基于Mindlin理论的复合材料层合板的有限元分析_刘宝良

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复合材料层合板的力学行为与优化设计

复合材料层合板的力学行为与优化设计复合材料层合板是由两个或多个不同材料的层按照一定方式堆叠而成的结构材料。

它具有优异的力学性能和设计灵活性，在航空航天、汽车制造、建筑工程等领域得到广泛应用。

本文将从力学行为和优化设计两个方面对复合材料层合板进行探讨。

首先，复合材料层合板的力学行为是理解和研究该材料的基础。

复合材料层合板的力学性能受到多种因素的影响，包括材料的性质、层间粘结强度、层间厚度比、层间角度等。

其中，材料的性质是决定层合板力学性能的关键因素。

复合材料层合板通常由纤维增强复合材料和基体材料组成。

纤维增强复合材料具有高强度、高刚度和低密度的特点，而基体材料则具有良好的韧性和耐磨性。

通过选择不同的纤维和基体材料，可以实现对层合板力学性能的调控。

其次，复合材料层合板的优化设计是提高材料性能和降低成本的重要手段。

优化设计的目标是找到最佳的材料组合、层间厚度比和层间角度，以满足特定的工程要求。

优化设计可以通过数值模拟和实验测试相结合的方式进行。

数值模拟可以通过有限元分析等方法，预测不同设计参数对层合板力学性能的影响。

实验测试可以通过拉伸、弯曲、剪切等试验，验证数值模拟结果的准确性。

在优化设计过程中，需要考虑的因素包括强度、刚度、韧性、疲劳寿命和成本等。

强度是指材料抵抗外力破坏的能力，刚度是指材料对应力的响应程度，韧性是指材料在受到外力作用下的变形能力，疲劳寿命是指材料在循环加载下的使用寿命。

通过优化设计，可以在满足这些要求的前提下，尽量降低材料的成本。

在实际应用中，复合材料层合板的优化设计需要综合考虑多个因素。

例如，层间厚度比的选择既要考虑强度和刚度的要求，又要考虑材料的成本和制造工艺的可行性。

层间角度的选择既要考虑层间剪切强度的要求，又要考虑层间粘结强度和制造工艺的限制。

因此，在优化设计中需要综合考虑材料的性能、制造工艺和经济性等多个方面的因素。

总之，复合材料层合板的力学行为与优化设计是研究和应用该材料的重要内容。

有限元方法研究修正偶应力Mindlin层合板的尺寸效应

有限元方法研究修正偶应力Mindlin层合板的尺寸效应陈万吉;杨胜奇【摘要】修正偶应力层合板的模型已由作者提出.受边界条件和板形状限制,只能够研究承受双正弦载荷四边简支板的尺寸效应.基于修正偶应力理论,提出了一种新的板单元,用于分析具有复杂边界条件的复合材料Mindlin层合板的尺寸效应.该单元是四边形单元,并能够同时满足C0连续条件和C1弱连续条件.为了验证该单元的性能和精度,给出了具有不同边界条件和载荷的算例.数值结果表明,提出的单元不仅能够捕捉到尺寸效应,而且结果与已发表论文中的解析解吻合,具有较高的精度.【期刊名称】《沈阳航空航天大学学报》【年(卷),期】2014(031)003【总页数】8页(P1-8)【关键词】四边形板单元;Mindlin层合板;修正偶应力理论;尺寸效应;材料长度尺寸参数【作者】陈万吉;杨胜奇【作者单位】沈阳航空航天大学辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室,沈阳110136;沈阳航空航天大学辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室,沈阳110136【正文语种】中文【中图分类】TB12复合材料层合板由于其优越的力学性能，得到了广泛的应用。

当复合材料层合板进入微米量级时，由于层合板纤维和基体中存在杂质，晶格错位和微裂纹，使得层合板的强度和刚度大于经典层合板理论的结果(这种现象被称为尺寸效应)。

经典层合板理论不再适用于研究复合材料层合板的微观结构。

材料的细观结构理论亟待发展。

许多实验[1-3]也证实了材料进入微米量级时，微观结构会产生尺寸效应。

为了解决此问题，人们在传统连续体力学基础上，提出了偶应力理论，应变梯度理论等细观理论。

本文应用偶应力理论来计算尺寸效应。

偶应力理论可以看成一种特殊的应变梯度理论，两种理论的本构关系可以统一表达为：σij=Cijkl(εkl-12▽2εkl)，其中σij,εij和Cijkl分别是应力张量，应变张量和弹性模量张量。

不同在于：偶应力理论用转动来描述曲率(εkl=ωk,l)，而应变梯度理论用应变来描述曲率(εkl=εkl)。

含分层损伤复合材料层合板分层扩展研究

含分层损伤复合材料层合板分层扩展研究
孙先念;陈浩然;苏长健;刘相斌
【期刊名称】《力学学报》
【年(卷),期】2000(032)002
【摘要】采用基于Mindlin一阶剪切理论的四节点板单元,分析了含椭圆分层复合材料层合板分层扩展行为.利用虚裂纹闭合技术计算分层前缘处的总能量释放率,并采用总能量释放率准则作为分层扩展准则,结合自适应网格移动技术,并考虑了分层前缘闭合接触效应,对复合材料层合板的分层扩展行为进行了模拟分析.结果表明,初始分层形状对其扩展方式有很大影响.
【总页数】10页(P223-232)
【作者】孙先念;陈浩然;苏长健;刘相斌
【作者单位】大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,大连,116023;大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,大连,116023;大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,大连,116023;大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,大连,116023
【正文语种】中文
【中图分类】O3
【相关文献】
1.含椭圆分层损伤复合材料层合板分层前缘接触效应研究 [J], 孙先念;陈浩然;陈绍杰
2.含圆形分层损伤复合材料层合板在弯曲载荷作用下的屈曲行为研究 [J], 李峰;陈金龙;宫文然
3.含层间分层损伤复合材料层合板的动力响应研究 [J], 洪明;陈浩然
4.含分层损伤复合材料层合板声激励下振动特性研究 [J], 洪明;陈浩然
5.含分层损伤复合材料加筋层合板的分层扩展研究 [J], 白瑞祥;陈浩然
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基于有限元方法的复合材料层合板自由振动分析

ｇａａａｈＳＬｔｅｗｒ等人主要利用一阶… 、ａｒｇａ、．ａｓａＡｈ二阶Ｊ三阶以及高阶Ｈ剪切变形理论和经典、函数来求解。但是实际问题中，值问题的求解边十分困难。除少数简单边值问题可用解析法求出精确解外，般都只能用数值法求解。国内有北一
文章编号：０７—１８（０８００５０１０３５２０）４— ０２— ４
基于有限元方法的复合材料层合板自由振动分析
晁爱芳沙云东傅文君
１０３１１６）（阳航空工业学院飞行器动力与能源工程学院，沈辽宁沈阳
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第４期
晁爱芳等：基于有限元方法的复合材料层合板自由振动分析
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图２层合板的１节点图８
２自由振动特性的有限元分析
根据一阶剪切变形理论，由于平面位移和弯
曲位移之间的解耦，对称层合板的横向位移、Ｙ绕

复合材料有限元模型

复合材料有限元模型一、引言复合材料是由两种或两种以上的材料组成的材料，具有优异的力学性能和轻质化的特点，在航空航天、汽车、船舶等领域得到广泛应用。

在设计和分析复合材料结构时，有限元模型是一种常用的工具，可以对复合材料的力学行为进行模拟和预测。

本文将介绍复合材料有限元模型的基本原理和应用。

二、复合材料有限元模型的基本原理复合材料有限元模型是建立在有限元方法基础上的一种模拟技术。

有限元方法是一种将连续体划分为有限个离散单元，通过求解每个单元的局部方程来近似求解整体问题的方法。

复合材料有限元模型的基本原理是将复合材料结构离散化为有限个单元，建立单元间的连接关系，并通过求解单元的力学方程得到整体结构的力学行为。

三、复合材料有限元模型的建立步骤1. 几何建模：根据实际情况，将复合材料结构进行几何建模，包括几何形状、尺寸和边界条件等。

2. 单元划分：将复合材料结构划分为有限个单元，常用的单元包括三角形单元和四边形单元。

3. 材料属性定义：为每个单元定义材料属性，包括材料的弹性模量、泊松比和密度等。

4. 节点和单元连接：将单元之间的节点进行连接，建立节点和单元之间的关系。

5. 荷载施加：根据实际情况，给模型施加荷载，包括静力荷载和动力荷载等。

6. 材料本构关系：根据复合材料的力学行为，建立材料本构关系，描述材料的应力和应变之间的关系。

7. 有限元方程求解：通过求解每个单元的力学方程，得到整体结构的力学行为，包括应力、应变和位移等。

四、复合材料有限元模型的应用1. 力学分析：通过复合材料有限元模型，可以对复合材料结构的力学行为进行分析，包括应力和应变分布、位移和变形等。

2. 疲劳分析：通过施加周期性荷载，可以模拟复合材料结构的疲劳行为，预测其寿命和失效模式。

3. 强度优化：通过调整复合材料结构的尺寸和层厚，优化其强度和刚度，提高结构的性能。

4. 热应力分析：通过施加温度荷载，可以模拟复合材料结构的热应力，预测其热失效行为。

含孔复合材料层合板拉伸失效分析

含孔复合材料层合板拉伸失效分析许良;何懿;马少华;回丽【摘要】对国产T700/双马树脂基复合材料的含孔层合板进行了拉伸失效分析研究,分析了不同开孔直径和开孔形状对复合材料层合板拉伸性能的影响,利用有限元软件ABAQUS建立逐渐损伤失效模型,对复合材料层合板的拉伸强度进行数值模拟.研究结果表明:对于不同开孔直径的复合材料层合板,随着圆孔直径的增大,拉伸强度显著下降,对于不同开孔形状的复合材料层合板,含圆孔的层合板拉伸强度最大,然后依次是椭圆孔、方形孔、菱形孔,层合板的断裂模式都为过孔破坏.数值模拟得到的强度值与试验测量的强度值吻合较好,为含孔复合材料层合板的强度预测提供了一种有效的方法.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2018(018)034【总页数】6页(P242-247)【关键词】复合材料层合板;开孔直径;开孔形状;拉伸强度;断裂模式;数值模拟【作者】许良;何懿;马少华;回丽【作者单位】沈阳航空航天大学机电工程学院,沈阳110136;沈阳航空航天大学机电工程学院,沈阳110136;沈阳航空航天大学机电工程学院,沈阳110136;沈阳航空航天大学航空制造工艺数字化国防重点实验室,沈阳110136【正文语种】中文【中图分类】V257复合材料具有优异的特性，例如高比强度比刚度、高抗冲击性、耐高温、耐腐蚀性好、可设计性强、良好的疲劳性能和工艺性，已经被广泛应用在航空航天等领域[1—3]。

在实际使用过程中，需要在复合材料结构中加工一些孔，如螺栓孔、检查用的通孔、装配孔等，当加工孔时，会切断复合材料结构中的部分碳纤维，在孔的边缘会引起严重的应力集中，并且孔的周围会发生纤维断裂、基体开裂、基体纤维剪切破坏、分层等损伤，这些将严重影响复合材料结构的强度。

因此，国内外大量学者对复合材料的开孔拉伸性能进行了重点研究[4—7]。

而复合材料的强度预测比较复杂，传统的设计、试验、再设计的方法将耗费大量的人力和财力。

mindlin板动力学问题的hamilton体系及其辛解法

mindlin板动力学问题的hamilton体系及其辛解法Mindlin板动力学问题的Hamilton体系及其辛解法一、简介Mindlin板动力学问题是由Richard Mindlin在1943年提出的，它是一个复杂的动力学问题，是一种多物理量耦合的动力学系统，主要涉及到板的弯曲和剪切，以及应力、应变和位移。

Mindlin板动力学问题中，Hamilton体系是一种可以描述Mindlin板动力学问题的数学模型，它通过求解相关的动力学方程将板的应力，应变和位移联系起来，从而帮助我们更好的理解板的动力学行为。

二、Mindlin板动力学问题的Hamilton体系1、定义 Mindlin板动力学问题的Hamilton体系是一种用于描述Mindlin板动力学问题的数学模型，它由一系列相关的动力学方程组组成。

其中，包括有：板上每一点的位移方程、板上每一点的力对位移的响应方程、板上每一点的应力和应变之间的关系方程以及板上每一点的力和力矩之间的关系方程等。

2、位移方程位移方程是描述板动力学问题的基本方程，它表示板上每一点的位移u，在时间t上的变化状态，即∂u/∂t=v，其中v是板上每一点的速度，由于板的位移受到板的自重和外界力的影响，因此可以得到：∂v/∂t=-g-f (1)其中，g表示板的自重，f表示外界力。

3、力对位移的响应方程力对位移的响应方程描述的是板上每一点的力对位移的反作用，即力f对位移u的响应，从而使位移随时间发生变化。

对于Mindlin板，由于板的弯曲和剪切都会对位移产生影响，因此可以得到：f=Kuu+Kuv (2)其中，Kuu表示板的弯曲，Kuv表示板的剪切，Kuu和Kuv分别是板的弯曲和剪切系数。

4、应力和应变之间的关系方程应力和应变之间的关系方程描述的是板上每一点的应力σ和应变ε之间的关系，即σ=Eε，其中E是板的杨氏模量。

5、力和力矩之间的关系方程力和力矩之间的关系方程描述的是板上每一点的力f和力矩τ之间的关系，即τ=Gf，其中G是板的刚度矩阵。

基于超级混合单元的复合材料层合板应力分析

基于超级混合单元的复合材料层合板应力分析刘艳红;张莹【摘要】就有限元法而言,单元数值积分运算的时间所占比例较大.根据复合材料层结构的特点,基于三维的线弹性问题的非协调辛元,建立了超级混合单元.由于超级混合单元的组装是简单的加法运算,消耗时间较少,因此按层的形式划分超级单元,最明显的优点是可节省因相同单元重复积分运算而消耗的时间.实例分析证明了混合单元的可靠性.【期刊名称】《中国民航大学学报》【年(卷),期】2018(036)004【总页数】5页(P54-58)【关键词】复合材料层合板;应力分析;广义部分混合元;超级混合单元【作者】刘艳红;张莹【作者单位】中国民航大学航空工程学院,天津 300300;中国民航大学航空工程学院,天津 300300【正文语种】中文【中图分类】O342;O343传统混合有限元法（简称传统混合法）[1-5]的主要优点是：一方面，可同时求得应力和位移结果，而且应力结果的精度较高，一些算例表明其应力结果可接近精确解[1-2]；另一方面，不同单元同一结点的应力结果是连续的。

但一般情况下，传统混合元系数矩阵的主对角线上有0元素。

因此，不经特殊处理的传统混合元的数值结果不稳定。

传统混合法中各种非常规的稳定元素技术方案所涉及的数学理论较复杂，不利于工程师掌握和应用[4]。

另外，基于传统混合法的模型主要涉及具体的二维板壳类问题。

有关三维工程问题的文献[5]表明，相应的稳定元素技术的理论过程更为复杂，因而很少有针对具体三维工程问题进行数值分析的文献。

无需任何稳定混合元素技术，基于两个变分原理（即最小势能原理和H-R变分原理）或广义混合变分原理可得到本质上稳定的广义混合元[6-7]，即系数矩阵主对角线上没有0元素。

更进一步，文献[8]根据修正的H-R变分原理直接建立了广义的非协调辛元。

由于所采用的变分原理不同，广义混合元[6-8]的形式当然也不同。

多个实例的数值分析表明：广义混合法[6-8]和被广泛应用的位移法或杂交应力法一样，用于分析线弹性静力学问题没有原则上的困难。

复合材料层合板分析

05 影响因素及优化策略探讨
影响因素识别
材料性能
包括纤维类型、基体类型、纤维体积分数等，对层合板的力学性能、热性能等有显著影响。
铺层设计
铺层角度、顺序和厚度等设计参数直接影响层合板的刚度、强度和稳定性。
制造工艺
如固化温度、压力和时间等工艺参数，对层合板的内部质量和性能稳定性有重要影响。
优化策略提
提出了基于损伤容限的复合材料层合板设计方法，通过优化铺层顺序和厚度分布等参数，提高了层合板的抗损伤能力和耐久性。
未来研究方向展望
高性能复合材料层合板研究
探索新型高性能纤维增强复合材料的制备工艺和力学性能，为下一代复合材料层合板的研发提供技术支持。
多功能复合材料层合板研究
开展具有多种功能（如承载、隔热、防雷击等）的复合材料层合板研究工作，拓展其在航空航天、汽车等领域的应用范围。
和质量有重要影响。
力学性能分析方法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
经典层合板理论
基于Kirchhoff假设，忽略横向剪切变形，适用于薄板和中厚板的分析。该理论计算简单，但对于厚板和复杂受力状态的分析精度较低。
一阶剪切变形理论
考虑横向剪切变形的影响，引入剪切修正因子进行修正。该理论适用于中厚板和厚板的分析
对复合材料层合板进行深入研究，有助于优化其设计、制造和使用过程，提高产品的性能和安全性。
研究的必要性
复合材料层合板具有优异的力学性能和可设计性，但其复杂的力学行为和失效机制需要深入研究。
国内外研究现状
国外研究现状
国外在复合材料层合板的研究方面起步较早，已经形成了较为完善的理论体系和实验方法。近年来，国外学者主要关注于复合材料层合板的损伤与断裂、多尺度建模与分析、先进制造技术等方向的研究。

复合材料层合板阻尼预测分析与验证

测分析模型，通过层合板应变能、耗散能和结构模态阻尼的关系，采用有限元法编制了相关的模态阻尼计算程序。通过逐点激励单点测试（ＳＩＳＯ）的实验方法进行测试和算例分析，获得了单向铺层复合材料层合板在不同边界条件下的振动模态阻尼参数。数值计算结果与实验结果吻合较好，误差最大为８．１２，最小为０．５，验证了所建立的层合板阻尼预测分析模型及阻尼计算程序的有效性。
强度和比刚度之外，还具有优良的阻尼特性，对结构
的振动控制和提高结构承受循环和冲击载荷的能力非常有益。复合材料构件的阻尼特性比较复杂，在对复合材料进行结构有限元数值模拟时，很难加入
准确的阻尼矩阵模型。因此，准确地预测结构系统
合材料三相模型，结果表明低质量的界面相对复合
材料的阻尼比有显著的影响，而对于高质量的界面
相则需要更高灵敏度和更精确的方法来计算。
Ｙｉｍ［８］基于弹性粘弹性经典层合板理论，对复合材料层合梁的阻尼性能进行了预测。李明俊等分析了各向异性设计阻尼结构层合板的阻尼特性，其将
复合材料层合板阻尼预测分析与验证
漆文凯，程博

有限元方法在复合材料结构优化设计中的应用

有限元方法在复合材料结构优化设计中的应用作者：宋春林来源：《科学导报·学术》2020年第69期【摘要】为提升复合材料结构设置水平，实现复合材料性能的提升与造价的管控，文章将有限元方法与复合材料结构优化设计有机结合起来，通过相应举措，有效解决现阶段复合材料在研发、应用环节暴露出的问题，打造完善的材料研发机制。

【关键词】复合材料;结构优化;有限元方法;应用策略前言在符合材料结构性优化的过程中，为持续增强复合材料实用性，有效改善符复合材料的性能，打造成熟的复合材料研发、制备体系。

技术人员以有限元方法作为研究框架，通过研究思路的调整，研究方法的调整，有效解决复合材料的升级环节面临的问题，保证复合材料的实用属性。

1.有限元方法概述对有限元方法内涵与特点的分析，在思维层面形成正确的技术观念，以充分发挥有限元方法的实用属性。

有限元法作为成熟的计算机制，通过剖分、单元分析、近似变分方程求解等相关举措，实现对数据分析的综合分析与科学论证。

与传统的分析模型相比，有限元法在计算机的辅助作用下，通过程序的编辑，将微分方程的离散处理，这种处理方式操作难度较低，分析评估周期較短，因此在实践环节具备较强的实用性。

随着有限元方法的逐步成熟，应用范围的日益扩大，借助有限元方法对离散数据的共性进行分析，并形成规律性认知，通过规律性的认知，逐步推进各项技术研发与升级工作。

例如在新型材料研发的过程中，基于材料属性的特殊性、结构的复杂性，技术人员应当从微观层面出发，对材料内部结构的布局做出相应调整，实现材料性能的定向提升。

技术人员依托有限元方法，在材料研发与使用需求的情况下，对数据分析结果进行全面梳理，以此为基础，定向做好数据分析以及整合等相关工作，避免数据掌握不充分、应用不科学等问题的发生。

2.有限元方法在复合材料结构优化设计应用价值有限元方法在复合材料结构优化设计中的应用，表现出极大的技术优势，是保证结构设计针对性，压缩研发成本的重要路径。

复合材料纵横剪切模量的有限元计算与试验对比研究

第1期纤维复合材料㊀No.1㊀1192024年3月FIBER ㊀COMPOSITES ㊀Mar.2024复合材料纵横剪切模量的有限元计算与试验对比研究王天琦,魏喜龙,王威力,李㊀刚,魏㊀程,单鹏宇,田忠恩(哈尔滨玻璃钢研究院有限公司,哈尔滨150028)摘㊀要㊀层合板(ʃ45ʎ/90ʎ/0ʎ)是准各向同性层合板,其刚度在板面内各个方向上都相同㊂使用计算软件,编写程序代码,运用有限元的方法,划分有限元网格,计算了层合板(ʃ45ʎ/90ʎ/0ʎ)的纵横剪切模量[1]㊂将计算结果与复合材料纵横剪切模量试验结果进行对比,得到数值模拟和试验结果之间的误差为0.89%,一致性很好,说明该计算方法可用于工程计算模拟㊂关键词㊀复合材料层合板;准各向同性;有限元方法;纵横剪切模量Research on Finite Element Method and Testing forDetermination Interlaminar Shear Modulusof Composite MaterialsWANG Tianqi,WEI Xilong,WANG Weili,LI Gang,WEI Cheng,SHAN Pengyu,TIAN Zhongen(Harbin FRP Institute Co.,Ltd.,Harbin 150028)ABSTRACT ㊀Laminated plates (ʃ45ʎ/90ʎ/0ʎ)are quasi isotropic laminates with the same stiffness in all directions within the plate ing computational software,program code was written,and finite element method was used to di-vide the finite element mesh and calculate the longitudinal and transverse shear modulus of laminated plates (ʃ45ʎ/90ʎ/0ʎ)[1].The calculated results are compared with the transverse and longtitude shear modulus test results,it was found that the error between the numerical simulation and experimental results was 0.89%,indicating good consistency,indicating that this calculation method can be used for engineering calculation simulation.KEYWORDS ㊀composite laminates;quasi -isotropic;finite element method;longitudinal and transverse shear modulus通讯作者:王天琦,硕士研究生,助理工程师㊂研究方向为结构力学㊂E -mail:151****4822@1㊀引言纤维复合材料由于其强度高㊁耐腐蚀等优点被广泛应用于航空航天和海洋等领域中㊂在复合材料的研发过程及工程应用中,经常要对不同的复合材料试件进行多种形式的性能试验,以获取所需的材料和结构性能参数㊂纤维增强复合材料的剪切性能是其基本性能之一,是复合材料设计中必须考虑的重要问题㊂许多结构铺层的设计㊁优化都是以剪切强度㊁模量数据作为依据㊂本文采用有限元数值模拟和试验对比的方法,对聚合物基复合材料层合板纵横剪切性能进行分析[2]㊂研究有限元数据模拟方法可在无试验条件下快速为复合材料结构件提供试验数据的依据㊂纤维复合材料2024年㊀2㊀准各向同性层合板的力学试验2.1㊀复合材料层合板纵横剪切试件制备按照GB /T 3355-2014要求制备准各向同性层合板,试样铺层为[45ʎ/-45ʎ]5s ,试件尺寸如图1所示㊂图1中h 表示试样厚度,为2mm [3]㊂试验中所用到的材料规格及供应厂家如表1所示㊂图1㊀纵横剪切试件示意图表1㊀试验材料名称规格供应商单向预浸料SYT49S /8485-A200(S186)/环氧树脂双酚A 环氧树脂南通星辰合成材料有限公司2.2㊀试验结果按照GB /T 3355-2014进行力学试验,试验在标准环境下进行,记录试件的宽度㊁厚度㊁试件受到的破坏载荷,并计算剪切强度和剪切模量㊂纵横剪切试件参数及试验结果如表2所示㊂表2㊀纵横剪切试件参数及试验数据汇总表编号123456平均值宽度b /mm 24.9824.9524.9625.0325.0325.0425.00厚度h /mm 2.41 2.45 2.36 2.38 2.42 2.46 2.41破环载荷/N 3017309225792703310931162936剪切模量/GPa 4.09 4.05 4.04 3.97 3.93 4.04 4.00剪切强度/MPa28.9029.6525.0825.930.0028.4928.02㊀㊀45ʎ纵横剪切强度计算如公式(1)所示㊂S 45ʎ=P 45ʎmax 2bh(1)公式(1)中,P 45ʎmax 为最大破坏载荷,N;b 为试件宽度,mm;h 为试件厚度,mm㊂45ʎ纵横剪切模量计算如公式(2)所示㊂G 12=әP 45ʎ2bh (әε2-әε1)(2)公式(2)中,әP 45ʎ为载荷-应变曲线上初始直线段的载荷增量,kN;b 为试件宽度,mm;h 为试件厚度,mm;әε1为对应于әP 45ʎ的纵向应变;әε2为对应于әP 45ʎ的横向应变[4]㊂由表2中可看出,试验数据有一定的离散,但离散程度不大㊂3㊀准各向同性层合板纵横剪切模量计算方法㊀㊀采用经典层合板理论(CLT),四节点举行层合板有限元计算方法计算变形与应变的关系,得到纵横剪切模量的计算值㊂3.1㊀经典层合板理论与均质材料所组成的结构不同,复合材料层合板结构的分析必须立足于对每一单层的分析㊂由于存在不同的组分层,决定了层合结构的厚度方向具有宏观非均质性㊂为了得到层合结构的刚度特性,必须弄清楚各单层的刚度特性;为了对层合结构的强度做出判断,必须首先对各单层的强度做出判断㊂因此,单层的宏观力学分析是层合结构分析的基础[5]㊂经典层合板理论,基于Kirchhoff 假设,即直法线假设和法线长度保持不变,Z 向应力可以忽略假设,而建立的薄层合板中面变形方程㊂当受到外部载荷作用时,层合板将发生面内伸缩或者弯曲变形㊂层合板坐标如图2所示[6]㊂直线段变形前后关系如图3所示,图3中以XZ 平面内的变形为例,B 是中面上的一点,C 是截面上的任意点,β是层合板中面的转角,如公式(3)所示㊂u c =u 0-z c sinβʈu c -z c β(3)公式(3)中,β=∂w 0∂x,注:在小变形情况下,021㊀1期复合材料纵横剪切模量的有限元计算与试验对比研究图2㊀层合板坐标图图3㊀直线段变形前后关系才有βʈsinβ,根据上式,层合板上任意一点的位移u 可以表示,如公式(4)所示㊂u =u 0-z∂w 0∂x(4)同理在YZ 平面内,也可以得到任意一点位移v的表达式如公式(5)所示㊂v =v 0-z∂w 0∂y(5)另外,经典层合板理论中,任意一点的位移w 与其中性面上的面外位移w 0相等,如公式(6)所示㊂w =w 0(x ,y )(6)公式(6)中,u ㊁v ㊁w 分别为沿板厚范围内x,y,z 方向的位移,中面上的点x,y,z 方向的位移为u 0㊁v 0㊁w 0,其中称为板的挠度[6]㊂后续计算过程,依据上述理论进行㊂3.2㊀变形与应变的关系为了得到层合板的刚度矩阵和柔度矩阵,并且在有限元方法中运用,引入层合板的应力-应变关系㊂为简化问题,对所研究的层合板作如下假设[7]㊂(1)层合板各单层之间粘结良好,可作为一个整体结构板,并且粘结层很薄,其本身不发生形变,即各单层板之间变形连续㊂(2)层合板虽由多层单层板叠合而成,但其总厚度仍符合假设,即厚度t 与跨度L 之比为(150~1100)<t L <18~110(3)整个层合板是等厚度的㊂在上述假设前提下,基于经典层合板理论中位移的表达式如公式(7)所示㊂u (x ,y ,z )=u 0(x ,y )-z ∂w 0∂xv (x ,y ,z )=v 0(x ,y )-z∂w 0∂y(7)w (x ,y ,z )=w 0(x ,y )引入几何方程,应变与位移的关系式如公式(8)所示㊂εx =∂u ∂x ,εy =∂v ∂y ,εz =∂w ∂zγyz =∂w ∂y +∂v ∂z ,γzx =∂u ∂z +∂w ∂x ,γxy =∂y ∂x +∂u∂y(8)将层合板的变形带入上式可得如公式(9)所示㊂εx =∂u ∂x =∂u 0∂x -z ∂2w 0∂x 2=εx 0+zk xεy =∂v ∂y =∂v 0∂y -z ∂2w 0∂y 2=εy 0+zk yγxy =∂u ∂y +∂v ∂x =∂u 0∂y +∂v 0∂x -2z ∂2w 0∂x ∂y=γxy 0+zk xy(9)式中,k x ,k y 为中面的弯曲挠曲率,即曲率半径的倒数,k xy 为中面的扭曲率,εx0㊁εy0㊁γxy0为中面应变[8]㊂将总应变整合后形式如下,其中第一部分代表的是面内的应变,第二部分代表的是弯曲引起的应变,如公式(10)所示[9]㊂{ε}={εo }+z {k }{εo }∂u 0∂x ∂v 0∂y ∂u 0∂y +∂v 0∂x ìîíïïïïïïïïüþýïïïïïïïï(10)121纤维复合材料2024年㊀{k }=∂2w ∂x 2∂2w ∂y 2-2∂2w ∂x ∂y ìîíïïïïïïïïüþýïïïïïïïï将公式(8)代入单层板应力-应变关系式,可以得到层合板中第k 层的应力-应变关系式[10]:σx σy σz éëêêêêùûúúúú=Q 11㊀Q 12㊀Q 16Q 12㊀Q 22㊀Q 26Q 11㊀Q 26㊀Q 66éëêêêêùûúúúúεxo εyo γxyo ìîíïïïïüþýïïïï+z k x k y zk xy ìîíïïïïüþýïïïï(11)式(11)中Q 为刚度矩阵,由公式(9)可知,层合板应变由中缅应变和弯曲应变两部分组成,沿厚度线性分布;而应力除与应变有关外,还与各单层刚度特性有关,若各层刚度不相同,则各层应力不连续分布,但在每一层内是线性分布的[11]㊂3.3㊀四节点矩形层合板有限元计算纵横剪切模量有限元法的基本理念是假设将一个连续体分割成数目有限的小体(单元),彼此间只在数目有限的指定点(节点)处互相连结,组成一个单元的集合体以代替原来的连续体,再在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力㊂因此,可以选择一个简单的函数来近似地表示位移分量的分布规律,建立位移和节点力之间的关系,把有无限个自由度的连续体理想化为有限个自由度的单元集合体,使问题简化为适合于数值解法的结构型问题[12]㊂基于复合材料层合板理论,结合3.1及3.2中的理论计算结果,建立并划分的层合板有限元网格如图4所示,在节点1,2,3上施加了边界条件-即将所有自由度固定㊂图4㊀层合板试件有限元数值模拟图在节点13和15上,沿x 轴施加25N 的力,在节点14上,沿x 轴施加50N 的力,施加载荷为100N㊂层合板试件厚度如公式(12)所示㊂H =n ㊃δ=10㊃0.24=2.4mm(12)式中,δ为单层厚度0.24mm㊂将节点8和节点11之间沿X 轴的相对伸长量定义为ε1,沿Y 轴的相对伸长量定义为ε2㊂则沿X 轴的剪切强度和相对伸长量如公式(13)~(16)所示㊂τ=F2bH=0.83333MPa (13)ε1=u (11)-u (8)a =0.0001274(14)ε2=u (11)-u (8)a=0.000018(15)γ=ε1-ε2(16)即剪切模量如公式(17)所示㊂G 12ᶄ=әτәγ=4035.61MPa (17)试验结果与有限元数值模拟结果之间的误差如公式(18)所示㊂ψ=G 12ᶄ-G 12G 12=0.89%(18)数值模拟中用到的参数如表3所示㊂表3㊀纵横剪切数值模拟结果汇总表数值模拟参数结果数值两个剪应变点之间的剪应力差值/MPa 0.833333两个剪应变点之间的剪应变差值/(rad /rad)0.0002纵向应变算数平均值/(mm /mm)0.0001274环向应变算数平均值/(mm /mm)0.000018试验结果剪切模量/MPa 4000有限元数值模拟剪切模量/MPa4035.61误差0.89%由表2中数据可知,试验结果与数值模拟得出的层合板剪切模量相差不大,误差仅在1%以内,存在误差的主要原因是模拟使用的摩擦参数与试验实际情况有差别,并且试验使用的板料厚度也存在一定的偏差,这些因素的综合影响导致了有限元模拟与试验值之间的偏差[13]㊂4㊀结语基于经典层合板理论,运用计算软件并使用有限元分析方法对复合材料层合板的纵横剪切试验进行数值模拟,提出了一个含有前后处理的完整的四221㊀1期复合材料纵横剪切模量的有限元计算与试验对比研究节点有限元程序算法,该程序算法可以为模拟层合板的拉伸㊁压缩等力学性能提供计算基础[14]㊂本文研究分析得到了层合板的纵横剪切模量,根据数值模拟后的数据显示,有限元方法在一定程度上可以得到比较准确的预测复合材料层合板的力学性能,能够指导复合材料层合板铺层结构[15],有限元数据和试验数据之间的误差在1%左右,使用有限元数值模拟方法计算剪切模量的方法是可行的,可以满足工程需要㊂参考文献[1]杨涵,周仕刚,薛元德.(ʃ45ʎ/90ʎ/0ʎ)s准各向同性层合板的拉伸强度[J].纤维复合材料,2010(4):5.DOI:10. 3969/j.issn.1003-6423.2010.04.001.[2]鲍宏琛,刘广彦.准各向同性纤维增强复合材料层合板的开孔拉伸破坏模拟[J].复合材料学报,2016,33(5):7.DOI: 10.13801/ki.fhclxb.20160112.005.[3]刘宝良,夏军.基于Mindlin理论的复合材料层合板的有限元分析[J].黑龙江科技大学学报,2004,14(3):171-173. DOI:10.3969/j.issn.1671-0118.2004.03.010.[4]朝鲁,张鸿庆,唐立民.一个计算微分方程(组)对称群的Mathematica程序包及其应用[J].计算物理,1997,14 (003):375-379.DOI:10.1007/BF02947208.[5]邵明.有限元法在复合材料层合板力学性能中的应用研究[D].浙江大学,2013.[6]李真,陈秀华,汪海.基于重合网格法的含孔复合材料层合板有限元分析[C]//第17届全国复合材料学术会议.中国力学学会;中国宇航学会;中国航空学会;中国复合材料学会, 2012.DOI:ConferenceArticle/5af1b392c095d71bc8cb4150.[7]李斯华李良伟.复合材料层合板的层间应力有限元分析[J].四川建材,2013,039(001):63,66.[8]ЖилинП.А.Векторыитензорывторогорангавтрехмерномпространстве.СПб.:Нестор,2001.276с.[9]ЖилинП.А.Рациональнаямеханикасплошныхсред:учеб.пособие.СПб.:Изд-воПолитехн.ун-та,2012.584с.[10]СорокинФ.Д.Прямоетензорноепредставлениеуравненийбольшихперемещенийгибкогостержнясиспользованиемвектораконечногоповорота//ИзвестияРАН.Механикатвердоготела.1994.ɴ1.C.164-168.[11]КувыркинГН,ГоловинНН,ПетрикевичББ,et al.Разработкатеоретическихосновиметодовоценкинесущейспособностиипрочностнойнадежности(рискаразрушения)термонапряженныхэлементовконструкцийизкомпозитныхматериаловнаосновеуглерода[R].Российскийфондфундаментальныхисследований,1994.[12]ДемидовАС,ХомовскийЯН.Особенностирасчётаивыборкритериевнапряженно-деформированногосостояниядлятонкостенныхконструктивныхэлементовизуглерод-углеродныхкомпозитныхматериалов[J].Sciences of Europe, 2016(9-4(9)):80-84.[13]王言磊,郝庆多,欧进萍.复合材料层合板面内剪切实验方法的评价[J].玻璃钢/复合材料,2007(03):6-8.DOI:10. 3969/j.issn.1003-0999.2007.03.002.[14]张纪奎,郦正能,关志东,等.复合材料层合板固化压实过程有限元数值模拟及影响因素分析[J].复合材料学报,2007, 24(2):6.DOI:10.3321/j.issn:1000-3851.2007.02.022.[15]许良梁,矫桂琼,卢智先,等.含分层复合材料层合板剪切屈曲的实验研究[J].机械强度,2007,29(4):5.DOI:10. 3321/j.issn:1001-9669.2007.04.011.321。

mindlin 分层总和法

mindlin 分层总和法
Mindlin分层总和法是一种用于计算板和壳结构的数学方法。

它是由美国工程师Raymond Mindlin在20世纪50年代提出的。

Mindlin 分层总和法的主要思想是将板或壳结构分成多个层次，每个层次都有不同的应力和应变状态。

然后将每个层次的应力和应变总和起来，得到整个结构的应力和应变状态。

Mindlin分层总和法的优点是可以考虑结构的厚度变化和弯曲效应，适用于各种不同形状的结构。

此外，该方法还可以用于计算非常大的结构，因为它可以将结构分成多个小块进行计算，从而减少计算量。

Mindlin分层总和法的基本原理是将结构分成多个层次，每个层次都有不同的应力和应变状态。

这些层次可以是线性的，也可以是非线性的。

然后将每个层次的应力和应变总和起来，得到整个结构的应力和应变状态。

这个过程可以用数学公式来表示。

Mindlin分层总和法的应用范围非常广泛。

它可以用于计算各种不同形状的结构，包括平板、圆柱体、球壳、锥形壳等。

此外，该方法还可以用于计算非常大的结构，如桥梁、大型建筑物、飞机等。

总之，Mindlin分层总和法是一种非常有用的数学方法，可以用于计
算各种不同形状和大小的结构。

它的优点是可以考虑结构的厚度变化和弯曲效应，适用于各种不同形状的结构。

此外，该方法还可以用于计算非常大的结构，因为它可以将结构分成多个小块进行计算，从而减少计算量。

具有分层损伤复合材料加筋与无加筋层合板热-机械力屈曲性态

具有分层损伤复合材料加筋与无加筋层合板热-机械力屈曲性
态
陈浩然;尹向勇;刘相斌
【期刊名称】《复合材料学报》
【年(卷),期】2000(017)002
【摘要】基于复合材料一维剪切理论--Mindlin理论,给出了材料性质与温度有关的含分层损伤复合材料加筋和无加筋层合板的线性和非线性热-机械力耦合情况下的屈曲问题有限元分析方法,并研究了含分层损伤的加筋和无加筋层合板的两种不同类型的热-机械力屈曲问题.通过典型算例分析,讨论了热-机械力耦合效应和分层大小对含分层损伤结构的屈曲性态的影响关系.
【总页数】4页(P70-73)
【作者】陈浩然;尹向勇;刘相斌
【作者单位】大连理工大学,工业装备结构分析国家重点实验室,大连,116024;大连理工大学,工业装备结构分析国家重点实验室,大连,116024;大连理工大学,工业装备结构分析国家重点实验室,大连,116024
【正文语种】中文
【中图分类】TB330.1;O242.21
【相关文献】
1.具有分层损伤的不同加筋形式复合材料层合板的后屈曲性态研究 [J], 白瑞祥;王蔓;陈浩然
2.含有分层损伤的复合材料加筋层合板的屈曲性态研究 [J], 陈浩然;尹向勇;郭兆璞;温玄玲;陈绍杰
3.分层损伤复合材料加筋层合板屈曲和后屈曲性态研究 [J], 白瑞祥;陈浩然;刘远东
4.含分层损伤的复合材料加筋层合板的非线性热屈曲分析 [J], 陈浩然;尹向勇;郭兆璞;孙先念
5.含多分层损伤的先进复合材料格栅加筋圆柱壳(AGS)的热-机耦合非线性屈曲分析[J], 陈浩然;周柏华;白瑞祥
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层合板有限元分析中的非线性控制

层合板有限元分析中的非线性控制刘元坤;吴中伟;方心灵;黄继庆;梁立;潘智勇;姜联东【摘要】本文主要利用ABAQUS调用USDFLD接口子程序模拟复合材料层合板的性能，并将实际实验数据和直接模拟结果进行对比，调用用户子程序，模拟计算结果与实际实验结果取得了很好的一致性，说明在层合板性能有限元分析中非线性控制的重要性。

%Using the USDFLD subroutine interface of ABAQUS simulated the performance of composite laminate in this paper, Real experimental data and direct simulation results were compared. Using the USDFLD subroutine interface of ABAQUS , these are good agreements between FEM calculation and real experimental results. The importance of non - linear control was shown in the finite element analysis of laminate performance between experimental observation and FEM calculation.【期刊名称】《纤维复合材料》【年(卷),期】2011(000)003【总页数】3页(P10-11,16)【关键词】层合板;子程序;非线性控制;有限元模拟【作者】刘元坤;吴中伟;方心灵;黄继庆;梁立;潘智勇;姜联东【作者单位】北京航天试验技术研究所,北京100074;北京雷特新技术实业公司,北京100074;北京航天试验技术研究所,北京100074;北京航天试验技术研究所,北京100074;北京航天试验技术研究所,北京100074;北京航天试验技术研究所,北京100074;北京航天试验技术研究所,北京100074【正文语种】中文【中图分类】TP273对于复合材料性能模拟的研究很多，例如，Ji KH等［1］利用基于直接数值模拟的有限元模型进行了三维正交机织复合材料的低速冲击模拟Nguyen等［2］建立了柔性纤维增强复合材料各向异性粘弹性有限元模型;Kim等利用有限元方法进行了复合材料单向板的破坏预测;Aminjikarai等［3］建立了平纹机织复合材料的有限元模型，来分析其主要的变形特征;Chrysochoidis等［4］运用线性层合板理论和有限元方法分析了带有压电传感器的复合材料梁的分层;姬长干［5］和李嘉骏［6］分别模拟三维正交机织复合材料和双轴向纬编针织复合材料的准静态侵彻性能。

%99层合板胶接修理的粘弹性有限元分析

图４表明：粘弹性计算所得的应力极值要比弹性计算所得的计算结果要小；且胶层相对极限剪应力（叮蛆量煳＆＾佑．）和相对极限剥离应力（９职?★＿＾直女／口．）也随扑片直径的增加而减小。但是｛｝片的榴对直径大爨一定的程度后，对于结构的强度及胶层的应力贡献都不大，反而会增加结构的重量，带来一些负面作用。所以补片直径的选取有一个相对合理的值，一般取受损孔孔径的２—３倍。邑
收稿日期：∞０６一∞一２８
基盒项目：航空科学基金项目（０３８５３０７９）资助
作者简介：程起有（１蚺０一）男（汉）．江西．博士研究生．盯一ｃｋｎＥ＠ｍ｜ｎ．ｃ吣嘛∞ｍ万方数据
第１０期
程起有等：复合材料层合板胶接修理的粘弹性有限元分析１３５ｌ［Ｓ］＝（２）式中：Ｅ（ｚ＝ｌ，２，３）表示沿材料主轴方向的弹性模量；仁』（ｆＪ＝１，２，３）表示坷平面的剪切模量；”“（ｉ，Ｊ＝ｌ，２，３）为泊松比。对于胶层，将其看成各向同性材料，其粘弹性性质可由简单拉伸和剪切两个独立的蠕变柔度函数确定，单轴应力状态下拉伸和剪切时的粘弹性本构关系及材料参数分别为＂１拉伸时。胶层的粘弹性本构关系占‘＝Ｄ‘盯‘＋Ｆ薯ＦＩ（盯）（３）剪切时，胶层的粘弹性本构关系掌‘＝Ｊ’盯‘＋Ｆ萱兄（盯）（４）材料参数的表达式Ｄ｜＝Ｄｏ＋∑Ｄ，（卜ｒ：）（５）Ｆ＝∑Ｄ，［ｆ：口“。一ｅｘｐ（一＾，△∥）ｇＰ】（６），‘＝厶＋∑＾（１一卢：）（７）ｓｌ；∑．，ｒ［卢：矿““一ｅｘｐ（一叼。△妒’）ｐｆ。］（８）ｒ：＝垃％掣（９）口：＝ｅｘｐ（一Ａ，△驴‘）ｑ：－。＋ｒ：（口‘一一一。）（１０） △≯‘＝妒‘一妒卜－（１１）群：Ｌ罟掣（１２）＾ｒ凸妒ｐ：＝ｅｌｐ（一田，Ａ妒‘）ｐ：一舢＋辟（口‘一一‘皿）（１３）式（３）一式（１３）中：Ｆ‘和口‘分别为时间ｔ时的应变和应力；Ｅ（口）和Ｆ２（矿）均为应力算子；∥为瞬时柔度；Ｆ为遗传应变；Ｊ‘为瞬时剪切蠕变柔度函效；Ｆ为遗传应变；风为弹性柔度；Ｄ，和＾，均为与材料性质有关的常数；＾为初始弹性剪切柔度；啦为遗传积分；∥为时间Ｉ时的折减时间；正为遗传积分。文献［７］中，再由式（３）和式（４）以及胶层三维线弹性本构关系峨，＝象＋（吉

Mindlin弹性板理论的修正及其效果

Keywords: Mindlin plate, improve , quartz crystal, resonator, coupling mode
2
目录
第一章绪论 ...................................................................................................................................... 4 1. 1 毕业设计（论文）的背景、意义 ...................................................................................... 4 1.2 毕业设计（论文）所作的工作 ............................................................................................... 4
第二章 Midnlin板理论介绍 ................................................................................................................. 5 2.1 无穷幂级数的二维板方程 ....................................................................................................... 5 2.1.1 二维方程中板的位移形式 ............................................................................................ 5 2.1.2 二维方程中板的应变应力形式 .................................................................................... 5 2.1.3 弹性体的运动变分方程 ................................................................................................ 6 2.2 算例 ........................................................................................................................................... 9 2.2.1 AT切石英晶体的自由振动 ........................................................................................... 9 2.2.2 厚度-剪切和弯曲振动模态的色散关系 ..................................................................... 10

Mindlin板理论高阶精化杂交应力元及稳定性分析

Mindlin板理论高阶精化杂交应力元及稳定性分析
马旭;闫守浩;李坦
【期刊名称】《浙江工业大学学报》
【年(卷),期】2024(52)2
【摘要】基于Mindlin板理论,构造了杂交应力四边形8节点单元QA8-R。

采用任意阶的Timoshenko梁函数构造了三阶边界位移插值函数,该函数确保单元能通过严格的收敛检验。

利用Airy应力函数构造了单元域内应力插值函数,该函数包含21个最优选择的应力项。

通过精化元方法构造了组合几何刚度矩阵,建立了屈曲分析的有限元列式。

数值算例结果表明:QA8-R单元不仅可以通过C^(0-1)分片检验,保证了单元的严格收敛性,而且在不同边界条件下对中厚板的计算精度较高,更易于工程应用。

【总页数】8页(P172-179)
【作者】马旭;闫守浩;李坦
【作者单位】燕山大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O242.21;TU311.2
【相关文献】
1.精化杂交Mindlin板单元的几何非线性分析(英文)
2.REISSNER—MINDLIN板的分层杂交应力有限元分析
3.复合材料多层板的精化高阶理论及其有限元法
4.复合
材料层合板精化高阶理论及其精化三角形板单元5.Mindlin板弯曲和振动分析的高阶杂交应力四边形单元
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含双圆孔 Mindlin 板弹性波散射与动应力集中

含双圆孔 Mindlin 板弹性波散射与动应力集中胡超;周传平;刘殿魁【期刊名称】《动力学与控制学报》【年(卷),期】2014(000)004【摘要】基于 Mindlin 平板理论，采用波函数展开法和局部坐标系方法，对含双圆孔平板结构中弹性波散射与动应力集中问题进行了研究。

文中对 Mindlin 板含双圆孔时的开孔动弯矩集中系数做了数值计算，并分析了开孔间距对动弯矩分布的影响。

结果表明：与单圆孔情况相比，由于开孔之间的相互影响，双圆孔间的动弯矩分布会发生比较复杂的变化。

孔间距相互作用有时会使动应力集中得到缓解，而有时会使动应力集中加剧。

在低频和平板较薄的情况下，平板开孔动弯矩互不影响间距较小；在较高频率和平板较厚的情况下，平板开孔动弯矩互不影响间距较大。

所有这些现象都与入射波波长与孔径等特征尺度有关。

因此，在工程结构动力学分析与强度设计中，应对不同波长和特征尺度下的动应力作具体的分析计算，而不是简单地套用静载强度设计标准或规范。

【总页数】8页(P39-46)【作者】胡超;周传平;刘殿魁【作者单位】扬州大学建筑科学与工程学院，扬州 225127; 同济大学航空航天与力学学院，上海 200092;同济大学航空航天与力学学院，上海 200092;哈尔滨工程大学航天与建筑学院，哈尔滨 150001【正文语种】中文【相关文献】1.弯曲波对含多圆孔薄板的散射与动应力集中 [J], 赵嘉喜;刘殿魁;齐辉;杨在林2.含孔软铁磁材料Mindlin板中弹性波散射问题 [J], 胡超;韩刚;黄文虎3.含双圆孔平板弹性波散射与动应力分析 [J], 胡超;马兴瑞4.P波入射时含圆柱形空腔板弹性波散射与动应力集中 [J], 陈涛;胡超;黄文虎5.含中心圆孔有限板动应力集中问题的有限元分析 [J], 李伟;王启智因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。