答案：A12．若函数f(x)的定义域为R,最小正周期为3π2,且满足f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x<0，sin x ，0≤x<π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：2213．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x|.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是,求出它的最小正周期．解析：(1)y ＝12cos x ＋12|cos x|＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2k∈Z ，0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2k∈Z ，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数,且最小正周期是2π. 14．已知f(x)是R 上的奇函数,且f(x ＋2)＝－f(x)． (1)求证：f(x)是以4为周期的函数； (2)当0≤x≤1时,f(x)＝x,求f(7.5)的值．解析：(1)证明：f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－f(x ＋2)＝－[－f(x)]＝f(x), 所以f(x)是以4为周期的函数． (2)由(1)可知f(x ＋4)＝f(x),所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.。

高中数学三角函数正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性讲义新人教A版必修一第一册

第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性知识点一周期函数1．周期函数状元随笔关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．(2)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B，y＝A cos(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝2π|ω|求最小正周期．知识点二正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性状元随笔关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．[教材解难]1．教材P202思考函数的周期性与解析式中x的系数有关．2．教材P202思考知道了一个函数的周期性和奇偶性能更容易画出函数的图象，从而得到函数的性质． [基础自测]1．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析：对于A ，T ＝2π12＝4π，对于B ，T ＝2π2＝π，对于C ，T ＝2π14＝8π，对于D ，T ＝2π4＝π2.答案：D2．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故选A.答案：A3．下列函数中是偶函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝－sin x C ．y ＝sin|x | D ．y ＝sin x ＋1解析：A 、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，∴y ＝sin|x |是偶函数．答案：C 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，又因为cos(－x )＝cos x ，为偶函数，所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y 轴对称．答案：B题型一求三角函数的周期[教材P 201例2] 例1 求下列函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x ∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R .【解析】 (1)∀x ∈R ，有3sin(x ＋2π)＝3sin x . 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.(2)令z ＝2x ，由x ∈R 得z ∈R ，且y ＝cos z 的周期为2π，即cos(z ＋2π)＝cos z ，于是cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，所以cos 2(x ＋π)＝cos 2x ，x ∈R .由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)令z ＝12x －π6，由x ∈R 得z ∈R ，且y ＝2sin z 的周期为2π，即2sin(z ＋2π)＝2sinz ，于是2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋4π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.状元随笔通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x ＋T)＝f(x)而求出相应的周期．对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x ＋T)＝cos 2x ，x∈R ；对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋T )－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R .教材反思求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω>0)，可利用T ＝2πω来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．跟踪训练1 (1)下列函数中，不是周期函数的是( ) A.y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x |(2)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的周期为________．解析：(1)画出y ＝sin|x |的图象，易知y ＝sin|x |不是周期函数．(2)方法一因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6，即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(x ＋6π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. 所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.方法二函数的周期T ＝2π|ω|＝2π13＝6π.答案：(1)D (2)6π(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．(2)利用周期的定义，需要满足f(x ＋T)＝f(x) ；也可利用公式T ＝2π|ω|计算周期．题型二正、余弦函数的奇偶性问题[经典例题] 例2 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2； (2)f (x )＝sin(cos x )．【解析】 (1)函数的定义域为R .且f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x .因为f (－x )＝－sin(－2x )＝sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R .且f (－x )＝sin[cos(－x )]＝sin(cos x )＝f (x )，所以函数f (x )＝sin(cos x )是偶函数.先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性．方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f (x )的定义域不关于原点对称，无论f (－x )与f (x )有何关系，f (x )仍然是非奇非偶函数．跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. 解析：(1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． (1)利用定义法判断函数的奇偶性．(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cos x 的值以及x 的值，最后判断函数的奇偶性．题型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[经典例题]例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．【解析】因为f (x )的最小正周期是π，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，因为f (x )是R 上的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.利用周期性 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，再利用奇偶性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，最后代入求值．方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (A ω≠0)或y ＝A cos ωx (A ω≠0)其中的一个．跟踪训练3 若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π的值．解析：因为f (x )的最小正周期是π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＝12利用周期性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6代入求值．课时作业 34一、选择题1．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( ) A.π3B ．3π C.2π3 D.3π2解析：该函数的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：C2．函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：因为f (x )的定义域是R ，且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．答案：A3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＋1 005π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＝－cos 2 010x ， f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－cos(－2 010x )＝－cos 2010x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数．答案：B4．函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ( )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝x cosx ，所以f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．答案：A 二、填空题5．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数．答案：奇6．函数y ＝cos (1－x )π2的最小正周期是________．解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2x ＋π2，∴T ＝2ππ2＝2π×2π＝4.答案：47．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (8)＝________. 解析：∵f (x )的周期为2， ∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (8)＝f (2＋3×2)＝f (2)＝3.答案：3 三、解答题8．求下列函数的最小正周期： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6；(2)y ＝|sin x 2|. 解析：(1)利用公式T ＝2π|ω|，可得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6的最小正周期为T ＝2π|－2|＝π. (2)易知函数y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝2π12＝4π，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是由函数y ＝sin x 2的图象将在x 轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为2π.9．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3cos 2x ；(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(3)f (x )＝x ·cos x . 解析：(1)因为x ∈R ，f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos 2x ＝f (x )，所以f (x )＝3cos 2x 是偶函数． (2)因为x ∈R ，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，所以f (－x )＝－cos 3(－x )4＝－cos 3x 4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(3)因为x ∈R ，f (－x )＝－x ·cos(－x )＝－x ·cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝x cos x 是奇函数． [尖子生题库]10．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解析：(1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.。

高中数学课时分层作业9 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性新人教A版必修4

课时分层作业(九) 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝cos x2C ．y ＝cos xD ．y ＝cos 2xD [A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求．] 2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )B [由f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．由f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的周期为2.故选B.]3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于( ) 【导学号：84352090】A ．5B ．10C ．15D ．20B [由已知得2π|ω|＝π5，又ω＞0，所以2πω＝π5，ω＝10.]4．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期为( ) A ．π2B ．πC ．2πD ．4πB [因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝|cos x |的图象(略)知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π.]5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2B [由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1.]二、填空题6．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中错误的是________(填序号).【导学号：84352091】①④ [φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数．]7．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,4)，则正整数ω的最大值为________．6 [T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π，∴ω的最大值是6.]8．若f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝cos x －sin x ，当x ＜0时，f (x )的解析式为________．f (x )＝－cos x －sin x [x ＜0时，－x ＞0， f (－x )＝cos(－x )－sin(－x )＝cos x ＋sin x ，因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－cos x －sin x ，即x ＜0时，f (x )＝－cos x －sin x ．] 三、解答题9．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． [解] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋πk ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k πk ∈Z ，图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π. 10．判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性.【导学号：84352092】[解] ∵f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin2－x ]＝lg(1＋sin 2x －sin x )＝lg＋sin 2x －sin 2x1＋sin 2x ＋sin x＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )－1＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x ) ＝－f (x )．又当x ∈R 时，均有sin x ＋1＋sin 2x ＞0， ∴f (x )是奇函数．[冲A 挑战练]1．函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数C [由1＋sin x ≠0得sin x ≠－1，所以函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠2k π－π2，k ∈Z，不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数．]2．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )【导学号：84352093】A ．32B ．－32C ．0D ． 3D [∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017)＋f (2 018)＝336⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＋f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝336×0＋f (1)＋f (2)＝sin π3＋sin 23π＝ 3.]3．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图144所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是______________________．图144⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 [∵f (x )是(－3,3)上的奇函数，∴g (x )＝f (x )·cos x 是(－3,3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3.]4．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13.若f (1)＝2，则f (99)＝________.【导学号：84352094】132[因为f (x )·f (x ＋2)＝13，所以f (x ＋2)＝13f x ，所以f (x ＋4)＝13fx ＋＝1313f x＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝13f＝132.] 5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．[解] 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6. 又因为g (x )的最小正周期为π，所以g (x )＝32的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z.。

【红对勾】人教A版高中数学必修4课时作业9正弦函数、余弦函数的性质(一) Word版含答案[ 高考]

课时作业9 正弦函数、余弦函数的性质(一)时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．定义在R 上的函数f (x )，存在无数个实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )( )A ．是周期为1的周期函数B ．是周期为2的周期函数C ．是周期为4的周期函数D ．不一定是周期函数解析：根据周期函数的定义可知f (x ＋T )＝f (x )中的x 必须是定义域中的任意值，否则不一定为周期函数．答案：D2．下列四个函数的图象关于y 轴对称的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝1＋cos x C ．y ＝sin2xD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析：当函数图象关于y 轴对称时，此函数是偶函数，易知B 中函数是偶函数，故选B.答案：B3．下列函数中，周期为π的函数的个数为( ) ①y ＝|sin2x |；②y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π12；③y ＝cos2x ；④y ＝esin(2x －π3) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由图象知y ＝|sin2x |的周期为π2.由公式T ＝2πω可求②中函数周期为4π，③中函数周期为π；对④，f (x ＋π)＝esin(2x ＋2π－π3)＝esin(2x －π3)＝f (x )，∴周期为π，故周期为π的函数有2个．答案：C4．周期函数y ＝f (x )的一个周期为2 013，若f (m )＝f (1)，则有m ＝( )A ．1B ．2 013C ．－2 012D ．2 013k ＋1(k ∈Z )解析：∵f (m )＝f (1)，∴m －1＝2 013k (k ∈Z )， ∴m ＝2 013k ＋1(k ∈Z )．答案：D5．函数y ＝－x cos x 的部分图象是( )解析：易知函数y ＝－x cos x 是奇函数，从而图象关于原点对称，排除A 、C.又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－x cos x <0，排除B.故选D.答案：D6．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎨⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0<x ≤π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( )A ．1 B.22 C ．0D ．－22解析：f (－154π)＝f [32π×(－3)＋34π]＝f (34π) ＝sin 34π＝22. 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为2π3，则f (π)＝________.解析：由已知2πω＝2π3，∴ω＝3， ∴f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，∴f (π)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π－π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－3cos π3＝－32.答案：－328．已知函数f (x )＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π7(ω>0)的最小正周期T ∈[π，2π]，则正数ω的最大值是________．解析：∵T ＝2πω，∴ω＝2πT ，又T ∈[π，2π]， ∴当T ＝π时，正数ω取最大值2. 答案：29．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ是奇函数，则φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，φ的值为________．解析：由已知π4＋φ＝k π(k ∈Z )， ∴φ＝k π－π4(k ∈Z )，又∵φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴k ＝0时，φ＝－π4符合条件．答案：－π4三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．已知f (x )＝a sin x ＋bx 3c cos x ＋3，若f (5)＝－2，求f (－5)的值．解：设g (x )＝a sin x ＋bx 3c cos x ，则g (－x )＝a sin (－x )＋b (－x )3c cos (－x )＝－a sin x ＋bx 3c cos x＝－g (x )， ∴g (x )是奇函数．由f (5)＝－2得f (5)＝g (5)＋3＝－2， ∴g (5)＝－5.∴f (－5)＝g (－5)＋3＝－g (5)＋3＝8. 11．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出这个函数的简图．(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎨⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π)(k ∈Z ).函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，故函数的最小正周期是2π.12．有两个函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3，g (x )＝b cos(2kx －π3)(k >0)，它们的周期之和为3π2，且f (π2)＝g (π2)，f (π4)＝－3·g (π4)＋1，求k ，a ，b .解：由题意知，2πk ＋2π2k ＝3π2，所以k ＝2，所以f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3. 由已知得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3，a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－3b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＋1，即⎩⎨⎧－32a ＝12b ，12a ＝32b ＋1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.所以k ＝2，a ＝12，b ＝－32.。

课时作业(六) 函数的奇偶性与周期性 (3)

课时作业(六)　函数的奇偶性与周期性基础过关组一、单项选择题1．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析　对于A ，y ＝x ＋1为非奇非偶函数，不满足条件。

对于B ，y ＝－x 2是偶函数，不满足条件。

对于C ，y ＝1x 是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件。

对于D ，设f (x )＝x |x |，则f (－x )＝－x |x |＝－f (x )，则函数为奇函数，当x >0时，y ＝x |x |＝x 2，此时为增函数，当x ≤0时，y ＝x |x |＝－x 2，此时为增函数，综上，y ＝x |x |在R 上为增函数。

故选D 。

答案　D2．设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减解析　由条件可知，f (－x )＝(－x )(e －x ＋e x )＝－x (e x ＋e －x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数。

f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x－e －x )，当x >0时，e x >e －x ，所以x (e x －e －x )>0，又e x ＋e －x >0，所以f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增。

故选A 。

答案　A3．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )。

若f (m )＝2，则f (－m )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1D ．－2解析　把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x 。

令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－m )－1＝－[f (m )－1]，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0。

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案-2021-2022学年高一数学人教A版必修42

1. 4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）一、学习目标、细解考纲1.理解掌握什么是周期函数，函数的周期，最小正周期.掌握正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期(重点)．3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)4.通过函数图象发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养二、自主学习—————（素养催化剂）（阅读教材第34—37页内容，完成以下问题：）1．函数的周期性（1）对于函数f(x)，，那么f(x)叫做周期函数，叫这个函数的周期. 叫做函数f(x)的最小正周期.（2）正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是，最小正周期是（3）函数y Asin(x )y Acos(x )ωϕωϕ=+=+或的周期与解析式中的无关，其周期为:.（4）y ＝|A sin(ωx ＋φ)|(A ≠0，ω≠0)的最小正周期2..正弦函数、余弦函数的图象和性质三、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂)例1、求下列函数的最小正周期．(1)sinx 3y += （2）ｙ=sin(3x -π2) （3）f (x )＝3sin 24x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R 变式1下列函数是不是周期函数？若是，则它的周期是多少？(1)x sin f(x)=(2)x cos f(x)=例2、判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝－2cos 2x ；(2) (3)y（4）f (x )变式2：(1)．下列函数中是奇函数的是（）A. y =-|sin x |B. y =sin(-|x |)C. y =sin|x |D. y =x sin|x |变式2：(教材改编）(2)f(x )＝cos 322x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋x 2sin x 的奇偶数性为______.．例3.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 10π⎛⎫- ⎪⎝⎭,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-18π；（2）cos15π8，cos 14π9变式3：(1)cos1,cos2,cos3的大小关系是______.(2)比较cos 1与sin 1.的大小 33()sin()42f x x π=+例4.函数y ＝sin x ]65,4[,ππ∈x 的值域为______.．变式4.若cos x ＝m －1有意义，则m 的取值范围是______.四、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）1.函数y=sin x 是周期函数吗？如果是，则周期是多少？2.cosx sinx y +=是周期函数吗？如果是,则周期是多少？3.函数c f(x)=（c 为常数）是周期函数吗？如果是，则周期是多少4.若函数y ＝f (x )是以2为周期的函数，且f (5)＝6，则f (1)＝______.五、备选例题例1.下列四个函数中，既在（0，2π）上是增函数，又是以为周期的偶函数的是（）. A. B. C. D.例2. 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )(2)六、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂） πsin y x =sin 2y x =cos y x =cos2y x =()lg(sin f x x =。

新课标A版·数学·必修④课时作业 9正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 Word版含解析

课时作业正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．函数()＝( )．是奇函数．是非奇非偶函数．是偶函数．既是奇函数又是偶函数解析：由题，得函数()的定义域为，关于原点对称，又()＝＝，所以(－)＝(－)·(－)＝－＝－()，所以函数()为奇函数．答案：．函数＝(＋π)的图像关于( )．轴对称．原点对称．轴对称．直线＝对称解析：＝(＋π)＝－，奇函数图像关于原点对称．答案：．下列四个函数的图象中关于轴对称的是( )．＝．＝－．＝－．＝解析：、所涉及的函数都是奇函数，是非奇非偶函数．答案：．函数()＝是( )．周期为π的偶函数．周期为π的偶函数．周期为π的奇函数．周期为的偶函数解析：()＝＝＝－，∴()为偶函数，且＝＝π.答案：．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )．＝．＝．＝．＝解析：＝是偶函数；＝是偶函数；＝＝是偶函数；＝＝－是奇函数，且其最小正周期＝π.答案：二、填空题(每小题分，共分)．()＝是(填“奇”或“偶”)函数．解析：∈时，(－)＝(－)(－)＝－＝－()，即()是奇函数．答案：奇．函数＝的最小正周期是．解析：∵＝，∴＝＝π×＝.答案：．若函数()的定义域为，最小正周期为，且满足()＝(\\(，－(π)≤<，≤<π，))则＝.解析：＝＝＝＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．求下列函数的最小正周期：()＝；()＝.解析：()利用公式＝，可得函数＝的最小正周期为＝＝π.()易知函数＝的最小正周期为＝＝π，而函数＝的图象是由函数＝的图象将在轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即＝的最小正周期为π.．判断下列函数的奇偶性．()()＝；()()＝；()()＝·.解析：()因为∈，(－)＝(－)＝＝()，所以()＝是偶函数．()因为∈，()＝＝－，所以(－)＝－＝－＝()，所以函数()＝是偶函数．()因为∈，(－)＝－·(－)＝－·＝－()，所以()＝是奇函数．能力提升(分钟，分)．已知函数＝是奇函数，则φ的值可以是( )．．－．π解析：＝为奇函数，则只需＋φ＝π，∈，从而φ＝π－，∈.显然当＝时，φ＝－满足题意．答案：．函数()是以为周期的奇函数，且(－)＝，则＝.解析：∵函数()是以为周期的奇函数，且(－)＝，∴()＝(＋)＝()＝－(－)＝－，则原式＝＝－＝－.答案：－．已知函数＝＋.()画出函数的图像；()这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解析：()＝＋＝错误!函数图像如图所示．()由图像知这个函数是周期函数，且最小正周期是π.．已知()是上的奇函数，且(＋)＝－()．()求证：()是以为周期的函数；。

高中数学课时跟踪检测九正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性新人教A版必修4

课时跟踪检测（九）正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性层级一学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ，C ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2.4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称．5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2的奇偶性是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．即是奇函数也是偶函数解析：选A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 2＝sin x 2，故为奇函数．6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的周期为________．解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π7．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. 答案：38．函数ƒ(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3，∴ƒ(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π－π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－329．判断下列函数的奇偶性．(1)ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x . 解：(1)x ∈R ，ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴ƒ(－x )＝sin(－2x )cos(－x ) ＝－sin 2x cos x ＝－ƒ(x )． ∴该函数ƒ(x )是奇函数． (2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域为R.∵ƒ(－x )＝1＋－x ＋1－－x＝1－sin x ＋1＋sin x ＝ƒ(x )， ∴该函数是偶函数．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋πk ∈，0，x ∈[2k π－π，2k πk ∈，图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.层级二应试能力达标1．下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2解析：选B 对于A ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x 是奇函数；对于B ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，且最小正周期T ＝2π2＝π；对于C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x是偶函数，但最小正周期T ＝2π；对于D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x 是奇函数，故选B.2．函数ƒ(x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是( )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数解析：选A ∵ƒ(x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋3π2＝－3cos 23x ，∴ƒ(x )为偶函数，且T ＝2π23＝3π，故选A.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选D ∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.4．函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2解析：选C 要使函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C. 5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝________. 解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案：226．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期是________．解析：∵y ＝sin x2的最小正周期为T ＝4π，而y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是把y ＝sin x2的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，∴y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为T ＝2π.答案：2π7．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．解：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sinx ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又ƒ(x )是以π为周期的偶函数，所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2) ＝－1ƒx(ƒ(x )≠0)．(1)求证：函数ƒ(x )是周期函数． (2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x ＋2)＝－1ƒx， ∴ƒ(x ＋4)＝－1ƒx ＋＝－1－1ƒx＝ƒ(x )，∴ƒ(x )是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是ƒ(x )的一个周期． ∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5， ∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ－1＋＝－1ƒ＝15.。

2021_2022学年新教材高中数学第五章三角函数5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)正、

第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性考点学习目标核心素养函数的周期性了解周期函数的概念数学抽象正、余弦函数的周期性理解正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期数学抽象、数学运算正、余弦函数的奇偶性理解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性逻辑推理问题导学预习教材P201－P203，并思考以下问题：1．周期函数的定义是什么？2．如何利用周期函数的定义求正、余弦函数的周期？3．正、余弦函数的奇偶性分别是什么？1．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．■名师点拨对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，假设函数具有周期性，那么其周期也不一定唯一．(2)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x图象定义域R R周期2kπ(k∈Z2kπ(k∈Z且k ≠0)且k ≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性奇函数偶函数■名师点拨(1)正、余弦函数的周期性①正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边一样的角具有的周期性所决定的；②由诱导公式sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )也可以说明它们的周期性．③函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.(2)关于正、余弦函数的奇偶性①正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称；②正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4，那么π2是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( ) (2)函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数．( )(3)因为sin(2x ＋2π)＝sin 2x ，所以函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π.( ) (4)假设T 是函数f (x )的周期，那么kT ，k ∈N *也是函数f (x )的周期．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√以下函数中，最小正周期为4π的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin x2D ．y ＝cos 2x答案：C函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数答案：B函数y ＝3－cos x 的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线x ＝π2对称答案：B假设函数f (x )是周期为3的周期函数，且f (－1)＝3，那么f (2)＝________．答案：3正、余弦函数的周期问题求以下三角函数的最小正周期T ： (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3； (2)f (x )＝12cos(2x ＋π3)；(3)f (x )＝|sin x |. 【解】 (1)令z ＝x ＋π3，因为sin(2π＋z )＝sin z ，所以f (2π＋z )＝f (z )，f ⎝⎛⎭⎪⎫〔x ＋2π〕＋π3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以T ＝2π.(2)法一(定义法)：因为f (x )＝12cos(2x ＋π3)＝12cos(2x ＋π3＋2π) ＝12cos[2(x ＋π)＋π3]＝f (x ＋π)，即f (x ＋π)＝f (x )，所以函数f (x )＝12cos(2x ＋π3)的最小正周期T ＝π.法二(公式法)：因为f (x )＝12cos(2x ＋π3)，所以ω＝2.又最小正周期T ＝2π|ω|＝2π2＝π，所以函数f (x )＝12cos(2x ＋π3)的最小正周期T ＝π.(3)法一：因为f (x )＝|sin x |，所以f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|－sin x | ＝|sin x |＝f (x )，故f (x )的最小正周期为π.法二：画出函数y ＝|sin x |的图象，如下图，由图象可知最小正周期T ＝π.求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω＞0)的函数，可利用T ＝2πω来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，那么f (x )的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：选D.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的最小正周期T ＝2π12＝4π.应选D.2．设a ＞0，假设函数y ＝sin(ax ＋π)的最小正周期是π，那么a ＝________．解析：由题意知T ＝2πa＝π，所以a ＝2. 答案：2正、余弦函数的奇偶性问题判断以下函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2； (2)f (x )＝sin(cos x )．【解】 (1)函数的定义域为R ，且f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x .因为f (－x )＝－sin(－2x ) ＝sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R ，且f (－x )＝sin[cos(－x )] ＝sin(cos x )＝f (x )，所以函数f (x )＝sin(cos x )是偶函数．利用定义判断函数奇偶性的三个步骤[注意] 与三角函数相关的奇偶性问题，往往需要先利用诱导公式化简，再判断函数的奇偶性．判断以下函数的奇偶性：(1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝cos(2π－x )－x 3·sin x . 解：(1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数．(2)函数的定义域为R ，关于原点对称，因为f (x )＝cos x －x 3·sin x ，所以f (－x )＝cos(－x )－(－x )3·sin(－x ) ＝cos x －x 3·sin x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．三角函数的奇偶性与周期性的综合应用定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，假设f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( )A ．－12B.12 C ．－32D.32【解析】 f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.【答案】 D1．(变条件)假设本例中“偶〞变“奇〞，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．解：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32.2．(变条件、变问法)假设本例中函数的最小正周期变为π2，奇偶性不确定，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π的值．解：因为f (x )的最小正周期是π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6 ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12.关于周期性、奇偶性的应用(1)利用周期性可以将绝对值较大的角变为较小的角，其作用类似于诱导公式(一)，不同在于周期性适用于所有的函数，诱导公式(一)只适用于三角函数．(2)奇偶性在求值中的作用在于自变量正负值的转化，即f (x )与f (－x )之间的转化求值．1．f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，那么f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98解析：选B.因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数的周期是4. 因为f (x )在R 上是奇函数，且当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，所以f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. 应选B.2．f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，求f (x )的解析式．解：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，所以f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x . 又f (x )是以π为周期的偶函数，所以f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π.1．设函数f (x )＝sin(2x －π3)，那么f (x )的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：选B.函数f (x )＝sin(2x －π3)的最小正周期T ＝2π2＝π，应选B.2．a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，那么a 等于________．解析：因为f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，所以f (0)＝sin 0－|a |＝0，所以a ＝0.答案：03．函数f (x )＝2cos 2x ＋1的图象关于________对称(填“原点〞或“y 轴〞)．解析：函数的定义域为R ，f (－x )＝2cos 2(－x )＋1＝2cos(－2x )＋1＝2cos 2x ＋1＝f (x )，故f (x )为偶函数，所以图象关于y 轴对称．答案：y 轴4．判断以下函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(2)f (x )＝sin |x |；解：(1)显然x ∈R ，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，所以f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 4＝－cos 3x 4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(2)显然x ∈R ，f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，所以函数f (x )＝sin|x |是偶函数．[A 根底达标]1．函数f (x )＝sin (ωx ＋π6)(ω>0)的最小正周期为π5，那么ω等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选B.由题意，知T ＝2πω＝π5，所以ω＝10. 2．以下函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|sin x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x解析：选D.y ＝cos|2x |是偶函数；y ＝|sin x |是偶函数；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，且其最小正周期T ＝π.3．函数f (x )＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ( )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：选A.由题意，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又f (x )＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝x cos x ，所以f (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．4．函数：①y ＝x 2sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0，2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x 中，奇函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.①③④是奇函数．应选C.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，那么φ的值可以是( ) A.π4B.π2 C ．πD.3π2 解析：选C.要使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z .应选C. 6．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．解析：T ＝2π2＝π.答案：π 7．f (n )＝sinn π4(n ∈Z )，那么f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝________.解析：f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，f (9)＋f (10)＋…＋f (16)＝0，依此循环，f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝0＋f (97)＋f (98)＋f (99)＋f (100)＝2＋1.答案：2＋18．假设0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，那么α的值为________．解析：要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数，那么须π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z .所以α＝k π＋π4，k ∈Z .因为0<α<π2，所以α＝π4.答案：π49．判断以下函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝cos x1－sin x；(3)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. 解：(1)因为x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x (－cos x )＝sin 2x cos x ，所以f (－x )＝sin(－2x )cos(－x ) ＝－sin 2x cos x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． (2)函数应满足1－sin x ≠0，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然定义域不关于原点对称，所以f (x )＝cos x1－sin x为非奇非偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－cos x ≥0，cos x －1≥0，得cos x ＝1，所以函数的定义域为{x |x ＝2k π，k ∈Z }，定义域关于原点对称．当cos x ＝1时，f (－x )＝0，f (x )＝±f (－x )．所以f (x )＝1－cos x ＋cos x －1既是奇函数又是偶函数． 10．函数y ＝12sin x ＋12|sin x |，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？假设是，求其最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]〔k ∈Z 〕，0，x ∈[2k π－π，2k π]〔k ∈Z 〕，图象如下图：(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.[B 能力提升]11．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，那么f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B.f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ，因此f (x )是偶函数，且是最小正周期为2π2＝π的周期函数，应选B. 12．f (x )＝a sin x ＋bx 3c cos x，假设f (5)＝－2，那么f (－5)＝________．解析：f (x )＝a sin x ＋bx 3c cos x ，那么f (－x )＝a sin 〔－x 〕＋b 〔－x 〕3c cos 〔－x 〕＝－a sin x ＋bx 3c cos x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．所以f (－5)＝－f (5)＝2.答案：213．f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是以4为周期的函数；(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，求f (7.5)的值．解：(1)证明：f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的函数．(2)由(1)可知f (x ＋4)＝f (x )，所以f (7.5)＝f (3.5＋4)＝f (3.5)＝f (－0.5＋4)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5.[C 拓展探究]14．判断函数y ＝cos(2x －π6)，x ∈[－π，π]是否是周期函数．假设不是，请说明理由，并指出在什么条件下该函数是周期函数．解：因为x ＝π时，x ＋T ∉[－π，π]，不符合周期函数的定义，所以y ＝cos(2x －π6)，x ∈[－π，π]不是周期函数．要使函数为周期函数，需将条件x ∈[－π，π]改为x ∈R .因为当x ∈R 时，那么有：y ＝cos(2x －π6＋2π)＝cos[2(x ＋π)－π6]＝cos(2x －π6)，所以y ＝cos(2x －π6)是以π为周期的周期函数．。

2022年高中数学142正弦函数余弦函数的性质(一)课时作业新

2022年高中数学142正弦函数余弦函数的性质(一)课时作业新实用文档2022年高中数学1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）课时作业新人教A版必修4课时目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求f(某)＝Ain(ω某＋φ)及y＝Aco(ω某＋φ)的周期.3.掌握y＝in某，y＝co 某的周期性及奇偶性．1．函数的周期性(1)对于函数f(某)，如果存在一个______________，使得当某取定义域内的____________时，都有____________，那么函数f(某)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(某)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(某)的__________________．2．正弦函数、余弦函数的周期性由in(某＋2kπ)＝________，co(某＋2kπ)＝________知y＝in某与y＝co某都是______函数，____________________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________．3．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数y＝in某与余弦函数y＝co某的定义域都是______，定义域关于________对称．(2)由in(－某)＝________知正弦函数y＝in某是R上的______函数，它的图象关于______对称．(3)由co(－某)＝________知余弦函数y＝co某是R上的______函数，它的图象关于______对称．一、选择题1．函数f(某)＝3in(某2－π4)，某∈R的最小正周期为()A.π2B．πC．2πD．4π2．函数f(某)＝in(ω某＋π6)的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于()A．5B．10C．15D．203．设函数f(某)＝in2某－π2，某∈R，则f(某)是()实用文档A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数4．下列函数中，不是周期函数的是()A．y＝|co某|B．y＝co|某|C．y＝|in某|D．y＝in|某|5．定义在R上的函数f(某)既是奇函数又是周期函数，若f(某)的最小正周期为π，且当某∈－π2，0时，f(某)＝in某，则f－5π3的值为()A．－12B.12C．－32D.326．函数y＝co(in某)的最小正周期是()A.πB．πC．2πD．4π7．函数f(某)＝in(2π某＋π4)的最小正周期是________．8．函数y＝inω某＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝______.9．若f(某)是R 上的偶函数，当某≥0时，f(某)＝in某，则f(某)的解析式是______________．10．关于某的函数f(某)＝in(某＋φ)有以下命题：①对任意的φ，f(某)都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f(某)既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f(某)是奇函数；④对任意的φ，f(某)都不是偶函数．其中的假命题的序号是________．三、解答题11．判断下列函数的奇偶性．(1)f(某)＝coπ2＋2某co(π＋某)；(2)f(某)＝1＋in某＋1－in某；(3)f(某)＝ein某＋e－in某ein某－e－in某.实用文档12．已知f(某)是以π为周期的偶函数，且某∈[0，π2]时，f(某)＝1－in某，求当某∈[52π，3π]时f(某)的解析式．能力提升13．欲使函数y＝Ainω某(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是________．14．判断函数f(某)＝ln(in某＋1＋in2某)的奇偶性．1．求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(某＋T)＝f(某)成立的T.(2)图象法，即作出y＝f(某)的图象，观察图象可求出T.如y＝|in 某|.(3)结论法，一般地，函数y＝Ain(ω某＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，某∈R)的周期T＝2πω.2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．1．4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)答案2．in某co某周期2kπ(k∈Z且k≠0)2π3．(1)R原点(2)－in某奇原点(3)co某偶y轴作业设计1．D2.B3．B[∵in2某－π2＝－inπ2－2某＝－co2某，∴f(某)＝－co2某.又f(－某)＝－co(－2某)＝－co2某＝f(某)，∴f(某)的最小正周期为π的偶函数．]4．D[画出y＝in|某|的图象，易知．]5．D[f－5π3＝fπ3＝－f－π3＝－in－π3＝inπ3＝32.]6．B[co[in(某＋π)]＝co(－in某)＝co(in某)．∴T＝π.]7．18．±3解析2π|ω|＝2π3，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.9．f(某)＝in|某|解析当某<0时，－某>0，f(－某)＝in(－某)＝－in某，∵f(－某)＝f(某)，∴某<0时，f(某)＝－in某.∴f(某)＝in|某|，某∈R.10．①④解析易知②③成立，令φ＝π2，f(某)＝co某是偶函数，①④都不成立．11．解(1)某∈R，f(某)＝coπ2＋2某co(π＋某)＝－in2某·(－co某)＝in2某co某.∴f(－某)＝in(－2某)co(－某)＝－in2某co某＝－f(某)．∴y＝f(某)是奇函数．(2)对任意某∈R，－1≤in某≤1，∴1＋in某≥0,1－in某≥0.∴f(某)＝1＋in某＋1－in某定义域为R.∵f(－某)＝1＋in－某＋1－in－某＝1＋in某＋1－in某＝f(某)，∴y＝f(某)是偶函数．(3)∵ein某－e－in某≠0，∴i n某≠0，∴某∈R且某≠kπ，k∈Z.∴定义域关于原点对称．又∵f(－某)＝ein－某＋e－in－某ein－某－e－in－某＝e－in某＋ein某e－in某－ein某＝－f(某)，∴该函数是奇函数．12．解某∈[52π，3π]时，3π－某∈[0，π2]，∵某∈[0，π2]时，f(某)＝1－in某，∴f(3π－某)＝1－in(3π－某)＝1－in某.又∵f(某)是以π为周期的偶函数，∴f(3π－某)＝f(－某)＝f(某)，π，3π]．13.1992π解析要使y在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y在[0,1]上至少含4934个周期，即4934T≤1T＝2πω，解得ω≥1992π.14．解∵in某＋1＋in2某≥in某＋1≥0，若两处等号同时取到，则in某＝0且in某＝－1矛盾，∴对某∈R都有in某＋1＋in2某>0.∵f(－某)＝ln(－in某＋1＋in2某)＝ln(1＋in2某－in某)＝ln(1＋in2某＋in某)－1＝－ln(in某＋1＋in2某)＝－f(某)，∴f(某)为奇函数．323527E60繠2529362CD拍{1244855FA5徥E221675697嚗I320757D4B絋352018981要2707969C7槇b。

高中数学人教A版必修第一册学案与练习正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质学习目标1.通过利用y=sin x，y=cos x的图象，探索其周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最值，培养直观想象的核心素养.2.通过正弦函数、余弦函数的性质的运用，培养逻辑推理、数学运算的核心素养.第1课时正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性1.周期函数(1)周期函数的概念(2)最小正周期2.正弦函数、余弦函数的图象与性质正、余弦函数的周期性[例1] 求下列函数的周期. (1)f(x)=cos(2x+π3);(2)f(x)=|sin x|.解:(1)因为f(x)=cos(2x+π3)=cos(2x+π3+2π)=cos[2(x+π)+π3]=f(x+π)，即f(x+π)=f(x)，所以函数f(x)=cos(2x+π)的周期T=π.3(2)法一(定义法)因为f(x)=|sin x|，所以f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x)，所以f(x)的周期为π.法二(图象法)因为函数y=|sin x|的图象如图所示.由图象可知T=π.求三角函数周期的方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.(2)公式法，对形如y=Asin(ωx+ϕ)或y=Acos(ωx+ϕ)(A，ω，ϕ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T=2π.|ω|(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.提醒:y=|cos x|与y=|sin x|均是周期为π的周期函数，而y=cos |x|是周期为2π的周期函数，y=sin |x|则不是周期函数.针对训练1:求下列函数的周期.);(1)y=2sin(2x-π3(2)y=cos |x|.解:(1)y=2sin(2x-π3)的周期T=2π2=π.(2)作出y=cos |x|的图象如图所示.易知函数的周期T=2π.正、余弦函数的奇偶性[例2] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=sin(-12x+π2);(2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x); (3)f(x)=1+sinx -cos 2x1+sinx.解:(1)显然x ∈R ，f(x)=cos 12x ， f(-x)=cos(-12x)=cos 12x=f(x)，所以f(x)是偶函数.(2)由{1-sinx >0,1+sinx >0得-1<sin x<1，解得定义域为{x|x ∈R ，且x ≠k π+π2，k ∈Z}，所以f(x)的定义域关于原点对称. 又因为f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x)，所以f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)] =lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.(3)因为1+sin x ≠0，所以sin x ≠-1，所以x ∈R ，且x ≠2k π-π2，k ∈Z.因为定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.(1)判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称，如果是，再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性;如果不是，则该函数必为非奇非偶函数.(2)若函数y=Asin(ωx+ϕ)(A ，ω≠0，下同)为奇函数，则ϕ=k π(k ∈Z);若为偶函数，则ϕ=k π+π2(k ∈Z).若函数y=Acos(ωx+ϕ)为奇函数，则ϕ=k π+π2(k ∈Z);若为偶函数，则ϕ=k π(k ∈Z).针对训练2:判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=√2sin(2x+5π2);(2)f(x)=√2sinx -1; (3)f(x)=lg1-sinx 1+sinx.解:(1)函数定义域为R ，且f(x)=√2sin(2x+5π2)=√2sin(2x+π2)=√2cos2x ，显然有f(-x)=f(x)恒成立，所以函数f(x)=√2sin(2x+5π2)为偶函数.(2)由2sin x-1≥0，即sin x ≥12，得函数定义域为[2k π+π6，2k π+5π6](k∈Z)，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称，所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数. (3)由1-sinx 1+sinx>0，得(1-sin x)(1+sin x)>0，所以-1<sin x<1，所以x ≠k π+π2(k ∈Z)，函数定义域关于原点对称.因为f(-x)=lg 1-sin (-x )1+sin (-x )=lg1+sinx 1-sinx=lg(1-sinx 1+sinx)-1=-lg 1-sinx1+sinx=-f(x)，所以函数f(x)=lg1-sinx 1+sinx为奇函数.正、余弦函数的对称性[例3] 函数y=sin(x-π4)的对称轴为，对称中心为 .解析:由x-π4=π2+k π，k ∈Z ，得x=3π4+k π，k ∈Z.由x-π4=k π，k ∈Z ，得x=π4+k π，k ∈Z.故函数y=sin(x-π4)的对称轴为x=3π4+k π，k ∈Z;对称中心为(π4+k π，0)，k ∈Z.答案:x=3π4+k π，k ∈Z (π4+k π，0)，k ∈Z(1)正弦型函数y=Asin(ωx+ϕ)(A ，ω≠0，下同)的对称轴方程可令ωx+ϕ=k π+π2(k ∈Z)求得，对称中心横坐标可令ωx+ϕ=k π(k ∈Z)求得;(2)余弦型函数y=Acos(ωx+ϕ)的对称轴方程可令ωx+ϕ=k π(k ∈Z)求得，对称中心横坐标可令ωx+ϕ=k π+π2(k ∈Z)求得;(3)正弦型函数y=Asin(ωx+ϕ)与余弦型函数y=Acos(ωx+ϕ)对称轴、对称中心间的关系:正弦型函数的对称轴方程的值恰好是余弦型函数对称中心横坐标的值，而正弦型函数对称中心横坐标的值恰好是余弦型函数对称轴方程的值.针对训练3:(1)函数y=sin(2x+ϕ)(0<ϕ<π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内，则满足此条件的一个ϕ值为( ) A.π12B.π6C .π3D .5π6(2)函数f(x)=2cos(x+π3)-1的对称轴方程为 .解析:(1)令2x+ϕ=π2+k π，k ∈Z ，解得x=kπ2+π4-φ2，k ∈Z ，因为函数y=sin(2x+ϕ)(0<ϕ<π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内，所以π6<kπ2+π4-φ2<π3.当k=0时，-π6<ϕ<π6，选项中只有ϕ=π12符合.故选A.(2)令x+π3=k π，k ∈Z ，求得x=k π-π3，k ∈Z.答案:(1)A (2)x=k π-π3(k ∈Z)1.函数y=sin x2是( A )A.周期为4π的奇函数B.周期为π2的奇函数C.周期为π的偶函数D.周期为2π的偶函数解析:函数y=sin x 2是奇函数，它的周期为2π12=4π.故选A.2.已知函数f(x)=sin(π2-x)，则f(x)是( D ) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数解析:因为f(x)=sin(π2-x)=cos x ，因此，函数y=f(x)是周期为2π的偶函数. 故选D.3.函数f(x)=sin(x+4π3)的一条对称轴方程为( B )A.x=-π3B .x=π6C.x=π2D.x=2π3解析:由题意，令x+4π3=k π+π2，k ∈Z ，解得对称轴方程为x=k π-5π6，k ∈Z.当k=1时，x=π6.故选B.4.函数f(x)=cos 3x 的一个对称中心坐标是( C ) A.(0，0) B.(π3，0)C.(π6，0) D.(π12，0)解析:由f(π6)=0知，(π6，0)是f(x)的一个对称中心.故选C.[例1] 函数f(x)=sinx (1-sinx )1-sinx是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析:由1-sin x ≠0，得x ≠2k π+π2，k ∈Z ，该函数的定义域明显不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数.故选D.[例2] (2021·上海浦东新区期中)关于函数f(x)=sin x+1sinx，下列观点正确的是( )A.f(x)的图象关于直线x=0对称B.f(x)的图象关于直线x=π4对称C.f(x)的图象关于直线x=π2对称 D.f(x)的图象关于直线x=π对称解析:函数的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}，关于原点对称， f(-x)=sin(-x)+1sin (-x )=-sin x-1sinx=-f(x)，所以函数的图象关于原点对称，所以A 错误; 因为f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)=cos x+1cosx≠f(-x)，所以B 错误;因为f(π+x)=sin(π+x)+1sin (π+x )=-sin x-1sinx=f(-x)，所以C 正确; 因为f(2π+x)=sin(2π+x)+1sin (2π+x )=sin x+1sinx≠f(-x)，所以D 错误.故选C.[例3] 函数y=sin(1-x)的图象( ) A.关于直线x=1对称 B.关于点(1，0)对称 C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称解析:对于函数y=sin(1-x)，令x=1，可得y=0，故它的图象关于点(1，0)对称，故A 错误，B 正确. 显然C ，D 不正确. 故选B.选题明细表基础巩固1.函数f(x)=sin xcos x 的奇偶性为( A ) A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析:f(x)的定义域为R ，且f(-x)=sin(-x)·cos(-x)=-sin xcos x= -f(x)，所以f(x)是奇函数.故选A.2.函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π5，则ω等于( B )A.5B.10C.15D.20解析:由题意，知T=2πω=π5，所以ω=10.故选B. 3.函数y=cos(2x+3π)是( B )A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数解析:函数y=cos(2x+3π)=cos(2x+π)=-cos 2x ，则函数是周期为π的偶函数.故选B.4.函数f(x)=sin(2x-π3)的一个对称中心的坐标是( D ) A.(0，0) B.(0，-√32)C.(π2，0)D.(π6，0) 解析:令2x-π3=k π，k ∈Z ，所以x=kπ2+π6，k ∈Z ，令k=0，得x=π6，即函数f(x)=sin(2x-π3)的一个对称中心的坐标是(π6，0).故选D. 5.函数y=sin x-2的图象的对称中心为，对称轴方程为 .解析:函数y=sin x-2的图象是由y=sin x 的图象沿y 轴向下平移2个单位长度而得到，因此y=sin x 的图象的对称中心(k π，0)(k ∈Z)也向下平移2个单位长度得到y=sin x-2的对称中心，即(k π，-2)(k ∈Z).对称轴方程不变，仍为x=k π+π2(k ∈Z).答案:(k π，-2)(k ∈Z) x=k π+π2(k ∈Z) 6.(2021·湖南岳阳期末)若y=sin(2x+ϕ)为偶函数，则cos ϕ= .解析:y=sin(2x+ϕ)为偶函数，可得ϕ=k π+π2，k ∈Z ，所以cos ϕ=0. 答案:0能力提升7.(2022·重庆高一期末)函数f(x)=sin(ωx-π4)-1，ω>0的最小正周期为2π3，则函数f(x)的一个对称中心为( D ) A.(7π12，-1) B.(π12，0) C.(π4，-1) D .(5π12，-1) 解析:由函数f(x)=sin(ωx-π4)-1的最小正周期为2π3，则2πω=2π3，解得ω=3，即f(x)=sin(3x-π4)-1. 令3x-π4=k π，k ∈Z ，则x=kπ3+π12，k ∈Z ，当k=1时，解得x=5π12，即函数f(x)的一个对称中心为(5π12，-1).故选D. 8.函数y=sin(2x+π3)的图象( A ) A.关于点(π3，0)对称 B.关于直线x=π4对称 C.关于点(π4，0)对称 D.关于直线x=π3对称解析:对于函数y=sin(2x+π3)，令2x+π3=k π(k ∈Z)，得x=kπ2-π6，k ∈Z ，令2x+π3=π2+k π(k ∈Z)，得x=π12+kπ2，k ∈Z ，所以函数y=sin(2x+π3)的图象的对称中心坐标为(kπ2-π6，0)(k ∈Z)，对称轴为直线x=π12+kπ2(k ∈Z). 令k=1，可知函数y=sin(2x+π3)图象的一个对称中心坐标为(π3，0).故选A.9.已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0)，且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则f(π8)的值是 . 解析:因为函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则函数f(x)的周期T=π，则2π|ω|=π，所以|ω|=2，因为ω>0，所以ω=2，所以f(x)=2cos 2x ，所以f(π8)=2cos π4=√2. 答案:√210.已知函数f(x)=2cos(3x+π4)+1，x ∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)图象的对称轴;(3)求函数f(x)图象的对称中心.解:(1)最小正周期为T=2π|ω|=2π3，(2)令3x+π4=k π，k ∈Z ，得f(x)对称轴为直线x=kπ3-π12，k ∈Z. (3)令3x+π4=k π+π2，k ∈Z ，解得x=kπ3+π12，k ∈Z ，所以f(x)的对称中心为(kπ3+π12，1)，k ∈Z. 11.(1)设函数f(x)=sin x ，x ∈R.若θ∈[0，π)，函数f(x+θ)是偶函数，求方程f(x+θ)=12的解集; (2)已知f(x)=2sin(ωx-π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+ )+1的图象的对称轴完全相同，求x ∈[0，π]时，方程f(x)=1的解.解:(1)因为f(x)=sin x ，所以f(x+θ)=sin(x+θ).因为θ∈[0，π)，函数f(x+θ)是偶函数，所以θ=π2，所以f(x+π2)=sin(x+π2)=cos x ，因为f(x+θ)=12，所以cos x=12，所以x=±π3+2k π，k ∈Z ，即解集为{x|x=±π3+2k π，k ∈Z}. (2)由于两个函数对称轴相同，则周期相同，故ω=2，即f(x)=2sin(2x-π6)，当x ∈[0，π]时，2x-π6∈[-π6，11π6]，令f(x)=1，则2x-π6=π6或5π6，解得x=π6或π2. 应用创新12.设函数f(x)=√2sin(ωx+ϕ+π4)(ω>0，|ϕ|<π2)的一个对称点与其相邻的对称轴之间的距离为π4，且满足f(-x)=f(x)，则ω= ， f(ϕ)= .解析:由题意可知T=π，ω>0，所以ω=2，则f(x)=√2sin(2x+ϕ+π4). 又由f(-x)=f(x)可知函数f(x)是偶函数，所以ϕ+π4=k π+π2，k ∈Z ，则ϕ=k π+π4，k ∈Z. 又|ϕ|<π2，所以ϕ=π4，故f(x)=√2sin(2x+π2)=√2cos 2x. 因此f(ϕ)=√2cos π2=0. 答案:2 0。

课时作业1：第一课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性基础达标一、选择题1.下列函数中，周期为2π的是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝|sin x 2|D.y ＝|sin 2x |解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π；y ＝|sin x 2|的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2. 答案 C2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π5，则ω等于( ) A.5B.10C.15D.20解析由题意，知T ＝2πω＝π5，所以ω＝10.答案 B3.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( ) A.0B.π4C.π2D.π解析由题意，得sin(－φ)＝±1，即sin φ＝±1，因为φ∈[0，π]，所以φ＝π2，故选C.答案 C4.定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( ) A.1B.－1C.0D.2解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1. 答案 B5.设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0<x ≤π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( ) A.1B.22C.0D.－22解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2×（－3）＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案 B二、填空题6.函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________. 解析 f (22)＝f (22－20)＝f (2)＝ 2. 答案 27.关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是________(填序号).解析 φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数.答案 ①④8.已知函数f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋φ，ω≠0，φ∈(－π，π)为奇函数，则φ＝________. 解析由题意知π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝－π3＋k π，k ∈Z .∵φ∈(－π，π)，当k ＝0时，φ＝－π3；当k ＝1时，φ＝2π3.答案－π3或2π3三、解答题9.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2 (2)f (x )＝x ·cos x . 解 (1)f (x )的定义域是R ，且f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ，所以f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数.(2)f (x )的定义域是R ，又f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数.10.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 能力提升11.设f (x )＝log 31－2sin x 1＋2sin x. (1)求函数f (x )的定义域.(2)判断函数f (x )的奇偶性.(3)试判断f (x )是否为周期函数？若是直接写出f (x )的最小正周期.解 (1)∵1－2sin x 1＋2sin x>0，∴－12<sin x <12， ∴k π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，∴该函数的定义域为{x |k π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z }.(2)由(1)知定义域关于原点对称，又f (－x )＝log 31＋2sin x 1－2sin x ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin x 1＋2sin x －1 ＝－log 31－2sin x 1＋2sin x＝－f (x )， ∴该函数为奇函数.(3)f (x )为周期函数，T ＝2π.12.已知函数f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1cos x ＋1. (1)求函数f (x )的定义域并判断函数的奇偶性；(2)求函数f (x )的最小正周期.解 (1)由cos x ＋1≠0，得x ≠2k π＋π，k ∈Z ，所以函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z }，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1cos x ＋1＝1－cos 2x ＋cos x ＋1cos x ＋1＝－cos 2x ＋cos x ＋2cos x ＋1＝（cos x ＋1）（2－cos x ）cos x ＋1＝2－cos x .因为f (－x )＝f (x )，且函数f (x )的定义域关于坐标原点对称，故函数f (x )为偶函数.(2)因为f (x )＝2－cos x (x ≠2k π＋π，k ∈Z )，所以 f (x )的最小正周期为2π.。

2021届高中数学新人教版高中数学第一册奇偶性含解析

奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：轴的轴对称．学习本节知识注意结合前面所学的知识，如单调性、解析式等，加强它们之间的联系．．学习奇偶性时不能忘记函数的定义域，奇偶性是函数整个定义填序号)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．(1)(3)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题判断下列函数的奇偶性：(3)f(x)＝1－x2x；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1，x>0，－x＋1，x<0.解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，又∵f(－x)＝1－(－x)2－x＝－1－x2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．根据函数奇偶性定义判断．类型二函数奇偶性的图象特征例2设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________．【解析】由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2<x<0或2<x≤5}．【答案】{x|－2<x<0或2<x≤5}根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出f(x)<0的解集．x)的局部图象，)是偶函数，轴对称，补全图如图．－1)<f(－3)．是偶函数，A ．y ＝2x 2－3B ．y ＝x 3C ．y ＝x 2，x ∈[0,1]D ．y ＝x解析：对于A ，f (－x )＝2(－x )2－3＝2x 2－3＝f (x )，∴f (x )是偶函数，B ，D 都为奇函数，C 中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.答案：A2．函数f (x )＝1x －x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．答案：C3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )解析：选项A 中的图象不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故排除；选项C ，D 中函数的定义域不关于原点对称，也排除．选项B 中的函数图象关于y 轴对称，是偶函数，故选B.答案：B4．下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必过(－a ，f (a ))．表述正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：偶函数的图象一定关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，例如，函数f (x )＝x 0，其定义域为{x |x ≠0}，故其图象与y 轴不相交，但f (x )＝x 0＝1(x ≠0)是偶函数，从而可知①是错误的，③是正确的．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过坐标原点，例如，函数f (x )＝1x ，其定义域为{x |x ≠0}，可知其图象不经过坐标原点，但f (x )＝1x 是奇函数，从而可知②是错误的．3 (2)＝2，根据图象进行判断)4，x≥2，2x，－2<x<2，，x≤－2，上的解析式；的图象．f(x)是定义域为R的奇函数，，∵f(x)是奇函数，22分)11．定义两种运算：a b＝a2－b2，a⊗b xx⊗2)－2A．奇函数B．偶函数。