高中数学课时跟踪检测四单位圆与三角函数线新人教B版必修

课时跟踪检测（四） 单位圆与三角函数线
层级一 学业水平达标
1．角π5和角6π
5有相同的( )
A ．正弦线
B ．余弦线
C ．正切线
D ．不能确定
解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π
5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都
相反，而正切线相等．
2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上
C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上
D ．x 轴上或y 轴上
解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上．
3．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b
D ．a <c <b
解析：选C 如图，作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线，显然
b ＝cos(－1)＝OM >0，
c ＝tan(－1)＝AT <0， a ＝sin(－1)＝MP <0，
由图可知MP >AT ，∴c <a <b .
4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第一、第三象限的角平分线上
解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.
5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1
D ．不能确定
解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.
6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．
解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1.
答案：1
7．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是___________________________ ________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .
显然MP >OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 1 8．若θ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________．
解析：由图可知sin 3π4＝2
2，
sin 3π2＝－1，－1＜sin θ＜2
2，
即sin θ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，22. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，
22 9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)π6；(2)－5π6
.
解：(1)如图(1)所示，分别表示π
6角的正弦线、余弦线、
正切线．
(2)如图(2)分别表示－5π
6角的正弦线、余弦线、
正切线．
10．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫
22－sin x . (2)y ＝3tan x － 3.
解：(1)为使y ＝lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫
22－sin x 有意义，则22－sin
x >0，所以sin x <22，所以角x 终边所在区域如图所示，
所以2k π－5π4<x <2k π＋π
4，k ∈Z.
所以原函数的定义域是
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|2k π－5π4<x <2k π＋π
4，k ∈Z .
(2)为使y ＝3tan x －3有意义，
则3tan x －3≥0，所以tan x ≥
3
3
， 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以k π＋π6≤x <k π＋π
2，k ∈Z ，
所以原函数的定义域是
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|k π＋π6≤x <k π＋π
2，k ∈Z .
层级二 应试能力达标
1．下列三个命题：
①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π
3的正切线相等； ③π4与5π
4的余弦线相等． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
解析：选B
π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；π3和4π
3
两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；π4和5π
4
的余弦线方向不同．
2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝2
3，则这个三角形是( )
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
解析：选D 当0<α≤π
2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin
α＋cos α＝2
3
，
∴α必为钝角．
3．如果π4<α<π
2，那么下列不等式成立的是( )
A ．cos α<sin α<tan α
B ．tan α<sin α<cos α
C ．sin α<cos α<tan α
D ．cos α<tan α<sin α
解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α
，且都与坐标轴的正方向
相同．即cos α<sin α<tan α.
4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4
，3π4
D ．[0，π]
解析：选A 如图，画出三角函数线sin x cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3π4，
sin π4＝cos π4，
为使sin x ≤cos x 成立， 则由图可得－3π4≤x ≤π4
.
5．sin 2π5，cos 6π5，tan 2π
5
从小到大的顺序是________．
解析：由图可知：
cos 6π5<0，tan 2π5>0，sin 2π
5
>0.
∵y 轴正方向相同，
∴sin 2π5<tan 2π5
.
故cos 6π5<sin 2π5<tan 2π
5.
答案：cos 6π5<sin 2π5<tan 2π
5
6．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>1
2
.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 区域内，所以α的取值范围是
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3，2π.
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3，2π 7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ<－12；(2)－12≤cos θ<32
.
解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围， 即θ－5π6＋2k π<θ<－π
6
＋2k π，k ∈Z.
(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，
即θ2k π－2π3≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π
3
，k ∈Z.
8．若0<α<π
2，证明：sin α<α<tan α.
证明：如图所示，连接AP ，设弧AP 的长为l ， ∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT ，
∴12|OA |·|MP |<12l ·|OA |<1
2|OA |·|AT |， ∴|MP |<l <|AT |， ∴sin α<α<tan α.。